KIERTOHEILURI JA HITAUSMOMENTTI

Transkriptio

1 1 KIERTOHEILURI JA HITAUSMOMENTTI MOTIVOINTI Tutustutaan kiertoheiluriin käytännössä. Mitataan hitausmomentin vaikutus värähtelyyn. Tutkitaan mitkä tekijät vaikuttavat järjestelmän hitausmomenttiin. Vahvistetaan kokeellisesti Steinerin sääntö. TEORIAA Oheisen kuvan (Kuva 1.) kierto- eli torsioheiluri koostuu spiraalijousesta, kuulalaakerilla tuetusta torsioakselista ja värähtelevistä punnuksista, jotka on kiinnitetty metallitankoon. Kierrettäessä heiluria pienen kulman θ verran, kohdistuu punnukseen palauttava vääntömomentti Μ = Fr sinϕ = Jα = Dθ, (1) J on värähtelevän systeemin hitausmomentti (yksikkö: kgm ) värähdysakselin A suhteen, α = värähtelijän kulmakiihtyvyys (yksikkö: rad/s ) ja D on vääntöjousen palautuskerroin eli direktiomomentti (yksikkö: Nm/rad). D on vääntöjouselle ominainen suure, joka riippuu käytetystä materiaalista ja sen geometrisista mitoista. [Vertaa yhtälöä (1) jousen palauttavaan voimaan F = ma = - kx.] Yhtälön (1) vääntömomentti M voidaan määrittää, kun värähdysakselista etäisyydellä r palauttava voima F tunnetaan. Kulma ϕ on paikan r ja voiman F välinen kulma. Kuva 1. Kiertoheiluri ja erilaisia punnuksia.

2 Kiertoliikkeessä olevalle harmoniselle punnukselle seuraa yhtälöstä (1) Newtonin II lain mukaan liikeyhtälö d θ D + θ = 0. () dt J d x k [Vertaa yhtälöä () jousen liikeyhtälöön + x = 0.] dt m Huomattavaa tässä on se, että yhtälö () on vaimenemattoman harmonisen värähtelijän liikeyhtälö. Tästä seuraa, että kiertoheilurin värähdyksen jaksonaika T pienille kulmille θ on T J = π. (3) D Kiertoheiluriin voidaan kiinnittää kappaleita, joiden hitausmomentit voidaan määrittää. Jos tutkittavat kappaleet on asetettu heiluriin siten, että niiden painopiste sijaitsee värähdysakselilla (torsioakselilla), on koko systeemin hitausmomentti J p useimmiten helppo laskea teoreettisesti integroimalla yli jokaisen kappaleen massajakauman ja summaamalla näiden kappaleiden hitausmomentit yhteen. Tällainen kappale on esimerkiksi kuvassa oleva värähtelijä (tanko + punnukset). Mikäli punnuksia pidetään pistemäisinä kappaleina, tällöin värähtelijän teoreettinen hitausmomentti on Kuva. Pitkä ohut tanko () ja kaksi punnusta (3). 1 J = J punnukset + J tan ko = m1r1 + mr + mtan kol, (4) 1 missä yhden, etäisyydellä r värähtelyakselista olevan pistemäisen m-massaisen punnuksen hitausmomentti on J = mr (5) ja m-massaisen ja l-pituisen ohuen tangon hitausmomentti on 1 J = ml. (6) 1 Jos kappaletta ei saa keskeisesti akselin suhteen (ks. Kuva 3.), tällöin Steinerin teoreeman mukaan kappaleen hitausmomentti on J = J ma. (7) x p +

3 3 jossa J x = tutkittavan kappaleen hitausmomentti värähdysakselin A suhteen, J p = tutkittavan kappaleen hitausmomentti painopisteen kautta kulkevan akselin suhteen, m = kappaleen massa ja a = painopisteen ja värähdysakselin välimatka. Esimerkiksi umpinaisen R- säteisen ja m-massaisen kiekon hitausmomentti painopisteen kautta kulkevan värähdysakselin suhteen on Kuva 3. Ympyräkiekko, jonka painopiste ei sijaitse värähdysakselilla. Kiekon painopiste on etäisyydellä a akselista A. 1 J p = mr, (8) ja painopisteestä etäisyydellä a olevan värähdysakselin suhteen kiekon hitausmomentiksi saadaan Steinerin teoreeman (7) mukaan J s 1 = R + a m. (9) Kaavastoissa on yleensä annettu kappaleiden hitausmomentit sekä painopisteen suhteen että jonkin kappaleen reunan kautta kulkevan värähdysakselin suhteen. Steinerin teoreeman oikeellisuutta voidaan testata siirtämällä värähdysakselin paikka painopisteestä pois, huolehtien samalla kuitenkin siitä, että myös uusi värähdysakseli ja painopisteen kautta kulkenut akseli ovat keskenään samansuuntaiset. Ontoilla ja vastaavilla umpinaisilla kappaleilla on erilaiset hitausmomentit. Esimerkiksi umpinaisen R-säteisen ja m-massaisen sylinterin hitausmomentti on 1 kun taas vastaava hitausmomentti ontolle sylinterille on J SS = mr, (10) ( ), 1 J HS = m R + R1 (11) missä R 1 on onton sylinterin sisäsäde ja R ulkosäde.

4 4 TYÖN SUORITUS ÄLÄ KOSKAAN KÄÄNNÄ SPIRAALIJOUSTA VASTAPÄIVÄÄN! Huomautus: torsioakselin hitausmomentti on suuruusluokaltaan 10-5 kgm, ja on sen vuoksi häviävän pieni verrattuna tutkittavien kappaleiden hitausmomentteihin. Tätä hitausmomenttia ei tarvitse huomioida laskuissa. Palautuskertoimen D määrääminen Spiraalijousen palautuskerroin D voidaan määrätä kokeellisesti. Sen määrittämiseksi värähtelijää kierretään 180 myötäpäivään, ja palauttavan voiman F mittaamiseksi dynamometri asetetaan kuvan 4 mukaisesti. Voima mitataan kolmelta eri etäisyydeltä r. Kuva 4. Palauttavan voiman F mittaaminen dynamometrillä. Hitausmomenttien J määrääminen Tutkittava kappale tai tutkittavat kappaleet asetetaan heiluriin asianmukaisella tavalla. Jokaisen tutkittavan kappaleen hitausmomentin määrittämiseksi värähtelijää poikkeutetaan 180 myötäpäivään, ja mitataan neljän jakson aika. Muista myös mitata kappaleista tarvittavat mitat, kuten massa, halkaisija ja pituus. 1. Pitkän tangon hitausmomentin J rod kokeelliseksi selvittämiseksi aseta pelkkä tanko (ks. Kuva.) värähdysakselille, ja selvitä järjestelmän jaksonaika T rod.. Punnusten hitausmomenttien J masses määräämiseksi aseta ne tankoon symmetrisesti kahdelle eri etäisyydelle r värähdysakselista. Tanko on uritettu punnusten kiinnitystä varten. Punnuksien siirtämiseen tarvitset ruuvimeisseliä (ks. Kuva 5.). Mittaa jaksonaika T masses. Kuva 5. Punnusten lukitusruuvi merkitty kuvaan kohtaan (10). 3. Umpinaisen puisen kiekon hitausmomentin J disk määrämiseksi aseta kiekko torsioakselille ja mittaa jaksoaika T disk.

5 4. Mittaa vastaavasti umpinaisen ja onton sylinterin hitausmomenttien J SS ja J HS sekä tukikehän hitausmomentin J ring määrämiseksi jaksonajat T SS, T HS ja T ring. 5. Mittaa puisen pallon hitausmomenttia J sphere varten jaksonaika J sphere. 5 Kuva 6. Tutkittavia kappaleita. Steinerin teoreeman kokeellinen vahvistaminen Steinerin teoreeman kokeelliseksi vahvistamiseksi torsioakseliin asetetaan värähtelemään umpinainen ohut metallikiekko. Kiekon värähdysakselin paikkaa voidaan muuttaa siirtämällä istukan paikkaa. Istukka irtoaa kiekosta aukaisemalla kiinitysruuvi (ks. Kuva 7.). Työssä tehdä kaksi värähdysjan T mittausta käyttäen itsenäisesti valittuja etäisyyksiä a (ks. Kuva 3.). Kuva 7. Umpinaista metallikiekkoa käytetään Steinerin teoreeman vahvistamiseksi. TYÖN TULOKSET Mittauksista lasketaan kaikille tutkittaville kappaleille hitausmomentit virherajoineen ja kokeellisia tuloksia verrataan ns. teoreettisiin tuloksiin. Myös teoreettisille hitausmometeille on laskettava virherajat. Lopputuloksissa ilmoitetaan myös spiraalijousen palautuskerroin D virherajoineen. kappale J± J [kgm ] mitattu J± J [kgm ] teoreettinen tanko tanko+puntit r 1 tanko+puntit r puntit r 1 puntit r pallo ump. kiekko ump. sylinteri ontto sylinteri tukikehä kiekko a 1

6 6 kiekko a