2. harjoitus - malliratkaisut Tehtävä 3. Tasojännitystilassa olevan kappaleen kaksiakselista rasitustilaa käytetään usein materiaalimalleissa esiintyv

Transkriptio

1

2

3

4

5

6

7 2. harjoitus - malliratkaisut Tehtävä 3. Tasojännitystilassa olevan kappaleen kaksiakselista rasitustilaa käytetään usein materiaalimalleissa esiintyvien vakioiden määrittämiseen. Jännitystila on siten kuormien suuntaan määritetyssä koordinaatistossa σ σ = 0 ασ 0 0, jossa α on dimensioton parametri, joka kokeesta riippuen voi vaihdella välillä (, ). Määritä parametrin α funktiona:. keskimääräinen jännitys σ m, 2. tehollinen jännitys σ e = 3J 2, 3. Loden kulma θ (katso määritelmä luentomonisteesta), 4. maksimileikkausjännitys τ max, 5. ja maksimileikkausjännitystason normaalin suunta. Millaista jännitystilaa kuvaa tapaus α =? Ratkaisu. Keskimääräinen jännitys on Jännitysdeviaattori on s = σ 3 trσ I = = Tästä tehollinen jännitys σ e = 3J 2 = σ e = 3J 2 = 3 2 σ m = 3 trσ = 3 ( + α)σ 0. σ 0 3 ( + α)σ ασ 0 3 ( + α)σ ( + α)σ 0 ( α)σ ( 2 3 α 3 )σ ( + α)σ trs2 on 9 [(2 α)2 + (2α ) 2 + ( + α) 2 ] σ 0 = α 2 α + σ 0 Loden kulma θ saadaan kaavasta ( θ = 3 arccos 3 ) 3 J 3 2 J 3/2. 2 Lasketaan J 3 = det s J 3 = 9 (2 α)(2α )( + α)σ3 0. Maksimileikkausjännitys on τ max = 2 (σ I σ III ). Jos oletetaan että σ 0 on positiivinen, niin tällöin σ III :n on pienempi luvuista 0, ασ 0. Maksimileikkauksen esiintymistaso puolittaa pääjännitystasojen välisen kulman. Täten mikäli α > 0 esiintyy tasossa, joka muodostaa 45 asteen kulman (x, x 2 ) ja (x 3, x 2 ) -tasojen kanssa. Tällöin siis nolla on pienin pääjännitys ja τ max = 2 σ 0. Täten mikäli α < 0 esiintyy tasossa, joka muodostaa 45 asteen kulman (x, x 3 ) ja (x 2, x 3 ) -tasojen kanssa. Tällöin siis ασ 0 on pienin pääjännitys ja τ max = 2 ( α)σ 0. Tapaus α = kuvaa puhdasta leikkausta.. RAK Johdatus materiaalimalleihin - 2. harjoitus

8 Tehtävä 4 Erään suuren moottrilohkon tuen tukireaktioksi on mitattu voimavektori F = (5F, F, 0F ) T. Kuva alla. Laakerituen mitat ovat a a h. Lisäksi tiedetään, että moottorilohkon x akselin suuntainen normaalijännitys on σ = 6σ 0, jossa on merkitty σ 0 = F/a 2.. Määritä näistä tiedoista mahdollisimman moni jännitysmatriisin alkio (x, x 2, x 3 )-koordinaatistossa. Mitä matriisialkioita ei edellisen tiedon perusteella voi määrittää? 2. Mikäli näille tuntemattomiksi jääville komponenteille oletetaan nolla-arvo, määritä pääjännitykset ja suurinta pääjännitystä vastaavan tason normaalin suunta. Mikä on suurin leikkausjännitys? 3. Määritä jännitysdeviaattorimatriisi s = σ 3 tr(σ)i ja sen toinen invarantti J 2 = 2 tr(s2 ) (HUOM: tehtäväpaperissa painovirhe) sekä von Misesin tehollinen jännitys σ e = 3J Mikäli nyt nolliksi oletetut jännityskomponentit voisivat vaihdella välillä ( σ 0, σ 0 ), missä rajoissa von Misesin tehollinen jännitys vaihtelee? h x 3 x 3 x x 2 F a a Ratkaisu. Traktiovektori t on nyt t = a 2 F = F a = σ Koska t = σ T n ja nyt n = (0, 0, ), saadaan 5 t = σ 0 0 = σ zx σ zy σ zz tai käyttäen von Karmanin notaatiota τ zx = σ zx, τ zy = σ zy, σ z = σ zz jne., saadaan Jännitysmatriisista tunnetaan siten, τ zx = 5σ 0, τ zy = σ 0, σ z = 0σ 0. σ = σ 0 6 x 5 x x 5 0 jossa tuntematomiksi jääviä komponentteja on merkitty x:llä. Jos ne oletetaan nolliksi saadaan σ = σ RAK Johdatus materiaalimalleihin - 2. harjoitus 2,

9 Pääjännitykset σ i = λσ 0 saadaan ominaisarvotehtävästä 6 + λ 0 5 σ 0 0 λ λ josta saadaan karakteristinen yhtälö (6 + λ) λ 0 + λ λ 5 = 0, joka sievennettynä on n n 2 n 3 λ 3 + 6λ λ 6 = 0. = 0, () Ratkaisu on λ = 3, 4, λ = 2, 73, λ = 0, 6 Täten suurin pääjännitys on σ I = 0, 6σ 0 keskimmäinen σ II = 2, 7σ 0 ja pienin σ III = 3, 4σ 0, sillä σ 0 > 0. Suurinta pääjännitystä vastaava suunta saadaan sijoitamalla ominaisarvo yhtälöön (), jolloin σ 0 6, , 6 5 0, 6 n n 2 n 3 = 0, josta saadaan valitsemalla n 3 = arvot n = 5/6.6 = 0.8 ja n 2 = /0, 6 = 6, Koska kysyttiin vain suuntaa vektoria n ei tarvitse normeerata. Suurin leikkausjännitys on τ max = 2 (σ I σ III ) = 6, 8σ 0. Jännitysmatriisin jälki on trσ = 6σ 0, joten jännitysdeviaattori on s = σ 3 trσ I = 6 + 6/ / /3 σ 0. Lasketaan nyt deviaattorin toinen invariantti J 2 = 2 trs2 (HUOM: tehtäväpaperissa oli virhe tuossa kertoimessa). Symmetrian nojalla J 2 = 2 s ijs ji = 2 s ijs ij = 2 [( 0, 667)2 +( 5) 2 +5, ( 5) ( 4.667) 2 ]σ 2 0 = 50, 83σ 2 0. Tästä saadaan teholliseksi jännitykseksi Jos nyt σ = σ 0 ja merkitään τ xy = ξσ 0 sekä σ y = ησ 0, eli σ e = 3J 2 = 2, 3 σ 0. σ = σ 0 6 τ xy /σ 0 5 τ xy /σ 0 σ y /σ ξ 5 ξ η 5 0 Nyt trσ = 3 (η 6)σ 0 ja jännitysdeviaattori on 2 s = σ 3 trσ I = 3 3 η ξ 5 ξ η σ η Lasketaan tehollinen jännitys σ e = 3 3J 2 = 2 [( η)2 + ( η)2 + ( η)2 + 2ξ ]. Nyt η, ξ. On helppo havaita, että tehollisen jännityksen ääriarvot saadaan ξ:n ja η:n raja-arvoilla ±.., RAK Johdatus materiaalimalleihin - 2. harjoitus 3

10 Tehtävä 5. Mitoita oheisen kaksiaukkoisen palkin korkeus h siten, että palkin materiaalin tehollinen jännitys σ e = 3J 2 on pienempi kuin 355 MPa (teräs S 355) kun palkin tulee kestää 00 kn pystykuorma mielivaltaisessa kohdassa. Palkin poikkileikkaukseksi voit otaksua I-profiilin, jonka mittasuhteet ovat h = 2b, t f = 3 2 t w ja t w = 50h. Palkin jänneväli on L = 6 m. Tukilaakerin pituus keskituella on b/2 (reunatuilla puolet tästä) ja leveys palkin leveys. Voit analysoida palkkia idealisoituna I-profiilina, jossa taivutusmomentti M kannetaan laipoilla ja uuma ottaa kaiken leikkausrasituksen. Lisäksi taivutusjännitykset voi olettaa vakioiksi laipan paksuuden suhteen. Missä on vaarallisin kuorman paikka? F t f t w h L L b Ratkaisu. Olkoon pistekuorman etäisyys vasemmalta tuelta ξl (tai vastaavasti oikealta tuelta). Tällöin keskituen taivutusmomentin ja tukireaktion arvoiksi saadaan M = 4 F Lξ( ξ2 ), T = 4 F ξ(3 + ξ2 ). Kuorman vaarallisin paikka on todennäköisesti kohta, joka antaa keskituen taivutusmomentin itseisarvolle maksimiarvon. Tämä on kohdassa ξ = / 3. Tällöin keskituen taivutusmomentille ja tukireaktiolle saadaan arvot M = F L 6 3, T = F. Olettamalla, että taivutusmomentti otetaan vastaan pelkästää laippojen normaalijännityksillä, saadaan M = σ x t f bh, josta σ x = M t f bh. Valitaan nyt yhteiseksi pituusmitaksi ratkaistava suure h, tällöin b = 2 h, t w = 50 h, t f = 3 2 t w = 3 00 h. Rakenteen vaarallisin kohta on keskituen kohdalla, jossa uuman alaosassa vaikuttaa suuret puristavat normaalivoimat σ x ja σ y sekä leikkausjännitys τ xy, joille pätee σ x 00 9 F L 3 h 3 = α F L h 3, σ x Jännitysmatriisi on nyt τ xy h σ = F 50 h 2 h = F 3 h 2 = α F 2 h 2, F 50 h = 25 6 F 3 h 2 = α F 3 h 2. σ x τ xy 0 τ xy σ y Hydrostaattinen jännitys on σ m = trσ = 3 (σ x + σ y ), ja deviatorinen jännitysmatriisi on 2 3 σ x 3 σ y τ xy 0 s = 2 τ xy 3 σ y 3 σ x (σ x + σ y ) RAK Johdatus materiaalimalleihin - 2. harjoitus 4.

11 Tehollinen jännitys on σ e = 3 3J 2 = 2 [( 2 3 σ x 3 σ y) 2 + ( 2 3 σ y 3 σ x) 2 + ( 3 σ x + 3 σ y) 2 + 2τxy] 2 = σx 2 + σy 2 σ x σ y + 3τ xy. Sijoitetaan nyt jännitysten lausekkeet tehollisen jännityksen lausekkeeseen, ja asettamalla se yhtäsuureksi materiaalin myötörajan R e kanssa, niin saadaan α 2(L/h)2 + α2 2 α α 2 + α3 2 F h 2 = R e. Kerrotaan puolittain L 2 :lla ja järjestellään, jolloin saadaan epälineaarinen yhtälö α 2 (L/h)2 + α 2 2 α α 2 + α 2 3 (L/h)2 R e L 2 /F = 0. (2) Tästä voidaan suhde L/h ratkaista. Nopea ratkaisu (alkuarvo) saadaan kun otetaan vain huomioon taivutuksen aiheuttamat normaalijännitykset σ x, tällöin vaadittavaksi korkeudeksi saadaan ( ) 00F L /3 h 9, 3R e Sijoittamalla lukuarvot saadaan h 0, 22 m. Yhtälön (2) ratkaisu on L/h 25, 9 josta saadaan h = 0, 23 m. Täten σ y :n ja τ xy :n vaikutus on minimaalinen (mikäli laskin oikein). Kuorma on aika pieni, mikäli F = 300 kn, on ero suurempi, 0,32 m vs. 0,35 m, ja jos F = 500 kn niin tällöin vastaavat lukemat ovat 0,38 m ja 0,43 m. RAK Johdatus materiaalimalleihin - 2. harjoitus 5