Transkriptio

1 Šع½º½¼ ¼ Å Ø Ñ Ø Ò Ô ÖÙ ÙÖ Ä Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ Ã Ø Ø Ü µ 2 Ü µ 2 Ü µ 3 Ü µ.5 Ø Ü µ 3 Ü µ.5 Ø « Ü Ü ËÝ Ý ¾¼½¼

2 Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ Ë ÐØ Å Ö ÒØ ½ ½º ÂÓ ÒØÓ ½º½º Ñ Ö Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ø ½º¾º È ÖÙ ØØ Ø ¾º Ä Ò Ö Ø Ý Ø Ñ Ø ¾º½º È ÖÙ ÓÑ Ò ÙÙ Ø ¾º¾º Ä Ò Ö Ò Ò Ú Ó ÖØÓ Ñ Ò Ò Ý ØÐ ¾º º Ð Ò Ò Ð Ò Ö Ò Ò Ý ØÐ ½ ¾º º Ä ÔÐ ÑÙÙÒÒÓ Ò ÝØØ ¾ ¾º º Ä Ò Ö Ò Ý Ø Ñ Ò Ø Ð ÙÙ ¾ º Ê Ø ÙÒ ÓÐ Ñ ÓÐÓ Ý ØØ ÝÝ ¾ º½º Ñ Ö ¾ º¾º È Ö Ä Ò Ð Ø Ö Ø Ó ¾ º º Â Ø ÙÚ Ö ÔÔÙÚÙÙ Ð Ù Ó Ø ¾ º º Ê Ø Ù ÙÚ Ù Ú ÖØ Ù º Ì Ô ÒÓÔ Ø Ø Ø Ð ÙÙ º½º Ä ÔÙÒÓÚ Ò ÙÒ Ø ÓØ ¾ º¾º Ö ÒØØ Ý Ø Ñ Ø º º Ê Ø Ù Ò ÑÓØØ ÐÙ º º È Ö Ó Ø Ö Ø ÙØ º ÆÙÑ Ö Ø Å Ò Ø ÐÑØ ¾ º½º ÁÒØ ÖÔÓÐÓ ÒØ ¾ º¾º Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ö Ø ÙÑ Ò Ø ÐÑØ º º ÔÐ ØØ Ø ÊÙÒ ÃÙØØ Ñ Ò Ø ÐÑØ º º Ã Ò Ø Ø ØÚØ ÑÔÐ ØØ Ø Ñ Ò Ø ÐÑØ º º ÅÓÒ ÐÑ Ò Ø ÐÑØ º Ç ØØ ÚÙÙ Ø ÐÓ ÒØ ÄÁÁÌ Ì Ò Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò Ò

3 ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ Î ØØ Ø

4 Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ ½ Å Ö ÒØ ÆÓÖÑ Ø Î ØÓÖ Ò x,y C n ØÙÐÓ Ñ Ö ØÒ x,y = y x = n j= x jy j. ÌØ Ú Ø Ú ÒÓÖÑ Ñ Ö ØÒ x = x,x = ( n j= x j 2) 2. Å ØÖ Ò A C n n ÒÓÖÑ ÑÖ Ø ÐÐÒ A = max Ax. x = ÌÐÐ ÔØ Ax A x. AB A B, A k A k. A i,j a ij 2. ÌÓÔÓÐÓ a R n ¹ Ø ρ ¹ Ø Ø ÚÓ ÒØ ÙÐ ØØÙ Ô ÐÐÓ Ñ Ö ØÒ B ρ (a) = { x R n x a < ρ }, B ρ (a) = { x R n x a ρ }. ÂÓÙ ÓÒ Ω R n ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ ÓÒ Ω c = R n \Ω = { x R n } x Ω. Ω ÓÒ ÓÒÚ Ó ÔØ x, y Ω ( t)x+ty Ω t [,]. Ω ÓÒ ÚÓ Ò Ó x Ω ρ > Ø Ò ØØ B ρ (x) Ω. Ω ÓÒ x Ò ÝÑÔÖ Ø Ó Ω ÓÒ ÚÓ Ò x Ω. Ω ÓÒ ÙÐ ØØÙ Ó Ò ÓÑÔÐ Ñ ÒØØ ÓÒ ÚÓ Òº Ω ÓÒ Ö Ó Ø ØØÙ Ó ÓÒ ÓÐ Ñ R Ø Ò ØØ Ω B R (). Ω ÓÒ ÓÑÔ Ø Ó ÓÒ ÙÐ ØØÙ Ö Ó Ø ØØÙº Ω ÓÒ Ý Ø Ò Ò Ò Ó ÓÐ ÓÐ Ñ ÚÓ Ñ ÓÙ Ó U U 2 Ø Ò ØØ U Ω, U 2 Ω, U U 2 = Ω U U 2. Å ØÖ Ø ÇÑ Ò ÖÚÓØ Å ØÖ Ò A C n n ÓÑ Ò ÖÚÓ Ò ÓÙ Ó Ñ Ö ØÒ Λ(A) = { λ C det(λi A) = }. ÂÓ A ÓÒ ÖÑ ØØ Ò Ò A = A, Ò Ò Λ(A) R minλ(a) x Ax maxλ(a), ÐÐ x. x x ÐÐ Ò λ A ÐÐ λ Λ(A). ÄÙ Ù ρ(a) = max λ Λ(A) λ ÙØ ÙØ Ò A Ò Ô ØÖ Ð Ø º

5 ¾ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ Λ(p(A)) = { p(λ) λ Λ(A) } Ó ÐÐ ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÐ p Λ(A ) = { /λ λ Λ(A) }, Λ(e ta ) = { e tλ λ Λ(A) }. ÈØ A = max { µ µ Λ(A A) }. Ê ÓÐÚ ÒØØ ÇÐ ÓÓÒ A C n n. ÃÓÑÔÐ ÑÙÙØØÙ Ò ÙÒ Ø ÓØ λ (λi A) ÙØ ÙØ Ò A Ò Ö ÓÐÚ ÒØ º Ê ÓÐÚ ÒØØ ÓÒ Ò ÐÝÝØØ Ò Ò ÓÙ Ó (C { })\Λ(A) º ÃÙÒ λ > ρ(a) ÔØ (λi A) = λ j= λ j Aj. ÇÐ ÓÓÒ Ω C ÐÙ Ø Ò ØØ Λ(A) Ω f : Ω C Ò ÐÝÝØØ Ò Òº ÌÐÐ Ò ÑÖ Ø ÐÐÒ f(a) = f(z)(zi A) dz C n n, 2πi γ Ñ γ Ω ÓÒ Ô ÐÓ ØØ Ò Ð ÂÓÖ Ò¹ ÝÖ Ø Ò ØØ Ó Ó Λ(A) Ò ÔÙÓÐ ÐÐ º Af(A) = f(a)aº ÂÓ A B ÓÚ Ø Ñ Ð Ö Ø B = SAS Ò Ò f(b) = Sf(A)S ÂÓ f ÐÐ ÓÒ Ω ÙÔÔ Ò Ú ÔÓØ Ò Ö f(z) = j= c jz j Ò Ò ÔØ f(a) = j= c ja j º ÃÙÚ Ù Ø º ÇÐ ÓÓÒ f ÙÚ Ù R n R m. f Ò Ó ØØ Ö Ú ØØÓ Ñ Ö ØÒ f/ x i, Ø ÐÝ Ý Ø i f. ÂÓ f ÓÒ Ø ÙÚ ÓÙ Ó Ω, Ò Ò ÝØ ØÒ Ñ Ö ÒØ f C(Ω). Î Ø Ú Ø Ó f Ò Ó ØØ Ö Ú Ø Ø ÖØ ÐÙ ÙÙÒ k Ø ÓÚ Ø Ø ÙÚ Ò Ò Ñ Ö ¹ ØÒ f C k (Ω). ÇÐ ÓÓÒ f C (Ω). ÌÐÐ Ò Df(x) = f x (x) R m n Ð f Ò Ö Ú ØØ Ô Ø x ÓÒ f (x) f x... (x) x n Df(x) = º ººº º. f m(x) x... f m(x) x n Ì Ö ÑÑ Ò ÒÓØØÙÒ ØÑÒ Ñ ØÖ Ò ÑÖ ØØ Ð Ñ Ð Ò Ö ÙÚ Ù R n R m. ÌØ ÙØ ÙØ Ò ÑÝ Â Ó Ò Ñ ØÖ º ÂÓ f C, Ò Ò f(x) f(x ) = d f(x dθ +θ(x x ))dθ = Df(x +θ(x x ))dθ(x x ),

6 Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ Ó Ø ÐÐ Ò f(x) = f(x )+Df(x )(x x )+o( x x ). ÂÓ f : R R n ÓÒ Ø ÙÚ Ò Ò b f(t)dt b a f(t) dt. Ë ÑÓ Ò Ñ ØÖ Ö¹ a ÚÓ ÐÐ ÙÒ Ø Ó ÐÐ º

7 ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ ½º ÂÓ ÒØÓ ½º½º Ñ Ö Ö ÒØ Ð Ý ØРغ ÌÑ ÑÓÒ Ø ØØ Ð Ø Ú ÐÐ Ø Ò Ö¹ ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ý Ø Ñ Ò Ò Ö Ø Ù ÓÑ Ò ÙÙ º Ì Ö Ø Ð ÑÑ ÐÙ ÑÙÙØ Ñ Ñ Ö Ó Ò Ô Ð ÑÑ ÑÝ ÑÑ Ò Òº Ñ Ö ½º½ Ê Ä¹Ô Ö µº Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÙÚ Ò ÑÙ Ø Ú ÖØ Ô Ö Ñ e(t) ÓÒ Ò¹ Ò ØØÙ Ý ØØ ÒÒ Ø º Î ØÙ Ò Ò Ù Ø Ò Ò Ô Ø Ò Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ò ÑÙ Ò u R (t) = Ri(t), u L (t) = Li (t), Cu C (t) = i(t). Ã Ö Ó Ò ÒÒ Ø Ð ÒÓÓ u R (t)+u L (t)+u C (t) = e(t). Ð Ñ ÒÓ Ñ ÐÐ u R u L ÑÑ Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ý Ø Ñ Ò { u C ½º½µ (t) = i(t) C i (t) = u L C(t) R i(t)+ e(t) L L u R R i(t) e(t) L u L C u C ÌÑ ÓÒ ÑÙ Ú Ö Ó ØØ Ú ØÓÖ ÑÙÓ Ó º [ u C (t) i = C (t) L R L uc (t) Ø Ø Ò x(t) =, A = i(t) ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÐÝ Ý Ø Ñ Ö ½º¾º ][ uc (t) i(t) /C /L R/L x (t) = Ax(t)+b(t). ] [ + e(t) L ] b(t) =. e(t), ÓÐÐÓ Ò ½º½µ L ÃÙÚ Ò ÐÙÖ ÐÐ Ò Æ ÛØÓÒ Ò Ð Ò ÑÙ Ò mv (t) = mgsin(θ(t)) ÓÑ ØÖ Ø v(t) = Lθ (t) ÌØ Ò ÐÙÖ ØÓØ ÙØØ { θ (t) = ½º¾µ v(t) L v (t) = gsin(θ(t)). θ L mg v(t) mg sin θ

8 Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ [ θ(t) Å Ö ØÒ x(t) = f(x(t)) = x ] L 2(t). Æ Ò Ý Ø Ñ ÚÓ Ò Ö Ó ØØ v(t) gsin(x (t)) ÐÝ Ý Ø x (t) = f(x(t)). Ñ Ö ½º È ØÓ Ð Ñ ÐÐ µº ½ ÇÐ ÓÓÒ s(t) ÓÐÐ Ò ÐÙ ÐÐ ÐÚÒ Ð Ð Ò ÑÙ Ùµ ÔÓÔÙÐ Ø Ó ÐÙ ÙÑÖµ Ø ÐÐ t p(t) Ú Ø Ú Ø Ô ØÓÐ Ò Ù µ ÔÓÔ¹ ÙÐ Ø Óº ÇÐ Ø ÑÑ ØØ ÑÙ Ø ÑÙ ÙÒ Ý ÓÐ º ÇÐ Ø Ø Ò Ð ØØ ÑÙ Ù ÐÐ ÓÒ ÖÙÓ Ò Ö ØØÚ Ø ÓØ Ò Ó Ò Ø Ý Ø Ò Ò ÔÓÔÙÐ Ø Ó Ð ÒØÝ ÚÙ¹ Ð Ò s (t) = as(t) ÑÙ Ø Ð Ð ÒØÝÑ ÒÓÔ Ù ÓÒ ÙÓÖ Ò Ú ÖÖ ÒÒÓÐÐ Ò Ò ÔÓÔÙÐ ¹ Ø ÓÓÒº À Ù Ù Ø Ò Ò ÓÒ Ù Ò ÑÙ ÙÒ Ó Ø Ñ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÓÒ Ú ÖÖ ÒÒÓÐÐ Ò Ò s(t)p(t) Òº ÌÑ ÑÙÙØØ ÑÙ ÙÔÓÔÙÐ Ø ÓÒ Ý ØÐ Ò ÑÙÓØÓÓÒ s (t) = as(t) bs(t)p(t) Î Ø Ú Ø Ó ÑÙ Ù ÓÐ Ù ÔÓÔÙÐ Ø Ó Ú Ò Ð Ò p (t) = cp(t) ÑÙ Ø ÑÙØØ ÑÙ ÙØ Ô ØÚØ Ù Ø Ò ÑÑ Ý Ø Ñ Ò ½º µ s (t) = as(t) bs(t)p(t) p (t) = cp(t)+ds(t)p(t), Ñ a,b,c d ÓÚ Ø ÔÓ Ø Ú Ú Ó Ø º Ã Ö Ó Ø Ø Ò ØÑ Ú ØÓÖ ÑÙÓØÓÓÒ ØØ Ñ ÐÐ x(t) = (s(t),p(t)), ÓÐÐÓ Ò ½º µ x ax (t) bx (t) = (t)x 2 (t) f (x = (t),x 2 (t)) = f(x(t)). cx 2 (t)+dx (t)x 2 (t) f 2 (x (t),x 2 (t)) ½º¾º È ÖÙ ØØ Øº ½º½µ ½º¾µ ½º µ ÓÚ Ø Ñ Ö Ò ÑÑ Ò ÖØ ÐÙÚÙÒµ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ý Ø Ñ Ø Ð ÐÝ Ý Ø Ö ÒØ Ð Ý ØРغ ÇÐ ÓÓÒ f Ø ÙÚ Ù¹ Ú Ù R R n R n. ÌÐÐ Ò Ý ØÐ ½º µ x (t) = f(t,x(t)), x(t) R n ÙØ ÙØ Ò n Ñ Ò Ó Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ý Ø Ñ º ÃÓÑÔÓÒ ÒØØ ÑÙÓ Ó Ö¹ Ó Ø ØØÙÒ ØÑ ÓÒ ½º µ x (t) = f (t,x (t),x 2 (t),...,x n (t)) x 2(t) = f 2 (t,x (t),x 2 (t),...,x n (t)) º x n (t) = f n(t,x (t),x 2 (t),...,x n (t)). ÂÓ f ÔÐ ØØ Ø Ö ÔÙ t Ø ÙØ Ò Ñ Ö ½º¾ ½º Ð Ý ØÐ ÓÒ ÑÙÓØÓ x (t) = f(x(t)), Ò Ò Ý ØÐ ÙØ ÙØ Ò ÙØÓÒÓÑ º Ñ Ö ½º½ ÓÐ ÙØÓÒÓÑ Ò Ò Ñ Ð e(t) ÓÐ Ú Óµº Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ö Ø ÙÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÓÐÐ Ò ÚÐ ÐÐ (α,β) R ÑÖ Ø ÐØÝ Ø Ù¹ Ú Ø Ö ÚÓ ØÙÚ Ú ØÓÖ ÖÚÓ Ø ÙÒ Ø ÓØ x : R R n, Ó ØÓØ ÙØØ ½º µ Ò Ð¹ Ð t (α,β). Ö ÒØ Ð Ý ØÐ ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò Ô Ð ÓÒ Ö Ø Ù Ñ Ö Ý ØÐ ÐÐ ½ ÎÓÐØ ÖÖ ØØ ØÑÒ Ñ ÐÐ Ò ½ ¾¼ ÐÙÚÙÐÐ Ö ÒÑ Ö Ò ÐÓ Ò ÔÓÔÙÐ Ø Ó Ò ÓÐÐ Ò ÝØØݹ ØÝÑ Ò Ð ØØÑ º

9 ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ x = x ÓÒ Ö Ø ÙØ x(t) = ce t, Ú ÓÒ c C ÐÐ ÖÚÓ ÐÐ º ÂÓØØ Ø Ò Ý Ø¹ Ø Ò Ò Ö Ø Ù ÚÓ Ò ÒØ Ð ØÓ ÓØ ØÓØ ÙØÙÚ Ø Ú Ò Ø ØÝÐÐ Ú ÓÒ ÖÚÓÐÐ º ÌÐÐ ÙÖ ÐÐ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ô Ð Ù ÖÚÓØ ØÚ Ñ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò Ý ØÐ ½º µ Ð ÓÐÐ x(t ) = x, Ð ÒÒ Ø ØÒ Ö Ø ÙÒ Ð Ø Ô Ø º Â Ø Ó ØÙÐÐ Ò Ò ÑÒ ØØ ÓÔ Ú Ò ÓÐ ØÙ Ò ØÑ ÝÐ Ò ÑÖ Ö Ø ÙÒ Ý ØØ Ø º ÃÓÖ ÑÑ Ò ÖØ ÐÙÚÙÒ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ø ÚÓ Ò Ô Ð ÙØØ ½º ÖØ ÐÙÚÙÒ Ý Ø Ñ ÙÖ Ú Ò Ø Ô Òº ØÐ ÐÐ Ø Ø Ò ÓÐÐÓ Ò Ò y (t) = g(t,y(t),y (t),y (t)) x (t) = y(t), x 2 (t) = y (t), x 3 (t) = y (t), x (t) = x 2 (t) x 2 (t) = x 3(t) x 3(t) = g(t,x (t),x 2 (t),x 3 (t)) ( ÅÖ Ø ÐÐÒ Ú ØÓÖ ÙÒ Ø Ó f(t,x(t)) = x 2 (t),x 3 (t),g ( t,x (t),x 2 (t),x 3 (t) )), ÓÐÐÓ Ò Ð Ù¹ Ô Ö Ò Ò º ÖØ ÐÙÚÙÒ Ý ØÐ ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ½º ÖØ ÐÙÚÙÒ ÑÙÓ Ó ½º µº ÆÙÑ Ö Ø Ò Ö Ø ÙÓ ÐÑ ØÓ Ò ÝØØ ÐÐÝØØ Ù Ò ØØ Ý Ø Ñ ÓÒ ÒÒ ØØÙ ÑÙÓ¹ Ó ½º µº

10 Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ ¾º Ä Ò Ö Ø Ý Ø Ñ Ø ¾º½º È ÖÙ ÓÑ Ò Ù٠غ ÇÐ ÓÓØ A : R R n n b : R R n Ø ÙÚ ØÓ Ò ÒÓ Ò ÙÐÐ Ò t R, A(t) ÓÒ n n Ñ ØÖ b(t) n Ú ØÓÖ Ø Ò ØØ Ò Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø a i,j (t) b i (t) ÓÚ Ø Ø ÙÚ ÙÒ Ø Ó Ø i,j =,...,n. Ö ÒØ Ð Ý ØÐ ¾º½µ x (t) = A(t)x(t)+b(t) ÙØ ÙØ Ò Ð Ò Ö Ô ÓÑÓ Ò Ý ØÐ Ý Ø Ñ ¾º¾µ x (t) = A(t)x(t) Ð Ò Ö ÓÑÓ Ò Ý ØÐ º ÂÓ A Ö ÔÙ Ø ÓÒ Ý Ú Ó ÖØÓ Ñ Ò Ò Ý ØÐ º ÂÓ Ý Ø Ñ ÚÓ ØØ ÑÙÓ Ó ¾º½µ Ò Ò Ø ÙØ ÙØ Ò ÔÐ Ò Ö º Ñ Ö Ò ½º½ Ý Ø Ñ ÓÒ Ð Ò Ö Ò Ò Ô ÓÑÓ Ò Ò Òº Ñ Ö Ø ½º¾ ½º Ø ÓÚ Ø ÔÐ Ò Ö º ÃÙØ Ò ÐÐ ÐÙÚÙ Ñ Ò ØØ Ò ÓÖ ÑÑ Ò ÖØ ÐÙÚÙÒ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ø ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ½º ÖØ ÐÙÚÙÒ Ý Ø Ñ Òº ÌÐÐ Ò Ó Ð ÙÔ Ö Ò Ò Ý ØÐ ÓÒ Ð Ò Ö Ò Ò Ò Ò ÑÝ Ú Ø Ú ½º ÖØ ÐÙÚÙÒ Ý Ø Ñ ÓÒ Ð Ò Ö Ò Òº Ñ Ö Ý ØÐ ÐÐ y (t)+a 2 (t)y (t)+a (t)y (t)+a (t)y(t) = g(t) Ø Ø Ò x(t) = (y(t),y (t),y (t)) ÓÐÐÓ Ò Ò Ý Ø Ñ x (t) = y (t) y (t) = x(t)+, y (t) a (t) a (t) a 2 (t) g(t) Ó ÓÒ ÑÙÓØÓ ¾º½µº Ä Ò Ö ÐÐ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ ÐÐ ÔØ Ä Ù ¾º½º µ ÂÓ x y ÓÚ Ø Ý ØÐ Ò ¾º¾µ Ö Ø Ù α,β R, Ò Ò αx + βy ÓÒ ÑÝ ¾º¾µ Ò Ö Ø Ùº µ ÇÐ ÓÓÒ x p Ó Ò ¾º½µ Ò Ö Ø Ùº ÌÐÐ Ò x p +y ÓÒ ¾º½µ Ò Ö Ø Ù Ø ÑÐÐ Ò ÐÐÓ Ò ÙÒ y ÓÒ ¾º¾µ Ò Ö Ø Ùº ÌÓ ØÙ º µ ÇÐ ÓÓØ x y Ý ØÐ Ò ¾º¾µ Ö Ø Ù α,β R. ÌÐÐ Ò d dt (αx(t)+βy(t)) = αx (t)+βy (t) = = αa(t)x(t)+βa(t)y(t) = A(t)[αx(t)+βy(t)]. µ À Ö Ó ØÙ Ø ØÚº Ñ Ö ¾º½º ÇÐ ÓÓÒ Ý ØÐ ½º½µ R = 4, C = /6, L = /4 e(t) = e 4t. Æ ÐÐ Ò Ý Ø Ñ 6 x (t) = x(t) e 4t.

11 ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ x p = ( 4e 4t, e 4t) ÓÒ Ò Ö Ö Ø Ù 2e x 8t = e 8t x 2 = (8t+)e 8t 4te 8t ÓÚ Ø ÓÑÓ Ò Ý ØÐ Ò Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ö Ø Ù ÙØ Ò Ó ØØ Ñ ÐРй ÔÓ Ø ØÓ Ø Òº ÇÐ ÓÓÒ Ø ØØÚ Ð Ù ÓÒ x() = (, ) ØÓØ ÙØØ Ú Ö Ø Ùº ÐÐ Ò Ð Ù Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÑÙÓØÓ x = x p + c x + c 2 x 2 ÓÐ Ú Ø ÙÒ Ø ÓØ ÓÚ Ø ½º½µ Ò Ö Ø Ù º Ð Ù ØÓ ØÓØ ÙØÙÙ ÙÒ Ú ÑÑ [ 4 ]+c [ 2 ]+c 2 [ ] = [ ], Ó Ø c = 2, c 2 = x(t) = ( 4e 4t +(8t 3)e 8t, e 4t (4t 2)e 8t). ÇÒ ÙÓÑ ØØ Ú ØØ ÐÐ Ò Ò Ð Ù Ó Ú Ò Ð Ò Ö Ý Ø Ñ º ÔÐ Ò Ö ÐÐ Ñ ØÒ Ú Ø Ú ÓÐ ÚÓ Ñ º ¾º¾º Ä Ò Ö Ò Ò Ú Ó ÖØÓ Ñ Ò Ò Ý ØÐ º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ð ÑÑ Ò ÓÑÓ Ò Ø Ú Ó ÖØÓ Ñ Ø Ý ØÐ ¾º µ x (t) = Ax(t), Ñ A R n n º ÇÐ ÓÓÒ λ A Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ v Ú Ø Ú ÓÑ Ò Ú ØÓÖ Ø º Av = λv µº Ø ØÒ ¾º µ Ò Ö Ø Ù ÑÙÓ Ó x(t) = η(t)v, Ñ η ÓÒ Ð Ö ÙÒ ¹ Ø Óº Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ Ý ØÐ Ò ÑÑ η (t)v = A ( η(t)v ) = η(t)av = λη(t)v. ÌÓ Ò ÒÓ Ò Ý ØÐ ØÓØ ÙØÙÙ Ó η ÓÒ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò η (t) = λη(t) Ö Ø Ùº ÌÑÒ Ñ ØÙÒÒ ÑÑ η(t) = ce λt, Ñ c ÓÒ Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò Ú Óº Ë Ø Ò Av = λv = ce λt v ÓÒ ¾º µ Ò Ö Ø Ùº ÇÐ ÓÓÒ A ÐÐ ÓÑ Ò ÖÚÓØ λ,λ 2,...,λ k ÓÑ Ò Ú ØÓÖ Ø v,v 2,...,v k. ÌÐÐ Ò ÙÒ ¹ Ø ÓØ c e λ t v,...,c k e λ kt v k ÓÚ Ø ¾º µ Ò Ö Ø Ù ÓØ Ò Ð Ù Ò ¾º½ ÑÙ Ò ÑÝ ¾º µ x(t) = c e λ t v +c 2 e λ 2t v 2 + +c k e λ kt v k ÓÒ ¾º µ Ò Ö Ø Ùº ÂÓ ÒÝØ k = n Ó Ú ØÓÖ Ø v,v 2,...,v n ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö Ô¹ ÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ò Ò Ð Ù Ó Ø x() = x Ò Ý ØÐ c v + +c n v n = x Ð c = V x, Ñ c = (c,...,c n ), V = [ v v 2... v n]. Æ Ò Ò ¾º µ x(t) = V [ e λ ] t... e λnt V x. ÔÓÒ ÒØØ ÙÒ Ø ÓÒ ÔÓØ Ò Ö e z = z k k= ÙÔÔ Ò ÐÐ z C. ÌØ Ò ÚÓ ÑÑ k! ÑÖ Ø ÐÐ e A = e z (zi A) dz, k= k! Ak = 2πi Ñ Ô ÐÓ ØØ Ò Ð ÂÓÖ Ò¹ ÝÖ γ ÖØ Λ(A) Òº ÌÐÐ Ò ÙÖ Ú Ø ØÖ Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø γ

12 Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ Ä Ù ¾º¾º ÇÐ ÓÓØ A, B V n n ¹Ñ ØÖ V Ð ÒÒ ÐÐ Ò Òº µ ÂÓ C = V AV, Ò Ò e C = V e A V. µ ÂÓ AB = BA, Ò Ò e A+B = e A e B. µ e A = (e A ). µ e (A ) = (e A ). ÌÓ ØÙ º µ Ó ÒØÝÝ ÔÓØ Ò Ë Ø Ò e V AV = k= k! (V AV ) k, (V AV ) k = V AV V AV V AV = V A k V. lim m m k= k! (V AV ) k = lim V m m k! Ak V = V e A V. µ¹ Ó ÚÓ Ò ÝØØ ÒÓÑ Ú ÔÓØ Ò Ò (A+B) k Ð Ñ Ó A B ÓÑÑÙØÓ Ú Ø k (A+B) k k! = j!(k j)! Aj B k j. ÌØ Ò e A+B = = j= k! (A+B)k = k= ( )( A j j! j= k= B k k! k= ( k k= ) j= A j j! = e A e B. ) B k j (k j)! Î Ñ ÐÐ Ö Ú ÐÐ ÖÖÝØØ ÓÒ ÝØ ØØÝ ÙÑÑ Ò ÓÒÚÓÐÙÙØ ÓÐÐ ØÙÐÓ Ø Ù ÝÒ ØÙÐÓµ Ó ÚÓ Ò ØÓ Ø Ò Ù Ø ÓÐÐ º Ë ÔØ Ø ÑÝ Ñ ØÖ Ö Ó ÐÐ Ó A B ÓÑÑÙØÓ Ú Øº µ¹ Ó Ø ÙÖ µ Ø I = e = e A A = e A e A. µ Ø ØÒ Ö Ó ØÙ Ø ØÚ º Å ØÖ Ò ÔÓÒ ÒØØ ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÓÒ ÙÔÔ Ò Ú ÑÙØØ ÒÝØØ Ò Ð ÐØ Ð e A ÙÓÖ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Øº ÄÚ Ø Ñ ØÖ Ò D = (d,d 2,...,d n ) ÔÓØ Ò Ø ÓÚ Ø D k = (d k,d k 2,...,d k n), ÓØ Ò ÐÐ Ò e D = k= k! Dk = k= d k k! ºº º d k n k= k! = e d ºº º e dn ÌØ Ò Ý ØÐ Ø ¾º µ Ò x(t) = V e tλ V x ÐÐ Ò Ó ta = V tλv Ò e ta = V e tλ V Ý ØÐ Ò ¾º µ Ö Ø Ù x(t) = e ta x º Ì ÝØ ØØ Ò ÝÚ A Ò ÓÒ Ð Ó ØÙÚÙÙØØ º ÄÓÔÔÙØÙÐÓ ÔØ Ù Ø Ò Ò ÝÐ Ø.

13 ½¼ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ Ä Ù ¾º º Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÒ Ý ØØ Ò Ò Ö Ø Ù ÓÒ x(t) = e ta x. x (t) = Ax(t), x() = x ÌÓ ØÙ º ËÙÔÔ Ò Ú ÔÓØ Ò Ö Ó Ö ÚÓ Ø ÖÑ ØØ Ò ÓØ Ò d dt eta = d t2 (I +ta+ dt 2! A2 + t3 3! A3 +...) = = +A+tA 2 + t2 2! A3 + t3 3! A4 + = = A(I +ta+ t2 2! A2 + t3 3! A3 +...) = Ae ta. Ë Ô ( d dt e ta x ) = ( Ae ta) x = A ( e ta x ). ÌÓ Ò ÒÓ Ò x(t) = e ta x ÓÒ Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÒ Ö Ø Ùº ÇÐ ÓÓÒ x Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÒ Ó Ò Ö Ø Ù ÑÖ Ø ÐÐÒ y(t) = e ta x(t). Ö ÚÓ Ñ ÐÐ Ò y (t) = Ae ta x(t)+e ta x (t) = Ae ta x(t)+e ta Ax(t) =. Ë y ÓÒ Ú Ó Ð Ù ØÓ ÒØ y(t) = y() = x. à ÖØÓÑ ÐÐ ÔÙÓÐ ØØ Ò ØÓ Ø Ò ØØ x(t) = e ta x, ÓØ Ò Ö Ø Ù ÓÒ Ý ØØ Ò Òº ÓÒ Ð Ó ØÙÚ Ò Ñ ØÖ Ò ÔÓÒ ÒØØ ÓÒ ÐÔÔÓ Ð Ñ Ö ¾º¾º Å ØÖ Ò A = [ ] ÓÑ Ò ÖÚÓØ ÓÚ Ø λ = λ 2 =. Æ Ø Ú Ø Ú Ø ÓÑ Ò Ú ØÓÖ Ø v = [ ] v2 = [ ]. Ë Ø Ò A = V ΛV Ñ Λ = [ ], V = [ [ e e ta = V e tλ V t = = 2 e t +e t e t e t e t e t e t +e t = ] 2 ][ e t [ cosht sinht sinht cosht Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ñ Ø Ò e ta Ò ÚÓ ÝÐ Ø Ð º Å ØÖ N ÒÓØ Ò Ò ÐÔÓØ ÒØ Ó N l = ÓÐÐ Ò l. Ë ÐÚ Ø ØÐÐ Ò ÑÝ ÓÖ ÑÑ Ø ÔÓØ Ò Ø ÓÚ Ø ÒÓÐÐ º Ë Ø Ò ÔÓÒ ÒØØ ÙÒ Ø ÓÒ e tn Ö Ø ÓØ Ò e tn = l k= Ñ Ö ¾º º Å ØÖ ÓÒ Ò ÐÔÓØ ÒØØ ÐÐ N 2 = t k k! Nk = I +tn + t2 2 N2 + + tl (l )! Nl. N = N 3 =. Ë Ø Ò e tn = I +tn + t2 2 N2 = [ t t2 2 t ]. ] ].

14 Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ ½½ ÂÓ A ÓÐ ÓÒ Ð Ó ØÙÚ Ò Ò ÚÓ Ò Ù Ø Ò Ò Ñ Ð Ö ÑÙÙÒØ ÂÓÖ Ò Ò ÑÙÓ¹ ØÓÓÒ J A. ÆÝØ e tj A ÓÒ ÐÓ ÓÐÚ Ø Ñ ØÖ ÓÒ ÐÓ ÓØ ÓÓ ØÙÚ Ø ÑÙÓØÓ e tj(λ,r) ÓÐ Ú Ø Ñ ØÖ Ø º ÆÑ ÚÓ Ò Ð ÙÖ Ú Ø ÂÓÖ Ò¹ÐÓ Ó ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÐÚ Ø Ñ ØÖ Ò Ò ÐÔÓØ ÒØ Ò Ñ ØÖ Ò ÙÑÑ Ò ] λ λ J(λ,r) = λi +N =.... λ = [ λ λ... λ Ñ N r = º ÃÓ λi N ÓÑÑÙØÓ Ú Ø Ò r e tj(λ,r) = e tλi+tn = e tλ j= t j j! Nj. Ñ Ö ¾º º Å ØÖ ÐÐ [ ] A = 3 2 Ò Ñ Ð Ö ÑÙÙÒÒÓ ÂÓÖ Ò¹ÑÙÓØÓÓÒ º Ð Ò Ö Ð Ö Ò ÑÓÒ Ø µ Æ Ò ÓÐÐ Ò À Ö Ó ØÙ Ø ØÚ V AV = J A = [ ], Ñ V = [ e ta = V e tj A e V 2t = V e tj(4,2) V [ ][ e 2t ] = e 4t [ t] = 2e4t (+t) e 4t (+2t) e 2t e 4t e 2t 2te 4t e 4t ( 2t)+e 2 e 4t +e 2t. 2 2te 4t e 4t (2t )+e 2t e 4t +e 2t ½º Ç Ó Ø ØØ det(e ta ) = e t ØÖ(A). ¾º ÇÐ ÓÓÒ V C n n Ú ÒÓ ÖÑ ØØ Ò Ò V = V. ÆÝØ ØØ e tv ÓÒ ÙÒ Ø Ö Ò Ò ÐÐ t º Î Ø Ú Ø ÔÓÒ ÒØØ ÙÒ Ø Ó Ö Ð Ø Ú ÒÓ ÝÑÑ ØÖ Ø Ñ ØÖ ¹ Ø ÓÒ ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ò Òº Ê Ð ÐÐ Ñ ØÖ ÐÐ A ØØ ÓÐÐ ÓÑÔÐ ÓÑ Ò ÖÚÓ ÓØ ÒØÝÚØ Ð Ø¹ ØÓÐÙ ÙÔ Ö Ò α ± iβ. ÂÓ w = u + iv ÓÒ ÓÑ Ò ÖÚÓ λ = α + iβ Ú Ø Ú Óѹ Ò Ú ØÓÖ Ò Ò Aw = λw, ÓØ Ò w = u iv Ú Ø ÓÑ Ò ÖÚÓ λ = α iβ. Ì ØÚÒ x = Ax Ö Ö Ø Ù ÓÒ x(t) = c e λt w +c 2 e λt w. Ð Ò ÐÙØ Ò Ö Ð Ò Ò Ö Ø Ùº ØÐ Ò A(u + iv) = (α + iβ)(u + iv) Ö Ð Ñ Ò Ö Ó Ø Ò Au = αu βv α β ¾º µ Ð A[u v] = [u v]. Av = βu+αv β α ].

15 ½¾ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ ÌØ Ò Ô Ò Ò Ð ÙÒ Ð Ò ÑÑ Ö Ø ÙÒ Ö Ó ØÙ Ø ØÚµ cos(βt) sin(βt) x(t) = e αt [u v] c. sin(βt) cos(βt) Ã ÙÐÓØØ Ñ Ö º Ì Ö Ø ÐÐ Ò ØÝÝÔÔ Ø Ô Ù Ý ØÐ Ø x = Ax. Æ Ñ A x(t) Λ(A) ÃÙÚ Ä e t x() {,} Æ ÐÙ e t x() {, } Ë ØÙÐ e t e t x() {,} Ò Öº Ð e t te t e t x() {,} Ã Ù cos(t) sin(t) x() sin(t) cos(t) { i,i} Ô Ø º Ó Ù cos(t) sin(t) e t x() sin(t) cos(t) {±i} ËØ Ð Ó Ù cos(t) sin(t) e t x() { ±i} sin(t) cos(t) Ì Ö Ø ØØ ÒÒ ØÙØ x(t) Ø ÓÚ Ø Ö Ø Ù º

16 Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ ½ ÃÚ Ð Ø Ø Ú Ø Ö Ø Ù Ò ÐÙÓÒÒ ÑÖÝØÝÝ A Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ Ø º Ö ØÝ Ø Ê Ð Ø ÓÑ Ò ÖÚÓØ ÇÚ Ø Ó ÔÓ Ø Ú Ø Ò Ø Ú Ø Ú Ö Ñ Ö Ø ÇÒ Ó ¹ØÖ Ú Ð ÂÓÖ Ò ÐÓ Ó ÃÓÑÔÐ Ø ÓÑ Ò ÖÚÓØ ÇÒ Ó Ö Ð Ó ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ò Ø Ú Ò Ò Ú ÒÓÐÐ Ë ÙÖ Ú Ñ Ö Ø Ô Ù Ø ÒØÝÚØ Ñ Ò ÚÒÒ ØØÝ Ò Ñ Ö ¾º Ä µº Å ØÖ ÐÐ A = ÓÒ ÓÑ Ò ÖÚÓØ λ 2 =, λ 2 = 2 ÓÑ Ò Ú ØÓÖ Ø v = (, ), v 2 = (, ). ÎÓ ÑÑ Ö Ó ØØ A = V ΛV, Ñ Λ =, V = [ v 2,v 2] =, ÓÐÐÓ Ò e e ta = V e Λt V t e t e = e 2t = 2t e t e 2t. Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÒ x = Ax, x() = x Ö Ø Ù ÓÒ Ø Ò e t e x(t) = 2t e t a e e 2t = t (a a 2 )+e 2t a 2 a 2 e 2t a 2 Ë ÙÖ Ú ¾º ÙÚ ÓÒ ÑÙÙØ Ñ Ö Ø Ù ÝÖ Ö Ð Ù ÖÚÓ ÐÐ º ÌÐÐ Ý Ø Ñ Ð¹ Ð Ö Ø ÙØ ÙÐ Ú Ø ÓÖ Ó Ø ÔÓ Ô Òº A Ò ÓÑ Ò ÖÚÓØ ÓÚ Ø ÔÓ Ø Ú Øº ÌØ ÙØ ÙØ Ò Ð Ø º. x 2 x x x ¾º Ä ¾º Æ ÐÙ 2 Ñ Ö ¾º Æ ÐÙµº Å ØÖ ÐÐ A = ÓÒ ÓÑ Ò ÖÚÓØ λ 2 = 3 λ 2 = ÓÑ Ò Ú ØÓÖ Ø v = (, ), v 2 = (, ). ÃÙØ Ò ÐÐ Ñ Ö ÑÑ e e ta 3t /2 /2 e = e t = /2 /2 t +e 3t e t +e 3t 2 e t +e 3t e t +e 3t -

17 ½ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÐÐ x = Ax, x() = x Ö Ø ÙÒ x(t) = 2 e t (a a 2 )+e 3t (a +a 2 ) e t (a a 2 )+e 3t (a +a 2 ) ÌÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ ÓÑ Ò ÖÚÓØ ÓÚ Ø Ò Ø Ú Ø ÓØ Ò Ö Ø ÙØ ÙÐ Ú Ø ÓÖ ÓÓÒ Ô Ò º ¾º ÙÚ ÝÐеº ÌØ ÙØ ÙØ Ò Ò ÐÙ º. ÃÝ ÝÑÝ Å ÙÚ ¾º ÓÒ ÝÑÑ ØÖ ÑÔ Ù Ò ÙÚ ¾º Î Ø Ù ÃÓ ÓÑ Ò Ú ØÓÖ Ø ÓÚ Ø ÓÖØÓ ÓÒ Ð Øº Ñ Ö ¾º Ë ØÙÐ µº Å ØÖ ÐÐ 2 A = 4 ÓÒ Ö Ñ Ö Ø ÓÑ Ò ÖÚÓØ λ = 2 λ 2 = 3 ÓÑ Ò Ú ØÓÖ Ø v = (,4 ) ( ), v 2 =,. ÃÙØ Ò ÐÐ ÑÑ e e ta = 2t +4e 3t e 2t e 3t 5 4e 2t 4e 3t 4e 2t +e 3t Ð Ù ØÓ x() = x ÒØ Ö Ø ÙÒ e x(t) = 2t (a +a 2 )+e 3t (4a a 2 ) 5 e 2t (4a +4a 2 )+e 3t. ( 4a +a 2 ) x x ÌÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ Ö Ø ÙØ ÙÐ Ú Ø ÓÖ ÓÓÒ Ô Ò v - Ò ÙÙÒØ Ø ÙÓÖ Ô Ø Ò ØÒ¹ ¾º Ë ØÙÐ ØÝÚØ ÝÑÔØÓÓØØ Ø v 2 Ò ÙÙÒØ Òº 9 8 Ñ Ö ¾º Ô Ø Ð Ó Ù µº Å ØÖ ÐÐ A = ÓÒ ÓÑÔÐ Ò Ò ÓÑ ¹ 6 7 [ Ò ÖÚÓÔ Ö λ,2 = ± 8i. Î ØÓÖ Ø u = v = ØÓØ ÙØØ Ú Ø Ý ØÐ Ø ¾º µ ] 2 ÓØ Ò x(t) = e t (c c 2 )cos(8t)+(c +c 2 )sin(8t). 2c 2 cos(8t)+2c sin(8t) Ð Ù ÖÚÓÒ x() = a ØÓØ ÙØØ Ú Ö Ø Ù Ò x(t) = e t a cos(8t)+(a a 2 )sin(8t) a 2 cos(8t)+(2a a 2 )sin(8t). -.5 ÌÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ Ö Ø ÙØ ÙÐ Ú Ø Ô Ö Ð Ñ Ø ÓÖ Ó Ø ÔÓ Ô Òº ËÝ Ø Ñ ÙØ Ù¹ Ø Ò Ô Ø Ð Ó Ù º A Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ Ò Ö Ð Ó Ø ÓÚ Ø ÔÓ Ø Ú Øº Ë ÙÖ Ú Ò ¾º ÙÚ Ò ÓÒ Ô ÖÖ ØØÝ Ø Ö Ð Ù ÖÚÓ Ø Ð Ø ÚØ Ö Ø Ù ÝÖغ

18 Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ ½ x 2 x x x ¾º Ô Ø Ð Ó Ù ¾º ËØ Ð Ó Ù [ [ 3 2 Ñ Ö ¾º ËØ Ð Ó Ù µº Å ØÖ A = Ú ØÓÖ Ø u = v = ] ] ØÓØ ÙØØ Ú Ø Ý ØÐ Ø ¾º µ ÓÑÔÐ ÐÐ ÓÑ Ò ÖÚÓÔ Ö ÐÐ λ,2 = 2 ±i. ÃÙØ Ò ÐÐ Ö Ø Ù x(t) = e 2t a cost+( a +2a 2 )sint a 2 cost+( a +a 2 )sint ØÓØ ÙØØ Ð Ù ÓÒ x() = a. ÌÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ Ö Ø ÙØ ÙÐ Ú Ø Ô Ö Ð Ñ Ø ÓÖ ¹ ÓÓÒ Ô Òº ËÝ Ø Ñ ÙØ ÙØ Ò Ø Ð Ó Ù º A Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ Ò Ö Ð Ó Ø ÓÚ Ø Ò Ø Ú Øº ÐÐ ÓÐ Ú Ò ¾º ÙÚ Ò ÓÒ Ô ÖÖ ØØÝ ½½ Ö Ð Ù ÖÚÓ Ø Ð Ø ÚØ Ö Ø Ù ÝÖغ ÀÙÓÑ ØØ ØÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ Imλ / Reλ = /2 ÓÒ Ô Ð ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ù Ò ÐÐ Ñ Ö Ñ Ú Ø Ú Ù ÓÐ 8. Ì Ø Ó ØÙÙ ØØ Ö Ø ÙØ ÖØÚØ Ú ÑÑÒº Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÝÐ Ø 2 2 Ñ ØÖ A. ÌÑÒ ÓÑ Ò ÖÚÓØ Ò Ý ØÐ Ø Ñ λ 2 (a +a 22 )λ+a a 22 a 2 a 2 = Ð λ 2 ØÖ(A)λ+det(A) =, ØÖ(A) = a +a 22 ÓÒ A Ò Ð ØÖ µ = A Ò ÐÚ Ø Ð Ó Ò ÙÑÑ = A Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ Ò ÙÑÑ det(a) = a a 22 a 2 a 2 ÓÒ A Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ = A Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ Ò ØÙÐÓº ÇÑ Ò ÖÚÓØ ÓÚ Ø λ,2 = 2 ØÖ(A)± 4 ØÖ(A)2 det(a). ÇÑ Ò ÖÚÓØ ÓÚ Ø ÓÑÔÐ Ø ÙÒ Ö Ñ Ò ÒØØ D = 4 ØÖ(A)2 det(a) ÓÒ Ò Ø ¹ Ú Ò Ò ÑÙÙØ Ò Ö Ð Øº ÇÑ Ò ÖÚÓ ÓÒ Ò ÖØ Ò Ò ÙÒ D =. Ë ÙÖ Ú ÙÚ ÔÝÖ Ð ØØÑÒ Ò Ò Ý Ø Ý º ËØ Ð Ø Ö Ó ØØ Ø ØØ Ö Ø ÙØ ÚØ Ô Ò ÓÖ Ó Ø º Ì Ò Ô Ð ÑÑ ÑÝ ÑÑ Òº -

19 ½ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ det(a) D= stabiili fokus epastabiili fokus D< nielu stabiili epastabiili lahde tr(a) D> Ñ Ö ¾º½¼ ËÔ Ö Ð R 3 µº Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÐÓÔÙ ÙÐÓØØ Ø Ñ Ö satula A = ÌÐÐ ÓÒ ÓÑÔÐ Ò Ò ÓÑ Ò ÖÚÓÔ Ö λ,2 = 6 ± 8i, Ú Ø Ú Ø Ú Ò ¾º µ ÑÙ Ø Ú ØÓÖ Ø u = (,,) v = (,,), Ý Ö Ð Ò Ò ÓÑ Ò ¹ ÖÚÓ λ 3 = 3 Ú Ø Ú ÓÑ Ò Ú ØÓÖ w = (,,4). ÅÙÓ Ó Ø Ø Ò Ñ ØÖ V = [u v w] =, 4 ÓÐÐÓ Ò A = V BV, Ñ B = x w x 3 v x 2 u ÂÓ y ÓÒ Ý Ø Ñ Ò y (t) = By(t) Ö Ø Ù Ò Ò x = V y ÓÒ Ý ØÐ Ò x (t) = Ax(t) Ö Ø Ùº Ò ÑÑ Ò Ö Ø ÙØ Ð Ù ÖÚÓÐÐ y() = a ÓÚ Ø y(t) = e6t (a cos(8t)+a 2 sin(8t)) e 6t (a 2 cos(8t) a sin(8t)), a 3 e 3t

20 Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ ½ ÓØ Ò Ð ÑÑ ÐÐ Ò a e 6t ( cos(8t) sin(8t))+a 2 e 6t (cos(8t) sin(8t)) x(t) = a e 6t (cos(8t) sin(8t))+a 2 e 6t (cos(8t)+sin(8t)) a 3 e 3t. e 6t (a cos(8t)+a 2 sin(8t))+4a 3 e 3t Ì ØÚ ¾º½º ÌÙØ ÙÖ Ú Ø Ò ÖÓ ØÙÒ Ø Ø Ô Ù Ø Ð e ta 2 µ A = µ A = µ A = 4 µ A =. ÌÑ ÓÐ ÓÒ Ð Ó ØÙÚ º Î Ø ÓÑ Ò ÖÚÓ λ, 3 ÓÑ Ò Ú ØÓÖ u Ú ØÓÖ v Ø Ò ØØ Av = λv +u, ÓÐÐÓ Ò A J(λ,2). ¾º º Ð Ò Ò Ð Ò Ö Ò Ò Ý ØÐ º Ë ÖÖÝØÒ ÒÝØ Ø Ö Ø Ð Ñ Ò ÝÐ Ø Ð Ò Ö Ø Ð Ù Ö¹ ÚÓØ ØÚ ¾º µ x (t) = A(t)x(t)+b(t), x(t ) = x. Ì Ö Ø ÐØ Ú Ò ÐÑ Ò Ñ ÐÐ ÓÒ Ù Ò ÙÓÖ Ò ØÐÐ Ø ÑÙÓØÓ Ø Ò Ô ÝØÒ Ø Ö Ø Ð ¹ Ñ ÐÐ ÝÐ Ò ÔÐ Ò Ö Ò Ý Ø Ñ Ò ÝØØÝØÝÑ Ø ÓÒ ÙÒ Ô Ø Ò Ð Ø º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ A b ÓÚ Ø Ø ÙÚ Ñ ØÖ»Ú ØÓÖ ÖÚÓ ÙÒ Ø Ó Ø º Ì Ö Ó ØÙ ÓÒ Ø ÐÐ Ø Ò Ø ØÚÒ Ð ØØÝÚ ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ñ ØÖ ÓÒ ÚÙÐÐ Ö Ø Ù ÚÓ Ò Øغ Ä Ù ¾º º Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÐÐ ¾º µ ÓÒ ÓÐ Ñ Ý ØØ Ò Ò Ö Ø Ùº ÑÑ ØÓ Ø ØØ Ø ÐÐ Ð Ù ¾º ÙÖ ÑÝ ÑÑ Ò ØÓ Ø ØØ Ú Ø ÝÐ ÑÑ Ø Ð Ù Ø º½º Ì Ö Ø Ð ÑÑ Ò Ò Ñ Ø Ö ØÝ Ø Ý ØÐ Ò Ð Ò Ö ÙÙ ÒØ Ö Ø Ù¹ Ò ØÝ Òº ÐÓ Ø Ø Ò ÓÑÓ Ò Ý ØÐ Ø ¾º µ x (t) = A(t)x(t). Ä Ù ¾º º ÇÐ ÓÓØ v,v 2,...,v k R n Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ÙÐÐ Ò j =,...,k ÓÐ ÓÓÒ x j Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÒ (x j ) (t) = A(t)x j (t), x j (t ) = v j Ö Ø Ùº ÌÐÐ Ò Ú ØÓÖ Ø x (s),x 2 (s),...,x k (s) ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ó Ð¹ Ð s R. ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ s R Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò ÓÐ ÓÓØ c,...,c k R Ø Ò ØØ ¾º µ c x (s)+c 2 x 2 (s)+ +c k x k (s) =. Ø Ø Ò y(t) = c x (t)+ +c k x k (t). ÌÐÐ Ò y(s) = Ó ÐÐ t : y (t) = c (x ) (t)+ +c k (x k ) (t) = c A(t)x (t)+ +c k A(t)x k (t) = = A(t)[c x (t)+ +c k x k (t)] = A(t)y(t). ÆÝØ Ð Ù Ò ¾º Ô ÖÙ Ø ÐÐ y(t) = ÐÐ t, Ö ØÝ Ø = y(t ) = c v + +c k v k.

21 ½ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ Î ØÓÖ Ø v,v 2,...,v k ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ÓØ Ò ÓÒ ÓÐØ Ú c = c 2 = = c k =. Ë Ô x (s),...,x k (s) ÓÚ Ø Ð Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øº Ì Ø Ð Ù Ø Ò ÙÖ Ú ÓÑÓ Ò Ò Ý ØÐ Ò Ö Ø Ù Ò ÓÙ Ó ÓÒ n Ñ Ò Ó Ò Ò Ð Ú ÖÙÙ Ð Ò Ú ØÓÖ ÖÚÓ Ø Ò ÙÒ Ø Ó Ò ÓÙ Ó º ÌØ Ú ÖØ Ò Ø Ö Ø Ð¹ Ð Ò Ð Ù ØØ Ø Ô Ù k = n v j = e j, j =,...,n e j i = δ i,j µº ÇÐ ÓÓÒ t R ÒÒ Ø ØØÝ ÙÐÐ Ò j ÓÐ ÓÓÒ x j Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÒ (x j ) (t) = A(t)x j (t), x j (t ) = e j Ö Ø Ùº ÅÖ Ø ÐÐÒ Ý Ø Ñ Ò ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ñ ØÖ Φ(t,t ) = [ x (t) x 2 (t)... x n (t) ], ÓÐÐÓ Ò ÐÐ Ò Ð Ù Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Φ(t,t ) ÓÒ ÒÒ ÐÐ Ò Ò ÐÐ t. ÅÖ Ø ÐÑ Ø Ò Φ(t,t ) = I Φ(t,t ) t = [ (x ) (t)... (x n ) (t) ] = [ A(t)x (t)... A(t)x n (t) ] = = A(t) [ x (t)... x n (t) ] = A(t)Φ(t,t ). ÌØ Ò Φ Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ ÚÓ ÑÝ ØØ ÑÙÓ Ó Ñ ØÖ Ò A ÑÖÑ ÙÒ Ñ Ò¹ Ø Ð Ñ ØÖ Φ ÓÒ Ò Ö Ð ÑÙÙØØÙ Ò Ñ ØÖ ÖÚÓ Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ó Ò ÑÑ Ò ÑÙÙØØÙ Ò Ù Ø Ò ØÓØ ÙØØ Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÒ Φ(t,t ) ¾º½¼µ = A(t)Φ(t,t ), Φ(t,t ) = I. t ÌÑÒ ÚÙÐÐ ÑÑ Ø Ä Ù ¾º º Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÒ Ö Ø Ù Ò x(t) = Φ(t,t )x. x (t) = A(t)x(t), x(t ) = x, ÂÓ A ÓÒ Ú ÓÑ ØÖ Ò Φ(t,s) = e (t s)a. ÂÓ ÐÐ t,τ ÔØ A(t)A(τ) = A(τ)A(t) ØÓ Ò ÒÓ Ò ØØ A Ò ÖÚÓØ Ö Ô Ø ¹ ÓÑÑÙØÓ Ú Ø Ò Ò ØÐÐ Ò ÔØ Φ(t,s) = e t s A(τ)dτ. ÌÑ ÓÒ ÑÙ Ú ØÓ Ø ÒÙ¹ Ñ Ö Ñ Ò Ø ÐÑ ÝØØ Ò ÑÝ ÑÑ Òµº ÃÙ Ø Ò Ò ØÐÐ Ò Ò Ø Ð ÒÒ ÓÒ Ú Ö Ò ÖÚ¹ Ò Ò Ò ÓØ Ò ØÐÐ ØÙÐÓ ÐÐ ÓÐ ÝØÒÒ Ò Ñ Ö ØÝ Øº ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ñ ØÖ ÐÐ ÓÒ ÐÐ Ò ÙÖ Ú Ø ÓÑ Ò Ù٠غ ÂÓ s R, Ò Ò ÃÓ x ÓÒ Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò ÓÒ ÓÐØ Ú x(t) = Φ(t,s)x(s) = Φ(t,s)Φ(s,t )x Φ(t,s)Φ(s,t ) = Φ(t,t ) ÐÐ t,s,t R. Ö ØÝ Ø Φ(t,s) = Φ(t,t )Φ(s,t ), ÙÒ t = t, Ò Φ(s,t) = Φ(t,s). Ì ØÚ ¾º¾º ÆÝØ Φ(t,s) s = Φ(t,s)A(s).

22 Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ ½ Ë ÖÖÝØÒ ÒÝØ Ø Ö Ø Ð Ñ Ò ÝÐ Ø Ð Ò Ö Ø Ý ØÐ ¾º µº ÌÑÒ Ö Ø Ù ÚÓ Ò Ö Ó ØØ Φ Ò ÚÙÐÐ º Ä Ù ¾º º ÇÐ ÓÓÒ Φ Ñ ØÖ Ò A ÑÖÑ ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ñ ØÖ º ÌÐÐ Ò ¾º½½µ x(t) = Φ(t,t )x + ÓÒ Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÒ ¾º µ Ö Ø Ùº t t Φ(t,s)b(s) ds ÌÓ ØÙ º Ë ÐÚ Ø x ØÓØ ÙØØ Ð Ù ÓÒº Ë ØØ Ò ÙÓÖ ÐÐ Ð ÙÐÐ x (t) = t Φ(t,t )x +Φ(t,t)b(t)+ t t t t Φ(t,s)b(s) ds = = A(t)Φ(t,t )x +b(t)+ A(t)Φ(t,s)b(s) ds = t ( t ) = A(t) Φ(t,t )x + Φ(t,s)b(s) ds +b(t) = A(t)x(t)+b(t). t ÃÙÒ A ÓÒ Ú ÓÑ ØÖ Ò Ò Φ(t,s) = e (t s)a, ÓÐÐÓ Ò ¾º½½µ ÑÙÓ ÓÒ ¾º½¾µ x(t) = e (t t )A x + t t e (t s)a b(s) ds. Ñ Ö ¾º½½º ÇÐ ÓÓÒ Ö Ø Ø Ú Ò Ð Ù ÖÚÓØ ØÚ 4 65cost x (t) = Ax(t)+b(t) = x(t)+ 2 3 ÇÑ Ò ÖÚÓ Ò Ú ØÓÖ Ò ÚÙÐÐ Ò 2 A = V ΛV = 2 5 3, x() = 2, 5 ÓØ Ò Ú t eas cos(s) ds = (e at (sint+acost) a), ÒØ +a 2 5 t 65 x(t) = V 3 etλ + V e 25 (t s)λ coss ds = 3 3 [ 5e = V 2t 65 ] 3 25e 5t + V +4 (sint+2cost 2e 2t ) 3 3 = +25 (sint+5cost 5e 5t ) 3sint+26cost 2e = V 2t 6sint+7cost = 7e 3 5sint+25cost 2t sint+9cost. ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ñ ØÖ Ò Ø ÑÓ ÒØ º Ð Ò Ò Ð Ò Ö Ò Ò Ý Ø Ñ º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ý Ø Ñ Ò x (t) = A(t)x(t) Ð ØØÝÚ ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ñ ØÖ Φ º ¾º½¼µµº Ä Ù ¾º º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ A C n n ØÓØ ÙØØ Re A(t)x,x µ x 2, ÐÐ x C n, t t. ÌÐÐ Ò Φ(t,t ) e (t t )µ, ÙÒ t t.

23 ¾¼ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ ÌÓ º ÇÐ ÓÓÒ x(t) = Φ(t,t )x u(t) = x(t) 2 = x(t),x(t). ÌÐÐ Ò u (t) = A(t)x(t),x(t) + x(t),a(t)x(t) = 2 Re A(t)x(t),x(t) 2µ x(t) 2 = 2µu(t), ÓØ Ò d dt log(u(t)) = u (t) u(t) 2µ. ÁÒØ ÖÓ Ñ ÐÐ Ò log(u(t)) log(u(t )) 2(t t )µ Ð u(t) u(t )e 2(t t )µ, ÓØ Ò Φ(t,t )x e (t t )µ x. Æ Ò Φ(t,t ) e (t t )µ. Ë ÙÖ Ù ¾º º ÇÐ ÓÓØ A µ ÙØ Ò ÝÐк Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ð Ù ÖÚÓØ ØÚ ÌÐÐ Ò x (t) = A(t)x(t)+b(t), x(t ) = x. x(t) e (t t )µ x + t t e (t s)µ b(s) ds, t t. Ö ØÝ Ø Ó µ < b(t) M, t t, Ò Ò x(t) x + M µ, t t. ÌÓ º À Ö Ó ØÙ Ø ØÚ º Ð Ù ¾º µº Î Ó ÖØÓ Ñ Ò Ò Ý Ø Ñ º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ñ ØÖ Ò A C n n ÑÖÑ Ý Ø Ñ x (t) = Ax(t). Å ØÖ Ò e ta ÒÓÖÑ Ò Ð Ñ Ò Ò ÓÒ Ñ Ð Ó Ò Ð º Ì ØÚ ¾º º Ä e ta, ÙÒ A = [ a ]. ÅÖ Ø ÐÐÒ Ø Ú ÐÙ Ù ¾º½ µ ¾º½ µ α(a) = max λ Λ(A) Reλ, µ(a) = max x = Re Ax,x. ÄÙ Ù α(a) ÙØ ÙØ Ò A Ò Ô ¹ ØÖ Ð µ(a) ÓÒ A Ò ÐÓ ¹ Ö ØÑ Ò Ò ÒÓÖÑ º Î Ö Ò Ò ÙÚ ÓÒ Ñ ¹ ØÖ ÐÐ A = i 2 4 2i i 2 4 i 2 3 i. Ï µ λ λ 2 λ 3 α( ) A Ü Ü Ü ½ λ 4 µ( A) ÂÓÙ Ó W(A) = { Ax,x x C n, x = } ÓÒ Ñ ØÖ Ò A ÖÚÓ ÒØØ Ð Ó Ú ÐÙ µº Ë ÐÚ Ø Λ(A) W(A), ÓØ Ò α(a) µ(a). Ç Ó ØØ ÙØÙÙ ØØ W(A) ÓÒ Ò ÓÒÚ ØÓ ØÙ Ú µº

24 Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ ¾½ Æ Ò ÑÝ Re Ax,x = 2 ( Ax,x + x,ax ) = Sx,x, Ñ S = 2 (A+A ). ÌØ ÙØ ÙØ Ò A Ò À ÖÑ ØØ Ó º ÃÓ S ÓÒ ÖÑ ØØ Ò Ò Ò ÓÑ Ò ÖÚÓØ ÓÚ Ø Ö Ð Øº Ä Ò Ö Ð Ö Ò Ó ÙÙ Ø ÑÙ Ø ÑÑ ØØ ÖÑ ØØ ÐÐ Ñ ØÖ ÐÐ ÔØ min λ Sx,x max λ ÐÐ x, λ Λ(S) x,x λ Λ(S) Ð ¹ ÝÐÖ Ø ÚÙØ Ø Ò Ú Ø Ú ÐÐ ÓÑ Ò Ú ØÓÖ ÐÐ º ÌØ Ò µ(a) ÓÒ S Ò ÙÙÖ Ò ÓÑ Ò ÖÚÓº Ì ØÚ ¾º º ÐÐ ÑÖ Ø ÐØÝ µ ÓÐ Ú Ö Ò Ò Ò ÒÓÖÑ ÚÓ Ñ Ö ÓÐÐ Ò Ø ¹ Ú Ò Òµº ÆÝØ ØØ Ù Ø Ò Ò ØÓØ ÙØØ µ(ca) = cµ(a), ÙÒ c, µ(a+b) µ(a)+µ(b). ËÔ ØÖ Ð ÐÓ Ö ØÑ Ò Ò ÒÓÖÑ ÓÚ Ø Ø Ú ÖÚ Ó Ø Ö Ø Ù Ò ÚÙ Ä Ù ¾º½¼º à ÐÐ t ÔØ e tα(a) e ta e tµ(a). ÌÓ º ÃÓ Λ(e ta ) = { e tλ λ Λ(A) }, Ò Ò e ta e tλ = e treλ ÐÐ λ Λ(A) ÓØ Ò e ta e tα(a). e ta e tµ(a) ÙÖ ÙÓÖ Ò Ð Ù Ø ¾º º Ä ÑÑ ¾º½½º ÂÓ α(a) <, Ò Ò lim e ta =. t ÌÓ º ÇÐ ÓÓÒ A Ò ÂÓÖ Ò¹ÑÙÓØÓ ÌÐÐ Ò J A = V AV = e ta = V e tj A V = V [ J(λ,r )... J(λ q,r q) ]. [ e tj(λ,r ] )... e tj(λq,rq) V, ÓØ Ò Ö ØØ ÒÝØØ ØØ lim t e tj(λ,r) =, ÙÒ Reλ <. Å ØÖ Ò e tj(λ,r) ÒÓÐÐ Ø ÔÓ Ú Ø Ð ÓØ ÓÚ Ø ÑÙÓØÓ tj j! eλt. ÆÑ Ð ØÝÚØ ÒÓÐÐ ÐÐ lim t t j e δt = ÐÐ j R, ÙÒ δ >. Ä ÑÑ ¾º½¾º à ÐÐ β > α(a) ÓÒ ÓÐ Ñ K β Ø Ò ØØ e ta K β e tβ, t. ÌÓ º ÃÙÒ β > α(a), Ò Ò α(a βi) = α(a) β <, ÓØ Ò Ð ÑÑ Ò ¾º½½ Ô ÖÙ Ø ÐÐ lim t e t(a βi) =. Ë ÓÒ ÓÐ Ñ K β = max t e t(a βi). ÆÝØ e t(a βi) = e tβ e ta, ÓØ Ò e ta K β e tβ, t.

25 ¾¾ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ 3 Ë ÙÖ Ú Ð ÑÑ ÒÓÓ ØØ Ô Ò ÐÐ t Ð Ù Ò ¾º½¼ ÝÐÖ ÓÒ Ó ÑÔ ÙÒ Ø ÙÙÖ ÐÐ t Ð Ö ÓÒ Ø Ö ÑÔ º Î Ö Ò Ò ÙÚ ÓÒ Ñ ØÖ ÐÐ 2 A =, 2 ÓÐÐ α = 2 µ = 4 ( 7 3). Ì β = Ã Ø Ø Ø «Ø Ä ÑÑ ¾º½ º lim t t log eta = µ(a) lim t t log eta = α(a). Ì Ø Ó ØÙ Ò µ ÐÐ ÓÒ Ò Ñ ÐÓ Ö ØÑ Ò Ò ÒÓÖÑ º ÌÓ º ÇÐ ÓÓÒ µ = µ(a) x =, Ñ Sx = µx x(t) = e ta x = x +tax +O(t 2 ). ÌÐÐ Ò Æ ÒÔ x(t) 2 = +t x,ax +t Ax,x +O(t 2 ) = +2tµ+O(t 2 ). log e ta log x(t) = 2 log(+2tµ+o(t2 )) = tµ+o(t 2 ) liminf t + t log eta µ. ÌÓ ÐØ Ð Ù Ò ¾º½¼ Ô ÖÙ Ø ÐÐ t log eta µ, ÓØ Ò Ò ÑÑ Ò Ò Ú Ø ÓÒ ÒÝØ ØØݺ Ä Ù ¾º½¼ ÒÓÓ α(a) t log eta, ÓØ Ò Ö ØØ ÒÝØØ ØØ Ö ¹ ÖÚÓÐÐ ÙÒ t, ØÑ ÓÒ ÑÝ ÝÐÖ º Ä ÑÑ Ò ¾º½¾ Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÒÒ ØÙÐÐ β > α(a) Ð ÝØÝÝ K Ø Ò ØØ e ta Ke tβ, t. ÌÐÐ Ò lim sup t t log eta (logk +tβ) = β. t ÃÓ ØÑ ÔØ ÐÐ β > α(a), Ò Ú Ø º Ä ÑÑ ÒÓÓ Ô Ò ÐÐ t : ÙÙÖ ÐÐ t : e ta e tµ(a) e ta e tα(a) ÀÙÓÑ ÙØÙ ¾º½º ÆÝØ ØÒ Ú Ð ØØ Ø Ö ÔÔÙÚ Ò Ð Ò Ö Ý Ø Ñ Ò ÝØØÝØÝÑ ¹ Ò Ò ÚÓ ÔÓ Ø Ð Ù Ò ¾º½¼ Ø Ð ÒØ Ø Ñ Ð Ó Ø º ÇÐ ÓÓÒ A C n n Ø R n n µ Ñ Ð ¹ Ú ÐØ Ò Òº ÃÓÒ ØÖÙÓ Ò Ñ ØÖ Ã(t) ÓÐÐ ÔØ µ µ Ã(t) A ÐÐ t, ÓÐÐÓ Ò Λ(Ã(t)) = Λ(A) α(ã(t)) = α(a). µ(ã(t)) µ = µ(a) ÐÐ t.

26 Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ ¾ µ Ã Ø Ú Ø Ú ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ñ ØÖ ØÓØ ÙØØ Φ(t,t ) = e (t t )µ. ÌØ Ò ÒÓÖÑ ÔÝ ÝÝ ÝÐÖ ÐÐ Ö ÔÔÙÑ ØØ Ø Ñ α(ã(t)) ÓÒº ÃÓÒ ØÖÙÓ Ò Ã ÙÖ Ú Ø º Ã Ö Ó Ø Ø Ò A = X + iy, Ñ X = 2 (A + A ) Y = 2i (A A ). ÌÐÐ Ò X Y ÓÚ Ø ÖÑ ØØ º Å ØÖ e ity ÓÒ ÙÒ Ø Ö Ò Ò ÐÐ ( e ity ) e ity = e ity e ity = e ity +ity = I. Ø Ø Ò Ã(t) = eity Ae ity. ÌÑ ÓÒ A Ò ÙÒ Ø Ö Ò Ò Ñ Ð Ö ÑÙÙÒÒÓ ÓØ Ò ØÓ µ ÓÒ ÚÓ Ñ º ÐÐ Ò Re Ã(t)x,x = Re e ity Ae ity x, x = Re Ae ity x, e ity x µ e ity x 2 = µ x 2, ÓØ Ò µ ÔØ º ÇÐ ÓÓÒ x X Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ µ Ú Ø Ú ÓÑ Ò Ú ØÓÖ x(t) = e tµ e ity x. ÌÐÐ Ò x (t) = e tµ e ity µx +e tµ e ity iy x = e ity (Xe tµ x +iy e tµ x ) = e ity (X +iy )e ity e tµ e ity x = Ã(t)x(t). Ë x(t) = Φ(t,)x Ó x(t) = e tµ x, Ò Ø Ø Ð Ù Ò ¾º Ò Φ(t,) = e tµ, t. ÐÐ Ò ÙÒ t > s, e tµ Φ(t,) = Φ(t,s) Φ(s,) Φ(t,s) Φ(s,) = e sµ Φ(t,s), Ó Ø Ð Ù Ò ¾º Ò µ Φ(t,s) = e (t s)µ. ÇÔ ØÙ Ø Ö ÔÔÙÚ ÐÐ ÖÖÓ ÒÑ ØÖ ÐÐ α Ø Ô Ø ØØ Ò Ò Ô ØÖ µ ÖÖÓ ÚÙÒÓÔ Ùع Ø º ¾º º Ä ÔÐ ÑÙÙÒÒÓ Ò ÝØØ º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ú Ó ÖØÓ Ñ Ø Ð Ù ÖÚÓØ ØÚ ¾º½ µ x (t) = Ax(t)+b(t), x(t ) = x. ¾º½ µ ÚÓ Ò Ö Ø Ø Ä ÔÐ ÑÙÙÒÒÓ ÐÐ ÙÖ Ú Ø º Ø ØÒ Ò Ò Ö Ø ÙÒ Ä ÔÐ ÑÙÙÒÒÓ L(x)(s) = e st x(t) dt, Ó ÓÒ x Ò ÓÑÔÓÒ ÒØØ Ò Ä ÔÐ ÑÙÙÒÒÓ Ø Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ú ØÓÖ º Ä ÔÐ ÑÙÙÒÒÓ Ò Ð Ò Ö ÙÙ Ø Ú Ø L(x )(s) = sl(x)(s) x() Ò ÒÝØ Ì Ø ÐÐ Ò Ð sl(x)(s) x() = AL(x)(s)+L(b)(s), (si A)L(x)(s) = x()+l(b)(s), ¾º½ µ L(x)(s) = (si A) [x()+l(b)(s)].

27 ¾ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ Ì Ø x Ò ÒØ ÑÙÙÒØ Ñ ÐÐ º ÎÓ Ò Ø ÑÝ ÙÖ Ú Ø (si A) ÓÒ e ta Ò Ä ÔÐ ÑÙÙÒÒÓ ÐÐ ¾ e st e ta dt = e t(a si) dt = / (A si) e t(a si) = (si A). Ä Ø ØÒ ØØ L(f)(s)L(g)(s) = L(f g)(s), Ñ f g ÓÒ ÓÒÚÓÐÙÙØ Ó (f g)(t) = ÆÑ ÒØ Ú Ø t f(t τ)g(τ) dτ. x(t) = e ta x +(e ta ) (b(t)) = e ta x + Ð Ú Ò ¾º½¾µº t e (t τ)a b(τ) dτ ÇÒ Ñ Ù ÝØØ Ø ØÚÒ x (t) = Ax(t) + b(t), x() = x Ö Ø Ñ Ò Ú ¾º½ µ Ú ¾º½¾µº ÂÐ ÑÑ Ò Ò ÐÐÝØØ e ta Ò Ð Ñ Ø ÓÑ Ò ÖÚÓØ Ú ØÓÖ Ø Ò ºµº ÐÙ ÒÝØØ ØØ ¾º½ µ Ò ÝØØ Ú Ø Ú Ò Ñ ØÖ Ò si A ÒÚ ÖØÓ ÒÒ Òº ÃÙ Ø Ò Ò ÙÒ ¾º½ µ Ø Ð ØÒ Ñ Ò Ó Ò ÔÙÓÐ Ò ÒØ ÑÙÙÒÒÓ Ø ÓÒ Ø¹ ØØÚ Ò Ñ ØØ Ò = A Ò Ö Ø Ö Ø Ò Ò ÔÓÐÝÒÓÑ det(si A)µ ÒÓÐÐ Ó Ø A Ò Óѹ Ò ÖÚÓصº Ç ÑÙÖØÓ Ø ÐÑØ Ý si A Ò ÒÚ ÖØÓ ÒÒ Ò Ò Ú Ø Ú Ø Ø ÓÑ Ò Ú ØÓÖ Ò Ù º Ñ Ö ¾º½¾º Ê Ø Ø Ò ÙÖ Ú Ä ÔÐ ÑÙÙÒÒÓ ÐÐ x (t) = x(t)+ 3cost, x() = x Ò Ä ÔÐ ÑÙÙÒÒÓ Ò s L(x)(s) = 2 s s s 4 = L(x)(s) = 3s = 3 s (+s 2 )( 8+4s+2s 2 +s 3 +s 4 ) Ì Ø ÐÐ Ò Ó ÑÙÖØÓ Ø ÐÑ Ö Ø Ù 6 + 2s + 4s 2+s +s 2 4+s 2 +s s 2 6 2s 4s +s +s 2 4+s s 2+s, x(t) = ¾ Ä ÑÑ Ò ¾º½½ Ô ÖÙ Ø ÐÐ lim t e t(a si) =, ÙÒ Res > α(a). 8 6s+4s 2 s 3 +4s 4 8 4s+62s 2 3s 3 3s 4 6+6s+6s 2 +s 3 +2s 4 2+4s+25s 2 +5s 3 +5s 4 +s 5 6e 2t +2cost+4cos2t sint 4sin2t 6e t 2cost 4cos2t 6e t 3e 2t..

28 Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ ¾ ËÝÑ ÓÐ Ø Ð Ñ Ø Ü ÓÑ Å ÝÑ Å ÔÐ Å Ø Ñ Ø Ê Ù ÅÙÈ µ ÓÚ Ø Ø Ø Ú º Ñ Ö Å Ø Ñ Ø Ó ÑÙÖØÓ ÓÑ ÒÒÓÐÐ Ô Öغ ¾º º Ä Ò Ö Ò Ý Ø Ñ Ò Ø Ð ÙÙ º ËÝ Ø Ñ Ò Ø Ð ÙÙ ÓÒ ÓÚ ÐÐÙ Ù Ò ÔÚ Ø ÑÙ º Ì Ó Ø Ö Ø Ð ÑÑ Ð Ò Ö Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ø ÑÝ Ñ¹ Ñ Ò ÔÐ Ò Ö º È Ø p R n ÓÒ Ý Ø Ñ Ò x (t) = f(x(t)) Ø Ô ÒÓØ Ð Ó f(p) = º ÌÐÐ Ò Ú Ó x(t) = p t ÓÒ Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÒ x() = p Ö Ø Ùº Ä Ò Ö ÐÐ ÓÑÓ Ò ÐÐ Ý ¹ Ø Ñ ÐÐ x (t) = A(t)x(t) ÓÖ Ó ÓÒ Ò Ø Ô ÒÓØ Ð x() = = x(t) = ÐÐ t. Ç Ó ØØ ÙØÙÙ ØÖ Ø Ö Ø ÐÐ Ñ Ø Ò ÑÙÙØ Ö Ø ÙØ ÝØØÝØÝÚغ È Ò Ú Ø Ó Ò ÔÓ ÓÖ Ó Ø ÔÝ ÝÚØ Ö Ó Ø ØÙÐÐ Ø ÝÝ ÐÐ Ú Ð ØÝÚØ ÓÖ Ó ÅÖ Ø ÐÐÒ ÇÖ Ó ÓÒ Ø Ð Ø Ô ÒÓØ Ð Ó ÐÐ Ö Ø Ù ÐÐ ÔØ sup x(t) <. t ÇÖ Ó ÓÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð Ó ÐÐ Ö Ø Ù ÐÐ ÔØ lim x(t) =. t Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ñ Ö ¾º ¾º½¼º Æ ÐÙÒ ¾º µ Ø Ð Ò Ó Ù Ò ¾º µ Ø Ô Ù ÓÖ Ó ÓÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð ÑÙ Ô Ø Ð º Ð ÐÐ ÓÑÓ Ò Ý ØÐ ÐÐ x (t) = A(t)x(t) Ð Ù ¾º ÒÓÓ ØØ Ó µ, Ò Ò ÓÖ Ó ÓÒ Ø Ð Ó µ <, Ò Ò ÓÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð º ÆÑ ÓÚ Ø Ù Ø Ò Ò Ú Ò Ö ØØÚ ØÓ º Ñ Ö ¾º½ à ٠µº ËÝ Ø Ñ Ò 5 x (t) = x(t) 2 Ö Ø ÙØ ÓÚ Ø [ cos3t x(t) = sin3t 2 sin3t ] sin3t cos3t+ sin3t x() x -.5 ÌÐÐ ÓÖ Ó ÓÒ Ø Ð ÑÙØØ ÝÑÔØÓÓØØ ¹ Ø Ø Ð Ø Ô ÒÓØ Ð º ÌÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ S = 2 (A+A ) = 3/2 3/2, ÓÒ ÙÙÖ Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ ÓÒ µ = 2 3. ÌØ Ò Ø Ð ÙÙØØ Ð Ù Ø ¾º º Î Ó ÖØÓ Ñ Ò Ò Ý Ø Ñ º Ë ÙÖ Ú Ò Ø Ò Ð Ù Ò ÓÒ ÓÓØØÙ Ö Ð ÐÐ Ø ÚÓ ÐÐ ÓÖÑÙÐÓ ÙØ ÚÐØØÑØØ ÑØ Ö ØØÚØ ÓØ ÙØÓÒÓÑ Ò Ð Ò Ö Ò Ý Ø Ñ Ò Ø Ô ÒÓÔ Ø Ò Ø Ð ÙÙ ÐÐ º ÇÐ ÓÓÒ M Ò Ò Ñ ØÖ Ò A ÓÙ Ó Ó ÐÐ ÔØ ½µ α(a) ¾µ Ó λ Λ(A) Reλ =, Ò Ò λ Ú Ø Ú Ø ÂÓÖ Ò¹ÐÓ ÓØ ÓÚ Ø ØÖ Ú Ð Ð m g (λ) = m a (λ) µº Ä Ù ¾º½ º x 2.5

29 ¾ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ µ ÇÖ Ó ÓÒ Ý Ø Ñ Ò x (t) = Ax(t) Ø Ð Ø Ô ÒÓÔ Ø º µ A M. µ ÇÒ ÓÐ Ñ K Ø Ò ØØ e ta K, t. Úµ ÇÒ ÓÐ Ñ C Ø Ò ØØ (si A) C, ÙÒ σ = Res >. σ Å ØÖ R(s,A) = (si A) ÙØ ÙØ Ò A Ò Ö ÓÐÚ ÒØ º ÃÓ ¾º Ò Ø Ò ØØ ÓÒ ÙÒ Ø ÓÒ t e ta Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ º ÌÓ ØÙ Ø ÖÚ Ø ÑÑ ÙÖ Ú [ M ]. Ì ØÚ ¾º º ÇÐ ÓÓÒ M =.. Mq ÌÓ º Ä Ù ¾º½ µº. ÌÐÐ Ò M = max j q M j. µ = µ ÂÓ (λ,u) ÓÒ A Ò ÓÑ Ò Ô Ö Ø Ò ØØ Reλ >, Ò Ò x(t) = e tλ u ÓÒ Ý Ø Ñ Ò Ö ØØÓÑ Ø Ú Ú Ö Ø Ùº ÂÓ Reλ = ÐÐ Ò Av λv = u Ò Ò Ð ÝØÝÝ Ó λ Ú Ø ¹ØÖ Ú Ð ÂÓÖ Ò¹ÐÓ Óµ Ò Ò x() = v ÒØ Ö Ó ØØ Ñ ØØÓÑ Ò Ö Ø ÙÒ x(t) = e tλ v +te tλ u. Ë Ó ÓÖ Ó ÓÒ Ø Ð Ò Ò ÓÒ ÓÐØ Ú A M. µ = µ ÇÐ ÓÓÒ A M J A = V AV ÙØ Ò Ð ÑÑ Ò ¾º½½ ØÓ ØÙ º Ì ØÚÒ ¾º Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ò e ta V V max j q etj(λ j,r j ). ÂÓ Reλ j =, Ò Ò r j = e tj(λ j,) = e tλ j = e t Reλ j =. ÂÓ Reλ j <, Ò Ò Ð ÑÑ Ò ¾º½½ Ô ÖÙ Ø ÐÐ e tj(λ j,r j ) t, ÓØ Ò ØÑ ÓÒ Ö Ó Ø ØØÙ ÐÐ t. Ë Ð ÝØÝÝ K Ø Ò ØØ e ta K. µ = µ Ë ÐÚ Ó x(t) = e ta x(). ÆÝØ ØÒ Ú Ð ØØ ØÓ Úµ ÓÒ Ò Ò Ò Ú Ú Ð ÒØØ º µ = Úµ ÇÐ ÓÓÒ e ta K, t σ = Res >. ÌÐÐ Ò Ó (si A) ÓÒ e ta Ò Ä ÔÐ ¹ÑÙÙÒÒÓ (si A) = e st e ta dt e st e ta dt K e st dt = K e σt dt = K. σ Úµ = µ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Úµ ÔØ º ÌÐÐ Ò ÐÚ Ø Ò α(a). ÂÓ ÓÐ λ = iη Λ(A), ÓÐÐ ÓÐ ¹ØÖ Ú Ð ÂÓÖ Ò¹ÐÓ Ó Ò Ò Ð ÝØÝ u,v Ø Ò ØØ Au = λu Av = λv +u. ÌÐÐ Ò ÙÒ s = σ +iη, Ò ÓØ Ò (si A) u = s λ u v = s λ( u+(si A)v ), (si A) v = (s λ) 2 u+ s λ v = σ 2 u+ σ v,

30 Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ ÓÐÐÓ Ò Úµ ÓÐ ÚÓ Ñ º Ë Ô A M. Ä Ù ¾º½ º µ ÇÖ Ó ÓÒ x (t) = Ax(t) Ò ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð Ø Ô ÒÓÔ Ø º µ α(a) <. µ ÇÒ ÓÐ Ñ β < K Ø Ò ØØ e ta Ke tβ, t. Úµ ÇÒ ÓÐ Ñ C Ø Ò ØØ (si A) C, ÙÒ σ = Res. ¾ ÌÓ º µ = µ ÂÓ α(a), Ò Ò ÓÐ ÓÓÒ λ Λ(A) Ø Ò ØØ Reλ x Ú Ø Ú ÓÑ Ò Ú ØÓÖ º ÌÐÐ Ò x(t) = e tλ x ÓÒ Ý Ø Ñ Ò Ö Ö Ø Ù x(t) = e t Reλ x, ÙÒ t. Ë Ó ÓÖ Ó ÓÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð Ò Ò ÓÒ ÓÐØ Ú α(a) <. µ = µ Ë ÙÖ Ø Ð ÑÑ Ø ¾º½¾º µ = µ Ë ÐÚº ÆÝØ ØÒ Ú Ð ØØ Úµ ÓÒ Ò Ò Ò Ú Ú Ð ÒØØ º µ = Úµ ÇÐ ÓÓÒ α(a) < β (α(a),). ÌÐÐ Ò α(a βi) = α(a) β <, ÓØ Ò A βi M Ð Ù Ò ¾º½ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ò ( si (A βi) ) C, σ ÙÒ σ = Re s >. Ë Ô (si A) = ( (s β)i (A βi) ) Î Ð Ø Ò C = C β. Úµ = µ Ë ÐÚº C Re(s β) C β.

31 ¾ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ º Ê Ø ÙÒ ÓÐ Ñ ÓÐÓ Ý ØØ ÝÝ º½º Ñ Ö º Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ö Ø Ù ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÔÐ ØØ Ø Ú Ò Ó Ø Ð Ò Ý Ò ÖØ ÐÐ Ý ØÐ ÐÐ º Ð Ò ÓÙ ÙØ Ò ØÙÖÚ ÙØÙÑ Ò ÔÔÖÓ Ñ Ø ¹ Ú Ò Ñ Ö ÒÙÑ Ö Ò Ø Ö ÑÙÓØÓ Ò Ö Ø Ù Òº ÒÒ Ò Ù Ò ØÐÐ Ò ÚÓ ÝØØ ÓÒ ÝÝØ Ú ÖÑ ØÙ ØØ Ö Ø Ù Ð Ó ÓØ ÓØ Ò ÔÔÖÓ ÑÓ ÝÐ ÔØÒ ÓÒ ÓÐ Ñ Ý ØØ Ò Òº Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÝÐ Ø Ý Ø Ñ º½µ x (t) = f(t,x(t)), x(t) R n Ð Ù ÓÐÐ x(t ) = x, Ñ f ÓÒ ÙÚ Ù R R n R n. ÂÓ f ÓÐ Ø ÙÚ Ò Ò Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÐÐ ÚÐØØÑØØ ÓÐ ÓÐ Ñ Ö Ø Ù º {, ÙÒ x <, Ñ Ö º½º ÇÐ ÓÓÒ f(x) =, ÙÒ x. ÌÐÐ Ò Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÐÐ x = f(x), x() =, ÓÐ Ö Ø Ù Ñ ÐÐÒ ÚÐ ÐÐ [,T], T >. ÂÓ f ÓÒ Ø ÙÚ Ò Ò Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÐÐ ÓÒ Ò ÓÐ Ñ Ö Ø Ùº ÌØ È ÒÓÒ ÓÐ ¹ Ñ ÓÐÓÐ Ù ØØ ÑÑ Ø Ù Ø Ò Ò ØÓ Ø º Ѻ À ÖØÑ Ò µ ÐÐ f Ò Ø Ù¹ ÚÙÙ Ø Ú Ð ÙÖ ØØ Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÒ Ö Ø Ù ÓÐ Ý ØØ Ò Òº Ñ Ö º¾º Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÐÐ x (t) = 3 x(t) 2/3, x() = R ÓÒ Ô Ð ÓÒ Ö Ø Ù¹ º ÇÐ ÓÓÒ a b Ñ Ð Ú ÐØ Øº ÌÐÐ Ò ÙÒ Ø Ó (t a) 3 ÙÒ t < a, x a,b (t) = ÙÒ a t b, (t b) 3 ÙÒ b < t ÓÒ Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÒ Ö Ø Ù ÙØ Ò Ó ØØ Ñ ÐÐ Ø Ò Òº f a= a=- a= x(t) b= b= b=2 t ÎÓ ÑÑ Ø Ø Ö Ø ÙÒ Ý ØØ ÝÝ Ò Ñ Ò ØÝØÝÝ Ú Ø f ÐØ Ò ÑÑÒ Ù Ò Ø ÙÚÙÙ º ËÓÔ Ú Ó Ó ØØ ÙØÙÙ Ò º Ä Ô ØÞ ØÓ Ë ÒÓØ Ò ØØ ÙÚ Ù f : R R n R n ØÓØ ÙØØ Ä Ô ØÞ ÓÒ ÓÙ Ó Ω R n ÚÐ ÐÐ [t,t 2 ], Ó ÓÒ ÓÐ Ñ Ú Ó L > Ø Ò ØØ º¾µ ÐÐ t [t,t 2 ], x,y Ω. f(t,x) f(t,y) L x y

32 Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ ¾ ÂÓ f ØÓØ ÙØØ Ä Ô ØÞ ÓÒ ÒÓØ Ò ÑÝ ØØ f ÓÒ Ä Ô ØÞ Ø ÙÚ º ÂÓ ¹ Ñ Ö f C (Ω), Ñ Ω ÓÒ ÓÑÔ Ø ÓÒÚ Ò Ò f ÓÒ Ä Ô ØÞ Ø ÙÚ Ú ÓÐÐ L = max Df(t,x). t [t,t 2 ],x Ω ÌÑ Ò Ò ÙÖ Ú Ø f(t,x) f(t,y) = d f(t,y +θ(x y))dθ dθ = Df(t,y +θ(x y))dθ(x y) max x Ω Df(t,y +θ(x y) dθ x y Df(t,x) x y. Ì ÚÓ ØØ Ò ÓÒ Ó Ó ØØ ØØ Ó f ØÓØ ÙØØ Ä Ô ØÞ ÓÒ Ò Ò Ý ØÐ ÐÐ º½µ ÓÒ Ý ØØ Ò Ò Ö Ø Ùº º¾º È Ö Ä Ò Ð Ø Ö Ø Óº ÃÙÒ f ÓÒ Ø ÙÚ Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÒ º µ x (t) = f(t,x(t)), x(t ) = x Ö Ø Ù Ñ Ð ÓÐ Ñ µ ØÓØ ÙØØ ÑÝ ÒØ Ö Ð Ý ØÐ Ò º µ x(t) = x + t t f(s,x(s)) ds Ô ÒÚ ØÓ Òº ÌÓ Ò ÒÓ Ò Ý ØÐ Ø º µ º µ ÓÚ Ø Ú Ú Ð ÒØ Øº ÇÐ ÓÓÒ x Ó Ò Ø ÙÚ ÙÒ Ø Ó Ö Ø ÙÒ Ð Ù ÔÔÖÓ Ñ Ø Óµ ÚÐ ÐÐ I = [t,t 2 ], Ñ t t t 2. ÅÙÓ Ó Ø Ø Ò Ø Ø ÙÙ ÙÒ Ø Ó x t x (t) = x + f(s,x (s)) ds t I t ØÓ ÚÓØ Ò ØØ ØÑ ÓÐ Ô Ö ÑÔ ÔÔÖÓ Ñ Ø Óº Ò Ò ØÑ ØÓØ ÙØØ Ð Ù ÓÒº Â Ø Ø Ò Ø Ö Ø Ú Ø ÙÒ Ø Ó Ø x k ÑÙÓ Ó Ø Ø Ò ÙÖ Ú º µ x k+ (t) = x + t t f(s,x k (s)) ds. Ë Ò ÓÒÓ { x k} Ø ÙÚ ÙÒ Ø Ó Ø º ÂÓ ÙÔÔ Ò Ø Ø Ó Ø ÙÒ Ø ÓØ k x, Ò Ò x ÓÒ Ø ÙÚ Ð Ñ Ò ÚÓ Ú ÒØ Ö Ð Ò Ò ÓÐÐÓ Ò f Ò Ø ÙÚÙÙ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ x ÓÒ ÒØ Ö Ð Ý ØÐ Ò º µ Ö Ø Ù x(t) = lim x k+ (t) = x + lim k =x + t k t t f(s,x k (s))ds t lim k f(s,x k (s))ds = x + Ì Ò Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò Ò Ò Ð ØØÝÚØ Ð Ù Ø º Ð Ø º t t f(s, x(s))ds.

33 ¼ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ ÁÒØ Ö Ð ÓÒ Ö ÚÓ ØÙÚ ÝÐÖ Ò Ù Ø Ò ÓØ Ò x ÓÒ Ö ÚÓ ØÙÚ Ø Ò ÑÝ Ð Ù Ö¹ ÚÓØ ØÚÒ º µ Ö Ø Ùº Ë ÙÖ Ú Ò Ð Ù Ò ØÓ ØÙ Ô ÖÙ ØÙÙ Ò ØØ ÙÒ f ØÓØ ÙØØ Ä Ô ØÞ ÓÒ Ò Ò º µ Ò ÑÖÑ È Ö Ä Ò Ð Ø Ö Ø Ó ÙÔÔ Ò Ø Ø º Ä Ù º½ È Ö Ä Ò Ð µº ÇÐ Ø Ø Ò ØØ f ØÓØ ÙØØ x Ò Ù Ø Ò Ä Ô ØÞ ÓÒ R n ÚÐ ÐÐ I = [t,t 2 ] t I. ÌÐÐ Ò Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÐÐ x (t) = f(t,x(t)), x(t ) = x ÓÒ ÓÐ Ñ Ý ØØ Ò Ò Ö Ø Ù ÚÐ ÐÐ t I. ÌÓ º ÇÐ Ñ ÓÐÓ Î Ð Ø Ò Ö Ø ÙÒ Ð Ù ÔÔÖÓ Ñ Ø Ó x (t) = x ÐÐ t I Ø ÖÓ Ò t x k+ (t) = x + f(s,x k (s)) ds. t ÆÝØ ØÒ ØØ Ò Ò ÑÖ Ø ÐØÝ ÙÒ Ø Ó ÓÒÓ ÙÔÔ Ò Ø Ø ÓÐÐÓ Ò ÐÐ Ø ØÝÒ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ö ÙÒ Ø Ó x ÓÒ Ø ØÚÒ Ö Ø Ùº Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÖÓØÙ x k+ x k. ÇÐ ÓÓÒ K = max t I f(t,x ). ÐÙ Ò º µ x (t) x (t) t = f(s,x ) ds K t t. t ÌÓ Ø Ø Ò Ò Ù Ø ÓÐÐ ØØ º µ x k+ (t) x k (t) K L k t t k+ (k +)! Ñ L ÓÒ f Ò Ä Ô ØÞ Ú Óº Ã Ú º µ ÒØ º µ Ò ÙÒ k =. ÇÐ Ø Ø Ò ØØ º µ ÓÒ ØÓ Ø ØØÙ k Ò ÖÚÓ ÐÐ,...,m. ÌÐÐ Ò ÙÒ t t, x m+2 (t) x m+ (t) t = [f(s,x m+ (s)) f(s,x m (s))] ds t t t L x m+ (s) x m (s) ds t LK Lm s t t (m+)! m+, ( ) º µ ÔØ ÙÒ k=m ds = K Lm+ t t m+2 (m+2)! Î Ø Ú Ø ÙÒ t < t. Ë Ø Ò ØØ º µ ÔØ ÑÝ ÙÒ k = m+. ÌØ Ò º µ ÔØ ÐÐ k =,,2,.... Ø Ø Ò T = max(t t,t 2 t ), ÓÐÐÓ Ò. µ x m (t) = x + m k= [xk+ (t) x k (t)], µ ÐÐ k, t I ÔØ x k+ (t) x k (t) K L k T k+ (k+)! µ k= K Lk T k+ (k+)! ÙÔÔ Ò ÙÑÑ = K L (elt ) µº

34 Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ ½ ÌØ Ò Ï Ö ØÖ Ò Ñ ÓÖ ÒØØ Ô Ö ØØ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ö x + k= [xk+ (t) x k (t)] ÙÔÔ Ò Ø Ø º Ë Ò ÙÑÑ x(t) = lim k x k (t) ØÓØ ÙØØ Ý ØÐ Ò º µº ØØ ÝÝ ÇÐ ÓÓØ x y Ý ØÐ Ò º µ Ö Ø Ù º ÌÐÐ Ò ÙÒ t t, Ò t t x(t) y(t) = [f(s,x(s)) f(s,y(s))] ds L x(s) y(s) ds, t t Ó Ø ÙÖ Ú ØÓ Ø ØØ Ú Ò ÖÓÒÛ ÐÐ Ò ÔÝ ØÐ Ò ÒÓ ÐÐ x(t) y(t). Ë ÑÓ Ò ÙÒ t < t. Ë ÙÖ Ú Ð ÑÑ Ø ÖÚ ØØ Ò Ó ÝÐÐ Ø Ó ÐÐ Ð ÝØÝÝ Ð ÝØØ º Ä ÑÑ º¾ ÖÓÒÛ ÐÐ Ò ÔÝ ØÐ µº ÇÐ ÓÓØ C, K ÓÐ ÓÓÒ u : [,T] R Ø ÙÚ Ò Ø Ú Ò Ò ÙÒ Ø Ó ÓÐÐ ÔØ º µ u(t) C + t Ku(s) ds ÐÐ t [,T]. ÌÐÐ Ò u(t) Ce Kt ÐÐ t [,T]. ÌÓ º ÇÐ ÓÓÒ ÐÙ C >. Ø Ø Ò v(t) = C + Ö ÚÓ Ñ ÐÐ Ò v (t) = Ku(t), ÓØ Ò t d dt ln(v(t)) = v (t) v(t) = Ku(t) v(t) K. ÁÒØ ÖÓ Ò ØÑ ln(v(t)) ln(v())+kt, Ó Ø u(t) v(t) v()e Kt = Ce Kt. Ku(s) ds, ÓÐÐÓ Ò u(t) v(t). ÂÓ C =, Ò Ò u ØÓØ ÙØØ º µ Ò ÙÒ C Ò Ô ÐÐ ÓÒ Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ô Ò d >. Ë ÐÐ Ò ÒÓ ÐÐ u(t) de Kt ÐÐ d >, ÓØ Ò u(t) =. ÀÙÓÑ ÙØÙ º½º ÂÓ f ÓÐ Ù Ò Ð Ø Ò ØÓØ ÙØ Ä Ô ØÞ ØÓ Ó Ó R n ÒØ ÐÐ Ú ÓÐÐ L µ Ò Ò ÚÓ Ý ØØ Ö Ø ÙØ Ú Ú Ø Ö ØØ Ñ Ò Ö Ð¹ Ð º Ñ Ö Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÒ x (t) = + ( x(t) ) 2, x() = Ö Ø Ù ÓÒ x(t) = tan(t), Ó Ô Ò ± Ò ÙÒ t ±π/2. ÂÓ f ØÓØ ÙØ Ä Ô ØÞ ØÓ Ó Ó R n Ò Ò ÚÓ Ò Ù Ø Ò Ò ØÓ Ø ÙÖ Ú ÐÓ Ð Ú Ö Ó Ó Ø Ö Ø ÙÒ ÓÐ Ñ ÓÐÓÒ ÓÐÐ Ò ÚÐ Ðк Ä Ù º º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ f ØÓØ ÙØØ x Ò Ù Ø Ò Ä Ô ØÞ ÓÒ ÐÙ Ω = { x x x β } ÚÐ ÐÐ I = [t,t 2 ] Ú ÓÐÐ L ÔØ β K L (elt ), Ñ K = max t I f(t,x ) T = max(t t,t 2 t ). ÌÐÐ Ò Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÐÐ x (t) = f(t,x(t)), x(t ) = x ÓÒ ÓÐ Ñ Ý ØØ Ò Ò Ö Ø Ù ÚÐ ÐÐ t I.

35 ¾ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ ÌÑÒ ØÓ ØÙ Ó Ø ØÒ Ò ÐÔÓ µ Ö Ó ØÙ Ø ØÚ Ø ÖÚ Ø Ð¹ Ð Ò Ð ÒÝØØ ØØ Ø Ö Ø Ø x k ÔÝ ÝÚØ ÐÙ Ω, ÓØØ Ä Ô ØÞ ØÓ ÚÓ Ø Ò ÝØغ ÀÙÓÑ ÙØÙ º¾º Ä Ù Ò º½ ØÓ ØÙ Ø ÑÝ È Ö Ä Ò Ð Ø Ö Ø ÐÐ Ú Ö Ö¹ Ò x k (t) x(t) = [x j+ (t) x j (t)] K L j T j+ (j +)! K (LT)k+ elt L (k +)!. j=k Ñ Ö º º Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÐÐ x (t) = t 2 t x(t), x() =, Ò x (t) =, x (t) = t2 2 + t3 3, x2 (t) = t2 2 + t3 3 + t4 8 t5 5,... x(t) x x 3 j=k x 5 x 7 x x 2 x 4 x 6 x Æ Ò ØØ k Ò Ú Ø Ö Ø Ø x k ÙÐ Ú Ø Ð ÐÐ Ö Ø Ù Ý Ô Ø ÑÔÒº t Î È Ö ¹Ä Ò Ð Ø Ö Ø Ó Ò ÓÒ ÓÒ ØÖÙ Ø Ú Ò Ò Ò ÚÙÐÐ ÚÓ Ò Ô¹ ÔÖÓ ÑÓ Ö Ø Ù ÙØ Ò ÐÐ Ñ Ö Ù Ø Ò Ò ÓÐ Ö ØÝ Ò ÝÚ Ú Ö Ò Ò ÒÙÑ Ö Ò Ð ÒØ Òº Ì Ó ÑÔ Ñ Ò Ø ÐÑ Ø ÐÐÒ Ú Ñ ÐÙ¹ ÚÙ º º º Â Ø ÙÚ Ö ÔÔÙÚÙÙ Ð Ù Ó Ø º ÃÙÒ Ñ ÐÐ ÒÒ Ø Ò ÓØ Ò Ñº Ý Ð Ø Ý Ø Ñ Ò Ò ÝÐ Ò ÓÐ Ø Ø Ò ØØ Ø ØÚÐÐ ÓÒ Ý ØØ Ò Ò Ö Ø Ùº ÃÙ Ø Ò Ò Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ñ Ö Ø Ð Ò Ø Ð ÒØ Ò Ð Ó ÒØ ÓØ Ò Ó ÓØ Ò Ý Ø Ñ ÙÚ Ø Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ ÐÐ ÓÒ ÝÝØ Ò ÐÝ Ó Ñ ÐÐ Ñ Ø Ñ ØØ Ø ÓØØ ÚÓ Ò Ú ÖÑ ¹ ØÙ ÓÒ Ó ÐÐ Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ó Ø ÐÐ Ý Ð Ò ÒØÙ Ø ÓÒ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ô Ø ÓÐÐ º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ý Ø Ñ º µ x (t) = f(t,x(t)). Ì Ö Ø ÐØ Ö Ø ÙÒ Ö ÔÔÙÚÙÙØØ Ð Ù Ó Ø ÙÖ Ú Ó Ó ØØ ÙØÙÙ Ø Ú º ÇÐ Ø ¹ Ø Ò ØØ f ØÓØ ÙØØ ØÓ ÔÙÓÐ Ò ÓÒ º½¼µ f(t,x) f(t,y), x y µ x y 2, ÐÐ x,y Ω, t. ÂÓ L ÓÒ f Ò Ä Ô ØÞ¹Ú Ó Ò Ò µ = L ÐÔ ÑÙØØ Ù Ò Ð ÝØÝÝ Ô Ö ÑÔ Òº

36 Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ Ä Ù º º ÇÐ ÓÓÒ f Ä Ô ØÞ¹ Ø ÙÚ ÓÐ ÓÓØ x y Ø ØÚÒ º µ Ö Ø Ù Ð Ù ¹ Ó ÐÐ x() = x y() = y. ÂÓ f ØÓØ ÙØØ ÔÝ ØÐ Ò º½¼µ Ò Ò Ò Ò Ù Ò ÙÒ x(t),y(t) Ω. x(t) y(t) x y e µt, t >, ÌÓ º ÇÐ ÓÓÒ u(t) = x(t) y(t) 2 = x(t) y(t),x(t) y(t). Ê Ø Ù Ò Ý Ø¹ Ø ÝÝ Ø ÙÖ ØØ Ó x y, Ò Ò u(t) > ÐÐ t. ÔÝ ØÐ Ø º½¼µ Ò u (t) = 2 f(t,x(t)) f(t,y(t)), x(t) y(t) 2µ x(t) y(t) 2 = 2µu(t), ÓØ Ò d dt log(u(t)) = u (t) u(t) Ñ Ø Ú Ø ÙÖ º 2µ. ÁÒØ ÖÓ Ñ ÐÐ Ò log(u(t)) log(u()) 2µt Ð u(t) u()e 2µt, ÂÓ Ý Ø Ñ ØÓØ ÙØØ Ä Ô ØÞ¹ ÓÒ Ò x(t) y(t) x y e L t, t. ÌÓ Ò ÒÓ Ò Ý Ø Ñ Ò Ö Ø ÙØ Ö ÔÔÙÚ Ø Ø ÙÚ Ø Ð Ù Ó Ø º Ì ØÚ º½º ÌÓ Ø ØÑ ÓÚ ÐØ Ò Ð Ù ØØ º Ý Ø Ñ Ò x (t) = f(t,x(t)) x (t) = f( t,x(t)). ÌÓ ÐØ Ð Ù ØØ ÚÓ Ò ÓÚ ÐØ Ö Ø Ù Ò ÝÑÔØÓÓØØ Ò ÝØØÝØÝÑ Ò Ø Ö Ø ¹ ÐÙÙÒ ÙØ Ò ÙÖ Ú º Ñ Ö º º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ø ØÚ x (t) = sin(x(t)), x() 2. Ø Ø Ò f(x) = sin(x), ÓÐÐÓ Ò ÚÐ ÖÚÓÐ Ù ÐÐ f(x) f(y) = f (ξ)(x y) = cos(ξ)(x y). ÂÓ x,y [, ], Ò Ò ξ 2 2 [, ], ÓÐÐÓ Ò Ø ÓÙ Ó º½¼µ ÓÒ ÚÓ Ñ Ú ÓÐÐ µ = 2 2 cos( ) <. Î ÖÖ Ø Ò Ö Ø Ù x ØÖ Ú Ð Ö Ø ÙÙÒ y. Ä Ù º ÒÓÓ ÒÝØ ØØ 2 x(t) e µt. Ì Ø ØÙÐ ÑÑ ÒÓÑ Ò ØØ Ø Ô ÒÓÔ Ø ÓÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø t Ø Ð º º º Ê Ø Ù ÙÚ Ù Ú ÖØ Ù º ËÝ Ø Ñ ÐÐ x (t) = f(t,x(t)) ÑÖ Ø ÐÐÒ Ö Ø Ù Ù¹ Ú Ù ψ ÙÖ Ú Ø Ó x ÓÒ ØÑÒ Ý Ø Ñ Ò Ý ØØ Ò Ò Ö Ø Ù Ð Ù ÓÐÐ x(τ) = u, Ò Ò Ø Ø Ò ψ(t,τ,u) = x(t). ÌÓ Ò ÒÓ Ò ψ(t,τ,u) ÓÒ R n Ò Ô Ø Ó ÓÒ ÓÙ ÙØ Ò ÙÒ Ø ÐÐ τ Ð ØÒ Ô Ø Ø u ÙÖ Ø Ò Ø Ø Ð Ø Ú Ö Ø Ù Ø Ò t Ø º Ë ÐÚ Ø ψ ØÓØ ÙØØ ψ(t,τ,u) = f(t,ψ(t,τ,u)), ψ(τ,τ,u) = u. t

37 ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ Ñ Ö º º ÇÐ ÓÓÒ f(t,x) = Ax, Ñ A ÓÒ Ú ÓÑ ØÖ º ÂÓ x ÓÒ Ý ØÐ Ò Ö Ø Ù Ò Ò x(t) = e At x(), ÓØ Ò x() = e Aτ x(τ) x(t) = e A(t τ) x(τ). Ë Ô Ø Ø Ô Ù ψ(t,τ,u) = e A(t τ) u. Ñ Ö º º Ñ Ò Ó Ò Ø Ö ÔÔÙÚ Ò Ý ØÐ Ò x (t) = t 2 x(t) 3 dx Ö Ø Ù Ò Ô ÖÓ Ñ ÐÐ = t 2 dt, Ð ÝÐ Ö Ø Ù = t3 + C. x 3 2x 2 3 Ð Ù Ó Ø x(τ) = u Ò C = τ3 2u 2 3 x(t) = ψ(t,τ,u) = u. + 2u2 3 (t3 τ 3 ) ψ ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ÙÒ + 2u2 3 (t3 τ 3 ) >, Ð ÙÒ t 3 > τ 3 3 2u 2. Ñ Ö º º ËÝ Ø Ñ ÐÐ x = x ( x 2 x 2 2)+x 2 x 2 = x +x 2 ( x 2 x2 2 ) Ë Ò Ð ÝØÝÝ ÖØÝÑÐÐ Ò Ô ÓÓÖ Ò ØØ Ò Ô Ø Ö Ó ØÙ Ø ØÚµ cos(t τ) sin(t τ) x(t) = ψ(t,τ,u) = u. u 2 +( u 2 sin(t τ) cos(t τ) )e 2(t τ) ÀÙÓÑ ØØ Ø ÙØ Ò ÑÝ Ñ Ö º ψ(t,τ,u) = ψ(t τ,,u). ÌÑ Ó ØÙÙ Ø ØØ Ý Ø Ñ ÓÒ ÙØÓÒÓÑ Ò Ò ÙØ Ò Ô Ò Ò Òº ÇÐ Ø Ø Ò ØØ f ÓÒ ÐÓ Ð Ø Ä Ô ØÞ Ò Ò Ø º Ð ÝØÝÝ L Ø Ò ØØ º¾µ ÔØ ÐÐ t R, x,y R n. ÌÐÐ Ò Ð Ù Ò º½ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ó Ò Ô Ø Ò u R n ÙØØ ÙÐ Ø ÐÐ τ Ý ØØ Ò Ò Ö Ø Ù Ó ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ÐÐ t R. ÌÓ Ò ÒÓ Ò ψ(t,τ,u) ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ÐÐ t,τ R, u R n. Ì ØÚ º¾º ÆÝØ ØØ ÐÐ Ñ Ö Ú Ò º f ÓÒ ÐÓ Ð Ø Ä Ô ØÞ ¹ Ò Òº Å ÐÐ t,τ,u ÙÚ Ù ψ ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ Ñ Ö º ÇÐ ÓÓØ s,τ R, u R n Ñ Ð Ú ÐØ v = ψ(s,τ,u). Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ô Ø Ø v Ø ÐÐ s Ð Ø Ú Ö Ø Ù Ð ψ(t,s,v) Ø º ÅÝ ψ(t,τ,u) ÓÒ Ø ÐÐ t = s Ô Ø v. Ð Ù ÖÚÓØ ØÚ Ò Ö Ø ÙØ ÓÚ Ø Ý ØØ Ø ÓØ Ò ÓÒ ÓÐØ Ú ψ(t,s,v) = ψ(t,τ,u) Ð Ö Ø Ù ÙÚ Ù ØÓØ ÙØØ º½½µ ÐÐ t,s,τ R, u R n. ψ(t,s,ψ(s,τ,u)) = ψ(t,τ,u) ÃÝ ÝÑÝ Å Ø ØÑ Ø Ö Ó ØØ Ñ Ö Ò º Ø Ô Ù

38 Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ ÃÙÒ Ý Ø Ñ ÓÒ ÙØÓÒÓÑ Ò Ò Ò Ò ÒÓØ Ò ØØ Ú Ø Ú f ÓÒ Ø Ö ÔÔÙÑ ØÓÒµ Ú ØÓÖ ÒØغ ÌÐÐ Ò Ý ØÐ ÓÒ ÑÙÓØÓ x (t) = f(x(t)). Ñ Ö Ø º º ÓÚ Ø ÙØÓÒÓÑ ºµ ÂÓ ÒÝØ x ÓÒ ØÑÒ Ö Ø Ù Ð Ù ÓÐÐ x() = u Ð x(t) = ψ(t,,u) Ó ÑÖ ØØ Ð ÑÑ y(t) = x(t s), Ò Ò y (t) = x (t s) = f(x(t s)) = f(y(t)) Ð y ÓÒ Ö Ö Ø Ùº ÌÓ ÐØ y(s) = x() = u, ÓØ Ò y(t) = ψ(t,s,u). Æ Ò ÑÑ ÙØÓÒÓÑ Ò Ý Ø Ñ Ò Ö Ø Ù ÙÚ Ù ÐÐ ÔØ º½¾µ ψ(t,s,u) = ψ(t s,,u) ÐÐ t,s R, u R n. ÃÓ Ò Ò ÓÐÐ Ò ½º º Ö ÙÑ ÒØØ ÑÖÚØ Ó Ó ψ Ò ÑÖ ØØ Ð ÑÑ Ò ÙØÓÒÓÑ ÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ Ú ÖØ Ù Ò º½ µ ϕ t (u) = ψ(t,,u) Ð ϕ t (u) = x(t), Ó x ÓÒ Ý Ø Ñ Ò Ö Ø Ù Ð Ù ÓÐÐ x() = u. Ì ØÚ º º ËÓÚ ÐØ Ò Ú º½½µ ÙØÓÒÓÑ Ò Ø Ð ÒØ Ò ÒÝØ ØØ Ú ÖØ Ù ØÓ¹ Ø ÙØØ º½ µ ϕ t (ϕ s (u)) = ϕ t+s (u), ϕ (u) = u. Ö ØÝ Ø ϕ t ( ) ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ ÒØ ÙÚ Ù ϕ t ( ). Ü µ Ü µ 2 Ü µ 3 2 Ü µ Ü µ 3 Ü µ ÐÐ Ý Ø Ñ Ò x = [ 2] Ð Ø ÚØ Ö Ø Ùغ [.6x +2x 2 2x.4x 2 +2x 2 ] Ü Ü Ú ØÓÖ ÒØØ Ô Ø Ø x = [ 2] 2 x = ÆÑ ÓÑ Ò ÙÙ Ø ÒÓÚ Ø ØØ ÙÚ Ù Ø ϕ t ( ) ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø Ò º Ý Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÖÝ ÑÒº

39 ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ Ä Ù Ò º Ô ÖÙ Ø ÐÐ ψ ÓÒ Ø ÙÚ ÙÒ f ÓÒ Ä Ô ØÞ Ø ÙÚ º ÁØ ψ ÓÒ Ý Ø Ð Ù Ò f Ä Ù º º ÇÐ ÓÓÒ f k ÖØ Ø ÙÚ Ø Ö ÚÓ ØÙÚ Ð f C k º ÌÐÐ Ò ÑÝ Ø Ú Ø Ú ÐÐ Ö Ø Ù ÙÚ Ù ÐÐ ÔØ ψ C k. Ë ÑÓ Ò ÙØÓÒÓÑ Ò Ý Ø Ñ Ò Ú ÖØ Ù ¹ ÐÐ ϕ. ÌÓ º ÌÓ Ø Ø Ò Ø Ô Ù k =. ÇÐ Ø Ø Ò Ý Ò ÖØ ÙÙ Ò ÚÙÓ ØØ f ÓÒ Ù¹ ØÓÒÓÑ Ò Ò ØØ ØÓØ ÙØØ Df( x) Df(x) M x x ÐÐ x,x. Ä Ø Ò ÐÙ Ñ Ø ϕt (u) ÓÒ Ñ Ð ÓÒ ÓÐ Ñ º Ö ÚÓ Ñ ÐÐ u t ϕt (u) = f(ϕ t (u)) Ò u t ϕt (u) = Df(ϕ t (u)) u ϕt (u) Ð Ñ Ö Ø ÑÐÐ Φ(t) = u ϕt (u) Ò Φ (t) = Df(ϕ t (u))φ(t), Φ() = I. ÌÓ Ò ÒÓ Ò Φ ØÓØ ÙØØ Ð Ò Ö Ò ÓÑÓ Ò Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò ÓØ Ò ÓÒ Ñ ØÖ Ò A(t) = Df(ϕ t (u)) Ð ØØÝÚ ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ñ ØÖ º ÆÝØ ØÒ ÒÝØ ØØ Φ(t) ØÓ ÐÐ ÓÒ ϕ t (u) Ò Ö Ú ØØ º ÇÐ ÓÓÒ x(t) = ϕ t (u), y(t) = ϕ t (u+h) d(t) = y(t) x(t) Φ(t)h. ÇÒ ÒÝØ ØØÚ ØØ lim h d(t) h =. Ä Ù Ò º Ô ÖÙ Ø ÐÐ x(t) y(t) h e Lt, Ñ L ÓÒ f Ò Ä Ô ØÞ¹Ú Óº d ØÓØ ÙØØ d (t) = f(y(t)) f(x(t)) A(t)Φ(t)h = Df ( (x+θ(y x))(t) ) dθ(y(t) x(t)) A(t)Φ(t)h = A(t)d(t)+b(t), Ñ b(t) = [Df( (x+θ(y x))(t) ) Df(x(t))]dθ(y(t) x(t)). Ë Ô Ð Ù Ò ¾º Ô ÖÙ Ø ÐÐ d(t) = Φ(t)d()+ t Φ(t)Φ(τ) b(τ)dτ. ÃÓ d() =, Φ(t)Φ(τ) e L(t τ) b(t) M x(t) y(t) 2 M h 2 e 2Lt, Ò d(t) M h 2 e Lt L (elt d(t) ), ÓØ Ò lim h =. h Ì Ô Ù Ø k > Ñ Ò ÚØ Ñ Ò Ø Ô Ò º À ÖØÑ Ò µº Ñ Ö ÙÒ u ÓÒ Ø Ô ÒÓÔ Ø f(u) =, Ò Ò ϕ t (u) = u ÐÐ t. ÌÐÐ Ò Ó x() ÓÒ Ð ÐÐ u Ø Ò Ò x(t) u+e tdf(u) [x() u]. ÃÙÒ Ý Ø Ñ Ö ÔÔÙÙ Ð Ø Ô Ö Ñ ØÖ Ø α R : x (t) = f(x(t),α), Ò Ò Ú ÖØ Ù ¹ Ø Ò ØÙÐ ÑÝ α Ò Ð ÙÒ Ø Ó ϕ t (u,α). ÃÙØ Ò ÝÐÐ ÑÑ Ö Ó ØÙ Ø ØÚµ ØØ

40 Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ α ϕt (u,α) ØÓØ ÙØØ t α ϕt (u,α) = A(t) α ϕt (u,α)+f α (ϕ t (u,α),α), α ϕ (u,α) =. Ì Ø ÐÐ Ò α ϕt (u,α) = t Φ(t)Φ(τ) f α (ϕ τ (u,α),α) dτ. Ñ Ö º º ÇÒ ÖÚ Ó Ø Ú Ð Ù ÖÚÓØ ØÚÒ x x2 (t) (t) = x(t)+α x (t)x 2 (t) Ö Ø Ù ÙÒ α ÓÒ Ô Ò º ÃÙÒ α =, Ö Ø Ù ÓÒ x (t) = Ó Ø x α (t) = t ÌØ Ò Ô Ò ÐÐ α Ò ÖÚÓ ÐÐ x α (t) = x α (t)+ [ e t e t ]. Å Ö ØÒ x α (t) = x 2 (t) x (t)x 2(t) e t τ x 2(τ) e (t τ) x (τ)x 2 (τ) dτ = x(t) x (t)+αx α (t) = t [, x() = ] α ϕt (x(),α) α=. ÌÐÐ Ò, x α () =, [ e t 2τ e t+τ ] dτ = (+ α 2 )et α 2 e t α+( α)e t Ñ Ö ÙÒ α =, Ò Ò x(). Ç ÖÚÓ x() =.43. [ ] 2 (et e t ) e t

41 ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ º Ì Ô ÒÓÔ Ø Ø Ø Ð ÙÙ Ì ÐÙÚÙ Ø ÑÑ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ø Ô ÒÓÖ Ø Ù Ò Ø Ð ÙÙ Ø Ö Ø ÐÙ¹ ÒÝØ ÔÐ Ò Ö ÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ º ÌÐÐ ÓÚ Ø Ñ Ö ÐÙÖ Ý Ø Ñ ÐÐ Ô ÐÐ Ò ÔÝ ØÝ ÙÓÖ Ò Ó Ó Ð Ø ÝÐ Ô Ò ÓÐ Ú ÐÙÖ º ÂÓ Ò Ø ÐÙÖ Ñ Ò ÔÓ ÙØ Ø Ò Ò Ò Ò ÑÑ Ø Ô Ù ÐÙÖ Ø ÐÙÑ Ø Ò Ô Ò ÐÐ ÑÔÐ ØÙ ÐÐ ÙÒ Ø Ð ÑÑ ÐÙÖ Ð Ø Ð ÙØØ Ð ÔÝ ØÝÝÒ Ò Ò Ø Òº Ë ÒÓÑÑ ØØ Ð ÒØÓ ÓÒ Ø Ð ÙÒ Ø ÝÐ ÒØÓ ÓÒ Ô Ø Ð º Ì Ô ÒÓÔ Ø Øº È Ø ØØ p R n ÙØ ÙØ Ò Ý Ø Ñ Ò x (t) = f(x(t)) Ø Ô ÒÓÔ Ø Ó f(p) =. ÌÐÐ Ò ÐÚ Ø ϕ t (p) = p ÐÐ t R, Ð p Ø Ð Ú Ö Ø Ù ÔÝ ÝÝ Ò Ù Ø º Ì Ô ÒÓÔ Ø ØØ p ÙØ ÙØ Ò Ø Ð Ó Ó ÐÐ ε > ÓÒ ÓÐ Ñ δ > Ø Ò ØØ u B δ (p) = ϕ t (u) B ε (p) ÐÐ t >. Ê Ø ÙØ ÔÝ ÝÚØ Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ð ÐÐ Ø ¹ Ð Ø Ô ÒÓÔ Ø ØØ ÙÒ Ò Ð ÙÔ Ø ÓÒ Ø Ö ¹ ØØÚÒ Ð Ðк Ì Ô ÒÓÔ Ø p ÓÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð Ó ÐÐ Ò Ð ÓÒ ÓÐ Ñ p Ò ÝÑÔÖ Ø B d (p) Ø Ò ØØ v B d (p) = lim t ϕ t (v) = p, Ð ÙÒ Ö ØØÚÒ Ð ÐØ Ð Ø ÚØ Ö Ø ÙØ Ð ¹ ØÝÚØ Ô Ø ØØ p. u p δ δ d u v p Ì ØÚ º½º ÑÑ Ò ÑÖ ØØ Ð ÑÑ Ð Ò Ö ÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ Ø Ð ÙÙ Ò ÝÑÔ¹ ØÓÓØØ Ò Ø Ð ÙÙ Ò Ñ Ò Ö Ø Ú ÐÐ º ÆÝØ ØØ Ð Ò Ö Ø Ô Ù µ Ò Ò¹ Ø Ú Ø ÝÐÐ ÓÐ Ú Ò Ò Ý ØÔ ØÚØ ÑÖ Ø ÐÑغ Ä ÑÑ º½º ÇÐ ÓÓÒ A R n n Ø Ò ØØ α(a) <. ÌÐÐ Ò ÒØ Ö Ð W = e tat e ta dt ÙÔÔ Ò W ÓÒ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò ÔÓ Ø Ú Ò ØØ Ñ ØÖ Ó ØÓØ ÙØØ º½µ v,w Av 2 W v,wv, v Rn. ÌÓ º ÇÐ ÓÓÒ β (α(a),). ÌÐÐ Ò Ð Ù Ò ¾º½ Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ K Ø Ò ØØ e ta Ke tβ, ÓØ Ò ÒØ Ö Ð ÙÔÔ Ò º Ë ÐÚ Ø W ÓÒ ÝÑÑ ØÖ Ò Òº ÈØ v T Wv = e ta v 2 dt. Ë Ô Ó v T Wv =, Ò Ò e ta v = t, ÓÐÐÓ Ò v =, Ð W ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ø Ò ØØ º ε ε

42 Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ ÃÝØØ Ò Ú d dt y(t) 2 = 2 y(t),y (t) Ò ÐÐ Ò v,wav = = d 2 dt e ta v,e ta Av dt = e ta v 2 dt = 2 Ñ Ø º½µ ÙÖ Ó v,wv W v 2. / e ta v,ae ta v dt = e ta v 2 = 2 v 2, Ë ÙÖ Ú Ð Ù ÒØ ÒÝØ Ö ØØÚÒ ÓÒ ÔÐ Ò Ö Ò Ý Ø Ñ Ò Ø Ô ÒÓÔ Ø Ò ÝÑÔ¹ ØÓÓØØ ÐÐ Ø Ð ÙÙ ÐÐ Ò Ò ÓÒ Ó Ú Ø Ú Ø Ô ÒÓÔ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ð Ò Ö Ó ØÙ Ý Ø Ñ ÓÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð º Ä Ù º¾º ÇÐ ÓÓÒ f Ø ÙÚ Ø Ö ÚÓ ØÙÚ p Ø Ô ÒÓÔ Ø A = Df(p). ÂÓ α(a) <, Ò Ò p ÓÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð º ÌÓ º ÎÓ ÑÑ ÓÐ ØØ ØØ p =. ÇÐ ÓÓÒ W ÙØ Ò Ð ÑÑ º½ σ = 2 W º Ø Ø Ò ØÙÐÓ x,y W = x,wy Ú Ø Ú ÒÓÖÑ x W = x,x W. ÇÐ ÓÓØ m 2 M 2 W Ò Ô Ò Ò ÙÙÖ Ò ÓÑ Ò ÖÚÓº ÌÐÐ Ò Ö Ú Ø Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø Ò ÒÝØ lim x f(x) Ax W x W m x x W M x, x R n. M m lim f(x) f() Df()x = x x Ó ÐÐ x,y R n ÔØ x,y W x W y W Ù Ý Ë Û ÖÞµ Ò x,f(x) Ax lim W x x 2 W ÇÐ ÓÓÒ ÒÝØ c (,σ) δ > Ø Ò ØØ ÓÐÐÓ Ò =. x W < δ = x,f(x) Ax W (σ c) x 2 W, x,f(x) W x,ax W +(σ c) x 2 W c x 2 W. ÂÓ ÒÝØ x (t) = f(x(t)) t > x() W < δ, Ò Ò d dt x(t) 2 W = 2 x(t),f(x(t)) W 2c x(t) 2 W, ÓØ Ò x(t) W x() W e ct, Ð x(t) W < δ t > lim t x(t) =. Ì ØÚ º¾º Î Óºµ ÆÝØ Ó f(p) = Ó Df(p) ÐÐ ÓÒ ÓÑ Ò ÖÚÓ λ, ÓÐÐ Reλ >, Ò Ò Ø Ô ÒÓÔ Ø p ÓÐ Ø Ð º ÂÓ Ò Ò ÓÐ ÚÓ ÑÑ Ø Ò Ò ÑÙÙØØÙ ÒÚ ÓÒ y = x p.

43 ¼ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ Ñ Ö º½º ËÝ Ø Ñ ÐÐ x 2x +x = 2 2 x 2 x +x 2 ÓÒ ÓÖ ÓÒ p = (,) Ð Ø Ô ÒÓÔ Ø q = (2,2). ÆÝØ Df(x) = 2 2x 2 º ÇÖ Ó ¹ Df(p) = [ 2 ] ØÐÐ ÓÒ ÓÑ Ò Ô Ö¹ Ø ( 2,[ 3 ]) (,[ ]) º ÌØ Ò Ö Ø ÙØ Ð ¹ ØÝÚØ ÓÖ Ó Ð Ô Ø Ò ÙÙÒÒ Ø ±[ 3 ] ÔÓ ØÙÚ Ø Ð Ô Ø Ò x 2 Ð Ô Ø Òº È ¹ Ø q = (2,2) Ò Ð Ò Ö Ó ÒØ Ñ ØÖ ¹ ÐÐ Df(q) = [ 2 4 ] ÓÐÐ ÓÒ ÓÑÔÐ Ø ÓÑ Ò ÖÚÓØ ±i 7 º ÌØ Ò q ÓÒ ÝÑÔ¹ 2 2 ØÓÓØØ Ø Ø Ð Ö Ø ÙØ Ð ØÝÚØ Ø ÔÝ Ö Òº Ç Ò ÙÚ Ò ÓÒ Ô ÖÖ ØØÝ Ú ¹ ØÓÖ ÒØØ f ÑÙÙØ Ñ Ö Ø Ù ÝÖ º ÀÙÓÑ ÙØÙ º½º ÂÓ Df(p) Ò ÓÑ Ò ÖÚÓ Ø Ø ØÒ Ú Ò ØØ Ò Ò Ö Ð Ó Ø ÚØ ÓÐ ÔÓ Ø Ú Ò Ò ØÐÐ Ò ÑÑ ÚÓ Ú ØØ Ø Ð ÙÙ Ø Ú Ð Ñ ØÒ Ö ÔÔÙÙ ÐÐÓ Ò ÓÖ ÑÑ Ò Ø Ò Ø ÖÑ Øº [ Ñ Ö º¾ À ÐÙÖ µº Ñ Ö Ò ½º¾ Ý Ø Ñ ÐÐ x (t) = x ] L 2 ÓÒ Ø Ô ÒÓ¹ gsin(x ) Ô Ø Ø (x,x 2 ) = (kπ,), k Z. È Ö ÐÐ Ø k Ø Ú Ø Ú Ø Ø Ô ÒÓÔ Ø Ø Ñ Ö Ø ÚØ Ý Ð Ø Ñ ÐÙÖ ÖÓ ÙÙ Ð ÚÓ Ð Ô Ò Ô Ö ØØÓÑ Ø k Ø Ú Ø ¹ Ú Ø ÔÝ ØÝ ÙÓÖ Ò ÝÐ Ô Ò Ø Ô ÒÓ Ð Ú ÐÙÖ º 2π ÖÓØ Ð Ú Ø Ú Ò ÔÝ Ö Ý Ö¹ ÖÓ º [ ÆÝØ Df(x) = L gcosx Df(2jπ,) = ], ÓØ Ò Ø Ô ÒÓÔ Ø L g Df((2j +)π,) = p L g ÇÑ Ò ÖÚÓØ ÓÚ Ø Ú Ø Ú Ø λ,2 = ±i g λ L,2 = ± g. ÌØ Ò Ô Ö ØÓÒØ k Ò ÖÚÓ L Ú Ø Ú Ø Ø Ô ÒÓÔ Ø Ø ÓÚ Ø ÐÐ Ò Ø ØÚÒ ÑÙ Ò Ô Ø Ð º ÃÙÒ k ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Ò ÓÑ Ò ÖÚÓØ ÓÚ Ø ÔÙ Ø Ø Ñ ÒÖ Ø ÒÝ Ý Ø ÝÐ Ø ØÙÐÓ ¹ ÑÑ ÚØ Ú Ð Ö Ø ÒÓÑ Ò Ø Ð ÙÙ Ø Ñ ØÒº ÇØ Ø Ò Ý ÚÙ Ò Ö ÐÝݺ Æ ÑÑ ØØ E = 2 v2 +gl( cosθ) = 2 x2 2 +gl( cosx ) ÓÒ Ú Ó Ô Ø Ò Ñ Ð Ú ÐØ Ø Ö Ø Ù ÝÖ d dt E(t) = x 2x 2 +glsin(x )x = x 2 gsin(x )+glsin(x ) L x 2 =.. q

44 Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ ½ ÂÓ E() δ 2, Ò Ò E(t) δ 2 ÐÐ t - gl δ 2 x 2 (t) 2δ cos(x (t)) δ2 gl cos θ Ð θ kπ α. º ÙÚ µº Æ Ò ÓÐÐ Ò Ö Ø Ù ÔÝ ÝÝ Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ð ÐÐ ØÐÐ Ø.5 Ø Ô ÒÓÔ Ø ØØ ÙÒ Ò Ð ÙÔ Ø ÓÒ Ú Ð Ø¹ ØÙ Ö ØØÚÒ Ð Ðغ Ë ÒÑ Ø Ô ÒÓÔ ¹ Ø Ø ÓÚ Ø Ø Ð ÑÙØØ ÚØ ÝÑÔØÓÓع Ø Ø Ø Ð º α.5 θ x 2 Î Ö ÓÒ Ø ØØÝ ÑÙÙØ Ñ Ö Ø Ù ÝÖ º ÀÙÓÑ Ö ØÝ Ø Ô Ø ¹ Ð Ø Ø Ô ÒÓÔ Ø Ø ØÓ Ò Ô Ö ØØÓÑ Ø k ص ÙÐ Ú Ø Ò º Ø ÖÓ Ð Ò Øµ Ö Ø Ùغ π π x ÂÓ ÓØ ÑÑ ÑÝ ÐÑ ÒÚ ØÙ Ò ÙÓÑ ÓÓÒ ÚÓ Ñ Ò Ó ÓÒ Ú ÖÖ ÒÒÓÐÐ Ò Ò ÒÓÔ ÙØ Ò Ý Ø Ñ ÑÙÓ ÓÒ θ (t) = v(t), L v (t) = gsin(θ(t)) αv(t), [ Ð f(x) = x ] L 2. ÆÝØ Ø Ô ÒÓÔ Ø gsin(x ) αx 2 Df(2jπ,) = L Df((2j +)π,) = L g α g α ÇÑ Ò ÖÚÓØ ÓÚ Ø ÒÝØ Ú Ø Ú Ø λ,2 = α 2 ± ( α 2 )2 g L λ,2 = α 2 ± ( α 2 )2 + g L. ÌØ Ò Ô Ö ØÓÒØ k Ò ÖÚÓ Ú Ø ¹ Ú Ø Ø Ô ÒÓÔ Ø Ø ÓÚ Ø ÐÐ Ò Ô Ø Ð ÙÒ Ø Ô Ö ÐÐ Ø k Ø Ú Ø Ö Ð Ó ÐØ Ò Ò Ø Ú Ø ÓÑ Ò ÖÚÓØ ÒÑ Ø Ô ÒÓÔ ¹ Ø Ø ÓÚ Ø ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð ÐÐ Ò Ð Ù Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ º ÁØ ØÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ ÔØ Ö Ø ÙØ Ð ØÝÚØ ÓØ Ò Ø ¹ Ô ÒÓÔ Ø ØØ ÙÙÖ Ò Ó Ö Ø Ù¹ Ø ÔØÝÝ Ø Ð Ò Ø Ô ÒÓÔ ¹ Ø Òº π x 2 π. x

45 ¾ ÌÁÅÇ ÁÊÇÄ Â ÇÄ ÎÁ Æ Î ÆÄÁÆÆ Ì Ô ÒÓÔ Ø ØØ p ÒÓØ Ò ÝÔ Ö ÓÐ Ó Df(p) ÐÐ ÓÐ ÓÑ Ò ÖÚÓ ÓÒ Ö Ð Ó ÓÐ ÒÓÐÐ º Ñ Ö Ø ¾º ¾º½¼ ÓÚ Ø ÝÔ Ö ÓÐ º Î Ñ ÒØ Ñ ØØÓÑ Ò Ð¹ ÙÖ Ò Ø Ð Ø Ø Ô ÒÓÔ Ø Ø k Ô Ö ÐÐ Ò Òµ ÚØ ÓÐ ÝÔ Ö ÓÐ ÙÒ Ø Ô Ø Ð Ø k Ô Ö ØÓÒµ ÓÚ Øº Î Ñ ÒÒ ØÙÒ ÐÙÖ Ò Ø Ô ÒÓÔ Ø Ø ÓÚ Ø ÝÔ Ö ÓÐ º Ä Ù Ò º¾ Ø ØÚÒ º¾ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ò Ë ÙÖ Ù º º ÀÝÔ Ö ÓÐ Ò Ò Ø Ô ÒÓÔ Ø ÓÒ Ó Ó Ô Ø Ð Ø ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð º º½º Ä ÔÙÒÓÚ Ò ÙÒ Ø Óغ Ä Ù Ò º¾ ØÓ ØÙ ÓÐ ÐÐ Ø ÒÝØ ØØ Ò ØØ ÙÒ ¹ Ø ÓÒ V(x) = x p 2 W ÖÚÓØ Ô Ò Ò ÚØ ÙÒ ØÒ Ô Ø Ò Ö Ø ÙØÖ ØÓÖ º Ä ÔÙÒÓÚ Ò ÓÐ Ø Ö Ø ÐÐ ÝÐ ÑÔ ÑÙÓØÓ ÓÐ Ú ÙÒ Ø Ó Ø ÓØ Ú Ò ÚØ Ô Ø Ò ÒÒ ØÙÒ Ý Ø Ñ Ò Ö Ø Ù º ÇÐ ÓÓÒ V : R n R Ö ÒØ Ó ØÙÚ º ÂÓ gradv(x), f(x) <, Ò Ò Ô Ø Ò x Ð ÐÐ ÙÐ Ú Ö Ø Ù Ô Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ V ÖÚÓØ Ú Ò ÚØ ÐÐ d dt V(ϕt (x)) t= = gradv(x), f(x) <. ÌÐÐ Ò Ò Ø Ö Ø ÐÙ Ó Ø ÙÖ Ú Ò Ä Ù º Ä ÔÙÒÓÚ Ò Ø Ð ÙÙ Ð Ù µº ÇÐ ÓÓÒ f C, p Ý Ø Ñ Ò x = f(x) Ø Ô ¹ ÒÓÔ Ø U Ò Ó Ò ÝÑÔÖ Ø º ÇÐ ÓÓÒ V : U R Ø ÙÚ Ø Ö ÒØ Ó ØÙÚ Ø Ò ØØ µ x p = V(x) > V(p), µ gradv(x), f(x) ÐÐ x U. Ö Î Üµ Ü Ø Ùµ V= vakio ÌÐÐ Ò p ÓÒ Ø Ð º ÂÓ Ð µ gradv(x), f(x) < ÐÐ x U \{p}, ܵ Ò Ò p ÓÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð º ÌÓ Ø ÑÑ ØÑÒ Ñ Ò ÑÝ ÑÑ Òº ÙÒ Ø ÓØ Ó ØÓØ ÙØØ ÓØ µ µ ÙØ Ù¹ Ø Ò Ø Ô ÒÓÔ Ø Ò Ä ÔÙÒÓÚ Ò ÙÒ Ø Ó º ÂÓ ÑÝ µ ÔØ Ò Ò Ø ÒÓØ Ò Ø Ö Ä ÔÙÒÓÚ Ò ÙÒ Ø Ó º Ñ Ö º º ÃÙÒ Ñ ØÖ ÐÐ A = Df(p) ÓÒ Ö Ð Ó ÐØ Ò Ò Ø Ú Ø ÓÑ Ò Ö¹ ÚÓØ W ÓÒ ÙØ Ò Ð ÑÑ º½ Ò Ò V(x) = x p 2 W ØÓØ ÙØØ Ø Ö Ò Ä ÔÙÒÓÚ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÓØ ÐÙ U = { x R n x p,wf(x) < } {p}, Ó ÓÒ Ö p Ò ÝÑÔÖ Ø º Ð Ù Ò º¾ ØÓ ØÙ µº Ð Ø Ä ÔÙÒÓÚ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð ÝØÑ Ò Ò ÒÒ ØÙÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ ÚÓ ÓÐÐ Ò Ð º Å ØÒ ÝÐ ÔØ Ú Ö ÔØ ÓÐ º Ý Ð Ý Ø Ñ Ò Ö Ø Ö Ø ÐÙØ ØÙÓØØ Ú Ø Ù Ò Ú Ø Ö Ò È Ø Ö ½ ¾

46 Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ ØÙÐÓ Òº Æ ÒÔ Ú Ñ ÒØ Ñ ØØÓÑ Ò ÐÙÖ Ò Ñ Ö º¾µ Ó ÓÒ Ò Ö E ÓÒ ÓØ µ µ ØÓØ ÙØØ Ú Ä ÔÙÒÓÚ Ò ÙÒ Ø Óº Í Ò ÒÒ ØØ ÝÖ ØØ ÓÔ Ú ÑÙÓØÓ ÓÐ Ú V غ x Ñ Ö º º ÇÖ Ó ÓÒ Ý Ø Ñ Ò 2x +3x x = x x 2 Ø Ô ÒÓÔ Ø º Ä Ò¹ x2 2 x3 2 Ö Ó ÙÒ Ý Ø Ñ Ò Ñ ØÖ [ 2 ] ÒÒ Ñ Ò ÔØ ÐÐ Ñ ØÒ Ø Ð ÙÙ Ø º Ö Ø ØÒ Ý Ø Ñ ÐÐ Ä ÔÙÒÓÚ Ò ÙÒ Ø ÓØ ÑÙÓ Ó V(x) = a x 2 + a 2x 2 2, a,a 2 >. ÌÐÐ Ò Ò Ò ØÓ µ ØÓØ ÙØÙÙº ÆÝØ gradv(x), f(x) = 2a x x +2a 2x 2 x 2 = 2a x ( 2x +3x x 3 2 )+2a 2x 2 ( 2x 2 x2 2 x3 2 ) = 4a x 2 +(6a 4a 2 )x 2 x 3 2 2a 2 x 4 2, Ó Ø Ú Ð Ø Ñ ÐÐ a = 2, a 2 = 3 Ò gradv(x),f(x) = 8x 2 6x 4 2, Ð V(x) = 2x 2 +3x2 2 ÓÒ Ø Ö Ä ÔÙÒÓÚ Ò ÙÒ Ø Ó ÓÖ Ó ÓÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð º Ë ÖÖÝØÒ ÒÝØ Ä ÔÙÒÓÚ Ò Ø Ð ÙÙ Ð Ù Ò ØÓ ØÙ Òº d ÌÓ º ÂÓ u U, Ò Ò dt V(ϕt (u) = gradv(ϕ t (u)), f(ϕ t (u)), V(ϕ t (u)) V(u) Ò Ò Ù Ò ÙÒ ϕ t (u) U. ÓØ Ò ÇÐ ÓÓÒ ε > Ñ Ð Ú ÐØ Ò Ò Ø Ò ØØ B ε (p) U. Ø Ø Ò c = min x p =ε V(x), ÓÐÐÓ Ò c > V(p). Å Ò Ñ ÓÒ ÓÐ Ñ Ó V ÓÒ Ø ÙÚ Ô ÐÐÓÒ B ε (p) Ô ÒØ ÓÒ ÓÑÔ Ø ºµ ÇÐ ÓÓÒ U c = { x B ε (p) V(x) < c } º Uc ÓÒ ÚÓ Ò Ó V ÓÒ Ø ÙÚ º ÇÐ ÓÓÒ δ > Ø Ò ØØ B δ (p) U c º ÌÐÐ Ò ÔØ Ó u B δ (p), Ò Ò V(ϕ t (u)) V(u) < c ÐÐ t, ÓØ Ò ϕ t (u) B ε (p) ÐÐ t. Ë p ÓÒ Ø Ð º ÇÐ Ø Ø Ò ÒÝØ ØØ ØÓ µ ÓÒ ÑÝ ÚÓ Ñ ÓÐ ÓÓØ ε >,δ >, c > V(p) ÙØ Ò Ðк ÇÐ ÓÓÒÂÓ u B δ (p), Ò Ò V(ϕ t (u)) ÓÒ Ú Ò Ú V(p), ÓØ Ò V = lim t V(ϕ t (u)) ÓÒ ÓÐ Ñ º ÆÝØ ØÒ ØØ V = V(p). Ì Ò Ú Ø ÓÐ ØÙ V > V(p). ÌÐÐ Ò ÓÙ Ó D = { x U c V(x) V } ÓÒ ÓÑÔ Ø Ø ÙÚ ÐÐ ÙÒ Ø ÓÐÐ η(x) = gradv(x), f(x) ÓÒ ÐÐ Ñ Ñ = k < ÓÒ µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ µº Î Ø ÓÐ ØÙ Ò ÑÙ Ò ϕ t (u) D ÐÐ t, ÓØ Ò d dt V(ϕt (u)) k ÐÐ t, Ó Ø V(ϕ t (u)) V(u) kt, Ó ÓÒ Ö Ø Ö Ø º Ë Ô lim t V(ϕ t (u)) = V(p). ÌÓ ÐØ V(p) ÓÒ V Ò ÓÐÙÙØØ Ò Ò Ñ Ò Ñ ÓÑÔ Ø ÓÙ Ó B ε (p), ÓØ Ò ÚÐØØÑØØ lim t ϕ t (u) = p p ÓÒ ÝÑÔØÓÓØØ Ø Ø Ð º