Variaabeli 7. Opettajan aineisto. Talousmatematiikka MAB7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Transkriptio

1 Variaabeli 7 Talousmatematiikka MAB7 Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

2 SISÄLLYS Yleistä Ratkaisut kirjan tehtäviin Kokeita Toimittaja: Mare Herlevi Taitto: Tekijät. painos Painovuosi 004 Kopiointiehdot Tämä teos on opettajan opas. Teos on suojattu tekijänoikeuslailla (404/6). Tekstisivujen valokopioiminen on kielletty, ellei valokopiointiin ole hankittu lupaa. Tarkista, onko oppilaitoksellanne voimassaoleva valokopiointilupa. Lisätietoja luvista ja niiden sisällöstä antaa Kopiosto ry, Teoksen kaikkien kalvopohjien ja kokeiden valokopiointi opetuskäyttöön on sallittua, mikäli oppilaitoksellanne on voimassaoleva valokopiointilupa. Teoksen tai sen osan digitaalinen kopioiminen tai muuntelu on ehdottomasti kielletty. Sidonta: KEURUSKOPIO Painopaikka: Otavan Kirjapaino Oy, Keuruu 004 ISBN:

3 Yleistä Tämän opettajamateriaalin ratkaisuja voi käyttää mm. ryhmän eriyttämiseen ja opiskelijoiden itsenäiseen harjoitteluvaiheeseen panemalla ratkaisuja esille kalvolle tai "vastausnurkkaan". Opettajamateriaalin nettiversiossa ( on kunkin tehtävän kohdalla myös tehtäväteksti, joten opettaja voi halutessaan käyttää mitä tahansa kirjan tehtävää esimerkkinä. Variaabelin kotisivuille on koottu eri laskinmallien käyttöohjeita. Toiminnallista matematiikkaa: ) Kurssin ensimmäiselle tunnilla voi jakaa tuoreet pörssikurssit ja antaa opiskelijoiden tehdä euron virtuaalisijoitus haluamallaan tavalla. Kurssin aikana sijoituksia voi myydä ja ostaa uusia kertyneiden varojen puitteissa. Kurssin lopussa tutkitaan miten kunkin sijoitukset ovat kannattaneet. Jos kurssi sattuu sellaiseen ajankohtaan, jolloin on menossa nettisijoittaja-kilpailu, voivat opiskelijat opetella sijoitusasioita osallistumalla kyseiseen kisaan. ) Laina-asioita voi opiskella toiminnallisesti antamalla tehtäväksi etsiä itselleen sopiva asunto, kulkuneuvo, lomamatka tms. hintatietoineen ja selvittää mistä saisi siihen edullisimman rahoituksen. 3) Kurssikokeen voi korvata talousmatematiikkaan liittyvällä harjoitustyöllä, joka käsittelee valittua aihepiiriä sekä esseemuotoisena että laskennallisesti. 3

4 RATKAISUT KIRJAN TEHTÄVIIN HAUSKA ALKUTESTI. Alkuperäinen hinta a Hinnan korotus 0 % Prosenttikerroin 00 % + 0 % = 0% = 0, Uusi hinta,0 a Hinnan lasku 0 % Prosenttikerroin 00 % 0 % = 90 % = 0, 90 Uusi hinta 090, 0, a = 099, a Uudet hinnat ovat 99 % alkuperäisistä hinnoista, joten hinnat ovat laskeneet Hinnan lasku 00 % 99 % = % Vastaus: Hinnat ovat laskeneet %:lla.. Kahvi 78 % Jäätelö 44 % Yhteensä % Kahvi Jäätelö 56 % % % Koska kahvilan koko asiakaskunta on 00 %, niin sekä jäätelön että kahvin osti % 00 % = % Vastaus: Asiakkaista % osti kumpaakin. 3. Konvehtirasia k Virvoitusjuoma v Jäätelö j Jogurtti u Tehtävän tiedoista saadaan yhtälöryhmä, josta ratkaistaan k muuttujan v avulla. k = v+ j+ u R S j = k T v = 3u Keskimmäisestä yhtälöstä saadaan 4

5 j = k : j = k Alimmasta yhtälöstä saadaan v = 3u :3 v = u 3 Sijoitetaan j ja u ylimpään yhtälöön k = v+ j+ u j = k, u = v 3 k = v+ k + v 3 k k = v+ 3 v 5 k = v 3 0 k = v 3 k = 3 v 3 Vastaus: Yksi konvehtirasia vastaa 3 3 virvoitusjuomaa. 4. Valmistukseen on käytetty 0,50 kg = 0,5 kg = 500 g Lihasta haihtuu vettä 0 %, jolloin jää 00 % 0 % = 80 % Lihan paino haihtumisen jälkeen 08, 500g = 400 g Vastaus: Lihaa 400 g 5.. viikolla,. viikolla, 3. viikolla 3,... Viimeinen pulloon talletus 00, joten se on tapahtunut 00. viikolla. Pulloon talletettu summa Kyseessä on aritmeettinen summa, koska lisäys d = on vakio. Pullossa rahaa ( ) a + an Sn = n n = 00, a =, a00 = 00 S = = Vastaus: Pullossa oli rahaa

6 6. Alkuperäinen myynti a Kasvua, % Prosenttikerroin 00 % +, % =, % =, Aika x (a) x Myynti tulee joka vuosi,-kertaiseksi, tällöin x:ssä vuodessa myynti tulee, - kertaiseksi x, a = a : a x =, lg() lg, x = lg x lg, = lg :lg, lg x = lg, x 60, Vastaus: Myynti kaksinkertaistuu 6 vuoden kuluttua. 7. Kari x ( ) Anneli x 7 Martti 3 x 7 Yhteensä 5 Saadaan yhtälö Kari 36 Anneli 36 7 = 9 Martti 39 = 87 Yhteensä 5 b g x+ ( x 7) + 3( x 7) = 5 x+ x 7+ 3x = 5 5x = 80 : 5 x = 36 Vastaus: Karilla oli 36, Annelilla 9 ja Martilla Lukujono,,, 3, 5,.... termi. termi 3. termi = + 4. termi 3 = + 5. termi 5 = 3 + Lukujonon termi saadaan kahden edellisen termin summana, joten 6. termi = 8 Vastaus: Seuraava termi on 8. 6

7 9. Polttoainevarasto V V Koneen A kulutus 40 V Koneen B kulutus 44 Kulutus yhteensä 3) 5) V V 3V + 5V 8V + = = Koneet kuluttavat 8 varastollista 70 tunnissa, joten varastollinen riittää 70 8 = 90 tuntia. Vastaus: Polttoainetta riittää 90 tunniksi. 0. Kirjan hinta kirjakauppiaalle a Kirjan myyntihinta yleensä, a Kirjan myyntihinta paraimmille,08 a Alennuskerroin x x, a = 08, a :(, a) 08, a x =, a x = 09, Alennusprosentti 00 % 90 % = 0 % Vastaus: Kauppias myönsi 0 %:n hinnanalennuksen.. PROSENTTILASKENTAA. a) 005, 5 =,5 b) 07, 780, = 5,66 5,6 c), , = 67,95 67,95 Vastaus: a),5 b) 5,6 c) 67,95. a) 0, = 0,6975 0,70 b) 0, =,47 c), = 844 Vastaus: a) 0,70 b),47 c) 844 7

8 3. a) 3 % = = 50 b) 03, 7 = c) 7 3 % 7 = = 00 Vastaus: a) b) 7 00 c) a) Yksikön muunnos h 7 min =( ) min = 77 min 7 min 7 min = = 0, , % h 7 min 77 min b) Yksikön muunnos 7 60 h= 7 60 min = 7 min 60 7 h 60 7 min = = 00, = 0, % 350 min 350 min c) Yksikön muunnos 0, h = 0, 60min = min 0, h min = = 05, = 50% 4 min 4 min Vastaus: a) 9, % b),0 % c) 50 % 5. a) = = 35, = 350 % 5 4 b) = = 30 = % 4 7 8

9 c) = = = 00 % 9 49 Vastaus: a) 350 % b) % c) 00 % 4 6. a) Lukujen suhde = 08, 0= 80 % 5 Pienempi 00 % 80 % = 0 % 5 b) Lukujen suhde 4 = 5, = 5 % Suurempi 5 % 00 % = 5 % Vastaus: a) 0 % pienempi b) 5 % suurempi a) Lukujen suhde 500 = 3 = 300 % Suurempi 300 % 00 % = 00 % b) Lukujen suhde = 033,...= 33,3... % Pienempi 00 % % 67 % Vastaus: a) 00 % suurempi b) 67 % pienempi 8. a) Lukujen suhde = = 075, =75 % 8 49 Pienempi 00 % 75 % = 5 % 9 4 b) Lukujen suhde = =, = 0 % Suurempi 0 % 00 % = 00 % Vastaus: a) 5 % pienempi b) 00 % suurempi 9. Alkuperäinen luku 7 Kasvu % Prosenttikerroin 00 % + % = 0 % =,0 Uusi luku 0, 7 9

10 Pienennys % Prosenttikerroin 00 % % = 98 % = 0,98 Uusi luku 0, 98, 0 7 = 0, a) Luku on 0,9996-kertainen lukuun 7 verrattuna b) Luku on 99,96 % luvusta 7, joten se on pienempi 00 % 99,96 % = 0,04 % Vastaus: a) 0,9996-kertainen b) 0,04 % pienempi 0. Alkuperäinen luku 5 Pienennys 40 % Prosenttikerroin 00 % 40 % = 60 % = 0,6 Uusi luku 06, 5 Kasvu 50 % Prosenttikerroin 50 % + 00 % = 350 % = 3,5 Uusi luku 35, 06, 5=, 5 a) Luku,-kertainen lukuun 5 verrattuna b) Luku on,-kertainen eli 0 % luvusta 5, joten se on suurempi 0 % 00 % = 0 % Vastaus: a),-kertainen b) 0 % suurempi.a) Alkuperäinen luku a. kasvu 4 % Prosenttikerroin 00 % + 4 % = 04 % =,04 Uusi luku,04 a. kasvu 7 % Prosenttikerroin 00 % + 7 % = 07 % =,07 Uusi luku, 07, 04 a = 8, a Uusi luku on,8-kertainen eli,8 % alkuperäisestä Kasvu,8 % 00 % =,8 % % b) Prosenttikerroin kummallakin kerralla sama kahden korotuksen jälkeen uusi luku a a = 8, a :a =, 8 0

11 =± 8, > 0 = 0548,... Keskimääräinen korotusprosentti 05,48... % 00 % 5,5 % Vastaus: a) Kaiken kaikkiaan % b) Keskimäärin 5,5 %. Auton alkuperäinen hinta a ( ). korotus,6 % Prosenttikerroin 00 % +,6 % = 0,6 % =,06 Uusi hinta,06 a. korotus 3, % Prosenttikerroin 00 % + 3, % = 03, % =,03 Lopullinen hinta 0, 6 03, a = 0578,... a Hinnan nousu prosentteina,0578 = 0,0578 5,8 % Vastaus: Hinta nousi 5,8 % 3. Alkuperäinen luku a.korotus 0 % Prosenttikerroin 00 % + 0 % = 0 % =, Uusi luku, a. korotus 40 % Prosenttikerroin 00 % + 40 % =40 % =,4 Luku toisen korotuksen jälkeen 4,, a Pienennys 80 % Prosenttikerroin 00 % 80 % = 0 % = 0, Luku pienennyksen jälkeen 0, 4,, a = 0576, a Keskimääräinen muutos eli prosenttikerroin jokaisella kerralla sama 3 Luku kolmen kerran jälkeen a a 3 = 0, 576a :a 3 = 0576, 3 = 3 0, 576 = 0, Pienenemisprosentti 00 % 83,0... % 7 % Vastaus: Pienenee keskimäärin 7 %

12 4. Osakkeen alkuperäinen hinta a ( ) Muutos maanantaina +,4 % Prosenttikerroin 00 % +,4 % =0,4% =,04 Muutos tiistaina +,3 % Prosenttikerroin 00 % +,3 % = 0,3 % =,03 Muutos keskiviikkona +3, % Prosenttikerroin 00 % + 3, % = 03, % =,03 Muutos torstaina 3,4 % Prosenttikerroin 00 % 3,4 % = 96,6 % = 0,966 Muutos perjantaina +0, % Prosenttikerroin 00 % + 0, % = 00, % =,00 Osakkeen hinta viikon lopussa 04, 03, 03, 0966, 00, a = 0367,... a Muutosprosentti 03,67 % 00 % 3,6 % Vastaus: Kurssi muuttui +3,6 % 5. a) Korkoprosentti 4,5 % = 0,045 Korko vuoden talletuksesta 0, = 35 Korkoprosentti 5,5 % = 0,055 Korko vuoden talletuksesta 0055, 5000 = 6,50 Korot yhteensä ,50 = 397,50 b) Korot yhteensä 397,50 Talletukset yhteensä = Keskimääräinen korko 397, 50 = 0, , 97 % Vastaus: a) Korkoa yhteensä 397,50 b) keskimääräinen korko 4,97 % 6. Käteen jäävä osuus 00 % 34 % = 66 % = 0,66 Käteen euroina 066, 35 = 409,0 Vastaus: Jani saa 409,0 7. Villen ensimmäinen korotusprosentti 5 % = 0,05 Ensimmäinen korotus 005, 350 = 7,50 Toinen korotus 5,00 Korotukset yhteensä 7,50 + 5,00 = 4,50 4, 50 Palkan korotusprosentti = 0, , 3% 350

13 Janin ensimmäinen korotusprosentti 5 % = 0,05 Ensimmäinen korotus 0, = 74,50 Toinen korotus 5,00 Korotukset yhteensä 74,50 + 5,00 = 99,50 Palkan korotusprosentti 99, 50 = 0, , 4% 490 Vastaus: Villen palkka nousi 0,3 %, Janin palkka nousi 3,4 % 8. Alkuperäinen luku x a) Prosenttikerroin 6 % = 0,6 06, x = 0 : 0, 6 0 x = 06, x = 5 b) Prosenttikerroin 30 % =,30, 30x = 69 :, x = 30, x = 30 c) Prosenttikerroin 0, % = 0,00 000, x = 075, : 000, 075, x = 000, x = 750 d) Prosenttikerroin 7 % = x = 7 5 : 300 x = x = 5 7 x = 80 Vastaus: a) 5 b) 30 c) 750 d) 80 3

14 9. a) Mekon alkuperäinen hinta a ( ) Mekon alennettu hinta 75 Alennusprosentti 5 % Johannan maksama osuus 00 % 5 % = 85 % = 0,85 085, a = 75 : 08, 5 75 a = 085, a 88, 0 b) Mekon alkuperäinen hinta 88,0 Alennusprosentti (5 + ) % = 7 % Johannan osuus 00 % 7 % = 83 % = 0,83 Mekon alennettu hinta 0,83 88, 0 73, Vastaus: a) Mekon alentamaton hinta 88,0 b) Hinta olisi ollut 73, 0. Tuolin alkuperäinen hinta a ( ) Alennus 6,30 Alennusprosentti 5 % = 0,5 05, a = 630, : 0, 5 6, 30 a = 05, a 08, 70 Asiakkaan maksama hinta 08,70 6,30 = 9,40 Vastaus: Hinta oli 9,40. Hinta vuoden alussa x ( ) Hinta vuoden lopussa 34,75 Prosenttikerroin 00 % +, % = 0,% =,0, 0 x = 34, 75 :, 0 34, 75 x = 0, x 3, 98 Vastaus: Suihku maksoi 3,98.. Alkuperäinen myynti m Prosenttikerroin 00 % + 4 % = 4 % =,4 Uusi myynti,4 m 4

15 Alkuperäinen hinta h Prosentti kerroin 00 % 5 % = 85 % = 0,85 Uusi hinta 0,85 h Alkuperäinen myyntitulo mh Uusi myyntitulo, 4m 085, h = 0969, mh Myyntitulo pieneni 00 % 96,9 % = 3, % Vastaus: Myyntitulo pieneni 3, %. 3. Vastike ennen, 00 64, 5 mk = 774 mk Prosenttikerroin 00 %? 8,5 % = 08,5 % =,085 Uusi vastike, mk = 839, 79 mk Vastaus: Vastike oli 839,79 mk. 4. Alkuperäinen matkustaja määrä a Prosenttikerroin 00 % 3 % = 77 % = 0,77 Uusi matkustajamäärä 0,77 a Korotuskerroin k k 077, a = a : a 077, k = : 07, 7 k = 987,... Korotusprosentti 9,87... % 00 % 30 % Vastaus: Matkustajamäärän pitäisi kasvaa 30 %. 5. Hinta ennen h Korotuskerroin 00 % + 5,0 % = 05 % =,05 Uusi hinta,05 h Matkustaja määrä ennen m Pienenemiskerroin 00 % 5,0 % = 95 % = 0,95 Uusi matkustajamäärä 0,95 m Lipputulot ennen mh Uudet lipputulot, 05h 0, 95m= 0, 9975mh Lipputulot pienenivät 00 % 99,75 % = 0,5 % Vastaus: Lipputulot pienenivät 0,5 %. 5

16 6. Lainan määrä a Korko ennen 0, a Uusi korko 0,5 a Korkokulujen kasvu 05, a 363,. 0, a =.. 3,63... % 00 % 3,6 % Vastaus: Korkokulut nousivat 3,6 %. 7. Vehnätynnyrin hinta ennen h Korotuskerroin 00 % + % = 0 % =,0 Uusi hinta,0 h Vehnätynnyrin paino ennen p Korotuskerroin 00 % + 4 % = 04 % =,04 Uusi paino,04 p Vehnän yksikköhinta ennen h p Vehnän yksikköhinta nyt 0, h h = 0, , p p Muutoskerroin k h h h k 09807,... = : p p p k 0, = : 0, k =, Muutosprosentti 0,96... % 00%,0 % Vastaus. Hintaa voi alentaa,0 %. 8. Hyyrymäärä ennen a Prosenttikerroin 00 % 5 % = 95 % = 0,95 Säästöön ennen 0,95 a Hyyrymäärän korotuskerroin k Hyyrymäärä nyt ka Prosenttikerroin 00 % 0 % = 90 % = 0,90 Säästöön nyt 0,90 ka 6

17 Säästö ennallaan 090, ka= 095, a : a 090, k = 095, 090, k =, Korotusprosentti 05,55... % 00 % 5,6 % Vastaus: Hyyryjä pitää korottaa 5,6 %. 9. Alkuperäinen hinta a Korotuskerroin k Hinta. korotuksen jälkeen ka Hinta. korotuksen jälkeen k ka = k a 3 Hinta 3. korotuksen jälkeen k k a = k a Hinta 3. korotuksen jälkeen kaksinkertainen 3 k a = a k 3 3 = : a k = 599,... Korotusprosentti 5,99... % 00 % 6,0 % Vastaus: Korotusprosentti on 6,0 %. 30. Käytetyn maidon litrahinta alussa 40, mk = 55, mk / l 08, l Käytetyn maidon litrahinta lopussa 5, mk +,5 mk = 50, mk / l 0,5 l + 0,5 l Puolenlitran ostokset ovat edullisempia. 5 Hintojen suhde = 0, , Edullisuus prosentteina 00 % 95,38... % 4,76 % Vastaus: Jälkimmäinen on 4,76 % edullisempi. 3. Tulot ennen ennakkoa x (mk) Prosenttikerroin 00 % 4 % = 58 % = 0,58 Tulot ennakon jälkeen 058, x = , : 058, , x = 058, x = 8 765,

18 Ennakko 8 765,57... mk 5 084,00 mk 3 68,5 mk Vastaus: Ennakko oli 3 68,5 mk. 3. Henkilö A 47,30 mk Prosenttikorotus 0, 08 47, 30 mk = 0, 854 mk <,05 mk Henkilön A korotus on,05 mk Henkilön A palkka korotuksen jälkeen 47,30 mk +,05 mk = 48,35 mk Henkilö B Prosenttikerroin 00 % + 38,4 % = 38,4 % =,384 Henkilön B tuntiansio, , 30 mk = 65, 463 mk 65, 46 mk Prosenttikorotus 0, 08 65, 46 mk = 78,... mk >, 05 mk Henkilön B korotus on prosenttikorotus Henkilön B palkka korotuksen jälkeen 65, 46 mk +,78... mk 66,64 mk Henkilö B saa enemmän palkkaa 37, 8... % 00 % 37,8 % 66, 64 mk, , 35 mk = Vastaus: Henkilö B saa 37,8 % enemmän palkkaa. 33. Opettajia vuonna 98 a Korotuskerroin 00 % + 0,6 % = 0,6 % =,06 Opettajia vuonna 99,06 a Opiskelijoita vuonna 98 3 a Korotuskerroin 00 % + 37,3 % =37,3 % =,37 Opiskelijoita vuonna 99, 37 3a = 7, 836a Opiskelijoiden määrän ja opettajien määrän suhde 7, 836a 4, 78..., 06a = 5 Vastaus: Vuonna 99 oli 5 opiskelijaa yhtä opettajaa kohden. 34. Hinta alussa h Alennuskerroin 00 % 0 % = 80 % = 0,80 Myynti lopussa 0,80 m Markkamääräinen myynti alussa a Kasvukerroin 00 % + % = 0 % =,0 Markkamääräinen myynti lopussa,0 a Myyty tavaramäärä alussa a h 8

19 Myyty tavaramäärä lopussa 0, a a = 75, 080, m m Tavaramäärän kasvu 7,5 % 00 % = 7,5 % 8 % Vastaus: Myyty tavaramäärä kasvoi 8 %. 35. Tuotteen myyntihinta alussa a Prosenttikerroin 00 % 8 % = 9 % = 0,9 Uusi myyntihinta 0,9 a Myyntipalkkio alussa 0, 5a Uusi myyntipalkkio 0, 3 0, 9a = 0, 85a Myyntipalkkioiden suhde 0,85 a,408 4,08% 0, 5a = = Nousua 4,08 % 00 % = 4,08 % Vastaus: Myyntipalkkio nousi. 36. Auton arvo väheni joka vuosi p prosenttia, joten vähenemiskerroin on joka vuosi sama. Auton arvo alussa mk Auton arvo 8 vuoden kuluttua mk Vähenemisprosentti p = : = 0, =± 8 0, > 0 = 0, p = 00 % 8, % 8 % Vastaus: Vuosittainen vähenemisprosentti oli Äänioikeutettuja a Äänestäjiä 0,7 a KYLLÄ-ääniä 0, 57 0, 7a = 0, 4047a KYLLÄ-äänien osuus 40,47 % 4 % Vastaus: Äänioikeutetuista KYLLÄ-ääniä oli 4 %. 9

20 38. Oppilaitos A Tyttöjen hyväksymisprosentti Poikien hyväksymisprosentti = 06, = 6% = 05, = 5% Tyttöjen hyväksymisprosentti 6 5 = prosenttiyksikköä suurempi Oppilaitos B Tyttöjen hyväksymisprosentti 4 = 0, = 0% 0 Poikien hyväksymisprosentti 4 = 09, = 9 % 600 Tyttöjen hyväksymisprosentti 0 9 = prosenttiyksikköä suurempi Koko oppilaitos Tyttöjen hyväksymisprosentti Poikien hyväksymisprosentti = = 065, = 65, % = 0, , 87 % Poikien hyväksymisprosentti on 8,87 6,5 =,6 prosenttiyksikköä suurempi Vastaus: Koko oppilaitokseen poikien hyväksymisprosentti on suurempi. 39. Työväestö a Työttömiä alussa 0,09 a Työttömiä nyt 0,09 a + 80 eli 3 % 009, a+ 80= 03, a Työttömiä 0, = 60 Vastaus: Työttömiä oli , a = 80 : 004, a = Henkilö maksaa 0 % lisäaikaa Todellinen taksa x (mk/viikko), x = 0 :, 0 x =, Laitteen haltija saa 0 %:n alennuksen, eli maksaa 80 % 0

21 080, 0 = 4, , Hän säästää joka viikko 0 mk 4, mk = 5, mk Aika viikkoina, jolloin laite maksettu 535mk 98 5, mk Vastaus: Laite on säästetty 98 viikossa. 4. Vuokra alussa 650 kr. nousu, prosenttikerroin 00 % +, 0 % = 0 % =,0 Vuokra. nousun jälkeen, kr = 663 kr. nousu, prosenttikerroin 00 % +,5 % = 0,5 % =,05 Vuokra. nousun jälkeen, kr = 67, 945 kr 67,95 kr Uusi kuukausivuokra on 67,95 kr. Uusi vuosivuokra on 67,95 kr = 8075,40 kr. Kokonaisnousukerroin,0,05 =,0353 Nousua yhteensä 03,53 % 00 % = 3,53 % Vastaus: Uusi vuosivuokra on 8 075,40 kr ja nousu yhteensä 3,53 %.. INDEKSILUVUT 4. Lasketaan esimerkkinä vuoden 989 indeksi, muut tehdään samoin. Perusvuosi 988, sato 743 Vuosi 989, sato 445 Indeksiluku Vuosi Hunajasato 000 kg Indeksi , , , , , , , , , , , , ,3

22 Piirretään viivadiagrammi indeksi vuosi Lasketaan esimerkkinä vuoden 998 indeksi, muut tehdään samoin. Perusvuosi 997, kilohinta 7,9 ( ) Vuosi 998, kilohinta 7,3 ( ) Indeksiluku 73, 00 00, 3 79, Vuosi Kahvin kilohinta ( ) Indeksi 997 7, ,3 00, ,90 80, ,4 84, Vuoden 000 indeksi on 84,, joten kahvin kilohinta on 84, % vuoden 997 kilohinnasta. Kilohinnan pienennys 00 % 84, % = 5,8 % Vastaus: Kilohinta on pienentynyt 5,8 %. 44. Lasketaan esimerkkinä vuoden 90 indeksi, muut tehdään samoin. Perusvuosi 900, syntyneitä Vuosi 90, syntyneitä Indeksiluku , Vuosi Syntyneitä Indeksi , , , , ,7 a) Vuoden 960 indeksi on 95,, joten syntyneitä on 95, % vuoden 900 määrästä. Vähennystä on tapahtunut 00 % 95, % = 4,9 % b) Vuoden 000 indeksi on 65,7, joten syntyneitä on 65,7 % vuoden 900 määrästä. Vähennystä 00 % - 65,7 % = 34,3 % Vastaus: Syntyneitä on a) 4,9 %, b) 34,3 % vähemmän kuin vuonna 900.

23 45. Lasketaan esimerkkinä vuoden 90 indeksi, muut tehdään samoin. Perusvuosi 900, solmittuja avioliittoja 8 95 Vuosi 90, solmittuja avioliittoja Indeksiluku , Vuosi Solmittuja liittoja Indeksi , , , , , ,8 a) Vuoden 970 indeksi on,63, joten solmittujen liittojen määrä,63 % vuoden 900 määrästä. Kasvua,63 % 00 % =,63 % b) Vuoden 000 indeksi on 46,8, joten solmittujen liittojen määrä on 46,8 % vuoden 900 määrästä. Kasvua 46,8 % 00 % = 46,8 % Vastaus: Solmittujen liittojen määrä on kasvanut a),63 %, b) 46,8 % vuodesta Lasketaan esimerkkinä vuoden 998 indeksi, muut tehdään samoin. Perusvuosi 997, makaronin kilohinta,7 ( ) Vuosi 998, makaronin kilohinta,05 ( ) Indeksi 05, 7, 00 8, 7 Vuosi Kilohinta ( ) Indeksi 997, ,05 8, ,95 74, ,89 70, Vuoden 000 indeksi 70,, joten kilohinta on 70, % vuoden 997 kilohinnasta. Väheneminen 00 % 70, % = 9,9 % 3

24 indeksi vuosi Vastaus: Makaronin kilohinta on laskenut 9,9 % vuodesta 997 vuoteen Lasketaan esimerkkinä vuoden 998 indeksi, muut tehdään samoin. Elokuvalippu Perusvuosi 997, hinta 6,76 ( ) Vuosi 998, hinta 6,8 ( ) Indeksi 68, 00 00, 9 676, Keskituntiansio Perusvuosi 997, ansio 0,84 ( ) Vuosi 998, ansio,0 ( ) Indeksi 0, 0, , 4 Elokuvalippu Keskituntiansio Vuosi Hinta ( ) Indeksi Vuosi Ansio ( ) Indeksi 997 6, , ,8 00,9 998,0 0, ,95 0,8 999,54 06, ,07 04,6 000,5, Indeksilukutaulukon perusteella voidaan sanoa, että keskituntiansio ovat kasvaneet voimakkaammin kuin elokuvalippujen hinnat. Piirretään samaan koordinaatistoon kumpienkin indeksisarjat. indeksi vuosi Diagrammissa muutos näkyy siitä, että ansion indeksisarja kulkee ylempänä ja kasvaa jyrkemmin. 4

25 48. Inflaatioprosentti tarkoittaa hintaindeksin nousuprosenttia. a) Vuosi Indeksi Hintaindeksin muutos 36 =, Inflaatioprosentti 04,69... % 00 % 4,7 % b) Keskimääräisellä muutosprosentilla tarkoitetaan, ett muutos on joka vuosi sama, eli tulee joka kerta -kertaiseksi. Vuodet , eli vuotta =, =±, > 0 =, Keskimääräinen inflaatioprosentti 0,3... % 00 %,3 % Vastaus: a) Inflaatioprosentti on 4,7 %. b) Keskimääräinen inflaatioprosentti on,3 %. 49. Inflaatioprosentti tarkoittaa hintaindeksin nousuprosenttia a) Vuosi Indeksi Hintaindeksin muutos 563 =, Inflaatioprosentti 04,3... % 00 % 4, % b) Keskimääräisellä muutosprosentilla tarkoitetaan, ett muutos on joka vuosi sama, eli tulee joka kerta -kertaiseksi. Vuodet , eli vuotta = 043,... =±, > 0 = 004,... Keskimääräinen inflaatioprosentti 0,04... % 00 %,0 % Vastaus: a) Inflaatioprosentti on 4, %. b) Keskimääräinen inflaatioprosentti on,0 %. 5

26 50. Jotta reaaliarvo on sama on hintojen muutos pitää olla sama kuin indeksin muutos. a) Vuosi Hinta ( ) Indeksi 973 0, x 563 Hinta ja indeksi ovat suoraan verrannolliset 076, 84 = x x = 0, : 84 x 48, b) Vuosi Hinta ( ) Indeksi 988 x 04 00,0 563 Hinta ja indeksi ovat suoraan verrannolliset x 04 = 0, x =, 0 04 : 563 x 085, Vastaus: a) Pehmolelu maksaisi 4,8. b) Kahvikupponen maksoi 0, a) Inflaatioprosentti tarkoittaa hintaindeksin nousuprosenttia Vuosi Indeksi Hintaindeksin muutos 563 = 75, Inflaatioprosentti 7,5... % 00 % 7,3 % b) Rahan arvo ja indeksi ovat kääntäen verrannolliset Vuosi Rahan arvo Indeksi 99 a x 563 Kääntäen verrannollisten suureiden tulo on vakio. 563 x = 333a : 563 x = 333a 563 x = 0858,... a 6

27 Rahan arvon alenemisprosentti 00 % 85,8... % 4,7 % Vastaus: a) Inflaatio prosentti oli 7,3 %. b) Rahan arvo aleni 4,7 %. 5. Muutetaan vuoden 983 viinerin hinta euroiksi. = 5,94573 mk 6, 0,60 mk = 0,7 5, Hinta on kääntäen verrannollinen rahan arvoon. Vuosi Rahan arvo Hinta ( ) 983 a 0,7 00 x,60 Kääntäen verrannollisten suureiden tulo on vakio 60, x = 07, a : 60, x = 0, 6875a Rahan arvo on alentunut 00 % 6,875 % 83, % Keskimääräisellä muutosprosentilla tarkoitetaan, että joka vuosi rahan arvo on tullut - kertaiseksi. Vuodet eli 9 vuotta 9 9 = 0, 6875 = 0906,... Keskimääräinen alenemisprosentti 00 % 9,06... % 8,9 % Vastaus: Rahan arvo on alentunut 83, %. Keskimäärin arvo on alentunut 8,9 % vuodessa. 53. Muutetaan vuoden 97 viikkoraha euroiksi. = 5,94573 mk 0 0 mk =,68 5, Vuosi Raha ( ) Indeksi 97, x 563 Käyttöraha ja indeksi ovat suoraan verrannolliset 68, 54 = x x =, : 54 x 0, 30 Vastaus: Janille pitäisi antaa 0,30. 7

28 54. Vuosi Raha ( ) Indeksi 996 x Rahamäärä on suoraan verrannollinen indeksiin. x 398 = x = : 563 x 8, 94 Vastaus: Vuonna 996 olisi pitänyt olla 8, a) Hinnat alussa a. nousu, prosenttikerroin 00 % + 80 % = 80 % =,80 Hinnat 8, 0 a. nousu, prosenttikerroin 00 % + 5 % = 5 % =,5 Hinnat 5, 8, a = 63, a 3. nousu, prosenttikerroin 00 % + 60 % = 60 % =,6 Hinnat 6, 63, a = 0,08a Hinnat nousivat yhteensä 008 % 00 % = 908 % b) Keskimääräisellä nousulla tarkoitetaan, että hinnat tulivat joka kerta -kertaiseksi. Nousukertoja 3 3 a = 0, 08a : a 3 3 = 0, 08 =, Keskimääräinen nousuprosentti 6,0... % 00 % 6 % Vastaus: a) Hinnat nousivat yhteensä 908 %. b) Hinnat nousivat keskimäärin 6 %. 56. Muutetaan ensin kymmenen vuoden takainen palkka nykytasolle. Palkka ja indeksi ovat suoraan verrannolliset. Vuosi Palkka ( ) Indeksi Ennen Nyt x 500 8

29 = x x = : 50 x = 958 Reaalipalkan eli ostokyvyn nousu 367 = 044, Nousuprosentti 0,44... % 00 % 0,4 % Vastaus: Ostokyky nousi 0,4 %. 57. Alman palkka alussa p Korotuskerroin 00 % + 6 % = 6 % =,6 Alman palkka 5 vuoden kuluttua,6p Indeksi alussa 00 Indeksi 5 vuoden kuluttua 0, koska nousua 0 % Muutetaan Alman palkka p indeksin mukaisesti. Palkka ja indeksi ovat suoraan verrannolliset. Vuosi Palkka Indeksi Alussa p 00 Lopussa x 0 p 00 = x 0 00 x = 0 p : 00 x =, p Reaalipalkan eli ostokyvyn nousu 6, p 0545,..., p = Nousuprosentti 05,45... % 00 % 5,5 % Vastaus: Ostokyky kasvoi 5,5 %. 58. a) Inflaatioprosentti tarkoittaa hintaindeksin nousuprosenttia. Hintaindeksi vuonna 997 oli 0, Hintaindeksi vuonna 00 oli Muutos = 067,... 0, Inflaatio 0,67... % 00 % 0,7 % 9

30 b) Keskimääräisellä inflaatioprosentilla tarkoitetaan, että joka vuosi hinnat olisivat tulleet yhtämoninkertaisiksi, prosenttikerroin 5 5 = 067,... =, Keskimääräinen inflaatioprosentti 0,0486 % 00 %,0 % c) Inflaatioprosentti tarkoittaa hintaindeksin nousuprosenttia. Hintaindeksi vuonna 995 x Hintaindeksi vuonna Inflaatioprosentti oli, %, eli hintaindeksi nousi, % Prosenttikerroin 00 % +, % = 0, % =,0, 0x = 00 :, 0 x 98, 9 d) Ostovoima on kääntäen verrannollinen indeksiin. Vuosi Ostovoima Indeksi 000 a x Kääntäen verrannollisten suureiden tulo on vakio. x = 07 a : x = 0, a Ostovoima pieneni 00 % 95,53... % 4,5 % e) Palkka on suoraan verrannollinen indeksiin. Muutetaan vuoden 998 palkka vuoden 00 tasolle. Vuosi Palkka ( ) Indeksi ,6 00 x 000 0, 6 = x 0, 6 x = 000 : 0, 6 x 83, 4 Reaaliansion nousu ,4 =96,76 30

31 f) indeksi vuosi Inflaatioprosentti on kasvanut eniten, kun kuvaaja kasvaa jyrkimmin. Vastaus: a) Inflaatio prosentti on 0,7 %. b) Keskimääräinen inflaatioprosentti on,0 %. c) Hintaindeksi oli 98,9. d) Ostovoima pieneni 4,5 % e) Reaaliansio kasvoi 96, Rahan arvo ja hinta ovat kääntäen verrannolliset. Vuosi Rahan arvo Hinta ( ) 97 a 84,09 00 x 0 Kääntäen verrannollisten suureiden tulo on vakio. 0x = 84, 09 a : 0 x = 8409,... a Rahan arvo on kasvanut 840,9 % 00% = 740,9 % Vastaus: Rahan arvo olisi kasvanut 740,9 %. 60. a) Lasketaan esimerkkinä vuoden 998 indeksit, muut tehdään samoin. Kaikki palkansaajat Perusvuosi 997, indeksi 06,7 Vuosi 998, indeksi 0,5 Uusi indeksi 0, , 6 06, 7 Kuntasektori Perusvuosi 997, indeksi 06,0 Vuosi 998, indeksi 09,5 3

32 Uusi indeksi 09, , 3 06 Elinkustannusindeksi Perusvuosi 997, indeksi 45 Vuosi 998, indeksi 435 Uusi indeksi , 4 Vuosi Kaikkien palkansaajien ansiotuloindeksi Indeksi perusvuosi 997 Kuntasektorin ansiotuloindeksi Indeksi perusvuosi 997 Elinkustannus - indeksi Indeksi perusvuosi , , ,5 03,6 09,5 03, , ,6 06,5, 05,8 45 0, , 0,7 5,4 08, , 00 3,4 5,7 9,5, ,8 00 7,5 9,5,9 5, ,5 b) indeksi vuosi 6. a) Deflatointi tarkoittaa, että muutetaan vuokrat aikaisempaa ajankohtaa vastaaviksi, tässä 990 tasolle. Deflatoidaan esimerkkinä vuoden 995 vuokra, muut lasketaan samoin. Vuokrat ja indeksi ovat suoraan verrannolliset. Vuosi 990, vuokra x ( /m /kk), indeksi 48 Vuosi 995, vuokra 5,7 ( /m /kk), indeksi 390 x 48 = 57, 57, 390 x 54, 3

33 Vuosi Vuokra ( /m /kk) Indeksi Deflatoitu vuokra ( /m /kk) 990 4,4 48 4, , , , , ,8 45 5, ,0 50 5, , ,0 00 7, , b) Inflatointi tarkoittaa, että muutetaan vuokrat myöhäisempää ajankohtaa vastaaviksi, tässä 00 tasolle. Inflatoidaan esimerkkinä vuoden 990 vuokra, muut lasketaan samoin. Vuokra ja indeksi ovat suoraan verrannolliset. Vuosi 990, vuokra 4,4( /m /kk), indeksi 48 Vuosi 00, vuokra x ( /m /kk), indeksi 563 x 563 = 4, 4 44, 48 Vuosi Vuokra ( /m /kk) x 58, Indeksi Inflatoitu vuokra ( /m /kk) 990 4,4 48 5, , , , , ,8 45 7, ,0 50 7, , , , ,66 vuokra (e) 8,0 7,5 inflatoitu 7,0 6,5 6,0 5,5 alkuperäinen deflatoitu 5,0 4,5 4,0 3,5 vuosi Vastaus: Reaalivuokrat ovat nousseet. 33

34 6. Tuotteen hinta a Alennuskerroin 00 % % = 88 % =0,88 Hinta ennen Hinta nyt Raaka-aine 0,a 0,88 0,a Muut 0,8a 0,8a Tuotteen kokonaishinta alennuksen jälkeen 088, 0, a+ 08, a = 0976, a Hinnan alennus 00 % 97,6 % =,4 % Vastaus: Hintaa voitaisiin alentaa,4 %. 63. Määrä 998 ( ) 999 ( ) 000 ( ) 00 ( ) Vehnäleipä 600 g = 0,6 kg 06, 96, 8, 06, 98, 9, 06, 98, 9, 06, 06, 4, Keitto- 400 g = 04, 68, 507, 04, 4, 496, 04, 5, 490, 04, 5, 7 503, kinkku 0,4 kg Meet- 50 g = 05, 84, 93, 05, 47, 87, 05, 45, 87, 05,, 6 89, vursti 0,5 kg Juusto 400 g = 04, 85, 34, 04, 87, 349, 04, 897, 359, 04, 96, 385, 0,4 kg Ostoskassi,59,5,55,0 Lasketaan esimerkkinä vuoden 999 ostoskassin indeksi, muut tehdään samoin. Perusvuosi 998, ostoskassi,59 ( ) Vuosi 999, ostoskassi,5 ( ) Indeksi 5, 59, 00 99, 3 Vuosi Ostoskassi Indeksi ( ) 998, ,5 99,3 000,55 99,7 00,0 03,6 34

35 64. Seuramatkan hinta a Lennon osuus 50 %, lennon hinta 0,50 a Polttoaineen osuus lennosta 30 %, polttoaineen hinta 03, 050, a = 05, a Polttoaineen lisäkustannus 00, 05, a = 005, a Koska vain polttoaine kallistuu, niin koko matka kallistuu tämän verran. Seuramatkan hinnankorotus 005, a = 5, % a Vastaus: Kokonaiskustannukset nousevat,5 %. 65. Korin alkuperäinen hinta a Tuote Hinta Korotuskerroin Uusi hinta A 0,35 a 00 %+,0 % = 0,0 % =,0, 0 0, 35a = 0, 357 a B 0,5 a 00 %,0 % = 99,0 % = 0,99 099, 05, a = 0475, a C 0,0 a 00 %+4,4 % = 04,4 % =,044, 044 0, 0a = 0, 088a D 0,4 a 00 % 5,8 % = 94, % = 0,94 0, 94 0, 4 a = 0, 388a E 0,06 a 00 %+6, % = 06, % =,06, 06 0, 06a = 0, 0637 a Yht. a,0089 a Korin uusi hinta on,0089 a Hinta on kallistunut 00,89 % 00 % 0,9 % Vastaus: Korin hinta on noussut 0,9 %. 66. a) Kulutus a "Vaatetus ja jalkineet" 5 % eli 0,05 a Menojen nousu 003, 005, a = 0005, a Nousu on kulutuksesta 0,005 = 0,5 % Kulutuksen nousu 0,5 prosentilla tarkoittaa indeksin nousua 0,5 pisteellä verrattuna indeksiin 00. b) Indeksin lasku pisteellä tarkoittaa laskua prosentilla, kun indeksi on 00. "vaatetus ja jalkineet"-ryhmän osuus on 5, kun indeksiluku on 00. Lasketaan, kuinka monta prosenttia piste on 5:stä. = 0 % 5 Vastaus: a) Vaikutus on 0,5 pistettä. b) Ryhmän pitäisi nousta 0 %. 35

36 67. Kuukausimenot a a) Kirjamenot 0,08 a Korotus 005, 0080, a = 000, a Kulttuurimenot 0,0 a Vähennys 0, 05 0, 0a = 0, 005a Koska muut pysyvät ennallaan muutos aiheutuu vain näistä kahdesta. Muutos yhteensä 0,00 a 0,005a = 0,003 a Vähennys kokonaismenoista on 0,003 = 0,3 % b) Puhelinmenot 0,5 a Vähennys 0, 05 0, 5a = 0, 005a Koska muut menot pysyvät ennallaan, vähennys on 0,005 = 0,5 % 0, % Vastaus: a) Menot pienenevät 0,3 %. b) Menot pienenevät 0, %. 68. Muutetaan jokaisen vuoden markka vastaamaan aina edellistä vuotta. Vuosi Kerroin (980) Kerroin (edellinen vuosi) 963 4, ,00 400, 093, 430, 965 3,8 38, 096, 400, 966 3,74 374, 098, 38, 967 3,64 0, ,8 0, ,6 0, ,04 0,96 97,89 0,95 97,67 0,9 973,7 0,85 974,8 0,80 975,6 0,88 976,44 0,89 977,30 0,90 978,4 0,95 979,4 0,9 980,00 0,88 Kerroin on pienin vuonna 974, joten silloin inflaatio eteni nopeimmin. Vastaus: Inflaatio eteni nopeimmin vuonna

37 69. Korko 5 %:n tililtä 005, 5000mk = 50mk Korko p %:n tililtä 0, 0 p mk = 00 p mk Korko 6 %:n tililtä 0, mk = 900 mk Korot yhtä suuret p = p = 650 : 00 p = 65, Vastaus: Korko prosentti p on 6, Muutetaan vuoden 938 kahvin hinta vastaamaan vuotta 946. Hinta ja indeksi ovat suoraan verrannolliset. Vuosi Hinta (mk) Indeksi x 460 Hinnan nousu = x x = : x = 30 = 30434,... Nousuprosentti 304,34... % 00 % 04 % Vastaus: Hinta on 04 % suurempi. 7. Alkupääoma a Tilin A korko 0,035a Tilin A koron indeksilisä 0,0pa 0, 035a+ 0, 0pa 0, 70 Vähennetään 30 % vero ( ) Tilin B korko 0,035a Tilin B koron indeksilisä 0, p 0 a Korkotulot oltava yhtä suuret p ( 0, 035a+ 0, 0pa) 0, 70 = 0, 035a+ 0, 0 a 0, 045a+ 0, 007 pa = 0, 035a+ 0, 005 pa : a 0, , 007 p = 0, , 005 p Vastaus: 5,5 % 0, 00 p = 0, 005 : 0, 00 p = 5, 5 37

38 7. a) Rahan arvo on suoraan verrannollinen indeksiin. Vuosi Raha (kr) Indeksi x 7, = x 7, 8 57 x = 000 7, 8 : 57 x 0648, b) Inflaatioprosentti on sama kuin indeksin nousuprosentti. Indeksin nousu 7, 8 = 064, Inflaatioprosentti 06,4... % 00 % 6, % Vastaus: a) Reaaliarvo muuttui 6,48 kr. b) Inflaatioprosentti oli 6, % 3. VALUUTAT 73. Setelivaluutan ostokurssin mukaan =,497 $ Tällöin 600 = 600 4, 97$ = 989, $ Vastaus: 600 euroa on 989, USD. 74. Pankki myy seteleitä Janille, joten käytetään myyntikurssia. = 9,800 JPY : 9, 800 JPY = 9, Tällöin 000 JPY = 9, 800 7,74 Vastaus: Jani voi ostaa 000 Japanin jeniä 7,74 eurolla. 75. Tehdään muunnos muuttamalla jenit ensin euroiksi ja sitten eurot dollareiksi. Japanin jenin tilivaluutan myyntikurssi = 33,3300 JPY 4500 Jenit euroiksi 33, ,75 Yhdysvaltain dollarin tilivaluutan myyntikurssi =,94 USD Eurot dollareiksi 33, 75 9, 4 USD 38, USD Vastaus: Rahalla saa 38, USD. 38

39 76. Pankki myy kruunuja setelikurssin mukaan Ruotsin kruunun setelivaluutan myynti kurssi = 8,989 SEK 000 Ruotsin kruunut maksoivat,34 8, 989 Norjan kruunun setelivaluutan myynti kurssi = 8,5 NOK 000 Norjan kruunut maksoivat 8, 5 3,8 Vaihtopalkkio 5,00 Kruunut maksoivat yhteensä,34 + 3,8 + 5,00 = 39,6 Vastaus: Rahanvaihto maksoi 39, Pankki myy Yhdysvaltain dollareita setelivaluutan myyntikurssin mukaan Yhdysvaltain dollarin setelivaluutan myyntikurssi =,57 USD Martilla on käytettävissä rahaa valuutan vaihtoon pankin perimän palkkion jälkeen 500,50 = 497,50 Rahalla saatava dollareiden määrä 497, 50 57, USD 670,76 USD Vastaus: Martti sai 670,76 Yhdysvaltain dollaria. 78. Pankki ostaa Haraldin kruunut setelivaluutan ostokurssin mukaan Norjan kruunun setelivaluutan ostokurssi = 8,4549 NOK 3000 Tällöin NOK = 8, ,8 Vastaus: Harald sai 354,8 euroa. 79. Tehdään muunnos muuttamalla Australian dollarit ensin euroiksi ja sitten eurot Norjan kruunuiksi. Pankki ostaa Australian dollareita Australian dollarin setelivaluutan ostokurssi =,7450 AUD 500 Australian dollarit euroiksi 745, 0 859,60 Norjan kruunun setelivaluutan myyntikurssi = 8,5 NOK Eurot kruunuiksi 859, 60 8, 5 USD 6 97,64 NOK Vastaus: Virpi sai 6 97,64 NOK. 80. Yritysten kesken käytävä kauppa tapahtuu tilivaluuttakurssin mukaan. Yhdysvaltain dollarin tilivaluutan ostokurssi =,358 USD Kauppahinta euroina , Kauppahinta dollareina , USD = ,60 USD Vastaus: Lapaset maksoivat ,50 USD. 39

40 8. Tehdään muunnos muuttamalla Yhdysvaltain dollarit ensin euroiksi ja sitten eurot Sveitsin frangeiksi. Pankki ostaa Yhdysvaltain dollareita Yhdysvaltain dollarin ostokurssi =,66 USD Yhdysvaltain dollarit euroiksi ,56 66, Sveitsin frangin myyntikurssi =,550 CHF Eurot frangeiksi 857, 56 5, 50 CHF 99,0 CHF Vastaus: Turisti sai 99,0 CHF. 8. Tehdään muunnos muuttamalla Australian dollarit ensin euroiksi ja sitten eurot Japanin jeneiksi Australian dollarin ostokurssi =,7090 AUD Australian dollari euroiksi AUD = = 0, , Japanin jenin ostokurssi = 34,300 JPY Eurot jeneiksi 0, , 300 JPY 78,543 JPY Vastaus: Australian dollarin ja Japanin jenin välinen valuuttakurssi AUD = 78,543 JPY. Devalvaatio ja revalvaatio 83. a) Taulukoidaan valuuttakurssit Aika EUR JPY Alussa,00 0,73 Lopussa,00 4,39 Euron kurssi nousee, jeni revalvoituu. 4, 39 Kurssien suhde = 633,... 06, 9 Revalvaatioprosentti 6,33 % 00 % 6,3 % b) Taulukoidaan valuuttakurssit Aika EUR CHF Alussa,00,605 Lopussa,00,454 Euron kurssi laskee, frangi devalvoituu. Kurssien suhde, 454 = 0, , 605 Devalvaatioprosentti 00 % 90,48 % 9,5 % Vastaus: a) Japanin jeni on revalvoitunut 6,3 % vuoden 000 lopusta vuoden 00 loppuun. b) Sveitsin frangi on devalvoitunut 9,5 % vuoden 999 lopusta vuoden 00 loppuun. 40

41 84. Taulukoidaan valuuttakurssit Aika EUR CYP Alussa,00 0,5736 Lopussa,00 0,5873 Lasketaan Kyproksen punnan kurssit euroina. Kurssi alussa = 0,5736 CYP : 0,5736 CYP = 0, 5736 CYP =,7447 Kurssi lopussa = 0,5873 CYP : 0,5873 CYP = 0, 5873 CYP =,7030 Kurssien suhde, = 0976,..., Devalvaatioprosentti 00 % 97,6 %,38 % Vastaus: Kyproksen punta devalvoitui,38 %. 85. Norjan kruunun kurssi euroissa. = 8,70 NOK : 8,70 NOK = 8, 70 NOK = 0,3 Kruunu devalvoituu, joten sen kurssi laskee 7,5 %. Uusi kurssi 0, 95 0, 3... = 0,395 Kruunun uusi kurssi NOK = 0,395 : 0,395 8,775 NOK Vastaus: Norjan kruunun ja euron välinen kurssi oli = 8,775 NOK 86. a) Kurssi ennen devalvaatiota = 46,03 MMM : 46,03 MMM = 46, 03 MMM 0,078 Kurssi devalvaation jälkeen = 50,05 MMM : 50,05 MMM = 50, 05 MMM 0,09990 d) Kurssien suhde 0, , 78 0,0900 Devalvaatioprosentti 00 % 9,00 % = 8,00 % 4

42 Vastaus: a) Kurssi ennen devalvaatiota 0,078 ja devalvaation jälkeen 0, b) Devalvaatioprosentti oli 8,00 %. 87. Ruplan kurssi nousi, joten euron arvo nousi ruplaan nähden ja ruplan arvo laski euroon nähden. 3, 09 Kurssien suhde =, , 596 Euron revalvoitumisprosentti 08,433 % 00 % 8,43 % Devalvoituminen ja revalvoituminen ovat käänteisiä tapahtumia, joten kurssien suhteen 9, 596 käänteisluku = 0, , 09 Ruplan devalvoitumisprosentti 00 % 9, % 7,78 % Vastaus: Ruplan arvo laski. Devalvaatioprosentti 7,78 % ja revalvaatioprosentti 8,43 %. 88. Euron ja dollarin välinen kurssi alussa = a USD : a USD = a Dollari devalvoituu 5 % Dollarin uusi kurssi 085, 0, 85 = a a Tavaran hinta Suomessa ennen devalvaatiota b Tavaraa sai Amerikassa yhdellä dollarilla USD : b = : b = a ab Tavaran yksikköhinta : = ab ab kappaletta Tavaran hinta Suomessa devalvaation jälkeen,03b Tavaraa sai Amerikassa yhdellä dollarilla USD : b = 085, 085, :, 03b a = 03, ab kappaletta 085, 03, ab Tavaran yksikköhinta : = 03, ab 085, 03, ab 085, 03, ab 03, ab 03, Yksikköhintojen suhde = : ab = = = 7,... ab 085, 085, ab 085, Hintojen nousu,7 % 00 %, % Vastaus: Hinnat nousivat Yhdysvalloissa, %. 89. Norjan kruunun kurssi vuoden 000 lopussa = 8,335 NOK Lainamäärä Lainamäärä Norjan kruunuina , 335 NOK = 0987, 50 NOK Lainasta maksettava korko 0, , 50 NOK = 58457,85 NOK Takaisin maksettava laina 09 87,50 NOK ,85 NOK = ,35 NOK Norjan kruunun kurssi vuoden 00 lopussa = 7,756 NOK 4

43 , 35 Takaisin maksettava laina euroina 49 49,9 7, 756 Vastaus: Lainasta jouduttiin maksamaan takaisin 49 49,9 90. Sveitsin frangin kurssi vuoden 00 lopussa =,489 CHF Lainamäärä Lainamäärä Sveitsin Frangeina 5000, 489 CHF = 37 07, 50 CHF Lainasta maksettava korko 0, , 50 CHF 76,90 CHF Takaisin maksettava laina 37 07,50 CHF + 76,90 CHF = ,40 CHF Norjan kruunun kurssi vuoden 00 lopussa =,454 CHF 39834, 40 Takaisin maksettava laina euroina 7 46,6, 454 Vastaus: Lainasta jouduttiin maksamaan takaisin 7 46,6 9. Taulukosta..999 EUR =,569 USD USD = EUR,569 USD 0, EUR Samalla tavoin JPY = EUR 0, EUR 6, 33 Valuutat syksyllä USD = EUR EUR,04, JPY = EUR 0, EUR 3, 8 Valuuttakurssien muutos, , USD: = : = 43,, , 04, 569, USD:n kurssi on vahvistunut 4,3%. 3, 8 6, 33 JPY: = : = 00, 3, 8 6, 33 3, 8 6, 33 JPY:n kurssi on vahvistunut,0%. Vastaus: Kurssit euroina..999: USD = 0,86438 EUR ja JPY = 0, EUR ja.7.999: USD = 0,98775 EUR, JPY = 0, EUR. USD:n kurssi on vahvistunut 4,3% ja JPY:n kurssi on vahvistunut,0% euroon nähden. 43

44 9. Määrä m kpl Hinta h mk Kustannukset = määrä hinta Kokonaiskustannukset K = mh Myyntihinta,h Voitto 0,mh Valuutan noususta johtuva lisäkustannus 0, 075, mh = 0, mh 3 Myyntihinnan korotus p % p m, h = 0, mh : mh 00 3,, p = 0, : p =, p = 3, p 3, 6 Vastaus: Myyntihintaa pitää korottaa 3,6 %. 93. Määrä m kpl Hinta h mk Kustannukset = määrä hinta Kokonaiskustannukset alun perin K = mh Myyntihinta,h Voitto 0,mh Ulkomaille suoritettavat nousseet maksut koko hankintaerän osalta, 5 0,80 mh =,0mh Kotimaan laskeneet maksut 0, 66 0, 0 mh = 0,3mh Muuttuneet kokonaiskustannukset,0 mh + 0,3mh =,3mh Kokonaiskustannusten lisäys,3mh mh = 0,3mh Myyntihinnan korotus p % p 3 m,h = 0,3 mh : mh ,3 3,3 p = 0,3 : p = 6 Vastaus: Myyntihintaa pitää korottaa 6 %. 94. Rukiin hinta r (mk/hl) Maidon hinta m (mk/l) Vuokra. vuonna 80r + 300m + 30 Vuokra. vuonna 65r + 00m + 586,5 Vuokra 3. vuonna 85r + 500m + 8,5 Vuokra on sama joka vuosi (. ja. vuonna) 44

45 80r+ 300m+ 30 = 65r+ 00m+ 586, 5 80r 65r = 00m 300m+ 586, r = 00m+ 66, 5 : 5 00 r = m+ 7, 75 5 Vuokra on sama. ja 3. vuonna 65r+ 00m+ 586, 5 = 85r+ 500m+ 8, 5 65r 85r = 500m 00m+ 8, 5 586, 5 0r = 300m 405 :( 0) r = 5m+ 0, 5 Merkitään r:t yhtä suuriksi 00 m+ 7, 75 = 5m+ 0, m m= 0, 5 7, m = 5, : , m = 5 m = 030, Rukiin hinta r = 5m + 0,5 r = 5 030, + 05, = 575, Vuokra markoissa 80 5, , = 670 Vastaus: Vuokra 670 mk. Rukiin hinta 5,75 mk/hl ja maidon 0,30 mk/l. 95. A:n rahayksikkö a B:n rahayksikkö b Valuuttakurssikerroin ennen devalvaatiota k Kurssit ennen devalvaatiota b = ka Devalvaatioprosentti p % Kurssit devalvaation jälkeen F p F p I b = + ka : k 00 00K J I HG K J + HG 00 a = p 00 k b = p k b = + 00 p k b Halpenemisprosentti % 00 = p p = 00 = 00 + p 00 + p 45

46 Kun p = 5, 00 = 476, p = 0, 00 = 90, 9 p = 30, 300 = 3, 3 Vastaus: = 0 0p. p:n arvoja vastaavat :n arvot 4,76; 9,09 ja 3, p 96. Pankki myy Villelle Yhdysvaltain dollareita tilivaluuttakurssin mukaan. Kurssi =,94 USD 560 Ostokset euroina 38,6, 94 Vastaus: Ostokset maksoivat 38,6 97. Pankki myy Lenalle Yhdysvaltain dollareita tilivaluuttakurssin mukaan. Kurssi =,94 USD 45 Ostokset euroina 0,36, 94 Muutetaan eurot Ruotsin kruunuiksi. Pankki myy Lenalle Rutsin kruunuja tilivaluuttakurssin mukaan Kurssi = 9,55 SEK Ostokset kruunuina 0, 36 9, 55 SEK 0 059,54 SEK Vastaus: Ostokset maksoivat 0 059,54 SEK. 4. LUKUJONOT JA SUMMAT 98. a), 3, 6, 0, 5,, 3 = +, 6 = 3 + 3, 0 = 6 + 4, 5 = Seuraava luku saadaan lisäämällä yksi enemmän kuin edellisessä luvussa Kysytty luku = b), 8, 7, 64, =, 8=, 7 = 3, 64 = 4 3 Kysytty luku 5 3 = 5 Vastaus: a) b) 5 99., 5, 8,, a) Kyseessä on aritmeettinen lukujono, koska peräkkäisten termien erotus on vakio d = 3. a = a + d n n a5 = + ( 3) = 4 a = 4 + ( 3) = 7 a 6 7 = 7 + ( 3) = 0 46

47 b) 5. termi saadaan helpoimmin. termin avulla an = a + ( n ) d n = 5, a =, d = 3 a 5 = + ( 5 ) ( 3) = 74 Vastaus: a) Kolme seuraavaa termiä ovat 4, 7, 0. b) 5. termi on a = 0 d = a) Jonon 00. termi an = a + ( n ) d a 00 = 0 + ( 00 ) = 08 b) Sadan ensimmäisen termin summa Sn = n a + a n n = 00, a = 0, a00 = S 00 = 00 = Vastaus: a) Sadas termi on 08. b) Sadan ensimmäisen termin summa a = 9 a3 = Suhdeluku a a a n = n = 3 a 3 = 9 = 9 n = 3 :9 =± 3 Kymmenen ensimmäisen termin summa S n = a n Suhdeluvulla = 3 47

48 S 0 ( ) = = = 3, 5 79 Suhdeluvulla = 3 S 0 9 ( ) = 9 3 ( ) 3 + = = 68, 79 Vastaus: Summa on 3,5 tai 6,8. 0., 0,; 0,04; 0,008 Lukujono on geometrinen, koska kahden peräkkäisen luvun suhde on vakio = 0, : = 0, a) Kaksi seuraavaa termiä an = an a = 0, 0008, = 000, 6 a 5 6 = 0, 0, 006 = 0, 0003 b) Seitsemäs termi saadaan helpoimmin ensimmäisen termin avulla n a = a n = 7, a =, = 0, n 7 5 a 7 = 0, = 6,4 0 = 0, Vastaus: a) Termit ovat 0,006 ja 0,0003. b) Seitsemäs termi on 0, a) 3, 6, 9,, Kyseessä on aritmeettinen lukujono, koska peräkkäisten termien erotus on vakio, d = termi an = a + ( n ) d n = 50, a = 3, d = 3 a 50 = 3+ ( 50 ) 3 = 450 Termien summa Sn = n a + a n n = 50, a = 3, a50 = 450 S = 450 = b), 6,, 6, 48

49 Kyseessä on aritmeettinen lukujono, koska peräkkäisten termien erotus on vakio, d = termi an = a + ( n ) d n = 50, a =, d = 5 a 50 = + ( 50 ) 5= 746 Termien summa Sn = n a + a n n = 50, a =, a50 = 746 S = 746 = Vastaus: Summa on a) b) a) 4,, +36, 08, Suhdeluku an = a n = 4 = 3 Kymmenen ensimmäisen termin summa S n = a n 0 9 S ( ) + = ( 3) b),,, 4 Suhdeluku an = a n = = n = 0, a = 4, = 3 = = Kymmenen ensimmäisen termin summa S n = a n n = 0, a =, = 49

50 S 0 ( ) = 0 = 5 5 = 56 Vastaus: Summa on a) b) a) Positiiviset kokonaisluvut muodostavat aritmeettisen jonon, d = Termien summa Sn = n a + a n n = 000, a =, a000 = 000 S = 000 = b) Seitsemällä jaolliset positiiviset luvut muodostavat aritmeettisen jonon, d = 7. a = 7 a 000 = = Sn = n a + a n S = = Vastaus: Summa on a) b) Matkat muodostavat aritmeettisen jonon, d = 00 m 30. termi an = a + ( n ) d n = 30, a = 00 m, d = 00 m a 30 = 00 m + ( 30 ) 00 m= m Termien summa Sn = n a + a n n = 30, a = 00 m, a30 = m 00 m m S 30 = 30 = m = 46,5 km Vastaus: Essi juoksi yhteensä 46,5 km. 50

51 07. Kukkaistutus muodostaa aritmeettisen jonon, d =. 8. termi an = a + ( n ) d n = 8, a =, d = a 8 = + ( 8 ) = 5 Termien summa Sn = n a + a n n = 8, a =, a 8 = 5 S = 5 = 64 Vastaus: Viimeiseen riviin tuli 5 kukkasta. Kukkasia oli yhteensä Matka muodostaa aritmeettisen jonon. Aritmeettisen lukujonon ensimmäinen termi on Kahden peräkkäisen termin erotus d = 00 (m) Yhteenlaskettavien määrä n = 30 Viimeisen päivän kävely matka an = a + ( n ) d a 30 = = 950 Termien summa a =50 (m) Sn = n a + a n a + a S 30 = = 30 = (m) Yksikön muunnos m = 45 km Vastaus: Hän kävelee yhteensä 45 km 09. Pylväitä = 0 kappaletta Urakoitsija joutuu hakemaan 0 = 67 kuormaa. 3 Kuljettu matka 5

52 S = ( + 0, ) + ( + 05, ) + ( + 04, ) ( + 0) = (, +, 5+, ), + = 67 = 944, 7 (km) aritmeettinen summa d = 05, S n a + a n = n Vastaus: Urakoitsija joutuu kulkemaan 944,7 kilometrin matkan. 0. Matkat muodostavat aritmeettisen jonon, d = 0 m + 0 m = 0 m Ensimmäinen haku (. kuhilas) a = 0 m = 0m Viimeinen, 9. haku (0. kuhilas) an = a + ( n ) d n = 9, a = 0 m, d = 0 m a 9 = 0 m + (9 ) 0 m = 380 m Termien summa Sn = n a + a n n = 9, a = 0 m, a9 = 380 m 0 m m S9 = 9 = m=3,8 km Vastaus: Matka yhteensä 3,8 km. Muodostuu geometrinen jono, suhdelukuna prosenttikerroin Väkimäärän lisäys 50 % Prosenttikerroin = 00 % + 50 % = 50 % =,5 a) n = 4 Ensimmäinen termi a = 700 Asukkaita vuonna 890 a n n = a 4 a 4 =, b) n = 6 Ensimmäinen termi a = 700 Asukkaita vuonna 00 a n n = a 5

53 6 a 6 =, Vastaus: a) b) Aritmeettinen lukujono =0 a a 9 = 7 a = a + ( n ) d n = 9, a =7 n 9 7= 0+ 8d 8d = 3 3 d = 8 Termien summa : ( ) ( n ) a a n d 0 n+ 0 n a + a = = = = 8 8 = 8 8 n Sn n n n n n Lasketaan millä n:n arvolla summa on nolla n n 8 8 = n 0 n = tulon nollasääntö n = 0 tai n = n = 54 3 Lasketaan summan arvo, kun n = 54 ja kun n = ( 54 ) a + a S54 = 54 = 54 = 3 > 0 8 S ( 55 ) a + a = 55 = 55 = 6 < 0 8 Vastaus: n = 55 ja S 55 = 6 53

54 5. SÄÄSTÄMINEN 3. Korko r = kit k = 3 580, i = 3,4 % = 0,034 ja t = 0,5 a r = ,034 0,5 = 60,86. Vastaus: 60,86 4. Korko r = kit k =4 80, i = 3,4 % = 0,034 ja t = 3 kk = 0,5 a r = ,034 0,5 = 36,38. Pääoma talletusajan lopussa ,38 = 4 36,38 Vastaus: 4 36,38 5. Korko r = kit k =4 680, i =,5 % = 0,05 ja r = 7,50. Talletusaika 7, 50 = , 05 t :( , 05) t = 0,6 (a) Talletusaika 0,6 a = 0 d Vastaus: 0 d 6. Korko r = kit r = = 50, i =,5 % = 0,05 ja k = 50 Talletusaika 50 = 50 0, 05 t :( 50 0, 05) t = 8,88 (a) Talletusaika on 8,88 a = 07 kk Vastaus: 07 kk 0 7. Korko r = kit r =,88, k= ja t = 0 kk = a 0 F Korkokanta I, = i : HG K J i 0,05 i =,5 % Vastaus:,5 % 8. Alkuperäinen pääoma k Pääoman arvon nousu kolmessa kuukaudessa,3 % Korko kolmessa kuukaudessa 0,03k Korko kuukaudessa 0, 03 k 3 0, 03k Korko kuukaudessa = 0, 09k 3 Vuotuinen korkoprosentti 0,09 = 9, % Vastaus: 9, % 9. Korko r = kit k = 500, i =,55 % = 0,055 ja t = 3 kk = 0,5 a Korko r = 500 0,055 0,5 9,69 54

55 Pääoma talletusajan lopussa K = ,69 = 509,69 Vastaus: 509,69 0. Pääoma talletusajan lopussa 5 K = k + kit K = 537,50, i = 3,60 % = 0,0360 ja t = 5 kk = a 5 537, 50 = k + k 0, 0360, 05k = 537, 50 :, 05 k = 500 Vastaus: Talletuksen suuruus oli Korko r = kit k = 4 500, i = 3,00 % = 0,0300 ja t = 00 d = a Korko r = , = Kolmen kuukauden talletuksessa r = kit r = 75, p = 5,00 % = 0,0500 ja t = 3 kk = 0,5 a Pääoma 75 = k 0, , 5 :( 0, , 5) k = Vastaus: Pääoma on Korko kesäkuun alussa r = kit k = 00, i =,5 % = 0,05 ja a Korko r = 00 0, 05 5 =, t = 3d + 8 d + 3 d + 30 d + 3 d + d = 5 d = Pano kesäkuun alussa 560. Korko r = kit k = 760, i =,5 % = 0,05 ja t = 9d + 3 d + 3 d + 5 d = 06 d = a 6 Korko r = 760 0, 05 0 =, Korot yhteensä,438 +,500 =,744 Ville nosti tililtä 760 +,744 78,75 Vastaus: Ville nosti 78,75. 55

56 3. Korkokanta 3,40 % = 0,034 Korko r = kit a) Päivä Pano/Nosto ( ) Saldo ( ) Aika (d) Korko ( ) ,00 530,00 7+7= ,034 4, , , , ,00 790, , ,00 675, ,43 Korko yhteensä 4, ,70 + 0,0 + 8,43 = 60,00 Saldo vuoden lopussa 675, ,00 = 735,00 b) Kuukausi Pienin saldo helmikuu 0 maaliskuu 530,00 huhtikuu 3 980,00 toukokuu 3 980,00 kesäkuu 790,00 heinäkuu 790,00 elokuu 790,00 syyskuu 790,00 lokakuu 790,00 marraskuu 790,00 joulukuu 675,00 Lasketaan yksinkertainen korko kuukausittaisille talletuksille. Tilille vuoden aikana kertyvä korko r = kit 6 = 530 0, , , , , 06 Saldo vuoden lopussa 675, ,06 = 70,06 Vastaus: a) 735,00 b) 70,06. 56

57 4. Korkoprosentti 3, % = 0,03 Korko r = kit Päivä Pano ( ) Saldo ( ) Aika (d) Korko ( ). 3 45,00 3+9= , , ,00 4 9, , , , , ,00 5 9,00 5, , , ,56 Korko yhteensä 4, , ,76 +,3 + 38,56 = 39,89 Saldo vuoden lopussa 5 537, ,89 = 5 676,89 Vastaus: Saldo vuoden lopussa 5 676,89 5. Korko r = kit k = , r = , t = = i i 0, 098 Vastaus:,98 % 6. Korkokanta 3, % = 0,03 Korko r = kit Pano/Nosto ( ) Saldo ( ) Aika (a) Korko ( ) , ,00 0, ,03 = , ,00 0, , 03 = Korko yhteensä 60 + = 7 Saldo vuoden lopussa 0 000, = 7 Vastaus: 7 7. Alle vuoden talletuksesta saatu korko on r = kit, missä k = 5, p =,35 % = 0,035 ja t =, 0,,..., a. Korko r = 5 003, , , 57