1 PERUSLASKUTAITOJA. ALOITA PERUSTEISTA 1A. a) = 4 15 = 11. Vastaus: 11. b) 2 ( 6 + 5) = 2 ( 1) = 2. Vastaus: 2. c)

Transkriptio

1 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.7.08 PERUSLASKUTAITOJA ALOITA PERUSTEISTA A. a) 5 = 5 = Vastaus: b) ( 6 + 5) = ( ) = Vastaus: c) Vastaus: 6 d) : = = 7 Vastaus: 7

2 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.7.08 A. a) Vastaus: b) 5) ) Vastaus: 5 c) Vastaus: 6 5 d) 5 : Vastaus:

3 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.7.08 A. a) Muunnetaan prosenttiluvut desimaaliluvuiksi. % = 0, 6 % = 0,06 7 % =,7 Vastaus: 0,; 0,06 ja,7 b) Muunnetaan prosenttiluvut murtoluvuiksi. 7 % 7 00 (5 75 % ( 56 % Vastaus: 7, 00 ja 5 c) Muunnetaan murtoluvut prosenttiluvuiksi % 00 0,6 60% 5,5 50% Vastaus: 90 %, 60 % ja 50 %

4 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.7.08 A. Koska ( ) = = 6, niin lausekkeet A ja II kuuluvat yhteen. Koska = + = 5, niin lausekkeet B ja IV kuuluvat yhteen. Koska ( ) = 6 = 6, niin lausekkeet C ja III kuuluvat yhteen. Koska, niin lausekkeet D ja V kuuluvat yhteen. 9 Koska, niin lausekkeet E ja I kuuluvat yhteen. Vastaus: A: II, B: IV, C: III, D: V ja E: I 5A. a) 9 9 = 9 = 9 Vastaus: 9 b) + ( 5) + ( ) = = 8 Vastaus: 8 c) Vastaus: 5 6 d) = = 5 = 5 Vastaus: 5 e) Vastaus: 9 f) [( ) ] = ( ) = ( ) = Vastaus:

5 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty A. a) Sievennetään lauseke. ) ) Vastaus: 7 8 b) Lasketaan lausekkeen x x x 96 arvo, kun x =. Vastaus: 7A. Koska porkkanan massa on noin 50 grammaa = 0,05 kg = 5 0 kg, niin A ja IV kuuluvat yhteen. Koska hiuksen kasvunopeus on noin cm/kk 0 mm/kk 0 mm/päivä 0, mm/päivä, 0 niin B ja I kuuluvat yhteen. Koska Suomen valtion vuositulot ovat noin 50 miljardia euroa = = 5 0 0, niin C ja V kuuluvat yhteen. Koska henkilön sydän lyö 60 kertaa minuutissa, on lyöntejä 8 vuoden aikana noin = Näin ollen D ja II kuuluvat yhteen. Koska ämpärillinen vettä on noin 0 litraa = ml = 0 ml, niin E ja III kuuluvat yhteen. Vastaus: A: IV, B: I, C: V, D: II ja E: III

6 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty A. a) Minuutissa on 60 sekuntia, joten 7 min = 7 60 s = 0 s. Vastaus: 0 s b) Tunnissa on 60 minuuttia, joten 7 min 7 h. 60 Vastaus: 7 h 60 c) Vuorokaudessa on tuntia, joten b-kohdan perusteella 7 min 7 h 7 d 7 d Vastaus: 7 d 0

7 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty A. a) Laskussa on tehty laskujärjestysvirhe. Kertolasku suoritetaan ennen yhteenlaskua. + 5 = + 0 = Vastaus: b) Jakolaskussa jaettava on kerrottava jakajan käänteisluvulla. Laskussa on jakaja kerrottu jaettavan käänteisluvulla. : Vastaus: 6 7 c) Negatiivinen potenssi tarkoittaa luvun käänteislukua. 6 Vastaus: 6 d) Supistaessa murtoluvun osoittaja ja nimittäjä jaetaan samalla luvulla. Tässä tehtävässä osoittajilla ja nimittäjillä ei ole yhteisiä tekijöitä, joilla voisi supistaa, joten suoritetaan murtolukujen kertolasku kertomalla osoittajat keskenään ja nimittäjät keskenään Vastaus: 7

8 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty A. a) Lasketaan prosenttia,50 eurosta prosenttikertoimen % = 0, avulla. 0,,50 =,9 Vastaus:,9 euroa b) Lasketaan 7 prosenttia 500, eurosta prosenttikertoimen 7 % = 0,07 avulla. 0,07 500, = 05,06 05,0 Vastaus: 05,0 euroa c) Lasketaan 0, prosenttia 58,90 eurosta prosenttikertoimen 0, % = 0,00 avulla. 0,00 58,90 = 0,5 0, Vastaus: 0, euroa d) Lasketaan 0 prosenttia 8,00 eurosta prosenttikertoimen 0 % =, avulla., 8,00 = 0,0 Vastaus: 0,0 euroa A. a) Suolapitoisuus on suolan massan ja koko meetvurstin massan osamäärä. 9 0,06,6 % 50 Vastaus:,6 % b) Koska ,6..., niin Viron asukasluku oli,6 % Suomen asukasluvusta. Virossa oli siis 00 %,6 % = 76,6 % 76 % vähemmän asukkaita kuin Suomessa. Vastaus: 76 %

9 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.7.08 A. Sievennetään lauseke. x(x ) x(x ) x = x x + x ( ) x x x ( ) x = x x x + x x = x Lasketaan lausekkeen arvo, kun x =. ( ) = Vastaus: A. a) Sievennetään lauseke. 5a (a) = 5a a = 5a a = a Vastaus: a b) Sievennetään lauseke. (5 + x ) (x + x) = 5 + x x x = x x + 5 Lasketaan sievennetyn lausekkeen arvo, kun x =. ( ) ( ) + 5 = = 5 Vastaus: 5 A. Muodostetaan polynomien x + x ja x x + summa. ( x + x) + (x x + ) = x + x + x x + = x x + Muodostetaan polynomien x + x ja x x + tulo. ( x + x)(x x + ) = x x x ( x) x + x x + x ( x) + x = x + x x + x 6x + x = x + 7x 7x + x Vastaus: x x + ja x + 7x 7x + x

10 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty A. Jos luku b on 50 % suurempi kuin luku a, niin luku b on 00 % + 50 % = 50 % luvusta a. Siis b =,5a, joten väite A ja kaava liittyvät toisiinsa. Jos luku a on neljäsosa luvusta b, niin luku b on nelinkertainen lukuun a nähden. Siis b = a, joten väite B ja kaava 5 liittyvät toisiinsa. Jos luku b on puolet luvusta a, niin liittyvät siis toisiinsa. b a0,5 a. Väite C ja kaava Jos luku b on 5 % suurempi kuin luku a, niin luku b on (5 00 % + 5 % = 5 % luvusta a. Siis b, 5 a 5 a 5 a, joten 00 väite D ja kaava 6 liittyvät toisiinsa. Jos luku b on kaksinkertainen lukuun a verrattuna, niin b = a. Väite E ja kaava liittyvät siis toisiinsa. Jos luku a on nelinkertainen lukuun b verrattuna, niin luku b on neljäsosa luvusta a. Siis b a, joten väite F ja kaava liittyvät toisiinsa. Vastaus: Sanallinen muoto A B C D E F Kaavan numero 5 6 6A. 9) 7) , joten Vastaus: 5 7

11 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.7.08 VAHVISTA OSAAMISTA 7A. a) Luvun vastaluku on ( ) =. Vastaus: b) Luvun 5 käänteisluku on. 5 Vastaus: 5 c) Luvun vastaluvun ja luvun 5 käänteisluvun keskiarvo on : Vastaus: 5

12 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty A. a) : 5) ) Vastaus: 0 b) 5 : 6 6 ) 5 : : : ) ) Vastaus: 7 6

13 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.7.08 c) 6 : ) ( Vastaus: 7 9B. Pojista lyhyen matematiikan aikoo kirjoittaa. Koska poikia on abiturienteista, lyhyen matematiikan kirjoittavia poikia on abiturienteista. Tytöistä lyhyen matematiikan aikoo kirjoittaa. Koska tyttöjä on abiturienteista, lyhyen matematiikan kirjoittavia tyttöjä on 9 7 abiturienteista. Abiturienteista lyhyen matematiikan kirjoittaa 7) ) Vastaus: 6 6

14 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty A. Luvut 7 ja voidaan kirjoittaa summina ja = (0 + 7)(0 + ) = = = = 87, joten Jussin päättely on oikein. Vastaus: on A. Sievennetään lausekkeet. 5a a) 5a 5 a 5a Vastaus: 5a b) ( a ) = ( ) (a ) = 9a = 9a 8 Vastaus: 9a 8 c) 5 a 5 5 a a a a 9 9 a a a a 5 Vastaus: a d) a 6 a a a a Vastaus: a 8 8

15 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.7.08 A. Lasketaan lausekkeiden arvot annetuilla muuttujan arvoilla. 5 7 ab a) ) 5 ) 7 5 a b Vastaus: 7 b) x y 9 0 y x Vastaus: 0 c) a c b c Vastaus:

16 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.7.08 B. a) Protonin ja elektronin massojen suhde on 7, , , joten 80:n elektronin massa on yhtä 9,0 suuri kuin yhden protonin massa. Vastaus: 80:n elektronin b) Jupiterin ja Saturnuksen massojen suhde on 7,900,5..., joten Jupiter on 6 5,680,5 % 00 % =,5 % 5 % Saturnusta painavampi. Vastaus: 5 % A. Sievennetään lausekkeet. a) ab ab abab a b ab ab ( ) Vastaus: ab b) 5xy x6y 5 6 x y x y ) ) 5 x y xy 0 xy x 6 6 xy 6 Vastaus: x y 6

17 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty A. Sievennetään lausekkeet, kun P(x) = x ja Q(x) = x x +. a) P(x) + Q(x) = (x) + (x x + ) = x + x x + = x + x + Vastaus: x + x + b) P(x) Q(x) = (x) (x x + ) = x x + x = x + 5x Vastaus: x + 5x c) P(x) Q(x) = x (x x + ) = x x + x ( x) + x = 6x 6x + 9x Vastaus: 6x 6x + 9x d) ( ) ( ) Qx x x x x Px x x x x x x Vastaus: x x

18 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty A. a) Sievennetään lauseke. x + x (x x) = x + x x + x = x Lasketaan lausekkeen arvo, kun Vastaus: x. b) Sievennetään lauseke. (a + b) (a b) = (a + b) (a + b) (a b) (a b) = a a + a b + b a + b b (a a a b b a + b b) = a + ab + ab + b (a ab ab + b ) = a + ab + b (a ab + b ) = a + ab + b a + ab b = ab Lasketaan lausekkeen arvo, kun a = ja b = = = 00 0 = = Vastaus: ab, 7B. Alpo maksaa alkuosuuden hinnasta,90 7,0. Sanna maksaa alkuosuudesta Alpon tapaan 7,0 ja puolet keskiosuuden hinnasta. Keskiosuuden hinta on 8,0,90 = 6,0, josta puolet on 6,0,5. Sanna maksaa siis yhteensä 7,0 +,5 = 0,5. Pauli maksaa loput eli,50 7,0 0,5 = 5,75. Vastaus: Alpo 7,0, Sanna 0,5 ja Pauli 5,75

19 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty A. a) TAPA : Kun tuotteen hinta nousee 0 %, uusi hinta on 00 % + 0 % = 0 % alkuperäisestä eli siihen nähden,-kertainen. Koska hinta 99 nousee kaksi kertaa peräkkäin 0 %, on lopullinen hinta,, 99 = 6,79. TAPA : Kun tuotteen hinta nousee 0 %, uusi hinta on 00 % + 0 % = 0 % alkuperäisestä eli siihen nähden,-kertainen. Uusi hinta on, 99 = 58,80. Vastaus: Tavalla loppuhinta on korkeampi b) TAPA : Kun tuotteen hinta laskee 0 %, uusi hinta on 00 % 0 % = 90 % alkuperäisestä eli siihen nähden 0,9-kertainen. Koska hinta 99 ensin laskee 0 % ja sitten nousee 0 %, on lopullinen hinta 0,9, 99 = 96,0. TAPA : Koska hinta 99 ensin nousee 0 % ja sitten laskee0 %, on lopullinen hinta, 0,9 99 = 96,0. Vastaus: Loppuhinta on sama molemmilla tavoilla. c) TAPA : Kun tuotteen hinta nousee 0 %, uusi hinta on 00 % + 0 % = 0 % alkuperäisestä eli siihen nähden,-kertainen. Kun tuotteen hinta laskee 0 %, uusi hinta on 00 % 0 % = 80 % alkuperäisestä eli siihen nähden 0,8-kertainen. Koska hinta 99 ensin nousee 0 % ja sitten laskee 0 %, on lopullinen hinta, 0,8 99 = 87,0. TAPA : Kun tuotteen hinta nousee 0 %, uusi hinta on 00 % + 0 % = 0 % alkuperäisestä eli siihen nähden,-kertainen. Kun tuotteen hinta laskee 0 %, uusi hinta on 00 % 0 % = 70 % alkuperäisestä eli siihen nähden 0,7-kertainen. Koska hinta 99 ensin nousee 0 % ja sitten laskee 0 %, on lopullinen hinta, 0,7 99 = 7,09. Vastaus: Tavalla loppuhinta on korkeampi

20 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty B. a) Yhdessä vuorokaudessa puolen tunnin kohdalla tapahtuvia lyöntejä on ja täyden tunnin kohdalla tapahtuvia lyöntejä ( ) = 56. Vuorokaudessa lyöntejä kertyy siis + 56 = 80, joten viikossa kertyy 7 80 = 60 lyöntiä. Yhtä lyöntiä kohti punnus laskeutuu 0 mm 0, mm 0,9 mm. 60 Vastaus: 0,9 mm b) Koska punnus oli laskeutunut 650 mm, niin kello oli lyönyt 650 7,5 7 0, kertaa. Kohdan a perusteella aikaa oli kulunut 7,06... vuorokautta eli 80 kokonaista vuorokautta. Viimeisen, perjantaina kello.05 alkavan vuorokauden aikana kello löi 7 80 = kertaa. Kello.0,.00 ja.0 kello löi kerran,.00 kahdesti,.0 kerran, 5.00 kolmesti ja 5.0 kerran. Näistä kertyy 0 lyöntiä. Kello 6.00 tulee seuraava,. lyönti. Kun punnus oli laskeutunut 650 mm, oli siis perjantai ja kello oli Vastaus: perjantai klo 6.00

21 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty B. Opiskelija-alennus on 50 %, joten opiskelijalle jää lipusta maksettavaksi 00 % 50 % = 50 %. Kukin opiskelija maksaa siis lipustaan 0,5 0 = 0. Eläkeläisalennus on 0 %, joten eläkeläiselle jää lipusta maksettavaksi 00 % 0 % = 70 %. Kukin eläkeläinen maksaa siis lipustaan 0,7 0 =. Lippujen keskihinnaksi tulee Vastaus: 5 euroa A. a) Lasketaan, kuinka monta viikkoa 00 vuorokaudessa on. 00, joten 00 vuorokaudessa on kokonaista viikkoa. 7 Koska vuoden 00 ensimmäinen päivä on tiistai, on 00 päivän kuluttua myös tiistai. Vastaus: tiistai b) a-kohdan mukaan vuoden 00 ensimmäinen päivä on tiistai. Lasketaan tämän tiedon avulla vuoden 00 vuoden ensimmäinen viikonpäivä. Vuodet 00, 0, 08,, 09 ja 096 ovat karkausvuosia , joten tutkittavaan ajanjaksoon sisältyy 5 karkausvuotta. Tutkittavassa ajanjaksossa on siis = päivää. Lasketaan, kuinka monta viikkoa 5 565:ssa vuorokaudessa on ,..., joten tutkittavassa ajanjaksossa on 65 7 kokonaista viikkoa =, joten tutkittavassa ajanjaksossa on 65 kokonaista viikkoa ja päivä. Yhden päivän kuluttua tiistaista on keskiviikko, joten vuoden 00 ensimmäinen päivä on keskiviikko. Vastaus: keskiviikko

22 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.7.08 A. a) Omenan C-vitamiinipitoisuus on,0 mg 0,00 g 0,0000 0,00%. Persikan C- 00 g 00 g vitamiinipitoisuus on 7,0 mg 0,007 g 0, ,007%. 00 g 00 g C-vitamiinipitoisuusprosenttien erotus on 0,007 0,00 = 0,00, joten persikan C-vitamiinipitoisuus on 0,00 prosenttiyksikköä suurempi kuin omenan C-vitamiinipitoisuus. Vastaus: 0,00 prosenttiyksikköä b) Omenan massa on 75 g, mikä on,75-kertainen määrä 00 g:aan nähden. Omenassa on siis,75,8 g =,5 g, g kuitua. Persikan massa on 5 g, mikä on,5-kertainen määrä 00 g:aan nähden. Persikassa on siis,5, =,85 g,8 g kuitua.,5 Koska,..., omenassa on,85, % 00 % =, % % enemmän kuitua kuin persikassa. Vastaus: omenassa, % enemmän

23 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.7.08 A. a) Koska : 9 9, niin on 00 % luvusta. Se on siis 9 00 % 00 % = 00 % suurempi kuin. 9 Vastaus: 00 % b) Merkitään lukua kirjaimella a, jolloin 5 luvusta on. 5 a a a : 5 5,5, joten luku on 50 % kahdesta 5 5 viidesosastaan. Vastaus: 50 % A. Merkitään alkuperäistä hintaa kirjaimella a. Kun hintaa korotetaan 5 %, uudeksi hinnaksi tulee,5a. Kun tämän jälkeen hintaa korotetaan 6 %, lopulliseksi hinnaksi tulee,6,5a =,9a. Jos alkuperäistä hintaa korotetaan ensin 6 % ja sitten 5 %, lopulliseksi hinnaksi tulee vastaavalla tavalla,5,6a =,9a. Lopullinen hinta ei siis riipu korotusten järjestyksestä. Lopullinen hinta on,9 % alkuperäisestä hinnasta, joten hinta nousee yhteensä,9 % 00 % =,9 %. Vastaus:,9 %

24 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty B. Hammastahnan alkuperäinen yksikköhinta on,50 0, ml ml Putkilon uusi tilavuus on,5 00 ml = 5 ml ja uusi hinta,,50 =,. Uusi yksikköhinta on siis,0 0, ml ml 0,068,, joten uusi yksikköhinta on % vanhasta. Yksikköhinta 0,05 nousee siis % 00 % = %. Vastaus: % 6A. a) Merkitään osakkeen alkuperäistä arvoa kirjaimella a. Koska 00 % 6 % = 5 %, niin osakkeen arvo tuli muutoksissa 0,5-kertaiseksi,,5-kertaiseksi ja,-kertaiseksi. Osakkeen arvo oli muutosten jälkeen a 0,5,5, = 0,8 a < a, joten arvo oli muutosten jälkeen pienempi kuin ennen muutoksia. Vastaus: pienempi b) Ennen viimeistä nousua osakkeen arvo oli a 0,5,5 = 0,6a. Koska a,60..., niin osakkeen alkuperäinen arvo on 0,6 a 0,6 6,0 % sen arvosta ennen viimeistä nousua. Jälkimmäisen nousun olisi siis pitänyt olla 6,0 % 00 % = 6,0 % 6 %, jotta osakkeen arvo olisi palannut alkuperäiselle tasolle. Vastaus: 6 %

25 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty A. Sievennetään lausekkeet. a) x x x x x x x 6 Vastaus: b) x x x xx x x x x Vastaus: c) n n nn n7 x x x x x x x x x n77 n Vastaus: x n

26 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty A. a) Taulukoidaan alennusprosentit. Ostoksen kokonaissumma ( ) Alennus ( ) Alennus (%) Vastaus: Ostoksen kokonaissumma ( ) Alennus (%) b) Riston saama alennus on 5 ja alennusprosentti 5 0,065 6,5 %. 80 Maurin saama alennus on 5 ja alennusprosentti 5 0,075 7,5 %. 00 Alennusprosenttien ero on 7,5 6,5 =,5 prosenttiyksikköä. Vastaus:,5 prosenttiyksikköä c) Jos Risto ja Mauri olisivat yhdistäneet ostoksensa, ostosten kokonaissumma olisi ollut = 80. Tällöin alennus olisi 0 ollut 0 ja alennusprosentti 0,85...,85... % %. 80 Vastaus: %

27 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty A. a) Luvut ovat toistensa vastalukuja, jos niiden summa on nolla. Lasketaan lukujen 7 ja 6 summa. 68 ( Koska lukujen 7 ja 6 summa on 0, ne ovat vastalukuja. 68 Vastaus: b) Lasketaan lukujen ja tulo. ( Koska lukujen ja 5 tulo on, ne ovat käänteislukuja. 5 9 Vastaus:

28 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty A. Geometrisesti kahden luvun tulo vastaa sellaisen suorakulmion pinta-alaa, jonka sivujen mitat ovat tulon tekijöitä. Merkitään pienemmän neliön sivua kirjaimella a ja suuremman neliön sivua kirjaimella b. Koska suurimman neliön sivun pituus on a + b, on neliön pinta-ala (a + b). Toisaalta kuvion koostuu kahdesta neliöstä, joiden pinta-alat ovat a ja b, ja kahdesta yhtä suuresta suorakulmiosta, joiden yhteispinta-ala on ab, on kuvion kokonaispinta-ala a + ab + b. Näin ollen (a + b) = a + ab + b. Vastaus: SYVENNÄ YMMÄRRYSTÄ A. Jos vaihdetaan jokainen polynomin P(x) = x + x 5 termien etumerkeistä, saadaan polynomi Q(x) = x x + 5. Lasketaan nämä kaksi polynomia yhteen: P(x) + Q(x) = (x + x 5) + ( x x + 5) = x + x 5 x x + 5 = 0 Polynomin P(x) vastapolynomi on siis x x + 5. Vastaus: x x + 5

29 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.7.08 A. a) Lavennetaan lausekkeet yhdistetään osoittajat. x) x) ja x x x x x xx xx xx xx xx x xx x Vastaus: x samannimisiksi, jonka jälkeen x b) Jakolasku lasketaan kertomalla jaettava jakajan käänteisluvulla. a : a9 a a a a a a 9 Jaetaan nimittäjä tekijöihin, jolloin lauseke saadaan muotoon a a. a a Lauseke a + esiintyy kertolaskussa sekä osoittajassa että nimittäjässä, joten se supistuu pois. Samoin käy lausekkeelle a. Sievennettävä lauseke saadaan tällöin muotoon. Vastaus:

30 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.7.08 A. a) Sievennetään lauseke. (a + b) (a b) = (a + b) (a + b) (a b) (a b) = a + ab + ab + b (a ab ab + b ) = a + ab + b (a ab + b ) = a + ab + b a + ab b = 8ab Sijoitetaan lausekkeeseen ab =. 8 = 6 Vastaus: 6 b) Lasketaan lausekkeen a b a b arvo, kun a = ja b. Vastaus: c) Käytetään apuna tietoa (a + b) = a + ab + b. (a + b) (a b) = (a) + a b + b [(a) + a ( b) + ( b) ] = a + ab + b (a ab + b ) = a + ab + b a + ab b = 8ab Sijoitetaan lausekkeeseen ab =. 8 = 6 Vastaus: 6

31 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.7.08 d) Käytetään apuna tietoa (a + b)(a b) = a b. a b a ba b ab ab Koska lauseke a + b kerrotaan ja jaetaan samalla lausekkeella a b, niin lauseke a b supistuu pois ja lauseke sievenee muotoon a + b. Sijoitetaan sievennettyyn lausekkeeseen a = ja a = ja b b. Vastaus:

32 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.7.08 aa ( ) A. Sijoittamalla lausekkeeseen ax muuttujan x paikalle lauseke x aa ( ) a saadaan aa. a aa ( ) Lausekkeen alkuosassa on luku a kerrottuna ja jaettuna samalla a lausekkeella a, joten lauseke a supistuu pois. Sievennetään jäljelle jäänyt lauseke. aaa aa aa Lausekkeen arvo on siis a. Vastaus: a 5A. Merkitään kappaleen alkuperäistä massaa kirjaimella m ja alkuperäistä tilavuutta kirjaimella V. Uusi massa on tällöin 0,88m ja uusi tilavuus,v. Kappaleen alkuperäinen tiheys on ρ, ja uusi tiheys on 0,88m 0,88 0,88 0, , m V, V, Uusi tiheys on 78,5 % vanhasta tiheydestä, joten tiheys on pienentynyt 00 % 78,57 % =,8 % %. Vastaus: pienenee %

33 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty A. Esitetään 5-järjestelmän luku järjestelmässä = 70 0 Siis 0 5 = Etsitään suurin luvun potenssi, jonka arvo on korkeintaan 70. = 08 > 70 = 096 > 70 Suurin luvun potenssi, jonka arvo on korkeintaan 70, on siis. -järjestelmässä esitettynä 0-järjestelmän luvussa 70 on siis + = numeroa. Numeroista kukin on potenssin n kerroin, jossa n = 0,,,. Luku on potenssin kerroin. Selvitetään muiden potenssien kertoimet. 70 = = 70 < 0, joten potenssin 0 kerroin on = 0, joten potenssin 9 kerroin on. 8 = < 0, joten potenssin 8 kerroin on 0. 7 = 0, joten potenssin 7 kerroin on. 6 = 50 < 0, joten potenssin 6 kerroin on 0. 5 = 8 < 0, joten potenssin 5 kerroin on 0. = < 0, joten potenssin kerroin on 0. = 6 0, joten potenssin kerroin on. 6 = 0, joten potenssin kerroin on. = 0 0, joten potenssin kerroin on. 0 0 = < 0, joten potenssin 0 kerroin on 0. Tarkistetaan: = = 70 Siis 0 5 = Vastaus: 70 0 ja

34 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty B. a) Koska 8 5, luku yhteenlaskettava. on suurin mahdollinen ) 5 5, joten toinen yhteenlaskettava on Siis Vastaus: 8 ) ) b) Koska 5 0, luku yhteenlaskettavaksi. on liian suuri ) ) 5 5, joten suurin mahdollinen yhteenlaskettava on. 0, joten on liian suuri toiseksi yhteenlaskettavaksi, jos ensimmäinen yhteenlaskettava on. 0) 9) 0 9, joten jos ensimmäinen yhteenlaskettava on,. 780 niin toinen yhteenlaskettava on 0 ja kolmas Siis Vastaus: 0 780

35 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty A. Sievennetään lauseke. (n + ) n = (n + )(n + ) n = n + n + n + 6 n = 8n + 6 Koska 8 n = 8n ja 8 = 6, lauseke 8n + 6 voidaan kirjoittaa muotoon 8(n + ). Koska luvussa 8(n + ) on tulon tekijänä luku 8, on luku 8(n + ) jaollinen luvulla 8. Näin ollen myös luku 8(n + ) = (n + ) n on jaollinen luvulla 8. Luku (n + ) n on jaollinen luvulla 6, jos n + on jaollinen luvulla. Näin käy täsmälleen silloin, kun n on jaollinen luvulla, eli kun n on parillinen. Vastaus: kun n on parillinen 9A. Luvut 77 97, ja ovat peräkkäisiä kokonaislukuja, joten niistä täsmälleen yksi on kolmella jaollinen. Koska luku on alkuluku, se ei ole kolmella jaollinen. Koska luvun tekijöinä on vain kakkosia, se ei ole kolmella jaollinen. Koska kumpikaan luvuista ja ei ole kolmella jaollinen, niin luku on kolmella jaollinen. Vastaus: kolmella

36 Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty A. a) Koska 5 0, niin luvun 5 itseisarvo on 5 = 5. Vastaus: 5 b) Koska 7 < 0, niin luvun 7 itseisarvo on 7 = ( 7) = 7. Vastaus: 7 c) Lausekkeen x + itseisarvo riippuu siitä, onko lausekkeen arvo einegatiivinen vai negatiivinen. Jos x, niin x + 0. Tällöin x + = x +. Jos x <, niin x + < 0. Tällöin x + = (x + ) = x. Vastaus: x, kun x x x, kun x