Sarjat ja integraalit, kevät 2015

Transkriptio

1 Sarjat ja integraalit, kevät 2015 Peter Hästö 11. maaliskuuta 2015 Matemaattisten tieteiden laitos

2 Osaamistavoitteet Kurssin onnistuneen suorittamisen jälkeen opiskelija osaa erottaa jatkuvuuden ja tasaisen jatkuvuuden käsitellä reaalilukujonoja ja -sarjoja määritellä ja laskea epäoleellinen Riemann integraali käsitellä funktiojonoja ja sarjoja derivoida ja integroida edellä mainittuja Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 11. maaliskuuta / 14

3 Kurssin sisältö Lukiosta tutun geometrisen summakaavan mukaan 1 1 x = 1 + x + x = k=0 kun x < 1. Derivoidaan kumpikin puoli. Saamme x k 1 (1 x) 2 = x +... = kx k 1. k=0 Onko tämä päättely pätevä? Milla muuttujan x arvoilla kaava pätee? 1 (1 x) 2 = k=0 kx k 1 Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 11. maaliskuuta / 14

4 Tärkeämmät tavoitteet Matemaattisen keskustelu ja ryhmätyöskentely itsenäinen työn arviointi ( onks tää oikein? ) kriittinen keskustelu ( mistä tuo seuraa? ) argumentointi (grounds warrant (backing) claim) [käydään läpi Lemma 2.5] väärien vastausten hyödyntäminen; pois vastauskeskeisyydestä Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 11. maaliskuuta / 14

5 Luennot Kurssilla käytetään Sarjat ja integraalit/ Analyysi 1-luentomonistetta Tunneilla (vain) tärkeimmät osat käydään läpi, useasta näkökulmasta, esim. yleiset virhekäsitykset määritelmästä intuitioon intuitiosta määritelmään inuitiosta todistus todistuksesta ydin keskiviikkoisin 10:15 12:00 ja torstaisin 10:15-12:00. Katso poikkeuspäivät ja ajat oodista. HUOM! VIIKOLLA 12 EI LUENTOJA. Keskiviikon luennolla käsitellään osallistujien kysymyksiä. Jos kysymyksiä on paljon, niin ensimmäisellä tunnilla on peruskysymykset, ja toisella syventävät kysymykset. Torstaisin johdattelua uuteen aiheeseen. Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 11. maaliskuuta / 14

6 Kysymysten lähettäminen Kysymyksiä keskiviikon luentoa varten kannattaa lähettää sähköpostilla osoiteeseen aihekentällä S&I kysymys. Vain ne, jotka ovat lähettäneet vähintään yhden kysymyksen voivat osallistua kurssin loppukokeeseen. Kysymyksiä voi myös esittää luennolla, jos aikaa riittää. Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 11. maaliskuuta / 14

7 Laskuharjoitusryhmät Rasti-ruutuun periaattella, kuka on valmis esittämään ratkaisuideansa. Tavoite keskustella ratkaisuista: ratkaisun kriittinen tarkastelu kaikkien vastuulla, samoin ratkaisun perusteleminen/ puolustaminen. Laskarin pitäjän vastuulla ei ole oikean ratkaisun esittäminen vaan osallistujien sparraaminen sopivan kriittiseen arviointiin. Laskareista voi saada 25% loppukokeen pisteistä. Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 11. maaliskuuta / 14

8 Itsenäinen työskentely/arviointi Tavoitteena ei ole osata toistaa harjoitustehtävien tai lauseiden/määritelmien sisältö, vaan ymmärtää jälkimmäiset ja osata itse ratkoa saman tyylisiä tehtäviä, vaikkei niitä olisi koskaan nähnyt ennen... Seurauksia: harjoituksissa ei kopioida ratkaisuja, vaan verrataan omaa ajattelua muiden ajatuksiin kaikkiin kokeisiin voi ottaa mukaan luentomateriaalin ja muistiinpanot Itsenäinen työskentely yksin työskentely; kannattaa ehdottomasti ratkaista tehtäviä ja opiskella materiaalia ryhmissä Myös tuutortupa on käytössä ma ja to Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 11. maaliskuuta / 14

9 Ajankäyttö Luentoja Harjoitustuntia Itsenäinen työskentely Yhteensä 36 h 18 h 106 h 160 h Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 11. maaliskuuta / 14

10 Kysymyksiä? Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 11. maaliskuuta / 14

11 Luvun 2 sisältö 1. Sarjan suppenemisen määritelmä; x k ja k p karakterisoinnit 2. Majoranttiperiaate; suhdetesti; juuritesti; vertailuperiaate 3. Itseisen suppenemisen määritelmä; sarjan uudelleen järjestely 4. Vuorottelevat sarjat ja Leibnizin lause. Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 11. maaliskuuta / 14

12 Ratkaisujen arviointia 1. Sarja 1 suppenee, koska lim 1 = ( 2) k = 1 3 (lasku taululla). 3. ( 1) k 5k 13 mukaan. on alternoiva sarja joka suppenee Leibnizin lauseen Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 11. maaliskuuta / 14

13 Lauseen lukeminen 1. Analysoikaa Lauseen todistusta: selvittäkää mitä siinä käytetyt käsitteet ja merkinnät tarkoittavat tarkastakaa joka askel, mitä siinä tehdään, ja miksi päättely pätee tämän jälkeen voitte miettiä mistä todistuksen idea tulee, ja miten siihen on päädytty. 2. Selvittäkää mitkä ovat luvut k 1, k 2 ja k 3 esimerkissä (siis mikä on muuttujan numeroarvo) kun luvun 2009 korvaa luvulla 2. Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 11. maaliskuuta / 14

14 Määritelmän hahmottaminen Keksikää mahdollisimman hankala alternoiva sarja. Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 11. maaliskuuta / 14