Luento 5 Riippuvuudet vikapuissa Esimerkkejä PSA:sta
|
|
|
- Teuvo Mäkelä
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Luento 5 Riippuvuudet vikapuissa Esimerkkejä S:sta hti Salo Teknillinen korkeakoulu L 1100, 0015 TKK 1
2 Toisistaan riippuvat vikaantumiset Riippuvuuksien huomiointi erustapahtumien taustalla voi olla yhteisiä syitä Nämä on pyrittävä huomioimaan muutoin saadut riskiarviot ovat alakanttiin, koska yhteisten syiden vaikutukset eivät näy tuloksissa Edellyttää tilastojen rakentamista ja käyttöä siten, että yhteiset vikaantumissyyt tunnistetaan» Voi olla käytännössä haasteellista Esimerkki Järjestelmässä kolme komponenttia, ja Järjestelmä toimii, jos komponenteista vähintään kaksi toimii so. /3 portti Komponentit voivat vikaantua toisistaan riippumatta Lisäksi komponentit, ja voivat vikaantua yhteisistä syistä joko pareittain tai kaikki kolme Merkitään tapahtumia» komponentti vikaantuu vast.,» vikaantuu mistään muista syistä riippumatta vast.,» komponentit ja vikaantuvat yhteisestä syystä, komponentti toimii edelleen vast.,» kaikki kolme komponenttia vikaantuvat yhteisestä syystä Mat Riskianalyysi / hti Salo
3 Vikapuuesitys Vikapuuesitys T /3 -komponentin vikaantuminen Vikaantumissyyt toisensa poissulkevia φ φ Mat Riskianalyysi / hti Salo 3
4 4 Mat Riskianalyysi / hti Salo Vikaantumisen minimikatkosjoukot Vikaantumisen minimikatkosjoukot Vikaantuminen tapahtuu, kun Edellisen kalvon tulosten perusteella muiden parien leikkaukset tyhjiä Minimikatkosjoukoiksi saadaan siis Saadaan siis riippumattomille tapahtumille, leikkauksen tn paljon pienempi kuin parien T T T
5 Vikaantumistodennäköisyys Oletettakoon, että Kukin komponenteista vikaantuu muista syystä riippumatta samalla todennäköisyydellä Q 1 areittaiset samasta syystä aiheutuvat vikaantumiset tapahtuvat kukin tn:llä Q Kaikki kolme vikaantuvat yhteisestä syystä tn:llä Q 3 Tällöin järjestelmä vikaantuu siis tn:llä T 3 Q Q Q 1 3 Jos esimerkiksi Q , Q 0.0, Q 0.01, niin T Yhteisten riskitekijöiden osuus kokonaisriskistä siis Ts. riippumattomien vikojen vaikutus verraten vähäinen, koska näitä kerrotaan tulotermillä % 3 Mat Riskianalyysi / hti Salo 5
6 Riippuvuudet ja ehdolliset tn:t Lähtökohtia Edellisellä kerralla perustapahtumat oletettiin riippumattomiksi ks. pumppujärjestelmä Jos perustapahtumilla yhteisiä vikaantumissyitä, niin yhden perustapahtuman tn kasvaa, jos toisen tapahtuman tiedetään tapahtuneen Esim. jos perustapahtumia, on kaksi kuten edellä siten, että nämä voivat toteutua joko riippumatta, tai yhteisestä syystä, niin Merkitään p, p, x f x p p p p f' x > 0 p x x x Minimi saavutetaan kohdassa x 0, mikä vastaa riippumattomuutta Mat Riskianalyysi / hti Salo 6
7 β-faktorimalli Lähtökohtia Järjestelmän komponentit tuplataan m-kertaiseksi Yhteisen vikaantumissyyn tapahtuessa kaikki komponentit vikaantuvat β-parametri ilmaisee, miten suuressa osassa vikaantuminen aiheutuu yhteisestä syystä, ts. missä λ c β λc λ λ c on yhteisen syyn aiheuttama vikaantumistaajuus ja λ on riippumaton vikaantumistaajuus Jos Q t on järjestelmän kokonaisvikaantumistn, niin järjestelmä vikaantuu siis» riippumattomien komponenttivikaantumisten tuloksena tn:llä Q 1 1-β Q t» yhteisestä syystä kaikkien komponenttien vikaantuessa tn:llä Q m β Q t Tarkalleen k komponenttia 1 < k < m ei voi vikaantua yhteisestä syystä, koska yhteinen syy vikaannuttaa kaikki komponentit k valitua komponenttia 1 < k < m vikaantuu todennäköisyydellä Q k 0, k,...,m-1 Mat Riskianalyysi / hti Salo 7
8 Esimerkki Jäähdytysjärjestelmä Jäähdytys edellyttää sekä pumpun että venttiilin toimivan umpusta ja venttiilistä osasysteemit tuplataan luotettavuuden parantamiseksi umppu saattaa olla käynnistymättä S, pump failure to start tai käydä liian vähän aikaa R, pump failure to run Venttiili saattaa olla avaumatta VO, valve failure to open q R Käynnissä olevan pumpun vikaantumistaajuus λ R» Jos pumppu käy ajan T, niin se vikaantuu tänä aikana T 0 todennäköisyydellä λ R e λ R t dt λ R T 0 λr e λ t R 1 e λ R T Mat Riskianalyysi / hti Salo 8
9 9 Mat Riskianalyysi / hti Salo Jäähdytysjärjestelmän vikapuu Jäähdytysjärjestelmän vikapuu Rakennetaan vikapuu Minimikatkosjoukoiksi saadaan V V V V V ,,,,
10 Vikaantumistn:n laskenta 1/3 rvioidaan yhteisistä syistä aiheutuvat vikaantumistaajuudet β-faktorimallilla β S miten suuressa osassa osassa tapauksista pumppu jää käynnistymättä yhteisestä syystä? β R miten suuressa osassa pumppu ei käy tavoiteaikaa T yhteisestä syystä? β VO miten suuressa osassa venttiili ei avaudu yhteisestä syystä? Minimikatkosjoukkojen tn:t V V V V β β [1 β q 1 β q ] S [1 β q ] VO q q S VO V [ ] 1 β VO qvo [1 β q 1 β q ] S S β VO R S S q R VO R R R R Mat Riskianalyysi / hti Salo 10
11 Vikaantumistn:n laskenta /3 Järjestelmän System vikaantumistn:n approksimoida ylhäältä summalla S 6 i 1 i Huom! osa katkosjoukoista esim., V osin päällekkäisiä, kyse siis approksimaatiosta ylhäältä Tarkastellaan parametrien arvoja q S 0.0, q VO 0.01 λ R 0.05/h, T 1 h q R 1-exp β S β R β VO 0.1 Katkosjoukkojen todennäköisyydet V V V V [ ] [ ] V [ ] [ ] Mat Riskianalyysi / hti Salo 11
![0, q VO 0.01 λ R 0.05/h, T 1 h q R 1-exp-0.05 0.0487 β S β R β VO 0.1 Katkosjoukkojen todennäköisyydet V V V V [ 0.9 0.0 0.9 0.0487] 0.](/docs-images/55/9402254/images/page_11.jpg "1 0.0 0.1 0.0487 [ 0.9 0.01] 0.1 0.01 0.001 0.000081 0.006877 0.003831 V [ 0.99 0.01] [ 0.9 0.0 0.9 0.0487] 0. 000613 Mat-.")
12 Vikaantumistn:n laskenta 3/3 Vikaantumistodennäköisyys siis S 6 i 1 i Yhteisten syiden, V osuus kokonaisriskistä S V S Yhteisten syiden merkitys siis iso, vaikka β- parametrit verraten pieniä Huomioita Yhden pumppu-venttiililinjan luotettavuus ,8% 7,7% Jos voitaisiin tuplata ilman yhteisiä vikaantumisia so. β-parametrit nollia, niin vikaantumistn olisi Ts. yhteiset vikasyyt alentavat luotettavuutta paljon! S 1 q q q S R [ S 1 ] VO Mat Riskianalyysi / hti Salo 1
13 Yhteisvikaantumisen estimointi β-faktorimallin kritiikki Oletus siitä, että yhteinen vika aiheuttaa aina kaikkien komponenttien vikaantumisen on kovin vahva» Esim. kolmen komponentin /N-järjestelmässä ks. luennon alku yhteiset syyt voisivat vikaannuttaa joko kaksi esim. tai kolme komponenttia Yhteistodennäköisyydet estimoitavissa eri tavoin» β-faktorimallissa kysytään, miten suurella tn:llä joku muu komponentti myös vikaantunut yhteisestä syystä, jos yhden komponentin tiedetään vikaantuneen» Jos komponentteja kaksi ja s.e. yhteisen vikaantuminen on tapahtuma, niin β Multiple Greek Letter MGL-malli Yleistää β-faktorimallin siten, että yhteinen syy ei vikaannuta välttämättä kaikkia komponentteja Kysymykset» β- faktori: millä tn:llä ainakin yksi toinen komponentti vikaantuu yhteisestä syystä, jos ko. komponentti vikaantunut?» γ-faktori: millä tn:llä ainakin kaksi muuta komponenttia vikaantuu yhteisestä syystä, jos ko. komponentti on vikaantunut yhteisestä syystä vähintään yhden toisen komponentin kanssa? Mat Riskianalyysi / hti Salo 13
14 MGL-mallin estimointi 1/ lun esimerkin β- ja γ-parametrit β λ Komponenttien riippumattomat Q 1 ja pareittaiset Q vikaantumistn:t oletettiin samoiksi β λ Q Q3 Q Q Q 1 Q3 Q Q 3 3 0% Tarkasteluissa ei kuitenkaan edetä näin päin, vaan niissä β- ja γ- parametreista johdetaan pareittaisten, kolmittaisten jne. yhteisten syiden aiheuttamien vikaantumisten Q,Q 3,Q 4,... tn:t m:n komponentin järjestelmässä yhden komponentin kokonaisvikaantumistn Q t total muodostuu siitä, että komponentti vikaantuu joko riippumatta tai kahden, kolmen jne. komponentin vikaantumisen aiheuttamasta yhteisestä syystä Yhdelle komponentille saadaan siis summa Q t m m 1 Q k 1 k % k Mat Riskianalyysi / hti Salo 14
15 MGL-mallin estimointi / Saadaan Q k -parametrien yhtälöt Q Q3 β Q1 Q Q Q3 λ Q Q3 Qt Q1 Q Q Ts. Q k -parametrit esitettävissä β- ja γ-parametrien algebrallisina lausekkeina arametrit estimoidaan tarkastelemalla, miten usein useammat komponentin vikaantuvat yhteissyistä» Esim. γ-parametri saadaan jakamalla vähintään kolmen komponentin yhteisvikaantumisten lkm vähintään kahden komponentin yhteisvikaantumisten lkm:llä Yleinen tapaus Merkitään ρ 1 1, ρ β, ρ γ,..., ρ m1 0 Tällöin pätee Q k 1 Q Q Q k m 1 k 1 i ρk 1 ρi Qt β Q γβq 1 1 γ βq t t Huom! Modarres s. 78 virhe t Mat Riskianalyysi / hti Salo 15
16 Leikkausjoukkojen lukumäärä 1/3 Lähtökohtia soissa järjestelmissä perustapahtumia voi olla satoja Näistä muodostuvia leikkausjoukkoja voi olla miljoonia tai peräti miljardeja tuloksena laskennallisia haasteita äähuomio kohdistuu yleensä tn:ltään suurimpiin leikkausjoukkoihin esim. tn > 10-7 Miten tarkasteltavien leikkausjoukkojen määrää voidaan rajoittaa siten, että tn:ltään kynnysarvon alittavia leikkausjoukkoja ei välttämättä generoida? Lähestymistapa Järjestetään perustapahtumat tn:nsä mukaan alenevaan järjestykseen Rakennetaan puu, jossa» kullakin tasolla lisätään yksi vikaantuva perustapahtuma aiempien tasojen tapahtumiin» kullakin rivillä perustapahtumat esitetään em. tnjärjestyksen mukaisesti so. tn:ltään suurin ensin, sitten toinen jne. Mat Riskianalyysi / hti Salo 16
17 Leikkausjoukkojen lukumäärä /3 Huomioita Olkoon i i:nnen perustapahtuman tn Vikajoukko FS failure set on joukko toteutuvia perustapahtumia Kun perustapahtumat ovat riippumattomia, niin vikajoukon tn on i FS FS i 1 i FS i Mat Riskianalyysi / hti Salo 17
18 Leikkausjoukkojen lukumäärä 3/3 Tapahtuman lisääminen vikajoukkoon Jos FS on vikajoukko, joka saadaan lisäämällä vikajoukkoon FS perustapahtuma j, niin FS' i FS' i i FS' 1 j j i 1 i FS 1 j i FS i FS 1 j Kerrointermi j /1- j pienempi kuin 1 joss j < 0.5 Ts. jos FS:n tn on alle kynnysarvon, sama pätee tnehdon mukaisesti laajennetulle vikajoukolle vikajoukkojen määrää voidaan rajata Tapahtuman vaihtaminen toiseksi Jos FS saadaan vaihtamalla vikajoukossa FS perustapahtuma j tapahtumaksi k, niin FS" k1 j i 1 1 j j Kerrointermi pienempi kuin 1 joss k < j Ts. jos FS:n tn on alle kynnysarvon, sama pätee näin tehdyn vaihdon kautta saadulle vikajoukolle vikajoukkojen määrää voidaan rajata i i FS FS" i FS FS" k 1 k FS i Huom! Modarres 3.4 väärin! Mat Riskianalyysi / hti Salo 18
19 nfluenssarokotus 1/3 Rokotuskampanja nfluenssaepidemian vakavuus vaihtelee vuosittain Sairastumistodennäköisyys riippuu epidemian vakavuudesta Erityisesti nuoret lapset, iäkkäät ja kroonisesti sairaat saattavat kärsiä influenssasta Kannattaako koko väestöä tai sen osia rokottaa, jos rokotus alentaa sairastumisnäköisyyden 8%:iin verrattuna tapaukseen, jossa rokotusta ei annettu? Mat Riskianalyysi / hti Salo 19
20 Mat Riskianalyysi / hti Salo 0
21 nfluenssarokotus /3 Rokotuksen vaikutus altistumiseen Mat Riskianalyysi / hti Salo 1
22 Mat Riskianalyysi / hti Salo
23 nfluenssarokotus 3/3 Tuloksiksi saadaan Voidaan siis argumentoida, että lapset sekä iäkkäät ja kroonisesti sairaat kannatta rokottaa, mutta ei välttämättä koko väestöä Huomioita Vaikuttaako rokotus altistumistodennäköisyyksiin?» Ts. pieneneekö tämä siksi, että osa väestöstä on rokotettu? so. takaisinkytkentä Ovatko FLU-menetysyksiköt perusteltuja?» Nyt kuolema mielusampi kuin yli 100 kunnon flunssaa tai yli 00 lievää sairastumista. Mat Riskianalyysi / hti Salo 3
Luento 5 Riippuvuudet vikapuissa Esimerkkejä PSA:sta
Luento 5 Riippuvuudet vikapuissa Esimerkkejä S:sta hti Salo L 1100, 0015 TKK 1 Toisistaan riippuvat vikaantumiset Riippuvuuksien huomiointi erustapahtumien taustalla voi olla yhteisiä syitä Nämä on pyrittävä
Luento 5 Yhteisvikojen analyysi PSA:n sovelluksia
alto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Luento 5 Yhteisvikojen analyysi S:n sovelluksia hti Salo Systeemianalyysin laboratorio alto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu L 11100, 00076 alto ahti.salo@aalto.fi
Luento 6 Yhteisvikojen analyysi PSA:n sovelluksia
Luento 6 Yhteisvikojen analyysi PSA:n sovelluksia Jan-Erik Holmberg Systeemianalyysin laboratorio Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu PL 11100, 00076 Aalto jan-erik.holmberg@riskpilot.fi 1 Katkosjoukkojen
Luento 4 Vikapuuanalyysit
Luento 4 Vikapuuanalyysit Ahti Salo Teknillinen korkeakoulu PL 1100, 02015 TKK 1 Vikapuuanalyysin vaiheet ❶ Ongelman ja reunaehtojen määrittely ❷ Vikapuun rakentaminen ❸ Minimikatkosjoukkojen tunnistaminen
Luento 5 Vikapuuanalyysit
Luento 5 Vikapuuanalyysit Jan-Erik Holmberg Systeemianalyysin laboratorio Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu PL 11100, 00076 Aalto jan-erik.holmberg@riskpilot.fi 1 Influenssarokotus (1/3) Rokotuskampanja
Luento 4 Vikapuuanalyysit
Luento 4 Vikapuuanalyysit Ahti Salo Teknillinen korkeakoulu PL 1100, 02015 TKK 1 Vikapuuanalyysin vaiheet Ongelman ja reunaehtojen määrittely Vikapuun rakentaminen Minimikatkosjoukkojen tunnistaminen Kvalitatiivinen
Luento 10 Riskitekijöiden priorisointi
Luento 10 Riskitekijöiden priorisointi Ahti Salo Teknillinen korkeakoulu PL 1100, 02015 TKK 1 Riskien priorisointi Lähtökohtia Riskienhallintatoimenpiteet pyritään kohdistamaan siten, että kokonaisriskiä
Kohdassa on käytetty eksponentiaalijakauman kertymäfunktiota (P(t > T τ ) = 1 P(t T τ ). λe λτ e λ(t τ) e 3λT dτ.
25.2.215 1. Autossa on 4 rengasta ja 1 vararengas (T i Exp(λ), [λ] = 1/km, i=1,...,5). Kulkeakseen auto tarvitsee 4 ehjää rengasta. Aluksi auto käyttää neljää alkuperäistä rengasta. Kun yksi näistä vikaantuu,
Yhteisviat ja intervallitodennäköisyydet vikapuuanalyysissä
Aalto-yliopisto Perustieteiden korkeakoulu Teknillisen fysiikan ja matematiikan tutkinto-ohjelma Yhteisviat ja intervallitodennäköisyydet vikapuuanalyysissä Kandidaatintyö 17.01.2013 Tomi Jussila Työn
Luento 6 Luotettavuus Koherentit järjestelmät
Lueto 6 Luotettavuus Koheretit järjestelmät Ja-Erik Holmberg Systeemiaalyysi laboratorio PL 00, 00076 Aalto ja-erik.holmberg@riskpilot.fi ja-erik.holmberg@aalto.fi Määritelmä Tarkasteltava yksikö luotettavuus
Luento 7 Luotettavuus Koherentit järjestelmät
Lueto 7 Luotettavuus Koheretit järjestelmät Ja-Erik Holmberg Systeemiaalyysi laboratorio Aalto-yliopisto perustieteide korkeakoulu PL 00, 00076 Aalto ja-erik.holmberg@riskpilot.fi Määritelmä Tarkasteltava
Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
Jos nollahypoteesi pitää paikkansa on F-testisuuren jakautunut Fisherin F-jakauman mukaan
17.11.2006 1. Kahdesta kohteesta (A ja K) kerättiin maanäytteitä ja näistä mitattiin SiO -pitoisuus. Tulokset (otoskoot ja otosten tunnusluvut): A K 10 16 Ü 64.94 57.06 9.0 7.29 Oletetaan mittaustulosten
3. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut
Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku, kevät - eliövaara, Palo, Mellin. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut D. Uurnassa A on 4 valkoista ja 6 mustaa kuulaa ja uurnassa B on 6 valkoista ja 4 mustaa
MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta
4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin
5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3
Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Verkot todennäköisyyslaskennassa Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut Kertymäfunktio, Momentit, Odotusarvo,
Dynaaminen SLA-riski. Goodnet-projektin loppuseminaari pe Pirkko Kuusela, Ilkka Norros VTT
Dynaaminen SLA-riski Goodnet-projektin loppuseminaari pe 19.10.2012 Pirkko Kuusela, Ilkka Norros VTT 2 Motivaatio Suunniteltu verkko: No-single-point-of-failure Arki: vähänkin isommassa verkossa on yleensä
Miten osoitetaan joukot samoiksi?
Miten osoitetaan joukot samoiksi? Määritelmä 1 Joukot A ja B ovat samat, jos A B ja B A. Tällöin merkitään A = B. Kun todistetaan, että A = B, on päättelyssä kaksi vaihetta: (i) osoitetaan, että A B, ts.
Optimaaliset riskinalentamisportfoliot vikapuuanalyysissä (valmiin työn esittely)
Optimaaliset riskinalentamisportfoliot vikapuuanalyysissä (valmiin työn esittely) Markus Losoi 30.9.2013 Ohjaaja: DI Antti Toppila Valvoja: prof. Ahti Salo Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston
Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A000 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2..205 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x x 2 =
Tilastollinen aineisto Luottamusväli
Tilastollinen aineisto Luottamusväli Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastollinen aineisto p.1/20 Johdanto Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittavien suureiden
Simulation model to compare opportunistic maintenance policies
Simulation model to compare opportunistic maintenance policies Noora Torpo 31.08.18 Ohjaaja/Valvoja: Antti Punkka Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla verkkosivuilla. Muilta osin
7.4 Normaalijakauma (kertausta ja täydennystä) Taulukosta P(Z 1,6449) = 0,05, P(Z -1,6449) = 0,05 P(Z 1,96) = 0,025, P(Z -1,96) = 0,025
26.3.2019/1 MTTTP1, luento 26.3.2019 7.4 Normaalijakauma (kertausta ja täydennystä) Z ~ N(0, 1), tiheysfunktion kuvaaja 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 Taulukosta P(Z 1,6449) = 0,05, P(Z -1,6449) = 0,05 P(Z 1,96)
Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja
12. Korkojohdannaiset
2. Korkojohdannaiset. Lähtökohtia Korkojohdannaiset ovat arvopapereita, joiden tuotto riippuu korkojen kehityksestä. korot liittyvät lähes kaikkiin liiketoimiin korkojohdannaiset ovat tärkeitä. korkojohdannaisilla
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin
χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 11. harjoitukset/ratkaisut
Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Yhteensopivuuden testaaminen Homogeenisuuden testaaminen Riippumattomuuden testaaminen Avainsanat: Estimointi, Havaittu frekvenssi, Homogeenisuus,
Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 6 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 6 () Numeeriset menetelmät 4.4.2013 1 / 33 Luennon 6 sisältö Interpolointi ja approksimointi Polynomi-interpolaatio: Vandermonden
Vikasietoisuus ja luotettavuus
Vikasietoisuus ja luotettavuus Luotettavuussuureet Keskuksen vikasietoisuus Mallinnusmenetelmät Rka/ML -k98 Tiedonvälitystekniikka I 3-1 Vikasietoisuuden peruskäsitteitä ovat Vikaantuminen (failure, malfunction)
Luento 8 Vikaantumisprosessit ja käytettävyys
Luento 8 Vikaantumisprosessit ja käytettävyys Jan-Erik Holmberg Systeemianalyysin laboratorio Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu PL 11100, 00076 Aalto jan-erik.holmberg@riskpilot.fi 1 Komponenttien
min x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-39 Optimointioppi Kimmo Berg 6 harjoitus - ratkaisut min x + x x + x = () x f = 4x, h = x 4x + v = { { x + v = 4x + v = x = v/ x = v/4 () v/ v/4
Vapaus. Määritelmä. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee:
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku Harjoitus 2 (vko 39/2003) (ihe: tapahtumien todennäköisyys, Laininen luvut 1.6 2.4) 1. Tarkastellaan rinnan- ja sarjaankytketyistä
/1. MTTTP1, luento Normaalijakauma (kertausta) Olkoon Z ~ N(0, 1). Määritellään z siten, että P(Z > z ) =, graafisesti:
2.10.2018/1 MTTTP1, luento 2.10.2018 7.4 Normaalijakauma (kertausta) Olkoon Z ~ N(0, 1). Määritellään z siten, että P(Z > z ) =, graafisesti: Samoin z /2 siten, että P(Z > z /2 ) = /2, graafisesti: 2.10.2018/2
Luento 6 Luotettavuus Koherentit järjestelmät
Aalto-ylosto erustetede korkeakoulu Matematka a systeemaalyys latos Lueto 6 Luotettavuus Koherett ärestelmät Aht Salo Systeemaalyys laboratoro Matematka a systeemaalyys latos Aalto-ylosto erustetede korkeakoulu
3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21
Insinöörimatematiikka A
Insinöörimatematiikka A Demonstraatio 3, 3.9.04 Tehtävissä 4 tulee käyttää Gentzenin järjestelmää kaavojen johtamiseen. Johda kaava φ (φ ) tyhjästä oletusjoukosta. ) φ ) φ φ 3) φ 4) φ (E ) (E ) (I, ) (I,
1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa:
1 Kertaus Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa: min c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n kun a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2 (11) a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n
1. TILASTOLLINEN HAHMONTUNNISTUS
1. TILASTOLLINEN HAHMONTUNNISTUS Tilastollisissa hahmontunnistusmenetelmissä piirteitä tarkastellaan tilastollisina muuttujina Luokittelussa käytetään hyväksi seuraavia tietoja: luokkien a priori tn:iä,
Tehtäväsarja I Tehtävät 1-5 perustuvat monisteen kappaleisiin ja tehtävä 6 kappaleeseen 2.8.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Tehtävät -5 perustuvat monisteen kappaleisiin..7 ja tehtävä 6 kappaleeseen.8..
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,
1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät
1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n
/1. MTTTP1, luento Normaalijakauma (jatkoa) Olkoon Z ~ N(0, 1). Määritellään z siten, että P(Z > z ) =, graafisesti:
4.10.2016/1 MTTTP1, luento 4.10.2016 7.4 Normaalijakauma (jatkoa) Olkoon Z ~ N(0, 1). Määritellään z siten, että P(Z > z ) =, graafisesti: Samoin z /2 siten, että P(Z > z /2 ) = /2, graafisesti: 4.10.2016/2
Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
Testejä suhdeasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman
k=0 saanto jokaisen kolmannen asteen polynomin. Tukipisteet on talloin valittu
LIS AYKSI A kirjaan Reaalimuuttujan analyysi 1.6. Numeerinen integrointi: Gaussin kaavat Edella kasitellyt numeerisen integroinnin kaavat eli kvadratuurikaavat Riemannin summa, puolisuunnikassaanto ja
Harjoitus 5 -- Ratkaisut
Harjoitus -- Ratkaisut 1 Ei kommenttia. Tutkittava funktio oskilloi äärettömän tiheään nollan lähellä. PlotPoints-asetus määrää, kuinka tiheästi Plot-funktio ottaa piirrettävästä funktiosta "näytteitä"
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 16. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 16. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Epäparametrisia testejä χ 2 -yhteensopivuustesti Homogeenisuuden testaaminen Antti
Odotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Odotusarvoparien vertailu Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolta: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan nollahypoteesia H 0 : μ 1 = μ 2 = = μ k = μ Jos H 0 hylätään, tiedetään, että
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat
Demonstraatiot Luento 7 D7/1 D7/2 D7/3
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Tietoliikenne- ja tietoverkkotekniikan laitos S-8.45 Liikenneteorian perusteet, Kevät 2008 Demonstraatiot Luento 7 7.2.2008 D7/ Tarkastellaan piirikytkentäisen järjestelmän n-kanavaista
TIE448 Kääntäjätekniikka, syksy 2009. Antti-Juhani Kaijanaho. 7. joulukuuta 2009
TIE448 Kääntäjätekniikka, syksy 2009 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 7. joulukuuta 2009 Sisällys Sisällys Seuraava deadline Vaihe F maanantai 14.12. klo 12 rekisteriallokaatio Arvostelukappale
Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012
Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012 Kahden diskreetin muuttujan yhteisjakauma On olemassa myös monen muuttujan yhteisjakauma, ja jatkuvien muuttujien yhteisjakauma (jota ei käsitellä tällä kurssilla;
Tilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää
y (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x
BM0A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 4, Kevät 017 Päivityksiä: 1. Ratkaise differentiaaliyhtälöt 3y + 4y = 0 ja 3y + 4y = e x.. Ratkaise DY (a) 3y 9y + 6y = e 10x (b) Mikä on edellisen
Probabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto
Probabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto Esimerkki Tarkastelemme ilmiötä I, joka on a) tiettyyn kauppaan tulee asiakkaita
Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi
Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo hannu.toivonen, marko.salmenkivi, inkeri.verkamo@cs.helsinki.fi Helsingin yliopisto Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi,
3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka
3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka su-estimaattorit ovat usein olleet puutteellisia : ne ovat usein harhaisia ja eikä ne välttämättä ole täystehokkaita asymptoottisilta ominaisuuksiltaan ne ovat yleensä
Luento 4 Vikapuuanalyysit
Luento 4 Vikapuuanalyysit Ahti Salo Systeemianalyysin laboratorio Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu PL 11100, 00076 Aalto ahti.salo@aalto.fi 1 Influenssarokotus (1/3) Rokotuskampanja Influenssaepidemian
Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2
4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on?
Luonteva ennuste on käyttää yhtälöä (4.0.1), jolloin estimaattori on muotoa X t = c + φ 1 X t 1 + + φ p X t p ja estimointivirheen varianssi on σ 2. X t }{{} todellinen arvo Xt }{{} esimaattori = ε t Esimerkki
Regressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Regressioanalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Halutaan selittää selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelua selittävien muuttujien havaittujen
Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit Puutodennäköisyydet Todennäköisyyslaskennan laskusääntöjen
Huoltosuunnitelman optimointi teknisten järjestelmien vikaantumisten ennaltaehkäisemiseksi
Aalto-yliopisto Perustieteiden korkeakoulu Teknillisen fysiikan ja matematiikan koulutusohjelma Huoltosuunnitelman optimointi teknisten järjestelmien vikaantumisten ennaltaehkäisemiseksi Mat-2.4108 Sovelletun
Teollisuusautomaation standardit. Osio 5:
Teollisuusautomaation standardit Osio 5 Osio 1: SESKOn Komitea SK 65: Teollisuusprosessien ohjaus Osio 2: Toiminnallinen turvallisuus: periaatteet Osio 3: Toiminnallinen turvallisuus: standardisarja IEC
0.08 bussimatkustajaa. 0.92 ei-bussimatkustajaa
141216 1 Riski R f C (a) Tarkastellaan kuolemaan johtaneita onnettomuuksia f bussi 13 onnettomuutta f muut 13 onnettomuutta 3 tulipalokuolemaa onnettomus 3 tulipalokuolemaa onnettomus 8 bussimatkustajaa
Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit: Esitiedot
TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit iite: Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit: Mitä opimme? Verkkoteoria
Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44
Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.
x 4 e 2x dx Γ(r) = x r 1 e x dx (1)
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta IIA, syksy 217 217 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. Laske numeeriset arvot seuraaville integraaleille: x 4 e 2x dx ja 1
3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a
Otoskeskiarvo on otossuure, jonka todennäköisyysjakauma tiedetään. Se on normaalijakauma, havainnollistaminen simuloiden
1 KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ Luento 30.9.2014 Olkoon satunnaisotos X 1, X 2,, X n normaalijakaumasta N(µ, σ 2 ), tällöin ~ N(µ, σ 2 /n), kaava (6). Otoskeskiarvo on otossuure, jonka todennäköisyysjakauma
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
Turvallisuus prosessien suunnittelussa ja käyttöönotossa
Turvallisuus prosessien suunnittelussa ja käyttöönotossa Moduuli 2 Turvallisuus prosessilaitoksen suunnittelussa 1. Yleistä 2. Vikapuuanalyysi 3. Tapahtumapuuanalyysi 4. Onnettomuuksien esiintymistaajuuden
LIITTEET Liite A Stirlingin kaavan tarkkuudesta...2. Liite B Lagrangen kertoimet...3
LIITTEET... 2 Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta...2 Liite B Lagrage kertoimet... 2 Liitteet Liitteet Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta Luoollista logaritmia suureesta! approksimoidaa usei Stirligi
Monimutkaisten järjestelmien toimintavarmuuden parantaminen Jussi Kangaspunta ja Ahti Salo
Monimutkaisten järjestelmien toimintavarmuuden parantaminen 22..202 Jussi Kangaspunta ja Ahti Salo Taustaa Yhteiskunnan turvallisuusstrategia ja elintärkeiden toimintojen turvaaminen Esim. myrskyjen aiheuttamat
Markov-prosessit (Jatkuva-aikaiset Markov-ketjut)
J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Markov-prosessit 1 Markov-prosessit (Jatkuva-aikaiset Markov-ketut) Tarkastellaan (stationaarisia) Markov-prosessea, oiden parametriavaruus on atkuva (yleensä aika). Siirtymät
Mat-2.3114 Investointiteoria Laskuharjoitus 3/2008, Ratkaisut 05.02.2008
Korko riippuu usein laina-ajan pituudesta ja pitkille talletuksille maksetaan korkeampaa korkoa. Spot-korko s t on se korko, joka kertyy lainatulle pääomalle hetkeen t (=kokonaisluku) mennessä. Spot-korot
dl = F k dl. dw = F dl = F cos. Kun voima vaikuttaa kaarevalla polulla P 1 P 2, polku voidaan jakaa infinitesimaalisen pieniin siirtymiin dl
Kun voima vaikuttaa kaarevalla polulla P 2, polku voidaan jakaa infinitesimaalisen pieniin siirtymiin dl Kukin siirtymä dl voidaan approksimoida suoraviivaiseksi, jolloin vastaava työn elementti voidaan
Luento 2 Riskien arvioinnista
Luento 2 Riskien arvioinnista Ahti Salo Teknillinen korkeakoulu PL 1100, 02015 TKK 1 Termistöä Vaara (engl. hazard) Tarkoittaa ei-toivotun seuraamuksen (tappion, vahingon) toteutumisen mahdollisuutta Ei
Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora
Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen
Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia
Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia KE (2014) 1 Hypergeometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma
Simulation and modeling for quality and reliability (valmiin työn esittely) Aleksi Seppänen
Simulation and modeling for quality and reliability (valmiin työn esittely) Aleksi Seppänen 16.06.2014 Ohjaaja: Urho Honkanen Valvoja: Prof. Harri Ehtamo Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston
Luento 3 Riskien kvalitatiivinen arviointi PSA:n pääpiirteet Vikapuuanalyysi
Luento 3 Riskien kvalitatiivinen arviointi PSA:n pääpiirteet Vikapuuanalyysi Ahti Salo Systeemianalyysin laboratorio Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu PL 11100, 00076 Aalto ahti.salo@aalto.fi
031021P Tilastomatematiikka (5 op)
031021P Tilastomatematiikka (5 op) Jukka Kemppainen Mathematics Division Yleinen todennäköisyys Kertausmateriaalissa esiteltiin koulusta tuttuja todennäköisyysmalleja. Tällä kurssilla todennäköisyys on
Algoritmit 1. Luento 12 Ti Timo Männikkö
Algoritmit 1 Luento 12 Ti 19.2.2019 Timo Männikkö Luento 12 Osittamisen tasapainoisuus Pikalajittelun vaativuus Lajittelumenetelmien vaativuus Laskentalajittelu Lokerolajittelu Kantalukulajittelu Algoritmit
Kuljetustehtävä. Materiaalia kuljetetaan m:stä lähtöpaikasta n:ään tarvepaikkaan. Kuljetuskustannukset lähtöpaikasta i tarvepaikkaan j ovat c ij
Kuljetustehtävä Materiaalia kuljetetaan m:stä lähtöpaikasta n:ään tarvepaikkaan Kuljetuskustannukset lähtöpaikasta i tarvepaikkaan j ovat c ij Lähtöpaikan i kapasiteetti on a i (oletetaan, että a i > 0
Laskentaa kirjaimilla
MAB1 Polynomit Laskentaa kirjaimilla Tähän asti olemme laskeneet luvuilla, jotka on esitetty numeroiden avulla. Matematiikan säännöt, laskentamenetelmät, kaavat samoin kuin fysiikan ja itse asiassa kaikkien
Dynaamiset regressiomallit
MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Lauri Viitasaari Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016 Tilastolliset aikasarjat voidaan jakaa kahteen
2 exp( 2u), kun u > 0 f U (u) = v = 3 + u 3v + uv = u. f V (v) dv = f U (u) du du f V (v) = f U (u) dv = f U (h(v)) h (v) = f U 1 v (1 v) 2
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 208 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Satunnaismuuttuja U Exp(2) ja V = U/(3 + U). Laske f V käyttämällä muuttujanvaihtotekniikkaa.
766334A Ydin- ja hiukkasfysiikka
1 76633A Ydin- ja hiukkasfysiikka Luentomonistetta täydentävää materiaalia: 3 5-3 Kuorimalli Juhani Lounila Oulun yliopisto, Fysiikan laitos, 011 Kuva 7-13 esittää, miten parillis-parillisten ydinten ensimmäisen
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 6A Tilastolliset luottamusvälit Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,
Tehtävä 1. Oletetaan että uv on neliö ja (u, v) = 1. Osoita, että kumpikin luvuista u ja v on. p 2j i. p j i
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 8, MALLIRATKAISUT Tehtävä. Oletetaan että uv on neliö ja (u, v) =. Osoita, että kumpikin luvuista u ja v on neliö. Ratkaisu. Olkoon p i alkuluku, joka jakaa luvun
Liite 2: Verkot ja todennäköisyyslaskenta. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 2: Verkot ja todennäköisyyslaskenta Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit >> Puutodennäköisyydet
. Kun p = 1, jono suppenee raja-arvoon 1. Jos p = 2, jono hajaantuu. Jono suppenee siis lineaarisesti. Vastaavasti jonolle r k+1 = r k, suhde on r k+1
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-.39 Optimointioppi Kimmo Berg 8. harjoitus - ratkaisut. a)huomataan ensinnäkin että kummankin jonon raja-arvo r on nolla. Oletetaan lisäksi että
V. V. Vazirani: Approximation Algorithms, luvut 3-4 Matti Kääriäinen
V. V. Vazirani: Approximation Algorithms, luvut 3-4 Matti Kääriäinen Luento omatoimisen luennan tueksi algoritmiikan tutkimusseminaarissa 23.9.2002. 1 Sisältö Esitellään ongelmat Steiner-puu Kauppamatkustajan
Generoivat funktiot, Poisson- ja eksponenttijakaumat
4A Generoivat funktiot, Poisson- ja eksponenttijakaumat Tämän harjoituksen tavoitteena on edelleen tutustua generoivien funktioiden sovelluksiin ja lisäksi harjoitella ratkaisemaan Poisson- ja eksponenttijakaumiin