TIES471 Reaaliaikainen renderöinti
|
|
- Markus Ranta
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 TIES471 Reaaliaikainen renderöinti
2 5.1 Valonlähteet Yksinkertaisin valolähde on pistemäinen valo (point light), joka säteilee joka suuntaan annetulla voimakkuudella ja värillä. Suunnattu valo (directional light) säteilee näkymän jokaiseen pisteeseen samansuuntaisesti; esim. aurinko. Ympäröivä valo (ambient light) on ympäristöstä heijastuva valo. Kohdevalo (spotlight) säteilee kartion muotoiseen kiilaan. Valo on voimakkaampi kartion keskellä.
3 5.2 Varjostus (sävytys) Varjostusprosessissa lasketaan materiaalin pinnasta ulospäin suuntautuva valon määrä L 0 katselusädettä pitkin materiaalin ominaisuuksien ja valonlähteiden perusteella. Peiliheijastustermi (specular) termi kertoo materiaalin pinnasta heijastuneen valon määrän : M spec = c spec E L cosθ i, missä E L valon tehotiheys tasolla, joka kohtisuorassa valon suuntavektoria l vastaan Diffuusiheijastustermi kertoo siirtyneen (transmission), imeytyneen n (absorption) ja sironneen (scattering) valon määrän: M diff = c diff E L cosθ i, missä E L valon tehotiheys tasolla, joka kohtisuorassa valon suuntavektoria l vastaan p θ i l
4 5.2 Varjostus (sävytys) h n Varjostusfunktio materiaalista lähtevälle valolle, kun käytetään yhtä valon lähdettä: v θ h θ i l L O v = ( c diff π + m + 8 8π cosm θ h c spec ) E L cosθ i p missä m on pinnan sileyttä kuvaava parametri ja c diff ja c spec ovat vakioita.
5 5.2 Varjostus (sävytys) Varjostusfunktiota lasketaan yleensä verteksi- ja pikselivarjostimilla. Varjostinfunktion toteutuksessa tulee huomioida laskentojen taajuus : *Mallikohtainen (per-model) : ilmiön koskiessa koko mallia voidaan laskenta suorittaa yhdellä kertaa sovelluksessa ja antaa tulos grafiikka-api:lle. *Primitiivikohtainen (per-primitive) : ilmiön koskiessa piirtoprimitiiviä (kolmio, viivasegmentti) laskenta suoritetaan geometriavarjostimella (tai verteksivarjostimella, mikäli viereisten verteksien tietoja tarvita). *Verteksikohtainen (per-vertex) : ilmiön koskiessa verteksiä laskenta suoritetaan verteksi-varjostimella ja tulokset lineaarisesti interpoloidaan yli verteksiin liittyvän kolmion käyttäen pikselivarjostinta. *Pikselikohtainen (per pixel) : pikselikohtaiset laskennat suoritetaan pikselivarjostimella.
6 5.2 Varjostus (sävytys) h n Erotetaan mallikohtaiset alilausekkeet : n v θ h θ i l L O v = (K d + K S cos m θ hk ) E Lk cosθ ik k=1 p missä K d = c diff /π, K s = ((8 + m) / 8 π)*c spec Käytettäessä yhdensuuntaisia valonlähteitä l k ja E Lk ovat vakioita. θ hk ja θ ik muuttuvat läpi monikulmion. cos θ lasketaan l k ja n välisellä tai h k ja n välisellä pistetulolla. n = pinnan normaali h = puolivektori v = katselusuunta l = valon suunta l+v h =, p = p v p l+v p v p
7 5.2 Varjostus (sävytys) h n float3 Shade ( float3 p, float3 n, uniform float3 pv, uniform float3 Kd, uniform float3 Ks, uniform float m, uniform uint lightcount, uniform float3 1[MAXLIGHTS], uniform float3 EL[MAXLIGHTS]) { float3 v = normalize(pv - p); float3 Lo = float3(0.0f,0.0f,0.0f); v θ h θ i p l for (uint k = 0; k < lightcount; k++) { float3 h = normalize(v + l[k]); float costh = saturate(dot(n, h)); float costi = saturate(dot(n, l[k])); Lo += ((Kd + Ks * pow(costh, m)) * EL[k] * costi; } } return Lo;
8 5.2 Varjostus (sävytys) Koska suoritetaan Shade-kutsu? Verteksinormaaleja käytettäessä primitiivikohtainen varjostuslaskenta ei tuota sulavaa lopputulosta (flat shading). Verteksikohtainen varjostus ja sen jälkeinen lineaarinen interpolointi tuottaa paremman lopputuloksen; Gouraud ( guh row ) varjostus. Verteksin normaali ja paikka maailmankoordinaateissa annetaan syötteenä Shade-funktiolle. Pikselivarjostin tulostaa suoraan interpoloidun arvon. Gouraud-varjostus toimii hyvin mattapinnoilla. Phong-varjostuksessa verteksivarjostin kirjoittaa maailman koordinaatistossa sijaitsevat verteksien normaalit ja positiot interpoloituihin arvoihin. Pikselivarjostin antaa ne Shade-funktiolle, jonka paluuarvo kirjoitetaan kehyspuskuriin.
9 5.3 Aliasoituminen ja antialisointi Monikulmion reunat näyttävät näytöllä kulmikkailta ja porrastuneilta. Reunojen porrastumista sanotaan aliasoitumiseksi. Aliasoituminen johtuu riittämättömästä näyttökehyksen resoluutiosta esittämään yksityiskohdat selvästi. Nyquist: kuvasignaalin näytteenottotiheys pitää olla vähintään kaksi kertaa yhtäsuuri kuin näytteistettävän signaalin maksimitaajuus. On mahdotonta välttää täysin aliasoitumista käytettäessä pisteitä (näytteitä) näkymän renderöintiin. Antialisointimenetelmiä esitellään teksturoinnin yhteydessä.
10 6.1 Tekstuuriliukuhihna Teksturointi muokkaa varjostusfunktiossa käytettävien parametrien arvoja perustuen pinnan positioon. Toisin sanoen näkymän kappaleen pinnan väriksi tietyssä pisteessä asetetaan tekstuurin (kuvan) diffuusivärin arvo. Esimerkiksi kiilloon (gloss) visualisointiin tarkoitettu tekstuuri vaikuttaa sitä vastaavaan parametriin tai kyhmytykseen (bumb mapping) tarkoitettu tekstuuri vaikuttaa pinnan normaalin arvoon. Kuvatekstuurin pikseleitä kutsutaan tekseleiksi (texel). Projektiofunktio Vastaavuusfunktio Tulos Muunnosfunktio paikka mallikoordinaatistossa paikka uvkoordinaatistossa paikka tekstuurikoordinaatistossa tekstuurin (väri)arvo muunettu tekstuurin (väri)arvo
11 6.1 Tekstuuriliukuhihna Liukuhihnan alussa tekstuurin paikka esitetään mallikoordinaatistossa (tai maailman koordinaatistossa). Projektiofunktio muuntaa mallikoordinaatit kaksiulotteisiin (u,v)- koordinaatteihin (tekstuurikoordinaatit). Esimerkiksi ortografista projektiota voidaan käyttää muunnoksessa. Puhutaan tekstuurimappauksesta (texture mapping). Vastaavuusfunktiolla (corresponder function) (u,v) -koordinaatit skaalataan tekstuurin koon alueeseen. Skaalatut (u,v) -koordinaatit osoittavat tekselin väriarvoon. Lopuksi saadut väriarvot muunnetaan varjostusfunktiolle sopiviksi.
12 6.1.1 Teksturoinnin projektiofunktio 1. askel teksturointiliukuhihnalla projisoi pinnan pisteen kaksiulotteiseen (u,v) -avaruuteen. Projektiofunktion tarkoitus on tuottaa tekstuurikoordinaatteja. Mallinnussovelluksissa (u,v) koordinaatit määritellään (yleensä) verteksi kohtaisesti. Mallinnusohjelmistoissa voidaan käyttää esimerkiksi pallomaisia (spherical), sylinterimäisiä (cylindrical) ja tasomaisia projektiofunktiota. Projektiofunktioina käytetään myös parametrisoitu kaarevia pintoja, jotka sisältävät itsessään (u,v) koordinaatit. Tässä tapauksessa ei ole siis kysymys projektiosta. Yleensä projektiofunktiota käytetään mallinnusvaiheessa ja tulokset tallentaan vertekseihin. Joissakin tapauksissa voi kuitenkin olla järkevää toteuttaa projektiofunktio verteksi- tai pikselivarjostimessa; animointi.
13 6.1.1 Projektiofunktio Parametriavaruus voi olla kolmi- tai neliulotteinen. Kolmiulotteisessa tapauksessa tekstuurikoordinaatit esitetään vektorina (u, v, w), missä w projektiosuunnan syvyys. Parametriavaruus voi olla tyypiltään suuntaava, jossa jokainen piste edustaa jotakin suuntaa; esimerkiksi kuutiokartta (cube map). Käytettäessä moniteksturointia (multitexturing) tarvitaan jokaiselle tekstuurille omat tekstuurikoordinaatit. Lopullisten tekseli arvojen saantiin käytetään interpolointia.
14 6.1.2 Vastaavuusfunktio Vastaavuusfunktio muuntaa (skaalaa) parametriavaruuden koordinaatit tekstuuriavaruuden koordinaateiksi. Vastavuusfunktio tarjoaa joustavan tavan asettaa tekstuuri näkymän kappaleen pinnalle. Vastaavuusfunktio voi olla muunnosmatriisi, joka suoritetaan verteksille tai pikselivarjostimelle. Muunnosmatriisilla tekstuuria voidaan siirtää, pyörittää, skaalata, vääntää,... Vastaavuusfunktiolla voidaan valita jokin tekstuurin osa käytettäväksi kappaleen teksturoinnissa. Vastaavuusfunktiolla voidaan hallita tekstuurin käyttäytymistä määritellyn alueen sisä- ja ulkopuolella.
15 6.1.2 Vastaavuusfunktio Käärintä (wrap, DirectX), toisto (repeat, OpenGL) tai laatoitus (tile): kuvaa toistetaan koko pinnan yli. Peilaus (mirror): Kuvaa toistetaan koko pinnan yli, mutta sen peilikuvaa käytetään joka toisella toistolla. Puristus (clamp) tai purista reunaan (clamp to edge). Tekstuuriarvot lukualueen ulkopuolella [0..1) puristetaan alueelle. Toiminnallisuus on estää vastakkaisen puolen tekselien käytön bilineaarisessa interpoloinnissa. Rajoitus (border) tai purista rajaa (clamp to border). Tekstuurialueen ulkopuoliset arvot renderöidään erikseen määritellyllä värillä. Esiteltyjä vastaavuusfunktioita voidaan käyttää eri akseleilla; tekstuuri voidaan puristaa u-akselilla ja toistaa v-akselilla.
TIES471 Reaaliaikainen renderöinti
TIES471 Reaaliaikainen renderöinti Laskuharjoitus 1 Lataa kirja 3D Math Primer for Graphics and Game development https://tfetimes.com/wp-content/uploads/2015/04/f.dunn-i.parberry-3d-math-primer-for-graphics-and-game-development.pdf
LisätiedotTampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus
Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 201 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus 6 1..201 1. Tarkastellaan Gouraudin sävytysmallia. Olkoon annettuna kolmio ABC, missä A = (0,0,0), B = (2,0,0) ja C = (1,2,0)
LisätiedotLuento 7: Lokaalit valaistusmallit
Tietokonegrafiikan perusteet T-111.4300 3 op Luento 7: Lokaalit valaistusmallit Lauri Savioja 11/07 Lokaalit valaistusmallit / 1 Sävytys Interpolointi Sisältö Lokaalit valaistusmallit / 2 1 Varjostustekniikat
LisätiedotTietokonegrafiikka. Jyry Suvilehto T Johdatus tietoliikenteeseen ja multimediatekniikkaan kevät 2014
Tietokonegrafiikka Jyry Suvilehto T-110.1100 Johdatus tietoliikenteeseen ja multimediatekniikkaan kevät 2014 1. Sovellusalueita 2. Rasterigrafiikkaa 3. Vektorigrafiikkaa 4. 3D-grafiikkaa 1. Säteenheitto
LisätiedotT-110.1100 Johdatus tietoliikenteeseen ja multimediatekniikkaan Tietokonegrafiikka
Johdatus tietoliikenteeseen ja multimediatekniikkaan Tietokonegrafiikka Timo Tossavainen Mediatekniikan laitos, Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Timo.Tossavainen@tkk.fi 25.3.2011 Sisältö Historiaa
LisätiedotVisualisoinnin perusteet
1 / 12 Digitaalisen arkkitehtuurin yksikkö Aalto-yliopisto Visualisoinnin perusteet Mitä on renderöinti? 2 / 12 3D-mallista voidaan generoida näkymiä tietokoneen avulla. Yleensä perspektiivikuva Valon
LisätiedotLuento 3: 3D katselu. Sisältö
Tietokonegrafiikan perusteet T-.43 3 op Luento 3: 3D katselu Lauri Savioja Janne Kontkanen /27 3D katselu / Sisältö Kertaus: koordinaattimuunnokset ja homogeeniset koordinaatit Näkymänmuodostus Kameran
LisätiedotTIES471 Reaaliaikainen renderöinti
TIES471 Reaaliaikainen renderöinti Laskuharjoitus 1 Lataa kirja 3D Math Primer for Graphics and Game development https://tfetimes.com/wp-content/uploads/2015/04/f.dunn-i.parberry-3d-math-primer-for-graphics-and-game-development.pdf
LisätiedotBM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016
BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 1. Hahmottele karkeasti funktion f : R R 2 piirtämällä sen arvoja muutamilla eri muuttujan arvoilla kaksiulotteiseen koordinaatistoon
LisätiedotLuku 6: Grafiikka. 2D-grafiikka 3D-liukuhihna Epäsuora valaistus Laskostuminen Mobiililaitteet Sisätilat Ulkotilat
2D-grafiikka 3D-liukuhihna Epäsuora valaistus Laskostuminen Mobiililaitteet Sisätilat Ulkotilat 2D-piirto 2-ulotteisen grafiikan piirto perustuu yleensä valmiiden kuvien kopioimiseen näyttömuistiin (blitting)
LisätiedotT Tietokonegrafiikan perusteet. OpenGL-ohjelmointi
T-111.4300 Tietokonegrafiikan perusteet OpenGL-ohjelmointi Id Softwaren huhtikuussa 2004 julkaisema Doom 3 -peli käyttää OpenGL-kirjastoa. Sisällys Mikä on OpenGL? historia nykytilanne OpenGL:n toiminta
LisätiedotYksinkertaistaminen normaalitekstuureiksi
TEKNILLINEN KORKEAKOULU 30.4.2003 Tietoliikenneohjelmistojen ja multimedian laboratorio Tik-111.500 Tietokonegrafiikan seminaari Kevät 2003: Reaaliaikainen 3D grafiikka Yksinkertaistaminen normaalitekstuureiksi
LisätiedotTilanhallintatekniikat
Tilanhallintatekniikat 3D grafiikkamoottoreissa Moottori on projektin osa joka vastaa tiettyjen toiminnallisuuksien hallinnasta hallitsee kaikki vastuualueen datat suorittaa kaikki tehtäväalueen toiminnot
LisätiedotEsityksen sisältö. Peruskäsitteitä. 3D Grafiikka tietokonepeleissä. Piirto- ja taustapuskuri
Esityksen sisältö 3D Grafiikka tietokonepeleissä Peruskäsitteitä Korkean tason rakenne Piirron alkeisobjektit Tekstuurit Valotus Laitteistopiirtoliukuhihna Yhteenveto Peruskäsitteitä Piirto- ja taustapuskuri
LisätiedotRatkaisu: Maksimivalovoiman lauseke koostuu heijastimen maksimivalovoimasta ja valonlähteestä suoraan (ilman heijastumista) tulevasta valovoimasta:
LASKUHARJOITUS 1 VALAISIMIEN OPTIIKKA Tehtävä 1 Pistemäinen valonlähde (Φ = 1000 lm, valokappaleen luminanssi L = 2500 kcd/m 2 ) sijoitetaan 15 cm suuruisen pyörähdysparaboloidin muotoisen peiliheijastimen
LisätiedotTampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus
Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus 2 7.2.2013 1. Matematiikan lukiokurssissa on esitetty, että ylöspäin aukeavan paraabelin f(x) = ax 2 +bx+c,a > 0,minimikohtasaadaan,kunf
LisätiedotTIES471 Reaaliaikainen renderöinti
TIES471 Reaaliaikainen renderöinti Kotitehtävä 2.3.3 Muistin kaistanleveys Koko kaistanleveyden kustannus: B = d * Zr + o(d) * (Z w + C w + T r ) Lisätään vielä tekstuuri välimuisti (texture cache) vaikutus
LisätiedotInsinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut
Insinöörimatematiikka D, 29.3.2016 4. laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut 1. Olkoon u (4,0,4,2) ja v ( 1,1,3,5) vektoreita vektoriavaruudessa R 4. Annetun sisätulon (x,y) indusoima normi on x (x,x) ja
Lisätiedot10.2. Säteenjäljitys ja radiositeettialgoritmi. Säteenjäljitys
10.2. Säteenjäljitys ja radiositeettialgoritmi Säteenjäljitys Säteenjäljityksessä (T. Whitted 1980) valonsäteiden kulkema reitti etsitään käänteisessä järjestyksessä katsojan silmästä takaisin kuvaan valolähteeseen
LisätiedotSisällys. T-111.4300 Tietokonegrafiikan perusteet. OpenGL-ohjelmointi 11/2007. Mikä on OpenGL?
T-111.4300 Tietokonegrafiikan perusteet OpenGL-ohjelmointi 11/2007 Sisällys Mikä on OpenGL? historia nykytilanne OpenGL:n toiminta Piirtäminen ja matriisit Muuta hyödyllistä kameran sijoittaminen valaistus
LisätiedotReaaliaikainen karvapeitteen piirtäminen näytönohjaimella
Reaaliaikainen karvapeitteen piirtäminen näytönohjaimella Jussi Kekäläinen Pro gradu -tutkielma Tietojenkäsittelytieteen laitos Tietojenkäsittelytiede Tammikuu 2016 ITÄ-SUOMEN YLIOPISTO, Luonnontieteiden
LisätiedotJuuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. ( )
Kertaus K1. a) OA =- i + j + k K. b) B = (, 0, 5) K. a) AB = (6 -(- )) i + ( - ) j + (- -(- 7)) k = 8i - j + 4k AB = 8 + (- 1) + 4 = 64+ 1+ 16 = 81= 9 b) 1 1 ( ) AB = (--(- 1)) i + - - 1 j =-i - 4j AB
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 1 / vko 44
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko Tehtävä (L): Käynnistä Matlab-ohjelma ja kokeile laskea sillä muutama peruslaskutoimitus: laske jokin yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolasku. Laske
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon
Lisätiedot5. Grafiikkaliukuhihna: (1) geometriset operaatiot
5. Grafiikkaliukuhihna: () geometriset operaatiot Johdanto Grafiikkaliukuhihnan tarkoitus on kuvata kolmiulotteisen kohdeavaruuden kuva kaksiulotteiseen kuva eli nättöavaruuteen. aikka kolmiulotteisiakin
Lisätiedotkaikki ( r, θ )-avaruuden pisteet (0, θ ) - oli θ
58 VEKTORIANALYYSI Luento 9 Ortogonaaliset käyräviivaiset koordinaatistot Olemme jo monta kertaa esittäneet karteesiset x, y ja z koordinaatit uusia koordinaatteja käyttäen: x= xuvw (,, ), y= yuvw (,,
Lisätiedot8.7. Kolmiulotteiset tekstuuritekniikat. Kolmiulotteinen kohina eli häiriö. Turbulenssin simulointi. turbulence
8.7. Kolmiulotteiset tekstuuritekniikat Edellä lueteltiin keskeiset kaksiulotteisiin tekstuurikuvauksiin liittyvät ongelmat. Syyt ovat: (1) Kaksiulotteinen tekstuurikuvaus, joka perustuu pintakoordinaatistoon,
LisätiedotVektorit, suorat ja tasot
, suorat ja tasot 1 / 22 Koulussa vektori oli nuoli, jolla oli suunta ja suuruus eli pituus. Siirretään vektori siten, että sen alkupää on origossa. Tällöin sen kärki on pisteessä (x 1, x 2 ). Jos vektorin
Lisätiedot4. Esittäminen ja visualisointi (renderöinti)
4. Esittäminen ja visualisointi (renderöinti) Tutkitaan erilaisia renderöintimenetelmiä, joita käytetään luvuissa 2 ja 3 esitettyjen kuvien esitysmuotojen visualisointiin. Seuraavassa selvitetään: (1)
Lisätiedotz 1+i (a) f (z) = 3z 4 5z 3 + 2z (b) f (z) = z 4z + 1 f (z) = 12z 3 15z 2 + 2
BM20A5700 - Integraauunnokset Harjoitus 2 1. Laske seuraavat raja-arvot. -kohta ratkeaa, kun pistät sekä yläkerran että alakerran muotoon (z z 1 )(z z 2 ), missä siis z 1 ja z 2 ovat näiden lausekkeiden
Lisätiedot3D-renderöinti OpenGL-ohjelmointirajapinnalla
Mikko Kemppainen 3D-renderöinti OpenGL-ohjelmointirajapinnalla Tietotekniikan kandidaatintutkielma 28. huhtikuuta 2017 Jyväskylän yliopisto Tietotekniikka Tekijä: Mikko Kemppainen Yhteystiedot: mikko.t.a.kemppainen@student.jyu.fi
Lisätiedot9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa
9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.
LisätiedotT-111.4310 Vuorovaikutteinen tietokonegrafiikka Tentti 14.12.2011
T-111.4310 Vuorovaikutteinen tietokonegrafiikka Tentti 14.12.2011 Vastaa kolmeen tehtävistä 1-4 ja tehtävään 5. 1. Selitä lyhyesti mitä seuraavat termit tarkoittavat tai minkä ongelman algoritmi ratkaisee
LisätiedotVektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on
13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa
MS-A24 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 216 Antti Rasila
LisätiedotMuodonmuutostila hum 30.8.13
Muodonmuutostila Tarkastellaan kuvan 1 kappaletta Ω, jonka pisteet siirtvät ulkoisen kuormituksen johdosta siten, että siirtmien tapahduttua ne muodostavat kappaleen Ω'. Esimerkiksi piste A siirt asemaan
LisätiedotReaaliaikaiset varjoalgoritmit. Atso Kauppinen
Reaaliaikaiset varjoalgoritmit Atso Kauppinen Tampereen yliopisto Tietojenkäsittelytieteiden laitos Tietojenkäsittelyoppi Pro gradu -tutkielma Maaliskuu 2008 Tampereen yliopisto Tietojenkäsittelytieteiden
Lisätiedot(ks. kuva) ja sen jälkeen x:n ja y:n suhteen yli xy-tasossa olevan alueen projektion G:
7 VEKTORIANALYYSI Luento 11 7. Tilavuusintegraalit A 14.5 Funktion f( xyz,, ) tilavuusintegraali yli kolmiulotteisen alueen V on raja-arvo summasta V f( xyz,, ) V kun tilavuusalkiot V =. Tarkastellaan
LisätiedotA B = (1, q, q 2 ) (2, 0, 2) = 2 2q q 2 = 0 q 2 = 1 q = ±1 A(±1) = (1, ±1, 1) A(1) A( 1) = (1, 1, 1) (1, 1, 1) = A( 1) A(1) A( 1) = 1
Mapu I Viikko 4 tehtävä malli Millä q:n arvoilla vektori A(q) (, q, q ) on kohtisuora vektorin B (, 0, ) kanssa? Ovatko A:n eri ratkaisut keskenään kohtisuoria? Jos eivät, määrää niiden välinen kulma!
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia
MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 215 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 215 1 / 2 Moninkertaisten
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä
Lisätiedot3D animaatio: liikekäyrät ja interpolointi. Tommi Tykkälä
3D animaatio: liikekäyrät ja interpolointi Tommi Tykkälä Läpivienti Keyframe-animaatio Lineaarisesta interpoloinnista TCB-splineihin Bezier-käyrät Rotaatioiden interpolointi Kameran animointi Skenegraafit
LisätiedotLuento 7: 3D katselu. Sisältö
Tietokonegrafiikka / perusteet Tik-.3/3 4 ov / 2 ov Luento 7: 3D katselu Lauri Savioja /4 3D katselu / Sisältö Koorinaattimuunnokset Kameran ja maailmankoorinaatiston yhteys Perspektiivi 3D katselu / 2
LisätiedotTekstuurien sovellukset
Teknillinen korkeakoulu 16.4.00 Tietoliikenneohjelmistojen ja multimediatekniikan laboratorio T-111.500 Tietokonegrafiikan seminaari Korkeatasoisen 3D-grafiikan renderöinti Kevät 00 Tekstuurien sovellukset
Lisätiedot3D-Maailman tuottaminen
hyväksymispäivä arvosana arvostelija 3D-Maailman tuottaminen Eero Sääksvuori Helsinki 11.12.2017 Seminaari HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET
LisätiedotMatriisilaskenta Laskuharjoitus 1 - Ratkaisut / vko 37
Matriisilaskenta Laskuharjoitus 1 - Ratkaisut / vko 37 Tehtävä 1: Käynnistä Matlab-ohjelma ja kokeile laskea sillä muutama peruslaskutoimitus: laske jokin yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolasku. Laske
LisätiedotSolmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:
Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia
MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 217 Antti Rasila (Aalto-yliopisto)
LisätiedotVEKTORIT paikkavektori OA
paikkavektori OA Piste A = (2, -1) Paikkavektori OA = 2i j 3D: kuvan piirtäminen hankalaa Piste A = (2, -3, 4) Paikkavektori OA = 2i 3j + 4k Piste A = (a 1, a 2, a 3 ) Paikkavektori OA = a 1 i + a 2 j
LisätiedotT-110.1100 Johdatus tietoliikenteeseen ja multimediatekniikkaan Tietokonegrafiikka
T-110.1100 Johdatus tietoliikenteeseen ja multimediatekniikkaan Tietokonegrafiikka Tapio Takala / Lauri Savioja Teknillinen korkeakoulu Mediatekniikan laitos T-110.1110 / 1 Oppimistavoitteet Tietokonegrafiikan
LisätiedotLauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa:
Simo K. Kivelä, 13.7.004 Frégier'n lause Toisen asteen käyrillä ellipseillä, paraabeleilla, hyperbeleillä ja niiden erikoistapauksilla on melkoinen määrä yksinkertaisia säännöllisyysominaisuuksia. Eräs
LisätiedotTapio Takala / Lauri Savioja Teknillinen korkeakoulu Tietoliikenneohjelmistojen ja multimedian laboratorio
T-110.1100 Johdatus tietoliikenteeseen ja multimediatekniikkaan Tietokonegrafiikka Tapio Takala / Lauri Savioja Teknillinen korkeakoulu Tietoliikenneohjelmistojen ja multimedian laboratorio T-110.1100
LisätiedotRistitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti
14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on
Lisätiedot8. Kuvaustekniikat. Tämän kuvauksen esittäminen ei ole kuitenkaan suoraviivaista. Niinpä se käydään läpi kaksivaiheisena
8. Kuvaustekniikat Tietokonegrafiikassa hyödynnetty termi tekstuuri on oikeastaan hieman kehno, sillä se on jossakin määrin sekoittava eikä tarkoita pinnan pienimittakaavaisen geometrian käsittelyä sanan
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 10: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali.
MS-A25/MS-A26 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 1: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali. Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Merkitään f(x) =x 3 x. Laske a) f( 2), b) f (3) ja c) YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA
1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 26.3.2018 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän
LisätiedotAntti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
LisätiedotTik-111.5450 Tietokoneanimaatio
Tik-111.5450 Tietokoneanimaatio 3. Asennon (pyörähdysliikkeen) esittäminen ja interpolointi 3.10.05 - Tassu Animaatio 2005 - luento 3 1 Sisältö matriisiesitys, matriisin komponenttivektorien merkitys perusakselien
LisätiedotOsoita, että kaikki paraabelit ovat yhdenmuotoisia etsimällä skaalauskuvaus, joka vie paraabelin y = ax 2 paraabelille y = bx 2. VASTAUS: , b = 2 2
8. Geometriset kuvaukset 8.1. Euklidiset kuvaukset 344. Esitä muodossa x = Ax + b se avaruuden E 3 peilauskuvaus, jonka symmetriatasona on x 1 3x + x 3 = 6. A = 1 3 6 6 3, b = 1 1 18. 3 6 6 345. Tason
Lisätiedot3D-mallinnus ja teksturointi tietokonepeleissä
3D-mallinnus ja teksturointi tietokonepeleissä Markus Palviainen Johdantoa aiheeseen Graafikko sekoitus taiteilijaa ja teknistä tuntijaa Graafikolla oltava visuaalista näkemystä asioihin ja hänen pitäisi
Lisätiedota(t) = v (t) = 3 2 t a(t) = 3 2 t < t 1 2 < 69 t 1 2 < 46 t < 46 2 = 2116 a(t) = v (t) = 50
BM0A5810 - Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 1, Syksy 015 1. (a) Kiihtyvyys on nopeuden derivaatta, eli a(t) v (t) 3 t 1 + 1 Nyt on siis selvitettävä, milloin kiihtyvyys kasvaa itseisarvoltaan
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016
LisätiedotOta tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta
MAA5.2 Loppukoe 26.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Olkoon vektorit
LisätiedotVektoreiden A = (A1, A 2, A 3 ) ja B = (B1, B 2, B 3 ) pistetulo on. Edellisestä seuraa
Viikon aiheet Pistetulo (skalaaritulo Vektorien tulot Pistetulo Ristitulo Skalaari- ja vektorikolmitulo Integraalifunktio, alkeisfunktioiden integrointi, yhdistetyn funktion derivaatan integrointi Vektoreiden
LisätiedotT Tietotekniikan peruskurssi: Tietokonegrafiikka. Tassu Takala TKK, Tietoliikenneohjelmistojen ja multimedian laboratorio
T-106.1041 Tietotekniikan peruskurssi: Tassu Takala TKK, Tietoliikenneohjelmistojen ja multimedian laboratorio Luennon aiheita (1) mitä on tietokonegrafiikka? tietokone piirtää kuvia mikä on digitaalinen
LisätiedotKoordinaatistot 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut
Koordinaatistot 1/6 Sisältö Koordinaatiston ja koordinaattien käsite Geometrisissa tehtävissä ja siten mös monissa kätännön ongelmissa on usein tarpeen ilmoittaa pisteiden sijainti jonkin kiinteän vertailussteemin
Lisätiedotläheisyydessä. Piirrä funktio f ja nämä approksimaatiot samaan kuvaan. Näyttääkö järkeenkäyvältä?
BM20A5840 - Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2017 1. Tunnemme vektorit a = [ 1 2 3 ] ja b = [ 2 1 2 ]. Laske (i) kummankin vektorin pituus (eli itseisarvo, eli normi); (ii) vektorien
Lisätiedot763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017
763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 207. Nelinopeus ympyräliikkeessä On siis annettu kappaleen paikkaa kuvaava nelivektori X x µ : Nelinopeus U u µ on määritelty kaavalla x µ (ct,
Lisätiedot3D-grafiikkamoottorin toteutus
Anssi Seppä 3D-grafiikkamoottorin toteutus Metropolia Ammattikorkeakoulu Insinööri (AMK) Tietotekniikka Insinöörityö 24.4.2018 Tiivistelmä Tekijä(t) Otsikko Sivumäärä Aika Anssi Seppä 3D-grafiikkamoottorin
LisätiedotNeliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja
7 NELIÖMATRIISIN DIAGONALISOINTI. Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T () Muistutus: Kokoa n olevien vektorien
LisätiedotA-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota.
MAA5.2 Loppukoe 24.9.2013 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! A1. A-osio. Tehdään
LisätiedotKäyrien välinen dualiteetti (projektiivisessa) tasossa
Solmu 3/2008 1 Käyrien välinen dualiteetti (projektiivisessa) tasossa Georg Metsalo georg.metsalo@tkk.fi Tämä kirjoitus on yhteenveto kaksiosaisesta esitelmästä Maunulan yhteiskoulun matematiikkapäivänä
LisätiedotYleistä vektoreista GeoGebralla
Vektoreita GeoGebralla Vektoreilla voi laskea joko komentopohjaisesti esim. CAS-ikkunassa tai piirtämällä piirtoikkunassa. Ensimmäisen tavan etuna on, että laskujen tueksi muodostuu kuva. Tästä on varmasti
LisätiedotSuorien ja tasojen geometriaa Suorien ja tasojen yhtälöt
6. Suorien tasojen geometriaa 6.1. Suorien tasojen yhtälöt 55. Osoita, että yhtälöt x = 3 + τ y = 1 3τ esittävät samaa tason suoraa. Yhteinen piste 1,5) suunta i 3j. x = 1 6τ y = 5 + 9τ 56. Määritä suoran
LisätiedotKRISTALLOGRAFIASSA TARVITTAVAA MATEMA- TIIKKAA
KRISTALLOGRAFIASSA TARVITTAVAA MATEMA- TIIKKAA Aloita kertaamalla hilan indeksointi niin, että osaat kuutiollisen kiteen tasojen ja suuntien Miller-indeksit. Vektorit määritellään yleisessä muodossa r
LisätiedotAnssi Höykinpuro OPENGL ES VARJOSTIMET KAJAK3D PELIMOOTTORISSA
Anssi Höykinpuro OPENGL ES VARJOSTIMET KAJAK3D PELIMOOTTORISSA Opinnäytetyö Kajaanin ammattikorkeakoulu Luonnontieteet Tietojenkäsittely Syksy 2010 OPINNÄYTETYÖ TIIVISTELMÄ Koulutusala Luonnontieteet Koulutusohjelma
LisätiedotAvaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät
11 Taso Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät tason. Olkoot nämä pisteet P, B ja C. Merkitään vaikkapa P B r ja PC s. Tällöin voidaan sanoa, että vektorit
LisätiedotT-111.1100 Johdatus Tietoliikenteeseen ja Multimediaan
T-111.1100 Johdatus Tietoliikenteeseen ja Multimediaan Tietokonegrafiikka Timo Tossavainen Mediatekniikan laitos Timo.Tossavainen@tkk.fi T-111.1100 p. 1 Sisältö Rasterigrafiikka Grafiikan matematiikkaa
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
LisätiedotVektorialgebra 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori
Vektorialgebra 1/5 Sisältö Skalaaritulo Vektoreiden yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen lisäksi vektoreiden välille voidaan määritellä myös kertolasku. Itse asiassa näitä on kaksi erilaista. Seurauksena
LisätiedotRendaaminen Brazililla
1 / 16 Digitaalisen arkkitehtuurin yksikkö Aalto-yliopisto Rendaaminen Brazililla Rendausasetukset 2 / 16 Rendaukseen liittyvät työkalut löytyvät Render-paneelista Current Renderer-kohdasta voit valita
Lisätiedot11. Tilavuusrenderöinti
11. Tilavuusrenderöinti Tilavuusrenderöinti tarkoittaa vokseliperusteisen datan käsittelyä tai visualisointia. Luvussa 2 esitettiin vokselien merkintään perustuvia tiedonesitysmenetelmiä. Suuret homogeeniset
LisätiedotKuva 1: Tehtävä 1a. = 2π. 3 x3 1 )
BMA58 - Integraalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 3, Kevät 6 = Kuva : Tehtävä a. a Slinterinkuorelle tässä h = ja r = ja kä läpi välin [,], joka johtaa lausekkeeseen: V = π 6 / 3 d 3 3 3 = 3 Kuva : Tehtävä
LisätiedotTassu Takala Teknillinen korkeakoulu Mediatekniikan laitos
T-110.1100 Johdatus tietoliikenteeseen ja multimediatekniikkaan Tietokonegrafiikka Tassu Takala Teknillinen korkeakoulu Mediatekniikan laitos Oppimistavoitteet Tietokonegrafiikan peruskäsitteistön tunteminen
LisätiedotSuora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R},
Määritelmä Suora Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko { p + t v t R}, missä p, v R n ja v 0. Tässä p on suoran jonkin pisteen paikkavektori ja v on suoran suuntavektori. v p LM1,
LisätiedotNORMAL MAP -TEKNIIKAN KÄYTTÖ 3D-MALLINNUKSESSA
NORMAL MAP -TEKNIIKAN KÄYTTÖ 3D-MALLINNUKSESSA LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU Mediatekniikan koulutusohjelma Teknisen visualisoinnin suuntautumisvaihtoehto Opinnäytetyö 14.5.2007 Leevi Huhtamaa Lahden ammattikorkeakoulu
LisätiedotKahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia)
Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia) Piste x 0, y 0 on suoralla, jos sen koordinaatit toteuttavat suoran yhtälön. Esimerkki Olkoon suora 2x + y + 8 = 0 y = 2x 8. Piste 5,2 ei ole
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.2.2016 Susanna Hurme Tervetuloa kurssille! Mitä on statiikka? Mitä on dynamiikka? Miksi niitä opiskellaan? Päivän aihe: Voiman käsite ja partikkelin tasapaino
LisätiedotF dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause
91 VEKTORIANALYYI Luento 13 9. tokesin lause A 16.5 tokesin lause on kuin Gaussin lause, mutta yhtä dimensiota alempana: se liittää toisiinsa kentän derivaatasta pinnan yli otetun integraalin ja pinnan
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 3 / versio 23. syyskuuta 2015 Vektorianalyysi (Ulaby, luku 3) Koordinaatistot Viiva-, pinta- ja tilavuusalkiot Koordinaattimuunnokset Nablaoperaatiot
Lisätiedot7.6. Fysikaalinen peiliheijastus. Pinnan mikrogeometrian mallintaminen. Varjostus ja peittämisvaikutukset
7.6. Fysikaalinen peiliheijastus Tässä mallissa otetaan huomioon fysikaalispohjainen peilikomponentti (Blinn 1977. Sittemmin mallia laajennettiin käsittämään kirkkaan valaistuksen spektrin ja tämän riippuvuuden
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47 Tehtävä 1 (L): Oletetaan, että AB = AC, kun B ja C ovat m n-matriiseja. a) Näytä, että jos A on kääntyvä, niin B = C. b) Seuraako yhtälöstä AB = AC yhtälö
LisätiedotELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op)
ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Jari J. Hänninen 2015 16/IV V Luentoviikko 9 Tavoitteet Valon luonne ja eteneminen Dispersio Lähde: https: //www.flickr.com/photos/fastlizard4/5427856900/in/set-72157626537669172,
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 21. tammikuuta 2016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta
LisätiedotSuorat ja tasot, L6. Suuntajana. Suora xy-tasossa. Suora xyzkoordinaatistossa. Taso xyzkoordinaatistossa. Tason koordinaattimuotoinen yhtälö.
Suorat ja tasot, L6 Suora xyz-koordinaatistossa Taso xyz-koordinaatistossa stä stä 1 Näillä kalvoilla käsittelemme kolmen laisia olioita. Suora xyz-avaruudessa. Taso xyz-avaruudessa. Emme nyt ryhdy pohtimaan,
Lisätiedot12. Derivointioperaattoreista geometrisissa avaruuksissa
12. Derivointioperaattoreista geometrisissa avaruuksissa 12.1. Gradientti, divergenssi ja roottori 328. Laske u, kun u on vektorikenttä a) (z y)i + (x z)j + (y x)k, b) e xyz (i + xlnyj + x 2 zk), c) (x
LisätiedotTIMO SALOKAS MICROSOFTIN DIRECTX-TEKNIIKKA JA ANTIALIASOINTI. Kandidaatintyö
TIMO SALOKAS MICROSOFTIN DIRECTX-TEKNIIKKA JA ANTIALIASOINTI Kandidaatintyö Tarkastaja: lehtori Heikki Huttunen Jätetty tarkastettavaksi 9. toukokuuta 2009 I TIIVISTELMÄ TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO
Lisätiedot6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI
6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T Muistutus: vektorien a ja b pistetulo (skalaaritulo,
LisätiedotSuora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste
Suora 1/5 Sisältö KATSO MYÖS:, vektorialgebra, geometriset probleemat, taso Suora geometrisena peruskäsitteenä Pisteen ohella suora on geometrinen peruskäsite, jota varsinaisesti ei määritellä. Alkeisgeometriassa
Lisätiedot