Mat Tilastollisen analyysin perusteet. Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen Tilastollisten aineistojen kuvaaminen Väliestimointi
|
|
- Raili Rantanen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Mat Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen Tilastollisten aineistojen kuvaaminen Väliestimointi Diskreetit muuttujat, Estimaattori, Frekvenssijakauma, Havaintoarvojen jakauma, Histogrammi, Huipukkuus, Jatkuvat muuttujat, Keskiarvon keskivirhe, Luokiteltu frekvenssijakauma, Luottamusväli, Mitta-asteikot, Otanta, Otos, Parametri, Pylväsdiagrammi, Tunnusluvut, Vinous 1. Mitta-asteikot, frekvenssijakauma, pylväsdiagrammi, tunnusluvut Matematiikan kurssin välikokeen 1. tehtävästä saatiin seuraavat pisteet: 6, 0, 0, 2, 1, 0, 5, 5, 0, 6, 5, 0, 1, 5, 6, 5, 1, 6, 6, 0 Muodosta aineistosta STATISTIX-tiedosto KOEPIST, johon koepisteet syötetään muuttujaksi PISTEET. (a) (b) (c) Mikä on muuttujan PISTEET mitta-asteikko? Muodosta havaintoarvoista frekvenssijakauma ja piirrä pylväsdiagrammi. Mitä voit sanoa koepisteiden jakaumasta kuvan perusteella? Määrää seuraavat tunnusluvut: aritmeettinen keskiarvo, keskihajonta, varianssi, minimi, maksimi, mediaani, moodi Mitä voit sanoa näiden tunnuslukujen mielekkyydestä muuttujan PISTEET havaintoarvojen kuvaajana? Ratkaisu: (a) Mitta-asteikko Muuttujaa PISTEET voidaan pitää järjestysasteikollisena muuttujana, koska tehtävästä annettujen pisteiden erot ja suhteet eivät ole merkityksellisiä, vaan korkeampi pistemäärä kuvaa vain sitä, että vastaus on ollut parempi. Muuttuja PISTEET on diskreetti, koska se voi saada vain äärellisen määrän erillisiä arvoja. (b) Frekvenssijakauma ja pylväsdiagrammi Diskreettien muuttujien arvojen jakautumista kuvataan frekvenssijakaumalla ja sitä vastaavalla graafisella esityksellä pylväsdiagrammilla. Olkoot y 1, y 2,, y m diskreetin muuttujan x mahdolliset arvot ja olkoot x 1, x 2,, x n muuttujan x havaitut arvot. Muuttujan x mahdollisen arvon y k frekvenssi f k kertoo kuinka monta kertaa y k esiintyy muuttujan x havaittujen arvojen x 1, x 2,, x n joukossa. Ilkka Mellin (2005) 1/15
2 Frekvenssijakauma Statistics > Summary Statistic > Frequency Distribution Frequency Variables = PISTEET Bin Size Low = 0 High = 7 Step = 1 FREQUENCY DISTRIBUTION OF PISTEET CUMULATIVE LOW HIGH FREQ PERCENT FREQ PERCENT TOTAL Huomautus: Alaraja (LOW) kuuluu luokkaväliin, yläraja (HIGH) ei kuulu. Pylväsdiagrammi Statistics > Summary Statistics > Histogram Histogram Variables = Pisteet Graph Type = Histogram 6 Histogram 4 Frequency PISTEET Ilkka Mellin (2005) 2/15
3 Koepisteiden jakauma on kaksihuippuinen. Koetehtävä on ollut voimakkaasti erotteleva. (c) Tunnusluvut Muuttujan x havaittujen arvojen x 1, x 2,, x n aritmeettinen keskiarvo saadaan kaavalla 1 n xi n i = 1 x = (otos-) varianssi saadaan kaavalla s 1 n 2 2 = ( xi x ) n 1 i= 1 ja keskihajonta saadaan kaavalla n 1 s = ( xi x ) 1 n i= 1 2 Havaintoarvojen minimi, maksimi, vaihteluväli ja mediaani (kuten muutkin järjestystunnusluvut) saadaan järjestämällä havaintoarvot suuruusjärjestykseen. Olkoot z 1, z 2,, z n havaintoarvot x 1, x 2,, x n suuruusjärjestyksessä pienimmästä suurimpaan. Tällöin havaintoarvojen minimi ja maksimi ovat min{x 1, x 2,, x n } = z 1 max{x 1, x 2,, x n } = z n Havaintoarvojen vaihteluväli on (z 1, z n ) ja vaihteluvälin pituus on z n z 1 Havaintoarvojen mediaani Me on suuruusjärjestykseen asetetuista havaintoarvoista keskimmäinen, jos havaintojen lukumäärä on pariton tai kahden keskimmäisen aritmeettinen keskiarvo, jos havaintojen lukumäärä on parillinen. Mediaani jakaa siis havaintoarvot kahteen yhtä suureen osaan, joista toisessa kaikki havaintoarvot ovat mediaania pienempiä, toisessa kaikki havaintoarvot ovat mediaania suurempia. Statistics > Summary Statistics > Descriptive Statistics Descriptive Variables = PISTEET Ilkka Mellin (2005) 3/15
4 DESCRIPTIVE STATISTICS PISTEET MEAN SD VARIANCE MINIMUM MEDIAN MAXIMUM Aritmeettinen keskiarvo, mediaani, keskihajonta ja varianssi eivät kuvaa havaintoarvojen jakaumaa tässä tapauksessa kovinkaan hyvin. Sen sijaan globaalin moodin 0 ja lokaalien moodien 5 ja 6 kertominen antaa jakaumasta paljon paremman kuvan. 2. Mitta-asteikot, luokiteltu frekvenssijakauma, histogrammi, tunnusluvut, luottamusväli Aurinkoöljyä valmistavalla tehtaalla haluttiin selvittää tehtaalla täytettyjen aurinkoöljypullojen sisällön painon vaihtelu. STATISTIX-tiedostoon SUNTAN on talletettu aurinkoöljypullojen sisällön painot (WEIGHTS; yksikkö = mg) yksinkertaisesta satunnaisotoksesta, jonka koko oli 100. (a) (b) (c) Mikä on muuttujan WEIGHTS mitta-asteikko? Muodosta havaintoarvoista luokiteltu frekvenssijakauma ja piirrä histogrammi. Mitä voit sanoa painojen jakaumasta kuvan perusteella? Tutki myös luokituksen vaikutusta histogrammiin. Määrää seuraavat tunnusluvut: aritmeettinen keskiarvo, keskihajonta, varianssi, minimi, maksimi, mediaani, moodi, vinous, huipukkuus, keskiarvon keskivirhe, 95 %:n luottamusväli (d) Piirrä aineistosta ns. Box and Whisker -kuvio. Mitä voit sanoa tunnuslukujen mielekkyydestä muuttujan WEIGHTS havaintoarvojen kuvaajana? Ratkaisu: Varmista vielä se, että keskiarvon keskivirheen neliö toteuttaa kaavan 2 s Var( x) = n jossa s 2 on havaintoarvojen harhaton varianssiestimaattori. (a) Mitta-asteikko Muuttujaa WEIGHTS voidaan pitää suhdeasteikollisena muuttujana, koska paino on muuttuja, jonka arvojen suhteet ovat merkityksellisiä. Muuttuja WEIGHTS on jatkuva, koska se voi saada mitä tahansa (ei-negatiivisia) reaalilukuarvoja. Ilkka Mellin (2005) 4/15
5 (b) Luokiteltu frekvenssijakauma, histogrammi Jatkuvien muuttujien arvojen jakautumista kuvataan luokitellulla frekvenssijakaumalla ja sitä vastaavalla graafisella esityksellä histogrammilla. Olkoot x 1, x 2,, x n jatkuvan muuttujan x havaitut arvot. Jaetaan muuttujan x mahdollisten arvojen alue toisensa poissulkeviin luokkiin I 1, I 1,, I m Luokkafrekvenssi f k kertoo niiden havaintoarvojen x 1, x 2,, x n lukumäärän, jotka kuuluvat luokkaan I k. Luokiteltu frekvenssijakauma Statistics > Summary Statistics > Frequency distribution Frequency Variables = WEIGHTS Bin Size Low = 220 High = 254 Step = 2 STATISTIX FOR WINDOWS SUNTAN FREQUENCY DISTRIBUTION OF WEIGHTS CUMULATIVE LOW HIGH FREQ PERCENT FREQ PERCENT TOTAL Ilkka Mellin (2005) 5/15
6 Histogrammi Statistics > Summary Statistics > Histogram Histogram Variables = WEIGHTS 18 Histogram 12 Frequency WEIGHTS Jakauma on yksihuippuinen ja silmämääräisesti lähellä normaalijakaumaa. Pullojen painon voidaan ajatella määräytyvän seuraavan tilastollisen mallin mukaan: x = µ + ε i i jossa x i = pullon i paino µ = pullon painon tavoitearvo ε i = satunnaisvirhe koneen toiminnassa (c) Tunnusluvut Muuttujan x havaittujen arvojen x 1, x 2,, x n aritmeettinen keskiarvo, varianssi, keskihajonta, minimi, maksimi ja mediaani on määritelty tehtävässä 1. Ilkka Mellin (2005) 6/15
7 Muuttujan x havaittujen arvojen x 1, x 2,, x n aritmeettisen keskiarvon 1 n xi n i = 1 x = keskivirhe on Se ( x) = s n jossa s on muuttujan x havaittujen arvojen x 1, x 2,, x n keskihajonta. Muuttujan x havaittujen arvojen x 1, x 2,, x n k. keskusmomentti saadaan kaavalla n 1 k m = ( x x), k = 1,2,3, k n i = 1 i Muuttujan x havaittujen arvojen x 1, x 2,, x n vinous c 1 ja huipukkuus c 2 määritellään kaavoilla m m c = c = /2 2 2 m2 m2 Oletetaan, että muuttujan x havaitut arvot x 1, x 2,, x n on saatu yksinkertaisella satunnaisotannalla normaalijakaumasta N(µ, σ 2 ) Tällöin parametrin µ luottamusväli luottamustasolla (1 α) on muotoa x ± t α /2 s n jossa luottamustasoa (1 α) vastaavat luottamuskertoimet ± t α /2 määrätään yhtälöistä α Pr( t tα /2) = 2 α Pr( t + tα /2) = 2 jossa satunnaismuuttuja t noudattaa Studentin t-jakaumaa vapausastein (n 1): t t(n 1) Tällöin ± tα /2 toteuttavat yhtälön Pr( t t + t ) = 1 α /2 α /2 α Ilkka Mellin (2005) 7/15
8 Statistics > Summary Statistics > Descriptive Statistics Descriptive Variables = Weights DESCRIPTIVE STATISTICS WEIGHTS LO 95% CI MEAN UP 95% CI SD VARIANCE SE MEAN MINIMUM MEDIAN MAXIMUM SKEW KURTOSIS Havaintoarvojen aritmeettinen keskiarvo ja mediaani kuvaavat havaintoarvojen jakaumaa tässä tapauksessa hyvin. Havaintoarvojen vinous ja huipukkuus ovat lähellä normaalijakautuneen aineiston tuottamia arvoja. Keskiarvon keskivirhe: s Se( x) = = = n 100 (d) Box and Whisker -kuvio Havaintoaineistoa koskeva tieto kannattaa usein tiivistää ns. Box and Whisker -kuvioksi. Kuvion pääosa muodostuu laatikosta (box) ja viiksistä (whisker). Lisäksi kuvioon merkitään ulkopuoliset havainnot (ks. tarkemmin luentokalvoja) tähdillä ja ympyröillä. (i) Kvartiilit Q 1, Q 2, Q 3 jakavat suuruusjärjestykseen asetetun havaintoaineiston neljään yhtä suureen osaan. Box and Whisker -kuvion laatikko kuvaa havaintoarvojen kvartiiliväliä (Q 1, Q 3 ) Havaintoarvojen mediaani (suuruusjärjetykseen asetetun havaintoaineiston keskimmäinen havaintoarvo) Me = Q 2 merkitään laatikkoon poikkiviivalla. Ilkka Mellin (2005) 8/15
9 (ii) Määritellään Box and Whisker -kuvion sisäaidat f 1 ja f 3 kaavoilla f 1 = Q IQR f 3 = Q IQR jossa IQR = Q 3 Q 1 on kvartiilivälin (Q 1, Q 3 ) pituus. Olkoon a 1 pienin havaintoarvo, joka toteuttaa ehdon a 1 f 1. Olkoon a 3 suurin havaintoarvo, joka toteuttaa ehdon a 3 f 3. Määritellään Box and Whisker -kuvion ulkoaidat F 1 ja F 3 kaavoilla F 1 = Q 1 3 IQR F 3 = Q IQR Piirretään Box and Whisker -kuvion viikset laatikon molemmille puolille kuvaamaan välejä (a 1, Q 1 ) ja (Q 3, a 3 ) (iii) Merkitään väleihin (F 1, a 1 ) ja (a 3, F 3 ) kuuluvat havaintoarvot Box and Whisker -kuvioon tähdillä. Merkitään väleihin (, F 1 ) ja (F 3, + ) kuuluvat havaintoarvot Box and Whisker -kuvioon ympyröillä. Niitä havaintoarvoja, jotka tulevat merkityiksi tähdillä tai ympyröillä voidaan pitää poikkeuksellisina. Box and Whisker -kuvio toimii parhaiten tilanteissa, joissa havainnot voidaan jakaa kahteen tai useampaan ryhmään ja tehtävänä on verrata havaintoarvojen jakaumia eri ryhmissä toisiinsa (ks. tarkemmin 2. harjoitusten tehtävän 1 ratkaisua). Statistics > Summary Statistics > Box and Whisker Plots Descriptive Variables = Weights Ilkka Mellin (2005) 9/15
10 Box and Whisker Plot WEIGHTS cases Kuvio vastaa tässä tapauksessa hyvin histogrammikuvion antamaa kuvaa aineistosta: (i) Havaintoarvojen jakauma on suhteellisen symmetrinen. (ii) Havaintoarvojen joukossa ei ole poikkeuksellisia havaintoja. Koska Box-Whisker-kuvio perustuu kvartiileihin Q 1, Q 2 ja Q 3, laskemme ne vielä erikseen: Alakvartiili Q 1 = 25. persentiili Keskikvartiili Q 2 = 50. persentiili = Mediaani Yläkvartiili Q 3 = 75. persentiili Statistics > Summary Statistics > Percentiles Percentile Variables = Weights Percentiles #1 = 25 #2 = 50 #3 = 75 STATISTIX FOR WINDOWS PERCENTILES VARIABLE CASES WEIGHTS Ilkka Mellin (2005) 10/15
11 Koska kvartiilivälin pituus on tässä IQR = Q 3 Q 1 = = 7.75 sisäaidoiksi saadaan f 1 = Q IQR = = f 3 = Q IQR = = Koska niin min = 224 > f 1 = max = 249 < f 3 = a 1 = min = 224 a 3 = max = Satunnaisotanta, luottamusväli Tulkitaan tehtävän 2 aurinkoöljypullojen joukko perusjoukoksi. Tehtävässä tutkitaan perusjoukon pullojen sisällön keskimääräisen painon estimointia otoksesta poimimalla perusjoukosta 20 pullon yksinkertainen satunnaisotos ja muodostamalla perusjoukon pullojen keskimääräiselle painolle 95 %:n luottamusväli otoksen perusteella. Peittääkö konstruoitu luottamusväli perusjoukon parametrin arvon? Toista otantaa useita kertoja ja seuraa miten otostunnusluvut ja luottamusväli vaihtelevat otoksesta toiseen. Ratkaisu: Otanta Tulkitaan tiedoston SUNTAN havaintoyksiköt (aurinkoöljypullot) perusjoukoksi, jonka koko N = 100. Poimitaan perusjoukosta yksinkertainen satunnaisotos, jonka koko n = 20. Otoksen poiminta voidaan toteuttaa 3:ssa vaiheessa: (1) Generoidaan tiedostoon SUNTAN 100 satunnaislukua tasaisesta jakaumasta Uniform(0,1) (2) Lajitellaan havainnot generoitujen satunnaislukujen suhteen nousevaan järjestykseen. (3) Valitaan otokseen 20 ensimmäistä havaintoa. Uusia otoksia saadaan toistamalla satunnaislukujen generointia. Lisätään ennen satunnaislukujen generointia tiedostoon SUNTAN havaintonumero uudeksi muuttujaksi OBS. Näin päästään parhaiten näkemään lajittelun vaikutus vaiheessa (2). Ilkka Mellin (2005) 11/15
12 Data > Transformations Transformation Expression OBS = Case Satunnaislukujen generointi muuttujaksi Z: Data > Transformations Transformation Expression Z = Random Havaintojen järjestäminen muuttujan Z arvojen suhteen nousevaan järjestykseen: Data > Sort Cases Key variables = Z Sort Order = Ascending 20 ensimmäisen havainnon valinta: Data > Omit Cases Omit Expression Omit Case > 20 Kaikkien havaintojen saattaminen uudelleen käyttöön: Data > Restore Cases Restore Expression Restore Case > 20 Valituiksi tulivat tätä kirjoitettaessa havainnot (vaihtelee kerta kerralta): 93, 21, 12, 26, 65, 39, 25, 54, 80, 63, 57, 75, 23, 18, 17, 22, 45, 5, 98, 55 Ilkka Mellin (2005) 12/15
13 Tunnusluvut Statistics > Summary Statistics > Descriptive Statistics Descriptive Variables = Weights DESCRIPTIVE STATISTICS WEIGHTS LO 95% CI MEAN UP 95% CI SD VARIANCE SE MEAN Tässä 95 %:n luottamusväli on laskettu ilman äärellisen perusjoukon korjaustekijää. Tässä otoksessa perusjoukon aritmeettinen keskiarvo on välin sisäpuolella. Luottamusväli, jossa on otettu huomioon äärellisen perusjoukon korjaustekijä saadaan seuraavalla kaavalla: jossa x ± t Se( x) x = otoskeskiarvo t = luottamuskerroin t-jakaumasta, jonka vapausasteiden lukumäärä df = n 1 (n = otoskoko) s n Se( x) = keskiarvon keskivirhe äärellisessä otoksessa = 1 n N N = perusjoukon koko n = otoskoko s = otoskeskihajonta 95 %:n luottamusvälin luottamuskerroin on t = 2.09: STATISTICS: Statistics > Probability Functions Function = T Inverse P = DF = 19 Ilkka Mellin (2005) 13/15
14 Keskiarvon keskivirhe: jossa s n Se( x) = n N = = N = perusjoukon koko = 100 n = otoskoko = 20 s = otoshajonta = Luottamusväli: (235.62, ) Saatu luottamusväli on äärellisen perusjoukon korjaustekijän takia kapeampi, kuin STATISTIX-ohjelman tulostama väli, mutta peittää kuitenkin perusjoukon aritmeettisen keskiarvon Kommentteja: Jos otantaa toistetaan generoimalla uusia satunnaislukuja, vaihtelevat kaikki otoksesta lasketut suureet otoksesta toiseen. Tämä on sitä otosvaihtelua, jota otantajakaumat kuvaavat. Luottamustason tulkinnan mukaan suunnilleen 95 % generoiduista luottamusväleistä peittää perusjoukon aritmeettisen keskiarvon ja suunnilleen 5 % ei sitä tee. Ilkka Mellin (2005) 14/15
15 Liitteet Satunnaisotoksen poiminta STATISTIX-ohjelman avulla (i) Muodostetaan tiedostoon funktiolla Random muuttuja Z, jonka arvoiksi annetaan N (N = havaintojen lukumäärä tiedostossa) satunnaislukua jatkuvasta tasaisesta jakaumasta väliltä (0, 1): (ii) Z = Random Järjestetään aineisto muuttujan Z arvojen suhteen nousevaan järjestykseen. (iii) Valitaan otokseen n ensimmäistä havaintoa (n = otoskoko). Huomautus: Tiedostoon kannattaa havaintojen tunnistamiseksi lisätä muuttuja ennen vaihetta (i). Obs = Case Keskiarvon keskivirheen laskeminen äärellisestä perusjoukosta Koska perusjoukko on äärellinen, luottamusvälin konstruoinnissa tarvittava keskiarvon keskivirhe lasketaan usein kaavalla jossa s n Se( x) = 1 n N N = perusjoukon koko n = otoskoko Ilkka Mellin (2005) 15/15
Johdatus tilastotieteeseen Tilastollisten aineistojen kuvaaminen. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Tilastollisten aineistojen kuvaaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Tilastollisten aineistojen kuvaaminen Havaintoarvojen jakauma Tunnusluvut Suhdeasteikollisten muuttujien tunnusluvut
LisätiedotTilastotieteen kertaus. Kuusinen/Heliövaara 1
Tilastotieteen kertaus Kuusinen/Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla reaalimaailman ilmiöistä voidaan tehdä johtopäätöksiä tilanteissa, joissa
LisätiedotTilastollisten aineistojen kuvaaminen
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 1: Johdanto Tilastollisten aineistojen kuvaaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastollisten aineistojen kuvaaminen >> Havaintoarvojen jakauma Tunnusluvut Suhdeasteikollisten
Lisätiedottilastotieteen kertaus
tilastotieteen kertaus Keskiviikon 24.1. harjoitukset pidetään poikkeuksellisesti klo 14-16 luokassa Y228. Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla
LisätiedotTilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 18. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 18. lokakuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollinen aineisto 2 Tilastollinen malli Yksinkertainen satunnaisotos 3 Otostunnusluvut
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Väliestimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Väliestimointi Todennäköisyysjakaumien parametrien estimointi Luottamusväli Normaalijakauman odotusarvon luottamusväli Normaalijakauman
LisätiedotEstimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman
Lisätiedot1. Normaalisuuden tutkiminen, Bowmanin ja Shentonin testi, Rankit Plot, Wilkin ja Shapiron testi
Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Yhteensopivuuden ja homogeenisuden testaaminen Bowmanin ja Shentonin testi, Hypoteesi, 2 -homogeenisuustesti, 2 -yhteensopivuustesti,
LisätiedotTUTKIMUSAINEISTON KVANTITATIIVINEN ANALYYSI LTKY012. Timo Törmäkangas
TUTKIMUSAINEISTON KVANTITATIIVINEN ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas TEOREETTISISTA JAKAUMISTA Usein johtopäätösten teko helpottuu huomattavasti, jos tarkasteltavan muuttujan perusjoukon jakauma noudattaa
LisätiedotTilastollinen aineisto Luottamusväli
Tilastollinen aineisto Luottamusväli Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastollinen aineisto p.1/20 Johdanto Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittavien suureiden
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
LisätiedotVäliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1
Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 11. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 11. lokakuuta 2007 1 / 15 1 Johdantoa tilastotieteeseen Peruskäsitteitä Tilastollisen kuvailun ja päättelyn menetelmiä
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman
LisätiedotTavanomaisten otostunnuslukujen, odotusarvon luottamusvälin ja Box ja Whisker -kuvion määritelmät: ks. 1. harjoitukset.
Mat-.04 Tilastollisen analyysin perusteet Mat-.04 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Testit suhdeasteikollisille muuttujille Hypoteesi, Kahden riippumattoman otoksen t-testit,
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (004) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo
LisätiedotTeema 8: Parametrien estimointi ja luottamusvälit
Teema 8: Parametrien estimointi ja luottamusvälit Todennäköisyyslaskennan perusteet (Teemat 6 ja 7) antavat hyvän pohjan siirtyä kurssin viimeiseen laajempaan kokonaisuuteen, nimittäin tilastolliseen päättelyyn.
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
LisätiedotHarjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox
Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen tavoitteet Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat
Lisätiedot7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut
7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut D1. a) Oletetaan, että satunnaismuuttujat X ja Y noudattavat kaksiulotteista normaalijakaumaa parametrein E(X) = 0, E(Y ) = 1, Var(X) = 1, Var(Y ) = 4 ja Cov(X,
LisätiedotEstimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:
LisätiedotTestejä suhdeasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman
LisätiedotTilastolliset menetelmät. Osa 1: Johdanto. Johdanto tilastotieteeseen KE (2014) 1
Tilastolliset menetelmät Osa 1: Johdanto Johdanto tilastotieteeseen KE (2014) 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä ja malleja, joiden avulla reaalimaailman ilmiöistä voidaan
LisätiedotTUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas
TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas JAKAUMAN MUOTO Vinous, skew (g 1, γ 1 ) Kertoo jakauman symmetrisyydestä Vertailuarvona on nolla, joka vastaa symmetristä jakaumaa (mm. normaalijakauma)
Lisätiedot9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut
9. laskuharjoituskierros, vko 12-13, ratkaisut D1. Olkoot X i, i = 1, 2,..., n riippumattomia, samaa eksponenttijakaumaa noudattavia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvo E(X i = β, toisin sanoen X i :t
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle
LisätiedotEstimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla määritelty funktio
17.11.2015/1 MTTTP5, luento 17.11.2015 Luku 5 Parametrien estimointi 5.1 Piste-estimointi Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla
Lisätiedotpisteet Frekvenssi frekvenssi Yhteensä
806118P JOHDATUS TILASTOTIETEESEEN Loppukoe 15.3.2018 (Jari Päkkilä) 1. Kevään -17 Johdaus tilastotieteeseen -kurssin opiskelijoiden harjoitusaktiivisuudesta saatujen pisteiden frekvenssijakauma: Harjoitus-
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 3. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 3. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Varianssin luottamusväli, jatkoa 2 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 3
LisätiedotKvantitatiiviset tutkimusmenetelmät maantieteessä
Kvantitatiiviset tutkimusmenetelmät maantieteessä Harjoitukset: 2 Muuttujan normaaliuden testaaminen, merkitsevyys tasot ja yhden otoksen testit FT Joni Vainikka, Yliopisto-opettaja, GO218, joni.vainikka@oulu.fi
LisätiedotTestit järjestysasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten
LisätiedotMTTTP5, luento Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu)
21.11.2017/1 MTTTP5, luento 21.11.2017 Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu) 4) Olkoot X 1, X 2,..., X n satunnaisotos (, ):sta ja Y 1, Y 2,..., Y m satunnaisotos (, ):sta sekä otokset riippumattomia.
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä arvon Sisältö arvon Bootstrap-luottamusvälit arvon arvon Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ),
LisätiedotTilastolliset testit. Tilastolliset testit. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 2/5. Tilastolliset testit: Mitä opimme? 1/5
TKK (c) Ilkka Mellin (4) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (4) : Mitä opimme? 1/5 Tilastollisessa tutkimuksessa tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään tavallisesti väitteitä
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Tilastolliset testit TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Tilastolliset testit Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset testit ja testisuureet Virheet testauksessa
LisätiedotTilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää
LisätiedotTestit laatueroasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten
Lisätiedot3. a) Mitkä ovat tilastolliset mitta-asteikot? b) Millä tavalla nominaaliasteikollisen muuttujan jakauman voi esittää?
Seuraavassa muutamia lisätehtäviä 1. Erään yrityksen satunnaisesti valittujen työntekijöiden poissaolopäivien määrät olivat vuonna 003: 5, 3, 16, 9, 0, 1, 3,, 19, 5, 19, 11,, 0, 4, 6, 1, 15, 4, 0,, 4,
Lisätiedot4. Seuraavaan ristiintaulukkoon on kerätty tehtaassa valmistettujen toimivien ja ei-toimivien leikkijunien lukumäärät eri työvuoroissa:
Lisätehtäviä (siis vanhoja tenttikysymyksiä) 1. Erään yrityksen satunnaisesti valittujen työntekijöiden poissaolopäivien määrät olivat vuonna 003: 5, 3, 16, 9, 0, 1, 3,, 19, 5, 19, 11,, 0, 4, 6, 1, 15,
LisätiedotTil.yks. x y z
Tehtävien ratkaisuja. a) Tilastoyksiköitä ovat työntekijät: Vatanen, Virtanen, Virtanen ja Voutilainen; muuttujina: ikä, asema, palkka, lasten lkm (ja nimikin voidaan tulkita muuttujaksi, jos niin halutaan)
LisätiedotTUTKIMUSAINEISTON KVANTITATIIVINEN ANALYYSI LTKY012. Timo Törmäkangas
TUTKIMUSAINEISTON KVANTITATIIVINEN ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas MUITA HAJONNAN TUNNUSLUKUJA Varianssi, variance (s 2, σ 2 ) Keskihajonnan neliö Käyttöä enemmän osana erilaisia menetelmiä (mm. varianssianalyysi),
LisätiedotTeema 3: Tilastollisia kuvia ja tunnuslukuja
Teema 3: Tilastollisia kuvia ja tunnuslukuja Tilastoaineiston peruselementit: havainnot ja muuttujat havainto: yhtä havaintoyksikköä koskevat tiedot esim. henkilön vastaukset kyselylomakkeen kysymyksiin
LisätiedotPylväsdiagrammi Suomen kunnat lääneittäin vuonna Piirakkadiagrammi Suomen kunnat lääneittäin vuonna 2003 LKM 14.8% 11.2% 19.7% 4.9% 3.6% 45.
Pylväsdiagrammi Suomen kunnat lääneittäin vuonna Piirakkadiagrammi Suomen kunnat lääneittäin vuonna 8.8% 8.9%.%.% 9.7%.7% Etelä Länsi Itä Oulu Lappi Ahvenanmaa Länsi Etelä Itä Oulu Lappi Ahvenanmaa Läänien
LisätiedotTUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas
TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas f 332 = 3 Kvartiilit(302, 365, 413) Kvartiilit: missä sijaitsee keskimmäinen 50 % aineistosta? Kvartiilit(302, 365, 413) Keskiarvo (362.2) Keskiarvo
LisätiedotMediaanikorko on kiinteäkorkoiselle lainalle korkeampi. Tämä hypoteesi vastaa taloustieteen käsitystä korkojen määräytymismekanismista.
Mat-2.04 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Testit järjestysasteikollisille muuttujille Testit laatueroasteikollisille muuttujille Hypoteesi, Mannin ja Whitneyn testi (Wilcoxonin
Lisätiedot2. Aineiston kuvailua
2. Aineiston kuvailua Avaa (File/Open/Data ) aineistoikkunaan tiedosto tilp150.sav. Aineisto on koottu Tilastomenetelmien peruskurssilla olleilta. Tiedot osallistumisesta demoihin, tenttipisteet, tenttien
LisätiedotMTTTP5, luento Luottamusväli, määritelmä
23.11.2017/1 MTTTP5, luento 23.11.2017 Luottamusväli, määritelmä Olkoot A ja B satunnaisotoksen perusteella määriteltyjä satunnaismuuttujia. Väli (A, B) on parametrin 100(1 - ) %:n luottamusväli, jos P(A
LisätiedotHarjoittele tulkintoja
Harjoittele tulkintoja Syksy 9: KT (55 op) Kvantitatiivisen aineiston keruu ja analyysi SPSS tulosteiden tulkintaa/til Analyysit perustuvat aineistoon: Haavio-Mannila, Elina & Kontula, Osmo (1993): Suomalainen
Lisätiedot/1. MTTTP1, luento Normaalijakauma (jatkoa) Olkoon Z ~ N(0, 1). Määritellään z siten, että P(Z > z ) =, graafisesti:
4.10.2016/1 MTTTP1, luento 4.10.2016 7.4 Normaalijakauma (jatkoa) Olkoon Z ~ N(0, 1). Määritellään z siten, että P(Z > z ) =, graafisesti: Samoin z /2 siten, että P(Z > z /2 ) = /2, graafisesti: 4.10.2016/2
LisätiedotHarjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi
Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen
LisätiedotLisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuun 6 liittyen., jos otoskeskiarvo on suurempi kuin 13,96. Mikä on testissä käytetty α:n arvo?
MTTTP5, kevät 2016 15.2.2016/RL Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuun 6 liittyen 1. Valitaan 25 alkion satunnaisotos jakaumasta N(µ, 25). Olkoon H 0 : µ = 12. Hylätään H 0, jos otoskeskiarvo
Lisätiedot806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy (1 α) = 99 1 α = 0.
806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I Hanna Heikkinen Esimerkkejä estimoinnista ja merkitsevyystestauksesta, syksy 2012 1. Olkoon (X 1,X 2,...,X 25 ) satunnaisotos normaalijakaumasta N(µ,3 2 ) eli µ
LisätiedotKandidaatintutkielman aineistonhankinta ja analyysi
Kandidaatintutkielman aineistonhankinta ja analyysi Anna-Kaisa Ylitalo M 315, anna-kaisa.ylitalo@jyu.fi Musiikin, taiteen ja kulttuurin tutkimuksen laitos Jyväskylän yliopisto 2018 2 Havaintomatriisi Havaintomatriisi
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 4. luento: Jakaumaoletuksien testaaminen Kai Virtanen 1 Jakaumaoletuksien testaamiseen soveltuvat testit χ 2 -yhteensopivuustesti yksi otos otoksen
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 15. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 15. marraskuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollisia testejä (jatkoa) Yhden otoksen χ 2 -testi varianssille Kahden riippumattoman
Lisätiedot/1. MTTTP1, luento Normaalijakauma (kertausta) Olkoon Z ~ N(0, 1). Määritellään z siten, että P(Z > z ) =, graafisesti:
2.10.2018/1 MTTTP1, luento 2.10.2018 7.4 Normaalijakauma (kertausta) Olkoon Z ~ N(0, 1). Määritellään z siten, että P(Z > z ) =, graafisesti: Samoin z /2 siten, että P(Z > z /2 ) = /2, graafisesti: 2.10.2018/2
LisätiedotLeikkijunan kunto toimiva ei-toimiva Työvuoro aamuvuoro päivävuoro iltavuoro
Lisätehtäviä 1. Erään yrityksen satunnaisesti valittujen työntekijöiden poissaolopäivien määrät olivat vuonna 003: 5, 3, 16, 9, 0, 1, 3,, 19, 5, 19, 11,, 0, 4, 6, 1, 15, 4, 0,, 4, 3, 3, 8, 3, 9, 11, 19,
Lisätiedot7.4 Normaalijakauma (kertausta ja täydennystä) Taulukosta P(Z 1,6449) = 0,05, P(Z -1,6449) = 0,05 P(Z 1,96) = 0,025, P(Z -1,96) = 0,025
26.3.2019/1 MTTTP1, luento 26.3.2019 7.4 Normaalijakauma (kertausta ja täydennystä) Z ~ N(0, 1), tiheysfunktion kuvaaja 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 Taulukosta P(Z 1,6449) = 0,05, P(Z -1,6449) = 0,05 P(Z 1,96)
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.04 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 007 4. luento: Jakaumaoletuksien testaaminen Kai Virtanen Jakaumaoletuksien testaamiseen soveltuvat testit χ -yhteensopivuustesti yksi otos otoksen vertaaminen
LisätiedotTUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas
TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas KURSSIN SISÄLTÖ Johdanto Mittaaminen ja aineiston hankinta Mitta-asteikot Otanta Aineiston esittäminen ja data-analyysi Havaintomatriisi Yksiulotteisen
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Jakaumien tunnusluvut >> Odotusarvo Varianssi Markovin ja Tshebyshevin
LisätiedotKaksisuuntainen varianssianalyysi. Heliövaara 1
Kaksisuuntainen varianssianalyysi Heliövaara 1 Kaksi- tai useampisuuntainen varianssianalyysi Kaksi- tai useampisuuntaisessa varianssianalyysissa perusjoukko on jaettu ryhmiin kahden tai useamman tekijän
LisätiedotHavaintoaineiston trimmauksen vaikutus otoskeskiarvoon
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Teknillisen fysiikan ja matematiikan koulutusohjelma Mat-.108 Sovelletun matematiikan erikoistyöt 13.11.001 Havaintoaineiston trimmauksen vaikutus otoskeskiarvoon Kalle Soukka 4193W
LisätiedotLatinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt: Mitä opimme? Latinalaiset neliöt
TKK (c) Ilkka Mellin (005) Koesuunnittelu TKK (c) Ilkka Mellin (005) : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Miten varianssianalyysissa tutkitaan yhden tekijän vaikutusta vastemuuttujaan,
LisätiedotTutkimustiedonhallinnan peruskurssi
Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo hannu.toivonen, marko.salmenkivi, inkeri.verkamo@cs.helsinki.fi Helsingin yliopisto Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi,
LisätiedotEsim. Pulssi-muuttujan frekvenssijakauma, aineisto luentomoniste liite 4
18.9.2018/1 MTTTP1, luento 18.9.2018 KERTAUSTA Esim. Pulssi-muuttujan frekvenssijakauma, aineisto luentomoniste liite 4 pyöristetyt todelliset luokka- frekvenssi luokkarajat luokkarajat keskus 42 52 41,5
LisätiedotKaksisuuntainen varianssianalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Kaksisuuntainen varianssianalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luennot 6 ja 7: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan ryhmäkohtaisten odotusarvojen yhtäsuuruutta, kun perusjoukko on jaettu
LisätiedotMTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu
10.1.2019/1 MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento 10.1.2019 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=14600 &idx=1&uilang=fi&lang=fi&lvv=2018 10.1.2019/2
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jakaumien tunnusluvut TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Jakaumien tunnusluvut Odotusarvo Varianssi Markovin ja Tshebyshevin epäyhtälöt Momentit Vinous ja huipukkuus Kvantiilit
LisätiedotKoska ovat negatiiviset. Keskihajontoja ei pystytä laskemaan mutta pätee ¾.
24.11.2006 1. Oletetaan, että kaksiulotteinen satunnaismuuttuja µ noudattaa kaksiulotteista normaalijakaumaa. Oletetaan lisäksi, että satunnaismuuttujan regressiofunktio satunnaismuuttujan suhteen on ݵ
LisätiedotHannu mies LTK 180 Johanna nainen HuTK 168 Laura nainen LuTK 173 Jere mies NA 173 Riitta nainen LTK 164
86118P JOHDATUS TILASTOTIETEESEEN Harjoituksen 3 ratkaisut, viikko 5, kevät 19 1. a) Havaintomatriisissa on viisi riviä (eli tilastoyksikköä) ja neljä saraketta (eli muuttujaa). Hannu mies LTK 18 Johanna
LisätiedotLuottamusvälit. Normaalijakauma johnkin kohtaan
Luottamusvälit Normaalijakauma johnkin kohtaan Perusjoukko ja otanta Jos halutaan tutkia esimerkiksi Suomessa elävien naarashirvien painoa, se voidaan (periaatteessa) tehdä kahdella tavalla: 1. tutkimalla
LisätiedotMTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento , osa 1. 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu
5.3.2018/1 MTTTA1 Tilastomenetelmien perusteet 5 op Luento 5.3.2018, osa 1 1 Kokonaisuudet johon opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=14600 &idx=1&uilang=fi&lang=fi&lvv=2017
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen Jakaumaoletuksien
Lisätiedotb6) samaan perusjoukkoon kohdistuu samanaikaisesti useampia tutkimuksia.
806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I 1. välikoe 11.3.2011 (Jari Päkkilä) VALITSE VIIDESTÄ TEHTÄVÄSTÄ NELJÄ JA VASTAA VAIN NIIHIN! 1. Valitse kohdissa A-F oikea (vain yksi) vaihtoehto. Oikeasta vastauksesta
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 21. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 21. syyskuuta 2007 1 / 19 1 Satunnaismuuttujien riippumattomuus 2 Jakauman tunnusluvut Odotusarvo Odotusarvon ominaisuuksia
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Tilastollisia testejä Z-testi Normaalijakauman odotusarvon testaus, keskihajonta tunnetaan
LisätiedotMat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Avainsanat:
Mat-.04 Tilastollise aalyysi perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Testit suhdeasteikollisille muuttujille Hypoteesi, Kahde riippumattoma otokse t-testit, Nollahypoteesi, p-arvo, Päätössäätö, Testi,
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 6A Tilastolliset luottamusvälit Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
LisätiedotJohdatus varianssianalyysiin. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Johdatus varianssianalyysiin Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luento 4: kahden riippumattoman otoksen odotusarvoja voidaan vertailla t-testillä H 0 : μ 1 = μ 2, T = ˉX 1 ˉX 2 s 2 1 + s2 2 n 1 n 2 a t(min[(n
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 22. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 22. marraskuuta 2007 1 / 17 1 Epäparametrisia testejä (jatkoa) χ 2 -riippumattomuustesti 2 Johdatus regressioanalyysiin
Lisätiedotriippumattomia ja noudattavat samaa jakaumaa.
12.11.2015/1 MTTTP5, luento 12.11.2015 Luku 4 Satunnaisotos, otossuure ja otosjakauma 4.1. Satunnaisotos X 1, X 2,, X n on satunnaisotos, jos X i :t ovat riippumattomia ja noudattavat samaa jakaumaa. Sanonta
LisätiedotAalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos /Malmivuori MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi,
Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos /Malmivuori MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi, kesä 017 Laskuharjoitus 4, Kotitehtävien palautus Mycourses:iin PDF-tiedostona
Lisätiedot031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 4
031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 4 Jukka Kemppainen Mathematics Division Tilastollinen aineisto Tilastolliset menetelmät ovat eräs keino tutkia numeerista havaintoaineistoa todennäköisyyslaskentaa
LisätiedotYhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden
LisätiedotOtoskeskiarvo on otossuure, jonka todennäköisyysjakauma tiedetään. Se on normaalijakauma, havainnollistaminen simuloiden
1 KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ Luento 30.9.2014 Olkoon satunnaisotos X 1, X 2,, X n normaalijakaumasta N(µ, σ 2 ), tällöin ~ N(µ, σ 2 /n), kaava (6). Otoskeskiarvo on otossuure, jonka todennäköisyysjakauma
LisätiedotLaskari 1 P I T U U S
Laskari 1 3. Oletetaan tässä, että muuttujien arvot ovat itse arvioituja. a) Henkilön tietojen arviointi voi olla huomattavan vaikeaa, jollei ole nähnyt häntä pitkään aikaan, joten joku tieto voi jäädä
LisätiedotEstimointi. Luottamusvälin laskeminen keskiarvolle α/2 α/2 0.1
Estimointi - tehdään päätelmiä perusjoukon ominaisuuksista (keskiarvo, riskisuhde jne.) otoksen perusteella - mitä suurempi otos, sitä tarkemmat estimaatit Otokseen perustuen määritellään otantajakaumalta
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Johdatus varianssianalyysiin
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Sisältö Varianssianalyysi Varianssianalyysi on kahden riippumattoman otoksen t testin yleistys. Varianssianalyysissä perusjoukko koostuu kahdesta tai useammasta
LisätiedotLisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia
Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia KE (2014) 1 Hypergeometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma
LisätiedotParametrin estimointi ja bootstrap-otanta
Parametrin estimointi ja bootstrap-otanta Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Parametrin estimointi ja bootstrap-otanta 1/27 Kevät 2003 Käytännön asioista
LisätiedotTUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas
TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas Ilman Ruotsia: r = 0.862 N Engl J Med 2012; 367:1562-1564. POIKKEAVAN HAVAINNON VAIKUTUS PAIRWISE VAI LISTWISE? Kun aineistossa on muuttujia, joilla
Lisätiedot