Additiivinen arvofunktio projektiportfolion valinnassa

Transkriptio

1 Esitelmä 5 Antti Toppila sivu 1/19 Optimointiopin seminaari Kevät 2011 Additiivinen arvofunktio projektiportfolion valinnassa Antti Toppila

2 Esitelmä 5 Antti Toppila sivu 2/19 Optimointiopin seminaari Kevät 2011 Sisältö Johdanto Mitallisen arvofunktion konstruointi Oletusten validointi Aurinkoenergiaprojektien valintaa Kotitehtävä

3 Esitelmä 5 Antti Toppila sivu 3/19 Optimointiopin seminaari Kevät 2011 Johdanto 1/2 Capital Budgeting-ongelma Projektit j J = {1,..., m} Projektin kustannukset c j ja tuotto v j sekä budjetti B Valitaan portfolio J J s.e. portfolion tuotto maksimoituu Voidaan formuloida optimointitehtäväksi max v j J J j J s.e. j J c j B

4 Esitelmä 5 Antti Toppila sivu 4/19 Optimointiopin seminaari Kevät 2011 Johdanto 2/2 Monitavoitteinen arvo (Keeney ja Raiffa, 1976) Usein projekteja arvioidaan usean attribuutin suhteen Projektin j attribuutti i I = {1,..., n} on x ji Tehtävänä on löytää mieleisin käypä portfolio J Yksinkertainen ja yleinen vaihtoehto on ratkaista tehtävä max w i v i (x ji ) s.e. c j B, J J j J i I j J missä v i ja w i ovat attribuutin i skaalattu arvofunktio ja paino Millä edellytyksillä näin voi tehdä? Miten edellytyksien täyttyminen tarkastetaan?

5 Esitelmä 5 Antti Toppila sivu 5/19 Optimointiopin seminaari Kevät 2011 Mitallisen arvofunktion konstruointi Dyer ja Sarin (1979) konstruoivat nk. mitallisen arvofunktion Näillä arvofunktiolla mukavia aksiomaattisia ominaisuuksia Golabi ym. (1981) laajensivat mitallisen arvofunktion portfoliotehtäville ja johtivat ehdot jolla voidaan käyttää edellisen kalvon additiivista-linaarista arvofunktiota Käynnissä olevassa tutkimuksessa Liesiö (2011) jatkaa ymmäryyksen kehittämistä mitallisten arvofunktioden käyttämisestä portfoliotehtävissä Esittelen Golabi ym. (1981) keskeiset tulokset Liesiön (2011) keksimässä viitekehyksessä, sillä tämä viitekehys on selkeämpi kuin Golabi ym. viitekehys

6 Esitelmä 5 Antti Toppila sivu 6/19 Optimointiopin seminaari Kevät 2011 Portfolion attribuutit ja arvo Portfolio koostuu projekteista j J = {1,..., m} Projektit tasavertaisia Arvioidaan samojen projektiattribuuttien i I = {1,..., n} suhteen Portfolioattribuuttien X ji arvot matriisissa x ji : x 11 x 1n..... x m1 x mn Edellisen esitelmän oletuksin on olemassa arvofunktio V (x), joka asettaa portfoliot mieluisuusjärjestykseen V (x) yksikäsitteinen poislukien positiiviset affiinit muunnokset V (x) = αv (x) + β, α > 0, β R

7 Esitelmä 5 Antti Toppila sivu 7/19 Optimointiopin seminaari Kevät 2011 Mitallisen arvofunktion muoto 1/4 Arvofunktio V (x) ei voi olla mielivaltainen Mitallinen arvofunktio edellyttää että vaihtoehtojen erotuspreferenssi on määritelty, mikä rajaa mahdollisten arvofunktioiden muotoa (Dyer ja Sarin, 1979) Erotuspreferenssi määrittelee luonnollisella tavalla myös tavanomaisen preferenssin Arvofunktioiden muotoa voidaan lisäksi rajoittaa jos jotkin attribuuttien osajoukot ovat heikosti erotusriippumattomia (Weak Difference Independence;WDI) Implikoi myös preferenssiriippumattomuuden Seuraavaksi rajoitamme arvofunktiota projektiportfoliossa luonnostaan esiintyvillä WDI:llä kuten Liesiö (2011)

8 Esitelmä 5 Antti Toppila sivu 8/19 Optimointiopin seminaari Kevät 2011 Mitallisen arvofunktion muoto 2/4 Portfolion attribuuttikohtainen WDI Kunkin projektin j attribuutin i suhteen voidaan määrittää preferenssi tietämättä muiden attribuuttien arvoa Eli oletus pätee jos projektien mittarit valittu järkevästi Voidaan määritellä projekteille pisteet (score) v ij (x ij ) missä v ij on yhden attribuutin arvofunktio Projektien tasavertaisesta kohtelusta seuraa että v ij = v i Projekti j Attribuutti i X 11 X 12 X 13 X 21 X 22 X 23 X 31 X 32 X 33 X 41 X 42 X 43 Esimerkki: attribuutti X 11 on WDI muista

9 Esitelmä 5 Antti Toppila sivu 9/19 Optimointiopin seminaari Kevät 2011 Mitallisen arvofunktion muoto 3/4 Projektin attribuuttikohtainen WDI Voidaan määrittää portfolioiden välinen preferenssi attribuutin i suhteen tietämättä muiden attribuuttien arvoja Eli oletus pätee jos attribuuttijoukko I valittu sopivasti Voidaan määritellä portfolion attribuuteille arvofunktiot V i (x 1i,..., x mi ) missä V i on portfolion kriteerikohtainen arvofunktio Projekti j Attribuutti i X 11 X 12 X 13 X 21 X 22 X 23 X 31 X 32 X 33 X 41 X 42 X 43 Esimerkki: attribuutit X 11, X 21, X 31 X 41 ovat WDI kaikista muista

10 Esitelmä 5 Antti Toppila sivu 10/19 Optimointiopin seminaari Kevät 2011 Mitallisen arvofunktion muoto 4/4 Projektien välinen WDI Kunkin projektin j tuoma lisähyöty portfoliolle voidaan määrittää tietämättä muiden projektien attribuutteja Voidaan määritellä projekteille arvofunktiot V p (x j1,..., x jn ) missä V p on projektin arvofunktio Projekti j Attribuutti i X 11 X 12 X 13 X 21 X 22 X 23 X 31 X 32 X 33 X 41 X 42 X 43 Esimerkki: attribuutit X 11, X 12, X 13 ovat WDI muista

11 Esitelmä 5 Antti Toppila sivu 11/19 Optimointiopin seminaari Kevät 2011 Additiivinen arvofunktio Edellisten kalvojen oletuksin arvofunktio V (x) joko multiplikatiivinen tai additiivinen-lineaarinen V (x) = w i v i (x ij ) i I j J Myöhemmin testi siitä kumpi valittava Pisteet v i (x ji ) voidaan skaalata välille [0, 1] ja painot s.e. i I w i = 1, w i 0 i I Tulkinta: w i on arvo sille että attribuutti i viedään huonoimmalta tasoltaan parhaimmalle tasolleen suhteessa samaan muutokseen muihin attribuutteihin nähden Additiivisessa-lineaarisessa mallissa attribuutin tuoma lisäarvo ei riipu muista attribuuteista

12 Esitelmä 5 Antti Toppila sivu 12/19 Optimointiopin seminaari Kevät 2011 Oletusten validointi 1/2 Additiivinen-lineaarinen arvofunktio, testi erotusriippumattomuudelle Onko arvofunktio additiivinen-lineaarinen vai multiplikatiivinen? (Golabi ym. 1981) Olkoon kaikki paitsi attribuutti i = 1 (nimetään A 1 ) keskitasolla Kuvittele vaihtoehdot joissa A 1 huonommalla (H) ja parhaimmalla tasolla (P) Valitse A 1 :lle taso L s.e. siirtyminen H:stä L:lle olisi yhtä mieluisaa kuin L:ltä P:lle Kun L määritetty, niin kysy muuttuuko L jos muita attribuutteeja kuin A 1 :tä muutetaan Jos vastaus kielteinen, oletus pätee Tarvitsee tarkistaa vain A 1 :lle (Dyer ja Sarin 1979)

13 Esitelmä 5 Antti Toppila sivu 13/19 Optimointiopin seminaari Kevät 2011 Oletusten validointi 2/2 Erotusriippumattomus portfolion attribuuttikohtaisten arvojen suhteen voidaan testata vastaavan tyyppisellä kysymyksellä kuin edellisellä kalvolla Huomautus lukijalle: Golabi ym. (1981) testit ja selitykset poikkesivat tässä esitetystä johtuen mm. oletusten erilaisuudesta Golabi ym. oletukset ovat matemaattisessa mielessä ekvivalentit esitettyjen oletusten kanssa

14 Esitelmä 5 Antti Toppila sivu 14/19 Optimointiopin seminaari Kevät 2011 Aurinkoenergiaprojektien valintaa 1/3 Golabi ym. (1981) sovelsivat additiivista-lineaarista arvofunktiota projektiportfolion valintaan Arvioivat 77 projektia 22 attribuutin suhteen Budjettirajoitus m j=1 c jz j B, missä z j = 1 jos projekti j valitaan, muulloin 0. Hajautusrajoituksia k=41 kpl (maantieteellinen, teknologiat, jne) / m m D jk z j z j f k, j=1 j=1 missä f k pienin suhde jota kategoriasta k on valittava ja D jk = 1 jos projekti kuuluu luokkaan k, mulloin 0.

15 Esitelmä 5 Antti Toppila sivu 15/19 Optimointiopin seminaari Kevät 2011 Aurinkoenergiaprojektien valintaa 2/3 Budjetti ja hajautus olivat ehdottomia, joten niistä ei voinut joustaa ja ne mallinnettiin rajoituksina Portfolion muodostavien projektien attribuutien välillä voitiin tehdä vaihdantaa, joten nämä ominaisuudet kuvattiin arvofunktioilla Attribuutit kuvasivat projektien teknologista arvoa ja ne valittiin siten että voitiin käyttää additiivista arvofunktiota Additiivisen arvofunktion oletuksien paikkaansapitävyys testattiin

16 Esitelmä 5 Antti Toppila sivu 16/19 Optimointiopin seminaari Kevät 2011 Aurinkoenergiaprojektien valintaa 2/3 Projektien oli ylitettävä tietty kynnysarvo v(x 0 ) jotta ne kannatti valita, missä x 0 on hypoteettinen projekti, jonka arvo on huonoin sallittu Kynnysarvo määritettiin kysymällä että käynnistettäisiinkö projekti x 0 vai ei ja x 0 :aa huononnettiin kunnes päätöksentekijä oli indefferentti käynnistämisen ja hylkäämisen välillä Lopullinen tehtävä oli max [v(x j1,..., x jn ) v(x 0 )]z j z j J s.e. budjetti- ja hajautusrajoitteet toteutuivat ja z j binäärinen

17 Esitelmä 5 Antti Toppila sivu 17/19 Optimointiopin seminaari Kevät 2011 Yhteenveto Additiivinen arvofunktio portfolionvalinnassa voidaan johtaa suoraan mitallisten arvofunktioden avulla olettaen sopivia erotusriippumattomuuksia Jos oletukset pitävät paikkansa ne voidaan validoida suhteellisen vähällä vaivalla Jos oletukset eivät pidä paikkaansa niin attribuutteja voi yrittää vaihtaa niin että löydetään oletukset täyttävät (+ muilla tavoilla riittävät) attribuutit Projektivalintatehtävä voidaan muotoilla lineaarisen kokonaislukuoptimoinnin tehtäväksi, jolloin mallin suositusten ratkaiseminen on laskennallisesti tehokasta

18 Esitelmä 5 Antti Toppila sivu 18/19 Optimointiopin seminaari Kevät 2011 Viitteet Dyer, J.S., Sarin, R.K., Measurable multiattribute value functions, Operations Research 27(4) pp Golabi, K., Kirkwood, C. W., Sicherman, A., Selecting a Portfolio of Solar Energy Projects Using Multiattribute Preference Theory, Management Science 27(2), pp Keeney R.L., Raiffa, H, Decisions with Multiple Objectives: Preferences and Value Trade-offs. John Wiley & Sons, New York. Liesiö, J., Measurable Multiattribute Value Functions for Project Portfolio Selection and Resource Allocation, unpublished manuscript, January 20, 2011.

19 Esitelmä 5 Antti Toppila sivu 19/19 Optimointiopin seminaari Kevät 2011 Kotitehtävä Additiivisen arvofunktion erikoisuuksia Olkoon portfolion x arvofunktio V (x) = 3 4 i=1 j=1 w iv i (x ji ), missä w i = 1 3 ja portfolion x pisteet v i (x ji ) ovat matriisissa Mikä projekti mieluiten vaihdettaisiin projektiin y = ( 4 5, 4 5, 2 3 )? (6 p) Kuinka paljon y 1 voi laskea s.e. y kuitenkin haluttaisiin portfolioon? (2 p) Kuinka paljon w 3 voi nousta siten että y kuitenkin haluttaisiin portfolioon? (2 p)