Monitavoiteoptimointi

Transkriptio

1 Monitavoiteoptimointi Useita erilaisia tavoitteita, eli useita objektifunktioita Tavoitteet yleensä ristiriitaisia ja yhteismitattomia Optimaalisuus tarkoittaa yleensä eri asiaa kuin yksitavoitteisessa optimoinnissa 1

2 Yleinen monitavoiteoptimointitehtävä: min {f 1 (x),..., f k (x)} kun x S Lineaarinen monitavoiteoptimointitehtävä: min { (c 1 ) T x,...,(c k ) T x } kun x S missä sallitun alueen S määräävät rajoitefunktiot ovat lineaarisia 2

3 Sallittu alue: S R n Sallitun alueen kuva-avaruus: Z R k Kriteeriarvot: z j = (c j ) T x = n i=1 c j i x i Kriteerivektori: z = (z 1,..., z k ) T Z 3

4 Pareto-optimaalisuus Piste x 0 S on Pareto-optimaalinen, jos ei ole olemassa toista sallittua pistettä x S siten, että ja ainakin yksi epäyhtälöistä on aito (c j ) T x (c j ) T x 0 j = 1,..., k Kriteerivektori z 0 Z on Pareto-optimaalinen, jos sitä vastaava x 0 S on Pareto-optimaalinen Pareto-optimaalinen joukko = Pareto-optimaalisten kriteerivektorien muodostama joukko 4

5 Ihanteellinen kriteerivektori: z Z = (z1,..., z k )T, missä zj on tehtävän min (c j ) T x kun x S optimaalinen objektifunktion arvo, ts. minimoidaan kukin objektifunktio erikseen Ihanteellinen kriteerivektori antaa alarajat Pareto-optimaaliselle joukolle Nadir-piste: Pareto-optimaalisen joukon ylärajat Nadir-pisteen laskeminen hankalaa, yleensä se joudutaan arvioimaan 5

6 Arvotaulukkoon lasketaan kaikkien objektifunktioiden arvot kaikissa niissä pisteissä, joissa kukin objektifunktio saa minimiarvonsa: f 1 f 2... f k x 1 z1 = f 1(x 1 ) f 2 (x 1 )... f k (x 1 ) x 2 f 1 (x 2 ) z 2 = f 2(x 2 )... f k (x 2 ).... x k f 1 (x k ) f 2 (x k )... z k = f k(x k ) missä x j on objektifunktion f j minimikohta Arvotaulukon diagonaali = ihanteellinen kriteerivektori Arvotaulukon sarakkeiden maksimiarvot = arvio nadir-pisteelle 6

7 Päätöksentekijä Monitavoiteoptimointitehtävän Pareto-optimaaliset ratkaisut ovat kaikki yhtä hyviä Tarvitaan päätöksentekijä, joka valitsee niistä mielestään parhaan tai parhaat Hyötyfunktio: Funktio U : R k R, jonka avulla päätöksentekijä asettaa kriteerivektorit paremmuusjärjestykseen Jos U on käytössä, monitavoiteoptimointitehtävä palautuu yksitavoitteiseksi optimointitehtäväksi = maksimoidaan U rajoitteiden suhteen Yleensä U on ainakin osittain tuntematon 7

8 Monitavoiteoptimoinnin menetelmiä Menetelmät perustuvat usein yksitavoitteisen optimoinnin menetelmiin Päätöksentekijän rooli vaihtelee eri menetelmissä Menetelmien luokittelua: määrätään Pareto-optimaaliset pisteet päätöksentekijää ei tarvita määrätään ennalta paremmuussuhteet interaktiiviset menetelmät 8

9 Painokerroinmenetelmä Määrätään painokertoimet w i 0, i = 1,..., k, siten, että k i=1 w i = 1 Ratkaistaan painokerrointehtävä: min k i=1 kun x S w i (c i ) T x Päätöksentekijä valitsee eri painokertoimilla lasketuista ratkaisuista mieleisensä 9

10 Painokerrointehtävän ratkaisu on Pareto-optimaalinen, jos kaikki painokertoimet ovat aidosti positiivisia Todistus: Vastaoletus: Painokerrointehtävän ratkaisu x S ei ole Pareto-optimaalinen = On olemassa toinen piste x S siten, että (c i ) T x (c i ) T x kaikilla i, ja ainakin yksi epäyhtälöistä on aito = Koska w i > 0 kaikilla i, niin k i=1 w i (c i ) T x < k i=1 w i (c i ) T x = Ristiriita, sillä x on ratkaisu = Vastaoletus väärä ja x Pareto-optimaalinen 10

11 Painokerrointehtävän ratkaisu on Pareto-optimaalinen, jos se on yksikäsitteinen Todistus: Harjoitustehtävä Jos x S on Pareto-optimaalinen ratkaisu, niin on olemassa painokertoimet siten, että x on painokerrointehtävän ratkaisu 11

12 Rajoiteyhtälömenetelmä Valitaan yksi objektifunktio ensisijaiseksi tavoitteeksi ja asetetaan muille objektifunktiolle ylärajat Ylärajat määritellään esimerkiksi ε i = z i + δ i, missä δ i > 0 Ratkaistaan rajoiteyhtälötehtävä: min (c j ) T x kun (c i ) T x ε i x S i j Päätöksentekijä valitsee eri rajoiteyhtälötehtävien ratkaisuista mieleisensä 12

13 Rajoiteyhtälötehtävän ratkaisu x S on Pareto-optimaalinen, jos se on yksikäsitteinen, kun ε i = (c i ) T x kaikilla i j Todistus: Vastaoletus: Rajoiteyhtälötehtävän ratkaisu x S ei ole Pareto-optimaalinen = On olemassa toinen piste x S siten, että (c i ) T x (c i ) T x kaikilla i, ja ainakin yksi epäyhtälöistä on aito Toisaalta, x on yksikäsitteinen ratkaisu ja ε i = (c i ) T x = (c i ) T x ε i = (c i ) T x kaikilla i j ja (c j ) T x < (c j ) T x = Ristiriita = Vastaoletus väärä ja x Pareto-optimaalinen 13

14 Mitä tahansa ylärajoja käyttäen saatu rajoiteyhtälötehtävän ratkaisu on Pareto-optimaalinen, jos se on yksikäsitteinen Piste x S on Pareto-optimaalinen, jos ja vain jos se on rajoiteyhtälötehtävän ratkaisu kaikilla mahdollisilla j, kun ε i = (c i ) T x kaikilla i j 14

15 Globaalin tavoitteen menetelmä Minimoidaan etäisyys ihanteelliseen kriteerivektoriin: missä p 1 Päätöksentekijää ei tarvita min k i=1 kun x S (c i ) T x z i p 1/p Globaalin tavoitteen menetelmällä saatu ratkaisu on Pareto-optimaalinen Huom: Jos p = 1, tehtävä on lineaarinen mutta ei differentioituva Jos p > 1, tehtävä on differentioituva mutta ei lineaarinen 15

16 Leksikaalinen optimointi Päätöksentekijä määrää objektifunktioiden tärkeysjärjestyksen Minimoidaan tärkein objektifunktio rajoitteiden suhteen Jos ratkaisu on yksikäsitteinen, se on koko tehtävän ratkaisu Muuten minimoidaan toiseksi tärkein objektifunktio rajoitteiden suhteen siten, että edellinen objektifunktio säilyttää optimiarvonsa Näin jatketaan, kunnes saadaan yksikäsitteinen ratkaisu Leksikaalisella optimoinnilla saatu ratkaisu on Pareto-optimaalinen 16

17 Tavoiteoptimointi Päätöksentekijä määrää objektifunktioille tavoitetasot = tavoitteet (c i ) T x b i kaikilla i Poikkeamamuuttujat d i = b i (c i ) T x kertovat, paljonko tavoitteesta jäädään Koska d i voi olla 0 tai 0, niin d i = d i d + i, missä d i, d+ i 0 Saadaan (c i ) T x + d i d + i = b i Minimointitehtävä = riittää minimoida muuttujia d + i 17

18 Arkhimedinen tavoiteoptimointi: Minimoidaan muuttujien d + i painotettua summaa, missä painokertoimet ovat positiivisia Ratkaistaan tehtävä: min k w i + d+ i i=1 kun (c i ) T x d + i b i i = 1,..., k d + i 0 i = 1,..., k x S Tavoiteoptimoinnilla saatu ratkaisu on Pareto-optimaalinen, jos optimissa d + i > 0 kaikilla i tai jos tavoitetasoista muodostuva referenssipiste on Pareto-optimaalinen 18

19 Interaktiiviset menetelmät Päätöksentekijä osallistuu ratkaisun etsimiseen interaktiivisesti Päätöksentekijä antaa ratkaisuprosessin aikana informaatiota, joka vaikuttaa siihen, millä tavalla ratkaisun etsimistä jatketaan Esimerkiksi, hän tarkentaa objektifunktioiden paremmuussuhteita saatujen välitulosten perusteella Tai hän valitsee tarjotuista Pareto-optimaalisista pisteistä ne, joista ratkaisuprosessia jatketaan 19

20 NIMBUS-menetelmä Interaktiivinen menetelmä, joka soveltuu sekä lineaarisille, että epälineaarisille monitavoiteoptimointitehtäville ja erityisesti tehtäville, joissa on enemmän kuin kaksi objektifunktiota Perustuu objektifunktioiden luokitteluun 5 luokkaan: - funktiot, joiden arvoa halutaan parantaa mahdollisimman paljon - funktiot, joiden arvoa halutaan parantaa annetulle tavoitetasolle - funktiot, joiden arvo tällä hetkellä on hyvä - funktiot, joiden arvo voi huonontua annetulle ylärajalle asti - funktiot, joiden arvosta ei olla tällä hetkellä kiinnostuneita 20

21 Luokittelu järkevä vain, jos kahdessa ensimmäisessä sekä kahdessa viimeisessä luokassa on ainakin yksi funktioista Luokittelutiedon perusteella muodostetaan yksi objektifunktio, jonka ratkaisuna saadaan uusi Pareto-optimaalinen ratkaisu Ilmainen WWW-NIMBUS toteutus netissä: Lisätietoa Ralph Steuer: Multiple Criteria Optimization: Theory, Computation and Applications, 1986 Kaisa Miettinen: Nonlinear Multiobjective Optimization, 1999