Monitavoiteoptimointi

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Monitavoiteoptimointi"

Transkriptio

1 Monitavoiteoptimointi Useita erilaisia tavoitteita, eli useita objektifunktioita Tavoitteet yleensä ristiriitaisia ja yhteismitattomia Optimaalisuus tarkoittaa yleensä eri asiaa kuin yksitavoitteisessa optimoinnissa 1

2 Yleinen monitavoiteoptimointitehtävä: min {f 1 (x),..., f k (x)} kun x S Lineaarinen monitavoiteoptimointitehtävä: min { (c 1 ) T x,...,(c k ) T x } kun x S missä sallitun alueen S määräävät rajoitefunktiot ovat lineaarisia 2

3 Sallittu alue: S R n Sallitun alueen kuva-avaruus: Z R k Kriteeriarvot: z j = (c j ) T x = n i=1 c j i x i Kriteerivektori: z = (z 1,..., z k ) T Z 3

4 Pareto-optimaalisuus Piste x 0 S on Pareto-optimaalinen, jos ei ole olemassa toista sallittua pistettä x S siten, että ja ainakin yksi epäyhtälöistä on aito (c j ) T x (c j ) T x 0 j = 1,..., k Kriteerivektori z 0 Z on Pareto-optimaalinen, jos sitä vastaava x 0 S on Pareto-optimaalinen Pareto-optimaalinen joukko = Pareto-optimaalisten kriteerivektorien muodostama joukko 4

5 Ihanteellinen kriteerivektori: z Z = (z1,..., z k )T, missä zj on tehtävän min (c j ) T x kun x S optimaalinen objektifunktion arvo, ts. minimoidaan kukin objektifunktio erikseen Ihanteellinen kriteerivektori antaa alarajat Pareto-optimaaliselle joukolle Nadir-piste: Pareto-optimaalisen joukon ylärajat Nadir-pisteen laskeminen hankalaa, yleensä se joudutaan arvioimaan 5

6 Arvotaulukkoon lasketaan kaikkien objektifunktioiden arvot kaikissa niissä pisteissä, joissa kukin objektifunktio saa minimiarvonsa: f 1 f 2... f k x 1 z1 = f 1(x 1 ) f 2 (x 1 )... f k (x 1 ) x 2 f 1 (x 2 ) z 2 = f 2(x 2 )... f k (x 2 ).... x k f 1 (x k ) f 2 (x k )... z k = f k(x k ) missä x j on objektifunktion f j minimikohta Arvotaulukon diagonaali = ihanteellinen kriteerivektori Arvotaulukon sarakkeiden maksimiarvot = arvio nadir-pisteelle 6

7 Päätöksentekijä Monitavoiteoptimointitehtävän Pareto-optimaaliset ratkaisut ovat kaikki yhtä hyviä Tarvitaan päätöksentekijä, joka valitsee niistä mielestään parhaan tai parhaat Hyötyfunktio: Funktio U : R k R, jonka avulla päätöksentekijä asettaa kriteerivektorit paremmuusjärjestykseen Jos U on käytössä, monitavoiteoptimointitehtävä palautuu yksitavoitteiseksi optimointitehtäväksi = maksimoidaan U rajoitteiden suhteen Yleensä U on ainakin osittain tuntematon 7

8 Monitavoiteoptimoinnin menetelmiä Menetelmät perustuvat usein yksitavoitteisen optimoinnin menetelmiin Päätöksentekijän rooli vaihtelee eri menetelmissä Menetelmien luokittelua: määrätään Pareto-optimaaliset pisteet päätöksentekijää ei tarvita määrätään ennalta paremmuussuhteet interaktiiviset menetelmät 8

9 Painokerroinmenetelmä Määrätään painokertoimet w i 0, i = 1,..., k, siten, että k i=1 w i = 1 Ratkaistaan painokerrointehtävä: min k i=1 kun x S w i (c i ) T x Päätöksentekijä valitsee eri painokertoimilla lasketuista ratkaisuista mieleisensä 9

10 Painokerrointehtävän ratkaisu on Pareto-optimaalinen, jos kaikki painokertoimet ovat aidosti positiivisia Todistus: Vastaoletus: Painokerrointehtävän ratkaisu x S ei ole Pareto-optimaalinen = On olemassa toinen piste x S siten, että (c i ) T x (c i ) T x kaikilla i, ja ainakin yksi epäyhtälöistä on aito = Koska w i > 0 kaikilla i, niin k i=1 w i (c i ) T x < k i=1 w i (c i ) T x = Ristiriita, sillä x on ratkaisu = Vastaoletus väärä ja x Pareto-optimaalinen 10

11 Painokerrointehtävän ratkaisu on Pareto-optimaalinen, jos se on yksikäsitteinen Todistus: Harjoitustehtävä Jos x S on Pareto-optimaalinen ratkaisu, niin on olemassa painokertoimet siten, että x on painokerrointehtävän ratkaisu 11

12 Rajoiteyhtälömenetelmä Valitaan yksi objektifunktio ensisijaiseksi tavoitteeksi ja asetetaan muille objektifunktiolle ylärajat Ylärajat määritellään esimerkiksi ε i = z i + δ i, missä δ i > 0 Ratkaistaan rajoiteyhtälötehtävä: min (c j ) T x kun (c i ) T x ε i x S i j Päätöksentekijä valitsee eri rajoiteyhtälötehtävien ratkaisuista mieleisensä 12

13 Rajoiteyhtälötehtävän ratkaisu x S on Pareto-optimaalinen, jos se on yksikäsitteinen, kun ε i = (c i ) T x kaikilla i j Todistus: Vastaoletus: Rajoiteyhtälötehtävän ratkaisu x S ei ole Pareto-optimaalinen = On olemassa toinen piste x S siten, että (c i ) T x (c i ) T x kaikilla i, ja ainakin yksi epäyhtälöistä on aito Toisaalta, x on yksikäsitteinen ratkaisu ja ε i = (c i ) T x = (c i ) T x ε i = (c i ) T x kaikilla i j ja (c j ) T x < (c j ) T x = Ristiriita = Vastaoletus väärä ja x Pareto-optimaalinen 13

14 Mitä tahansa ylärajoja käyttäen saatu rajoiteyhtälötehtävän ratkaisu on Pareto-optimaalinen, jos se on yksikäsitteinen Piste x S on Pareto-optimaalinen, jos ja vain jos se on rajoiteyhtälötehtävän ratkaisu kaikilla mahdollisilla j, kun ε i = (c i ) T x kaikilla i j 14

15 Globaalin tavoitteen menetelmä Minimoidaan etäisyys ihanteelliseen kriteerivektoriin: missä p 1 Päätöksentekijää ei tarvita min k i=1 kun x S (c i ) T x z i p 1/p Globaalin tavoitteen menetelmällä saatu ratkaisu on Pareto-optimaalinen Huom: Jos p = 1, tehtävä on lineaarinen mutta ei differentioituva Jos p > 1, tehtävä on differentioituva mutta ei lineaarinen 15

16 Leksikaalinen optimointi Päätöksentekijä määrää objektifunktioiden tärkeysjärjestyksen Minimoidaan tärkein objektifunktio rajoitteiden suhteen Jos ratkaisu on yksikäsitteinen, se on koko tehtävän ratkaisu Muuten minimoidaan toiseksi tärkein objektifunktio rajoitteiden suhteen siten, että edellinen objektifunktio säilyttää optimiarvonsa Näin jatketaan, kunnes saadaan yksikäsitteinen ratkaisu Leksikaalisella optimoinnilla saatu ratkaisu on Pareto-optimaalinen 16

17 Tavoiteoptimointi Päätöksentekijä määrää objektifunktioille tavoitetasot = tavoitteet (c i ) T x b i kaikilla i Poikkeamamuuttujat d i = b i (c i ) T x kertovat, paljonko tavoitteesta jäädään Koska d i voi olla 0 tai 0, niin d i = d i d + i, missä d i, d+ i 0 Saadaan (c i ) T x + d i d + i = b i Minimointitehtävä = riittää minimoida muuttujia d + i 17

18 Arkhimedinen tavoiteoptimointi: Minimoidaan muuttujien d + i painotettua summaa, missä painokertoimet ovat positiivisia Ratkaistaan tehtävä: min k w i + d+ i i=1 kun (c i ) T x d + i b i i = 1,..., k d + i 0 i = 1,..., k x S Tavoiteoptimoinnilla saatu ratkaisu on Pareto-optimaalinen, jos optimissa d + i > 0 kaikilla i tai jos tavoitetasoista muodostuva referenssipiste on Pareto-optimaalinen 18

19 Interaktiiviset menetelmät Päätöksentekijä osallistuu ratkaisun etsimiseen interaktiivisesti Päätöksentekijä antaa ratkaisuprosessin aikana informaatiota, joka vaikuttaa siihen, millä tavalla ratkaisun etsimistä jatketaan Esimerkiksi, hän tarkentaa objektifunktioiden paremmuussuhteita saatujen välitulosten perusteella Tai hän valitsee tarjotuista Pareto-optimaalisista pisteistä ne, joista ratkaisuprosessia jatketaan 19

20 NIMBUS-menetelmä Interaktiivinen menetelmä, joka soveltuu sekä lineaarisille, että epälineaarisille monitavoiteoptimointitehtäville ja erityisesti tehtäville, joissa on enemmän kuin kaksi objektifunktiota Perustuu objektifunktioiden luokitteluun 5 luokkaan: - funktiot, joiden arvoa halutaan parantaa mahdollisimman paljon - funktiot, joiden arvoa halutaan parantaa annetulle tavoitetasolle - funktiot, joiden arvo tällä hetkellä on hyvä - funktiot, joiden arvo voi huonontua annetulle ylärajalle asti - funktiot, joiden arvosta ei olla tällä hetkellä kiinnostuneita 20

21 Luokittelu järkevä vain, jos kahdessa ensimmäisessä sekä kahdessa viimeisessä luokassa on ainakin yksi funktioista Luokittelutiedon perusteella muodostetaan yksi objektifunktio, jonka ratkaisuna saadaan uusi Pareto-optimaalinen ratkaisu Ilmainen WWW-NIMBUS toteutus netissä: Lisätietoa Ralph Steuer: Multiple Criteria Optimization: Theory, Computation and Applications, 1986 Kaisa Miettinen: Nonlinear Multiobjective Optimization, 1999

TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen syksy 2010

TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen syksy 2010 TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta Yliassistentti Jussi Hakanen jussi.hakanen@jyu.fi syksy 2010 Optimaalisuus: objektiavaruus f 2 min Z = f(s) Parhaat arvot alhaalla ja vasemmalla

Lisätiedot

Luento 6: Monitavoiteoptimointi

Luento 6: Monitavoiteoptimointi Luento 6: Monitavoiteoptimointi Monitavoiteoptimointitehtävässä on useita optimoitavia kohdefunktioita eli ns kriteereitä: f 1,, f m Esimerkiksi opiskelija haluaa oppia mahdollisimman hyvin ja paljon mahdollisimman

Lisätiedot

Luento 6: Monitavoitteinen optimointi

Luento 6: Monitavoitteinen optimointi Luento 6: Monitavoitteinen optimointi Monitavoitteisessa optimointitehtävässä on useita optimoitavia kohdefunktioita eli ns kriteereitä: f,,f m Esimerkki ortfolion eli arvopaperijoukon optimoinnissa: f

Lisätiedot

Piiri K 1 K 2 K 3 K 4 R R

Piiri K 1 K 2 K 3 K 4 R R Lineaarinen optimointi vastaus, harj 1, Syksy 2016. 1. Teollisuuslaitos valmistaa piirejä R 1 ja R 2, joissa on neljää eri komponenttia seuraavat määrät: Piiri K 1 K 2 K 3 K 4 R 1 3 1 2 2 R 2 4 2 3 0 Päivittäistä

Lisätiedot

TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen syksy 2010

TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen syksy 2010 TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta Yliassistentti Jussi Hakanen jussi.hakanen@jyu.fi syksy 2010 Käytännön optimointiongelmien ratkaiseminen Käytännön optimointiongelmien ratkaiseminen

Lisätiedot

TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen syksy 2010

TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen syksy 2010 TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta Yliassistentti Jussi Hakanen jussi.hakanen@jyu.fi syksy 2010 PO pisteiden määräämismenetelmät Idea: tuotetaan erilaisia PO ratkaisuita, joista

Lisätiedot

TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen syksy 2010

TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen syksy 2010 TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta Yliassistentti Jussi Hakanen jussi.hakanen@jyu.fi syksy 2010 Yleistä https://korppi.jyu.fi/kotka/r.jsp?course=96762 Sisältö Johdanto yksitavoitteiseen

Lisätiedot

TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen syksy 2010

TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen syksy 2010 TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta Yliassistentti Jussi Hakanen jussi.hakanen@jyu.fi syksy 2010 Evoluutiopohjainen monitavoiteoptimointi MCDM ja EMO Monitavoiteoptimointi kuuluu

Lisätiedot

Mat Optimointiopin seminaari kevät Monitavoiteoptimointi. Tavoitteet

Mat Optimointiopin seminaari kevät Monitavoiteoptimointi. Tavoitteet Mat-2.142 Optimointiopin seminaari kevät 2000 Monitavoiteoptimointi Optimointiopin seminaari - Kevät 2000 / 1 Tavoitteet Monitavoitteisten optimointitehtävien ratkaisukäsitteet ja soveltamismahdollisuudet

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

TIES483 Epälineaarinen optimointi. Monitavoiteoptimointi Syksy 2012

TIES483 Epälineaarinen optimointi. Monitavoiteoptimointi Syksy 2012 TIES483 Epälineaarinen optimointi Monitavoiteoptimointi jussi.hakanen@jyu.fi Syksy 2012 Sisältö Johdanto monitavoiteoptimointiin Monitavoiteoptimoinnin käsitteitä Menetelmätyypit Käytännön sovellusesimerkkejä

Lisätiedot

Optimointi. Etsitään parasta mahdollista ratkaisua annetuissa olosuhteissa. Ongelman mallintaminen. Mallin ratkaiseminen. Ratkaisun analysointi

Optimointi. Etsitään parasta mahdollista ratkaisua annetuissa olosuhteissa. Ongelman mallintaminen. Mallin ratkaiseminen. Ratkaisun analysointi Optimointi Etsitään parasta mahdollista ratkaisua annetuissa olosuhteissa Ongelman mallintaminen Mallin ratkaiseminen Ratkaisun analysointi 1 Peruskäsitteitä Muuttujat: Sallittu alue: x = (x 1, x 2,...,

Lisätiedot

Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa

Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Lagrangen kerroin Oletetaan aluksi, että f, g : R R. Merkitään (x 1, x ) := (x, y) ja johdetaan Lagrangen kerroin λ tehtävälle min f(x, y) s.t. g(x, y) = 0 Olkoon

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

Lineaaristen monitavoiteoptimointitehtävien

Lineaaristen monitavoiteoptimointitehtävien Lineaaristen monitavoiteoptimointitehtävien ratkaiseminen Jerri Nummenpalo 17.09.2012 Ohjaaja: TkT Juuso Liesiö Valvoja: Prof. Ahti Salo Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla verkkosivuilla.

Lisätiedot

Osakesalkun optimointi

Osakesalkun optimointi Osakesalkun optimointi Anni Halkola Epäsileä optimointi Turun yliopisto Huhtikuu 2016 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Taustatietoja 2 3 Laskumetodit 3 3.1 Optimointiongelmat........................ 4 4 Epäsileän

Lisätiedot

Kimppu-suodatus-menetelmä

Kimppu-suodatus-menetelmä Kimppu-suodatus-menetelmä 2. toukokuuta 2016 Kimppu-suodatus-menetelmä on kehitetty epäsileiden optimointitehtävien ratkaisemista varten. Menetelmässä approksimoidaan epäsileitä funktioita aligradienttikimpulla.

Lisätiedot

TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen jussi.hakanen@jyu.fi syksy 2010

TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen jussi.hakanen@jyu.fi syksy 2010 TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta Yliassistentti Jussi Hakanen jussi.hakanen@jyu.fi syksy 2010 Tasaväliset PO pisteet? Painokerroinmenetelmä: muutetaan painoja systemaattisesti

Lisätiedot

JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. 3. Luennon sisältö

JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. 3. Luennon sisältö JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO 3. Luennon sisältö Lineaarisen optimointitehtävän sallittu alue Optimointitehtävien muunnoksia Lineaarisen yhtälöryhmän perusmuoto ja perusratkaisut Lineaarisen optimointitehtävän

Lisätiedot

Osakesalkun optimointi. Anni Halkola Turun yliopisto 2016

Osakesalkun optimointi. Anni Halkola Turun yliopisto 2016 Osakesalkun optimointi Anni Halkola Turun yliopisto 2016 Artikkeli Gleb Beliakov & Adil Bagirov (2006) Non-smooth optimization methods for computation of the Conditional Value-at-risk and portfolio optimization.

Lisätiedot

6. Luennon sisältö. Lineaarisen optimoinnin duaaliteoriaa

6. Luennon sisältö. Lineaarisen optimoinnin duaaliteoriaa JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO 6. Luennon sisältö Lineaarisen optimoinnin duaaliteoriaa työkalu ratkaisun analysointiin Jälki- ja herkkyysanalyysiä mitä tapahtuu optimiratkaisulle, jos tehtävän vakiot hieman muuttuvat

Lisätiedot

min x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2

min x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2 TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-39 Optimointioppi Kimmo Berg 6 harjoitus - ratkaisut min x + x x + x = () x f = 4x, h = x 4x + v = { { x + v = 4x + v = x = v/ x = v/4 () v/ v/4

Lisätiedot

TIES483 Epälineaarinen optimointi. Syksy 2012

TIES483 Epälineaarinen optimointi. Syksy 2012 TIES483 Epälineaarinen optimointi jussi.hakanen@jyu.fi Syksy 2012 Yleistä Tietotekniikan syventävä kurssi, 5 op Pakollinen laskennallisten tieteiden FMopinnoissa (ent. simulointi ja optimointi) https://korppi.jyu.fi/kotka/r.jsp?course=134562

Lisätiedot

Jälki- ja herkkyysanalyysi. Tutkitaan eri kertoimien ja vakioiden arvoissa tapahtuvien muutosten vaikutusta optimiratkaisuun

Jälki- ja herkkyysanalyysi. Tutkitaan eri kertoimien ja vakioiden arvoissa tapahtuvien muutosten vaikutusta optimiratkaisuun Jälki- ja herkkyysanalyysi Tutkitaan eri kertoimien ja vakioiden arvoissa tapahtuvien muutosten vaikutusta optimiratkaisuun 1 Hinnat ja varjohinnat Objektifunktio c T x = Kerroin c j ilmoittaa, paljonko

Lisätiedot

Lineaarinen optimointitehtävä

Lineaarinen optimointitehtävä Lineaarinen optimointitehtävä Minimointitehtävä yhtälörajoittein: min kun n j=1 n j=1 c j x j a ij x j = b i x j 0 j = 1,..., n i = 1,..., m Merkitään: z = alkuperäisen objektifunktion arvo käsiteltävänä

Lisätiedot

Malliratkaisut Demot

Malliratkaisut Demot Malliratkaisut Demot 1 23.1.2017 1. Päätösmuuttujiksi voidaan valita x 1 : tehtyjen peruspöytin lukumäärä x 2 : tehtyjen luxuspöytien lukumäärä. Optimointitehtäväksi tulee max 200x 1 + 350x 2 s. t. 5x

Lisätiedot

TIES483 Epälineaarinen optimointi

TIES483 Epälineaarinen optimointi TIES483 Epälineaarinen optimointi Käytännön optimointiongelmien ratkaiseminen jussi.hakanen@jyu.fi Syksy 2012 Käytännön optimointiongelmien ratkaiseminen Käytännössä tulee kiinnittää huomiota ainakin seuraaviin

Lisätiedot

Harjoitus 4: Matlab - Optimization Toolbox

Harjoitus 4: Matlab - Optimization Toolbox Harjoitus 4: Matlab - Optimization Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Optimointimallin muodostaminen

Lisätiedot

TIES483 Epälineaarinen optimointi

TIES483 Epälineaarinen optimointi TIES483 Epälineaarinen optimointi Käytännön optimointiongelmien ratkaiseminen jussi.hakanen@jyu.fi Syksy 2012 Käytännön optimointiongelmien ratkaiseminen Käytännössä tulee kiinnittää huomiota ainakin seuraaviin

Lisätiedot

Referenssipiste- ja referenssisuuntamenetelmät

Referenssipiste- ja referenssisuuntamenetelmät Referenssipiste- ja referenssisuuntamenetelmät Optimointiopin seminaari - Kevät 2000 / 1 Esitelmän sisältö Menetelmien ideat Menetelmien soveltaminen Menetelmien ominaisuuksia Optimointiopin seminaari

Lisätiedot

4. Luennon sisältö. Lineaarisen optimointitehtävän ratkaiseminen Simplex-menetelmä

4. Luennon sisältö. Lineaarisen optimointitehtävän ratkaiseminen Simplex-menetelmä JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO 4. Luennon sisältö Lineaarisen optimointitehtävän ratkaiseminen Simplex-menetelmä kevät 2012 TIEA382 Lineaarinen ja diskreetti optimointi Lineaarinen optimointitehtävä Minimointitehtävä

Lisätiedot

Malliratkaisut Demot

Malliratkaisut Demot Malliratkaisut Demot 3.2.27 Tehtävä. Valmisohjelmistolla voidaan ratkaista tehtävä min c T x s. t. Ax b x, missä x, c ja b R n ja A R m n. Muunnetaan tehtävä max x + 2x 2 + 3x 3 + x s. t. x + 3x 2 + 2x

Lisätiedot

Demo 1: Pareto-optimaalisuus

Demo 1: Pareto-optimaalisuus MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 6 Ehtamo Demo 1: Pareto-optimaalisuus Tunnista Pareto-optimaaliset ratkaisut. a) Risk FTW solutions ltd. Creative Solutions ltd. Focus inc. SoftCorp inc. Tull

Lisätiedot

1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa:

1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa: 1 Kertaus Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa: min c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n kun a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2 (11) a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n

Lisätiedot

Harjoitus 8: Excel - Optimointi

Harjoitus 8: Excel - Optimointi Harjoitus 8: Excel - Optimointi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Lineaarisen optimointimallin muodostaminen

Lisätiedot

1 Johdanto LP tehtävän luonteen tarkastelua Johdanto herkkyysanalyysiin Optimiarvon funktio ja marginaalihinta

1 Johdanto LP tehtävän luonteen tarkastelua Johdanto herkkyysanalyysiin Optimiarvon funktio ja marginaalihinta Sisältö Johdanto 2 LP tehtävän luonteen tarkastelua 3 Johdanto herkkyysanalyysiin 5 2 Optimiarvon funktio ja marginaalihinta 5 3 Johdanto duaaliteoriaan 6 2 LP-tehtävän standardimuoto 9 Johdanto Optimoinnista

Lisätiedot

Taustatietoja ja perusteita

Taustatietoja ja perusteita Taustatietoja ja perusteita Vektorit: x R n pystyvektoreita, transpoosi x T Sisätulo: x T y = n i=1 x i y i Normi: x = x T x = ni=1 x 2 i Etäisyys: Kahden R n :n vektorin välinen etäisyys x y 1 Avoin pallo:

Lisätiedot

Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu

Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Merkintöjä := vasen puoli määritellään oikean puolen lausekkeella s.e. ehdolla; siten että (engl. subject to, s.t.) on voimassa

Lisätiedot

TIEA382 Lineaarinen ja diskreetti optimointi

TIEA382 Lineaarinen ja diskreetti optimointi TIEA382 Lineaarinen ja diskreetti optimointi Jussi Hakanen Tietotekniikan laitos jussi.hakanen@jyu.fi AgC 426.3 Yleiset tiedot Tietotekniikan kandidaattiopintojen valinnainen kurssi http://users.jyu.fi/~jhaka/ldo/

Lisätiedot

Lineaarinen optimointi. Harjoitus 6-7, Olkoon A R m n, x, c R ja b R m. Osoita, että LP-tehtävän. c T x = min!

Lineaarinen optimointi. Harjoitus 6-7, Olkoon A R m n, x, c R ja b R m. Osoita, että LP-tehtävän. c T x = min! Lineaarinen optimointi Harjoitus 6-7, 016. 1. Olkoon A R m n, x, c R ja b R m. Osoita, että LP-tehtävän c T x = min! (T) Ax b x 0 duaalitehtävän duaali on tehtävä (T). Ratkaisu. (P) c T x = min! Ax b x

Lisätiedot

2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo

2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo 2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo Ratkaisun olemassaolon tutkimiseen tarvitaan perustietoja konvekseista joukoista ja lineaarialgebrasta. Niitä tarvitaan myös ratkaisualgoritmin ymmärtämiseen. Tutkitaan

Lisätiedot

Malliratkaisut Demo 1

Malliratkaisut Demo 1 Malliratkaisut Demo 1 1. Merkitään x = kuinka monta viikkoa odotetaan ennen kuin perunat nostetaan. Nyt maksimoitavaksi kohdefunktioksi tulee f(x) = (60 5x)(300 + 50x). Funktio f on alaspäin aukeava paraaeli,

Lisätiedot

Demo 1: Pareto-optimaalisuus

Demo 1: Pareto-optimaalisuus MS-C2105 Optimoinnin perusteet Harjoitus 6 Ehtamo Oppimistavoitteet: ˆ Pareto-optimaalisuus ˆ Monitavoiteoptimointitehtävän ratkaiseminen Demo 1: Pareto-optimaalisuus Tunnista Pareto-optimaaliset ratkaisut.

Lisätiedot

Teollinen optimointi: avain yritysten kilpailukykyyn

Teollinen optimointi: avain yritysten kilpailukykyyn Teollinen optimointi: avain yritysten kilpailukykyyn Professori Kaisa Miettinen, JY, virkaanastujaisesitelmä 14.5.2008 Johdattelu optimointiin Teollinen optimointi viittaa optimoinnin soveltamiseen erityisesti

Lisätiedot

Lineaarisen kokonaislukuoptimointitehtävän ratkaiseminen

Lineaarisen kokonaislukuoptimointitehtävän ratkaiseminen Lineaarisen kokonaislukuoptimointitehtävän ratkaiseminen Jos sallittuja kokonaislukuratkaisuja ei ole kovin paljon, ne voidaan käydä kaikki läpi yksitellen Käytännössä tämä ei kuitenkaan ole yleensä mahdollista

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

Paretoratkaisujen visualisointi. Optimointiopin seminaari / Kevät 2000 Esitelmä 11 Petteri Kekäläinen 45305L

Paretoratkaisujen visualisointi. Optimointiopin seminaari / Kevät 2000 Esitelmä 11 Petteri Kekäläinen 45305L Paretoratkaisujen visualisointi Optimointiopin seminaari / Kevät 2000 Esitelmä 11 Petteri Kekäläinen 45305L 1. Johdanto Monitavoiteoptimointitehtävät ovat usein laajuutensa takia vaikeasti hahmotettavia

Lisätiedot

1. Lineaarinen optimointi

1. Lineaarinen optimointi 0 1. Lineaarinen optimointi 1. Lineaarinen optimointi 1.1 Johdatteleva esimerkki Esimerkki 1.1.1 Giapetto s Woodcarving inc. valmistaa kahdenlaisia puuleluja: sotilaita ja junia. Sotilaan myyntihinta on

Lisätiedot

Lineaarinen optimointitehtävä

Lineaarinen optimointitehtävä Lineaarinen optimointitehtävä min c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n kun a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2. a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n b m x 1, x 2,..., x n 0 1

Lisätiedot

Haitallinen valikoituminen: Kahden tyypin malli

Haitallinen valikoituminen: Kahden tyypin malli Haitallinen valikoituminen: Kahden tyypin malli Mat-2.4142 Optimointiopin seminaari Mikko Hyvärinen 29.1.2008 Haitallinen valikoituminen kahden tyypin malli Haitallinen valikoituminen tarkoittaa että päämies

Lisätiedot

4.5 Kaksivaiheinen menetelmä simplex algoritmin alustukseen

4.5 Kaksivaiheinen menetelmä simplex algoritmin alustukseen 4.5 Kaksivaiheinen menetelmä simplex algoritmin alustukseen Käypä kantaratkaisu löytyy helposti, esimerkiksi tapauksessa Ax b, b 0 x 0 jolloin sen määräävät puutemuuttujat. Tällöin simplex-menetelmän alustus

Lisätiedot

8. Ensimmäisen käyvän kantaratkaisun haku

8. Ensimmäisen käyvän kantaratkaisun haku 38 8. Ensimmäisen käyvän kantaratkaisun haku Edellä kuvattu simplex-algoritmi tarvitsee alkuratkaisuksi käyvän kantaratkaisun eli käyvän joukon kärkipisteen. Sellaisen voi konstruoida seuraavilla tavoilla:

Lisätiedot

TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen jussi.hakanen@jyu.fi syksy 2010

TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen jussi.hakanen@jyu.fi syksy 2010 TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta Yliassistentti Jussi Hakanen jussi.hakanen@jyu.fi syksy 2010 NSGA-II Non-dominated Sorting Genetic Algorithm (NSGA) Ehkä tunnetuin EMO-menetelmä

Lisätiedot

Lineaarisen ohjelman määritelmä. Joonas Vanninen

Lineaarisen ohjelman määritelmä. Joonas Vanninen Lineaarisen ohjelman määritelmä Joonas Vanninen Sisältö Yleinen optimointitehtävä Kombinatorinen tehtävä Optimointiongelman tapaus Naapurusto Paikallinen ja globaali optimi Konveksi optimointitehtävä Lineaarinen

Lisätiedot

Lineaaristen monitavoiteoptimointitehtävien ratkaiseminen Bensonin algoritmilla

Lineaaristen monitavoiteoptimointitehtävien ratkaiseminen Bensonin algoritmilla Lineaaristen monitavoiteoptimointitehtävien ratkaiseminen Bensonin algoritmilla Juho Andelmin 21.01.2013 Ohjaaja: TkT Juuso Liesiö Valvoja: Prof. Raimo P. Hämäläinen Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston

Lisätiedot

2 Osittaisderivaattojen sovelluksia

2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2.1 Ääriarvot Yhden muuttujan funktiolla f(x) on lokaali maksimiarvo (lokaali minimiarvo) pisteessä a, jos f(x) f(a) (f(x) f(a)) kaikilla x:n arvoilla riittävän lähellä

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen jussi.hakanen@jyu.fi syksy 2010

TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen jussi.hakanen@jyu.fi syksy 2010 TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta Yliassistentti Jussi Hakanen jussi.hakanen@jyu.fi syksy 2010 Monitavoiteoptimointi Mitä monitavoitteisuus tarkoittaa? Halutaan saavuttaa

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa

12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa 179 12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa Tarkastelemme tässä luvussa useamman muuttujan (eli vektorimuuttujan) n reaaliarvoisia unktioita : R R. Edellisessä luvussa todettiin, että riittävän säännöllisellä

Lisätiedot

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen! Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 14. Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä: yksi yhtälörajoitus Lagrangen menetelmä: monta yhtälörajoitusta

Talousmatematiikan perusteet: Luento 14. Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä: yksi yhtälörajoitus Lagrangen menetelmä: monta yhtälörajoitusta Talousmatematiikan perusteet: Luento 14 Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä: yksi yhtälörajoitus Lagrangen menetelmä: monta yhtälörajoitusta Viime luennolla Tarkastelimme usean muuttujan funktioiden

Lisätiedot

Luento 3: Simplex-menetelmä

Luento 3: Simplex-menetelmä Luento 3: Simplex-menetelmä Kuten graafinen tarkastelu osoittaa, LP-tehtävän ratkaisu on aina käyvän alueen kulmapisteessä, eli ekstreemipisteessä (extreme point). Simplex-menetelmässä ekstreemipisteitä,

Lisätiedot

Miksi kompromissi on parempi kuin optimi? Uusia monitavoiteoptimoinnin menetelmiä päätöksentekoon

Miksi kompromissi on parempi kuin optimi? Uusia monitavoiteoptimoinnin menetelmiä päätöksentekoon Miksi kompromissi on parempi kuin optimi? Uusia monitavoiteoptimoinnin menetelmiä päätöksentekoon Kaisa Miettinen Johdantoa optimointiin Optimointi tarkoittaa systemaattisia tapoja taata parhaan mahdollisen

Lisätiedot

Luento 2: Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli.

Luento 2: Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli. Luento 2: Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli. LP-malli Esimerkki. Maalitehdas valmistaa ulko- ja sisämaalia raaka-aineista M1 ja M2. Sisämaalin maksimikysyntä on 2 tonnia/päivä. Sisämaalin

Lisätiedot

k=0 saanto jokaisen kolmannen asteen polynomin. Tukipisteet on talloin valittu

k=0 saanto jokaisen kolmannen asteen polynomin. Tukipisteet on talloin valittu LIS AYKSI A kirjaan Reaalimuuttujan analyysi 1.6. Numeerinen integrointi: Gaussin kaavat Edella kasitellyt numeerisen integroinnin kaavat eli kvadratuurikaavat Riemannin summa, puolisuunnikassaanto ja

Lisätiedot

Monitavoitteiseen optimointiin soveltuvan evoluutioalgoritmin tarkastelu

Monitavoitteiseen optimointiin soveltuvan evoluutioalgoritmin tarkastelu Monitavoitteiseen optimointiin soveltuvan evoluutioalgoritmin tarkastelu (Valmiin työn esittely) 11.4.2011 Ohjaaja: Ville Mattila Valvoja: Raimo Hämäläinen Työn tavoite Tutkia evoluutioalgoritmia (Lee

Lisätiedot

Ratkaisu: Ensimmäinen suunta. Olkoon f : R n R m jatkuva eli kaikilla ε > 0 on olemassa sellainen δ > 0, että. kun x a < δ. Nyt kaikilla j = 1,...

Ratkaisu: Ensimmäinen suunta. Olkoon f : R n R m jatkuva eli kaikilla ε > 0 on olemassa sellainen δ > 0, että. kun x a < δ. Nyt kaikilla j = 1,... HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotukset 11 Osoita, että vektorifunktio f = (f 1,, f m ): R n R m, on jatkuva, jos ja vain jos jokainen komponenttifunktio

Lisätiedot

Kokonaislukuoptimointi

Kokonaislukuoptimointi Kokonaislukuoptimointi Optimointitehtävät, joissa muuttujat tai osa niistä voivat saada vain kokonaislukuarvoja Puhdas kokonaislukuoptimointitehtävä: Kaikki muuttujat kokonaislukuja Sekoitettu kokonaislukuoptimointitehtävä:

Lisätiedot

Mat Lineaarinen ohjelmointi

Mat Lineaarinen ohjelmointi Mat-2.3140 Lineaarinen ohjelmointi 4.10.2007 Luento 4 Ekstreemipisteiden optimaalisuus ja Simplex (kirja 2.4-2.6, 3.1-3.2) Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 2007 / 1 Luentorunko Degeneroituvuus Ekstreemipisteiden

Lisätiedot

Malliratkaisut Demo 4

Malliratkaisut Demo 4 Malliratkaisut Demo 4 1. tehtävä a) f(x) = 2x + 21. Funktio on lineaarinen, joten se on unimodaalinen sekä maksimoinnin että imoinnin suhteen. Funktio on konveksi ja konkaavi. b) f(x) = x (pienin kokonaisluku

Lisätiedot

Kombinatorinen optimointi

Kombinatorinen optimointi Kombinatorinen optimointi Sallittujen pisteiden lukumäärä on äärellinen Periaatteessa ratkaisu löydetään käymällä läpi kaikki pisteet Käytännössä lukumäärä on niin suuri, että tämä on mahdotonta Usein

Lisätiedot

Luento 9: Newtonin iteraation sovellus: optimointiongelma

Luento 9: Newtonin iteraation sovellus: optimointiongelma Luento 9: Newtonin iteraation sovellus: optimointiongelma ilman rajoitusehtoja Optimointiongelmassa tehtävänä on löytää annetun reaaliarvoisen jatkuvan funktion f(x 1,x,,x n ) maksimi tai minimi jossain

Lisätiedot

1 Rajoitettu optimointi I

1 Rajoitettu optimointi I Taloustieteen mat.menetelmät 2017 materiaali II-1 1 Rajoitettu optimointi I 1.1 Tarvittavaa osaamista Matriisit ja vektorit, matriisien de niittisyys Derivointi (mm. ketjusääntö, Taylorin kehitelmä) Implisiittifunktiolause

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 3 Ti 13.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 3 Ti 13.9.2011 p. 1/37 p. 1/37 Epälineaariset yhtälöt Newtonin menetelmä: x n+1 = x n f(x n) f (x n ) Sekanttimenetelmä:

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 11. Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla

Talousmatematiikan perusteet: Luento 11. Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla Talousmatematiikan perusteet: Luento 11 Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla Esimerkki Esim. Yritys tekee kahta elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Lokaalit ääriarvot Yhden muuttujan funktion f (x) lokaali maksimi on piste x 0, jossa f (x) on suurempi kuin muualle pisteen x 0 ympäristössä, eli kun f (x 0 )

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. Analyysi Harjoituksia lukuihin 3 / Syksy 204. Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko { 2x A = x ]4, [. x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. 2. Anna jokin ylä- ja alaraja joukoille { x( x) A = x ], [,

Lisätiedot

Partikkelit pallon pinnalla

Partikkelit pallon pinnalla Simo K. Kivelä, 14.7.2004 Partikkelit pallon pinnalla Tehtävänä on sijoittaa annettu määrä keskenään identtisiä partikkeleita mahdollisimman tasaisesti pallon pinnalle ja piirtää kuvio syntyvästä partikkelikonfiguraatiosta.

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 6 To 22.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 6 To 22.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Ominaisarvotehtävät Monet sovellukset johtavat ominaisarvotehtäviin Yksi

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Malliratkaisut Demo 4

Malliratkaisut Demo 4 Malliratkaisut Demo 4 1. tehtävä a) () = 2+1. Funktio on lineaarinen, joten se on unimodaalinen sekä maksimoinnin että minimoinnin suhteen. Funktio on konveksi ja konkaavi. b) () = (suurin kokonaisluku

Lisätiedot

Kaksiluokkainen tapaus, lineaarinen päätöspinta, lineaarisesti erottuvat luokat

Kaksiluokkainen tapaus, lineaarinen päätöspinta, lineaarisesti erottuvat luokat 1 Tukivektoriluokittelija Tukivektorikoneeseen (support vector machine) perustuva luoikittelija on tilastollisen koneoppimisen teoriaan perustuva lineaarinen luokittelija. Perusajatus on sovittaa kahden

Lisätiedot

Luento 4: Lineaarisen tehtävän duaali

Luento 4: Lineaarisen tehtävän duaali Luento 4: Lineaarisen tehtävän duaali Käsittelemme seuraavaksi lineaarisen optimoinnin duaaliteoriaa. Kuten luennossa 2 esitettiin, kohdefunktion optimiarvon herkkyys z, kun rajoitusyhtälön i, 1 i m, oikea

Lisätiedot

2. Teoriaharjoitukset

2. Teoriaharjoitukset 2. Teoriaharjoitukset Demotehtävät 2.1 Todista Gauss-Markovin lause. Ratkaisu. Oletetaan että luentokalvojen standardioletukset (i)-(v) ovat voimassa. Huomaa että Gauss-Markovin lause ei vaadi virhetermien

Lisätiedot

Valintakoe

Valintakoe Valintakoe 7.3.05 Kokeessa saa käyttää kirjoitusvälinewiden lisäksi ainoastaan kokeessa jaettavaa funktiolaskinta ja taulukkoa Pisteytys 8*3p=4p. Tehtävien alakohtien pistemäärät voivat poiketa toisistaan..

Lisätiedot

Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi.

Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi. Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi. Konveksisuus Muista. + αd, α 0, on pisteessä R n alkava puolisuora, joka on vektorin d suuntainen. Samoin 2

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle / MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 2. viikolle / 8. 2.4. Jatkuvuus ja raja-arvo Tehtävä : Määritä raja-arvot a) 3 + x, x Vihje: c)-kohdassa

Lisätiedot

Aki Taanila LINEAARINEN OPTIMOINTI

Aki Taanila LINEAARINEN OPTIMOINTI Aki Taanila LINEAARINEN OPTIMOINTI 26.4.2011 JOHDANTO Tässä monisteessa esitetään lineaarisen optimoinnin alkeet. Moniste sisältää tarvittavat Excel ohjeet. Viimeisin versio tästä monisteesta ja siihen

Lisätiedot

FCP=Massavirta*Ominais- lämpökapasitetti. Lämpöteho= FCP*(Tin-Tout) Lisäksi tarvitaan kunkin virran lämmönsiirtokerroin h 40 C 40 C 100 C FCP=1 FCP=1

FCP=Massavirta*Ominais- lämpökapasitetti. Lämpöteho= FCP*(Tin-Tout) Lisäksi tarvitaan kunkin virran lämmönsiirtokerroin h 40 C 40 C 100 C FCP=1 FCP=1 Lämmönsiirtoverkkojen monitavoiteoptimointi virtojen ryhmittelyyn perustuvalla kaksitaso- optimointimenetelmällä TkL Timo Laukkanen TKK Energiatekniikan laitos LÄMMÖNSIIRTOVERKOT Lämmönsiirtoverkkojen

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 13 Ti 23.2.2016. Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 13 Ti 23.2.2016. Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 13 Ti 23.2.2016 Timo Männikkö Luento 13 Suunnittelumenetelmät Taulukointi Kapsäkkiongelma Ahne menetelmä Verkon lyhimmät polut Dijkstran menetelmä Verkon lyhin virittävä puu Kruskalin

Lisätiedot

Harjoitus 9: Optimointi I (Matlab)

Harjoitus 9: Optimointi I (Matlab) Harjoitus 9: Optimointi I (Matlab) MS-C2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt MS-C2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Optimointimallin muodostaminen Optimointitehtävien

Lisätiedot

Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi.

Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi. Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi. Konveksisuus Muista x + αd, α 0, on pisteestä x R n alkava puolisuora, joka on vektorin d suuntainen. Samoin

Lisätiedot

30A01000 Taulukkolaskenta ja analytiikka Luku 8: Lineaarinen optimointi ja sen sovellukset

30A01000 Taulukkolaskenta ja analytiikka Luku 8: Lineaarinen optimointi ja sen sovellukset 30A01000 Taulukkolaskenta ja analytiikka Luku 8: Lineaarinen optimointi ja sen sovellukset Mitä on lineaarinen optimointi (LP)? LP= lineaarinen optimointiongelma (Linear Programming) Menetelmä, jolla etsitään

Lisätiedot

Kokonaislukuoptiomointi Leikkaustasomenetelmät

Kokonaislukuoptiomointi Leikkaustasomenetelmät Kokonaislukuoptiomointi Leikkaustasomenetelmät Systeemianalyysin Laboratorio 19.3.2008 Sisällys Leikkaustasomenetelmät yleisesti Leikkaustasomenetelmät generoivilla kokonaislukujoukoilla Gomoryn leikkaavat

Lisätiedot

Partikkelit pallon pinnalla

Partikkelit pallon pinnalla Simo K. Kivelä, 14.7.2004 Partikkelit pallon pinnalla Tehtävänä on sijoittaa annettu määrä keskenään identtisiä partikkeleita mahdollisimman tasaisesti pallon pinnalle ja piirtää kuvio syntyvästä partikkelikonfiguraatiosta.

Lisätiedot

Luento 10: Optimointitehtävien numeerinen ratkaiseminen; optimointi ilman rajoitusehtoja

Luento 10: Optimointitehtävien numeerinen ratkaiseminen; optimointi ilman rajoitusehtoja Luento 10: Optimointitehtävien numeerinen ratkaiseminen; optimointi ilman rajoitusehtoja Seuraavassa esitetään optimointitehtävien numeerisia ratkaisumenetelmiä, eli optimointialgoritmeja, keittokirjamaisesti.

Lisätiedot

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Matemaattisen analyysin tukikurssi Matemaattisen analyysin tukikurssi 10. Kurssikerta Petrus Mikkola 22.11.2016 Tämän kerran asiat Globaali ääriarvo Konveksisuus Käännepiste L Hôpitalin sääntö Newtonin menetelmä Derivaatta ja monotonisuus

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen

Lisätiedot