Laskennallinen data-analyysi II
|
|
|
- Olavi Laaksonen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Laskennallinen data-analyysi II Ella Bingham, Kevät 2008 Muuttujien valinta Kalvot perustuvat Saara Hyvösen kalvoihin 2007 Laskennallinen data-analyysi II, kevät 2008, Helsingin yliopisto
2 Korkeiden ulottuvuuksien kirous Opitaan yksi- ja kaksiulotteisen tasajakautuneen datan jakauma näytteistä jakamalla akselit 100:n osaan ja laskemalla osumat kussakin laatikossa: n=100000, 1D n=100000, 2D Laskennallinen data-analyysi II, kevät 2008, Helsingin yliopisto 1
3 keskimääräinen neliöllinen etäisyys tasajakaumasta näytteiden määrä n yksiulotteinen kaksiulotteinen Laskennallinen data-analyysi II, kevät 2008, Helsingin yliopisto 2
4 Korkeiden ulottuvuuksien kirous korkeaulotteisilla avaruuksilla monia epäintuitiivisia ominaisuuksia edellisessä esimerkissä, jos halutaan saavuttaa sama estimointitarkkuus kahdessa kuin yhdessä ulottuvuudessa, tarvitaan satakertainen määrä näytevektoreita oppimiseen jos lisätään dimensioiden määrää, niin samaan tarkkuuteen tarvittavien näytevektorien määrä kasvaa eksponentiaalisesti! Korkeaulotteinen data aiheuttaa ongelmia! Laskennallinen data-analyysi II, kevät 2008, Helsingin yliopisto 3
5 Halutaan siis vähentää dimensioita, mutta miten? Kaksi peruslähestymistapaa: heitetään muuttujia pois, tai muodostetaan uusia muuttujia. Tarkemmin sanoen, voidaan joko muodostaa uusia muuttujia vain datan perusteella, oppimistehtävästä riippumatta (filter), kuten SVD:ssä ja PCA:ssa teimme, tai valita uudet muuttujat oppimistehtävän avulla (wrapper), kuten teemme tänään luennon loppuosassa. Laskennallinen data-analyysi II, kevät 2008, Helsingin yliopisto 4
6 (Lineaariset) piilomuuttujamallit (Kertausta) Yksinkertaisimmillaan voidaan ajatella, että m n datamatriisi A, missä rivit ovat pisteitä ja sarakkeet ovat muuttujia, esitetään k:n piilomuuttujan avulla kahden matriisin tulona: A m n = D m k V k n, missä matriisin V rivit ovat latentit muuttujat ja matriisi D antaa datapisteet latenttien muuttujien avulla lausuttuna. Siis V:n rivit = uudet kantavektorit, ja D = pisteiden koordinaatit uudessa kannassa. Laskennallinen data-analyysi II, kevät 2008, Helsingin yliopisto 5
7 Piilomuuttujat = uudet kantavektorit voivat olla vaikkapa (oikeanpuoleiset) singulaarivektorit, tai pääkomponentit. Laskennallinen data-analyysi II, kevät 2008, Helsingin yliopisto 6
8 SVD/PCA esikäsittelynä Ilmaistaan datamatriisi A (rivit pisteitä, sarakkeet muuttujia) uudessa singulaarivektorien tai pääkomponenttien V määrittämässä kannassa: A m n = D m k V k n. Nyt matriisin D rivit ovat pisteiden koordinaatit uudessa kannassa: siis kohdellaan näitä pisteinä, ja klusteroidaan/luokitellaan niitä! Laskennallinen data-analyysi II, kevät 2008, Helsingin yliopisto 7
9 Esimerkki: spatiaalisen datan analysointi Data: Suomen murteet, noin sanaa, 500 kuntaa. Kunta-sana-matriisi A: A(j, i) = { 1 jos sana i esiintyy kunnassa j 0 muutoin. lasketaan SVD käyttäen 30 singulaarivektoria (k=30) A k = U k S k Vk T, Singulaarivektorit V k antavat uuden kannan, ja datan koordinaatit uudessa kannassa on D = U k S k. Laskennallinen data-analyysi II, kevät 2008, Helsingin yliopisto 8
10 Jokainen matriisin D rivi vastaa kuntaa, eli klusteroidaan siis rivit (esim. k-means). ks. kuva Laskennallinen data-analyysi II, kevät 2008, Helsingin yliopisto 9
11 Esimerkki jossa PCA ei toimi: ilmakehädata Data: 1500 päivää, kymmeniä muuttujia (lämpötila, tuulen suunta ja nopeus, UV-säteilyn määrä, hiilidioksidikonsentraatio etc.) Visualisointi esim. 60-ulotteisessa avaruudessa on haastavaa! Mielenkiinnon kohteena oleva ilmiö: Pienhiukkasia joko muodostuu, tai sitten ei. Meillä on luokittelutehtävä: erota spontaanin hiukkasmuodostuksen päivät sellaisista, jolloin kyseistä ilmiötä ei havaita. Tässä pääkomponentit eivät ole kovin hyviä. Laskennallinen data-analyysi II, kevät 2008, Helsingin yliopisto 10
12 Muuttujien valinta luokittelutehtävässä Pitäisi lˆytää sellainen joukko muuttujia, että data luokittuu hyvin (joko opetusjoukon määrittämiin luokkiin, tai ohjaamattomasti klustereihin eli ryppäisiin) Laskennallinen data-analyysi II, kevät 2008, Helsingin yliopisto 11
13 Askeltavat menetelmät Eteenpäin askeltava muuttujanvalinta (forward stepwise selection of variables) - valitaan muuttujat ahneesti: Lasketaan luokitteluvirhe jokaiselle muuttujalle erikseen. Valitaan se muuttuja, jolla luokitteluvirhe pienin. Tämän jälkeen joka askeleella lisätään se muuttuja, joka yhdessä jo valittujen muuttujien kanssa antaa pienimmän luokitteluvirheen. Laskennallinen data-analyysi II, kevät 2008, Helsingin yliopisto 12
14 Ilmakehäesimerkissä valitut muuttujat: Muuttujavalinnan tulokset kahdelle erilliselle valintatapahtumalla sekä luokitteluvirhe (%). Alussa valitut muuttujat samat, sen jälkeen vaihtelua. Virhekään ei enää pienene samaa vauhtia. Laskennallinen data-analyysi II, kevät 2008, Helsingin yliopisto 13
15 Ilmakehäesimerkissä valitut muuttujat: Set 1 Set 2 variable error variable error RH high mean 17.8 RH high mean 17.5 logcs mean 12.1 logcs mean 12.4 T high std 12.3 SO 2 high std 12.0 logcs std 11.8 momflux std 11.1 CO 2 high mean 11.1 O 3 high std 11.0 O 3 high std 10.8 SWS std 10.7 RH high std 10.6 O 3 high mean 10.7 WS high mean 10.5 SO 2 high mean 10.8 Laskennallinen data-analyysi II, kevät 2008, Helsingin yliopisto 14
16 Ilmakehäesimerkissä valitut muuttujat: Jos tehdään ensin PCA, ja askelletaan sitten, on virhe tämännäköinen: #of P C Error Laskennallinen data-analyysi II, kevät 2008, Helsingin yliopisto 15
17 Askeltavat menetelmät Huomaa, että askeltava menetelmä ei ole sidottu luokittelutehtäviin; se soveltuu mihin tahansa ohjatun oppimisen tehtävään, esimerkiksi regressioon. Tarvitaan vain virhe-estimaatti. Yleisesti ottaen eteenpäin askeltava muuttujanvalinta (forward stepwise selection of variables) toimii valitsemalla muuttujat ahneesti: 1. Lasketaan virhe-estimaatti jokaiselle muuttujalle erikseen. 2. Valitaan se muuttuja, jolla virhe pienin. 3. Tämän jälkeen joka askeleella lisätään se muuttuja, joka yhdessä jo valittujen muuttujien kanssa antaa pienimmän virhe-estimaatin. Laskennallinen data-analyysi II, kevät 2008, Helsingin yliopisto 16
18 Askeltavat menetelmät Taaksepäin askeltava muuttujanvalinta (backwards stepwise selection of variables) toimii tietysti päinvastoin: Liikkeelle lähdetään ottamalla mukaan kaikki muuttujat. Joka askeleella lasketaan virhe-estimaatit jättämällä pois jäljellä olevista muuttujista yksi kerrallaan. Valitaan pois jätettävä muuttuja siten, että jäljellä olevan muuttujajoukon antama virhe pienin. Laskennallinen data-analyysi II, kevät 2008, Helsingin yliopisto 17
19 Virheen estimointi Jos ensin käytetään koko datajoukko oppimiseen, ja sitten estimoidaan oppimisvirhettä samassa datajoukossa, on virhe-estimaatti usein liian optimistinen. Ylisovitus koituu helposti ongelmaksi. Käypä ratkaisu tähän on jakaa data kahteen osaan, opetusjoukkoon ja validointijoukkoon: malli sovitetaan opetusjoukossa; virhe estimoidaan validointijoukossa. Laskennallinen data-analyysi II, kevät 2008, Helsingin yliopisto 18
20 Virheen estimointi Jos näin sovitetaan monta mallia, voi malli ylisovittua validointijoukkoon. Tällöin voidaan jakaa data kolmeen osaan: malli sovitetaan opetusjoukossa, virhe estimoidaan validointijoukossa, se malli jonka virhe on pienin valitaan, ja valitun mallin virhe estimoidaan testijoukossa. Laskennallinen data-analyysi II, kevät 2008, Helsingin yliopisto 19
21 train validate test Laskennallinen data-analyysi II, kevät 2008, Helsingin yliopisto 20
22 Mutta mitä jos dataa on vähän? Virheen estimointi Halutaan käyttää paljon dataa mallin muodostamiseen, jotta saadaan hyvä malli. Mutta jos validointijoukko on pieni, antaa se melko kohinaisen estimaatin virheelle. Ratkaisuna tähän: ristiinvalidointi! Laskennallinen data-analyysi II, kevät 2008, Helsingin yliopisto 21
23 Ristiinvalidointi Jaetaan datajoukko S:n yhtä suureen osaan. Käytetään näistä S 1 kpl mallin muodostamiseen ja 1 kpl virheen estimointiin. Tämä toistetaan S kertaa siten, että kukin joukko vuorollaan on validointijoukkona. Lopullinen virhe-estimaatti on näiden S:n virhe-estimaatin keskiarvo. Laskennallinen data-analyysi II, kevät 2008, Helsingin yliopisto 22
24 train train train test 1st round train train test train 2nd round train test train train 3rd round test train train train 4th round Laskennallinen data-analyysi II, kevät 2008, Helsingin yliopisto 23
25 Leave one out Ristiinvalidoinnissa jaetaan datajoukko S:n yhtä suureen osaan ja käytetään näistä S 1 kpl mallin muodostamiseen ja 1 kpl virheen estimointiin. Tämä toistetaan S kertaa siten, että kukin joukko vuorollaan on validointijoukkona, ja lasketaan virheiden keskiarvo. Jos S=pisteiden lukumäärä datajoukossa, on kyseessä leave one outmenetelmä: yhtä pistettä vuorollaan käytetään validointiin ja loppuja mallin sovitukseen. Laskennallinen data-analyysi II, kevät 2008, Helsingin yliopisto 24
26 Ristiinvalidointi Ristiinvalidoinnissa jaetaan datajoukko S:n yhtä suureen osaan ja käytetään näistä S 1 kpl mallin muodostamiseen ja 1 kpl virheen estimointiin - mutta miten S kannattaa valita? Jos S=pisteiden lukumäärä datajoukossa, on opetusjoukko joka kierroksella suuri eli opitaan hyvin, mutta virheen estimoimiseen jää vain yksi piste per kierros. Jos S on pienehkö, ja dataa muutenkin vähän, voi virhearvio olla aika pessimistinen. Yleinen käytäntö: S = 5 (fivefold cross-validation) tai 10 (tenfold crossvalidation). Laskennallinen data-analyysi II, kevät 2008, Helsingin yliopisto 25
27 Projektityö Wisconsin breast cancer data set Tehtävä: luokittele data annettuun kahteen luokkaan käyttäen (a) koko dataa (b) eteenpäin askeltavaa muuttujavalintaa (c) PCA + (b). Käytä virheen estimoimiseen ristiinvalidointia. Vertaa eri kohdissa saatuja luokitteluvirheitä. Montako muuttujaa valitset? Voit myös katsoa pääkomponentteja. Löytyykö niille tulkinta? Mitä esim. 1. pc kertoo? Deadline 1.4. Laskennallinen data-analyysi II, kevät 2008, Helsingin yliopisto 26
Laskennallinen data-analyysi II
Laskennallinen data-analyysi II Saara Hyvönen, Saara.Hyvonen@cs.helsinki.fi Kevät 2007 Muuttujien valinta Laskennallinen data-analyysi II, kevät 2007, Helsingin yliopisto Korkeiden ulottuvuuksien kirous
Laskennallinen data-analyysi II
Laskennallinen data-analyysi II Saara Hyvönen, Saara.Hyvonen@cs.helsinki.fi Kevät 2007 Ulottuvuuksien vähentäminen, SVD, PCA Laskennallinen data-analyysi II, kevät 2007, Helsingin yliopisto visualisointi
Laskennallinen data-analyysi II
Laskennallinen data-analyysi II Ella Bingham, ella.bingham@cs.helsinki.fi Kevät 2008 Ulottuvuuksien vähentäminen, SVD, PCA Kalvot perustuvat Saara Hyvösen kalvoihin 2007 Laskennallinen data-analyysi II,
Puumenetelmät. Topi Sikanen. S ysteemianalyysin. Laboratorio Aalto-yliopiston teknillinen korkeakoulu
Puumenetelmät Topi Sikanen Puumenetelmät Periaate: Hajota ja hallitse Jaetaan havaintoavaruus alueisiin. Sovitetaan kuhunkin alueeseen yksinkertainen malli (esim. vakio) Tarkastellaan kolmea mallia Luokittelu-
1 Kannat ja kannanvaihto
1 Kannat ja kannanvaihto 1.1 Koordinaattivektori Oletetaan, että V on K-vektoriavaruus, jolla on kanta S = (v 1, v 2,..., v n ). Avaruuden V vektori v voidaan kirjoittaa kannan vektorien lineaarikombinaationa:
Identifiointiprosessi
Alustavia kokeita Identifiointiprosessi Koesuunnittelu, identifiointikoe Mittaustulosten / datan esikäsittely Ei-parametriset menetelmät: - Transientti-, korrelaatio-, taajuus-, Fourier- ja spektraalianalyysi
Paikkatiedon käsittely 11. Suuren mittakaavan
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Paikkatiedon käsittely 11. Suuren mittakaavan ilmiöt Antti Leino antti.leino@cs.helsinki.fi 19.2.2007 Tietojenkäsittelytieteen laitos
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä.
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 29 Laskuharjoitus (9. - 3..29) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Tehtävä. Olkoon V vektoriavaruus. Todistettava: jos U V ja W V ovat V :n aliavaruuksia, niin
Laskennallinen data-analyysi II
Laskennallinen data-analyysi II Patrik Hoyer Epävarmuuden mallintaminen 16 17.4.2008 LDA II, osa 3: epävarmuuden mallintaminen Luennot (16.4 ja 17.4) - ongelma, menetelmät, esimerkkejä (kalvot verkossa
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 3 /
MS-A3/A5 Matriisilaskenta, II/27 MS-A3/A5 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 3 / 3. 7..27 Tehtävä (L): Etsi kaikki yhtälön Ax = b ratkaisut, kun 3 5 4 A = 3 2 4 ja b = 6 8 7 4. Ratkaisu : Koetetaan ratkaista
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon
Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 4
Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 4 Kevät 20 Regularisointi Eräs keino yrittää ratkaista (likimääräisesti) huonosti asetettuja ongelmia on regularisaatio. Regularisoinnissa ongelmaa
Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2
Kanta ja Kannan-vaihto
ja Kannan-vaihto 1 Olkoon L vektoriavaruus. Äärellinen joukko L:n vektoreita V = { v 1, v 2,..., v n } on kanta, jos (1) Jokainen L:n vektori voidaan lausua v-vektoreiden lineaarikombinaationa. (Ts. Span(V
USEAN MUUTTUJAN REGRESSIOMALLIT JA NIIDEN ANA- LYYSI
TEORIA USEAN MUUTTUJAN REGRESSIOMALLIT JA NIIDEN ANA- LYYSI Regressiomalleilla kuvataan tilanteita, jossa suureen y arvot riippuvat joukosta ns selittäviä muuttujia x 1, x 2,..., x p oletetun funktiomuotoisen
Ortogonaalisen kannan etsiminen
Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,
Regressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Regressioanalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Halutaan selittää selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelua selittävien muuttujien havaittujen
Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on
13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu
Kohdeyleisö: toisen vuoden teekkari
Julkinen opetusnäyte Yliopisto-opettajan tehtävä, matematiikka Klo 8:55-9:15 TkT Simo Ali-Löytty Aihe: Lineaarisen yhtälöryhmän pienimmän neliösumman ratkaisu Kohdeyleisö: toisen vuoden teekkari 1 y y
klusteroi data haluttuun määrään klustereita tee n-gram -mallit klustereista (tasoitus) estimoi sekoitteiden painokertoimet λ k
/DXU6HWVRH /DXU6HWVRH#KXWI 5XP0,\HUDG0DU2VWHGRUI0RGHJ/RJ'VWDH'HHGHH /DJXDJH7R0[WXUHV9HUVXV'\DP&DKH0RGHV,7UDV VHHKDGDXGRURHVVJ-DXDU\ $KHVHRWHPDGHD.l\WlW l.rhhvdwxrvd
Tässä luvussa käsitellään optimaalisten piirteiden valintaa, luokittelijan optimointia ja luokittelijan suorituskyvyn arviointia.
1 Luokittelijan suorituskyvyn optimointi Tässä luvussa käsitellään optimaalisten piirteiden valintaa, luokittelijan optimointia ja luokittelijan suorituskyvyn arviointia. A. Piirteen valinnan menetelmiä
Tässä harjoituksessa käydään läpi R-ohjelman käyttöä esimerkkidatan avulla. eli matriisissa on 200 riviä (havainnot) ja 7 saraketta (mittaus-arvot)
R-ohjelman käyttö data-analyysissä Panu Somervuo 2014 Tässä harjoituksessa käydään läpi R-ohjelman käyttöä esimerkkidatan avulla. 0) käynnistetään R-ohjelma Huom.1 allaolevissa ohjeissa '>' merkki on R:n
Sovellusohjelmointi Matlab-ympäristössä: Vertaisverkon koneiden klusterointi
Sovellusohjelmointi Matlab-ympäristössä: Vertaisverkon koneiden klusterointi 28.4.2013 Annemari Auvinen (annauvi@st.jyu.fi) Anu Niemi (anniemi@st.jyu.fi) 1 Sisällysluettelo 1 JOHDANTO... 2 2 KÄYTETYT MENETELMÄT...
Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli (jatkoa) Ensi viikolla ei pidetä luentoa eikä harjoituksia. Heliövaara 1
Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli (jatkoa) Ensi viikolla ei pidetä luentoa eikä harjoituksia Heliövaara 1 Regressiokertoimien PNS-estimaattorit Määritellään havaintojen x j ja y j, j = 1, 2,...,n
Laskennallinen data-analyysi II
Laskennallinen data-analyysi II Patrik Hoyer Bayesiläiset menetelmät 18 19.4.2007 LDA II: Bayesiläiset menetelmät Luennot (18.4 ja 19.4) - filosofiaa, ideat, esimerkkejä (kalvot kotisivulla 19.4 illalla)
Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A000 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2..205 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x x 2 =
Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
Mitä murteita Suomessa onkaan?
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Mitä murteita Suomessa onkaan? Antti Leino antti.leino@cs.helsinki.fi 9. syyskuuta 2006 Tietojenkäsittelytieteen laitos Kotimaisten kielten
Seuraavassa taulukossa on annettu mittojen määritelmät ja sijoitettu luvut. = 40% = 67% 6 = 0.06% = 99.92% 6+2 = 0.
T-6.28 Luonnollisen kielen tilastollinen käsittely Vastaukset, ti 7.2.200, 8:30-0:00 Tiedon haku, Versio.0. Muutetaan tehtävässä annettu taulukko sellaiseen muotoon, joka paremmin sopii ensimmäisten mittojen
Johdatus verkkoteoriaan 4. luento
Johdatus verkkoteoriaan 4. luento 28.11.17 Viikolla 46 läpikäydyt käsitteet Viikolla 47 läpikäydyt käsitteet Verkko eli graafi, tasoverkko, solmut, välit, alueet, suunnatut verkot, isomorfiset verkot,
Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009
Viidennen viikon luennot Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Perustuu kirjan Poole: Linear Algebra lukuihin I.3 - I.4 Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Aluksi hiukan 2 ja 3 ulotteisen reaaliavaruuden
Harha mallin arvioinnissa
Esitelmä 12 Antti Toppila sivu 1/18 Optimointiopin seminaari Syksy 2010 Harha mallin arvioinnissa Antti Toppila 13.10.2010 Esitelmä 12 Antti Toppila sivu 2/18 Optimointiopin seminaari Syksy 2010 Sisältö
Pikalajittelu: valitaan ns. pivot-alkio esim. pivot = oikeanpuoleisin
Pikalajittelu: valitaan ns. pivot-alkio esim. pivot = oikeanpuoleisin jaetaan muut alkiot kahteen ryhmään: L: alkiot, jotka eivät suurempia kuin pivot G : alkiot, jotka suurempia kuin pivot 6 1 4 3 7 2
Regressioanalyysi. Kuusinen/Heliövaara 1
Regressioanalyysi Kuusinen/Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun joidenkin
T Luonnollisen kielen tilastollinen käsittely Vastaukset 3, ti , 8:30-10:00 Kollokaatiot, Versio 1.1
T-61.281 Luonnollisen kielen tilastollinen käsittely Vastaukset 3, ti 10.2.2004, 8:30-10:00 Kollokaatiot, Versio 1.1 1. Lasketaan ensin tulokset sanaparille valkoinen, talo käsin: Frekvenssimenetelmä:
2.8. Kannanvaihto R n :ssä
28 Kannanvaihto R n :ssä Seuraavassa kantavektoreiden { x, x 2,, x n } järjestystä ei saa vaihtaa Vektorit ovat pystyvektoreita ( x x 2 x n ) on vektoreiden x, x 2,, x n muodostama matriisi, missä vektorit
JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT
JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT Kanta ja dimensio Tehtävä Esittele vektoriavaruuden kannan määritelmä vapauden ja virittämisen käsitteiden avulla ja anna vektoriavaruuden dimension määritelmä Esittele Lause
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 23.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/22 Käytännön asioita Ensimmäiset tehtävät olivat sujuneet hyvin. Kansilehdet on oltava mukana tehtäviä palautettaessa,
Logistinen regressio, separoivat hypertasot
Logistinen regressio, separoivat hypertasot Topi Sikanen Logistinen regressio Aineisto jakautunut K luokkaan K=2 tärkeä erikoistapaus Halutaan mallintaa luokkien vedonlyöntikertoimia (odds) havaintojen
Laskuharjoitus 9, tehtävä 6
Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Jouni Pousi Systeemianalyysin laboratorio Mat-2.4129 Systeemien identifiointi Laskuharjoitus 9, tehtävä 6 Tämä ohje sisältää vaihtoehtoisen tavan laskuharjoituksen
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4A Parametrien estimointi Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016, periodi
2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio
x = x 2 = 5/2 x 3 = 2 eli Ratkaisu on siis x = (x x 2 x 3 ) = ( 5/2 2) (Tarkista sijoittamalla!) 5/2 2 Tämä piste on alkuperäisten tasojen ainoa leikkauspiste Se on myös piste/vektori jonka matriisi A
T Luonnollisten kielten tilastollinen käsittely
T-61.281 Luonnollisten kielten tilastollinen käsittely Vastaukset 3, ti 11.2.2003, 16:15-18:00 Kollokaatiot, Versio 1.1 1. Lasketaan ensin tulokset sanaparille valkoinen, talo käsin: Frekvenssimenetelmä:
Mallipohjainen klusterointi
Mallipohjainen klusterointi Marko Salmenkivi Johdatus koneoppimiseen, syksy 2008 Luentorunko perjantaille 5.12.2008 Johdattelua mallipohjaiseen klusterointiin, erityisesti gaussisiin sekoitemalleihin Uskottavuusfunktio
Kokonaislukuoptiomointi Leikkaustasomenetelmät
Kokonaislukuoptiomointi Leikkaustasomenetelmät Systeemianalyysin Laboratorio 19.3.2008 Sisällys Leikkaustasomenetelmät yleisesti Leikkaustasomenetelmät generoivilla kokonaislukujoukoilla Gomoryn leikkaavat
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 13.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/12 Käytännön asioita Kesäkuun tentti: ke 19.6. klo 17-20, päärakennuksen sali 1. Anna palautetta kurssisivulle ilmestyvällä
Aki Taanila AIKASARJAENNUSTAMINEN
Aki Taanila AIKASARJAENNUSTAMINEN 26.4.2011 SISÄLLYS JOHDANTO... 1 1 AIKASARJA ILMAN SYSTEMAATTISTA VAIHTELUA... 2 1.1 Liukuvan keskiarvon menetelmä... 2 1.2 Eksponentiaalinen tasoitus... 3 2 AIKASARJASSA
54. Tehdään yhden selittäjän lineaarinen regressioanalyysi, kun selittäjänä on määrällinen muuttuja (ja selitettävä myös):
Tilastollinen tietojenkäsittely / SPSS Harjoitus 5 Tarkastellaan ensin aineistoa KUNNAT. Kyseessähän on siis kokonaistutkimusaineisto, joten tilastollisia testejä ja niiden merkitsevyystarkasteluja ei
Harjoitukset 4 : Paneelidata (Palautus )
31C99904, Capstone: Ekonometria ja data-analyysi TA : markku.siikanen(a)aalto.fi & tuuli.vanhapelto(a)aalto.fi Harjoitukset 4 : Paneelidata (Palautus 7.3.2017) Tämän harjoituskerran tarkoitus on perehtyä
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 9: Moniulotteinen lineaarinen. regressio
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 9: lineaarinen lineaarinen Sisältö lineaarinen lineaarinen lineaarinen Lineaarinen Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )..., (x n, y n
MS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt QR-hajotelma ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto PNS-ongelma PNS-ongelma
6. Tietokoneharjoitukset
6. Tietokoneharjoitukset 6.1 Tiedostossa Const.txt on eräällä Yhdysvaltalaisella asuinalueella aloitettujen rakennusurakoiden määrä kuukausittain, aikavälillä 1966-1974. Urakoiden määrä on skaalattu asuinalueen
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 18 R. Kangaslampi QR ja PNS PNS-ongelma
Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )
Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä
Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuun 6 liittyen., jos otoskeskiarvo on suurempi kuin 13,96. Mikä on testissä käytetty α:n arvo?
MTTTP5, kevät 2016 15.2.2016/RL Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuun 6 liittyen 1. Valitaan 25 alkion satunnaisotos jakaumasta N(µ, 25). Olkoon H 0 : µ = 12. Hylätään H 0, jos otoskeskiarvo
Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta
Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Määritelmä Kantaa ( w 1,..., w k ) kutsutaan ortogonaaliseksi, jos sen vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli w i w j = 0 kaikilla i, j {1, 2,..., k}, missä
Mat Lineaarinen ohjelmointi
Mat-2.34 Lineaarinen ohjelmointi..27 Luento 5 Simplexin implementaatioita (kirja 3.2-3.5) Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 27 / Luentorunko (/2) Simplexin implementaatiot Naiivi Revised Full tableau Syklisyys
Avaruuden R n aliavaruus
Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla
1. Tilastollinen malli??
1. Tilastollinen malli?? https://fi.wikipedia.org/wiki/tilastollinen_malli https://en.wikipedia.org/wiki/statistical_model http://projecteuclid.org/euclid.aos/1035844977 Tilastollinen malli?? Numeerinen
Esim. Pulssi-muuttujan frekvenssijakauma, aineisto luentomoniste liite 4
18.9.2018/1 MTTTP1, luento 18.9.2018 KERTAUSTA Esim. Pulssi-muuttujan frekvenssijakauma, aineisto luentomoniste liite 4 pyöristetyt todelliset luokka- frekvenssi luokkarajat luokkarajat keskus 42 52 41,5
Luento 3: 3D katselu. Sisältö
Tietokonegrafiikan perusteet T-.43 3 op Luento 3: 3D katselu Lauri Savioja Janne Kontkanen /27 3D katselu / Sisältö Kertaus: koordinaattimuunnokset ja homogeeniset koordinaatit Näkymänmuodostus Kameran
Näistä standardoiduista arvoista laskettu keskiarvo on nolla ja varianssi 1, näin on standardoidulle muuttujalle aina.
[MTTTP1] TILASTOTIETEEN JOHDANTOKURSSI, kevät 2019 https://coursepages.uta.fi/mtttp1/kevat-2019/ HARJOITUS 3 Joitain ratkaisuja 1. x =(8+9+6+7+10)/5 = 8, s 2 = ((8 8) 2 + (9 8) 2 +(6 8) 2 + (7 8) 2 ) +
Luento 6: 3-D koordinaatit
Maa-57.300 Fotogrammetrian perusteet Luento-ohjelma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Luento 6: 3-D koordinaatit AIHEITA (Alkuperäinen luento: Henrik Haggrén, 16.2.2003, Päivityksiä: Katri Koistinen 5.2.2004
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 29.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/26 Kertausta: Kanta Määritelmä Oletetaan, että w 1, w 2,..., w k W. Vektorijono ( w 1, w 2,..., w k ) on aliavaruuden
Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain
Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit
Näistä standardoiduista arvoista laskettu keskiarvo on nolla ja varianssi 1, näin on standardoidulle muuttujalle aina.
[MTTTP1] TILASTOTIETEEN JOHDANTOKURSSI, Syksy 2017 http://www.uta.fi/sis/mtt/mtttp1/syksy_2017.html HARJOITUS 3 viikko 40 Joitain ratkaisuja 1. Suoritetaan standardointi. Standardoidut arvot ovat z 1 =
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48 Tehtävä (L): a) Onko 4 3 sitä vastaava ominaisarvo? b) Onko λ = 3 matriisin matriisin 2 2 3 2 3 7 9 4 5 2 4 4 ominaisvektori? Jos on, mikä on ominaisarvo?
Luentorunko perjantaille
Luentorunko perjantaille 28.11.28 Eräitä ryvästyksen keskeisiä käsitteitä kustannusfunktio sisäinen vaihtelu edustajavektori etäisyysmitta/funktio Osittamiseen perustuva ryvästys (yleisesti) K:n keskiarvon
Koska ovat negatiiviset. Keskihajontoja ei pystytä laskemaan mutta pätee ¾.
24.11.2006 1. Oletetaan, että kaksiulotteinen satunnaismuuttuja µ noudattaa kaksiulotteista normaalijakaumaa. Oletetaan lisäksi, että satunnaismuuttujan regressiofunktio satunnaismuuttujan suhteen on ݵ
Harjoitustyö 3. Heiluri-vaunusysteemin parametrien estimointi
Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Systeemianalyysin laboratorio Mat-2.4129 Systeemien identifiointi Harjoitustyö 3 Heiluri-vaunusysteemin parametrien estimointi Yleistä Systeemianalyysin laboratoriossa
Kanta ja dimensio 1 / 23
1 / 23 Kuten ollaan huomattu, saman aliavaruuden voi virittää eri määrä vektoreita. Seuraavaksi määritellään mahdollisimman pieni vektorijoukko, joka virittää aliavaruuden. Jokainen aliavaruuden alkio
Koodausteoria, Kesä 2014
Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 3. Lineaariset koodit Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 2 / 22 3.1 Lineaarisen koodin määrittely Olkoon F äärellinen kunta.
Diskriminanttianalyysi I
Diskriminanttianalyysi I 12.4-12.5 Aira Hast 24.11.2010 Sisältö LDA:n kertaus LDA:n yleistäminen FDA FDA:n ja muiden menetelmien vertaaminen Estimaattien laskeminen Johdanto Lineaarinen diskriminanttianalyysi
Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
4. Käyrän lokaaleja ominaisuuksia
23 VEKTORIANALYYSI Luento 3 4 Käyrän lokaaleja ominaisuuksia Käyrän tangentti Tarkastellaan parametrisoitua käyrää r( t ) Parametrilla t ei tarvitse olla mitään fysikaalista merkitystä, mutta seuraavassa
Lineaarialgebra, kertausta aiheita
Lineaarialgebra, kertausta aiheita Matriisitulo käänteismatriisi determinantin kehittäminen determinantin ominaisuudet adjungaatti ja Cramerin kaavat yhtälöryhmän eri esitystavat Gauss-Jordan -algoritmi
Ratkaisuehdotukset LH 7 / vko 47
MS-C34 Lineaarialgebra, II/7 Ratkaisuehdotukset LH 7 / vko 47 Tehtävä : Olkoot M R symmetrinen ja positiividefiniitti matriisi (i) Näytä, että m > ja m > (ii) Etsi Eliminaatiomatriisi E R siten, että [
SPSS-pikaohje. Jukka Jauhiainen OAMK / Tekniikan yksikkö
SPSS-pikaohje Jukka Jauhiainen OAMK / Tekniikan yksikkö SPSS on ohjelmisto tilastollisten aineistojen analysointiin. Hyvinvointiteknologian ATK-luokassa on asennettuna SPSS versio 13.. Huom! Ainakin joissakin
MTTTP5, luento Luottamusväli, määritelmä
23.11.2017/1 MTTTP5, luento 23.11.2017 Luottamusväli, määritelmä Olkoot A ja B satunnaisotoksen perusteella määriteltyjä satunnaismuuttujia. Väli (A, B) on parametrin 100(1 - ) %:n luottamusväli, jos P(A
Koordinaatistot 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut
Koordinaatistot 1/6 Sisältö Koordinaatiston ja koordinaattien käsite Geometrisissa tehtävissä ja siten mös monissa kätännön ongelmissa on usein tarpeen ilmoittaa pisteiden sijainti jonkin kiinteän vertailussteemin
x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
Visualisointi kansanedustajista neljässä eri ulottuvuudessa
Visualisointi kansanedustajista neljässä eri ulottuvuudessa Jaakko Talonen talonen.dm@gmail.com Johdanto Helsingin Sanomat julkaisi eduskuntavaalien 2011 vaalikoneensa avoimena tietona. Vaalikoneen tietojen
Latinalaiset neliöt ja taikaneliöt
Latinalaiset neliöt ja taikaneliöt LuK-tutkielma Aku-Petteri Niemi Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 2018 Sisältö Johdanto 2 1 Latinalaiset neliöt 3 1.1 Latinalainen neliö.........................
Talousmatematiikan perusteet: Luento 11. Lineaarikuvaus Matriisin aste Käänteismatriisi
Talousmatematiikan perusteet: Luento 11 Lineaarikuvaus Matriisin aste Käänteismatriisi Viime luennolla Käsittelimme matriisien peruskäsitteitä ja laskutoimituksia Vakiolla kertominen, yhteenlasku ja vähennyslasku
Datanäytteiden piirteiden skaalaus/normalisointi (1)
Datanäytteiden piirteiden skaalaus/normalisointi (1) Datamassat, jotka syötetään samankaltaisuuksia useamman kuin yhden piirteen pohjalta hyödyntäviin koneoppimismenetelmiin, voivat tarvita esikäsittelykseen
Estimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman
Dynaamiset regressiomallit
MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Lauri Viitasaari Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016 Tilastolliset aikasarjat voidaan jakaa kahteen
1. OHJAAMATON OPPIMINEN JA KLUSTEROINTI
1. OHJAAMATON OPPIMINEN JA KLUSTEROINTI 1 1.1 Funktion optimointiin perustuvat klusterointialgoritmit Klusteroinnin onnistumista mittaavan funktion J optimointiin perustuvissa klusterointialgoritmeissä
Talousmatematiikan perusteet: Luento 10. Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi
Talousmatematiikan perusteet: Luento 10 Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi Lineaarikuvaus Esim. Yritys tekee elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta, jossa käytetään
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:
3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset
31 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 3 Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2292015 Lineaariset yhtälöt ovat vektoreille luonnollisia yhtälöitä, joita
Koodausteoria, Kesä 2014
Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 6. Ryöppyvirheitä korjaavat koodit Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 2 / 34 6.1 Peruskäsitteitä Aiemmin on implisiittisesti
[MTTTA] TILASTOMENETELMIEN PERUSTEET, KEVÄT 209 https://coursepages.uta.fi/mttta/kevat-209/ HARJOITUS 5 viikko 8 RYHMÄT: ke 2.5 3.45 ls. C6 Leppälä to 08.30 0.00 ls. C6 Korhonen to 2.5 3.45 ls. C6 Korhonen
Oletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon U R avoin joukko ja ϕ = (ϕ 1, ϕ, ϕ 3 ) : U R 3 kaksiulotteisen C 1 -alkeispinnan
Esimerkkejä vaativuusluokista
Esimerkkejä vaativuusluokista Seuraaville kalvoille on poimittu joitain esimerkkejä havainnollistamaan algoritmien aikavaativuusluokkia. Esimerkit on valittu melko mielivaltaisesti laitoksella tehtävään
Luento KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja
1 Luento 23.9.2014 KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja 2 Ristiintaulukko Esim. Toyota Avensis farmariautoja, nelikenttä (2x2-taulukko) 3 Esim. 5.2.6. Markkinointisuunnitelma
Lineaariset luokittelumallit: regressio ja erotteluanalyysi
Lineaariset luokittelumallit: regressio ja erotteluanalyysi Aira Hast Johdanto Tarkastellaan menetelmiä, joissa luokittelu tehdään lineaaristen menetelmien avulla. Avaruus jaetaan päätösrajojen avulla