1 Lausekkeiden sieventäminen: kertausta ja täydennystä

Transkriptio

1 SL_esim_L.wxm / 4 Lausekkeiden sieventäminen: kertausta ja täydennystä. Rationaalilausekkeet (%i) p:product(x(random(0)5), j,0,4); (%o) x x x (%i) expand(p); (%o) x 5 8 x 4 x 4 x x (%i) ratsimp(p); (%o) x 5 8 x 4 x 4 x x (%i4) factor(%); (%o4) x x x (%i5) ratsimp(%); (%o5) x 5 8 x 4 x 4 x x Osamurtokehitelmä jakaa rationaalifunktion yksinkertaisempien rationaalifunktioiden summaksi. (Osamurtokehitelmiä tarvitaaan mm. rationaalifunktioiden integroinnin yhteydessä.) (%i6) q:product(x(random(0)5), j,0,5); (%o6) x 4 x x x x 4 (%i7) p/q; x x (%o7) x 4 x x x x 4 (%i8) partfrac(p/q, x); (%o8) 448 x 4 0 x x 5 x 5 x 4 (%i) rat(%); (%o)/r/ x 4 8 x x 4 x x 5 x 4 x 6 x 6 x (%i0) factor(%); x x (%o0) x 4 x x x x 4 Polynomien jakoyhtälö: q/p = osamäärä jakojäännös/p, t.s. q = osamäärä*p jakojäännös (%i) osamaara:quotient(q, p); (%o) x (%i) jakojaannos:remainder(q, p); (%o) 8 x 4 0 x 0 x 8 x Vaihtoehtoisesti divide(q,p) antaa parin [osamaara, jakojaannos]

2 SL_esim_L.wxm / 4 (%i) divide(q, p); (%o) [ x, 8 x 4 0 x 0 x 8 x ] (%i4) q (osamaara*pjakojaannos); (%o4) x x x x 8 x 4 0 x 0 x x 4 x x x x 4 8 x (%i5) expand(%); (%o5) 0 (%i6) values; (%o6) [ p, q, osamaara, jakojaannos ] (%i7) ev(values); (%o7) [ x x x, x 4 x x x x 4, x, 8 x 4 0 x 0 x 8 x ] (%i8) kill(values); (%o8) done. Juurilausekkeet (%i) kill(values); (%o) done (%i0) sqrt(a^); (%o0) a (%i) (a^)^(); (%o) a (%i) sqrt(a*b); (%o) a b (%i) radcan(%); (%o) a b Monimutkaisten lausekkeiden vertaaminen onnistuu usein helpoiten tutkimalla niiden erotusta: (%i4) lauseke:(sqrt(r^ a^) a)*(sqrt(r^ b^) b)/r^; (%o4) r a a r r b b (%i5) lauseke:(sqrt(r^ a^) sqrt(r^ b^) a b)/ (sqrt(r^ a^) sqrt(r^ b^) a b); (%o5) r b r a b a r b r a b a (%i6) is(lauseke = lauseke); (%o6) false (%i7) ratsimp(lauseke lauseke); (%o7) 0. Trigonometriset lausekkeet

3 SL_esim_L.wxm / 4 (%i8) esim:(sin(x)^46*cos(x)^*sin(x)^4*(cos(x)^sin(x)^) 8*sin(x)cos(x)^4)/(8*cos(x)^); (%o8) sin x 4 6 cos x sin x 4 cos x sin x 8 sin x cos x 4 8 cos x (%i) trigrat(esim); cos 4 x 4 cos x 8 sin x (%o) cos x 6 cos x (%i0) trigsimp(esim); 4 sin x cos x (%o0) cos x (%i) expand(%); sin x (%o) cos x cos x (%i) esim:sech(x)^*sinh(x)*tanh(x)/coth(x)^ cosh(x)^*sech(x)^*tanh(x)/coth(x)^ sech(x)^*tanh(x)/coth(x)^; (%o) sech x sinh x tanh x cosh x sech x tanh x sech x tanh x coth x coth x coth x (%i) trigsimp(esim); (%o) sinh x 5 sinh x 4 sinh x cosh x 5 (%i4) trigrat(esim); (%o4) %e 0 x %e x %e 8 x 8 %e 7 x 4 %e 6 x %e 5 x 4 %e 4 x 8 %e x %e x %e x %e 0 x 5 %e 8 x 0 %e 6 x 0 %e 4 x 5 %e x (%i5) esim:sinh(x)^5 *(sinh(x)^4 6*cosh(x)^*sinh(x)^ cosh(x)^4) *(sinh(x)^ *cosh(x)^*sinh(x)) 0*cosh(x)^*sinh(x)^ 8*(sinh(x)^ cosh(x)^) 5*cosh(x)^4*sinh(x) 4*sinh(x) 6; (%o5) sinh x 5 sinh x 4 6 cosh x sinh x cosh x 4 sinh x cosh x sinh x 0 cosh x sinh x 8 sinh x cosh x 5 cosh x 4 sinh x 4 sinh x 6 (%i6) trigsimp(esim); (%o6) 6 sinh x 5 6 sinh x 4 sinh x (%i7) trigrat(esim); (%o7) %e 5 x %e 0 x %e x %e 8 x 8 %e 7 x 4 %e 6 x %e 5 x 4 %e 4 x 8 %e x %e x %e x (%i8) expand(%); (%o8) %e 5 x x x %e 4 x %e 4 %e x 7 %e x 7 %e x 4 %e x %e %e 4 x %e 5 x 6 (%i) esim:sin((*%i)^); (%o) sin %i (%i40) trigexpand(esim); (%o40) sin %i

4 SL_esim_L.wxm 4 / 4 (%i4) expand(esim); (%o4) sin %i 5 (%i4) trigexpand(%); (%o4) %i cos 5 sinh sin 5 cosh (%i4) float(%); (%o4) %i (%i44) cabs(%); (%o44) (%i45) kill(values); (%o45) done Cardanon kaavat (%i46) kill(x); (%o46) done Kolmannen asteen yhtälö x^ a*x^ b*x c = 0 ratkaistaan Cardanon kaavoilla.. D>0 (%i47) equ:x^*x^4*x; (%o47) x x 4 x (%i48) wxplotd(equ, [x,0,]); Could not find/open font when opening font "arial", using internal nonscalable font Could not find/open font when opening font "arial", using internal nonscalable font (%t48) (%o48)

5 SL_esim_L.wxm 5 / 4 (%i4) wxplotd(equ, [x,,4]); Could not find/open font when opening font "arial", using internal nonscalable font Could not find/open font when opening font "arial", using internal nonscalable font (%t4) (%o4) (%i50) solve(equ=0,x); (%o50) [ x = %i / / %i, x = / %i %i, x = / / / ] (%i5) map(rectform, %); (%o5) [ x = / / / / %i / %i / 6 / 6 /, x =, x = / / ] (%i5) float(%); (%o5) [ x = %i, x = %i , x = ]. D<0 Vaikka polynomiyhtälön juuret ovatkin reaaliset, saattaa ratkaisukaavoista saada sellaisen kuvan, että juuret olisivat kompleksiset (juuren lauseke näyttää sisältävän imaginaariyksikön %i). (%i5) equ:x^*x^; (%o5) x x

6 SL_esim_L.wxm 6 / 4 (%i54) wxplotd(equ, [x,,]); Could not find/open font when opening font "arial", using internal nonscalable font Could not find/open font when opening font "arial", using internal nonscalable font (%t54) (%o54) (%i55) solve(equ=0,x); (%o55) [ x = %i / %i %i, x = %i 4/ %i, x = %i %i %i ] (%i56) juuret:map(rectform, %); (%o56) [ x = %i sin 4 π sin π cos π cos 4 π sin π cos π, x = %i sin 8 π sin π cos π cos 8 π sin π cos π, x = cos π ] (%i57) float(%); (%o57) [ x = , x = %i , x = ] (%i58) part(juuret, ); (%o58) x = %i sin 4 π sin π cos π cos 4 π sin π cos π (%i5) rhs(%); (%o5) %i sin 4 π sin π cos π cos 4 π sin π cos π (%i60) juurii:imagpart(%); (%o60) sin 4 π sin π cos π

7 SL_esim_L.wxm 7 / 4 (%i6) trigsimp(juurii); sin 4 π sin π cos π (%o6) (%i6) bfloat(juurii), fpprec:00; (%o6) [46 digits] b0 (%i6) float(%); (%o6) Juuret reaalisina, kun diskriminantti D < 0 Yhtälö x^ a*x^ b*x c = 0. cardano(a,b,c) palauttaa reaaliset juuret käyttäen trigonometrisia funktioita tapauksessa diskriminantti D<0 (casus irreducibilis). (%i64) cardano(a,b,c):=block([x,p,q,diskr,u,v,r,phi,z,z,z,eps], print(x^ a*x^ b*x c = 0), p:ba^/, q:ca*b/*a^/7, diskr:(q/)^(p/)^, if diskr<0 then ( r:sqrt((p/)^), phi:atan(sqrt(diskr)/r, q/(*r)), z:*sqrt(p/)*cos(phi/), z:*sqrt(p/)*cos(phi/*%pi/), z:*sqrt(p/)*cos(phi/4*%pi/) ), if diskr>0 then ( u:(q/sqrt(diskr))^(), v:p/(*u), eps:cos(*%pi/) %i*sin(*%pi/), z:uv, z:u*eps v*eps^, z:u*eps^ v*eps ), if diskr=0 then ( z:*signum(q)*(cabs(q)/)^(), z:signum(q)*(cabs(q)/)^(), z:signum(q)*(cabs(q)/)^() ), print("[diskr, p, q]>",[diskr, p, q]), return([za/, za/, za/]) )$ (%i65) equ:x^*x^; (%o65) x x (%i66) solve(equ=0,x); (%o66) [ x = %i / %i %i, x = %i 4/ %i, x = %i %i %i ] (%i67) map(rectform, %); (%o67) [ x = %i sin 4 π sin π cos π cos 4 π sin π cos π, x = %i sin 8 π sin π cos π cos 8 π sin π cos π, x = cos π ]

8 SL_esim_L.wxm 8 / 4 (%i68) float(%); (%o68) [ x = , x = %i , x = ] (%i6) cardano(,0,); x x = 0 [diskr, p, q]> [ 4,, ] (%o6) [ cos π, cos 8 π, cos 4 π ] (%i70) float(%); (%o70) [ , , ].4 D=0 (%i7) equ:x^*x; (%o7) x x (%i7) wxplotd(equ, [x,,]); Could not find/open font when opening font "arial", using internal nonscalable font Could not find/open font when opening font "arial", using internal nonscalable font (%t7) (%o7) (%i7) cardano(0,,); x x = 0 [diskr, p, q]> [ 0,, ] (%o7) [,, ] (%i74) solve(equ,x); (%o74) [ x =, x = ] (%i75) multiplicities; (%o75) [, ].5 Bombellin yhtälö, D<0 (%i76) equ:x^5*x4; (%o76) x 5 x 4

9 SL_esim_L.wxm / 4 (%i77) wxplotd(equ, [x,4,5]); Could not find/open font when opening font "arial", using internal nonscalable font Could not find/open font when opening font "arial", using internal nonscalable font (%t77) (%o77) (%i78) cardano(0,5,4); x 5 x 4 = 0 [diskr, p, q]> [, 5, 4 ] (%o78) [ 5 cos atan, 5 cos atan π, 5 cos atan 4 π ] (%i7) float(%); (%o7) [ 4.0, , ] (%i80) solve(equ=0,x); (%o80) [ x =, x =, x = 4 ] (%i8) float(%); (%o8) [ x = , x =.67448, x = 4.0 ] (%i8) cardanoc(a,b,c):=block([p,q,diskr,u,v,z,z,z,eps], print(x^ a*x^ b*x c = 0), p:ba^/, q:ca*b/*a^/7, diskr:(q/)^(p/)^, u:(q/sqrt(diskr))^(), v:p/(*u), eps:cos(*%pi/) %i*sin(*%pi/), z:uv, z:u*eps v*eps^, z:u*eps^ v*eps, print("[diskr, p, q]>",[diskr, p, q]), return([za/, za/, za/]) )$ (%i8) cardanoc(0,5,4); x 5 x 4 = 0 [diskr, p, q]> [, 5, 4 ] (%o8) [ %i %i 5 5, %i / %i %i %i /, %i / %i %i 5 ] %i

10 SL_esim_L.wxm 0 / 4 (%i84) map(rectform, %); (%o84) [ 5 cos atan, %i 5 atan sin 5 atan cos 5 atan 5 sin 5 cos atan 5 atan sin 5 atan cos 5 5 sin atan atan 5 cos, %i 5 atan sin 5 atan cos 5 atan 5 sin 5 cos atan 5 atan sin 5 atan cos 5 5 sin atan atan 5 cos ] (%i85) float(%); (%o85) [ 4.0, %i , %i ].6 D<0; Hilbertin matriisin ominaisarvot (%i86) kill(h)$ (%i87) h[j,k]:=(jk); (%o87) h j, k := j k (%i88) hm:genmatrix(h,,); (%o88) Matriisn hm ominaisarvot ovat polynomin determinant( hm x*ident() ) nollakohdat. (%i8) hm x*ident(); x (%o8) x x (%i0) determinant(%); (%o0) 5 x x 6 x 5 x 8 x

11 SL_esim_L.wxm / 4 (%i) charpoly(hm, x); (%o) 5 x x 6 x 5 x 8 x (%i) expand(%); (%o) x x 5 7 x (%i) cardano(/5, 7/70, 60); x x 5 7 x = 0 [diskr, p, q]> [ 60000, , ] (%o) [ 45 ] 655 cos atan 5 / , 655 cos atan 5 / π 45, 655 cos atan 5 / π (%i4) float(%); (%o4) [ , , ] (%i5) eigenvalues(hm); (%o5) [ [ %i %i / %i 655 %i / , %i 45 %i / %i 655 %i / , %i / %i / ], [,, ] ] (%i6) first(%); (%o6) [ %i %i / %i 655 %i / , %i %i / %i 655 %i / , %i / %i / ]

12 SL_esim_L.wxm / 4 (%i7) map(rectform, %); (%o7) [ %i ( 655 / / sin 655 / / / cos 655 cos sin sin atan 5 / / sin cos sin atan 5 / / atan 5 / 5748 atan 5 / 5748 atan 5 / / cos atan 5 / 5748 atan 5 / 5748 atan 5 / ] 400 ) 655 cos 655 / atan 5 / / sin atan 5 / / cos atan 5 / / ) / sin sin cos 655 / atan 5 / / sin atan 5 / / atan 5 / 5748 atan 5 / / cos sin atan 5 / 5748 atan 5 / / , %i ( atan 5 / / cos 45, %i atan 5 / / cos atan 5 / 5748 (%i8) float(%); (%o8) [ %i, %i , %i ] Differentiointia.

13 SL_esim_L.wxm / 4 (%i) diff(x^*sin(x), x); (%o) x sin x x cos x (%i00) 'diff(x^*sin(x)) = diff(x^*sin(x)); (%o00) del x sin x = x sin x x cos x del x Derivointimuuttuja on syytä ilmaista:. Elliptinen integraali (%i0) kill(t,s,m); (%o0) done (%i0) 'elliptic_e(t,m) = 'integrate( sqrt(m*sin(s)^), s,0,t); (%o0) elliptic_e t, m = t 0 m sin s d s (%i0) 'elliptic_ec(m) = 'integrate( sqrt(m*sin(s)^), s,0,%pi/); π (%o0) elliptic_ec m = 0 m sin s d s Elliptisen integraalin tarkkaa arvoa ei (poikkeustapauksia lukuunottamatta) pystytä esittämään alkeisfunktioiden avulla. (%i04) diff(elliptic_e(t,m), t); (%o04) m sin t (%i05) elliptic_e(0,m); (%o05) 0 (%i06) taylor(elliptic_e(t,m), t,0,0); (%o06)/t/ t m t 6 m 5 4 m t 45 m 60 m 6 m t m 4 50 m 008 m 64 m t Ellipsin kaarenpituus (%i07) kill(a,b,m); (%o07) done Ellipsin x^/a^ y^/b^ = kaarenpituus = 4*b*integrate(sqrt(m*sin(t)^),t,0,%pi/) = 4*b*elliptic_e(%pi/,m) = 4*b*elliptic_ec(m). Luku m:(a/b)^ on eksentrisyyden neliö (a pikkuakselin puolikkaan pituus, b vast. isoakselin). (%i08) (a:, b:)$ (%i0) m:(a/b)^; (%o0) 4 (%i0) 4*b*elliptic_ec(m); (%o0) 8 elliptic_ec 4

14 SL_esim_L.wxm 4 / 4 (%i) float(%); (%o) (%i) float([*%pi*a, *%pi*b]); (%o) [ , ] Ellipsin x^/a^ y^/b^ = piirtäminen onnistuu mukavimmin, kun käytetään parametriesitystä x = a*sin(t), y = b*cos(t), missä t on välillä [0,*%pi]. (%i) wxplotd([parametric, a*cos(t), b*sin(t), [t,0,*%pi]], [nticks,00], [gnuplot_preamble,"set size ratio "])$ Could not find/open font when opening font "arial", using internal nonscalable font Could not find/open font when opening font "arial", using internal nonscalable font (%t) (%i4) wxplotd([b*sqrt(x^/a^), b*sqrt(x^/a^)], [x,a,a], [nticks,00], [gnuplot_preamble,"set size ratio "])$ Could not find/open font when opening font "arial", using internal nonscalable font Could not find/open font when opening font "arial", using internal nonscalable font (%t4) (%i5) load(draw)$

15 SL_esim_L.wxm 5 / 4 (%i6) wxdrawd(user_preamble="set size ratio ", nticks=00, parametric( a*cos(t), b*sin(t), t,0,*%pi), color=red, parametric( a*cos(t), a*sin(t), t,0,*%pi), parametric( b*cos(t), b*sin(t), t,0,*%pi) )$ Could not find/open font when opening font "arial", using internal nonscalable font (%t6) (%i7) kill(a,b,m); (%o7) done.4 Usean muuttujan funktiot Derivaatta df(x,y)/dx = osittaisderivaatta muuttujan x suhteen (%i8) diff( f(x,y), x); (%o8) d d x f x, y Kokonaisdifferentiaali (%i) diff( f(x,y) ); (%o) d f x, y del y d d y d x f x, y del x (%i0) diff(x^*sin(y)); (%o0) x cos y del y x sin y del x 4 Integrointia 4. Määräämätön integraali (%i) integrate(x^*sin(x), x); (%o) x sin x x cos x Määräätty integraali (%i) integrate(x^*sin(x), x,0,*%pi); (%o) 4 π

16 SL_esim_L.wxm 6 / 4 4. Lasketaan kolminkertainen integraali (%i) 'integrate('integrate('integrate( (z^())/sqrt(z), z,0,y), y,0,x), x,0,); (%o) 0 x 0 y z d z d y d x 0 z Yksinkertainen lainausmerkki estää kyseisen komennon suorittamisen (tässä integrate), joten aluksi voidaan nähdä, mitä ollaan tekemässä. Integrointimuuttujista z ja y pitää kertoa, että ne ovat positiiviset; tätä Maxima ei osaa "lukea" tiedoista, että z on välillä [0,y], y on välillä [0,x] ja x on välillä [0,]: (%i4) integrate(integrate(integrate( (z^())/sqrt(z), z,0,y), y,0,x), x,0,); Is Is y positive, negative, or zero? pos; x positive, negative, or zero? pos; (%o4) (%i5) assume(x>0, y>0); (%o5) [ x > 0, y > 0 ] (%i6) integrate(integrate(integrate( (z^())/sqrt(z), z,0,y), y,0,x), x,0,); (%o6) (%i7) forget(x>0, y>0); (%o7) [ x > 0, y > 0 ] 4. (%i8) y:cos(x)/(5 4*cos(x)); cos x (%o8) 4 cos x 5 (%i) 'integrate(y, x,0,*%pi); (%o) π cos x d x 4 cos x 5 0 (%i0) i_arvo:ev(%, integrate); (%o0) π Lasketaan määräämätön integraali ja sijoitetaan siihen x=*%pi ja x=0; päätearvoerotuksen pitäisi antaa määrätyn integraalin arvon: (%i) int:integrate(y, x); (%o) atan sin x cos x 4 5 atan sin x cos x

17 SL_esim_L.wxm 7 / 4 (%i) ev(int, x=*%pi); (%o) 0 (%i) ev(int, x=0); (%o) 0 Määrätty integraali olisi siis tämän perusteella nolla. Integraalin laskeminen suoraan määrättynä integraalina antoi arvoksi %pi/. Kumpi on oikea arvo? Tarkastellaan funktion kuvaajaa: (%i4) wxplotd(y, [x,0,*%pi], [gnuplot_preamble,"set size ratio "])$ Could not find/open font when opening font "arial", using internal nonscalable font Could not find/open font when opening font "arial", using internal nonscalable font (%t4) Lasketaan määräämättömän integraalin derivaatta ja tarkistetaan, että se on sama kuin alkuperäinen integroitava: (%i5) diff(int, x); (%o5) sin x cos x 5 cos x cos x sin x 4 cos x sin x cos x cos x cos x sin x cos x (%i6) trigsimp(%); cos x (%o6) 4 cos x 5 Ongelma löytyy tästä: sinin ja kosinin rationaalilausekkeiden integrointi tehdään normaalisti sijoituksella tan(x/) = t, joka kelpaa vain välillä %pi < x < %pi; väli 0 < x < *%pi on väärä. (%i7) integrate(y, x,0,*%pi); (%o7) π (%i8) float(%); (%o8)

18 SL_esim_L.wxm 8 / 4 Tuloksen oikeellisuutta voi selvittää myös laskemalla määrätty integraali jollakin oleellisesti erilaisella tavalla,. Esimerkiksi komento romberg(lauseke, muuttuja_x, x_alaraja, x_ylaraja) laskee integraalin käyttäen numeerisia menetelmiä: (%i) romberg(y, x,0,*%pi); (%o) (%i40) float(i_arvo); (%o40) (%i4) values; (%o4) [ equ, juuret, juurii, hm, hermitianmatrix, nondiagonalizable, knowneigvals, knowneigvects, listeigvects, listeigvals, rightmatrix, leftmatrix, y, i_arvo, int ] (%i4) ev(%); (%o4) [ x 5 x 4, [ x = %i sin 4 π sin π cos π cos 4 π sin π cos π, x = %i sin 8 π sin π cos π cos 8 π sin π cos π, x = cos π ], sin 4 π sin π cos π, 4 atan cos x, false, false, false, false, [ ], [ ], [ ], [ ],, π 4 cos x 5, sin x cos x 4 5 atan sin x cos x ] 4 5 (%i4) kill(values); (%o4) done 4.4 (%i44) integrate(sin(x)^(*n), x,0,%pi); Is n positive, negative, or zero? pos; (%o44) β, n Tulos on ns. beetafunktio, beta(a,b) = gamma(a)*gamma(a)/gamma(ab), missä gamma(a) = integrate( t^(a)*%e^(t), t,0,inf). (%i45) assume(n>0); (%o45) [ n > 0 ] (%i46) facts(n); (%o46) [ n > 0 ] (%i47) integrate(sin(x)^(*n), x,0,%pi); (%o47) β, n (%i48) ev(%, n=6); (%o48) π 04

19 SL_esim_L.wxm / 4 (%i4) forget(n>0); (%o4) [ n > 0 ] (%i50) facts(); (%o50) [ ] 4.5 (%i5) 'integrate(x*sin(a*x)/(x^4 4), x); (%o5) x sin a x d x x 4 4 (%i5) ev(%, integrate); (%o5) ( a x 4 8 a sin a x a x 4 8 a cos a x x 4 4 cos a x a x 8 6 a x 4 a sin a x a x 8 6 a x 4 a d x cos a x a x4 8 a 4 sin a x a x 8 a cos a x x 4 4 cos a x d x x cos a x sin a x x cos a x x cos a x ) / ( a x 4 8 a sin a x a x 4 8 a a x 8 6 a x 4 a cos a x ) (%i5) int:'integrate(x*sin(a*x)/(x^4 4), x,minf,inf); (%o5) x sin a x d x x 4 4 (%i54) ev(int, integrate); Is a positive, negative, or zero? pos; π %e a sin a (%o54) (%i55) ev(int, integrate); Is a positive, negative, or zero? neg; π %e a sin a (%o55) 4.6 (%i56) poly:x^5 x ; (%o56) x 5 x (%i57) solve(poly = 0, x); (%o57) [ x = 5 / 54 %i 5 5 / 54 / 54 %i, x = 5 / 5, x = %i, x = %i ] / %i %i 5, x = / 54 (%i58) factor(poly); (%o58) x x x x

20 SL_esim_L.wxm 0 / 4 (%i5) partfrac(poly, x); (%o5) x 4 x 5 7 x x x 7 x x (%i60) integrate(poly, x); (%o60) x 4 x 5 d x x x 7 log x x 4 5 atan x 7 (%i6) integrate(poly, x), integrate_use_rootsof:true; %r 4 %r 5 log x %r %r in rootsof x x (%o6) 7 %r %r log x x 4 5 atan x 7

21 SL_esim_L.wxm / 4 (%i6) integrate(poly, x,0,); (%o6) ( / ( / 5/ 5/ / atan 8/ / 0 4/ 7 / / 5/ / 5/ / / log / 4/ 6 5/ / 5 7/ / 5/ / / log 8/ 7/ 6 / / ( / 5/ atan 8/ / 0 4/ / 5/ / / log log / 4/ 6 7/ 6 / 4 / 5/ 6 / 4/ ) 8/ 7/ 6 / 5 / 8/ 7/ 6 5/ / / / 4 / 5/ 6 / 4/ 8/ 7/ / / log / 5/ π ) / 5/ 5/ / atan 8/ / 0 4/ 7 / / 5/ / 5/ / 7/ log / 4/ 6 7/ / 5/ / 7/ log 5/ / 5 8/ 7/ 6 / 4 / 5/ 6 / 4/ 8/ 7/ / 5/ / / log / / 5/ / π ) / ( 4 / / / 88 / / 05 / / 88 5/ / 5 / / 88 7/ / / / / / 5/ 75 4/ / 4/ / 5 / / 5 4/ ) (%i6) %, numer; (%o6) (%i64) romberg(poly, x,0,); (%o64)

22 SL_esim_L.wxm / 4 5 Summien laskemisesta (%i65) load(simplify_sum)$ 5. (%i66) sum(n^p, n,,k); k (%o66) n p n = (%i67) %, simpsum; k (%o67) n p n = (%i68) simplify_sum(%); rat: replaced.0 by =.0 rat: replaced.0 by =.0 makelist: the fourth argument minus the third one must evaluate to a number; found: max i%, p.0.0 min i%, p.0 k (%o68) n p n = (%i6) sum(n^0, n,,k), simpsum; (%o6) 6 k k 0 55 k 66 k 7 66 k 5 k 5 k (%i70) sum(q^n, n,0,inf), simpsum; Is q positive, negative, or zero? neg; (%o70) q (%i7) sum(q^n, n,0,inf), simpsum; Is q positive, negative, or zero? zero; sum: sum is divergent. an error. To debug this try: debugmode(true); (%i7) sum(q^n, n,0,inf), simpsum; Is q positive, negative, or zero? pos; sum: sum is divergent. an error. To debug this try: debugmode(true); 5.

23 SL_esim_L.wxm / 4 (%i7) es_m:sum(n^(*m), n,,inf); (%o7) n = n m (%i74) simplify_sum(ev(es_m, m=)); (%o74) π 6 (%i75) simplify_sum(ev(es_m, m=)); (%o75) π 4 0 (%i76) simplify_sum(ev(es_m, m=)); (%o76) π 6 45 (%i77) zerobern:true$ (%i78) es_m = ()^(m)*(*%pi)^(*m)*bern(*m)/(*(*m)!); (%o78) n = n m = m m π m bern m m! (%i7) makelist( ()^(m)*(*%pi)^(*m)*bern(*m)/(*(*m)!), m,,0); (%o7) [ π 6, π 4 0, π 6 45, π 8 450, π 0 555, 6 π , π , 67 π , 4867 π , 746 π ] 5.4 (%i80) *sum(r^n*cos(n*x), n,,inf); (%o80) r n cos n x n = (%i8) simplify_sum(%); Is r positive, negative, or zero? neg; r cos x r (%o8) r cos x r (%i8) ratsimp(%); r (%o8) r cos x r 5.5

24 SL_esim_L.wxm 4 / 4 (%i8) s:sum(cos(n*x), n,,k); k (%o8) cos n x n = (%i84) s_simp:simplify_sum(s); sin x sin k x cos x cos k x cos x (%o84) cos x (%i85) s:diff(s, x); k (%o85) n sin n x n = (%i86) diff(s_simp, x); (%o86) sin x sin x sin k x cos x cos k x cos x cos x cos x sin k x k cos x sin k x k sin x cos k x sin x cos k x sin x cos x (%i87) s_simp:trigrat(%); k sin k x k sin k x (%o87) cos x Siis (%i88) s = s_simp; k (%o88) k sin k x k sin k x n sin n x = cos x n = (%i8) simplify_sum(s); (%o8) ( %i k %i sin x k cos x k sin k x k sin x %i k %i cos x %i k cos k x %i k sin x k cos x k sin k x k sin x %i k cos x %i k %i cos k x ) / ( 4 cos x 4 ) (%i0) trigrat(%); k sin k x k sin k x (%o0) cos x