Mikrotalousteoria 2, 2008, osa II
|
|
- Olivia Korhonen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Sisältö Mikrotalousteoria 2, 2008, osa II 1 Kuluttajan valintateorian aksioomat 1 2 Kuluttajan kulutusmahdollisuuksien joukko 3 3 Hyötyfunktion olemassaolo ja määrittely 3 4 Marginaalinen vaihtosuhde kahden hyödykkeen välillä 5 5 Marshallilaiset kysyntäfunktiot kun n Komparatiivista statiikkaa optimipisteen ympäristössä 7 7 Hicksiläiset kysyntäfunktiot kun n Epäsuoran hyötyfunktion johtaminen 10 9 Komparatiivista statiikkaa epäsuoralla hyötyfunktiolla Kuluttajan menofunktion johtaminen Slutskyn yhtälön johtaminen Paljastettujen preferenssien teoria Komparatiivista statiikkaa paljastettujen preferenssien aksioomalla Hintaindekseistä 17 1 Kuluttajan valintateorian aksioomat Kuluttajaksi kutsutaan joko yksittäistä henkilöä joka kuluttaa hyödykkeitä tarkasteltavassa taloudessa tai jotakin ihmisyhteisöä (esim. kotitaloutta), joka tekee yhdessä kulutuspäätöksensä. Kuluttajan valinta-avaruus on n- ulotteinen vektoriavaruus ja kuluttajan kuukausittainen valinta on yksi n- ulotteinen vektori X Ω, jonka komponentit ovat kuluttajan eri hyödykkeiden kulutusnopeudet (jotkin komponentit voivat olla myös nollia). 1
2 Kuluttajan valinta-avaruuden topologiaa koskevat aksioomat: 1) Jatkuvuusaksiooma. Kaikkien kulutettavana olevien kulutusnopeuskombinaatioiden muodostama joukko eli kuluttajan valinta-avaruus Ω on suljettu joukko, eli se sisältää kasautumis- ja reunapisteensä. Olkoon { Xk }, Xk Ω sallittujen kulutusnopeusvektorien jono siten, että X k X 0. Tällöin X 0 Ω eli X 0 on sallittu kulutusnopeusvektori. 2) Alhaalta rajoitettuus -aksiooma. Sallittujen kulutusnopeusvektorien joukko on alhaalta rajoitettu, koska negatiivisia kulutusnopeuksia ei ole. 3) Valinta-avaruuden yhtenäisyys ja konveksisuus -aksiooma. Kuluttajan valinta-avaruus on yhtenäinen konveksi joukko. Yhtenäisyys tarkoittaa, että avaruutta ei voida ilmaista pistevieraiden suljettujen joukkojen yhdisteenä. Joukon konveksisuus taas tarkoittaa, että X, Y Ω a X + (1 a) Y Ω, 0 a 1. Yhdessä nämä merkitsevät sitä, että kuluttajan valinta-avaruudessa ei ole reikiä ja kaikki hyödykkeet ovat täysin jaettavissa siten, että kuluttaja voi kuluttaa niitä mielivaltaisina osuuksina tietyistä kokonaisuuksista. Kuluttajan preferenssirelaatiota koskevat aksioomat: 4) Järjestysaksiooma. Kuluttajalla on täydellinen järjestysrelaatio (refleksiivinen, symmetrinen ja transitiivinen) yli sallittujen kulutusnopeusvektorien. Ts. X, Y Ω joko X Y tai Y X tai molemmat ehdot toteutuvat, jolloin X Y. Jokainen sallittu kulutusnopeusvektori X virittää kuluttajan preferenssirelaation määrittämän itsensä kanssa samanarvoisten kulutusnopeusvektorien muodostaman joukon (indifferenssiluokan), Y X, Y Ω. Jokainen kulutusnopeusvektori voi kuulua vain yhteen indifferenssiluokkaan. Indifferenssiluokat osittavat kuluttajan valinta-avaruuden toisistaan eroaviin (pistevieraisiin) luokkiin (tasokäyriin), jotka muodostavat preferenssirelaation mukaiset ekvivalenssiluokat. Jokainen sallittu kulutusnopeusvektori X0 Ω osittaa valinta-avaruuden kolmeen osajoukkoon: { X Ω X X0 }, { X Ω X X 0 } ja { X Ω X X0 }. 5) Tyydyttymättömyysaksiooma. Jos X on muilta komponenteiltaan identtinen Y :n kanssa ja x i > y i, eli ainoastaan vektorien i:nnet komponentit eroavat toisistaan, kulutajalle pätee X Y. Rationaalinen tulojensa puitteissa kuluttava kuluttaja ei saavuta koskaan saturaatiotasoa minkään hyödykkeen kulutuksessa, eli enemmän on aina parempi. 2
3 2 Kuluttajan kulutusmahdollisuuksien joukko Kuluttajan sallittujen kuukausittaisten kulutusnopeusvektorien X Ω R n valintaa rajoittavat seuraavat ehdot: 1) Negatiivisia kulutusnopeuksia ei sallita, eli x i 0, i 1,..., n, ja 2) Käytettävissä olevat kuukausittaiset varat M ovat kiinteät, p X p i x i M, missä p (p 1,..., p n ) on kulutettavana olevien hyödykkeiden yksikköhintavektori ja :lla merkitään pistetuloa. Jos kaikki varat kulutetaan, yo. epäyhtälö toteutuu yhtälönä. Tarkastellaan kahden hyödykkeen tapausta koordinaatistossa (x 1, x 2 ). Tällöin budjettiyhtälö (-suora) on muotoa M p 1 x 1 + p 2 x 2 x 2 M p 2 p 1x 1 p 2, x 2 x 1 p 1 p 2, ja sen kulmakerroin on johdettu yllä. Erisuuret käytettävissä olevat kuukausittaiset varat muodostavat koordinaatistoon yhdensuuntaisten suorien parven siten, että mitä kauempana origosta suora sijaitsee, sitä suurempia käytettävissä olevia varoja se vastaa. Kuluttajan valintaolosuhteet Kuluttajan oletetaan tekevän kuukausittaisen kulutuspäätöksensä yhdellä kertaa siten, että kuluttaja tuntee käytettävissä olevat varansa, hyödykkeiden yksikköhinnat sekä oman preferenssirelaationsa. Kuluttaja tekee valintansa siten, että hän saavuttaa mahdollisimman korkean hyötytason yllä esitettyjen rajoitteiden puitteissa. 3 Hyötyfunktion olemassaolo ja määrittely Kysymys: Voidaanko määritellä skalaariarvoinen kuvaus u : R n R, joka järjestää indifferenssiluokat preferenssirelaation mukaiseen suuruusjärjestykseen. Ts. onko olemassa funktio u jolle pätee u( X) u( Y ) kun X Y. Jos voidaan, tätä relaatiota kutsutaan kuluttajan hyötyfunktioksi. Yleisesti ottaen yllä kuvattua hyötyfunktiota ei voida määritellä, sillä jos esimerkiksi kuluttajan preferenssit ovat lexicografiset, niitä ei voida kuvata skalaariarvoisella hyötyfunktiolla. 3
4 Esim. Tarkastellaan valinta-avaruutta Ω R 2, X, Y Ω, X (x1, x 2 ) Y (y 1, y 2 ). Jos kuluttajalle pätee a) y 1 > x 1 Y X b) y 1 x 1 ja y 2 > x 2 Y X Tällöin kuluttajan preferenssejä kutsutaan lexicografisiksi. Tällainen kuluttaja pitää aina parempana tilannetta, että saa enemmän hyödykettä 1. Jos kuitenkin kahdessa tapauksessa molemmissa hyödykettä 1 saadaan yhtä paljon, x 1 y 1, tällöin kuluttaja pitää parempana tilannetta, jossa hyödykettä 2 saadaan enemmän. Lexicografisten preferenssien mukainen indifferenssiluokka redusoituu yhdeksi pisteeksi eikä jatkuvaksi relaatioksi (käyräksi). Tällainen kuluttaja käyttää aina kaikki rahansa hyödykkeeseen 1, eikä tällöin voida puhua kuluttajan valinnasta hyödykkeiden välillä. Näillä perusteluilla sivuutamme jatkossa lexicografisten preferenssien tapauksen. Koska epäjatkuvalla hyötyfunktiolla ei ole juuri käyttöä kuluttajan käyttäytymisen mallintamisessa, tarkastelemme seuraavaksi, millä oletuksilla kuluttajalle voidaan määritellä edellä kuvattu jatkuva hyötyfunktio. 6) Preferenssien jatkuvuusaksiooma. Joukot { X Ω X X0 } ja { X Ω X X0 } ovat suljettuja Ω:ssa X0 Ω. Ts. jos { X k } on sallittujen kulutusnopeusvektorien X k Ω jono siten, että X k X 0 k ja jono suppenee kohti X p :tä, X k X p, niin tällöin X p X 0. Tämä aksiooma lisättynä edellisiin on riittävä ehto sille, että kuluttajalle voidaan määritellä jatkuva hyötyfunktio. Em. väitteen yksityiskohtainen todistus löytyy Debreun kirjasta Theory of Value (1959) ss Todistus perustuu kuluttajan valinta-avaruuden tiheyteen ja konveksisuuteen sekä preferenssien jatkuvuuteen ja tyydyttymättömyyteen. Voidaan nimittäin osoittaa, että jos X Y niin Z Ω siten, että X Z Y. Tämän väitteen todistus perustuu joukkojen { Xi Ω X i X } ja { Xi Ω X i Y } epätyhjyyteen ja pistevierauteen, sillä vastaväite johtaa ristiriitaan Ω:n yhtenäisyyden kanssa. Hyötyfunktion jatkuvuustodistuksen vaiheet: Valitaan skalaarit a < b siten, että kun tarkastelemme joukkoa Λ Ω joka sisältää preferenssirelaation mukaisen Λ:n alimman indifferenssiluokan, jonka yksi edustaja on X 0, tällöin valitaan u( X 0 ) a. Vastaavasti valitaan u( X n ) b, missä X n on Λ:n korkeimman indifferenssiluokan edustaja. Lisäksi asetetaan u( X i ) u( X j ) kun Xi X j. Tarkastellaan sitten suljettuja joukkoja D x { X Λ X X1 } ja D x { X Λ X X1 }, X1 Λ. Määritellään sup D x ja inf D x ja osoite- 4
5 taan skalaarit u(supd x ) ja u(infd x ) yhtäsuuriksi. Tällöin olemme osoittaneet, että X 1 :n määrittämän indifferenssiluokan ja sen suhteen preferoitujen ja ei-prefereroitujen kulutusnopeuvektorien muodostamien joukkojen väliin ei mahdu valinta-avaruuden alkioita. Tämän jälkeen todistus laajennetaan koskemaan koko valinta-avaruutta Ω. Todistus takaa sen, että yksittäinen indifferenssirelaatio voi olla maksimissaan yhden pisteen levyinen. 4 Marginaalinen vaihtosuhde kahden hyödykkeen välillä Tarkastellaan hyötyä vakiotasolla u 0, u(x 1,..., x n ) u 0, ja kokonaisdifferentioidaan ko. lauseke: dx dx n du 0 0. x 1 x n Oletetaan nyt, että kaikkien muiden hyödykkeiden kulutusnopeudet pidetään vakioina, ja tarkastellaan hyötytason vakiona pitävää marginaalista vaihtosuhdetta hyödykkeiden k ja l välillä; dx i 0, i 1,..., n, i k, l. dx k + dx l 0 dx k x k x l dx l / x l / x k < 0. Tämä vastaa indifferenssikäyrän kulmakerrointa koordinaatistossa (x l, x k ). Differentioidaan indifferenssikäyrän kulmakerroin uudestaan x l :n suhteen indifferenssikäyrän muodon tutkimiseksi: x l ( ) dxk dx l ( ) x k x l x l ( 2 u x k x 2 l + ( x l ) 2 x k ) 2 u dx k x k x l dx l ( ( ) x l x k ( 2 u x l x 2 k ) dx k dx l + 2 u x l x k ) 2 x k ( ) ( ) 2 u x k x 2 l 2 u / x l x k x l / x k 2 u x l x l x k 2 u / x l x 2 k / x k 1 ( ) 3 x k x k x l [ ( x k ( ) 2 x k ) 2 2 u x l 2 x k x l 2 u ] ( 1 x l x k 5 ) 3 x k ( ) 2 2 u 2 u + x k x l x l x 2 k ( uk 2 u ll + u l 2 u kk 2u k u l u kl ),
6 missä u k / x k, u kl 2 u/ x k x l jne. Nyt viimeisimmän muodon sulkeissa oleva osa voidaan esittää neliömuotona ( ) ( ) u 2 k u ll + u 2 ull u l u kk 2u k u l u kl (u k, u l ) kl uk. u kl Tämä neliömuoto on negatiivisesti määritelty, jos u ll < 0 ja u ll u kk u kl 2 > 0; nämä ehdot toteutuvat hyötyfunktiosta tekemiemme oletusten perusteella. Koska sulkulausekkeiden edessä oleva kerroin on negatiivinen, voimme päätellä, että yo. osittaisderivaatta on positiivisesti määritelty eli indifferenssikäyrä em. koordinaatistossa on konveksi. 5 Marshallilaiset kysyntäfunktiot kun n 2 Hyödyn maksimointiongelma budjettirajoitteella kahden hyödykkeen tapauksessa on muotoa: u kk max x 1,x 2 u u(x 1, x 2 ) rajoitteella p 1 x 1 + p 2 x 2 M. Hyötyfunktiosta oletetaan: > 0 ja 2 u 2 < 0, i 1, 2. Muodostetaan Lagrangen funktio yhtälörajoitteisena, sillä positiiviset rajahyödyt takaavat sen, että optimipiste löytyy määrittelyalueen reunalta. max L u(x 1, x 2 ) + λ[m p 1 x 1 p 2 x 2 ]. x 1,x 2,λ Optimin välttämättömät ehdot ovat L 0 λp i 0, i 1, 2, L λ 0 M p 1x 1 p 2 x 2 0. (1) Johdetaan riittävät ehdot maksimipisteelle derivoimalla välttämättömät ehdot endogeenisten muuttujien suhteen: 2 L x u 2 L 2 11, u 21, 1 x 2 x 1 2 L 2 L u 12, x 1 x 2 x u 2 22, 2 2 L x 1 λ p 1, 2 L x 2 λ p 2, 2 L p 1, λ x 1 2 L p 2, λ x 2 2 L λ 0, u 2 ij 2 u, i, j 1, 2. x j 6 u l
7 Muodostetaan yo. osittaisderivaatoista reunustettu (bordered) Hessin matriisi (huomaa muunnettu rivi- ja sarakejärjestys): 0 p 1 p 2 H p 1 u 11 u 21. p 2 u 12 u 22 Riittävä ehto maksimille on, että yo. reunustettu Hessin matriisi on positiivisesti määritelty (Chiang, Third Edition s. 402), eli H 1 0, H 2 p 2 1 < 0, H 3 ( p 1 )[ p 1 u 22 + p 2 u 21 ] p 2 [p 2 u 11 p 1 u 12 ] p 2 1u p 1 p 2 u 12 p 2 2u 11 > 0, missä merkintä X tarkoittaa X:n determinanttia ja alaindeksit viittaavat pääminoreihin. Nyt H 3 voidaan esittää neliömuotona seuraavasti: ( ) ( ) H 3 p 2 1u p 1 p 2 u 12 p 2 u22 u 2u 11 (p 1, p 2 ) 12 p1. u 21 u 11 p 2 Tämä neliömuoto on positiivisesti määritelty kun u 22 > 0 ja u 11 u 22 u 2 12 > 0. Eo. oletukset hyötyfunktiosta toteuttavat ensimmäisen ehdon, joten jälkimmäinen ehto on riittävä maksimipisteelle; oletus, että u 12 on itseisarvoltaan pienempi kuin u 11 ja u 22 riittää. 6 Komparatiivista statiikkaa optimipisteen ympäristössä Yhtälöryhmä (1) sisältää 3 yhtälöä ja 3 tuntematonta (endogeenista) muuttujaa x 1, x 2, λ sekä 3 tunnettua (eksogeenista) muuttujaa p 1, p 2, M. Differentioidaan ko. yhtälöryhmä ja kirjoitetaan matriisimuodossa. u 11 u 21 p 1 dx 1 u 12 u 22 p 2 dx 2 p 1 p 2 0 dλ λ λ 0 x 1 x 2 1 dp 1 dp 2. dm Tarkastellaan endogeenisten muuttujien differentiaalien muodostaman vektorin (dx 1, dx 2, dλ) kerroinmatriisia (Jacobin matriisi). Jos Jacobin matriisista laskettu determinantti eroaa nollasta, yhtälöryhmä määrittelee implisiittifunktiolauseen mukaisesti yhtälöryhmän ratkaisupisteen ympäristössä seuraavat implisiittifunktiot x 1 f 1 (p 1, p 2, M), x 2 f 2 (p 1, p 2, M), λ f 3 (p 1, p 2, M), 7
8 missä * viittaa optimaaliseen arvoon. Koska Jacobin matriisi yhtyy reunustettuun Hessin matriisiin ja H 3 > 0, implisiittifunktiolauseen ehdot toteutuvat. Johdetaan seuraavaksi Cramerin säännöllä seuraavat komparatiivisen statiikan tulokset. x 1 1 λ u 21 p 1 p 1 H 3 0 u 22 p 2 x 1 p H 3 [p 1x 1 u 22 λp 2 2 p 2 x 1 u 21 ] < 0, x u 21 p 1 p 2 H 3 λ u 22 p 2 x 2 p H 3 [ p 2x 2 u 21 + λp 1 p 2 + p 1 x 2 u 22 ], x 1 M 1 0 u 21 p 1 H 3 0 u 22 p 2 1 p H 3 [p 2u 21 p 1 u 22 ] > 0, λ 1 u 11 u 21 λ p 1 H 3 u 12 u 22 0 p 1 p 2 x 1 1 H 3 [λ(p 1u 22 p 2 u 12 ) + x 1 (u 11 u 22 u 2 12 )], λ M 1 u 11 u 21 0 H 3 u 12 u 22 0 p 1 p H 3 [u 11u 22 u 2 12 ] < 0. 7 Hicksiläiset kysyntäfunktiot kun n 2 Menojen minimointiongelma hyötyrajoitteella kahden hyödykkeen tapauksessa; hyötyfunktio sama kuin edellä ja u 0 jokin kiinteä hyötytaso: min W p 1x 1 + p 2 x 2 + µ[u 0 u(x 1, x 2 )]. x 1,x 2,µ Välttämättömät ehdot ovat: W 0 p i µ 0, i 1, 2, W µ 0 u 0 u(x 1, x 2 ) 0. (2) Johdetaan seuraavaksi riittävät ehdot minimille. 2 W x µu 2 W 2 11, µu 21, 1 x 2 x 1 2 W 2 W µu 12, x 1 x 2 x µu 2 22, 2 2 W x 1 µ u 2 W 1, x 2 µ u 2, 8 2 W u 1, µ x 1 2 W u 2, µ x 2 2 W µ 2 0.
9 Muodostetaan reunustettu Hessin matriisi; huom. rivi- ja sarakejärjestys: 0 u 1 u 2 H u 1 µu 11 µu 21. u 2 µu 12 µu 22 Riittävä ehto minimille on, että yo. reunustettu Hessin matriisi on negatiivisesti määritelty, eli: H 1 0, H 2 u 2 1 < 0, H 3 u 1 [µu 1 u 22 + µu 2 u 21 ] u 2 [µu 1 u 12 µu 2 u 11 ] µ[u 2 1u 22 2u 1 u 2 u 12 + u 2 2u 11 ] < 0. Myöhemmin osoitamme, että optimitilanteessa pätee µ 1/λ, joten sekä µ että λ ovat positiivisia. Unohtamalla positiivinen kerroin µ, yo. hakasulkulauseke voidaan esittää seuraavana neliömuotona: ( ) ( ) u 2 1u 22 2u 1 u 2 u 12 + u 2 u22 u 2u 11 (u 1, u 2 ) 12 u1. u 21 u 11 u 2 Tämä neliömuoto on negatiivisesti määritelty, kun u 22 < 0 ja u 11 u 22 u 2 12 > 0. Eo. oletukset hyötyfunktiosta toteuttavat ensimmäisen ehdon, joten jälkimmäinen ehto on riittävä minimipisteelle; oletus, että u 12 on itseisarvoltaan pienempi kuin u 11 ja u 22 riittää. Yhtälöryhmä (2) sisältää 3 yhtälöä, 3 tuntematonta x 1, x 2, µ sekä 3 tunnettua muuttujaa p 1, p 2, u 0. Differentioidaan ko. ryhmä ja esitetään matriisimuodossa: µu 11 µu 21 u 1 dx 1 µu 12 µu 22 u 2 dx 2 u 1 u 2 0 dµ dp 1 dp 2. du 0 Tarkastellaan endogeenisten muuttujien muodostaman vektorin (dx 1, dx 2, dµ) kerroinmatriisia (Jacobin matriisi). Jos Jacobin matriisista laskettu determinantti eroaa nollasta, yhtälöryhmä määrittelee yhtälöryhmän ratkaisupisteen ympäristössä seuraavat implisiittifunktiot x 1 g 1 (p 1, p 2, u 0 ), x 2 g 2 (p 1, p 2, u 0 ), µ g 3 (p 1, p 2, u 0 ), missä * viittaa optimaaliseen arvoon. Koska Jacobin matriisi yhtyy reunustettuun Hessin matriisiin ja H 3 < 0, implisiittifunktiolauseen ehdot toteutuvat. Johdetaan seuraavaksi Cramerin säännöllä seuraavat komparatiivisen 9
10 statiikan tulokset. x µu 21 u 1 p 1 H 3 0 µu 22 u 2 0 u 2 0 u 2 2 < 0, (3) H 3 x µu 21 u 1 p 2 H 3 1 µu 22 u 2 0 u 2 0 u 1u 2 > 0, (4) H 3 x µu 21 u 1 0 H 3 0 µu 22 u 2 1 u 2 0 µ H 3 [u 2u 21 u 1 u 22 ] > 0, (5) µ 1 µu 11 µu 21 1 p 1 H 3 µu 12 µu 22 0 u 1 u 2 0 µ H 3 [u 1u 22 u 2 u 12 ] > 0, (6) µ 1 µu 11 µu H 3 µu 12 µu 22 0 u 1 u 2 1 µ2 H 3 [u 11u 22 u 2 12 ] > 0. 8 Epäsuoran hyötyfunktion johtaminen Hyödyn maksimointiongelma (7) max X u u( X) rajoitteella p X M, p (p 1,..., p n ), X (x1,..., x n ), missä :llä merkitään vektorien pistetuloa, p X n p ix i. Muodostetaan Lagrangen funktio yhtälörajoitteisena, sillä positiiviset rajahyödyt kaikilla hyödykkeillä takaavat sen, että optimipiste löytyy määrittelyalueen reunalta. Välttämättömät ehdot ovat: max L u( X) + λ[m X,λ p i x i ]. L 0 λp i, i 1,..., n, L λ 0 M p i x i. 10
11 Yo. yhtälöryhmä sisältää n+1 yhtälöä, n+1 tuntematonta x 1,..., x n, λ sekä n+1 eksogeenista muuttujaa p 1,..., p n, M. Tiettyjen oletusten ollessa voimassa yhtälöryhmällä on olemassa seuraava yksikäsitteinen ratkaisu x i D i (p 1,..., p n, M) D i ( p, M), i 1,..., n, λ λ(p 1,..., p n, M) λ( p, M), (8) missä D i, i 1,..., n merkitään Marshallilaisia kysyntäfunktioita erotuksena Hicksiläisiin. Määritellään kuluttajan epäsuora hyötyfunktio seuraavasti: u u(x 1,..., x n) u ( D 1 ( p, M),..., D n ( p, M) ). Epäsuoran hyötyfunktion derivaatta M:n suhteen on M D i M. Sijoitetaan edelliseen ensimmäisen kertaluvun ehdot optimitilanteessa: M λ D i p i M. (9) Kun budjettiyhtälöön sijoitetaan Marshallilaiset kysyntäfunktiot saadaan: M p i x i p i D i ( p, M). (10) Derivoimalla edellinen M:n suhteen saadaan: 1 Sijoitetaan tämä (9):een, jolloin saadaan p i D i M. M λ; kuluttajan optimitilanteessa λ:n arvo siis vastaa tulon rajahyötyä M. 11
12 9 Komparatiivista statiikkaa epäsuoralla hyötyfunktiolla D i. Sijoittamalla tähän edellä johdetut ensimmäisen kertaluvun ehdot saadaan: λ Budjettiyhtälöstä (10) saadaan puolittain derivoimalla dm dp j 0 x j + Sijoittamalla tämä (11):een saadaan: p i D i. (11) p i D i x j λx j, p i D i mitä kutsutaan Roy n identiteetiksi. Koska optimitilanteessa λ / M, Roy n identiteetti voidaan myös esittää muodossa: ( ) ( ) x j /. M Koska x j 0 ja / M 0 niin / 0. Siis x j on sitä suurempi mitä suurempi absoluuttiselta arvoltaan on /, ja mitä pienempi on / M. 10 Kuluttajan menofunktion johtaminen Kuluttajan menojen minimointiongelma min X p i x i rajoitteella u(x 1,..., x n ) u 0, x i 0, i 1,..., n. Muodostetaan Lagrangen funktio yhtälörajoitteella: min L X,µ p i x i + µ[u 0 u( X)]. 12
13 Optimoinnin välttämättömät ehdot ovat: L 0 p i µ, i 1,..., n, L µ 0 u 0 u(x 1,..., x n ). Yo. yhtälöryhmässä on n+1 kpl tuntemattomia x 1,..., x n, µ ja n+1 kpl yhtälöitä sekä n+1 kpl eksogeenisia parametreja, p 1,..., p n, u 0. Hicksiläiset kysyntäfunktiot ja Lagrangen kerroin µ saadaan tietyin oletuksin ratkaistua ensimmäisen kertaluvun ehdoista muotoon: x i h i (p 1,..., p n, u 0 ) h i ( p, u 0 ), i 1,..., n, µ µ(p 1,..., p n, u 0 ) µ( p, u 0 ). Määritellään kuluttajan menofunktio seuraavasti: M ( p, u 0 ) p i h i ( p, u 0 ) p 1 h 1 ( p, u 0 ) + + p n h n ( p, u 0 ). Komparatiivista statiikkaa kuluttajan menofunktiolla Menofunktion derivaatta hinnan p j suhteen on M h j ( p, u 0 ) + p i x i. Sijoittamalla n ensimmäistä ensimmäisen kertaluvun ehtoa edelliseen, saadaan: M h j ( p, u 0 ) + µ x i h j ( p, u 0 ) + µ Ehdosta u 0 u(x 1,..., x n ) saadaan puolestaan: 0 0 Sijoittamalla tämä (12), saadaan: x i, i 1,..., n. M h j ( p, u 0 ) x j, mikä oltaisiin saatu myös suoraan Envelope -teoreeman avulla. 13 x i. (12)
14 11 Slutskyn yhtälön johtaminen Kuluttajan optimitilanteessa jokaisen hyödykkeen Marshallilaisen ja Hicksiläisen kysyntäfunktion arvot ovat samat (optimoinnin duaaliteoria), eli h i ( p, u ( p, M) ) D i ( p, M), i 1,..., n, (13) missä u 0 :n paikalle on asetettu epäsuora hyötyfunktio u 0 u ( p, M). Yhtälö ilmaisee hyödykkeiden kulutusnopeudet kiinteiden tulojen M funktiona kahdella tavalla. Derivoidaan hyödykettä i koskeva yhtälö hinnan p j :n suhteen: h i + h i 0 D i. (14) Yhtälön oikea puoli mittaa hyödykkeen i Marshallilaisen kysyntäfunktion arvon muutosta hinnan p j marginaalisen muutoksen seurauksena. Vasen puoli taas osoittaa sen, miten tämä muutos voidaan jakaa Hicksiläisen kysyntärelaation avulla kahteen osamuutokseen. Suure h i mittaa hinnan p j muutoksen aiheuttaman hyödykkeiden hintasuhteen muutoksen aikaansaamaa hyödykkeen i optimaalisen kulutusnopeuden muutosta kiinteällä hyötytasolla (osittaisderivaatan määritelmä). Suure h i 0 puolestaan mittaa hinnan p j muutoksen aiheuttamaa hyödykkeen i optimaalisen kulutusnopeuden muutosta hyötytason muutoksen kautta hintasuhteen ollessa kiinteä. Edellä johdimme tulokset λx j ja M Yhtälöstä (13) saadaan derivoimalla M:n suhteen h i 0 M D i M. Käytetään nyt näitä tuloksia hyväksi suureen h i 0 muuntamisessa. Niiden avulla se voidaan kirjoittaa muodossa h i 0 Sijoittamalla tämä (14):een, saadaan: D i M x j. h i D i M x j D i, mitä nimitetään Slutskyn yhtälöksi. 14 λ. (15)
15 12 Paljastettujen preferenssien teoria Oletukset: 1) Tarkastellaan kuluttajan kuukausittaista kulutusvalintaa, jonka ajatellaan tapahtuvan yhdellä kertaa. Kuluttajan käytettävissä olevat varat M (eur/kk) ja hyödykkeiden yksikköhinnat p (p 1,... p n ) ovat kiinteät ja kaikki varat kulutetaan. 1) Yksi tietty kulutusnopeusvektori X (x1,..., x n ) valitaan jokaisella hintavektorilla p ja varoilla M. Ts. jokaisella kulutusnopeusvektorilla X 1 (x 11,... x 1n ) on olemassa tietty yksikäsitteinen hintavektori p 1 (p 11,..., p 1n ) sekä käytettävissä olevat varat M 1, joilla se valitaan. 3) Ajatellaan, että jokainen realisoitunut (havaittu) kuluttajan valitsema kulutusnopeusvektori X on kuluttajan hyödyn maksimoiva valinta vallitsevilla hinnoilla ja kuluttajan käytettävissä olevilla varoilla. 4) Kuluttajan valinnat ovat konsistentteja, ts. jos X 0 on valittu ja myös X 1 oltaisiin voitu valita vallitsevilla hinnoilla p 0 ja varoilla M 0, niin silloin kun X 1 valitaan, X0 :aa ei voida valita (varat eivät riitä). Ts. kuluttajalle pätee X 0 X 1. Sama formaalisti. Olkoon hintavektori p 0 ja varat M 0 ne joilla X 0 valitaan. Jos myös X 1 oltaisiin voitu valita hinnoilla p 0 ja varoilla M 0, niin tällöin p 01 x p 0n x 1n p 0 X 1 M 0 p 0 X 0 p 01 x p 0n x 0n p 0i x 0i Olkoon p 1 se hintavektori jolla X 1 valitaan varoilla M 1. Tällöin X 0 :aa ei olisi voitu valita, eli Ehtoa p 11 x p 1n x 0n p 1 X 0 > p 1 X 1 p 11 x p 1n x 1n. p 0 X 1 p 0 X 0 p 1 X 0 > p 1 X 1 kutsutaan paljastettujen preferenssien heikoksi aksioomaksi. Se tarkoittaa sitä, että jos X 0 valitaan kun X 1 :kin olisi voitu valita, niin silloin kun X 1 valitaan, X 0 :aa ei voida valita (varat ei riitä). 13 Komparatiivista statiikkaa paljastettujen preferenssien aksioomalla Olkoon p 0 lähtötilanteen hintavektori ja X 0 kuluttajan sitä vastaava valinta, ja olkoon X 1 hintavektoria p 1 vastaava valinta. Merkitään M 2 :lla niitä varoja, 15
16 joilla kuluttaja voi juuri kuluttaa X 0 :n hinnoilla p 1, p 1 X 0 M 2. Olkoon X 2 kuluttajan optimaalinen valinta varoilla M 2 ja hinnoilla p 1. Nyt p 1 X 0 M 2 p 1 X 2. (16) Koska X 2 valitaan vaikka X 0 :kin olisi voitu valita hinnoilla p 1 ja varoilla M 2, niin kuluttajalle pätee X 2 X 0. Koska kuluttaja valitsee X 0 :n hinnoilla p 0, niin tällöin hän ei voi valita X 2 :sta (paljastetut preferenssit), eli p 0 X 0 < p 0 X 2. (17) Nyt (16) p 1 ( X 0 X 2 ) 0 ja (17) p 0 ( X 0 X 2 ) < 0. Vähennetään nämä toisistaan p 1 ( X 0 X 2 ) p 0 ( X 0 X 2 ) ( p 1 p 0 ) ( X 0 X 2 ) > 0. Kerrotaan edellinen 1:llä, ( p 1 p 0 ) ( X 2 X 0 ) < 0 (p 1i p 0i )(x 2i x 0i ) < 0. (18) Oletetaan nyt, että hintavektorit p 1, p 0 eroavat toisistaan vain p j osalta, p 0i p 1i i, i j, eli että vain j:nnen hyödykkeen yksikköhinta muuttuu. Tällöin (18) tulee muotoon (p 1j p 0j )(x 2j x 0j ) < 0 p j x j < 0, sillä muut summalausekkeen termit ovat nollia. Hyödykkeen j kulutusnopeus muuttuu siis eri suuntaan kuin sen yksikköhinta. Nyt p 1 X 0 M 2 ja p 0 X 0 M 0. Kuluttajan varojen muutos, joka pitää X 0 :n juuri saavutettavissa olevana, on nyt M M 2 M 0 p 1 X 0 p 0 X 0 ( p 1 p 0 ) X 0. Jos nyt vain j:nnen hyödykkeen yksikköhinta muuttuu, M p j x 0j. (19) Nyt p j :n vaikutus kuluttajan optimaaliseen hyödykkeen j kulutusnopeuteen voidaan dekomponoida kahteen osamuutokseen, joista edellinen on seuraus varojen muutoksesta (tulovaikutus) ja jälkimmäinen hyödykkeiden hintasuhteiden muutoksesta (substituutiovaikutus), x 1j x 0j (x 1j x 2j ) + (x 2j x 0j ); 16
17 x 1j ja x 0j ovat j:nnen hyödykkeen optimaaliset kulutusnopeudet hintavektoreilla p 1 ja p 0. Jaetaan yo. yhtälö p j :llä, x 1j x 0j p j x 1j x 2j p j + x 2j x 0j p j. Nyt (19):sta voidaan ratkaista p j M/x 0j. Sijoitetaan tämä edelliseen, x 1j x 0j p j x 1j x 2j x 0j M +x 2j x 0j p j x j x j x 0j + x j M. p j M p vakio p j vakio Yllä diskreetisti johdettu komparatiivisen statiikan tulos vastaa Slutskyn yhtälöä, ja se johdettiin ilman mitään oletusta hyötyfunktiosta. Slutskyn yhtälön substituutiovaikutus (osamuutos hyödyn pysyessä vakiona) korvautuu yllä osavaikutuksena varojen (tai kulutusmenojen) säilyessä vakiona, ja tulovaikutus on molemmissa sama hintamuutoksesta johtuva reaalitulojen muutos. Hyötyfunktion avulla johdettu kuluttajan hyödyn maksimointiteoria ja paljastettujen preferenssien teoria voidaan osoittaa sillä tavalla ekvivalenteiksi, että vastaavat komparatiivisen statiikan tulokset voidaan johtaa kummankin teorian avulla. 14 Hintaindekseistä Jatketaan paljastettujen preferenssien teorian tarkastelua. Olkoot X 0 ja X 1 ne kulutusnopeusvektorit, jotka kuluttaja valitsee varoilla M 0 ja M 1 sekä yksikköhinnoilla p 0 ja p 1. Siis M 0 p 0 X 0 ja M 1 p 1 X 1. Viitatkoon nyt alaindeksit 0, 1 eri ajanhetkiin. Kysymys: Millä ehdoilla kuluttajan hyvinvointi hetkellä 1 on lisääntynyt hetkeen 0 verrattuna, kun sekä käytettävissä olevat varat että yksikköhinnat ovat muuttuneet? Oletetaan, että p 1 X 1 p 1 X 0, (20) eli että kuluttaja voisi hetkellä 1 valita myös X 0 :n (vaikka valitsee X 1 :n). Tällöin siis kuluttajalle pätee X 1 X 0. Jaetaan (20) puolittain M 0 p 0 X 0 > 0:lla, M 1 p 1 X 1 M 0 p 0 X p 1 X 0 0 p 0 X LP, (21) 0 missä LP :llä merkitään Laspeyresin hintaindeksiä. LP -indeksissä yksikköhintojen muutoksen p 0 p 1 painoina käytetään lähtötilanteen kulutusnopeuksia X 0. Jos siis kuluttajan käytettävissä olevien varojen (tulojen) 17
18 suhdeluku (muutos) on vähintään menojen suhdeluku (muutos) siten, että menot lasketaan painottamalla yksikköhintoja lähtötilanteen kulutusvalinnalla (LP -indeksi), kuluttajan hyvinmvoinnin voidaan sanoa lisääntyneen. Jos kaavassa (20) epäyhtälön merkki on päinvastainen, kuluttajan hyvinvoinnin muutoksen suuntaa ei voida päätellä LP -indeksin avulla. Oletetaan seuraavaksi, että p 0 X 0 p 0 X 1, (22) jolloin kuluttajalle pätee X 0 X 1 (kuluttaja voisi hetkellä 0 valita myös X 1 :n). Kaava (22) voidaan myös esittää muodossa, Kerrotaan (23) puolittain M 1 p 1 X 1 > 0:llä, 1 p 0 X 0 1 p 0 X 1. (23) M 1 M 0 p 1 X 1 p 0 X 0 p 1 X 1 p 0 X 1 P P, (24) missä P P :llä merkitään Paaschen hintaindeksiä. Siinä yksikköhintojen muutosta p 0 p 1 painotetaan kuluttajan hetken 1 kulutusvalinnalla, ja näin laskettujen menojen muutosta verrataan varojen (tulojen) muutokseen. Jos yllä oleva epäyhtälö toteutuu, kuluttajan hyvinvointi on heikentynyt lähtötilanteeseen verrattuna. Jos epäyhtälön merkki kaavassa (24) on päinvastainen, kuluttajan hyvinvoinnin muutoksen suuntaa ei voida päätellä P P - indeksin avulla. Yo. hintaindeksien avulla ei siis aina voida päätellä, mihin suuntaan kuluttajan hyvinvointi muuttuu yksikköhintojen ja tulojen muuttuessa, sillä kuluttajan preferenssit vaikuttavat asiaan. Yksittäistä kuluttajaa tarkastelemalla ei myöskään voida päätellä koko väestön hyvinvoinnin muutoksen suuntaa, sillä hintamuutokset kohtelevat ihmisiä eri tavoilla riippuen heidän preferensseistään. Käyttämällä esimerkiksi kuluttajahintaindeksin mukaisia eri hyödykkeiden meno-osuuksia yksikköhintojen painoina, saadaan muodostettua keskimääräisen kuluttajan menojen muutosta kuvaava suhdeluku. Koko väestön hyvinvoinnin muutoksen suuntaa voidaan tämän jälkeen arvioida vertaamalla tätä suhdelukua kuluttajien keskimääräiseen käyt. ol. varojen (tulojen) suhdelukuun. 18
1 Komparatiivinen statiikka ja implisiittifunktiolause
Taloustieteen matemaattiset menetelmät 27 materiaali 4 Komparatiivinen statiikka ja implisiittifunktiolause. Johdanto Jo opiskeltu antaa nyt valmiu tutkia taloudellisia malleja Kiinnostava malli voi olla
Lisätiedot1 Rajoittamaton optimointi
Taloustieteen matemaattiset menetelmät 7 materiaali 5 Rajoittamaton optimointi Yhden muuttujan tapaus f R! R Muistutetaan mieleen maksimin määritelmä. Funktiolla f on maksimi pisteessä x jos kaikille y
LisätiedotLuento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa
Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Lagrangen kerroin Oletetaan aluksi, että f, g : R R. Merkitään (x 1, x ) := (x, y) ja johdetaan Lagrangen kerroin λ tehtävälle min f(x, y) s.t. g(x, y) = 0 Olkoon
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016 Antti Rasila
Lisätiedot2 Osittaisderivaattojen sovelluksia
2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2.1 Ääriarvot Yhden muuttujan funktiolla f(x) on lokaali maksimiarvo (lokaali minimiarvo) pisteessä a, jos f(x) f(a) (f(x) f(a)) kaikilla x:n arvoilla riittävän lähellä
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
Lisätiedot1 Rajoitettu optimointi I
Taloustieteen mat.menetelmät 2017 materiaali II-1 1 Rajoitettu optimointi I 1.1 Tarvittavaa osaamista Matriisit ja vektorit, matriisien de niittisyys Derivointi (mm. ketjusääntö, Taylorin kehitelmä) Implisiittifunktiolause
Lisätiedot12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa
179 12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa Tarkastelemme tässä luvussa useamman muuttujan (eli vektorimuuttujan) n reaaliarvoisia unktioita : R R. Edellisessä luvussa todettiin, että riittävän säännöllisellä
Lisätiedot1. Etsi seuraavien funktioiden kriittiset pisteet ja tutki niiden laatu: (a.) f(x,y) = 20x 2 +10xy +5y 2 (b.) f(x,y) = 4x 2 2y 2 xy +x+2y +100
HARJOITUS, RATKAISUEHDOTUKSET, YLE 07.. Etsi seuraavien funktioiden kriittiset pisteet ja tutki niiden laatu: (a.) f(x,y) = 0x +0xy +5y (b.) f(x,y) = 4x y xy +x+y +00 (a.) Funktion kriittiset pisteet ratkaisevat
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
Lisätiedot, on säännöllinen 2-ulotteinen pinta. Määrää T x0 pisteessä x 0 = (0, 1, 1).
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 017 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset 4.1. Osoita, että tasa-arvojoukko S F (0), F : R 3 R, F (x) = 3x 1 x 3 + e x + x e x 3, on säännöllinen
LisätiedotSekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
LisätiedotHarjoitus 7: vastausvihjeet
Taloustieteen matemaattiset menetelmät 31C01100 Kevät 2017 Topi Hokkanen topi.hokkanen@aalto.fi Harjoitus 7: vastausvihjeet 1. (Epäyhtälörajoitteet) Olkoon f (x, y) = 6x + 4y ja g (x, y) = x 2 + y 2 2.
LisätiedotLineaariavaruudet. Span. Sisätulo. Normi. Matriisinormit. Matriisinormit. aiheita. Aiheet. Reaalinen lineaariavaruus. Span. Sisätulo.
Lineaariavaruudet aiheita 1 määritelmä Nelikko (L, R, +, ) on reaalinen (eli reaalinen vektoriavaruus), jos yhteenlasku L L L, ( u, v) a + b ja reaaliluvulla kertominen R L L, (λ, u) λ u toteuttavat seuraavat
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.
MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21
Lisätiedot= 2±i2 7. x 2 = 0, 1 x 2 = 0, 1+x 2 = 0.
HARJOITUS 1, RATKAISUEHDOTUKSET, YLE11 2017. 1. Ratkaise (a.) 2x 2 16x 40 = 0 (b.) 4x 2 2x+2 = 0 (c.) x 2 (1 x 2 )(1+x 2 ) = 0 (d.) lnx a = b. (a.) Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: x = ( 16)± (
LisätiedotMalliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 3.2.27 Tehtävä. Valmisohjelmistolla voidaan ratkaista tehtävä min c T x s. t. Ax b x, missä x, c ja b R n ja A R m n. Muunnetaan tehtävä max x + 2x 2 + 3x 3 + x s. t. x + 3x 2 + 2x
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a
Lisätiedot2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo
2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo Ratkaisun olemassaolon tutkimiseen tarvitaan perustietoja konvekseista joukoista ja lineaarialgebrasta. Niitä tarvitaan myös ratkaisualgoritmin ymmärtämiseen. Tutkitaan
Lisätiedotmin x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-39 Optimointioppi Kimmo Berg 6 harjoitus - ratkaisut min x + x x + x = () x f = 4x, h = x 4x + v = { { x + v = 4x + v = x = v/ x = v/4 () v/ v/4
LisätiedotKuluttajan valinta ja kysyntä. Viime kerralta. Onko helppoa ja selvää? Mitä tänään opitaan?
6..00 Viime kerralta Kuluttajan valinta ja kysyntä Y56 Luento 3 5..00 Preferenssit valintojen arvostus, järjestäminen Indifferenssikäyrät Rajakorvattavuussuhde Hyöty Hyötyfunktiot Rajahyöty Onko heloa
Lisätiedotf(x 1, x 2 ) = x x 1 k 1 k 2 k 1, k 2 x 2 1, 0 1 f(1, 1)h 1 = h = h 2 1, 1 12 f(1, 1)h 1 h 2
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 7 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotukset 6.. Olkoon f : G R, G = {(x, x ) R x > }, f(x, x ) = x x. Etsi differentiaalit d k f(, ), k =,,. Ratkaisu:
LisätiedotAntti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Lisätiedot1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa:
1 Kertaus Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa: min c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n kun a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2 (11) a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio.
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Riikka Korte Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 3
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus
LisätiedotMikrotalousteoria 2, 2008, osa I
Mikrotalousteoria 2, 2008, osa I Kirjallisuus (soveltuvin osin): 1) Gravelle & Rees: Microeconomics 2) Estola: Kansantaloustieteen perusteet 3) Chiang: Fundamental methods of Mathematical Economics 4)
LisätiedotKuva 1: Funktion f tasa-arvokäyriä. Ratkaisu. Suurin kasvunopeus on gradientin suuntaan. 6x 0,2
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon f : R R f(x 1, x ) = x 1 + x Olkoon C R. Määritä tasa-arvojoukko Sf(C) = {(x 1, x
LisätiedotLuento 11: Rajoitusehdot. Ulkopistemenetelmät
Luento 11: Rajoitusehdot. Ulkopistemenetelmät ja sisäpistemenetelmät Lagrangen välttämättömien ehtojen ratkaiseminen Newtonin menetelmällä Jos tehtävässä on vain yhtälörajoituksia, voidaan minimipistekandidaatteja
Lisätiedotb 1. b m ) + ( 2b Ax) + (b b)
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-9 Optimointioppi Kimmo Berg 5 harjoitus - ratkaisut min Ax b (vertaa PNS-tehtävät) a x + + a n x n a) Ax b = a m x + + a mn x n = x a a m }{{}
LisätiedotBM20A0900, Matematiikka KoTiB3
BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 Luennot: Matti Alatalo Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luvut 1 4. 1 Sisältö Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt
LisätiedotDerivaatat lasketaan komponenteittain, esimerkiksi E 1 E 2
MS-C50 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset syksy 07. Oletetaan että vektorikenttä E E E E : R R on kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva E C R. Näytä että E E. Derivaatat lasketaan komponenteittain
LisätiedotI I K UL U UT U T T A T JANTE T O E R O I R A
II KULUTTAJANTEORIA.. Budjettirajoite * Ihmisten kaikkea toimintaa rajoittavat erilaiset rajoitteet. * Mikrotalouden kurssilla tärkein rajoite on raha. * Kuluttaja maksimoi hyötyään, mutta ei kykene toteuttamaan
LisätiedotOletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon U R avoin joukko ja ϕ = (ϕ 1, ϕ, ϕ 3 ) : U R 3 kaksiulotteisen C 1 -alkeispinnan
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta 8..206 Gripenberg, Nieminen, Ojanen, Tiilikainen, Weckman Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi
Lisätiedot1 Rajoitettu optimointi II - kustannusfunktio, Lagrangen kertoimet varjohintoina
Taloustieteen mat.menetelmät syksy27 materiaali II-2 Rajoitettu optimointi II - kustannusfunktio, Lagrangen kertoimet varjohintoina. Tuotanto Yritys valmistaa yhtä tuotetta n:stä tuotannontekijästä/panoksesta
LisätiedotMatemaattinen Analyysi / kertaus
Matemaattinen Analyysi / kertaus Ensimmäinen välikoe o { 2x + 3y 4z = 2 5x 2y + 5z = 7 ( ) x 2 3 4 y = 5 2 5 z ) ( 3 + y 2 ( 2 x 5 ( 2 7 ) ) ( 4 + z 5 ) = ( 2 7 ) yhteys determinanttiin Yhtälöryhmän ratkaiseminen
Lisätiedota) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS:
6. Käänteiskuvaukset ja implisiittifunktiot 6.1. Käänteisfunktion olemassaolo 165. Määritä jokin piste, jonka ympäristössä funktiolla f : R 2 R 2, f (x,y) = (ysinx, x + y + 1) a) on lokaali käänteisfunktio,
LisätiedotPiiri K 1 K 2 K 3 K 4 R R
Lineaarinen optimointi vastaus, harj 1, Syksy 2016. 1. Teollisuuslaitos valmistaa piirejä R 1 ja R 2, joissa on neljää eri komponenttia seuraavat määrät: Piiri K 1 K 2 K 3 K 4 R 1 3 1 2 2 R 2 4 2 3 0 Päivittäistä
LisätiedotKäänteismatriisi 1 / 14
1 / 14 Jokaisella nollasta eroavalla reaaliluvulla on käänteisluku, jolla kerrottaessa tuloksena on 1. Seuraavaksi tarkastellaan vastaavaa ominaisuutta matriiseille ja määritellään käänteismatriisi. Jokaisella
Lisätiedotr > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että avoin kuula on avoin joukko ja suljettu kuula on suljettu joukko. Ratkaisu.
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
Lisätiedotw + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.
Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 14. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot Ääriarvon laadun tarkastelu
Talousmatematiikan perusteet: Luento 14 Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot Ääriarvon laadun tarkastelu Luennolla 6 Tarkastelimme yhden muuttujan funktion f(x) rajoittamatonta optimointia
Lisätiedot=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin
FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)
Lisätiedotja nyt tässä tapauksessa a = 1, b=4 ja c= -5, ja x:n paikalle ajattelemme P:n.
Harjoitukset 2, vastauksia. Ilmoittakaa virheistä ja epäselvyyksistä! 1. b (kysyntäkäyrä siirtyy vasemmalle) 2. c (kysyntäkäyrä siirtyy oikealle) 3. ei mikään edellisistä; oikea vastaus olisi p 2
LisätiedotEllipsoidimenetelmä. Samuli Leppänen Kokonaislukuoptimointi. S ysteemianalyysin Laboratorio
Ellipsoidimenetelmä Kokonaislukuoptimointi Sovelletun matematiikan lisensiaattiseminaari Kevät 2008 / 1 Sisällys Ellipsoidimenetelmän geometrinen perusta ja menetelmän idea Formaali ellipsoidimenetelmä
LisätiedotMalliratkaisut Demot
Malliratkaisut Demot 5 2.2.28 Tehtävä a) Tehtävä voidaan sieventää muotoon max 5x + 9x 2 + x 3 s. t. 2x + x 2 + x 3 x 3 x 2 3 x 3 3 x, x 2, x 3 Tämä on tehtävän kanoninen muoto, n = 3 ja m =. b) Otetaan
Lisätiedot1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi.
Algoritmien DP ja MF vertaileminen tapahtuu suoraviivaisesti kirjoittamalla kummankin leskimääräinen kustannus eksplisiittisesti todennäköisyyksien avulla. Lause T MF ave = 1 + 2 1 i
LisätiedotDemo 1: Simplex-menetelmä
MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 3 Ehtamo Demo 1: Simplex-menetelmä Muodosta lineaarisen tehtävän standardimuoto ja ratkaise tehtävä taulukkomuotoisella Simplex-algoritmilla. max 5x 1 + 4x
Lisätiedotläheisyydessä. Piirrä funktio f ja nämä approksimaatiot samaan kuvaan. Näyttääkö järkeenkäyvältä?
BM20A5840 - Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2017 1. Tunnemme vektorit a = [ 1 2 3 ] ja b = [ 2 1 2 ]. Laske (i) kummankin vektorin pituus (eli itseisarvo, eli normi); (ii) vektorien
Lisätiedot2. Teoriaharjoitukset
2. Teoriaharjoitukset Demotehtävät 2.1 Todista Gauss-Markovin lause. Ratkaisu. Oletetaan että luentokalvojen standardioletukset (i)-(v) ovat voimassa. Huomaa että Gauss-Markovin lause ei vaadi virhetermien
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 15. Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä Lagrangen kerroin ja varjohinta
Talousmatematiikan perusteet: Luento 15 Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä Lagrangen kerroin ja varjohinta Viime luennolla Tarkastelimme usean muuttujan funktioiden rajoittamatonta optimointia:
LisätiedotLineaarinen optimointi. Harjoitus 6-7, Olkoon A R m n, x, c R ja b R m. Osoita, että LP-tehtävän. c T x = min!
Lineaarinen optimointi Harjoitus 6-7, 016. 1. Olkoon A R m n, x, c R ja b R m. Osoita, että LP-tehtävän c T x = min! (T) Ax b x 0 duaalitehtävän duaali on tehtävä (T). Ratkaisu. (P) c T x = min! Ax b x
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) MS-A0207 Hakula/Vuojamo Kurssitentti, 12.2, 2018, arvosteluperusteet
ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) MS-A27 Hakula/Vuojamo Kurssitentti, 2.2, 28, arvosteluperusteet T Moniosaisten tehtävien osien painoarvo on sama ellei muuta ole erikseen osoitettu. Kokeessa
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä.
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016
LisätiedotMat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5
Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5 1. Kotitehtävä. 2. Lasketaan aluksi korkoa korolle. Jos korkoprosentti on r, ja korko maksetaan n kertaa vuodessa t vuoden ajan, niin kokonaisvuosikorko
LisätiedotLiittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.
Liittomatriisi Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä (cof A) ij =( 1) i+j det A ij kaikilla i, j = 1,...,n. Huomautus 8 Olkoon A 2 M(n, n). Tällöin kaikilla
LisätiedotDuaalisuus kokonaislukuoptimoinnissa. Mat , Sovelletun matematiikan tutkijaseminaari, kevät 2008, Janne Karimäki
Duaalisuus kokonaislukuoptimoinnissa Mat-2.4191, Sovelletun matematiikan tutkijaseminaari, kevät 2008, Janne Karimäki Sisältö Duaalisuus binäärisissä optimointitehtävissä Lagrangen duaalisuus Lagrangen
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
LisätiedotKuluttajan teoriaa tähän asti. Luento 6. Hyötyfunktion ja indifferenssikäyrien yhteys. Kuluttajan hyöty. Laajennuksia. Kuluttajan ylijäämä
Kuluttajan teoriaa tähän asti Valintojen tekemistä niukkuuden vallitessa - Tavoitteen optimointia rajoitteella Luento 6 Kuluttajan ylijäämä 8.2.2010 Budjettirajoite (, ) hyödykeavaruudessa - Kulutus =
Lisätiedot802118P Lineaarialgebra I (4 op)
802118P Lineaarialgebra I (4 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2012 Lineaarialgebra I Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M206 Kurssin kotisivu
LisätiedotKulutus. Kulutus. Antti Ripatti. Helsingin yliopisto, HECER, Suomen Pankki Antti Ripatti (HECER) Kulutus
Kulutus Antti Ripatti Helsingin yliopisto, HECER, Suomen Pankki 13.11.2013 Antti Ripatti (HECER) Kulutus 13.11.2013 1 / 11 Indifferenssikäyrät ja kuluttajan teoria Tarkastellaan edustavaa kotitaloutta.
LisätiedotVEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4
VEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4 Jokaisen tehtävän jälkeen on pieni kommentti tehtävään liittyen Nämä eivät sisällä mitään kovin kriittistä tietoa tehtävään liittyen, joten niistä ei tarvitse välittää
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 5 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 5 () Numeeriset menetelmät 3.4.2013 1 / 28 Luennon 5 sisältö Luku 4: Ominaisarvotehtävistä Potenssiinkorotusmenetelmä QR-menetelmä
LisätiedotKannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 13. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu
Talousmatematiikan perusteet: Luento 13 Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu Viime luennolla Aloimme tarkastella yleisiä, usean muuttujan funktioita
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Lokaalit ääriarvot Yhden muuttujan funktion f (x) lokaali maksimi on piste x 0, jossa f (x) on suurempi kuin muualle pisteen x 0 ympäristössä, eli kun f (x 0 )
Lisätiedot1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin
LisätiedotVektoreiden virittämä aliavaruus
Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden
LisätiedotMS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2)
MS-A4 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ELEC2) MS-A6 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ENG2) Harjoitukset 3L, syksy 27 Tehtävä. a) Määritä luvun π likiarvo käyttämällä Newtonin menetelmää yhtälölle
Lisätiedot1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät
1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n
LisätiedotLineaarikuvauksen R n R m matriisi
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:
Lisätiedot5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 21. tammikuuta 2016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta
LisätiedotTenttiin valmentavia harjoituksia
Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta
LisätiedotJYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. 3. Luennon sisältö
JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO 3. Luennon sisältö Lineaarisen optimointitehtävän sallittu alue Optimointitehtävien muunnoksia Lineaarisen yhtälöryhmän perusmuoto ja perusratkaisut Lineaarisen optimointitehtävän
LisätiedotOptimaalisuusehdot. Yleinen minimointitehtävä (NLP): min f(x) kun g i (x) 0 h j (x) = 0
Optimaalisuusehdot Yleinen minimointitehtävä (NLP): min f(x) kun g i (x) 0 h j (x) = 0 i = 1,..., m j = 1,..., l missä f : R n R, g i : R n R kaikilla i = 1,..., m, ja h j : R n R kaikilla j = 1,..., l
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 14. Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä: yksi yhtälörajoitus Lagrangen menetelmä: monta yhtälörajoitusta
Talousmatematiikan perusteet: Luento 14 Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä: yksi yhtälörajoitus Lagrangen menetelmä: monta yhtälörajoitusta Viime luennolla Tarkastelimme usean muuttujan funktioiden
LisätiedotTehtäväsarja I Tehtävät 1-5 perustuvat monisteen kappaleisiin ja tehtävä 6 kappaleeseen 2.8.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Tehtävät -5 perustuvat monisteen kappaleisiin..7 ja tehtävä 6 kappaleeseen.8..
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
Lisätiedotf(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.
Ääriarvon laatu Jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaali ääriarvokohta (x 0, y 0 ) on aina kriittinen piste (ts. f x (x, y) = f y (x, y) = 0, kun x = x 0 ja y = y 0 ), mutta kriittinen piste ei ole aina
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2
LisätiedotEnnakkotehtävän ratkaisu
Ennakkotehtävän ratkaisu Ratkaisu [ ] [ ] 1 3 4 3 A = ja B =. 1 4 1 1 [ ] [ ] 4 3 12 12 1 0 a) BA = =. 1 + 1 3 + 4 0 1 [ ] [ ] [ ] 1 0 x1 x1 b) (BA)x = =. 0 1 x 2 x [ ] [ ] [ 2 ] [ ] 4 3 1 4 9 5 c) Bb
LisätiedotMATEMATIIKAN ALKEET II (YE19B), SYKSY 2011
MATEMATIIKAN ALKEET II (YE19B), SYKSY 011 Sisältö 1. Matriisin definiittisyys 1. Konkaavit ja konveksit funktiot 3 3. Ääriarvotehtävien toisen kertaluvun riittävät ehdot 7 3.1. Rajoittamaton ääriarvotehtävä
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotLuento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi.
Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi. Konveksisuus Muista. + αd, α 0, on pisteessä R n alkava puolisuora, joka on vektorin d suuntainen. Samoin 2
Lisätiedot5 Differentiaaliyhtälöryhmät
5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =
LisätiedotMatriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain
Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti
Lisätiedot