PREPPAUSMATERIAALIA KURSSIN SOVELTAVA SÄHKÖMAGNETIIKKA PÄÄTE- JA LOPPUKOKEESEEN

Transkriptio

1 PREPPAUSMATERIAALIA KURSSIN SOVELTAVA SÄHKÖMAGNETIIKKA PÄÄTE- JA LOPPUKOKEESEEN Aluksi tässä materiaalissa on selostettu, mitä päätekokeessa tulee osata. Tässä osassa on viitattu myöhemmin esitettyihin tehtäviin, joilla kunkin asian osaamista voi testata. Laskujen lopputulokset ovat materiaalissa myöhemmin, tehtävien jälkeen. Monet tehtävistä ovat vanhoja tenttitehtäviä. Hyödyllistä materiaalia Tuomo Nygrénin luentomateriaalin lisäksi ovat fysiikan peruskurssin kirja Young&Freedman: University Physics (mikä painos tahansa käy) ja Sähkö- ja magnetismiopin luentomoniste linkissä Pieniä teoriapläjäyksiä ja esimerkkilaskuja löytyy linkistä Joitakin asioita voi löytyä luonnontieteilijöiden Sähkömagnetismin luentomateriaalista helpommin kuin Soveltavan sähkömagnetiikan materiaalista Käsitteet Soveltavan sähkömagnetiikan pääte- ja loppukokeissa on yleensä ensimmäisenä kysymyksenä tehtävä, jossa kysytään käsitteitä. Tässä tehtävässä on yleensä kuusi kohtaa. Pääte- ja loppukokeessa kysytyt käsitteet ovat ehkä hiukan yleisempiä kuin osatenteissä kysytyt. Esimerkkejä näet linkissä Muistilista: -selitä kaikki symbolit, joita olet käyttänyt -merkitse vektorit vektorimerkillä, mutta älä laita vektorimerkkiä skalaariin, se on pahan näköistä -muista, että pistetulosta tulee skalaari, ristitulosta vektori -tarkista, että yhtäsuuruusmerkin molemmilla puolilla on joko pelkästään vektori tai pelkästään skalaari eli esimerkiksi A B C, A B C, E ja j B -jos samassa lausekkeessa on useita vektoreita, niiden välissä täytyy olla + tai tai tai. -vektori ei voi olla nimittäjänä murtolausekkeessa

2 Osa : Matemaattisia apuneuvoja 1. Osaatko laskea divergenssit ja roottorit karteesisessa koordinaatistossa, sylinterikoordinaatistossa ja pallokoordinaatistossa? Testaa tarvittaessa osaamisesi laskun T.1 avulla.. Muistatko tai osaatko määrittää pinta-alkion ds karteesisessa koordinaatistossa, pallokoordinaatistossa ja sylinterikoordinaatistossa sekä sylinterin kannessa että vaipalla? Osaatko määrittää tilavuusalkion dv (voidaan merkitä myös dτ) näissä kolmessa koordinaatistossa. Katso tarvittaessa linkistä: Osa 1: Pistevarausten aiheuttama Coulombin voima ja sähkökenttä 1. Osaatko laskea usean pistevarauksen aiheuttaman voiman yhteen pistevaraukseen? Testaa osaamisesi laskun T 1.1 avulla.. Osaatko laskea usean pistevarauksen aiheuttaman sähkökentän tietyssä avaruuden pisteessä? Jos et ole varma, testaa osaamisesi laskun T 1. avulla.. Osaatko laskea jatkuvan varaustiheyden aiheuttaman sähkökentän tietyssä avaruuden pisteessä? Testaa osaamisesi laskun T 1. avulla. Teoriaa ja esimerkkilaskuja tämän osan aiheeseen löytyy luentomateriaalin lisäksi linkeistä: ta.pdf an_laskeminen.pdf Osa : Gaussin laki (Älä välitä, vaikka osa tulee ennen osa :ta. Syy tälle löytyy historiasta:) 1. Ymmärrätkö käsitteen sähkökentän vuo? Testaa osaamisesi tehtävillä T.1 ja T... Ymmärrätkö käsitteet viivavaraus, varauskate ja varaustiheys? Osaatko laskea niiden avulla kokonaisvarauksen tietyssä alueessa? Testaa osaamisesi tehtävällä T., T.4, T.5, ja T.6.. Osaatko käyttää Gaussin lakia pallosymmetrisissä, sylinterisymmetrisissä ja tasosymmetrisissä tilanteissa? Testaa osaamisesi tehtävillä T.7, T.8, T.9.

3 4. Jos olet ihan ulalla Gaussin lain suhteen, harjoittele sen käyttöä syksyn 1 kotitehtävän avulla: 5. Osaatko valita oikean menetelmän, kun pitää laskea sähkökenttä? Apua tähän löytyy alla olevasta linkistä. (Myöhemmin käsitellään muitakin menetelmiä.) an_laskeminen.pdf Esimerkkilaskuja tämän osan aiheeseen löytyy linkistä: kayttaminen.pdf Osa : Sähköstaattinen potentiaali ja pistevaraussysteemin potentiaalienergia 1. Osaatko laskea sähkökentän, jos tiedät potentiaalin lausekkeen? Testaa osaamisesi tehtävällä T.1.. Osaatko laskea potentiaalin, kun tiedät sähkökentän lausekkeen? Testaa osaamisesi tehtävillä T. ja T.. (Joudut käyttämään Gaussin lakia, että saat sähkökentän lausekkeen.). Osaatko laskea usean pistevarauksen aiheuttaman potentiaalin tietyssä pisteessä? Testaa osaamisesi tehtävällä T.4 ja T Osaatko laskea jatkuvan varausjakauman aiheuttaman potentiaalin tietyssä pisteessä? Testaa osaamisesi tehtävällä T Osaatko laskea pistevaraussysteemin potentiaalienergian? Testaa osaamisesi tehtävillä T.7 ja T Ymmärrätkö, mikä on sähköinen dipoli? Osaatko johtaa dipolin aiheuttaman potentiaalin ja sähkökentän? Osaatko johtaa dipolin potentiaalienergian sähkökentässä ja sähkökentän dipoliin aiheuttaman voiman momentin? Jos et ole varma, kertaa nämä asiat luentomonisteesta ja tarvittaessa peruskurssin kirjasta tai peruskurssin luentomonisteesta. Testaa laskemalla tehtävä T.9, osaatko käsitellä dipoliin liittyviä ilmiöitä. Esimerkkilaskuja tämän luvun aiheeseen löytyy linkeistä: df

4 df f Osa 4: Eristeet 1. Ymmärrätkö, mitä eristeelle tapahtuu sähkökentässä? Jos et ole varma, lue näistä asioista Tuomo Nygrénin luentomonisteesta ja lisää esimerkiksi linkistä Tunnetko eristeen sähköstatiikan keskeiset käsitteet: dipolimomentti, dipolimomenttitiheys, polarisoituma, sähköinen permittiivisyys, eristevakio, sähköinen suspektiivisuus, polarisaatiovarauskate, polarisaatiovaraustiheys, sähkövuon tiheys? Testaa osaamistasi laskemalla tehtävä T Ymmärrätkö, mitä sähkökentälle tapahtuu kahden eristeen rajapinnalla? Testaa osaamisesi laskemalla tehtävä T Osaatko käyttää Gaussin lakia eristeelle? Testaa osaamisesi laskemalla tehtävä T 4.. Esimerkkilaskuja tähän kappaleeseen löytyy linkeistä Osa 5: Johteet 1. Ymmärrätkö, mitä johteelle tapahtuu sähkökentässä? Testaa osaamisesi tehtävillä T 5.1 ja T 5... Ymmärrätkö, miten kondensaattori toimii? Osaatko laskea erimuotoisten kondensaattoreiden kapasitanssin? Osaatko laskea kondensaattorin energian? Ymmärrätkö, mitä tapahtuu kapasitanssille ja energialle, kun kondensaattorin sisälle laitetaan eristettä? Osaatko määrittää rinnakkain ja sarjaan kytkettyjen kondensaattoreiden kapasitanssin? Osaatko määrittää kapasitanssin tapauksissa, joissa kondensaattori sisältää kahta tai useampaa erilaista eristettä? Jos olet epävarma näistä asioista, kertaa asia peruskurssin kirjasta tai monisteesta ja Tuomo Nygrénin luentomonisteesta. Muutamia perusasioita voit kerrata tehtävän T 5. avulla.. Osaatko määrittää sähkökentän energiatiheyden ja energian jossakin alueessa? Testaa osaamisesi tehtävän T 5.4 avulla.

5 4. Ymmärrätkö sähköstaattisen potentiaalienergian ja sähköisen voiman välisen yhteyden? Tätä voi harjoitella tehtävän T 5.5 avulla. Esimerkkilaskuja tämän luvun aiheeseen löytyy linkeistä: df f Osa 6: Sähköstaattisia laskentamenetelmiä 1. Osaatko käyttää Poissonin yhtälöä potentiaalin ja sähkökentän laskemiseksi tasosymmetrisessä, sylinterisymmetrisessä ja pallosymmetrisessä tilanteessa? Jos olet epävarma, kertaa asia luentomonisteesta. Testaa osaamisesi tehtävällä T Ymmärrätkö reunaehtojen merkityksen eli osaatko laskea esimerkiksi potentiaalin lausekkeen varatun pallon ulkopuolella, missä ρ =? Testaa osaamisesi tehtävällä T 6... Ymmärrätkö, miten kuvalähdeperiaatteen käyttö helpottaa laskemista? Jos olet epävarma, kertaa luentomonisteesta tai lue asia linkistä f Voit tarvittaessa harjoitella kuvalähdeperiaatteen käyttöä laskemalla tehtävän T 6.. Yllä olevassa linkissä on esimerkkilaskuja tämän osan asioista. Osa 7: Magneettikentät ja niiden määrittäminen Teoriaa ja esimerkkilaskuja näihin asioihin on linkissä _maarittaminen.pdf 1. Tunnetko seuraavat käsitteet ja osaatko esittää ne matemaattisesti: Lorentz-voima, sähkövirta, virtatiheys, magneettivuon tiheyden lähteettömyys, Ampèren laki, magneettinen skalaaripotentiaali ja vektoripotentiaali, Biot-Savartin laki, Ampeerin määritelmä, Coulombin mitta, virtajohtimien välinen voima, magneettimomentti, virtasilmukkaan kohdistuva voiman momentti ja virtasilmukan potentiaalienergia magneettikentässä?

6 . Osaatko käyttää Ampèren lakia erilaisissa symmetrioissa? Tätä harjoitellaan tehtävissä T 7.1 T Osaatko laskea lyhyiden suorien johtimien ja ympyränmuotoisten virtasilmukoiden aiheuttaman B-kentän käyttäen Biot-Savartin lakia? Näitä voit harjoitella tehtävän T 7.9 avulla. 4. Osaatko valita oikean menetelmän magneettikentän laskemiseen? Tästä on puhuttu linkissä _maarittaminen.pdf 5. Muuta magneettikenttiin liittyvää voit harjoitella tehtävillä T 7.7, T 7.8 ja 7.1. Osa 8: Magneettiset materiaalit Teoriaa ja esimerkkilaskuja tämän osan asioihin luentomateriaalien lisäksi on linkissä a_magneettikentan_energia.pdf 1. Tunnetko magneettisiin materiaaleihin liittyvät käsitteet, kuten mageettimomentti, magnetoitumavirta, virtakate, magnetoituma, magnetoitumavirtatiheys, magneettikentän voimakkuus, Ampèren laki materiaalissa, magneettinen suskeptiivisuus, suhteellinen permiabilisuus, ferromagnetismi, paramagnetismi, diamagnetismi, hysteresisilmiö, Weissin alue, ferrimagneetti, antiferromagneetti, Curie-piste?. Tiedätkö, miten magneettikenttä käyttäytyy kahden aineen rajapinnalla?. Tähän aiheeseen liittyviä laskuja ovat T 8.1 ja T 8.. Osa 1: Sähkömagneettinen induktio Teoriaa ja esimerkkejä tämän osan asioihin on luentomateriaalien lisäksi linkissä tio.pdf 1. Tehtävän T 1.1 avulla voit testata, osaatko käyttää Lenzin lakia.. Tehtävä T 1. mittaa keskinäisinduktanssikäsitteen ymmärtämistä.

7 . Tehtävässä T 1. lasketaan magneettikentän vuota, keskinäisinduktanssia ja indusoitunutta jännitettä erilaisissa systeemeissä. Osa 11: Magneettikentän energia Teoriaa ja esimerkkejä tämän osan asioihin luentomateriaalin lisäksi on linkissä a_magneettikentan_energia.pdf Tehtävä T 11.1 ja T 11. liittyvät tähän asiaan. Osa 15: Maxwellin yhtälöt 1. Opiskele erityisesti siirrosvirran käsite hyvin.. Opettele Maxwellin yhtälöt tyhjiössä ja materiaalissa, ajasta riippuvassa tilanteessa ja staattisessa tilanteessa.. Tähän osaan liittyviä laskuja ovat T 15.1 ja T 15.. Teoriaa näihin asioihin on luentomonisteen lisäksi linkissä ta.pdf Osa 16: Sähkömagneettiset aallot Opettele määrittämään -sähkömagneettisen aallon sähkökenttävektori, kun tiedät magneettikenttävektorin -sähkömagneettisen aallon magneettikenttävektori, kun tiedät sähkökenttävektorin -sähkömagneettisen aallon siirtymävirtatiheysvektori, kun tiedät joko sähkökenttä- tai magneettikenttävektorin -Poyntingin vektori, kun tiedät joko sähkökenttä- tai magneettikenttävektorin -sähkömagneettisen aallon etenemissuunta, taajuus, kulmataajuus, aaltoluku, aallonpituus ja keskimääräinen intensiteetti, kun tiedät joko sähkökenttä- tai magneettikenttävektorin -sähkökentän ja magneettikentän amplitudin, kun tiedät sähkömagneettisen aallon intensiteetin -skinsyvyyden, kun tiedät sähkökentän tai magneettikentän amplitudin tai intensiteetin Teoriaa luentomateriaalin lisäksi ja esimerkkilaskuja löytyy linkissä

8 pdf Tähän osaan liittyviä laskuja ovat T 16.1 T Näistä monet (elleivät kaikki) ovat Tuomo Nygrénin laatimia vanhoja tenttitehtäviä. Tehtävät T.1: Eräässä avaruuden osassa on kenttä (karteesisissa koordinaateissa), toisessa avaruuden osassa kenttä (sylinterikoordinaateissa) ja kolmannessa kenttä (pallokoordinaateissa). a) Laske divergenssi kaikille kolmelle kentälle. b) Laske roottori kaikille kolmelle kentälle. T 1.1: Kuutio, jonka särmä on a, sijaitsee xyz-koordinaatistossa siten, että yksi kärki on origossa ja kolme särmää +x, + y ja +z-akselilla. Jokaisessa kuution kärjessä on varaus q. Määritä origossa olevaan varaukseen kohdistuva voima. T 1.: Paikassa r 1 = (,5 i,8 j +,1 k ) m sijaitsee pistevaraus q 1 = 1, μc, paikassa r = (1,5 i -, j +,6 k ) m pistevaraus q =,8 μc ja paikassa r = (,8 i -,5 j +1, k) m pistevaraus q = - 1,5 μc. Laske näiden kolmen varauksen aiheuttama sähkökenttä pisteessä r = (-,5 i +,5 j -,5 k ) m. T 1.: Osoita, että tasaisesti varatun suoran langan, jonka pituus on L ja kokonaisvaraus Q, aihuttama sähkökenttä etäisyydellä y langasta on Q E. 4 1/ y( L 4y ) Etäisyys y on mitattu pitkin langan keskinormaalia. y L dx 1 x Opastus: Saatat tarvita integraalia / ( x a ) a x a

9 T.1: Varaus q sijaitsee origossa ja varaus q positiivisella x-akselilla etäisyydellä d origosta. a) Mikä on sähkökentän vuo d/-säteisen pallon pinnan läpi, kun pallon keskipiste on origossa? b) Mikä on sähkökentän vuo d-säteisen pallon pinnan läpi, kun pallon keskipiste on origossa? T.: Kaksi pistevarausta, suuruudeltaan q 1 ja q, on sijoitettu x-akselille paikkoihin r 1 = au x ja r = - 4au x. Pinta S on origokeskinen pallo, jonka säde on a. Mikä on näiden varausten aiheuttama sähkökentän vuo pinnan S lävitse? T. a) Kuution särmän pituus on a. Kuutioon on jakautunut tasaisesti varaus Q. Mikä on varaustiheys ρ eli varaus tilavuusyksikköä kohden kuutiossa? b) Neliön sivun pituus on a. Neliön pinnalle on jakautunut tasaisesti varaus Q. Mikä on neliön varauskate σ eli varaus pintayksikköä kohden? c) Sauvan pituus on L. Sauvaan on jakautunut tasaisesti varaus Q. Mikä on viivavaraus λ eli varaustiheys pituusyksikköä kohden sauvassa? T.4: Onton pallokuoren sisäsäde on a ja ulkosäde b. Pallokuoren varaustiheys on ρ. Laske pallokuoren kokonaisvaraus. T.5: Pallo, jonka säde on R, on varattu tasaisesti siten, että kokonaisvaraus on Q. Laske varaustiheys tilavuusyksikköä kohden pallon sisäpuolella ja ulkopuolella. T.6: (Osa vanhasta tenttitehtävästä) Äärettömän laaja d:n paksuinen levy sijaitsee siten, että sen toinen pinta on yz-tasossa ja toinen kohdassa x = d. Levyn varaustiheys ρ on vakio. Mikä on levyn varaus pinta-alayksikköä kohti? T.7: Pallo, jonka säde on R, on varattu tasaisesti siten, että varaustiheys on ρ. Laske sähkökenttä pallon ulkopuolella ja sisäpuolella, kun a) ρ on vakio, b) ρ riippuu pallon keskipisteestä mitatusta etäisyydestä r seuraavalla tavalla: missä ρ on vakio. (1 r / R ),

10 T.8: Sylinterisymmetrinen varaustiheys alueessa r < R on muotoa (1 r / ), R missä ρ ja R ovat vakioita ja r on etäisyys symmetria-akselista. Tämän alueen ulkopuolella varaustiheys on nolla. Laske varaustiheyden aiheuttama sähkökenttä kummassakin alueessa. T.9: Äärettömän laaja d:n paksuinen levy sijaitsee siten, että sen toinen pinta on yz-tasossa ja toinen kohdassa x = d. Levyn varaustiheys ρ on vakio. a) Laske sähkökenttä alueissa x < j a x > d. Ilmoita tulokset vektorimuodossa. b) Laske sähkökenttä alueissa x < ja x > d, kun varaustiheys levyn sisällä on muotoa ρ = Kx, missä K on vakio. Ilmoita tulokset vektorimuodossa. Q(R r ) T.1: Laske sähkökenttä, kun potentiaalin lauseke pallokoordinaateissa on. 8 R T.: R-säteisessä umpinaisessa pallossa on positiivinen varaus Q tasaisesti jakautuneena. Määritä sähköinen potentiaali pallon ulkopuolella ja sisäpuolella. Oleta, että äärettömän kaukana pallosta potentiaali on. T.: Sylinterisymmetrinen varaustiheys alueessa r < R on muotoa (1 r / ), R missä ρ ja R ovat vakioita ja r on etäisyys symmetria-akselista. Tämän alueen ulkopuolella varaustiheys on nolla. Laske varaustiheyden aiheuttama potentiaaliero kohtien r = ja r = R välillä. T.4: Kolme pistevarausta sijaitsee koordinaatistossa kuvan mukaisesti pisteissä (, ), (L, ) ja (, L). Q on +, µc ja L = 15, cm. Laske sähköstaattinen potentiaali pisteessä P, jonka L L koordinaatit ovat, ). ( -Q L P Q -Q L T.5: Paikassa r 1 = (1, i +,5 j +, k ) m sijaitsee pistevaraus q 1 =, μc, paikassa r = (,5 i -,5 j + 1,6 k ) m pistevaraus q = 1,8 μc ja paikassa r = (-,8 i + 1,5 j -1, k) m pistevaraus q = - 1,5 μc. Laske näiden varausten aiheuttama potentiaali origossa. Valitse potentiaali äärettömyydessä nollaksi.

11 T.6: Sauva, jonka pituus on L, on varattu tasaisesti siten, että sen kokonaisvaraus on Q. Laske potentiaali pisteessä P, joka on etäisyydellä a sauvan päästä sauvan akselilla. L P a T.7: Laske työ, joka tehdään, kun neljä pistevarausta, kunkin varaus q, tuodaan äärettömän kaukaa x-akselille paikkoihin x =, x = a, x = a ja x = a. T.8: Paikassa r 1 = (, i + 1, j +, k ) m sijaitsee pistevaraus q 1 = 1,5 μc, paikassa r = (1,5 i -, j +,6 k ) m pistevaraus q =,8 μc ja paikassa r = (-,8 i + 1,5 j -1, k) m pistevaraus q = -,5 μc. Laske näiden kolmen varauksen muodostaman systeemin potentiaalienergia. T.9: Dipoli koostuu kahdesta pistevarauksesta, joiden suuruus on + nc ja nc. Varausten etäisyys on 4 cm. a) Mikä on tämän varaussysteemin dipolimomentti? b) Mikä on potentiaalienergian muutos, kun dipolia käännetään alkuasennosta, jossa dipolimomentti 5 on sähkökentän E (1, 1 V / m) iˆ suuntainen, asentoon, jossa dipolimomentin suunta poikkeaa 9 o sähkökentän suunnasta? c) Minkä voiman momentin sähkökenttä aiheuttaa dipoliin silloin, kun dipoli on asennossa eli kohtisuorassa sähkökentän voimaviivoja vastaan? y p p 1 x E T 4.1: Eristelevy on asetettu sähkökenttään E iˆ kuvan mukaisesti yz-tason suuntaisesti. Eristekappaleen paksuus sähkökentän suunnassa on d ja pinta-ala sähkökenttää vastaan kohtisuorassa suunnassa ab. Eristevakio on ε. Määritä: a) eristeen sähköinen suskeptiivisuus, b) D-kenttä eristeen ulkopuolella (E-kentän vaikutusalueella), c) D-kenttä eristelevyssä, d) E-kenttä eristelevyssä, e) polarisoituma eristeessä, f) polarisaatiovarauksen tiheys eristeaineessa, g) eristelevyyn indusoitunut varauskate. Käytä seuraavia lukuarvoja: E = 5, kv/m, d = 5, mm, a =, cm, b =, cm ja ε = 5,.

12 y E i x T 4.: Edellisessä tehtävässä esitelty eristelevy asetetaan 6 asteen kulmaan xz-tasoon nähden. Sähkökenttä ja muut suureet pysyvät samana. Määritä tässä tapauksessa a) E-kentän ja pinnan normaalin välinen kulma eristelevyssä, b) E-kentän suuruus eristelevyssä, c) D-kentän suuruus eristelevyssä, d) polarisoituman suuruus eristeessä, e) eristelevyyn indusoitunut varauskate. y E i x T 4.: Pallo (säde a) on täytetty eristeellä, jonka eristevakio on ε. Palloon on tuotu vapaita varauksia siten, että niiden varaustiheys ρ f on vakio pallon sisällä. Laske sähkökenttä E, sähkövuon tiheys D ja sähköpolarisoituma P pallon sisäpuolella ja ulkopuolella. T 5.1: (Osa vanhasta tenttitehtävästä) Äärettömän laajan johteen pinta on taso, jolla on vakiovarauskate σ. Mikä on sähkökenttä pinnan kummallakin puolella? + σ

13 T 5.: Johtavan pallokuoren keskipisteessä on pieni tasaisesti varattu pallo, jonka varaus on +Q. Pallokuoren kokonaisvaraus on -Q. Mikä kokonaisvaraus on pallokuoren sisäpinnalla ja ulkopinnalla? +Q T 5.: Ilmatäytteinen tasolevykondensaattori varataan siten, että varaus Q on 1, nc. Sen jälkeen kondensaattori irrotetaan jännitelähteestä. Mikä on kondensaattorin a) kapasitanssi b) levyjen välinen potentiaalienero c) energia? Levyjen pinta-ala A on, cm ja levyjen välinen etäisyys d =1, mm. T 5.4: R-säteinen pallo on tehty eristeestä, jonka eristevakio on ε. Palloon on jakaantunut tasaisesti varaus Q. Laske sähköstaattinen potentiaalienergia a) pallon sisällä, b) pallon ulkopuolella. T 5.5: Ilmatäytteisen tasolevykondensaattorin levyjen pinta-ala on A ja levyjen välinen etäisyys d. Levyissä on varaus Q. Kondensaattoria ei ole kiinnitetty jännitelähteeseen. Kuinka suuri voima tarvitaan, jotta toista levyä voidaan siirtää kauemmaksi? T 6.1: Varaustiheys R-säteisen pallon sisällä noudattaa yhtälöä r R missä r on pallon keskipisteestä mitattu etäisyys ja ρ on vakio. Laske sähköstaattinen potentiaali pallon sisällä ratkaisemalla Poissonin yhtälö. T 6.: R-säteisessä pallossa on varaus Q tasaisesti jakautuneena. Laske potentiaali pallon ulkopuolella, missä varaustiheys on nolla, käyttäen Poissonin yhtälöä (vaikka saisit sen helpommin laskettua muuten). Oleta potentiaali äärettömyydessä nollaksi.

14 T 6.: Kaksi hyvin laajaa ohutta johtavaa tasoa on asetettu ristikkäin yz- ja xz-tasoon. Lähelle tasojen leikkauskohtaa pisteeseen r aiˆ aˆj tuodaan varaus Q. a) Millaisilla ja mihin kohtaan asetetuilla peilivarauksilla voit kuvata tasoihin indusoitunutta varauskatetta? Perustele! b) Määritä varaukseen Q vaikuttava (sähköinen) voima. y a Q a x T 7.1: Määritä B dl, C a) kun B on pitkän suoran virtajohtimen aiheuttama magneettikenttä ja l on r-säteinen ympyrä, jonka akselilla virtajohdin on. Nyt ei tiedetä virran suuruutta, joten se ei saa esiintyä vastauksessa. B b) kun B on pitkän suoran solenoidin magneettikenttä ja l on suorakaide, jonka pituus on a ja leveys b. Suorakaiteen toinen pitkä sivu on solenoidin akselilla ja toinen solenoidin ulkopuolella. Nyt ei tiedetä virran suuruutta, joten se ei saa esiintyä vastauksessa. B

15 c) kun B on toroidin muotoisen käämin magneettikenttä ja l on r-säteinen ympyrä, jonka kehä kulkee toroidin virtasilmukoiden keskipisteiden kautta. Nyt ei tiedetä virran suuruutta, joten se ei saa esiintyä vastauksessa. B d) kun B on laajan virtalevyn magneettikenttä ja l on suorakaide, jonka pituus on a ja leveys b. Suorakaiteen pitkät sivut ovat virtalevyn suuntaiset, mutta virtaa vastaan kohtisuorassa. Nyt ei tiedetä virtakatteen suuruutta, joten se ei saa esiintyä vastauksessa. a B x x x x x x x x x x x x x x x x x B T 7.: Määritä I SIS a) kun I on pitkän suoran virtajohtimen virta ja Ampèren silmukka on r-säteinen ympyrä, jonka akselilla virtajohdin on. I B

16 b) kun I on pitkän suoran solenoidin silmukoissa kulkeva virta. Solenoidin pituus on L ja siinä on N johdinkierrosta. Ampèren silmukka on suorakaide, jonka pituus on a ja leveys b. Suorakaiteen toinen pitkä sivu on solenoidin akselilla ja toinen solenoidin ulkopuolella. B I c) kun I on toroidin muotoisen käämin silmukoissa kulkeva virta. Toroidissa on N johdinkierrosta. Ampèren silmukka on r-säteinen ympyrä, jonka kehä kulkee toroidin virtasilmukoiden keskipisteiden kautta. I B d) kun laajassa virtalevyssä on virtakate J (virta pituusyksikköä kohden) ja Ampèren silmukka on suorakaide, jonka pituus on a ja leveys b. Suorakaiteen pitkät sivut ovat virtalevyn suuntaiset, mutta virtaa vastaan kohtisuorassa. a B J x x x x x x x x x x x x x x x x x B T 7.: Laske magneettikentän B suuruus tehtävien T 7.1. ja T 7.. neljässä tapauksessa. Oleta kaikki muut annetut suureet tunnetuiksi paitsi magneettikenttä.

17 T 7.4:. Avaruudessa vaikuttaa magneettikenttä, jonka vuon tiheys sylinterikoordinaatistossa on j B B uˆ r uˆ r Laske millainen virtatiheys aiheuttaa tämän kentän. Opastus: Käytä Ampèren lain differentiaalimuotoa. T 7.5: Pitkän, suoran virtajohtimen poikkipinta-ala on R-säteinen ympyrä. Virtatiheys johtimessa noudattaa yhtälöä r j j, R missä r on etäisyys johtimen keskiakselista ja j on vakio. Laske B-kenttä johtimen sisäpuolella ja ulkopuolella. T 7.6:. Tasosymmetrinen virtatiheys noudattaa yhtälöä j j exp( z ) ˆ z missä z > on vakio. Laske virran aiheuttama magneettivuon tiheys. u x T 7.7: Elektroni, jonka nopeus on E ( ˆ) j V / m. 6 v (, 1 iˆ) m/ s, saapuu alueeseen, jossa sähkökenttä on a) Mikä magneettikenttä tarvitaan, jotta elektronin rata ei kaartuisi sähkökentässä? b) Jos sähkökenttä kytketään pois, mikä on elektronin radan säde magneettikentässä? T 7.8: Suorakulmion muotoisessa kelassa on 16 kierrosta. Sivujen pituus on a = cm (xy tason suuntaiset sivut) ja b = 5 cm ( z akselin suuntaiset sivut). Kela on kiinnitetty yhdestä sivustaan z- akseliin. Kelan taso on asteen kulmassa +x akseliin nähden ja magneettikenttään B nähden, B (,5ˆ i) T. Kelassa kulkee virta I = 1 A. a) Laske jokaiseen sivuun vaikuttava voima. b) Mikä on kelan magneettinen momentti? c) Mikä on kelaan vaikuttava voiman momentti? z a I B o b y x

18 T 7.9: Johdinsilmukka koostuu puoliympyrästä, jonka säde on a ja kolmesta suorasta osasta, joiden pituudet ovat a, a ja a. Silmukassa kulkee virta I. Laske magneettivuon tiheys puoliympyrän kaarevuuskeskipisteessä P. Katso kuva! a a P a dx 1 x Opastus: Saatat tarvita integraalia / ( x a ) a x a T 7.1: Laske magneettivuon tiheys, jos vektoripotentiaali on muotoa Ckˆ A, ( x y) missä C on vakio. T 8.1: Nikkelistä valmistettu sylinterin muotoinen kappale asetetaan magneettikenttään, joka on sylinterin akselin suuntainen. Nikkeli saturoituu eli kaikkien atomien magneettimomentit ovat asettuneet kentän suuntaisiksi, kun B -kenttä on 1,75 T ja H -kenttä 5,. 1 5 A/m. Nikkelissä on 9, atomia kuutiometrissä. a) Mikä on nikkelin magnetoituma? b) Mikä on yhden nikkeliatomin magneettinen momentti? c) Mikä on pintavirtatiheys sylinterin vaipalla ja päissä? d) Mikä on nikkelin suhteellinen permeabiliteetti? T 8.: Rautarenkaan poikkileikkaus on cm ja keskimääräinen pituus 6 cm. Renkaaseen halutaan magneettivuon tiheys,5 T, jota vastaa μ:n arvo. Rautarengasta ympäröi toroidi, jossa on 5 kierrosta. Mikä virta tarvitaan, kun a) rengas on yhtenäinen, b) renkaassa on 1 mm:n ilmarako?

19 T 1.1: Pitkässä suorassa virtajohtimessa kulkee virta I, kuten alla olevassa kuvassa on esitetty. Suorakaiteen muotoinen virtasilmukka on lähellä virtajohdinta samassa tasossa johtimen kanssa siten, että silmukan pitkät sivut ovat yhdensuuntaiset johtimen kanssa. Kun virtasilmukkaa liikutetaan kohti johdinta, silmukkaan indusoituu virta, jonka suunta on a) myötäpäivään, b) vastapäivään. c) Suuntaa ei voi määrittää näistä lähtötiedoista. T 1.: Luettele seikkoja, jotka vaikuttavat kahden systeemin väliseen keskinäisinduktanssiin. T 1.A: Pieni solenoidi on asetettu suuren solenoidin sisään kuvan mukaisesti. Suuren solenoidin poikkipinnan säde on R ja pienen R 1. Molemmissa on N kierrosta. Pienen solenoidin pituus on l ja ison L. Isossa solenoidissa kulkee virta I. i) Laske pienen solenoidin läpi menevä magneettikentän vuo, kun R >> R 1. ii) Laske systeemin keskinäisinduktanssi. iii) Laske pieneen solenoidiin indusoituva jännite, kun di/dt = I /T. B: Alla olevassa kuvassa on ilmatäytteinen toroidi, jonka keskisäde on R ja poikkipinta-ala A. Toroidin ympärille on kierretty kaksi erillistä johdinta. Toisen johtimen (johdin J 1 ) kierrosten määrä on N ja toisen (johdin J ) kierrosten määrä Nm, (N < N m ). Johtimessa J kulkee virta I. i) Laske se magneettikentän vuo, mikä menee sen johtimen J 1 kierrosten läpi. ii) Laske systeemin keskinäisinduktanssi. iii) Laske johtimeen J 1 indusoituva jännite, kun di/dt = I /T.

20 C: Kaksi ympyränmuotoista johdinsilmukkaa on asetettu sisäkkäin samaan tasoon siten, että niiden keskipisteet yhtyvät. Suuremman johtimen säde on a ja pienemmän b. Oleta b niin pieneksi, että sen sisällä on isomman silmukan aiheuttama B-kenttä vakio ja on sama kuin ison silmukan keskipisteessä. Isossa silmukassa kulkee virta I. i) Laske pienen silmukan läpi menevä magneettikentän vuo. ii) Laske systeemin keskinäisinduktanssi. iii) Laske pieneen silmukkaan indusoituva jännite, kun di/dt = I /T. a b D: Neliön muotoisen johdinsilmukan sivun pituus on a. Johdinsilmukka on asetettu kahden johtimen väliin siten, että johtimet ovat silmukan tasossa neliön vastakkaisten sivujen suuntaisina ja etäisyydellä a lähimmistä sivuista. (Katso kuvaa!) Molemmissa johtimissa kulkee sama virta I vastakkaisiin suuntiin. i) Laske silmukan läpi menevä magneettikentän vuo. ii) Laske systeemin keskinäisinduktanssi. iii) Laske silmukkaan indusoituva jännite, kun di/dt = I /T.

21 a a a T 11.1: Kapea rautarengas, jonka keskihalkaisija on 8. cm, on katkaistu kahteen osaan ja osien väliin sijoitetaan.5 mm messinkilevyt. Rengasta magnetoidaan siten, että raudan μ on 5. Kuinka suuri osa piirin magneettisesta energiasta on messingissä? Opastus: Messinki ei ole ferromagneettinen aine. messinki messinki T 11.: Solenoidi, jonka pituus on 5 cm, on käämitty samanpituisen rautasydämen ympärille. Rautasydämen poikkipinta-ala on 4, cm ja suhteellinen permeabiliteetti 15. Solenoidissa on 5 kierrosta ja siinä kulkee 1,1 A:n virta. Kuinka suuri on magneettikentän energia rautasydämessä?

22 T 15.1: Tyhjiössä on sähkökenttä E ke exp i t ky ˆ. Määritä magneettikenttä jonkin Maxwellin yhtälön avulla ja osoita, että nämä kentät noudattavat muitakin Maxwellin yhtälöitä B tyhjiössä: E, B, E ja t E B t T 15.: Ilmatäytteisen tasolevykondensaattorin levyt ovat ympyrän muotoisia ja niiden säde on, cm ja välimatka,4 mm. Potentiaaliero levyjen välillä kasvaa nopeudella 8, kv/s. a) Mikä siirrosvirta kulkee levyjen välissä sellaisen ympyrän läpi, jonka säde on puolet kondensaattorilevyjen säteestä ja jonka keskipiste on kondensaattorilevyjen keskipisteen kohdalla? Oleta sähkökenttä levyjen välissä paikan suhteen vakioksi. b) Millaisen magneettikentän tämä siirrosvirta aiheuttaa kyseisen ympyrän kehälle? T 16.1: Erään tyhjiössä etenevän sähkömagneettisen aallon sähkökenttävektoria kuvaa yhtälö ˆ E ke exp[ i( t ky)] a) Mikä on aallon etenemissuunta? b) Mikä on taajuus? c) Mikä on aallonpituus? d) Mikä on magneettikenttävektorin amplitudi? Käytä lukuarvoja 5 1 E.1 1 V / m ja.651 rad / s. T 16.: Mikä on edellisen tehtävän aallon a) magneettikenttävektorin yhtälö, b) keskimääräinen intensiteetti, c) siirtymävirtatiheyden yhtälö? T 16.: Radioaseman kantoaalto on sinimuotoinen. Eräällä etäisyydellä lähettimestä aallon intensiteetti on,1 mw/m. Mikä on aallon sähkökentän amplitudi tällä etäisyydellä lähettimestä? T 16.4: Väliaineessa etenevän sinimuotoisen sähkömagneettisen tasoaallon taajuus on 15 MHz ja vaihenopeus 96 km/s. Laske a) aallonpituus b) väliaineen taitekerroin tällä taajuudella c) väliaineen suhteellinen permittiivisyys tällä taajuudella. T 16.5: Sähkömagneettinen tasoaalto etenee tyhjiössä. Aallon sähkökentän amplitudi on 4 mv/m. Laske aallon magneettivuon tiheyden amplitudi sekä keskimääräinen teho.

23 T 16.6: Positiivisen z-akselin suuntaan etenevän sähkömagneettisen tasoaallon sähkökentän amplitudi on E, kulmataajuus ω ja aaltoluku k. Kirjoita aallon sähkökenttävektorin lauseke, jos a) aalto on lineaarisesti polarisoitu siten, että sähkökentän ja x-akselin välinen kulma on α. b) aalto on vasenkätisesti ympyräpolarisoitu. Tuloksen voi mahdollisesti kirjoittaa eri tavoilla; kaikki oikeat tulokset kelpaavat, mutta kannattaa tietenkin käyttää yksinkertaisinta esitystapaa. T 16.7: Tarkastellaan tyhjiössä z-akselin suuntaan etenevää sähkömagneettista aaltoa, jonka sähkökenttä on E = E exp[i(ωt-kz)]. a) Osoita, että E on kohtisuorassa z-akselia vastaan. b) Laske aallon B-kenttä. c) Laske numeerinen arvo aaltoluvulle k, jos aallon taajuus on 1 khz. T 16.8: a) Tyhjiössä etenevän sinimuotoisesti värähtelevän sähkömagneettisen tasoaallon taajuus on 15 MHz. Laske aallonpituus. b) Sähkömagneettinen sinimuotoisesti värähtelevä tasoaalto etenee z-akselin suuntaan johtavassa väliaineessa. Väliaineen johtavuus on,5 S/m ja aallon taajuus 5 khz. Tasolla z = aallon sähkökentän amplitudi on V/m. Kuinka suuri amplitudi on tasolla z = 5, m? Opastus: Aallon tunkeutumissyvyys (skinsyvyys) johtavassa väliaineessa on c) Tyhjiössä etenevän sinimuotoisesti värähtelevän sähkömagneettisen aallon sähkökentän amplitudi on V/m. Laske aallon keskimääräinen intensiteetti. Vastauksia T.1: a), c z, b) ( ) ( ),, q 1 1 T 1.1: F 1 ( iˆ ˆj kˆ ) 4 a T 1.: ( 1,5ˆ i 1,57 ˆj 7,9kˆ) V / m T.1: q, T.: 4 ( b a ) T.4: Q T.5: a) SIS, ULK 4R

24 T.6: d T.7: a) r R E SIS, E ULK Sähkökentän suunta? r 4 r r b) E SIS 6R, E ULK 6 r R Sähkökentän suunta? R T.8: E 6 r ja r r E R Suunta? T.9: a) T.1: E d Kd E uˆ x b) E uˆ x Qr 4 R uˆ r 4 Q Q(R r T.: 4 r R T.: 5 R 8 Kumman kohdan potentiaali on korkeampi? 6 T.4: -1, V T.5: 6,4 kv 1 T.6: 4 T.7: 1q 1 a T.8: -5,5 mj Q a L ln L a T.9: ( Cm) î, J, ( Nm)(- kˆ ) T 4.1: 4, 4, 1, C m C m uˆ x ja, 4,4 1, C m C m ) uˆ x, kv 1, m,54 1 kv 6 C 7 C 7 C 7 C T 4.: 7,9, 6,5, 1,17 1, 9,7 1,,7 1 ja,7 1 m m m m m D-kentän, E-kentän ja P-kentän suunta? 7 C m uˆ x,,

25 T 4.: Pallon sisällä: D f f a Pallon ulkopuolella: D r r E r f f E r ( 1) f r P a P = Kaikkien kenttien suunnat joko säteen suuntaisia (ρ f > ) tai säteelle vastakkaisia (ρ f < ). T 5.1: E ja E = T 5.: Sisäpinnalla Q, ulkopinnalla Q T 5.: a) 1,77 pf b) 565 V c), J T 5.4: Q, 4 R Q 8 R T 5.5: Q A r T 6.1: C 1 R T 6.: Q 4 r T 6.: a) +Q pisteessä r aiˆ aˆj, - Q pisteessä r aiˆ aˆj ja -Q pisteessä r aiˆ aˆj Mieti perustelut! Q b) F 1 (ˆ i ˆ j) 4 16 a T 7.1: a) πrb, b) Ba, c) πrb, d) Ba NI T 7.: a) μ I, b) a c) μ NI d) Ja L I T 7.: a) b) r r T 7.4: j uˆ z r jr T 7.5: B SIS ja 4R NI NI c) d) L r jr B ULK 4r J

26 z T 7.6: Kun z > B [1 exp( )]( ˆ jz u y ) z T 7.7: ( 1 z Kun z < B [1 exp( )]( ˆ jz u y ) z 4 k) ˆ T, 11 cm T 7.8: ( 8,k) ˆ N, ( 4 ˆj) N, ( 8,k) ˆ N, ( 4 ˆj) N, i 14 ˆ) j, ( k) Nm ( 8,ˆ Am 6,9 ˆ T 7.9: I 1 a Suunta? T 7.1: C B ( x y) iˆ ˆj T 8.1: a) A/m (suunta?) b) Am c) A/m (suunta?) ja, d), T 8.:,4 A, 8,19 A T 1.1: b T 1.: NI ( R1 ) A: i) ii) L M N ( R1 L ) iii) ) I U N ( R1 LT N B: i) m IA ii) R M NmNA R iii) N N R A I T m U I b C: i) ii) a M b a iii) U b I at Ia a a I D: i) ln ii) M ln iii) U ln T T 11.1: 91 % T 11.:,19 J T 15.: a) 9,. 1-9 A, b) 1, T T 16.1: b) 4, s c) 7, m d) 1,. 1 - T

27 8 T 16.: b) 1,7 1 W / m T 16.:,7 V/m T 16.4: 19,7 m, 1,1, 1, T 16.5: 1, Vs/m,,45 mw/m T 16.6: T 16.7: a)[ E b) E (cos )ˆ i E [ˆ ie b) B i( tkz) ˆ E k j ˆje (sin ) ˆ] j e i( tkz / ) ] i( tkz) i( t kz) e c) k, m 1 T 16.8: a) m, b) 9,9 V/m, c) 1, W/m