Elektrodynamiikka 2010 Luennot Elina Keihänen. Sähkömagneettinen induktio

Transkriptio

1 Elektrodynamiikka 2010 Luennot Elina Keihänen Sähkömagneettinen induktio

2 Torstaina ei ole luentoa. Laskarit pidetään normaalisti. Magneettikenttä väliaineessa käsitellään seuraavalla viikolla. Väliviikolla ei ole luentoja eikä harjoituksia.

3 Sähkömagneettinen induktio Tarkastellaan suljettua, paikallaan pysyvää virtasilmukkaa. Havainto: Muuttuva magneettikenttä indusoi virtapiiriin virran. Virta on verrannollinen silmukan läpäisevän magneettivuon muutokseen: RI = dφ dt = d B n ds dt Tämä tulkitaan niin että silmukassa vaikuttaa sähkökenttä, joka aiheuttaa virran. Sähkökentän integraali silmukan ympäri E = E dl on sähkömotorinen voima (smv). S

4 Sähkömotorinen voima oli siis E = E dl Muistutetaan, että staattinen sähkökenttä on pyörteetön, E = 0. Pyörteetön kenttä ei tuota sähkömotorista voimaa, sillä sen integraali suljetun silmukan ympäri on aina nolla. Muuttuvan magneettikentän synnyttämä sähkökenttä on pyörteellinen, E 0 Sähkömotorisen voiman yksikkö on sama kuin jännitteen, eli voltti. Se synnyttää virtapiirissä virran RI = E Erona jännitteeseen on, että kun jännite on aina kahden pisteen välillä, sähkömotorinen voima lasketaan suljetun silmukan ympäri.

5 Induktiolaki oli siis E = E dl = d dt S B n ds Koska tarkastellaan kiinteää silmukkaa, voidaan aikaderivaatta viedä integraalin sisään, jolloin se muuttuu osittaisderivaataksi. Toisaalta silmukkaintegraali voidaan muuttaa pintaintegraaliksi Stokesin lauseella. B E = E n ds = t n ds S Koska tämä pätee riippumatta silmukan muodosta, päädytään Maxwellin kolmanteen yhtälöön eli Faradayn lakiin E = B t Muuttuva magneettikenttä synnyttää siis sähkökentän. S

6 Tarkastellaan sitten ajallisesti muuttumattomassa magneettikentässä nopeudella v liikkuvaa johdinta. Tilanne voidaan käsitellä Lorentzin voiman kautta: F = q(e + v B) 1. Ääretön johdin magneettikentässä Johtimessa olevaan varaukseen q kohdistuu voima F = qv B Vaikutus on sama kuin sähkökentällä E jonka suuruus olisi E = v B. Rajoitutaan yksinkertaisuuden vuoksi tilanteeseen, jossa magneettikenttä, johdin ja nopeus ovat kaikki kohtisuorassa toisiaan vastaan. Voima F = qvb on silloin johtimen suuntainen. Sähkökenttä E synnyttäisi johtimessa virran I = E/r missä r on johtimen resistanssi pituusyksikköä kohti. Vastaavasti magneettinen voima synnyttää virran I = vb/r

7 Virta oli siis I = vb/r Nyt johtimessa oleviin virrankuljettajiin kohdistuu myös johtimen liikkeen kanssa vastakkaissuuntainen voima pituutta L kohti. F = LIB = vb2 L r Jotta johdin pysyy liikkeessä, on tehtävä työtä teholla P = Fv = v2 B 2 L r = I 2 rl joka on sama kuin Joulen lämmityksessä kuluva teho. Induktiovirta kuluttaa energiaa. Tämä energia on saatava systeemiltä, joka aiheuttaa induktion. Tämä merkitsee, että induktion aiheuttajan on tehtävä työtä induktiovirran vastavaikutuksen voittamiseksi.

8 2. Äärellinen johdin Äärellisen pituinen johdin (pituus L) liikkuu magneettikentässä nopeudella v. Oletetaan jälleen, että kenttä, johdin ja nopeus ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Koska johdin on äärellinen, siinä ei pääse kulkemaan virtaa. Varauksenkuljettajat pyrkivät kuitenkin liikkumaan kohti johtimen päitä, jolloin varausseparaation vuoksi muodostuu sähkökenttä. Johdin asettuu tilaan jossa voimat ovat tasapainossa: E = vb Johtimen päiden välille indusoituu siis jännite V = vbl Tätä sanotaan liikkeen indusoimaksi potentiaalieroksi.

9 3. Liikkuva johdinsilmukka vakiomagneettikentässä. Tarkastellaan neliömäistä silmukka, joka liikkuu vakiomagneettikentässä. Oleellisesti sama tilanne kuin äärellisen johtimen tapauksessa. Syntyy jännite, mutta ei virtaa.

10 4. Liikkuva johdinsilmukka muuttuvassa magneettikentässä. Tarkastellaan jälleen neliömäistä johdinsilmukkaa. Magneettikenttä on ajallisesti vakio, mutta vaihtelee paikan funktiona. Silmukan eri osissa vaikuttavat erisuuruiset magneettiset voimat. Silmukassa vaikuttava liikkeen indusoima sähkömotorinen voima on E = vb 2 L + vb 1 L Positiivinen suunta vastaa positiivista kiertosuuntaa kentän B ympäri. Pohjimmiltaan kyseessä on magneettinen Lorenzin voima. Silmukan etureunan taakseen jättämä pinta-ala muuttuu da dt = Ldx dt = Lv joten magneettivuon muutos silmukan läpi on eli dφ dt = vb 2L vb 1 L E = dφ dt

11 Faradayn induktiolaki Sekä liikkuvan johtimen että muuttuvan magneettikentän tapauksessa sähkömotorinen voima vastaa silmukan läpäisevän magneettivuon muutosta: E = dφ dt Tämä on Faradayn induktiolaki. Sähkömotorinen voima ei riipu mitenkään siitä, kuinka magneettivuon tiheys itsessään muuttuu.

12 Nykyään tiedämme, että fysiikan lait ovat samat kaikissa inertiaalikoordinaatistoissa. Jos tarkastellaan liikkuvaa silmukkaa sellaisen havaitsijan näkökulmasta, joka liikkuu silmukan mukana, ei magneettista Lorentzin voimaa ole. Kuitenkin silmukassa kulkee virta. Liikkuvan havaitsijan koordinaatistossa virran aiheuttaa sähkökenttä. Jako magneetti- ja sähkökenttiin riippuu siis havaitsijan liiketilasta. Vaatimalla, että Lorentzin voima on sama, saadaan likimääräinen muunnoskaava sähkökentälle: E = E + v B missä E on nopeudella v liikkuvan havaitsijan näkemä kenttä. Tarkat relativistiset kenttien muunnoskaavat esitellään luvussa 14.

13 Vielä yksi esimerkki: Johdetanko kiskoilla. c V d n b v B a x x 0 Johdetanko ab (pituus L) liikkuu vakionopeudella v pitkin johdinkiskoja ja saapuu alueeseen x > x 0, jossa on vakiomagneettikenttä B kohtisuorassa silmukan tasoa vastaan (kuva). Asetetaan välille cd suuriresistanssinen jännitemittari. Silmukassa abcda ei siis kulje virtaa.

14 Kentässä olevan johdetangon vapaisiin varauksiin vaikuttaa Lorentzin voima. Kuten äärellisen johtimen tapauksessa, johtimeen indusoituu jännite V ab = BLv Jos virtapiiri oikosuljetaan jännitemittarin kohdalta, induktiovirta lähtee kulkemaan myötäpäivään, ja virta on I = BLv R Toisaalta voidaan laskea magneettivuo silmukan abcda läpi, kun johdetanko kulkee magneettikentässä. Vuon muutosnopeudeksi saadaan joten piiriin indusoituu smv dφ dt = B da dt = BLdx dt = BLv E = dφ dt = BLv

15 Itseinduktio Edellä tarkasteltiin stationaarisia virtoja ja jätettiin virran itsensä aiheuttama magneettikenttä huomiotta. Induktiovirta itsessään aiheuttaa magneettikentän. Muuttuva virta aiheuttaa muuttuvan magneettikentän joka taas synnyttää induktiovirran. Tarkastellaan kiinteää virtasilmukkaa, jossa kulkee virta I. Silmukan läpi kulkee virran synnyttävä magneettivuo. Biot n ja Savartin lain mukaan magneettikenttä riippuu lineaarisesti silmukassa kulkevasta sähkövirrasta. Jos nyt virta muuttuu hitaasti, tilanne voidaan käsitellä kvasistaattisena ja jättää säteilyilmiöt huomiotta. Magneettivuo muuttuu silloin kuten dφ dt = dφ di di dt

16 Oli siis dφ dt = dφ di di dt Virran ja vuon muutoksen välistä verrannollisuuskerrointa L = dφ di kutsutaan silmukan itseinduktanssiksi. Se riippuu silmukan geometriasta ja on periaatteessa laskettavissa Biot n ja Savartin laista. Virran muutos indusoi silmukkaan sähkömotorisen voiman E = L di dt Miinusmerkki ilmaisee Lenzin lain : Induktiovirta vastustaa muutosta, joka sen aiheuttaa. Voimistuvan magneettikentän aiheuttaman induktiovirran magneettikenttä heikentää kenttää, heikentyvän vahvistaa sitä. Induktanssin SI-yksikkö on Vs/A H eli henry.

17 Itseinduktio ilmenee esimerkiksi siten, että virtapiireissä virta ei koskaan kytkeydy tai katkea täysin hetkellisesti. Itseinduktio korostuu, jos piirissä on käämi, sillä käämin induktanssi on suuri. Induktanssi kuvaa virtasysteemin kykyä vastustaa virran muutoksia. Yhdelle silmukalle määriteltiin Φ = LI Yleisemmin E = L di dt

18 Esimerkki: Kela muodostuu N virtasilmukasta, joista kunkin induktanssi on L 0. Virta I synnyttää magneettivuon Φ = NL 0 I Tämä puolestaa synnyttää kuhunkin silmukkaan smv:n E = dφ/dt jolloin kokonaisuudessaan Kelan induktanssi on siten E = N dφ dt = N2 L 0 di dt L = N 2 L 0

19 Esimerkki Tarkastellaan johdinsilmukkaa, jossa kulkee virta I ulkoisen jännitteen V ajamana. Virran käyttäytymistä säätelee yhtälö V(t) + E = RI eli V(t) L di dt = RI Tästä saadaan differentiaaliyhtälö, josta voidaan ratkaista virta ajan funktiona, kun ulkoinen jännite tunnetaan. Jos mukana olisi vielä ajasta riippuva ulkoinen magneettikenttä, sen aiheuttama sähkömotorinen voima olisi vielä lisättävä yhtälön vasemmalle puolelle.

20 Jos jännite katkaistaan yhtäkkiä, saadaan yhtälö (V = 0) ja ratkaisu L di dt = RI I(t) = V R e Rt/L missä V/R on virran arvo juuri ennen jännitteen katkaisua. Virta pienenee siis eksponentiaalisesti, sitä hitaammin mitä suurempi induktanssi on (ja sitä nopeammin mitä suurempi on resistanssi).

21 Esimerkki. Toroidaalisen käämin itseinduktanssi Kierretään johdinlankaa N kierrosta toruksen ympäri (poikkileikkauksen ala A). Aiemmin on laskettu magneettikentäksi toruksen sisällä B = µ 0NI 2πr missä 2πr on toruksen keskimääräinen pituus. Magneettivuo jokaisen yksittäisen kierroksen läpi on Φ 1 = BA = µ 0NI 2πr A ja kaikkien kierrosten yhteenlaskettu vuo (oikeastaan tässä lasketaan yhteen smv:t) on Φ = NΦ 1, josta saadaan induktanssi L = dφ di = µ 0N 2 A 2πr

22 Keskinäisinduktio Keskinäisinduktiolla tarkoitetaan ilmiötä, jossa yhdessä virtapiirissä tapahtuva virran muutos indusoi virran toiseen silmukkaan. Tarkastellaan sitten n kappaletta erillisiä silmukoita. Kirjoitetaan kaikkien silmukoiden aiheuttama yhteenlaskettu vuo silmukan i läpi muodossa Φ i = Tähän silmukkaan indusoituu smv E i = n j=1 n j=1 Φ ij dφ ij dt Jos kaikki silmukat ovat kiinteitä, kunkin silmukan j osuus Φ ij riippuu vain siinä kulkevan virran I j muutoksesta, joten dφ ij dt = dφ ij di j di j dt

23 Kertoimia M ij = dφ ij di j, i j kutsutaan silmukoiden i ja j välisiksi keskinäisinduktansseiksi. L i = M ii on silmukan i itseinduktanssi. Keskinäisinduktanssi voi olla positiivinen tai negatiivinen riippuen virtojen kulkusuunnista silmukoissa. Keskinäisinduktiota käytetään hyväksi mm. auton starttimoottorissa.

24 Tarkastellaan kahta kiinteää silmukkaa. Keskinäisinduktanssi on M 21 = Φ 21 I 1 Lasketaan magneettikenttä Biot n ja Savartin lailla ja integroidaan siitä magneettivuo: Φ 21 = µ [ ] 0 4π I dl 1 (r 2 r 1 ) 1 S 2 C 1 r 2 r 1 3 n ds 2 Käyttämällä kaavaa dl 1 (r 2 r 1 ) C 1 r 2 r 1 3 = 2 dl 1 C 1 r 2 r 1 saadaan M 21 = µ 0 2 4π S 2 = µ 0 4π C 2 [ dl 1 dl 2 C 1 r 2 r 1 ] dl 1 n ds 2 C 1 r 2 r 1

25 Oli siis Tämä on Neumannin kaava. M 21 = µ 0 dl 1 dl 2 4π C 2 C 1 r 2 r 1 Se ei ole kovin käytännöllinen, mutta se osoittaa, että keskinäisinduktanssi on puhtaasti silmukoiden geometriasta johtuva suure ja siten silmukoiden itsensä ominaisuus. Lisäksi keskinäisinduktanssi on symmetrinen silmukoiden vaihtamisen suhteen (M 12 = M 21 ). Keskinäisinduktanssin laskeminen on hankalaa, mutta mittaaminen varsin yksinkertaista: syötetään piiriin 1 tunnettu virta ja mitataan sen indusoima smv piirissä 2.

26 Pähkinä purtavaksi: Feynmanin kiekko I Tarkastellaan levyä, joka pääsee pyörimään akselinsa ympäri (kuva). Keskellä on käämi, jossa pieni paristo pitää yllä tasavirtaa. Levyn reunalla on tasainen varausjakauma, esimerkiksi varattuja palloja. Virta käämissä katkeaa. Alkaako levy pyöriä? 1. Magneettikentän heikkeneminen indusoi sähkökentän, jonka takia levy alkaa pyöriä. 2. Laitteiston liikemäärämomentti alussa on nolla. Ulkoisia voimia ei ole, joten liikemäärämomentin säilymislain perusteella levy ei ala pyöriä.