MATEMATIIKAN KOE. + ax arvo, kun x = a 1?

Transkriptio

1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA MATEMATIIKAN KOE LYHYT OPPIMÄÄRÄ Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. a) Ratkaise yhtälö 3 4 (x ) = 3 ( 3 4 x 5 ). b) Ratkaise yhtälö 7x(3 + 7x) 4 = 0. c) Mikä on lausekkeen a(a ) x + ax arvo, kun x = a?. a) Suorakulmaisen kolmion kateettien pituudet ovat ja 3. Määritä kolmion terävien kulmien suuruudet 0,0 asteen tarkkuudella. b) Määritä funktion f(x) = 3 x3 + 3 x 4x derivaatta. c) Määritä geometrisen lukujonon, 4,... kolmas termi Suorakulmion yksi sivu on 4,4 m ja suorakulmion pinta-ala on 3,0 m. Määritä suorakulmion a) sivujen pituudet, b) lävistäjän pituus. 4. Tuotteen myyntitulot kasvoivat edelliseen vuoteen verrattuna 5,0 % vuonna 004 ja 3,0 % vuonna 005. Vuonna 003 tuotteen valmistuskustannukset olivat 9 % tavaran myyntituloista. Vuonna 004 valmistuskustannukset olivat 7, % suuremmat kuin vuonna 003, ja seuraavana vuonna ne nousivat edelleen, %. Kuinka monta prosenttia myyntitulot olivat valmistuskustannuksia suuremmat vuonna 005? 5. a) Määritä pisteiden (, ) ja (4, 3) kautta kulkevan suoran yhtälö muodossa y = kx + b. b) Onko piste (0, 40) tällä suoralla? 6. a) Millä x:n arvolla on x =? b) Ratkaise yhtälö x =. 7. Lentokone lähestyy Oulunsalon kenttää kolmen asteen kulmassa maahan nähden. Kiitoradan pituus on,5 km, ja kone koskettaa kiitorataa 300 metrin päässä sen alkupäästä. Kuinka kaukana kiitoradan alkupäästä (vaakasuoraan ajateltuna) kone oli 500 jalan korkeudessa ( jalka = 0,3048 m)? Kuinka kauan tästä kului maakosketukseen, jos lentokoneen lähestymisnopeus ilman suhteen oli 70 km/h? Oletetaan, että sää oli tyyni. 8. Määritä funktion f(x) = x(3 4x x ) suurin ja pienin arvo välillä [, 3]. 9. Täyttäessään 0 vuotta Laura oli 5 prosenttia vanhempi kuin sisarensa Veera. Kuinka monta prosenttia sisartaan vanhempi Laura on täyttäessään 30 vuotta? KÄÄNNÄ!

2 0. Ranskalaisen Louis Braillen vuonna 85 kehittämä pistekirjoitus on kohokirjoitusta, jota luetaan sormin. Pistekirjoitusjärjestelmässä kutakin merkkiä kohti on käytettävissä kuusi kiinteää paikkaa, joihin voidaan asettaa yhdestä kuuteen pistettä. (Esimerkkinä kuviossa on kirjain W.) Kuinka monta erilaista merkkiä järjestelmässä voidaan esittää? W. Verenpainelääkettä otetaan aamuisin kerta-annoksena 60 mg. Vuorokaudessa lääkettä häviää elimistöstä 35 prosenttia. a) Laske, paljonko lääkettä on elimistössä välittömästi toisen ja viidennen lääkkeenottokerran jälkeen. b) Laske, paljonko lääkettä on elimistössä välittömästi n:nnen lääkkeenottokerran jälkeen. c) Tutki (esimerkiksi laskinta käyttäen), mitä arvoa tämä lääkkeen määrä näyttää lähestyvän lääkkeenottokertojen määrän n kasvaessa.. Paraabelin y = ax + bx 3 huippu on pisteessä ( 3, ). Määritä kertoimet a ja b. 3. Polkupyörän digitaalinen mittari näyttää kuljetun matkan ja ajonopeuden, kun siihen on syötetty etupyörän ulkokehän pituus. Mittari määrittää matkan kertomalla ulkokehän pituuden etupyörän pyörähdysten lukumäärällä ja nopeuden jakamalla ulkokehän pituuden pyörähdysajalla. Anteron pyörässä renkaan ulkokehän halkaisija on 6,0 tuumaa ( tuuma = 5,40 mm). a) Laske renkaan kehän pituus millimetrin tarkkuudella. b) Antero mittaa renkaan ulkokehän pituuden mittanauhalla ja saa pituudeksi 09,5 cm. Kun tämä virheellinen arvo syötetään mittariin, kuinka pitkäksi mittari mittaa 0,0 kilometrin matkan? Jos nopeusmittari näyttää tasan 30 km/h, mikä on polkupyörän todellinen nopeus? 4. Pallon säde on 3. Määritä pallon sisään mahtuvan tilavuudeltaan mahdollisimman suuren suoran ympyräkartion tilavuus. Ympyräkartion kärki ja pohjaympyrän kehä ovat pallon pinnalla. Valitse muuttujaksi pohjan etäisyys pallon keskipisteestä. Ilmoita tarkka arvo ja kaksidesimaalinen likiarvo. 5. Piensijoittaja osti yhtiön osakkeita 00 eurolla. Ensimmäisenä vuonna osakkeiden kurssi laski 5,6 prosenttia, mutta seuraavana vuonna se nousi 8, prosenttia. a) Kuinka monta prosenttia osakkeiden kurssin tulisi nousta kolmantena vuonna, jotta osakkeiden arvo olisi alkuperäisen suuruinen? b) Sijoittaja arvioi, että kurssinousu kolmantena vuonna on normaalisti jakautunut keskiarvona 7,0 prosenttia ja keskihajontana 5,0 prosenttia. Mikä on todennäköisyys, että kolmannen vuoden lopussa osakkeiden arvo on vähintään alkuperäisen suuruinen?

3 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA MATEMATIIKAN KOE LYHYT OPPIMÄÄRÄ Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. a) Ratkaise yhtälö x + = x + x. b) Ratkaise yhtälöryhmä x + y =, x y = 0. c) Kumpi luvuista 5 ja 6 on suurempi? Perustele ratkaisusi likiarvoja käyttämättä 7 9 esimerkiksi muodostamalla lukujen erotus.. a) Ratkaise yhtälö 5x ( x) = 3x. b) Määritä lukujen 7, 3, 6, 3, 5, 3, mediaani ja keskiarvo. c) Sievennä lauseke a + 3 a : 3a + 9 a. 3. a) Laskettelurinteen kaltevuuskulma on 7,0 astetta ja rinteen korkeusero 80 metriä. Kuinka pitkä rinne on? Kuinka kauan kestää hiihtohissillä matka rinnettä pitkin alhaalta ylös, kun hiihtohissin nopeus on 6 km/h? b) Suora kulkee pisteiden (, 0) ja (3, 3) kautta. Kuinka suuren kulman se muodostaa x-akselin positiivisen suunnan kanssa? Anna vastaus asteen kymmenesosan tarkkuudella. 4. Kumiputken ulkohalkaisija on 53 mm ja seinämän paksuus 4 mm. Kuinka pitkä putken on oltava, jotta putkeen mahtuisi 3,0 litraa vettä? 5. Kännykkäliittymän A kuukausimaksu on 4 euroa ja puhelumaksu 0,09 euroa minuutilta. Kännykkäliittymässä B ei ole kuukausimaksua, mutta puhelumaksu on 0, euroa minuutilta. Määritä kuukausilaskun suuruus kummassakin tapauksessa lausekkeena, jossa muuttujana on puheaika minuutteina. Millä puheajalla liittymien A ja B kuukausilaskut ovat yhtä suuret? 6. Äänilähteen tuottaman äänen intensiteetti on kääntäen verrannollinen äänilähteen etäisyyden neliöön. Festareilla Miisa istui aluksi 50 metrin päässä orkesterista, mutta siirtyi sitten 5 metrin päähän orkesterista. Kuinka monta prosenttia kasvoi äänen intensiteetti? 7. Pallo heitetään hetkellä t = 0. Sen lentokorkeus metreinä saadaan lausekkeesta 0,5t +,4t +,8, missä t on aika sekunneissa. Kuinka korkealla pallo käy? Millä aikavälillä sen lentorata on laskeva? 8. Kulhossa on viisi punaista ja kymmenen mustaa palloa. Kulhosta poimitaan umpimähkään viisi palloa palauttamatta yhtäkään. Mikä on todennäköisyys, että ainakin yksi poimituista palloista on punainen? Millä todennäköisyydellä kaikki viisi ovat samanvärisiä? KÄÄNNÄ!

4 9. Lomapaketin hinta koostui hotelli- ja matkakustannuksista. Hotellikustannukset laskivat 5 % ja matkakustannukset nousivat 8 %. Muutosten jälkeen lomapaketin hinta oli sama kuin aikaisemminkin. Kuinka monta prosenttia matkakustannukset olivat lomapaketin hinnasta ennen muutoksia? 0. Kolmannen asteen polynomifunktiolla f(x) = ax 3 +bx +cx+d on paikallinen minimi kohdassa x = 0 ja paikallinen maksimi kohdassa x =. Määritä kertoimet a, b, c ja d.. Isoisä avasi vuoden 006 alussa lapsenlastaan varten tilin, jonka vuotuinen korkoprosentti lähdeveron vähentämisen jälkeen on,750, ja talletti tilille 700 euroa. Isoisä jatkaa seuraavina vuosina tallettamalla saman summan. Korko lisätään vuosittain tilin saldoon vuoden viimeisenä päivänä. Kuinka paljon tilillä on rahaa vuoden 00 lopussa koron lisäyksen jälkeen? Muodosta ja sievennä lauseke, joka antaa tilin saldon vuoden lopussa, kun talletus on tehty n kertaa. Minkä vuoden lopussa rahaa on vähintään 000 euroa?. Taiteilija suunnittelee taideteoksen, joka koostuu suoran ympyrälieriön muotoisesta vesialtaasta sekä siihen sijoitetusta kivikuutiosta, jonka pohjaneliö lepää altaan vaakasuoralla pohjalla. Tilasyistä altaan halkaisijaksi valitaan 3,5 metriä, mutta altaan syvyyden ja kuution koon taiteilija saa valita vapaasti. Hän haluaa kuution ylätahkon olevan samassa tasossa kuin vedenpinta. Vettä altaassa pitää olla mahdollisimman paljon. Mikä on veden syvyys näillä ehdoilla? Anna vastaus desimetrin tarkkuudella. 3. Piirrä funktioiden x 3 x ja x+3 kuvaajat samaan koordinaatistoon. Etsi yhtälön x 3 x = x+3 juuri haarukoimalla. Anna vastaus yhden desimaalin tarkkuudella. 4. Vuoden 00 alussa Liisa talletti 000 euroa tilille, jonka vuotuinen korko oli,5 prosenttia. Kuinka suuri talletus korkoineen oli viisi vuotta myöhemmin? Korkotulon lähdevero oli..005 lähtien 8 prosenttia ja sitä ennen 9 prosenttia. Mikä oli talletuksen reaaliarvon muutos prosentteina? Vuoden 00 alussa elinkustannusindeksi oli 548 ja viisi vuotta myöhemmin Ratkaise joko kohta A tai kohta B : A) Lukion 35 opiskelijasta 65 opiskelee espanjaa. Arvalla valitaan 3 opiskelijan ryhmä. Kuinka suuri on todennäköisyys, että ryhmän jäsenistä opiskelee espanjaa? Entä mikä on todennäköisyys, että tässä 3 opiskelijan ryhmässä korkeintaan 3 opiskelee espanjaa? Approksimoi binomijakaumaa normaalijakaumalla ja laske todennäköisyys sille, että edellä kuvatussa ryhmässä on vähintään 3 espanjan opiskelijaa. B) Suunnikkaan ABCD kärki A on pisteessä ( 3, 7) ja sen pisteestä A lähtevinä sivuina ovat vektorit AB = 3ī + j ja AD = ī + 5 j. Määritä pisteiden B, C ja D paikkavektorit. Kuinka suuri on lävistäjävektoreiden AC ja DB välinen kulma? Anna vastaus asteen kymmenesosan tarkkuudella. Tehtävät 5A ja 5B ovat keskenään vaihtoehtoisia. Tehtävä 5A on laadittu vanhojen, vuoden 994 lukion opetussuunnitelman perusteiden mukaan, tehtävä 5B uusien, vuonna 005 käyttöön otettujen lukion opetussuunnitelman perusteiden mukaan. Kumpaan tahansa tehtävään saa vastata.

5 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA MATEMATIIKAN KOE LYHYT OPPIMÄÄRÄ Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. a) Muodosta polynomien x + x ja x 3x + summa ja tulo. b) Ratkaise yhtälö x x 3 = x. c) Ratkaise yhtälöryhmä x + y =, x y =.. a) Suureet x ja y ovat suoraan verrannolliset. Kun x =, on y = 5. Mikä on suureen y arvo, kun x = 7? b) Määritä funktion f(x) = x 3 6x + derivaatan nollakohdat. c) Laske lausekkeen x x + arvo, kun x = a) Suoran kulmakerroin on, ja suora kulkee pisteen (, ) kautta. Esitä suoran 3 yhtälö muodossa y = kx + b. b) Tutki, millä muuttujan x arvoilla polynomi x + 5x 3 saa negatiivisia arvoja. 4. Alla oleva pylväsdiagrammi esittää kevään 007 lyhyen matematiikan ylioppilaskokeen tehtävän 8 pistejakaumaa (vaaka-akselilla pisteet, pylväiden korkeus osoittaa kyseisen pistemäärän saaneiden lukumäärän). Laadi vastaava sektoridiagrammi, josta ilmenee kunkin pistemäärän saaneiden suhteellinen osuus, ja ilmoita osuudet prosentteina Kaupunkeja A ja B yhdistää 70 kilometriä pitkä maantie. Alpo lähtee A:sta klo 8.0 ajamaan kohti B:tä keskinopeudella 0 km/h. Berit lähtee B:stä klo 8.35 ajamaan kohti A:ta keskinopeudella 05 km/h. Kuinka kaukana A:sta ja mihin aikaan Alpo ja Berit kohtaavat? Muodosta sopiva yhtälö ja ratkaise se. 6. Kuparipallon ympärysmitta on 64, cm ja massa 37,9 kg. Tutki, onko pallon sisällä tyhjää tilaa. Kuparin tiheys on 8,96 g/cm 3. KÄÄNNÄ!

6 7. Neljäkkään (vinoneliön) sivun pituus on 8,0 cm. Lyhyempi lävistäjistä on 4,0 cm pitkä. Laske pitemmän lävistäjän pituus. 8. Opintorahaa saanut opiskelija saattoi vuonna 006 tehdä kunnallisverotuksessa ansiotulosta opintorahavähennyksen, jonka suuruus laskettiin seuraavasti: Vähennyksen enimmäismäärä oli 00 euroa, ja sitä pienennettiin 50 prosentilla siitä määrästä, jolla puhtaan ansiotulon määrä ylitti vähennyksen enimmäismäärän. Kuitenkin vähennys oli enintään opintorahan suuruinen. Piirrä kuvaaja, joka osoittaa vähennyksen riippuvuuden palkkatulosta, kun opintorahan suuruus on 500 euroa. Oletetaan, että puhdas ansiotulo muodostuu palkkatulosta ja opintorahasta. Miten suurilla palkkatuloilla vähennystä ei tässä tapauksessa enää saa? 9. Kolmion kärjet ovat pisteissä ( 6, ), (0, 0) ja (4, 9). a) Laske kolmion kulmat asteen kymmenesosan tarkkuudella. b) Laske kolmion pinta-ala yhden desimaalin tarkkuudella. 0. Suorakulmion yksi kärki on origossa, toinen pisteessä (x, 0), 0 x 4, ja kolmas paraabelilla y = 4x x. Muodosta suorakulmion alan lauseke x:n avulla ja määritä alan suurin arvo.. Vasenkätisiä on erään tiedon mukaan 0 % väestöstä. Kuinka monta henkilöä tulee satunnaisesti kootussa ryhmässä olla, jotta siinä olisi ainakin yksi vasenkätinen todennäköisyydellä 0,8?. Mikä on suurin arvo, jonka lauseke x + y saa epäyhtälöiden x 0, y 0, x + 3y 4 ja 5x + 3y 30 määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit. Piirrä kuvio. 3. Aritmeettisen jonon ensimmäinen termi on, viimeinen termi on 6, ja jonon termien summa on 96. Mikä on jonon toinen termi? 4. Talletustilin vuosikorko on,50 prosenttia, ja korkotuotosta peritään vuosittain 9 prosentin lähdevero. Tiliä avattaessa talletetaan 000 e, eikä muita talletuksia tehdä. a) Kuinka paljon tilillä on rahaa kymmenen vuoden kuluttua, kun korko liitetään pääomaan vuoden välein? b) Monenko vuoden kuluttua talletus on kaksinkertaistunut? 5. Olkoon ā = ī 5 j ja b = ī j. a) Laske b ā. b) Piirrä vektorit ā, b ja b ā koordinaatistoon siten, että niiden alkupiste on origossa. c) Määritä vektoreiden ā ja b välinen kulma.

7 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA MATEMATIIKAN KOE LYHYT OPPIMÄÄRÄ Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. a) Ratkaise yhtälö (3x ) = (x + 3). 3 b) Ratkaise yhtälö (x + )(x ) = 5. c) Määritä suorien x + y = ja x y = 5 leikkauspiste.. a) Neliön pinta-ala on,0 m. Laske neliön lävistäjän pituus senttimetrin tarkkuudella. b) Mille positiiviselle luvulle x pätee x 4 = 7? Anna vastaus kolmen desimaalin tarkkuudella. c) Sievennä Anna vastaus murtolukuna. 3. Oheisessa kuviossa on erään funktion kuvaaja. Määritä kuvion perusteella a) funktion nollakohdat, b) funktion derivaatan nollakohdat, c) funktion suurin arvo välillä [, 3], d) funktion pienin arvo välillä [, 3], e) välit, joilla funktio on kasvava, ja f) väli, jolla funktio on vähenevä

8 4. Kuinka monta litraa -prosenttista suolaliuosta on lisättävä kolmeen litraan 5-prosenttista suolaliuosta, jotta saadaan 8-prosenttinen suolaliuos? 5. Tuhat euroa talletetaan viiden prosentin korolla 50 vuodeksi. Korko liitetään pääomaan vuosittain. Laadi pylväsdiagrammi, joka kuvaa talletuksen arvoa viiden vuoden välein. Lähdeveroa ei oteta huomioon. 6. Määritä funktion f(x) = (x )(3 x) suurin ja pienin arvo välillä [ 3, 3]. 7. Suorakulmaisen kolmion kateettien pituudet ovat 3, cm ja 5,7 cm. Laske hypotenuusan pituus ja suoran kulman kärjen etäisyys hypotenuusasta. 8. Tiedonsiirtojärjestelmässä havaittiin yksittäisen bitin saapuvan virheellisenä vastaanottajalle todennäköisyydellä 0,0005. Yksittäisten bittien siirtojen oletetaan olevan toisistaan riippumattomia. a) Millä todennäköisyydellä vastaanottajalle saapuvassa 6 bitin jonossa on ainakin yksi virheellinen bitti? b) Jos lähetetään 3 kappaletta 6 bitin jonoja, niin millä todennäköisyydellä vastaanottajalle saapuu ainakin yksi virheellinen jono? 9. Määritä sen suoran yhtälö, joka kulkee pisteiden A = (, ) ja B = (8, 4) yhdysjanan keskipisteen kautta ja on kohtisuorassa tätä janaa vastaan. Missä pisteissä suora leikkaa koordinaattiakselit? Piirrä kuvio. 0. Suorakulmaisen kolmion kateettien pituudet ovat ja 3. Kolmio pyörähtää täyden kierroksen lyhyemmän kateettinsa ympäri, jolloin syntyy avaruuskappale. Piirrä kappaleen kuva ja laske sen tilavuus.

9 3. Lukujonon seuraava termi a n+ lasketaan edellisen termin a n avulla kaavan a n+ = ( an + a n ) mukaisesti. Laske desimaalilukuina riittävällä tarkkuudella lukujonon termit a, a, a 3 ja a 4, kun a) a 0 = 3 ja b) a 0 = 8. Laske molemmissa tapauksissa, kuinka monta prosenttia termi a 4 poikkeaa luvusta.. Määritä sellaiset luvut a, h ja k, että paraabelin y = x 4x yhtälö saa muodon y k = a(x h). Mitkä ovat paraabelin huipun koordinaatit? Piirrä kuvio. 3. Lahjavero määräytyy ensimmäisessä veroluokassa seuraavasti: Verotettavan osuuden arvo, euroa Veron vakioerä osuuden alarajan kohdalla, euroa Veroprosentti ylimenevästä osasta a) Kuinka paljon veroa menee euron lahjoituksesta? Lähde: ( ) b) Piirrä sen funktion kuvaaja, joka esittää lahjaveron riippuvuutta lahjan arvosta (so. verotettavan osuuden arvosta). 4. Sanomalehden tilaushinta vuodeksi 003 oli 94,6 e ja vuodeksi 009 vastaavasti 49 e. Kuinka monen prosentin vuosittaista hinnankorotusta tämä vastaa, kun oletetaan, että prosentti on jokaisena vuonna ollut sama?

10 4 5. Pystysuora vektori p = 5 j esitetään kahden vektorin ā = xī + y j ja b = xī + y j summana. Miten on x ja y valittava, kun vaatimuksena on, että sekä vektorin ā että vektorin b kulma x-akseliin nähden on? p a b

11 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA MATEMATIIKAN KOE LYHYT OPPIMÄÄRÄ Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. a) Ratkaise yhtälö 4 x + (5x 4) = + 3 x. b) Sievennä lauseke c) Ratkaise yhtälöpari x + x ( x x) ja laske sen arvo, kun x y = 0 x 3y =. x =.. a) Suorakulmaisen kolmion toisen kateetin pituus on ja hypotenuusan pituus 5. Laske kolmion terävien kulmien suuruudet asteen tarkkuudella. b) Sievennä lauseke ( x ) c) Laske x y, kun x = + x. ja y = a) Määritä sellainen vakio a, että x = toteuttaa yhtälön x 4ax + 4a = 0. b) Positiivinen luku a kasvaa 0 % ja pienenee tämän jälkeen 7 %. Onko tulos suurempi vai pienempi kuin alkuperäinen luku a? Kuinka monta prosenttia alkuperäisestä luvusta muutos on? 4. Muinaiset egyptiläiset laskivat ympyrän pinta-alan sellaisen neliön alana, jonka sivun pituus on 8 9 ympyrän halkaisijasta. a) Laske tällä säännöllä ympyrän ala, kun sen halkaisija on 5. b) Onko edellä saatu ala liian suuri vai liian pieni? Kuinka suuri virhe on prosentteina? Anna vastaus prosentin kymmenesosan tarkkuudella.

12 5. Alla on 5. taulukoituina Alla on taulukoituina erään funktion erään arvot funktion 0,: arvot n välein 0,: välillä n välein [,]. välillä Hahmottele [,]. Hahmottele funktion funktion 5. Alla on taulukoituina erään funktion arvot 0,: n välein välillä [,]. Hahmottele funktion kuvaaja ja kuvaaja määritä ja sen määritä avulla sen likimääräisesti avulla likimääräisesti funktion derivaatta funktion derivaatta kohdassa kohdassa x = 0. x = 0. kuvaaja ja määritä sen avulla likimääräisesti funktion derivaatta kohdassa x = 0. x f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) x x f ( x ) f ( x ) x x f ( x ) f ( x ) x x f ( x ) f ( x ) x x f ( x ) f ( x ),0 0, 00,0 0,,0 0, 00 0,5 00 5,64 0,5 5,64 0,5 5,64 0, 0,5 0, 0,5 0, 0,5 0,6,9 0,6,9 0,6,9 0,9,05 0,9,05 0,9,05 0, 4 6,7 0, 4 6,7 0,4 6,7 0, 0,89 0,89 0, 0,89 0,7,0 0,7,0 0,7,0 0,8,8 0,8,8 0,8,8 0,3 7,70 0,3 7,70 0,3 7,70 0,3,4 0,3,4 0,3,4 0,8 0,74 0,8 0,74 0,8 0,74 0,7 3,34 0,7 3,34 0,7 3,34 0, 8,59 0, 8,59 0, 8,59 0,4,7 0, 4, 0,4,7 0,9 7 0, 0,9 40 0,9 0, 40 0,40 0,6 4,5 0,6 0,6 4,5 4,5 0, 9,36 0, 0, 9,36 9,36 0,5,8 0,5 0,5,8,,08 0,00,0,0 0,00 0,00 0,0 0,00 0,0 0,00 0,00 6. A4-kokoisen A4-kokoisen A4-kokoisen kartan mittakaava kartan kartan mittakaava mittakaava on :0 on 000. on :0 :0 Kartta pienennetään Kartta Kartta pienennetään pienennetään kopiokoneella kopiokoneella kopiokoneella A5-kokoiseksi, jolloin seksi, A5-kokoi- A5-kokoiseksi, sen jolloin jolloin pinta-ala sen sen pinta-ala pinta-ala pienenee pienenee pienenee puoleen, puoleen, puoleen, mutta muoto mutta mutta säilyy. muoto muoto Mikä säilyy. säilyy. on Mikä pienennetyn Mikä on on pienennetyn pienennetyn kartan mittakaava? kartan kartan mittakaava? mittakaava? 7. Eräässä kokeessa Eräässä Eräässä kokeessa kokeessa annettiin annettiin annettiin suoritusten suoritusten suoritusten arvosanoiksi arvosanoiksi arvosanoiksi 0,,, 3, 0, 0, 4,,, 5,, tai 3, 3, 4, 6. 4, 5 Näiden 5 tai tai prosenttiosuudetiosuudetiosuudet olivat seuraavat: olivat olivat seuraavat: seuraavat: Näiden Näiden prosent- prosent- arvosana arvosana arvosana osuus osuus osuus 5,80 0,99 5,80 5,80 7,54 0,99 0,99 4,78 7,54 7,54 9,95 4,78 4,78 5,48 9,95 9,95 5,46 5,48 5,48 5,46 5,46 Laske kokeen Laske Laske keskiarvo kokeen kokeen keskiarvo keskiarvo ja keskihajonta. ja ja keskihajonta. keskihajonta. 8. Alla olevan Alla Alla kuvion olevan olevan kuvion kukin kuvion ruutu kukin kukin väritetään ruutu ruutu väritetään väritetään satunnaisesti satunnaisesti ja toisista ja ja riippumatta toisista toisista riippumatta riippumatta joko ruskeaksi tai siniseksi. aksi aksi tai tai siniseksi. joko joko ruske- ruske- a) Millä todennäköisyydellä a) a) Millä Millä todennäköisyydellä saadaan saadaan kuvion saadaan kuvion shakkilautakuvio? kuvion shakkilautakuvio? b) Millä todennäköisyydellä b) b) Millä Millä todennäköisyydellä mikään vaakarivi mikään mikään ei vaakarivi ole yksivärinen? ei ei ole ole yksivärinen? KUVA: ruutu.pdf KUVA: ruutu.pdf Kuvio Kuvio

13 3 9. Olkoon f ( x) > g ( x)? 3 f ( x) = x + x + ja 3 g( x) = x x. Millä muuttujan x arvoilla on Suorakulmion yhtenä sivuna on x -akselin väli [ a, a], missä 0 < a <. Suorakulmion kaksi kärkeä ovat paraabelilla y = 4 x. Millä luvun a arvolla suorakulmion pinta-ala on suurin?. Radioaktiivisen näytteen aktiivisuudeksi mitattiin 5, 0 kbq ja viisi vuorokautta myöhemmin 6, kbq. Laske puoliintumisaika ja näytteen aktiivisuus kymmenen vuorokautta ennen ensimmäistä mittausta. Radioaktiivisuus vähenee eksponentiaalisesti, ja puoliintumisaika on aika, jonka kuluessa aktiivisuus vähenee puoleen.. Havaintopisteestä A nähtiin trombi merellä suunnassa 33,8 ja havaintopisteestä B sama trombi suunnassa 05, 0. Suunnat on ilmoitettu pohjoissuunnasta lähtien myötäpäivään. Pisteiden A ja B koordinaatit ovat ( , ) ja ( , ) koordinaatistossa, jonka x -akseli suuntautuu pohjoiseen ja y -akseli itään ja jonka yksikkönä on metri. Laske trombin sijainnin koordinaatit. x KUVA: kartta.pdf y (7.5.00)

14 4 3. Aritmeettisen jonon ensimmäinen termi on 0 ja toinen termi. Geometrisen jonon ensimmäinen termi on ja suhdeluku q =. Monennestako termistä lähtien geometrisen 3. Aritmeettisen jonon ensimmäinen termi on 0 ja toinen termi. Geometrisen jonon ensimmäinen termi on ja suhdeluku q. 0 Monennestako termistä lähtien geometrisen jonon jonon termi on suurempi kuin vastaava 0 aritmeettisen jonon termi? Muodosta tarvittava epäyhtälö termi on suurempi ja etsi sille kuin ratkaisu vastaava kokeilemalla. aritmeettisen jonon termi? Muodosta tarvittava epäyhtälö ja etsi sille ratkaisu kokeilemalla a) Säätiöllä on on,8,8 miljoonan miljoonan euron euron pääoma, pääoma, jonka jonka vuosittainen vuosittainen tuotto tuotto on on 5, 45,4 prosenttia. prosenttia. Eräänä vuonna säätiö on päättänyt siirtää tuotosta 30 prosenttia pääomaan ja jakaa lo- lopuspusta tuotosta tuotosta kaksi kaksi euron euron suuruista suuruista apurahaa apurahaa opiskeluun opiskeluun ulkomailla ulkomailla sekä 4 sekä yhtä 4 suuryhtä ta matka-apurahaa. suurta matka-apurahaa. Kuinka suuria Kuinka matka-apurahat suuria matka-apurahat ovat? ovat? b) Kuinka suureksi säätiön säätiön,8,8 miljoonan miljoonan euron euron pääoma pääoma kasvaa kasvaa viidessä viidessä vuodessa, vuodessa, jos jos tuot- tuotto to on on jokaisena jokaisena vuotena vuotena 5,4 5, prosenttia 4 prosenttia pääomasta pääomasta ja vuosittain ja vuosittain pääomaan pääomaan siirretään siirretään 30 pro- 30 senttia prosenttia tuotosta? tuotosta? 5. Laske avaruuden kulman BAC suuruus asteen tarkkuudella, kun A = (,,3), B = (4,5,6) ja ja C C (9,8,7). =

15 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA MATEMATIIKAN KOE LYHYT OPPIMÄÄRÄ Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään. V.. a) a) Ratkaise yhtälö 7 x + 3 = 3. a + 3 b 5 7 b) b) Laske lausekkeen arvo, kun a = ja ja b =.. a b 3 c) c) Ratkaise yhtälöpari x y = x + y = Kuvissa 6 on oheisessa taulukossa mainittujen funktioiden y = ff( ( x )) kuvaajat. Kopioi taulukko vastauspaperiisi ja ja merkitse siihen, mikä kuvaaja esittää annettua funktiota. ff( ( x )) x x 33 x x x x Kuva Kuva y x Kuva y x Kuva 3 y Kuva 4 y x x Kuva 5 y x Kuva 6 y x

16 3. a) Ratkaise yhtälö b) Ratkaise yhtälö x + 3x 3 =. 3 x = x 3 4. a) Funktion f ( x) = x + b nollakohta on. Määritä vakion b arvo. b) Missä pisteessä a-kohdan funktion kuvaaja leikkaa y-akselin? c) Kuinka suuren terävän kulman a-kohdan funktion kuvaaja muodostaa x-akselin kanssa? Anna vastaus asteen kymmenesosan tarkkuudella. 5. Tarkastellaan funktiota f ( x) = ( x + 3)( x 4). a) Laske funktion f ( x ) nollakohdat. b) Määritä derivaatta f ( x ). c) Laske derivaatan nollakohdat. 6. Biologi haluaa arvioida joen leveyttä, jotta hän voi asettaa kalojen liikkumista mittaavia laitteita jokeen. Hän katsoo joen rannalla olevasta pisteestä A kohtisuoraan vastarannalla olevaa pistettä C. Pisteestä A hän kävelee 30 metriä alavirtaan pisteeseen B, josta katsottuna vastarannan piste C näkyy 50 asteen kulmassa alla olevan kuvan mukaisesti. Laske joen leveys AC metrin tarkkuudella. C 50 o A B 7. Henkilö lähettää sähköpostin kahdelle ystävälleen. Kumpikin näistä lähettää saman viestin 0 minuutin kuluttua edelleen kahdelle uudelle henkilölle, jotka toimivat samoin. Tilanne toistuu kunkin saajan kohdalla aina samalla tavalla, eikä kukaan saa kyseistä sähköpostia toista kertaa. Kuinka kauan kestää, että henkilöä on saanut sähköpostin? Anna vastaus 0 minuutin tarkkuudella.

17 3 8. Naisten hiusten leikkaus maksaa nyt 45 euroa. Kuinka paljon se maksaa kymmenen vuoden 8. Naisten hiusten leikkaus maksaa nyt 45 euroa. Kuinka paljon se maksaa kymmenen vuoden 8. kuluttua, Naisten hiusten jos hintaa leikkaus korotetaan maksaa vuoden nyt 45 välein euroa.,5 Kuinka %? paljon se maksaa kymmenen vuoden kuluttua, jos hintaa korotetaan vuoden välein,5 %? kuluttua, jos hintaa korotetaan vuoden välein,5 %? 9. Farao Djoser (hallitsi eaa.) suunnitteli porraspyramidia, jossa on päällekkäin Farao Djoser (hallitsi eaa.) suunnitteli porraspyramidia, jossa on päällekkäin suorakulmaista Farao Djoser (hallitsi neliöpohjaista särmiötä eaa.) suunnitteli niin, että kaikilla porraspyramidia, on sama korkeus jossa on ja päällekkäin jokaisen pohjasärmä on 0 % neliöpohjaista lyhyempi kuin särmiötä alla olevan niin, että pohjasärmä. kaikilla on Alimmaisen sama korkeus särmiön ja jokaisen tilavuus pohja- on särmä on 0 lyhyempi kuin alla olevan pohjasärmä. Alimmaisen särmiön tilavuus on 00 suorakulmaista neliöpohjaista särmiötä niin, että kaikilla on sama korkeus ja jokaisen pohja- suorakulmaista särmä on m 0 % lyhyempi kuin alla olevan pohjasärmä. Alimmaisen särmiön tilavuus on m 3 3. Määritä tällaisen porraspyramidin tilavuus kolmen merkitsevän numeron tarkkuu- Määritä tällaisen porraspyramidin tilavuus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudelladella.. Määritä tällaisen porraspyramidin tilavuus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella. < Porraspyramidi Luettu < < Luettu Luettu Luettu Maanjäristyksen voimakkuus M lasketaan kaavalla 0. Maanjäristyksen voimakkuus lasketaan kaavalla Maanjäristyksen voimakkuus M lasketaan kaavalla, 44M = log E 5, 4,, 44 log 5, 4,,, 44M = log E 5, 4, jossa E on järistyksessä vapautuva energia. jossa on järistyksessä vapautuva energia. jossa a) Sendain E on lähellä järistyksessä vuonna vapautuva 0 sattuneen energia. järistyksen voimakkuus oli 9,0. Laske järistyksessä a) Sendain lähellä vuonna 0 sattuneen järistyksen voimakkuus oli 9,0. Laske järistyksessä a) Sendain vapautunut lähellä energia vuonna kahden 0 merkitsevän sattuneen järistyksen numeron tarkkuudella. voimakkuus oli 9,0. Laske järistyksessä vapautunut energia kahden merkitsevän numeron tarkkuudella. b) Kobessa vapautunut vuonna energia 995 kahden sattuneen merkitsevän järistyksen numeron voimakkuus tarkkuudella. oli 6,8. Kuinka moninkertainen oli b) Kobessa vuonna 995 sattuneen järistyksen voimakkuus oli 6,8. Kuinka moninkertainen oli b) Kobessa Sendain järistyksessä vuonna 995 vapautunut sattuneen järistyksen energia Koben voimakkuus järistykseen oli 6,8. verrattuna? Kuinka moninkertainen oli Sendain järistyksessä vapautunut energia Koben järistykseen verrattuna? Sendain järistyksessä vapautunut energia Koben järistykseen verrattuna?.. Levitoimiseen tarvittavassa taikajuomassa on oltava vähintään 0 hyppysellistä jauhettua le-. Levitoimiseen tarvittavassa taikajuomassa on oltava vähintään 0 hyppysellistä jauhettua lepakon siipeä ja vähintään 0 hyppysellistä hämähäkin seittiä. Taikajuomapuodissa on kahta. Levitoimiseen pakon siipeä ja tarvittavassa vähintään 0 taikajuomassa hyppysellistä on hämähäkin oltava vähintään seittiä. Taikajuomapuodissa 0 hyppysellistä jauhettua on kahta lepakon valmissekoitetta siipeä ja vähintään Ascensus ja 0 Sursum. hyppysellistä Pikarillinen hämähäkin Ascensusta seittiä. maksaa Taikajuomapuodissa kaksi kultarahaa, on ja kahta siinä valmissekoitetta Ascensus ja Sursum. Pikarillinen Ascensusta maksaa kaksi kultarahaa, ja siinä valmissekoitetta on kolme hyppysellistä Ascensus lepakon ja Sursum. siipeä Pikarillinen ja kaksi hyppysellistä Ascensusta hämähäkin maksaa kaksi seittiä. kultarahaa, Pikarillinen ja siinä Sur- on kolme hyppysellistä lepakon siipeä ja kaksi hyppysellistä hämähäkin seittiä. Pikarillinen Sursumia maksaa kolme kultarahaa. Siinä puolestaan on neljä hyppysellistä lepakon siipeä ja yksi sumia on kolme maksaa hyppysellistä kolme kultarahaa. lepakon siipeä Siinä ja puolestaan kaksi hyppysellistä on neljä hyppysellistä hämähäkin seittiä. lepakon Pikarillinen siipeä ja Sursumia maksaa hämähäkin kolme kultarahaa. seittiä. Kuinka Siinä puolestaan paljon kumpaakin on neljä hyppysellistä sekoitetta kannattaa lepakon levitoijakoke- siipeä yksi hyppysellinen hämähäkin seittiä. Kuinka paljon kumpaakin sekoitetta kannattaa levitoijakoke- yksi hyppysellinen laan hyppysellinen ostaa, jotta hämähäkin hän saisi taikajuoman seittiä. Kuinka mahdollisimman paljon kumpaakin edullisesti? sekoitetta kannattaa levitoijakokelaan ostaa, jotta hän saisi taikajuoman mahdollisimman edullisesti? laan ostaa, jotta hän saisi taikajuoman mahdollisimman edullisesti?

18 4. Leonardo Pisano (70 50), kutsumanimeltään Fibonacci, määritteli noin vuonna 0 lukujonon ( f n) kaavoilla a) Määritä luvut f3, f4,, f 0. f = f =, f = f + f, n =,, n+ n+ b) Kreikkalaiset kutsuivat lukua ( ) ϕ = + 5,68034 kultaiseksi leikkaukseksi. Sen avulla saadaan Fibonaccin luvuille kaava n ( ( ) ),,, 5 ϕ n = ϕ n fn n = Näytä, että kaava on oikea, kun n = ja n =. c) Näytä, että yhtälön x x = 0 juuret ovat ϕ ja. ϕ 3. Simeoni osti Saapasnahkatornin 000 eurolla ja teetti siihen myöhemmin euron peruskorjauksen. Yksitoista vuotta myöhemmin hän myi sen Juhanille eurolla. Voitosta on maksettava 30 % pääomatuloveroa. Verottaja tulkitsee voitoksi summan, joka saadaan, kun myyntihinnasta vähennetään ostohinta ja peruskorjauskulut. Toisaalta Simeoni voi myös halutessaan käyttää ns. hankintameno-olettamaa. Tällöin myyntihinnasta vähennetään 0 %, jos on omistanut tornin alle 0 vuotta, ja 40 %, jos on omistanut yli 0 vuotta. Mitään muita vähennyksiä ei saa tehdä. Jäljelle jääneestä summasta maksetaan 30 % pääomatuloveroa. a) Paljonko Simeonille jää myyntihinnasta verotuksen jälkeen, kun hän valitsee edullisemman vaihtoehdon? b) Mikä olisi sellainen myyntihinta, että Simeoni maksaisi kummassakin verotusvaihtoehdossa yhtä suuren veron? 4. Vuorokauden keskilämpötila maaliskuussa on eräällä paikkakunnalla normaalijakautunut niin, että odotusarvo on 4,0 C ja 90 % vuorokautisista keskilämpötiloista on,0 C 6,0 C. Laske keskilämpötilan keskihajonta. 5. a) Määritä yhtälön sin (x + 4 ) = ratkaisut välillä x [0,90 ]. b) Määritä a-kohdan yhtälön kaikki ratkaisut. 3

19 LYHYT KEVÄT, 3.4. YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA MATEMATIIKAN KOE LYHYT OPPIMÄÄRÄ Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. a) Ratkaise yhtälö ( x 4) 3( x 3) 0. b) Laske lukujen 3 4 ja 6 käänteislukujen keskiarvo. 5 c) Sievennä lauseke 3 a 6 a 3 a.. a) Millä muuttujan x arvoilla 4 x 7 on suurempi kuin x? b) Ratkaise yhtälö x 4 x 49. c) Suora kulkee origon ja pisteen (, 3) kautta. Kulkeeko se myös pisteen (48, 75) kautta? 3. a) Laske derivaatta f '(), kun f ( x ) x ( x ) 5. 3x x 3 x b) Ratkaise yhtälö Alpo, Sanna ja Pauli palaavat samalla taksilla ylioppilasjuhlista. Alpon jäädessä pois mittari näyttää,90, Sannan jäädessä 8,0 ja matkan loppusumma on 33,50. Matkan hinta päätetään jakaa seuraavalla tavalla: Alpo maksaa kolmasosan matkan alkuosuuden hinnasta. Sanna maksaa kolmasosan alkuosuudesta ja puolet keskiosuuden hinnasta. Laskun loppuosa jää Paulille. Kuinka paljon kukin joutuu maksamaan? 5. Tähtiharrastaja katselee yöllisiä tähdenlentoja pihalla, joka sijaitsee kahden kerrostalon välissä kuvan mukaisesti. Talojen korkeudet ovat 39 m ja 6 m. Kuinka kaukana korkeammasta talosta molempiin suuntiin avautuu yhtä suuri kulma maanpinnan tasosta katsottuna? 39 m α α 6 m 50 m

20 6. Tennispalloja myydään suoran ympyrälieriön muotoisessa pakkauksessa, johon mahtuu neljä palloa tiiviisti päällekkäin pakattuna. Tennispallon halkaisija on 6,68 cm. Kuinka monta prosenttia pakkauksen tilavuudesta pallot täyttävät? Anna vastaus prosentin tarkkuudella. Lähde: tour davis cup official tennis balls dozen/p 433 (Luettu < ) Luettu Mitä arvoja funktio 3 f ( x) x x 0x 5 saa välillä [0, ]? 8. Vuonna 005 yksityishenkilöiden maksuhäiriöiden lukumäärä Suomessa oli 4 500, ja vuonna 0 se oli a) Kuinka monta prosenttia maksuhäiriöiden lukumäärä kasvoi tällä aikavälillä? Anna vastaus prosentin tarkkuudella. b) Vuonna 0 ministeriö asetti tavoitteeksi vähentää maksuhäiriöiden määrän neljässä vuodessa takaisin vuoden 005 tasolle. Kuinka monta prosenttia määrä vähenee vuodessa, kun vuotuinen vähenemisprosentti on sama? Anna vastaus prosentin kymmenesosan tarkkuudella Uudet maksuhäiriöt Henkilöille Yrityksille Lähde: < Luettu (Luettu 5.3.0) 9. Neliön piiri on yhtä pitkä kuin ympyrän kehä. a) Kuinka monta prosenttia neliön pinta ala on pienempi kuin ympyrän pinta ala? b) Kuinka monta prosenttia ympyrän pinta ala on suurempi kuin neliön pinta ala? Anna vastaukset prosentin kymmenesosan tarkkuudella.

21 3 0. Noppaa heitetään kaksi kertaa. Millä todennäköisyydellä a) silmälukujen summa on vähintään kahdeksan? b) silmälukujen summa on suurempi kuin niiden tulo?. Lukujonossa ( a n ) on a ja a. Määritä jonon sadan ensimmäisen termin summa, 5 kun jono on a) aritmeettinen b) geometrinen. Anna tämän kohdan vastaus miljoonan tarkkuudella.. Valmistajan tarkistusmittauksissa todettiin, että hajuvesipullon sisällön määrä noudattaa normaalijakaumaa, jonka keskiarvo on 5 millilitraa ja keskihajonta on,5 millilitraa. Millä todennäköisyydellä hajuvesipullon sisältö on alle 50 millilitraa? 3. Mikropiirin transistoreiden lukumäärä N N( t ) on kasvanut alla olevan kuvan mukaisesti. Ajanhetkellä t 0 (vuosi 97) lukumäärä oli 300, ja hetkellä t 40 (vuosi 0) se oli Lukumäärä noudattaa mallia N( t) N(0) e. a) Määritä vakion a kaksidesimaalinen likiarvo näiden tietojen perusteella. b) Perustele a kohdan avulla niin sanottu Mooren laki, jonka mukaan transistoreiden lukumäärä kaksinkertaistuu noin kahden vuoden välein. at lkm lkm Core Xeon Westmere EX 0 Core 0 Core Xeon Westmere EX Westmere EX Pentium Pentium Intel Intel vuosi vuosi

22 4 4. Yhtiö valmistaa kännykkäkoteloita, joiden valmistuskustannukset ovat,30 kappale. Tämän lisäksi yhtiön kiinteät kustannukset ovat euroa. Koteloita myydään aluksi 7,99 eurolla, mutta viimeiset 5 % myydään varaston tyhjentämiseksi 4,00 eurolla kappale. Oletetaan, että yhtiö saa myytyä kaikki kotelot. Tehtävässä ei oteta huomioon verotusta. a) Muodosta lauseke, joka kuvaa yhtiön kokonaiskustannuksia koteloiden valmistusmäärän x avulla lausuttuna. b) Muodosta lauseke, joka kuvaa yhtiön saamaa voittoa valmistusmäärän x avulla lausuttuna. c) Kuinka monta koteloa yhtiön täytyy valmistaa, jotta kiinteät kustannukset saadaan katettua yllä mainitulla hinnoittelustrategialla? 5. Alla on funktion f ( x) Asin( bx ) kuvaaja välillä x [ 70, 70 ]. Määritä kuvaajan perusteella a) vakion A arvo b) vakion b arvo c) funktion f lyhin jakso L, jolle pätee L 0 ja f ( x L) f ( x ) kaikilla x. y

23 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA MATEMATIIKAN KOE LYHYT OPPIMÄÄRÄ Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Ratkaise yhtälöt a) x + (4 + x) =, b) 5 + x x = 5x Olkoon annettuna kaksi pistettä: A = (, 6) ja B = (, ). Määritä a) pisteiden A ja B määrittämän suoran yhtälö, b) janan AB pituus, c) janan AB keskipisteen koordinaatit. 3. Kuinka paljon -prosenttista desinfektioliuosta tarvitaan, jotta siitä laimennettuna saadaan 500 ml 0,35-prosenttista desinfektioliuosta? 4. Abiturientilla on kaksi herätyskelloa. Uudempi toimii oikein 98 %:n todennäköisyydellä ja vanhempi 85 %:n todennäköisyydellä. Matematiikan kokeen aattona abiturientti asettaa molemmat kellot soimaan seuraavana aamuna. Millä todennäköisyydellä kelloista soi oikeaan aikaan a) molemmat, b) vain toinen, c) ei kumpikaan? 5. Omakotitalon räystäskouruja puhdistettaessa käytettiin tikkaita, joiden pituutta voidaan säätää. Kun tikkaat oli asetettu viiden metrin pituisiksi ja sijoitettu pystysuoraa seinää vasten siten, että tikkaiden alapää osui maahan 50 cm:n etäisyydelle seinästä, jäi tikkaiden yläpää tasan metrin liian alas. Kuinka paljon tikkaita tuli pidentää, kun niiden alapään paikkaa ei haluttu muuttaa? Anna vastaus senttimetrin tarkkuudella. 6. Talon lämmityskustannukset pakkasella ovat suoraan verrannolliset sisä- ja ulkolämpötilojen väliseen erotukseen. Ulkolämpötilan ollessa,0 C ja sisälämpötilan,0 C sisälämpötila pudotetaan,0 C:seen. Kuinka monella prosentilla talon lämmityskustannukset tällöin pienenevät? 7. Lauralta kului koulumatkaan 5 minuuttia. Tavallisesti hän saapui kouluun kellon soidessa. Eräänä aamuna hän lähti kotoa 6 minuuttia tavallista myöhempään, ja vaikka hän kulki nopeammin, hän myöhästyi. Koulun kellon soidessa hänellä oli vielä 5 % matkasta jäljellä. Kuinka monta prosenttia tavallista nopeammin hän oli tällöin kulkenut? 8. Suorakulmaisen kolmion hypotenuusan pituus on,4 cm ja toinen terävä kulma 64,5. Kolmio pyörähtää pitemmän kateettinsa ympäri. Laske syntyneen kartion tilavuus ja vaipan ala. 9. Tarkastellaan funktiota f(x) = x 3 9 x + välillä [, 4]. a) Määritä funktion suurin ja pienin arvo annetulla välillä ja piirrä funktion kuvaaja. b) Määritä käyrän y = f(x) tangentin kulmakertoimen suurin ja pienin arvo annetulla välillä. 0. Toisen asteen polynomin y = ax + bx + c kuvaaja kulkee pisteiden (0, 0), (, ) ja (4, 3) kautta. Määritä kertoimet a, b ja c ja piirrä polynomin kuvaaja. Määritä polynomin derivaatta kohdassa x =. KÄÄNNÄ!

24 . a) Kuinka monta erilaista istumajärjestystä voidaan muodostaa luokassa, jossa on 30 oppilasta ja 30 pulpettia? b) Kuinka monella tavalla kolme tyhjää pulpettia voidaan valita luokassa, jossa on 7 oppilasta ja 30 pulpettia? Kuinka monta erilaista istumajärjestystä on tässä luokassa? c) Kuinka monta vuotta tietokoneelta kuluisi, jos se kävisi läpi a-kohdan erilaiset istumajärjestykset käsitellen biljoona (0 ) istumajärjestystä sekunnissa? Yksi vuosi on keskimäärin 365,5 vuorokautta.. Radioaktiivisen aineen määrän havaittiin vuodessa vähentyneen 0,043 %. Määritä aineen puoliintumisaika. 3. Tuotteen hintaa nostettiin p %. Huonon menekin vuoksi näin saatua hintaa laskettiin myöhemmin p %, jolloin hinta oli 5,5 % halvempi kuin ennen korotusta. Muodosta yhtälö luvun p määrittämiseksi ja ratkaise p. 4. Henkilö osallistuu jatkuvasti lottoarvontaan täyttämällä Internetissä yhden lottorivin kymmeneksi viikoksi joka toisen kuukauden alussa. Laske, kuinka paljon henkilölle kertyisi rahaa pankkitilille, jos hän loton sijasta 40 vuoden ajan, alkaen tammikuun. päivästä, tallettaisi joka toisen kuukauden alussa 7 euroa tilille, joka kasvaa korkoa,5 % vuodessa. Lähdeveroa ei oteta huomioon. 5. Automaattisessa nopeusseurannassa saatiin vuorokauden aikana tietoja mittauskohdan ohittaneista kaikkiaan 4 90 ajoneuvosta. Nopeuksien otoskeskiarvo oli 97,75 km/h ja otoskeskihajonta 0,70 km/h; nopeudet jakautuivat likimain normaalisti. a) Määritä nopeuden keskiarvon (odotusarvon) 95 % luottamusväli. b) Arvioi, kuinka moni seuraavista mittauskohdan ohittavista 000 ajoneuvosta ylittää nopeuden 90 km/h.

25 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA MATEMATIIKAN KOE LYHYT OPPIMÄÄRÄ Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. a) Ratkaise yhtälö 7x + 3x = 0. b) Ratkaise yhtälö x + = (x + ). 4 5 c) Sievennä lauseke x x +.. a) Suorakulmaisen kolmion hypotenuusan pituus on ja toisen kateetin pituus 5. Määritä kolmion terävät kulmat 0,0 asteen tarkkuudella. b) Derivoi funktio f(x) = 3x 007 5x + x 345. c) Mikä on aritmeettisen lukujonon, 4,... kymmenes termi? 3. Suomen sähkönkulutus vuonna 005 oli 84,9 TWh (terawattituntia). Tästä katettiin omalla ydinvoimalla 6,3 %, muilla kotimaisilla energialähteillä 53,7 % ja tuontisähköllä loput. Olkiluodon uusi ydinvoimala lisää sähköntuotantoa 4 TWh:lla vuonna 009. Oletetaan, että sähkönkulutus on tällöin noussut vuoden 005 tasosta %, muita muutoksia kotimaisessa energiantuotannossa ei ole tapahtunut ja tuonnilla katetaan edelleen kotimaisen tuotannon ylittävä osuus. Mikä on tällöin kotimaisen ydinvoiman ja mikä tuontisähkön suhteellinen osuus kokonaiskulutuksesta? 4. Määritä suorien y = x 3 ja y = 3x leikkauspiste P. Suora s kulkee pisteiden P ja Q = (7, 7) kautta. Määritä suoran s yhtälö. Piirrä kuvio. 5. Henkilö osti 50 gramman erän maustettua teetä 3,30 eurolla ja halvempaa mustaa teetä, jonka hinta oli 5,50 e/kg. Kuinka monta grammaa mustaa teetä tulisi maustetee-erään lisätä, jotta sekoituksen kilohinta olisi puolet maustetun teen kilohinnasta? 6. Talon harja on,80 metriä korkeammalla kuin sivuseinien yläreunat. Räystään kohtisuora etäisyys seinästä on 54 cm. Päätyseinän pituus on 7,64 m. Talon harja on keskellä kattoa. Määritä lappeen pituus AB senttimetrin tarkkuudella. 7. Etelämantereen jääpeitteen sulaessa valuu vuodessa mereen 50 kuutiokilometriä vettä. Jos tämä vesimäärä leviäisi tasaisesti kaikkiin valtameriin, kuinka monta millimetriä valtamerien pinta nousisi? Maapallon ympärysmitta on kilometriä, ja valtameret peittävät 70 % maapallon pinnasta. 8. Keltaista ja sinistä väripigmenttiä käytettiin kahden erisävyisen vihreän maalin sekoittamiseen. Maaliin A tarvittiin litraa kohden 80 g keltaista pigmenttiä ja 0 g sinistä pigmenttiä, maaliin B vastaavasti 0 g keltaista ja 90 g sinistä pigmenttiä. Kuinka monta litraa kumpaakin maalia valmistettiin, kun keltaista pigmenttiä käytettiin 3, kg ja sinistä 3,5 kg? B 54cm A 7,64m KÄÄNNÄ!,80m

26 9. Vanhassa tarinassa šakkilaudan 64 ruudulle sijoitetaan vehnänjyviä: ensimmäiselle ruudulle yksi, toiselle kaksi, kolmannelle neljä jne. Seuraavalla ruudulla on aina edellisen ruudun määrä kaksinkertaisena. Kuinka monta ruutua voidaan täyttää Suomen vuotuisella 700 miljoonan kilogramman vehnäsadolla, jos oletetaan, että yksi vehnänjyvä painaa 5 mg? 0. Ratkaise graafisesti epäyhtälöryhmä y x, 7x + y 4, 5x + 4y 8. Anna vastauksena kuvio, johon on merkitty ratkaisujoukko.. Golfsimulaattorissa pallon puttaaminen reikään onnistuu varmasti, jos pallo on enintään 80 cm:n päässä reiästä. Tästä alkaen todennäköisyys saada pallo reikään on kääntäen verrannollinen pallon ja reiän välisen etäisyyden neliöön. Millä todennäköisyydellä kymmenestä pallosta ainakin yksi menee reikään putattaessa kolmen metrin etäisyydeltä?. Rautalanka, jonka pituus on 0 cm, katkaistaan kahteen osaan. Toinen osa taivutetaan neliöksi, toinen ympyräksi. Miten lanka on katkaistava, jotta ympyrän ja neliön alojen summa olisi mahdollisimman pieni? 3. Funktio f(x) = + x korvataan sitä lähellä olevalla polynomilla p(x) = + x 8 x + 6 x3. Laske, kuinka monta prosenttia polynomin derivaatta p (x) poikkeaa funktion f(x) derivaatasta f (x) = pisteessä x = 0,5. Piirrä samaan +x kuvaan funktioiden f(x) ja p(x) kuvaajat välillä [, ]. 4. Veljekset Matti ja Teppo ostavat yhdessä naapuriltaan Sepolta käytetyn leikkuupuimurin. He sopivat seuraavanlaisesta maksujärjestelystä: Matti maksaa heti e ja tämän jälkeen neljä kertaa vuoden välein 900 e. Teppo maksaa heti e ja tämän jälkeen kaksi kertaa 500 e vuoden välein. Mikä oli leikkuupuimurin nykyarvo, ja paljonko veljesten maksuosuudet poikkesivat toisistaan nykyarvoina laskettuina, kun laskentakorkokanta oli,95 %? 5. Ratkaise joko kohta A tai kohta B : A) Lamppujen valmistaja ilmoitti, että % lampuista kestää alle 8000 tuntia. Kun lamppuja ostettiin 50, havaittiin, että kaksi lamppua kesti alle 8000 tuntia. Laske, millä todennäköisyydellä 50 lampun joukossa on vähintään kaksi alle 8000 tuntia kestävää, kun valmistajan ilmoitus oletetaan paikkansapitäväksi. Testaa 5 %:n riskitasolla, voidaanko tapahtunutta pitää sattumana vai onko aihetta epäillä valmistajan ilmoituksen luotettavuutta. B) Laske vektoreiden ā = ī + 3 j ja b = 3ī + 4 j pituudet ja suuntakulmat x-akseliin nähden. Laske myös vektoreiden summa ā + b ja erotus ā b. Tehtävät 5A ja 5B ovat keskenään vaihtoehtoisia. Tehtävä 5A on laadittu vanhojen, vuoden 994 lukion opetussuunnitelman perusteiden mukaan, tehtävä 5B uusien, vuonna 005 käyttöön otettujen lukion opetussuunnitelman perusteiden mukaan. Kumpaan tahansa tehtävään saa vastata.

27 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA MATEMATIIKAN KOE LYHYT OPPIMÄÄRÄ Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. a) Ratkaise yhtälö 4x + 9 = x. b) Ratkaise yhtälö x = x + 3 x. c) Sievennä lauseke 5x + 3y 3 + x 6y.. a) Suora kulkee pisteiden (, 0) ja (, 7) kautta. Muodosta sen yhtälö muodossa y = ax + b. b) Pallon tilavuus on 000 m 3. Laske pallon säde kolmen numeron tarkkuudella. c) Ratkaise yhtälö x = a) Kuinka moneen järjestykseen kirjaimet A, B, C ja D voidaan asettaa? b) Suureet x ja y ovat kääntäen verrannolliset. Jos x =, niin y = 3. Mikä on y:n arvo, kun x = 5? 4. Lentokoneen käyttökustannuksista polttoaineen osuus on 35 %. Kuinka monta prosenttia polttoaine voi kallistua, ennen kuin käyttökustannukset kasvavat 0 %? Anna vastaus promillen tarkkuudella. 5. Suunnistajat Liisa ja Pia lähtivät yhtaikaa rastilta A ja juoksivat suoraan länteen 800 m, minkä jälkeen heidän reitinvalintansa erosivat. Liisa kääntyi etelään ja juoksi 400 m pisteeseen B, josta hän jatkoi suoran AB suuntaan 500 m ja päätyi rastille C ajassa 0 min 30 s. Pia jatkoi ensin länteen ja kääntyi sitten etelään niin, että päätyi suoraan rastille C 3 min 0 s Liisan jälkeen. Määritä Liisan ja Pian reittien pituudet ja kummankin keskinopeus yksikkönä km/h. 6. Kupari-nikkeliseoksessa on 75 % kuparia ja 5 % nikkeliä. Toisessa kupari-nikkeliseoksessa on kuparia 80 % ja nikkeliä 0 %. Näistä valmistetaan sulattamalla 300 g kupari-nikkeliseosta, jonka nikkelipitoisuus on %. Kuinka paljon kumpaakin seosta tähän tarvitaan? 7. Neliöpohjaisen suoran pyramidin korkeus on 8 ja pohjasärmän pituus. Määritä pyramidin sivutahkon ala. Kuinka suuren kulman pyramidin sivusärmä muodostaa pohjatahkon kanssa? Ilmoita kulma 0,0 asteen tarkkuudella. 8. Millä vakion a arvoilla suorat y = 3x + ja y = ax + 6 erottavat x-akselista janan, jonka pituus on 3? 9. Helsingin Pasilassa sijaitsee linkkitorni, jonka korkeus meren pinnasta mitattuna on 46 metriä. Kuinka korkealta paikalta Tallinnasta tornin huippu on mahdollista nähdä, kun Helsingin ja Tallinnan välinen etäisyys maapallon pintaa pitkin mitattuna on 85 km? Maapallon ympärysmitta on km. KÄÄNNÄ!

28 0. Lukujonon ensimmäinen termi on, ja jonon kukin seuraava termi on aina 5 % suurempi kuin edellinen termi. Muodosta jonon n:nnen termin lauseke. Tutki tämän avulla, kuinka moni jonon termi on pienempi kuin 000 miljoonaa. Laske näiden termien summa kolmen numeron tarkkuudella.. Puutarhuri istuttaa siemeniä, joiden itävyys on 60 %. a) Mikä on todennäköisyys, että kolmesta istutetusta siemenestä mikään ei idä? Mikä on todennäköisyys, että ainakin yksi siemen itää? b) Siemeniä istutetaan viiteen ruukkuun kuhunkin kolme. Mikä on todennäköisyys, että jokaisessa ruukussa ainakin yksi siemen itää?. Määritä funktion f(x) = x 3 + 3,5x 4x + 50 suurin arvo välillä [0, 0]. Mikä on vastaava muuttujan x arvo? Millä muuttujan x arvolla funktio kasvaa nopeimmin? Anna vastaukset kolmen desimaalin tarkkuudella. Piirrä funktion kuvaaja ko. välillä. 3. Mittaustuloksina on saatu xy-koordinaatiston pisteet (;,), (; 3,) ja (4; 5,5). Näiden lomitse sovitetaan origon kautta kulkeva suora y = kx, jossa kulmakerroin k määritetään pienimmän neliösumman menetelmällä: kunkin x-arvon kohdalla lasketaan suoran y = kx antaman y-arvon ja mitatun y-arvon erotus, ja kerroin k valitaan siten, että erotusten neliöiden summa (k,) + (k 3,) + (k 4 5,5) on mahdollisimman pieni. Määritä k tällä tavoin. Piirrä kuvio. 4. Isovanhemmat sitoutuivat avustamaan lastenlastensa harrastustoimintaa viiden vuoden ajan. Kuinka suuri kertasumma heidän tulee vuodenvaihteessa sijoittaa tilille, jonka korkokanta on, %, jotta he voivat jakaa lastenlapsilleen vuosittain 500 euroa seuraavien viiden vuoden ajan? Ensimmäinen erä maksetaan vuoden kuluttua sijoituksesta ja seuraavat neljä erää vuoden välein. Lähdevero on 8 %. 5. Ratkaise joko kohta A tai kohta B : A) Matkapuhelimen akkujen valmistaja mittasi 50 akun valmiusajan pituuden. Niiden keskiarvo oli 53 tuntia ja keskihajonta tuntia. Oletetaan valmiusaika normaalisti jakautuneeksi. Määritä 95 %:n luottamusväli valmiusajan pituudelle. Kuinka monen akun valmiusaika tulisi mitata, jotta luottamusvälin koko pituus olisi kaksi tuntia? B) Kuminauhaan ripustettu paino saatetaan heilahtelemaan pystysuoraan. Sen poikkeamaa tasapainoasemasta mallintaa tällöin muotoa A sin(bt) oleva funktio, missä t on aika sekunteina. Piirrä funktion kuvaaja, kun A = ja b =. Mikä arvo kertoimella b on, jos kahden peräkkäisen alimmassa asemassa käynnin välillä kuluu 3, sekuntia? Anna vastaus viiden desimaalin tarkkuudella. Tehtävät 5A ja 5B ovat keskenään vaihtoehtoisia. Tehtävä 5A on laadittu vanhojen, vuoden 994 lukion opetussuunnitelman perusteiden mukaan, tehtävä 5B uusien, vuonna 005 käyttöön otettujen lukion opetussuunnitelman perusteiden mukaan. Kumpaan tahansa tehtävään saa vastata.