Digitaalinen Signaalinkäsittely T0125 Luento Yleistiedot

Transkriptio

1 Digitaalinen Signaalinkäsittely T0125 Luento Oi sielu, rohkenetko, lähteä matkaani kohti tuntematonta seutua, missä ei ole maata astella, ei polkua seurata. Darest Thou Now, O Soul, Walt Whitman Yleistiedot Ilmoittautuminen opintojaksolle tapahtuu Winha-järjestelmän kautta Opintojakson koodi on T0125 ja toteutuksen koodi on TM03S4 Sisältö (ydinaines ja -osaaminen): Signaalien luokittelu Järjestelmien perusominaisuudet Impulssivaste Lohkokaavio Differenssiyhtälö, siirtofunktio, navat ja nollat Taajuusvaste Tiedolliset oppimistulokset (ydinaines ja -osaaminen): Opiskelija tuntee signaalinkäsittelyjärjestelmien perusominaisuudet ja osaa analysoida järjestelmiä Opiskelija tietää signaalien ja järjestelmien perusominaisuudet Taidolliset oppimistulokset (ydinaines ja -osaaminen): Opiskelija osaa käyttää signaalinkäsittelyn työkaluja audiosignaalien analysointiin, muokkaamiseen ja tuottamiseen (labraharjoitukset) T0125/JV 2 1

2 Yleistiedot Esitiedot: Matematiikan peruskurssi A Sarjat ja Fourier-muunnos Opintojakso sijoittuu periodille 4 Opintojakson laajuus on 3 op Luentoja 4 h / viikko (28 h yhteensä) Laskuharjoituksia (6 kpl) Tehtävät Ovi-portaalissa luentojen jälkeen, palautettava viikon kuluessa Itseopiskelua (52h) Tentti opintojakson lopussa (3h) Kurssin suorittaminen Kurssin voi suorittaa joko tenttimällä tai suorittamalla hyväksytysti kaikki laskuharjoitustehtävät Materiaalia: Luentokalvot (Ovi-portaalissa) Steven W. Smith: The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing, California Technical Publishing, Sanjit K. Mitra: Digital Signal Processing, McGraw-Hill, 2001 J.Vuori, K. Wiik: DSP CARD 4 User s Manual T0125/JV 3 Sisällön pääkohdat 1. Järjestelmien ja signaalien ominaisuudet 2. Järjestelmien kuvaus 3. Lohkokaavio, impulssivaste, differenssiyhtälö (=aikatason kuvaus) 4. Siirtofunktio, navat ja nollat, taajuusvaste (=taajuustaso) 5. Järjestelmien modifiointi 6. Analoginen järjestelmän mallinnus 7. Signaalin spektrianalyysi T0125/JV 4 2

3 Jatkoa DSP Ongelmanratkaisu MATLAB:lla (1.5 op) 5 iltana Digitaalisen signaalinkäsittelyn moduuli 15 op Digitaaliset signaaliprosessorit 3 op S. Haltsonen, jakso Digitaalinen suodatus 3 op A. Piironen, 3. jakso (ilta) Digitaalisen signaalinkäsittelyn projekti (ohjattu 2h/vko) 4 op A. Piironen, 4. jakso (ilta) Mittausdatan käsittely, regressioanalyysi 3 op T0125/JV 5 Peruskäsitteitä informaatio (information) hankalat semanttiset ja filosofiset määrittelyongelmat haittaavat käyttöä viesti (message) fyysinen ilmiasu informaatiolle tietoliikennejärjestelmä välittää viestejä (usein myös informaatiota) signaali (signal) (sähköinen) ilmiasu viestille, jonkin tilan muutos viesti signaali (signaali hieman konkreettisempi) Esimerkkejä: puhe, musiikki, kuva, videosignaali Signaali on riippumattoman muuttujan (aika,etäisyys, paikka, lämpötila, paine, jne.) funktio Signaaleja voidaan myös tuottaa keinotekoisesti tai tietokonesimulaatioilla (esim. MATLAB) signaalinkäsittely (signal processing) signaalien muokkaamista (jonkin ominaisuuden havaitsemiseksi tai vahvistamiseksi) Signaalit kuljettavat viestejä (viesti on signaalin joissain ominaisuuksissa, esim. taajuus) signaalinkäsittelyn tehtävänä on selvittää signaalin kuljettama viesti Viestin informaation määrä riippuu sen esiintymistodennäköisyydestä Signaalin taajuus muuttuu, signaali kuljettaa viestiä (jolla saattaa olla informaatiota) T0125/JV 6 3

4 Signaalinkäsittely Tehty antiikin ajoista lähtien taivaankappaleiden liikkeiden tulkinta kalenteri, ajanlaskenta Signaalinkäsittely jaettavissa kahteen ryhmään 1. suodattaminen 2. spektrin estimointi x[n] x(t) x(t)? H(s) FT T, a, Estimoitavat parametrit Transfer function (Laplace, or s-domain) y(t) X(jω) T0125/JV 7 Fourier transform Signaalinkäsittely Sähköistä signaalinkäsittelyä heti elektroniikan alkuajoista lähtien Tarkkuus- ja laatuvaatimukset keveitä yksinkertaiset menetelmät riittäviä, toteutukset yksinkertaisia Järjestelmätoteutukset monimutkaistuneet integrointiasteen kasvaessa Laajojen järjestelmien toteutus hankalaa Useita komponentteja jotka eri tavoin epäideaalisia Yhteisvaikutus vaikeasti ennustettavissa virittely, testaus ja huolto ongelmallisia L C viritetty piiri radiossa Poimii halutun radioaseman suuresta joukosta asemia T0125/JV 8 4

5 Digitaalinen Signaalinkäsittely (Digital Signal Processing, DSP) Mitä Ajatuksena on kuvata sähköisen piirin toiminta matemaattisella mallilla ja ratkaista tämän mallin yhtälöt numeerisesti reaaliajassa Miksi DSP-järjestelmä ei tarvitse virittämistä eikä säätöjä koska sen komponenttien toleranssit riippuvat yksinomaan käytettävien numeeristen mallien tarkkuudesta Etuja Stabiilisuus, Toistuvuus, Kalibrointi Piirien lukumäärä Algoritmit (adaptiiviset RLS suotimet) Muutosjoustavuus Haittoja Alhainen rajataajuus (audio, video, IF) Vaatii suunnittelijalta täysin uusien menetelmien oppimista Siksi tämä kurssikin! T0125/JV 9 DSP:n historia Teoreettiset perusteet 1822 Fourier-muunnos; Jean Baptiste Joseph, Fourierin paroni 1800 Laplace-muunnos; Pierre Simon, Laplacen markiisi Toinen maailmansota tutkajärjestelmien analyysi, pyörivän antennin ansiosta järjestelmä näytteistetty tavoitteena oli tutkaohjatun ilmatorjuntatykin rakentaminen (SCR-584) Hurewicz esitti 1947 muunnoksen näytteistetyille järjestelmille jonka Ragazzini ja Zadeh nimesivät 1950-luvulla Z-muunnokseksi , ensimmäisten tietokoneiden aika 1950-lopulle mentäessä näytteistettyjen järjestelmien teoria vakiintui Levinson esitteli 1950-luvulla Wienerin suodattimien diskreettiaikaisen version (dekonvoluutio, käytettiin öljynetsinnässä) 1965 Nopea Fourier-muunnos (FFT), reaaliaikaisen digitaalisen signaalinkäsittelyn alku Käytettiin korvaamaan Doppler-tutkan vastaanottopään kidesuodinpatteri digitaalipiirillä 1980-, signaaliprosessorien aika digitaalisen signaalinkäsittelyn leviäminen laajempaan käyttöön 1990-, VLSI ja FPGA toteutusten aika VLSI-piirien suunnittelu tehostui siinä määrin että erittäin nopeiden signaalinkäsittelypiirien valmistaminen tuli mahdolliseksi myös pienille organisaatiolle Kuvankäsittelypiirit (NVIDIA, ATI, Maxtor, jne.) Yleiskäyttöiset prosessoritkin kykenevät alkeelliseen signaalinkäsittelyyn Intelin ja AMD:n SSE3-käskykanta Monissa mikrokontrollereissa kertolaskukäsky (kertolaskun nopea suorittaminen oleellinen osa digitaalista signaalinkäsittelyä) Osoitus siitä kuinka tärkeää signaalinkäsittely on jokapäiväisessä tietojenkäsittelyssä T0125/JV 10 5

6 DSP järjestelmä Osa-alueet Analogiaosa (liittyminen ulkopuoliseen ympäristöön) Digitaaliosa Suunnittelu Analogiajärjestelmän pohjalta (esim. suodinsuunnittelussa klassisten analogiasuotimien muuntaminen bilineaarimuunnoksella digitaalimuotoon) Suoraan digitaaliselle systeemill suunnittelu (esim. FIR-suotimen suunnittelu Remez-algoritmilla) Analog Input Digital Input DSP Circuits LPF A/D D/A LPF Additions Multiplications c f(x) Function tables T Delays Analog Output Digital Output Huomaa että vain nämä toiminteet tarvitaan digitaalisen signaalinkäsittelyn toteuttamiseen. Vrt. analogisen signaalinkäsittelyn toteuttaminen (kelat, kondensaattorit, vastukset, vahvistimet) T0125/JV 11 Digitaalinen Signaaliprosessori Nopea muisti Arkkitehtuuri joka on suunniteltu mahdollisimman nopeaan signaalinkäsittelyalgoritmien suorittamiseen Digitaalisella signaaliprosessorilla (DSP, Digital Signal Processor) on omat erityisominaisuutensa Erillinen ohjelma ja dataväylä (Harvard architecture) Erikoiskäskyt SIMD (Single Instruction, Multiple Data) operaatioille Nopea kertolasku ja yhteenlaskuoperaatio MAC, Multiply and Accumulate Lineaaristen järjestelmien laskenta lähinnä yhtälön y = Ax + b laskentaa Lähinnä vain rinnakkaislaskentaa, ei moniajoa Nopea tiedonsiirto oheislaitteiden ja keskusmuistin välillä Ensimmäiset signaaliprosessorit esiteltiin vuonna 1980: NEC µpd7720 ja AT&T DSP1 Ensimmäinen kaupallisesti menestynyt signaaliprosessori Texas Instruments TMS32010 esiteltiin 1983 Nykyisin FPGA piirit (ohjelmoitavat logiikkapiirit) ovat niin suuria, että niillä voidaan myös toteuttaa signaalinkäsittelytoimintoja Logiikkapiiritoteutuksen laskentateho on n kertainen signaaliprosessoriin verrattuna A/D ja D/A muuntimet Signaaliprosessori T0125/JV 12 6

7 = du Ic = C dt dil U = L dt I I c L Muunnos DSP-järjestelmään du ( t) d C T dt d U( t) U ( t) U t) = L + = 0 dt dt LC L C c ( 2 2 U(t) U(t) U(t-T) T U(t-2T) Derivaatta approksimoidaan Eulerin menetelmällä Jossa T on näytteenottointervalli. U( t + T) U( t) U( t) U( t T) T T U( t) + = 0 T T LC 2 T U( t) U( t + T) 2U( t) + U( t T) + = 0 LC 2 2LC T U( t + T) = U( t) U( t T) LC 2 dx( t) x( t + T) x( t) = dt T LC T 1 Olettaen c = saadaan rajataajuudeksi f = 2 LC T 2π c 2 T0125/JV 13 Toteutus signaaliprosessorilla DSP-toteutus ideaalinen, ei häviöitä lainkaan joten piiri värähtelee jatkuvasti! Toimii siis siniaaltogeneraattorina ; wait for one sample loop waitblk r2,buflen,1 ; then generate the sinewave move #c,x1 U ( t + T) = c U ( t) U ( t T ) U(t-T) U(t) T U(t-2T) T c -1 move x:<t1,x0 mpy x0,x1,a x:<t2,y0 sub y0,a x0,x:<t2 move a,x:<t1 ; and output the generated sample move a,y:(r2)+n2 jmp <loop T0125/JV 14 7

8 Tarvitaanko erityistä DSP-teoriaa? Näytteistetty piiri toimii yleensä samoin kuin jatkuva-aikainenkin jos näytteenottotaajuus on riittävän suuri Mutta: Aikariippuvuus Korkeamman asteen harmooniset Deadbeat"-säätö Deadbeat-säätö on parempi (nopeampi, ei ylitystä) kuin analoginen vastaava, eikä sitä voi suunnitella analogiasäätimien teorian pohjalta T0125/JV 15 Signaalinkäsittelyn sovellusalueita Mittaustekniikka alati hankalampia mittauksia halutaan, mittaussignaalit usein kohinaisia esim. virtausmittaus korrelaatioanalyysillä Säätötekniikka ensimmäisiä signaalinkäsittelyn sovellusalueita (koska näytteenottotaajuudet pieniä) Tietoliikennetekniikka kapeampaan kaistaan on saatava kulkemaan yhä enemmän viestejä Tilastotiede Signaalinkäsittelyjärjestelmän ei tarvitse välttämättä olla reaaliaikainen T0125/JV 16 8

9 time (ms) sample Signaalien ominaisuudet ja merkinnät Merkinnät Jatkuva-aikaiset, analogiset x(t), jatkuva-aikainen ja jatkuva-arvoinen yksiulotteinen (1-D) signaali, esim. puhesignaali s(x,y), kaksiulotteinen (2-D) signaali, kaksi riippumatonta muuttujaa x ja y, esim. kuva v(x,y,t), useampiulotteinen (3-D) signaali, esim. videosignaali Diskreettiaikaiset signaalit x[n], näytteistetty tasavälein x(nt) T näytteistysaika = 1/F s F s näytteistystaajuus n N, indeksi Digitaalinen signaali Q[x[n]] x[n], kvantisoitu analoginen signaali value 50 value T0125/JV 17 Signaalin suodatus Paineanturi potilasvuoteen alla vahvistin x(t) x[n] LPF S/H A/D näytteistyspiiri muunnin analogia/digitaali alipäästösuodatin x[n] D 0 D N-1 µc Mikroprosessori joka toteuttaa signaalinkäsittelyalgoritmit Stem-plot value value time (ms) sample Alkuperäinen analoginen signaali Tasavälein näytteistetty signaali T0125/JV 18 9

10 Signaalin suodatus x(t) S/H näytteistyspiiri A/D analogia/digitaali muunnin x[n] D 0 D N-1 µc y[n] /* Q15 multiplication with rounding */ #define MPYR(a, b) (((int32_t)(a) * (b) + 0x4000) >> 15) /* 1st order IIR filter in Q15 arithmetic * highpass filter with corner frq 0.03 (DC remover) */ static int16_t iir1st(int16_t x) { static int16_t x1, y1; int16_t y; // Q15 format /* we use direct form I realization because its unsensitivity to internal overflows */ y = x; // B0 = 1.0 y -= x1; // B1 = -1.0 y -= MPYR(-30771, y1); // A1 = /* then update delay lines */ x1 = x; y1 = y; } return (y); Signaali jossa voimakas ja vaihteleva tasajännitekomponentti T0125/JV Signaali josta tasajännitekomponentti 19 poistettu ylipäästösuotimen avulla Signaalin suodatus Heikko ja kohinainen signaali vahvistetaan ja näytteistetään Sitten siitä poistetaan DCkomponentti sekä häiriösignaalit suodattamalla Lopuksi tästä signaalista estimoidaan hengityssignaalin taajuus Esitettyä järjestelmää on mahdoton toteuttaa analogisena Koska tarvittavien suotimien kaistanleveydet ovat niin pieniä että analogiakomponenttien toleranssit sekä lämpötilaryöminnät ovat liian suuria x(t) x[n] S/H A/D y[n] µc D näytteistyspiiri muunnin analogia/digitaali 0 D N Suodatettu signaali josta estimoidaan T0125/JV Hengityssignaalin taajuus 20 10

11 Perussignaalit (Yksikkö) impulssifunktio Ns. diskreetti Diracin deltafunktio n = 0 [ ] δ n = 1, 0, Analoginen vastine on Diracin deltafunktio δ ( t) Impulssifunktion valtava energia on keskittynyt äärimmäisen lyhyelle ajanhetkelle n dt = n t T0125/JV 21 Impulssivaste Miksi impulssi? Järjestelmän toiminnan voi päätellä impulssivasteesta h[n] 1 δ[n] Järjestelmä h[n] 0 n Huonekaiun impulssivaste Joskin käytännössä impulssin suurta energiaa on vaikeaa tuottaa hetkellisesti Impulssivaste sopii lähinnä signaalinkäsittelylaitteen sisäisten lohkojen ominaisuuksien selvittämiseen, ei reaalimaailman komponenttien parametroimiseen Käytännön toimilaitteet eivät yleensä kykene tuottamaan lyhytaikaista ja voimakasta energiapulssia Siksi esimerkiksi huoneakustiikan ja kaiuttimien ominaisuuksia tutkitaan nykyisissä AV-laitteissa ns. Chirppulsseilla δ[n] h[n] T0125/JV 22 11

12 Perussignaalit (Yksikkö) askelfunktio [ ] < µ n = 1, 0, δ[n] vs. µ[n] δ n 0 n 0 [ n] = µ [ n] µ [ n 1] n µ k = 0 [ n] = δ [ n k] δ[n] vs. x[n] x[ n] = k= δ [ k n] x[ k] superpositio T0125/JV 23 Perussignaalit Kompleksinen eksponenttisekvenssi x[n]=aα n, jossa A ja α ovat kompleksisia jφ ( σ 0 + jω0 ) n σ 0n j( ω0n+ φ ) x[ n] = Ae e = Ae e σ 0n = Ae [ cos( ω0n + φ) + j sin( ω0n + φ) ] Kompleksien signaalin yhdellä pisteellä on samanaikaisesti sekä amplitudi että vaihe x[n]=e (-1/12+jπ/6)n T0125/JV 24 12

13 Perussignaalit Kun sekä A että α ovat reaalisia, sekvenssi redusoituu reaaliseksi ekponenttisekvenssiksi Reaalinen sinisekvenssi x[n]=acos(ω 0 n+φ) T0125/JV 25 Eri taajuisisia sinisignaaleja y[n]=1,5 cos(ω 0 n) Perussignaalit T0125/JV 26 13

14 Näytteistetty signaali Jatkuva-aikainen signaali s(t), näytteenottotaajuus F s näytteistysaika T=1/F s esim. näytteenottotaajuus F s 48 khz, näytteiden väli T on 20,83 µs Näytteistetty signaali [ n] = s( n T ) = s( n ) s / Jos näytteitä otetaan liian vähän näytteistettävään signaaliin nähden, signaali laskostuu (signal aliasing) Signaalista täytyy ottaa vähintäin kaksi näytettä signaalin perusjaksoa kohti (Shannonin teoreema) Jos signaalin suurin taajuuskomponentti on 22 khz, näytteenottotaajuuden täytyy olla vähintäin 44 khz Vrt. elokuvissa pyörivän liikkeen (auton pyörän) suunnan muutokset nopeuden vaihdellessa Filmikameran suljin toimii näytteenottopiirinä F s Tässä näytteitä otetaan liian harvakseltaan. Jos näistä näytteistä yritetään konstruoida alkuperäinen signaali, luullaan signaalia taajuudeltaan liian pieneksi. T0125/JV 27 Näytteistetty signaali Näytteenottotaajuus F s määrää minkä taajuisisia signaaleja voidaan esittää diskreettiaikaisena Nyquistin taajuus F s /2 Tätä suuremmat taajuudet laskostuvat pienemmiksi Matalampi näytteistyksen perusteella arvattu signaali on alkuperäisen alias Miksi tarvitaan kaksi näytettä jaksoa kohden? Signaalilla on kaksi parametria jotka määräävät sen ominaisuudet: vaihe ja amplitudi Jotta näiden parametrien arvot voidaan selvittää, tarvitaan kahta parametria varten kaksi näytettä yhdessä jaksossa Jos käytetään kompleksista näytteistystä, silloin riittää vain yksi kompleksinen näyte yhdessä jaksossa T0125/JV 28 14

15 Näytteistetty signaali Usein analogisen signaalin suurinta taajuuskomponenttia ei tiedetä Mikrofonilta saatavassa signaalissa on ainakin kohinakomponentteja jotka ovat äänisignaalin yläpuolella Nämä laskostuvat hyötysignaalin päälle heikentäen signaali/kohinasuhdetta Siksi analogisesta signaalista täytyy poistaa Nyquist-taajuutta suuremmat komponentit ennen näytteenottoa Käytännössä analoginen signaali alipäästösuodatetaan ennen näytteenottoa Tästä A/D-muunninta edeltävästä suotimesta käytetään nimitystä laskostuksenestosuodin (anti-aliasing filter) x(t) x[n] LPF S/H A/D näytteistyspiiri muunnin analogia/digitaali alipäästösuodatin x[n] D 0 D N-1 T0125/JV 29 Näytteistetty signaali Laskostuminen ei aina ole haitaksi Laskostumisen avulla voidaan tarkastella korkeampitaajuisisia toistuvia (jaksollisia) signaaleja kuin mihin näytteenotto muutoin antaisi myöden Laskostumisen avulla voidaan toteuttaa ns. näytteenotto-oskilloskooppeja joiden rajataajuudet ovat tällä hetkellä n. 100 GHz (LeCroy 100GHz WaveExpert 9000 Sampling Scope) Vaikka näytteistys tapahtuukin 100 MHz nopeudella Tektronix 7854,7S11,7T11A 14 GHz sampling scope, esiteltiin Edelleen oivallinen kotilabran skooppi, kuvassa 850 ps nousuajan pulssin etureuna. T0125/JV 30 15

16 Signaalin jaksollisuus Jaksollinen signaali toistaa perusjakson äärettömyydestä äärettömyyteen Jatkuva-aikainen signaali on jaksollinen jos löytyy ajanjakso T R x ( t) = x( t + T ), t T T perusjakso = pienin jakso x(t) x(t+t) T0125/JV 31 Signaalin jaksollisuus Onko x(t)=12 sin(2π 50Hz t) jaksollinen? Testataan x(t)=x(t+t) = 12 sin(2π 50Hz (t+t)) = 12 sin(2π 50Hz t+ 2π 50Hz T) ajasta riippuva vaihesiirto θ Trigonometrinen funktio toistaa itseään 2π k vaihesiirron välein (k N) on jaksollinen θ=2π 50Hz T 2π k T=k/50Hz, k N, T R T=1/50Hz = 20 ms = perusjakso T0125/JV 32 16

17 Signaalin jaksollisuus Diskreettiaikainen signaali on jaksollinen jos löytyy (ajan)jakso N N x [ n] = x[ n + N ], n N N N n T0125/JV 33 Signaalin jaksollisuus Näytteistetty F s = /s T=s/8000 Onko x[n]=x(n T)=12 sin(2π 50Hz n s/8000) = 12 sin(2π n/160) jaksollinen? Testataan x[n]=x[n+n]=12 sin(2π (n+n)/160) =12 sin(2π n/160+2π N/160) 2π N/160= 2π k N=160 k, k N, N N k=1 N=160 = perusjakso T0125/JV 34 17

18 Signaalin jaksollisuus Onko x[n]=cos(2π n/31)+sin(2π (5 n)/31) jaksollinen? Testataan x[n]=x[n+n]=cos(2π n/31+ 2π N/31)+sin(2π (5 n)/17+ 2π (5 N)/17) jotta x[n] voisi olla jaksollinen, täytyy (perus)jakson N siirtää molempien vaihetta yhtäaikaa 2π:n moninkerta N 2π = 2π k1, k1 N 31 5 N 2π = 2π k2, k2 N 17 N = 31 k1 17 N:n oltava jaksollinen jaksoissa, eli N= N = k2 5 T0125/JV 35 Signaalin jaksollisuus Satunnaisella signaalilla (esim. kohina) ei ole jaksoa Jos kohina on ns. valkoista (sisältää kaikki taajuuskomponentit), yhdestä näytepisteestä ei voi lainkaan ennustaa signaalin arvoa seuraavassa näytepisteessä Signaali on ennustamaton Muunlaisen satunnaisen signaalin (esim. vaaleanpunainen kohina) seuraavan näytteen arvolle voidaan antaa todennäköisyyksiä, mutta jaksollisia eivät nämäkään signaalit ole T0125/JV 36 18

19 x 1 [n] y F 1 [n] x 2 [n] y F 2 [n] x 1 [n]+x 2 [n] F mielivaltaiset vakiot ( 2x ( t) + 3y( t) ) dt = 2 x( t) dt + 3 y( t) dt T0125/JV 37 Järjestelmien perusominaisuudet Lineaarisuus Fysiikka: superpositio Elektroniikka: kerrostaminen Insinörtti: vaikutusten summa = summan vaikutus Kuvaus F on lineaarinen jos (ja vain jos) F{a x 1 [n]+b x 2 [n]}=a F{x 1 [n]}+b F{x 2 [n]} (a,b) R, (x 1 [n],x 2 [n]) R, signaali Esim. integraali on lineaarinen operaatio y 1 [n]+y 2 [n] Järjestelmien perusominaisuudet Lineaarisuuden toteaminen Lasketaan lineaarisuusyhtälön vasen ja oikea puoli erikseen Onko y[n]=x[n]+1 lineaarinen? Vasen puoli x[n]=a x 1 [n]+b x 2 [n] sisäänmeno kahden signaalin summa y[n]=a x 1 [n]+b x 2 [n] + 1 Oikea puoli a F{x 1 [n]}+b F{x 2 [n]} =a (x 1 [n]+1)+b (x 2 [n]+1) =a x 1 [n]+b x 2 [n] + (a+b) Vasen ja oikea puoli ovat erisuuria ei lineaarinen T0125/JV 38 19

20 Järjestelmien perusominaisuudet Lineaarisen järjestelmän osakomponentteja voidaan kytkeä luovasti yhteen, ja lopputulos on silti analysoitavissa Signaalin taajuus säilyy samana kun se kulkee lineaarisen järjestelmän läpi Ainoastaan sen amplitudi ja vaihe saattavat muuttua Koska mikä tahansa signaali voidaan esittää yksinkertaisten sinikomponenttien summana, lineaarisen järjestelmän vaste voidaan laskea vaste jokaiselle komponentille erikseen ja summaamalla nämä yhteen Sinifunktio on lineaarisen järjestelmän ns. ominaisarvofunktio (eigenfunction) F T0125/JV 39 Järjestelmien perusominaisuudet Kausaalisuus (causal) Fysiikka: syy-seuraus, ei seurausta enne syytä Insinörtti: ennustamaton järjestelmä, ei tiedä tulevia sisäänmenoarvoja Onko y[n]=x[n]+1 kausaalinen? On, koska tulos riippuu nykyisestä näytteestä n = tarkasteluajanhetki, ok n-k = viive, ok n+k=ennakko-ennustus, ei kausaalinen Onko y[n]=1/3(x[n-1]+x[n]+x[n+1]) kausaalinen? Ei, koska tulos tarvitsee yhden näytteen tulevaisuudesta T0125/JV 40 20

21 Järjestelmien perusominaisuudet Aikasiirrosinvarianssi Insinörtti: järjestelmän ominaisuudet eivät riipu ajasta x 1 [n] x 1 [n-k] F F y 1 [n] y 1 [n-k] Esim. y[n] = x[n] + 1 aikasiirrosinvariantti x[n] y[n] Esim. y[n] = e -1/n x[n] 1 x[n] y[n] ei-aikasiirrosinvariantti e -1/n Järjestelmän sisällä oleva ajasta riippuva ominaisuus T0125/JV 41 Järjestelmien perusominaisuudet Stabiilisuus (BIBO Stability, Bounded Input, Bounded Output Stability) Insinööri: Rajoitetulla sisääntulolla on rajoitettu ulostulo (ts. ulostulo ei karkaa käsistä) Matematiikka: Jos x[n] B x, B x R +, niin järjestelmä on stabiili jos (ja vain jos) B y R +, y[n] B y (n N) x(t) y(t) Heiluri y(t) T0125/JV 42 x(t) Käänteinen heiluri 21

22 Järjestelmien perusominaisuudet Onko y[n]=x[n]+1 stabiili? x[n] B x y[n] = x[n]+1 x[n] +1 y[n] B x +1 B stabiili y Onko y[n]=n x[n] stabiili? Olkoon x[n] B x B x R y[n] - n x[n] = n x[n] n B x, kun n ulostulolle ei ole ylärajaa ei ole stabiili T0125/JV 43 Signaalinkäsittelyn perusoperaatiot x[n] a a x[n] Skaalaus y[n]=ax[n] Viive y[n]=x[n-n 0 ] Summa y[n]=ax 1 [n] + bx 2 [n] cx 3 [n] Kertolasku y[n]=x 1 [n] x 2 [n] x 1 [n] x 2 [n] x[n] T x 1 [n]+x 2 [n] x 1 [n] x[n-1] x 1 [n] x 2 [n] Monimutkaiset signaalinkäsittelyoperaatiot toteutetaan yhdistelemällä em. perusoperaatioita x 2 [n] Analog Input DSP Circuits LPF A/D D/A LPF Analog Output Additions Multiplications c Digital Input f(x) Function tables T Digital Output T0125/JV 44 Delays 22