761121P-01 FYSIIKAN LABORATORIOTYÖT 1. Oulun yliopisto Fysiikan tutkinto-ohjelma Kevät 2016

Transkriptio

1 P-01 FYSIIKAN LABORATORIOTYÖT 1 Oulun yliopisto Fysiikan tutkinto-ohjelma Kevät 016

2 JOHDANTO Fysiikassa pyritään löytämään luonnosta lainalaisuuksia, joita voidaan mitata kokeellisesti ja kuvata matemaattisesti. Tässä kurssissa tutustutaan yksinkertaisten mittausvälineiden käyttöön ja mittaustulosten analysoimiseen. Mittauksissa pyritään mahdollisimman suureen tarkkuuteen, ja erilaiset virhelähteet yritetään eliminoida. Kurssilla harjoitellaan myös mittaustulosten johdonmukaista ja selkeää raportointia. Tieteellisen kokeen perusperiaate on sen toistettavuus, ja sen vuoksi tieteellisen julkaisun tulee sisältää sellaiset tiedot, joiden perusteella joku toinen voi uusia kokeen identtisissä olosuhteissa. Tämä on lähtökohtana myös työselostuksessa. Erityisen tärkeänä osana raportointia on virheen arvioiminen, sillä se paljastaa mittaustuloksen luotettavuuden ja eri tulosten vertailukelpoisuuden. Kurssiin sisältyy viisi laboratorioharjoitusta, jotka tehdään fysiikan opetuslaboratoriossa ryhmätöinä. Luento-osuudessa tutustutaan töiden teoreettiseen taustaan.

3 0 FYSIKAALISET MITTAUKSET 3 Tarkastellaan esimerkkinä suorakaiteen muotoisen pöydän pinta-alan mittaamista. Tiedämme, että pintaala A saadaan laskettua kaavasta A = pl, kun ensin mitataan pöydän pituus p ja leveys l. Pinta-alan määrittämiseen liittyy siis mittauksia ( p, l ) ja laskentaa ( A= pl ). Kaikki mittaukset ovat jossakin määrin epätarkkoja ja tämä epätarkkuus heijastuu laskennan kautta myös lopputulokseen. Tässä luvussa tarkastelemme ensin välittömästi mitattavissa olevien suureiden virheitä ja tarkkuutta. Tämän jälkeen käydään läpi miten laskennollisten suureiden tarkkuus (virhe) voidaan arvioida (virheenarviointi) lähtien mitattujen suureiden tarkkuuksista (virheistä). Lopuksi käydään vielä läpi miten lopputulos ilmoitetaan oikein virherajoineen. 0.1 MITTAUSTARKKUUS Mittaustuloksen epätarkkuutta aiheuttavat virheet voidaan jakaa kolmeen luokkaan: - karkeat virheet - systemaattiset virheet - satunnaiset (statistiset) virheet

4 Karkeita virheitä aiheuttavat mm. lukemavirheet (esimerkiksi asteikon väärä tulkinta), vialliset mittalaitteet sekä mittausten aikana esiintyvät hetkelliset häiriöt. Karkeitten virheiden eliminoimiseksi mittaus kannattaa toistaa useita kertoja. 4 Systemaattiset virheet ovat virheitä, jotka pyrkivät aina vaikuttamaan samaan suuntaan. Niitä aiheuttavat esimerkiksi väärin kalibroidut laitteet ja reaktioaika ajan mittauksessa. Systemaattiset virheet muodostavat usein mittausten vaikeimman ongelman. Ne voidaan paljastaa esimerkiksi vaihtamalla mittaajaa, mittauslaitetta, mittausmenetelmää tai mittausajankohtaa. Satunnaiset virheet ovat samalla todennäköisyydellä positiivisia tai negatiivisia ja ne vaihtelevat täysin satunnaisesti kokeesta toiseen. Ne voivat johtua mittauslaitteesta, mittausmenetelmästä tai mitattavan kohteen tai ilmiön satunnaisesta (statistisesta) luonteesta. Mitattavalle suureelle voidaan ilmoittaa vain tilastollisesti todennäköisin arvo ja sen epätarkkuutta voidaan pienentää toistamalla mittaus useita kertoja, jolloin virheiden jakauma saadaan selville. Mittaustuloksen sisäinen tarkkuus on hyvä, jos satunnaisten virheiden osuus on pieni (ks. kuva 1). Tuloksen ulkoinen tarkkuus on hyvä, jos systemaattisten virheiden osuus on pieni.

5 5 Suureen F mittauksen tulos voidaan esittää muodossa F ±D F, missä D F on suureen ns. absoluuttinen virhe. Esimerkki: Pituushyppääjän loikan pituudeksi mitattiin perinteisellä mittanauhalla 890 cm. Mittaustuloksen tarkkuudeksi arvioitiin 0,5 cm. Tieteellistä täsmällisyyttä noudattaen hypyn pituudeksi ilmoitettiin 890,0 cm ± 0,5 cm. Suhteellinen virhe ilmoittaa kuinka suuri on suureen absoluuttinen virhe suhteessa suureen arvoon ts.

6 DF F D F tai prosentteina 100%. F 6 Esimerkki: Edellisen esimerkin loikan pituuden suhteellinen virhe on D F 0,5 = = 0, , F 890,0 joka prosenttein on noin 0,06 %. Loikan pituus voidaan esittää suhteellisen virheen avulla muodossa 890,0 cm ± 0,06 %. Tilastomatematiikkaa Kun mittauksessa karkeat ja systemaattiset virheet on eliminoitu, mittaustuloksen epätarkkuus määräytyy statistisista (satunnaisista) virheistä. Satunnaisesti vaihtelevien mittaustulosten jakauma noudattaa ns. normaalijakaumaa 1 -( x-x0 ) /s y( x) = e, s p missä x 0 on jakauman huipun koordinaatti eli mitatun suureen odotusarvo ja s on jakauman standardipoikkeama eli keskihajonta. Ideaalisessa tapauksessa odotusarvo edustaa mitattavan suureen oikeaa arvoa.

7 Kuvassa alla on esitetty kaksi normaalijakaumaa odotusarvolla x 0 = 400.Ylemmän käyrän ( yx ( 0) = 0,008)) keskihajonta on s = 50 ja alemman s = Kuva. Normaalijakauma eri s :n arvoilla. Havaitaan, että mittaustulosten jakauma keskittyy odotusarvon ympäristöön sitä laajemmalla alueelle mitä suurempi keskihajonta on. Jakauman pinta-ala välillä a x b kuvaa todennäköisyyttä, että yksittäinen havainto x i osuu kyseiselle välille. Näin todennäköisyys sille, että havainto osuu odotusarvon läheisyyteen alueelle x0 - c x x0 + c saadaan laskemalla x0 + c 1 -( x-x0) /s P() c = e dx s p ò, joka sijoituksella t = ( x- x0)/ s saadaan muotoon x 0 -c

8 c / s -t æ c ö P( c) = e dt erf p ò = ç è s ø. 0 Funktio erf() on tilastotieteessä tavallinen ns. errorfunktio, jonka arvoja löytyy taulukoituna tai se voidaan laskea numeerisesti helposti vaikka Excel-ohjelmalla. Jos esimerkiksi c = s tai 1,96s tai,58s saadaan todennäköisyydet P( s ) = 68 % P(1,96 s ) = 95% P(,58 s ) = 99% Esimerkkijakauman ( x 0 = 400, s = 50) tapauksessa yksittäinen havainto sattuu 68 %:n todennäköisyydellä alueelle 350 x 450 (kuva alla). 8

9 Esimerkki: Avaruudesta tulee maan pinnalle (kuvitteellisia) hiukkasia, joiden nopeus noudattaa normaalijakaumaa 1 -( v-v0 ) /s y( v ) = e, s p missä v 0 = 50 m/s ja s = 100 m/s. a) Mikä on nopeuden todennäköisin arvo? b) Mikä on todennäköisyys sille, että nopeus on välillä 519 m/s 51 m/s? c) Mikä on todennäköisyys sille, että nopeus on välillä 400 m/s 640 m/s? Ratkaisu: a) Todennäköisin arvo on odotusarvo, 50 m/s. b) Todennäköisyys saadaan laskemalla æ c ö Pc ( ) = erf ç è s ø, missä nyt c = 1 m/s ja c/( as )» 0, Excel ohjelmalla lasketaan ERF (0,00707)» 0,00798, joten haettu todennäköisyys on noin 0,8 %. c) Tässä c = 10 m/s ja ERF (0,849)» 0,7701. Todennäköisyys on siis noin 77 %. 9

10 Miten normaalijakauman teoriaa sovelletaan käytännössä mitattavan suureen arvon ja sen luotettavuuden (virheen) määrittämisessä. Käytännössä mittausta toistetaan useita kertoja, jolloin kyseiseen mittaustapahtumaan liittyvän normaalijakauman parametrit ( x 0 ja s ) pystytään arvioimaan. Matemaattisesti voidaan osoittaa, että jos suuretta mitataan n kertaa ja tulokset noudattavat normaalijakaumaa, suureen todennäköisin arvo (vastaa odotusarvoa) on keskiarvo x 1 n xi n i = 1 = å ja jakauman standardipoikkeama (keskihajonta) lasketaan yhtälöllä 1 s = - n Jakauman ns. varianssi on s. å n ( xi x). -1 i= 1 10 Kun mittausten lukumäärää n kasvatetaan, tilastollisesti keskiarvon x tarkkuus kasvaa. Sen virherajana käytetään yleensä keskiarvon keskivirhettä s 1 D x = = x -x n nn ( 1) å n ( i ). - i = 1

11 Tällaisen mittauksen tulos voidaan siis ilmoittaa muodossa xtulos = x ±D x. 11 Esimerkki: Kymmenen ajanottajaa mittasivat 100 m:n pikajuoksijalle ajat: 9,81, 9,79, 9,85, 9,80, 9,76, 9,8, 9,81, 9,76, 9,80 ja 9,86 sekuntia. a) Mikä on aikojen keskiarvo? b) Mikä on aikojen keskihajonta? c) Mikä on keskiarvon keskivirhe? d) Ilmoita mittaustulos virherajoineen. Ratkaisu: Tulokset kannattaa taulukoida: i t i/s ( ti - t )/ s ( ti - t ) /s 1 9,81 0,004 0, ,79-0,016 0, ,85 0,044 0, ,80-0,006 0, ,76-0,046 0, ,8 0,014 0, ,81 0,004 0, ,76-0,046 0, ,80-0,006 0, ,86 0,054 0,00916 summa 98,06 0,009640

12 a) Keskiarvo 98,06 s t = = 9,806 s. 10 b) Keskihajonta 1 s = 0, s = 0,0378 s c) Keskiarvon keskivirhe s D t = = 0, s. 10 d) Mittaustulos t = 9,806 s ± 0,011 s. 1 Muita menetelmiä Kuten edellä kuvattiin niissä tapauksissa, joissa tulokseen vaikuttaa vain satunnaisia virheitä, voidaan mittaustuloksen absoluuttinen virhe laskea tilastollisilla menetelmillä. Luotettavuuden varmistamiseksi tarvitaan useita mittauksia. Joskus mittauksen toistaminen tuottaa saman tuloksen yhä uudelleen ja uudelleen eikä tilastollisia menetelmiä voida soveltaa. Esimerkiksi mitattaessa pituutta viivoittimella mittaustulos saattaa olla aina sama toistetaanpa mittausta miten monesti tahansa. Statistinen vaihtelu jää yksinkertaisesti lukematarkkuuden alapuo-

13 lelle eikä siten paljastu. Näissä tapauksissa mittauksen absoluuttiseksi virheeksi voidaan valitaan mittalaitteen lukematarkkuus. Esimerkiksi viivoittimesta voidaan lukea tulos 1 mm:n tarkkuudella, joten absoluuttinen virhe on ± 0,5 mm. 13 Monesti varsinainen mittaustapahtuma on niin työläs tai aikaavievä, että mittaus on järkevää suorittaa vain muutamia kertoja. Statististista luotettavuutta ei juurikaan kerry, mutta hyvä arvio saadaan, kun absoluuttiseksi virheeksi valitaan esimerkiksi suurin poikkeama keskiarvosta tai ihan karkeasti vain äärimmäisten arvojen erotus. Joskus mittaaminen on yksinkertaisesti hankalaa ja virhe pitää arvioida vain muutaman mittauksen perusteella. Esimerkiksi heilurin varren pituus on vähän yli kaksi metriä ja käytettävissäsi on kahden metrin pituinen mitta, jossa lukematarkkuus on 1 mm. Kokonaisvirhettä arvioitaessa pitää pohtia mittauksen virhelähteitä "realisistisesti". Paljonko virhettä syntyy mittauksen jatkamisesta yli kahden metrin? Miten tarkasti pystyt paikantamaan varren kiinnityskohdan? Mihin heilurin varsi päättyy? Kuuluuko varren päässä oleva kappale (heilurin massa) varteen? Eri virhelähteitä pitää arvioida realistisesti ja valita kokonaisvirhe järkevästi perustellen.

14 14 0. VIRHEENARVIOINTI On tavallista, että mitatuista suureista lasketaan edelleen muita suureita. Miten lopputuloksen virhe arvioidaan näissä tapauksissa? Katsotaan esimerkkinä ympyrän pinta-alan määrittämistä: Ympyrän halkaisijaksi on mitattu s = (75,0 ± 0,5) mm. Pinta-ala on æ sö 1 A= pç = ps, èø 4 joten arvoa s = 75,0 mm käyttäen saadaan tulokseksi 1 1 (75,0 mm) 4417,9 mm A= ps = p =. 4 4 Halkaisijan pienimmällä arvolla tulokseksi tulee 1 (74,5 mm) 4359, mm A = p = 4 ja suurimmalla arvolla 1 (75,5 mm) 4477,0 mm A = p = 4 Pinta-alan virheeksi ja alkuperäisen arvon erotus, joka on (4417,9 4359,) mm = 58,7 mm tai (4477,0 4417,9) mm = 59,1 D A voidaan valita näiden lukujen mm. Valitaan näistä suurempi ja pyöristysten jälkeen saadaan pinta-alalle tulos A = 440 mm ± 60 mm.

15 Periaatteessa näin virhe lasketaan myös tapauksissa, joissa laskettava suure f( x1, x,..., x n) riippuu useammasta mitattavasta suureesta x i, i= 1,,..., n. Käytännössä lasku on kuitenkin liian työläs, koska funktion arvo pitäisi laskea kaikkien eri muuttujien suurimpien ja pienimpien arvojen kombinaatioilla. Virheenarviointi yksinkertaistuu, kun sovelletaan differentiaalilaskentaan perustuvaa approksimaatiota. Differentiaalimenetelmä Monen muuttujan funktion f( x1, x,..., x n) kokonaisdifferentiaali f f f df = dx1+ dx dxn x x x 1 kertoo funktion arvon muutoksen df, kun argumenttien arvot muuttuvat määrän dx i. Lausekkeessa esiintyvät f / xi ovat funktion osittaisderivaattoja. Kokonaisdifferentiaalissa muutokset ovat tarkasti ottaen äärettömän pieniä (infinitesimaalisia), mutta voidaan kirjoittaa approksimaatio f f f D f» D x1+ D x Dxn, x x x 1 n n 15

16 jos äärelliset muutokset D xi ovat pieniä. Tässä yksittäiset termit voivat olla joko positiivisia tai negatiivisia. Muutoksen maksimi saadaan, kun termit vaikuttavat kaikki samaan suuntaan. Siten absoluuttisen virheen ylärajaksi saadaan f f f D f D x1 + D x Dxn. x1 x xn Eri termit kertovat miten yksittäisten muuttujien virheet vaikuttavat lopputulokseen. Mittaus pyritään suunnittelemaan siten, että eniten vaikuttavat muuttujat määritetään suurimmalla tarkkuudella. 16 Esimerkki: Ympyrän pinta-ala (katso edeltä). Ympyrän halkaisijaksi mitattiin s = (75,0 ± 0,5) mm. Laske pinta-alan absoluuttisen virheen yläraja. Ratkaisu: Ympyrän pinta-ala lasketaan kaavasta 1 A= p s, 4 joten absoluuttisen virheen ylärajaksi tulee da 1 D A D s = p s D s. ds Kun s = 75,0 mm ja D s = 0,5 mm, saadaan D A 59,9 mm» 60 mm.

17 Tämä on hyvin lähellä edellä laskettua tarkkaa tulosta, joten approksimaatio toimii tässä tapauksessa erittäin hyvin. Esimerkki: Sylinterin tilavuus. Sylinterin halkaisijaksi mitattiin D = (5,05 ± 0,0) cm ja korkeudeksi h = (10,03± 0,01) cm. Mikä on sylinterin tilavuus. Miten mittaustarkkuutta kannattaisi parantaa? Ratkaisu: Sylinterin tilavuus V lasketaan kaavasta 1 V= p Dh 4 ja absoluuttisen virheen ylärajaksi saadaan V V D V D D + Dh D h = pdh D D + pd D h. Arvoilla D = 5,05 cm ja h = 10,03 cm tilavuus on V = 00,897 cm 3 ja kun D D = 0,0 cm ja D h = 0,01 cm virheeksi tulee D V 1,591 cm 3 + 0,003 cm 3 = 1,79 cm 3. Sylinterin tilavuus on siis (01 ) V = ± cm 3. Halkaisijan mittauksen virhe tuottaa tilavuuteen virheen 1,591 cm 3. Korkeuden mittauksen tuottama virhe tilavuuteen on puolestaa vain 0,003 cm 3. Näin ollen tuloksen tarkkuuden parantamiseksi kannattaa pohtia miten halkaisija saataisiin mitattua tarkemmin. 17