Luento 7: Kokonaislukuoptimointi

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Luento 7: Kokonaislukuoptimointi"

Transkriptio

1 Luento 7: Kokonaislukuoptimointi Lineaarisessa optimointitehtävässä (LP) kaikki muuttujat ovat jatkuvia. Kokonaislukuoptimoinnin (ILP = Integer LP) tehtävässä kaikilla muuttujilla on kokonaislukurajoitus (x i Z, i). Sekalukutehtävässä kokonaislukurajoitus on osalla muuttujista. Binääritehtävässä (BILP) kaikki muuttujat saavat arvon joko nolla tai yksi. Yleisimmin käytetty ja luotettavin menetelmä ILP-tehtävän ratkaisuun on branch-and-bound algoritmi. Leikkaavien tasojen menetelmät (cutting-plane methods) ovat myös käytettyjä, mutta vaikeampia ja epävarmempia. Niiden käytössä esiintyy myös ongelmallisia pyöristysvirheitä. Valintamuuttuja Binäärimuuttujan yleinen käyttökohde on binäärinen valinta, jossa tehdään valinta kahden päätösvaihtoehdon välillä. Tämä valinta voidaan mallintaa binäärimuuttujalla x x = {, päätös 0, päätös eli asetetaan x joko nollaksi tai yhdeksi riippuen päätösvaihtoehdosta. Tässä päätösvaihtoehto voi tarkoittaa melkein mitä tahansa. Päätösmuuttujien riippuvuuksia Binääriset päätösvaihtoehdot voivat olla riippuvaisia toisistaan. Rajoitteella () voidaan rajata, että päätösmuuttujista x i enintään a kappaletta saa arvon. Jos halutaan, että muutttujista x i täsmälleen a kappaletta saa arvon, muutetaan epäyhtälö yhtälörajoitteeksi. n x i a, a {0,,...,n} () i=

2 Olkoon riippuvuussuhde sellainen, että joko molemmat tai ei kumpikaan vaihtoehdoista x ja y voi tapahtua. Riippuvuussuhde voidaan mallintaa rajoitusehdolla () x y = 0 () Toisin sanoen tämä on ekvivalenssirelaatio, (x y). Esimerkiksi, jos x = 0, niin y = 0 ja jos x =, niin y =. Vastaavasti implikaatio (x y) voidaan mallintaa rajoitusehdolla (3) x y (3) Esimerkiksi, jos x = 0, niin y = 0 tai y = ja jos x =, niin y =. Olkoon z riippuvainen binäärimuuttujasta x:stä siten, että jos x = 0 z = 0, muutoin 0 z,u R. Tämä suhde voidaan esittää seuraavan epäyhtälöryhmän avulla z ux 0 z 0 (4) Esitellään nyt muutamia kokonaislukuoptimoinnin sovelluksia. Selkärepun täyttöongelma Selkärepun täyttöongelma (Knapsack Problem) kuvaa erämaavaeltajan vaikeutta valita tarpeellisimmat esineet reppuunsa vaellusta varten. Vaeltaja voi kantaa vain K kilogramman kuorman. Hänen on valittava mukaansa osa esineistä kaikkiaan n esineen joukosta, joista jokaisella esineellä j on massa m j ja hyöty c j matkan aikana. Vaeltajan tarkoitus on maksimoida esineistä saatava kokonaishyöty. Binäärimuuttuja x i saa arvon yksi, jos esine i otetaan mukaan, muuten nolla. Vaeltajan ongelma voidaan esittää binääritehtävänä muodossa

3 max x s.e. n c j x j (a) n m j x j K (b) j= j= x j {0, } j (c) (5) Työnjako-ongelma Työnjako-ongelmassa (AP = Assignment Problem) yhtiöllä on m työtehtävää ja n työntekijää tai konetta, missä n m. Jokainen työ tehdään yhden työntekijän voimin ja jokainen työntekijä voi suorittaa korkeintaan yhden työtehtävän. Kaikki työtehtävät on suoritettava. Jos työntekijä i tekee työtehtävän j, siitä aiheutuu kustannus c ij. Tarkoituksena on minimoida kokonaiskustannus. Binäärimuuttuja x ij saa arvon yksi, mikäli työtehtävän j suorittaa työntekijä i, muuten nolla. Tehtävä on kokonaisuudessaan muotoa min x s.e. m n c ij x ij (a) n x ij = j =,...,m (b) i= m x ij i =,...,n (c) i= j= j= x ij {0, } i,j (d) (6) Rajoiteella (b) saadaan varmistettua, että jokainen työtehtävä j tulee suoritetuksi ja rajoitteella (c) saadaan huomioitua, että jokainen työntekijä i voi suorittaa korkeintaa yhden työtehtävän. Täydellinen sovitusongelma Sovitusongelmassa (Perfect Matching Problem) yrityksellä on työntekijöitä parillinen määrä n ja tehtävänä on muodostaa työntekijöistä työpareja kokonaistehokkuus maksimoiden. Olkoon c ij työntekijöiden i ja j välinen yhteistyötehokkuus. ja binäärimuuttuja x ij saa arvon yksi, kun työntekijät i ja j muodostavat työparin, muuten nolla. Tehtävä on muotoa 3

4 max x s.e. n n i= j=i+ i k= c ij x ij k=i+ (a) x ki + n x ik = i =,..., n (b) x ij {0, } i,j (c) (7) Rajoitteella (b) saadaan varmistettua, että jokaisella työntekijällä on vain yksi pari. Tehtaan sijoitusongelma Tehtaan sijoitusongelmassa (Facility Location Problem) on joukko asiakkaita I = {,...,m} ja joukko mahdollisia tehtaan sijoituspaikkoja J = {,...,n}. Tehtaan sijoittaminen paikkaan j tuottaa kustannuksen c j,j J ja asiakkaan i kysynnän tyydyttäminen paikasta j tuottaa kustannuksen d ij. Tarkoituksena on valita sopiva osajoukko sijoituspaikoista tehtaita varten kokonaiskustannuksen minimoiden. Binäärimuuttuja x j saa arvon yksi, jos tehdas sijoitetaan paikkaan j, muuten nolla. Olkoon paikkaan j sijoitetun tehtaan kapasiteetti u j ja asiakkaan i kysyntä b i. Määritellään lisäksi jatkuva muuttuja y ij, joka osoittaa toimitusten määrää paikasta j asiakkaalle i. Tehtävä on muotoa min x,y s.e. n c j x j + m j= i= j= n d ij y ij (a) n y ij = b i, i I (b) j= m y ij u j x j, j J (c) i= y ij 0, i,j (d) x j {0, } j (e) (8) Rajoitteella (b) varmistetaan että asiakkaiden kysynnät tulee tyyydytettyä. Tehtaan kapasiteetin ylittyminen saadaan estettyä rajoitteella (c). Se myös kertoo sen, että jos paikkaan j ei tule tehdasta (x j = 0), tavaravirtaus paikasta j on nolla. 4

5 Kauppamatkustajan ongelma Kauppamatkustajan ongelma (TSP = Traveling Salesman Problem) on ehkä tunnetuin kombinatorinen optimointitehtävä. Kauppamatkustaja aloittaa matkustamisen kotipaikkakunnalta, vierailee etukäteen määritellyissä kaupungeissa ja palaa takaisin lähtöpaikkaan. TSP:ssä on tarkoitus löytää kokonaiskustannuksen minimoiva reitti siten, että jokaisessa kaupungissa on vierailtu vain kerran. Olkoon kaupunkien lukumäärä N ja c ij kaupunkien i ja j välisen kaaren, esimerkiksi tien tai lentoreitin kustannus. Kustannuksena voi olla etäisyys, raha, aika tai näiden kombinaatio. Jos c ij = c ji, tehtävä on symmetrinen, muuten ei-symmetrinen. Olkoon binäärimuuttuja x ij yksi, jos kauppamatkustaja jatkaa kaupungista i kaupungiin j, muuten nolla. Olkoon kauppamatkustajan kotipaikkakunta kaupunki nro.. Tehtävän formulointi on min x s.e. N N c ij x ij i= j= (a) N x ij =, j =,...,n (b) i= N x ij =, i =,...,n (c) j= x ij S, S N, S N, (d) i,j σ(s) x ij {0, } (e) (9) Rajoitteilla (b) ja (c) huolehditaan siitä, että jokaiseen kaupunkiin saavutaan ja sieltä poistutaan. Alireittien muodostuminen estetään rajoitteella (d), missä joukko S on kaupungeista N valittu ei-tyhjä osajoukko ja itseisarvolla tarkoitetaan tässä yhteydessä S:n alkioiden lukumäärää. σ(s) määritellään seuraavasti: σ(s) = {(i,j) i S,j S } (0) Jos kaupunkien joukossa S pätee i,j σ(s) x ij > S, on joukossa S kehä, jolloin on siis muodostunut alireitti. Ilman rajoitetta (d) ratkaisu voisi olla kuvan mukainen. 5

6 Kuva : Esimerkki kahdesta alireitistä 9-kaupungin TSP:ssä Joukon peitto-, pakkaus- ja ositustehtävät. Huutokauppatehtävä Olkoon M = {,...,m} ja N = {,...,n}. Olkoon M,M,...,M n kokoelma joukon M osajoukkoja. Jokaiselle osajoukolle M j on liitetty kustannus, tai arvo, c j. Joukon N osajoukko F on peite (cover) M:lle, jos F on pakkaus (packing), jos j F M j = M. M j M k =, j,k F, j k. F on M:n ositus (partition), jos se on sekä peite että pakkaus M:lle. Osajoukon F kokonaiskustannus on j F c j. Kuvassa on havainnollistus peitteestä, osituksesta ja pakkauksesta. Peite Ositus Pakkaus Kuva : Peite, ositus ja pakkaus 6

7 Joukon peittotehtävässä (set-covering problem, SCP) etsitään kokonaiskustannuksen minimoiva peite F, pakkaustehtävässä (set-packing problem, SPP) kokonaiskustannuksen maksimoiva pakkaus F ja ositustehtävässä (set-partitioning problem, SPP) kokonaiskustannuksen minimoiva (maksimoiva) ositus F. Olkoon a ij =, jos i M j, muuten nolla ja x j =, jos j F. Määritellään vektorit x = (x,...,x n ), ja e = (,...,), jonka dimensio on m, sekä matriisi A, (A) ij = a ij. F on peite, pakkaus tai ositus jos ja vain jos Ax e, Ax e, Ax = e. Huutokauppatehtävä Olkoon internetissä toimivalla huutokauppiaalla M tuotetta (esim. jonkin asuinkiinteistön huonekalut). Huutokaupan periaate on seuraava: jokainen asiakas tekee M:n osajoukosta (osajoukoista) M j tarjouksen tietämättä toisten tekemistä tarjouksista. Olkoon b(m j ) korkein osajoukolle M j tehdyistä tarjouksista ja N osajoukkojen M j lukumäärä. Keille asiakkaille huutokauppiaan kannattaa myydä tuotteet tarjouksien jälkeen, jotta voitto maksimoituisi? Tämä tehtävä on joukon pakkakkaustehtävä. Olkoon a ij =, jos i M j, muuten nolla ja x j = jos osajoukko M j myydään. Huutokauppiaan tehtävä on siten: max b(m j )x j (a) jen s.e. a ij x j i M (b) () j N x j {0, } j N (c) Esimerkkejä Esimerkki Budjetointi. Kyllä - ei -rajoitus. Pääoma budjetoidaan viiteen projektiin, joista kunkin kesto on 3 vuotta. Projektien odotetut tuotot ja kustannukset sekä käytössä oleva pääoma ovat ao. taulukossa. Yritys maksimoi kokonaistuottoaan. 7

8 kustannukset (ME)/vuosi projekti 3 tuotto (ME) käytettävä pääoma (ME) Mitkä projektit tulisi toteuttaa? Määritellään binäärimuuttujat x j seuraavasti: x j = {, jos projekti j toteutetaan 0, jos projektia j ei toteuteta Kyllä - ei -rajoitus toteutetaan siis 0 tai arvoisilla muuttujilla. Nyt ILP-tehtävä saa muodon max z = 0x + 40x + 0x 3 + 5x x 5 s.t. 5x + 4x + 3x 3 + 7x 4 + 8x 5 5 x + 7x + 9x 3 + 4x 4 + 6x 5 5 8x + 0x + x 3 + x 4 + 0x 5 5 x, x, x 3, x 4, x 5 {0, } Tämä tehtävä voidaan ratkaista esim. Excel in solverilla. Ratkaisuksi saadaan x = x = x 3 = x 4 =, x 5 = 0 ja kohdefunktiolle arvo z = 95 (milj. E). Eli projektit -4 toteutetaan. ILP-tehtävän ratkaisua on mielenkiintoista verrata vastaavaan jatkuvien muuttujien, 0 x j, j, LP-tehtävään. Ratkaisu on tässä tapauksessa x = , x = x 3 = x 4 =, x 5 = , ja z = Tulos on merkityksetön, koska x ja x 5 ovat desimaalilukuja eivätkä näin ollen vastaa kyllä - ei kysymykseen. Jos taas koitetaan pyöristystä, saadaan x j =, j, joka ei vastaa optimiratkaisua. Esimerkki Joko - tai -rajoitus. Yritys käyttää yhtä konetta kolmen 8

9 eri työtehtävän suorittamiseen. Tehtävien suoritusajat, eräpäivät ja myöhästymissakot on annettu taulukossa. työ suoritusaika (päivä) eräpäivä (päivä) myöhästymissakko (E/päivä) Tehtävänä on määrittää töiden suorituksen aloituspäivät s.e. maksettava myöhästymissakko minimoituu. Käytetään seuraavia merkintöjä: p j = d j = tehtävän j suoritusaika tehtävän j eräpäivä Määritellään päätösmuuttujat: x j = tehtävän j aloituspäivä Tehtävässä tarvitaan kahdenlaisia rajoitusehtoja:. On estettävä töiden yhtäaikainen suorittaminen.. Eräpäivärajoitus. Töitä i ja j ei suoriteta yhtäaikaa, jos pätee: joko x i x j + p j, tai x j x i + p i Matemaattisiin algoritmeihin ei tällaista joko - tai -ehtoa voi tällaisenaan syöttää. Se on muunnettava kahdeksi aina voimassa olevaksi rajoitukseksi. Tähän tarvitaan seuraavia apumuuttujia: {, jos i suoritetaan ennen j:tä y ij = 0, jos j suoritetaan ennen i:tä Nyt voidaan muodostaa rajoitukset My ij + (x i x j ) p j, ja M( y ij ) + (x j x i ) p i, 9

10 missä M on riittävän suuri luku. Nyt pätee: Jos j on ennen i:tä y ij = 0, joten x i x j p j ; mutta myös M + x j x i p i, kunhan M on riittävän suuri luku. Eräpäivää vastaava rajoitus on x j + p j + s j = d j. Jos s j 0, saadaan työ valmiiksi ennen eräpäivää. Jos taas s j 0, joudutaan sakkoa maksamaan s j :n ilmoittamalta määrältä päiviä. Muuttujanvaihdolla s j = s + j s j ; s+ j, s j 0 rajoitusehto saadaan muotoon: x j + s + j s j = d j p j Koska tavoiteena on minimoida myöhästymissakoista muodostuvat kustannukset, voidaan muodostaa seuraava ILP-tehtävä. minz = 9s + s + 34s 3 s.t. x x +My 0 x x My 5 M x x 3 +My 3 5 x +x 3 My 3 5 M x x 3 +My 3 5 x +x 3 My 3 0 M x +s + s = 5 5 x +s + s = 0 x 3 +s + 3 s 3 = 35 5 x,x,x 3,s +,s,s +,s,s + 3,s 3 0 y,y 3,y 3 {0, } Valitsemalla M:n arvoksi esimerkiksi M = 000, voidaan tehtävä ratkaista jollain kokonaislukuohjelmoinnin algoritmilla. Optimiratkaisu on x = 0, x = 0, x 3 = 5, eli työ aloitetaan heti, työ päivänä 0 ja työ 3 päivänä 5. Myöhästymissakkoja joudutaan tällöin maksamaan 5 34E = 70E. 0

11 Branch-and-bound menetelmä (B &B - menetelmä) Branch and bound menetelmä on luotettava menetelmä ILP-tehtävien ratkaisemiseen. Siinä alkuperäisen kokonaislukutehtävän käypä joukko, joka siis muodostuu kokonaislukuvektoreista, muutetaan jatkumoksi, jolloin saadaan ILP:n sisältävä LP-tehtävä, ns. ILP:n LP-relaksaatio. Ko. LP-tehtävä ratkaistaan. Jos ratkaisu ei ole kokonaislukuvektori, tehtävään lisätään erityisrajoitukset, jolloin LP-tehtävä muutetaan kahdeksi uudeksi LP-tehtäväksi, jotka kuitenkin sisältävät alkuperäisen ILP-tehtävän käyvät kokonaislukupisteet. Ko. LP-tehtävät ratkaistaan ja menetelmää toistetaan kunnes ILPtehtävän ratkaisu löytyy. Menetelmän toiminta kuvataan seuraavan esimerkin avulla. Esimerkki Olkoon ratkaistava ILP-tehtävä max z = 5x +4x s.t. x +x 5 0x +6x 45 x,x Z + Kuvaan merkityt pisteet ovat ILP-tehtävän käypä joukko. ILP-tehtävästä muodostetaan LP-relaksaatio poistamalla kokonaislukurajoitukset. Olkoon LP0 alkuperäisen tehtävän LP-relaksaatio. LP0:n ratkaisu on x = 3.75, x =.5, z = Tämä ratkaisu ei ole kokonaislukuarvoinen. Valitaan jokin luku x j, joka ei ole kokonaisluku, esimerkiksi x. Alueella 3 < x < 4 LP0:n käyvässä joukossa ei ole yhtään kokonaislukuratkaisua, joten ko. aluetta ei tarvitse huomioida ILP-tehtävän ratkaisua haettaessa. Seuraavaksi muodostetaan LP0:sta kaksi alitehtävää LP ja LP seuraavasti: LP:n rajoituehdot = LP0:n rajoituehdot + (x 3) LP:n rajoituehdot = LP0:n rajoituehdot + (x 4) LP:n ja LP:n käyvät joukot on esitetty kuvassa. LP:tä ja LP:ta tutkitaan erillisinä tehtävinä.

12 8 x 7 6 Käypiä kokonaislukupisteitä Optimipiste ilman kokonaislukurajoitusta x =3.75, x =.5, z= x Kuva 3: Alkuperäisen ILP-tehtävän käypä joukko, sekä LP-relaksaation LP0 optimiratkaisu. x 6 5 LP x < 3 x > LP x Kuva 4: LP0:sta muodostetaan relaksaatiot LP ja LP lisäämällä rajoitukset x 3 ja x 4. Valitaan sattumanvaraisesti ensin tutkittavaksi LP. Tehtävä on max z = 5x + 4x s.t. x + x 5 0x + 6x 45 x 3 x,x 0

13 Tehtävän ratkaisuksi saadaan x = 3x =, z = 3, mikä täyttää myös kokonaislukurajoitukset. Nyt LP:n käypää joukkoa ei enää tarvitse tutkia, sillä sieltä ei voi löytyä tätä parempaa kokonaislukuratkaisua. Emme kuitenkaan voi vielä pitää löydettyä ratkaisua alkuperäisen ILP-tehtävän ratkaisuna, sillä LP:n käyvästä joukosta saattaa löytyä vielä parempi kokonaislukuratkaisu. Saatu ratkaisu on kuitenkin eräs alaraja (lower bound) ILP-tehtävän kohdefunktion optimiarvolle. Alarajaa päivitetään algoritmin edetessä sitä mukaa, kun parempia kokonaislukuratkaisuja löytyy. Nyt on tutkittava, löytyykö LP:n käyvästä joukosta parempaa kokonaislukuratkaisua. Havaitaan, että tehtävän LP0 optimiratkaisussa z=3.75, kohdefunktion kertoimet ovat kokonaislukuja. Näin ollen z=3 on suurin kohdefunktion arvo, mitä kokonaislukuratkaisulla voidaan saavuttaa. Voimme siis todeta, tutkimatta tehtävää LP, että piste x = 3, x =, z = 3 on alkuperäisen ILP-tahtävän ratkaisu. Jos olisimme alkaneet tutkia LP:ta ennen LP:tä, ja jakaneet LP:ta aliongelmiin kunnes löytyy kokonaislukuratkaisu ja vastaava alaraja, olisi algoritmi edennyt kuvassa 3 esitetyn puun mukaan. B & B-algoritmin vaiheet: Maksimointitehtävä, alaraja alussa. (minimoinnissa alaraja korvataan ylärajalla, yläraja alussa ) Askel : Muodostetaan ILP-tehtävästä LP-tehtävä poistamalla kokonaislukurajoitukset. Siirrytään askeleeseen. Askel : Ratkaistaan tutkittava LP-tehtävä. Mikäli ratkaisu on kokonaislukuvektori, on kaksi vaihtoehtoa. Jos ratkaisu on parempi kuin voimassa oleva alaraja, korvataan alaraja tällä kohdefunktion arvolla.. Jos ratkaisu on huonompi kuin voimassa oleva alaraja, säilytetään vanha alaraja. Jos kaikki alitehtävät on tutkittu, on voimassa olevaa alarajaa vastaava piste ILP-tehtävän optimi ja algoritmi päättyy. Jos alitehtäviä on vielä tutkimatta, valitaan niistä yksi tutkittavaksi ja siirrytään askeleen alkuun. Mikäli löydetty ratkaisu ei toteuta kokonaislukurajoituksia, on myös kaksi 3

14 LP 0 x =3.75, x =.5, z=3.75 x <3 x >4 7 LP x = 3, x =, z = 3 Alaraja (optimi) 4 x <0 LP x = 4, x =0.83, z=3.33 x > 3 LP 3 x =4.5, x =0, z=.5 LP 4 Ei käypää ratkaisua 6 x <4 x >5 5 LP 5 x = 4, x = 0, z = 0 Alaraja LP 6 Ei käypää ratkaisua Kuva 5: Algoritmin muodostama puu, kun tarkastellaan ensin aliongelmaa LP. Numerot laatikoiden yllä kertovat tehtävien ratkaisujärjestyksen. vaihtoehtoa. Jos ratkaisu on parempi kuin voimassa oleva alaraja, siirrytään askeleeseen 3.. Jos ratkaisu on huonompi kuin voimassa oleva alaraja, valitaan uusi tutkimaton alitehtävä ja siirrytään askeleen alkuun. Jos kaikki alitehtävät on tutkittu, on voimassa olevaa alarajaa vastaava piste ILPtehtävän optimi ja algoritmi päättyy. Askel 3: Valitaan yksi muuttuja x i, jonka arvo tutkittavan LP-tehtävän optimissa ei ole kokonaisluku. Muodostetaan LP-tehtävästä kaksi alitehtävää lisäämällä tätä muuttujaa koskevat rajoitukset x i a ja x i a +, 4

15 missä a Z ja muuttujan x i arvolle LP-tehtävän optimissa x i pätee a < x i < a +. Valitaan alitehtävistä toinen tutkittavaksi ja siirrytään askeleeseen. 5

Luento 7: Kokonaislukuoptimointi

Luento 7: Kokonaislukuoptimointi Luento 7: Kokonaislukuoptimointi Lineaarisessa optimointitehtävässä (LP) kaikki muuttujat ovat jatkuvia. Kokonaislukuoptimoinnin (ILP = Integer LP) tehtävässä kaikilla muuttujilla on kokonaislukurajoitus

Lisätiedot

Kokonaislukuoptimointi

Kokonaislukuoptimointi Kokonaislukuoptimointi Optimointitehtävät, joissa muuttujat tai osa niistä voivat saada vain kokonaislukuarvoja Puhdas kokonaislukuoptimointitehtävä: Kaikki muuttujat kokonaislukuja Sekoitettu kokonaislukuoptimointitehtävä:

Lisätiedot

Esimerkkejä kokonaislukuoptimointiongelmista

Esimerkkejä kokonaislukuoptimointiongelmista Esimerkkejä kokonaislukuoptimointiongelmista (eli mitä kaikkea kokonaisluvuilla voi mallintaa) 27. marraskuuta 2013 Pääoman budjetointiongelma Kulut Projekti Vuosi 1 Vuosi 2 Vuosi 3 Tuotto 1 5 1 8 20 2

Lisätiedot

Lineaarisen kokonaislukuoptimointitehtävän ratkaiseminen

Lineaarisen kokonaislukuoptimointitehtävän ratkaiseminen Lineaarisen kokonaislukuoptimointitehtävän ratkaiseminen Jos sallittuja kokonaislukuratkaisuja ei ole kovin paljon, ne voidaan käydä kaikki läpi yksitellen Käytännössä tämä ei kuitenkaan ole yleensä mahdollista

Lisätiedot

Harjoitus 8: Excel - Optimointi

Harjoitus 8: Excel - Optimointi Harjoitus 8: Excel - Optimointi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Lineaarisen optimointimallin muodostaminen

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 11. Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla

Talousmatematiikan perusteet: Luento 11. Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla Talousmatematiikan perusteet: Luento 11 Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla Esimerkki Esim. Yritys tekee kahta elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta,

Lisätiedot

Luetteloivat ja heuristiset menetelmät. Mat , Sovelletun matematiikan tutkijaseminaari, kevät 2008, Janne Karimäki

Luetteloivat ja heuristiset menetelmät. Mat , Sovelletun matematiikan tutkijaseminaari, kevät 2008, Janne Karimäki Luetteloivat ja heuristiset menetelmät Mat-2.4191, Sovelletun matematiikan tutkijaseminaari, kevät 2008, Janne Karimäki Sisältö Branch and Bound sekä sen variaatiot (Branch and Cut, Lemken menetelmä) Optimointiin

Lisätiedot

Mat Lineaarinen ohjelmointi

Mat Lineaarinen ohjelmointi Mat-.34 Lineaarinen ohjelmointi 9..7 Luento Kokonaislukuoptimoinnin algoritmeja (kirja.-.) Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 7 / Luentorunko Gomoryn leikkaava taso Branch & Bound Branch & Cut Muita menetelmiä

Lisätiedot

Harjoitus 6 ( )

Harjoitus 6 ( ) Harjoitus 6 (30.4.2014) Tehtävä 1 Määritelmän (ks. luentomoniste s. 109) mukaan yleisen, muotoa min f(x) s.t. g(x) 0 h(x) = 0 x X (1) olevan optimointitehtävän Lagrangen duaali on max θ(u,v) s.t. u 0,

Lisätiedot

Kokonaislukuoptiomointi Leikkaustasomenetelmät

Kokonaislukuoptiomointi Leikkaustasomenetelmät Kokonaislukuoptiomointi Leikkaustasomenetelmät Systeemianalyysin Laboratorio 19.3.2008 Sisällys Leikkaustasomenetelmät yleisesti Leikkaustasomenetelmät generoivilla kokonaislukujoukoilla Gomoryn leikkaavat

Lisätiedot

Malliratkaisut Demot

Malliratkaisut Demot Malliratkaisut Demot 3.2.27 Tehtävä. Valmisohjelmistolla voidaan ratkaista tehtävä min c T x s. t. Ax b x, missä x, c ja b R n ja A R m n. Muunnetaan tehtävä max x + 2x 2 + 3x 3 + x s. t. x + 3x 2 + 2x

Lisätiedot

8. Ensimmäisen käyvän kantaratkaisun haku

8. Ensimmäisen käyvän kantaratkaisun haku 38 8. Ensimmäisen käyvän kantaratkaisun haku Edellä kuvattu simplex-algoritmi tarvitsee alkuratkaisuksi käyvän kantaratkaisun eli käyvän joukon kärkipisteen. Sellaisen voi konstruoida seuraavilla tavoilla:

Lisätiedot

4.5 Kaksivaiheinen menetelmä simplex algoritmin alustukseen

4.5 Kaksivaiheinen menetelmä simplex algoritmin alustukseen 4.5 Kaksivaiheinen menetelmä simplex algoritmin alustukseen Käypä kantaratkaisu löytyy helposti, esimerkiksi tapauksessa Ax b, b 0 x 0 jolloin sen määräävät puutemuuttujat. Tällöin simplex-menetelmän alustus

Lisätiedot

Luento 2: Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli.

Luento 2: Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli. Luento 2: Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli. LP-malli Esimerkki. Maalitehdas valmistaa ulko- ja sisämaalia raaka-aineista M1 ja M2. Sisämaalin maksimikysyntä on 2 tonnia/päivä. Sisämaalin

Lisätiedot

Malliratkaisut Demot

Malliratkaisut Demot Malliratkaisut Demot 5 10.4.2017 Tehtävä 1 x 2 7 0,7 9,8 6 5 4 x 1 x 2 7 x 1 x 2 1 3 2 x 1 0 4,3 x 1 9 1 0,0 x 2 0 9,0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x 1 Kuva 1: Tehtävän 1 sallittu joukko S Optimointitehtävän sallittu

Lisätiedot

Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu

Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Merkintöjä := vasen puoli määritellään oikean puolen lausekkeella s.e. ehdolla; siten että (engl. subject to, s.t.) on voimassa

Lisätiedot

Mat Lineaarinen ohjelmointi

Mat Lineaarinen ohjelmointi Mat-.34 Lineaarinen ohjelmointi 5..7 Luento Kertausta Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 7 / LP ja Simplex Kurssin rakenne Duaalisuus ja herkkyysanalyysi Verkkotehtävät Kokonaislukutehtävät Lineaarinen ohjelmointi

Lisätiedot

Luento 4: Lineaarisen tehtävän duaali

Luento 4: Lineaarisen tehtävän duaali Luento 4: Lineaarisen tehtävän duaali Käsittelemme seuraavaksi lineaarisen optimoinnin duaaliteoriaa. Kuten luennossa 2 esitettiin, kohdefunktion optimiarvon herkkyys z, kun rajoitusyhtälön i, 1 i m, oikea

Lisätiedot

Harjoitus 4: Matlab - Optimization Toolbox

Harjoitus 4: Matlab - Optimization Toolbox Harjoitus 4: Matlab - Optimization Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Optimointimallin muodostaminen

Lisätiedot

Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu

Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Merkintöjä := vasen puoli määritellään oikean puolen lausekkeella s.e. ehdolla; siten että (engl. subject to, s.t.) vasemman puolen

Lisätiedot

Luento 2: Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli.

Luento 2: Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli. Luento : Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli. LP-malli simerkki: Maalifirma Sateenkaari valmistaa ulko- ja sisämaalia raaka-aineista M ja M. Sisämaalin maksimikysyntä on tonnia/päivä.

Lisätiedot

Harjoitus 5 ( )

Harjoitus 5 ( ) Harjoitus 5 (24.4.2014) Tehtävä 1 Kuva 1: Tehtävän 1 sallittu joukko S. Optimointitehtävän sallittu alue S on pisteiden (0, 0), (0, 7), (4, 3), (9, 8) ja (9, 0) määräämä viisikulmio. Kyseinen alue saadaan

Lisätiedot

Malliratkaisut Demot

Malliratkaisut Demot Malliratkaisut Demot 6 24.4.2017 Tehtävä 1 Määritelmän (ks. luentomonisteen s. 107) mukaan yleisen muotoa min f(x) s.t. g(x) 0 h(x) = 0 x X (1) olevan optimointitehtävän Lagrangen duaali on min θ(u,v)

Lisätiedot

Malliratkaisut Demot

Malliratkaisut Demot Malliratkaisut Demot 3 7.3.07 Tehtävä Olkoon tilamuuttujat Tällöin saadaan rekursioyhtälö f n (x n ) = max yn {0,} ynwn xn f 0 ( ) = 0. x n = vaiheessa n jäljellä oleva paino, n =,...,N, esine n pakataan

Lisätiedot

Duaalisuus kokonaislukuoptimoinnissa. Mat , Sovelletun matematiikan tutkijaseminaari, kevät 2008, Janne Karimäki

Duaalisuus kokonaislukuoptimoinnissa. Mat , Sovelletun matematiikan tutkijaseminaari, kevät 2008, Janne Karimäki Duaalisuus kokonaislukuoptimoinnissa Mat-2.4191, Sovelletun matematiikan tutkijaseminaari, kevät 2008, Janne Karimäki Sisältö Duaalisuus binäärisissä optimointitehtävissä Lagrangen duaalisuus Lagrangen

Lisätiedot

Harjoitus 6 ( )

Harjoitus 6 ( ) Harjoitus 6 (21.4.2015) Tehtävä 1 Määritelmän (ks. luentomoniste s. 109) mukaan yleisen, muotoa min f(x) s. t. g(x) 0 h(x) = 0 x X olevan optimointitehtävän Lagrangen duaali on missä max θ(u, v) s. t.

Lisätiedot

min x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2

min x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2 TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-39 Optimointioppi Kimmo Berg 6 harjoitus - ratkaisut min x + x x + x = () x f = 4x, h = x 4x + v = { { x + v = 4x + v = x = v/ x = v/4 () v/ v/4

Lisätiedot

Malliratkaisut Demot

Malliratkaisut Demot Malliratkaisut Demot 4 3.4.017 Tehtävä 1 Tarkastellaan harjoituksen 1 nopeimman reitin ongelmaa ja etsitään sille lyhin virittävä puu käyttämällä kahta eri algoritmia. a) (Primin algoritmi) Lähtemällä

Lisätiedot

4. Kokonaislukutehtävän ja LP:n yhteyksiä

4. Kokonaislukutehtävän ja LP:n yhteyksiä 8 4. Kokonaislukutehtävän ja LP:n yhteyksiä Minkowskin esityslauseen avulla voidaan osoittaa, että jos P on rationaalinen monitahokas ja S sen sisällä olevien kokonaislukupisteiden joukko, niin co(s) on

Lisätiedot

Lineaarinen optimointitehtävä

Lineaarinen optimointitehtävä Lineaarinen optimointitehtävä Minimointitehtävä yhtälörajoittein: min kun n j=1 n j=1 c j x j a ij x j = b i x j 0 j = 1,..., n i = 1,..., m Merkitään: z = alkuperäisen objektifunktion arvo käsiteltävänä

Lisätiedot

30A01000 Taulukkolaskenta ja analytiikka Luku 8: Lineaarinen optimointi ja sen sovellukset

30A01000 Taulukkolaskenta ja analytiikka Luku 8: Lineaarinen optimointi ja sen sovellukset 30A01000 Taulukkolaskenta ja analytiikka Luku 8: Lineaarinen optimointi ja sen sovellukset Mitä on lineaarinen optimointi (LP)? LP= lineaarinen optimointiongelma (Linear Programming) Menetelmä, jolla etsitään

Lisätiedot

Optimoinnin sovellukset

Optimoinnin sovellukset Optimoinnin sovellukset Timo Ranta Tutkijatohtori TTY Porin laitos OPTIMI 4.12.2014 Mitä optimointi on? Parhaan ratkaisun systemaattinen etsintä kaikkien mahdollisten ratkaisujen joukosta Tieteellinen

Lisätiedot

1 Johdanto LP tehtävän luonteen tarkastelua Johdanto herkkyysanalyysiin Optimiarvon funktio ja marginaalihinta

1 Johdanto LP tehtävän luonteen tarkastelua Johdanto herkkyysanalyysiin Optimiarvon funktio ja marginaalihinta Sisältö Johdanto 2 LP tehtävän luonteen tarkastelua 3 Johdanto herkkyysanalyysiin 5 2 Optimiarvon funktio ja marginaalihinta 5 3 Johdanto duaaliteoriaan 6 2 LP-tehtävän standardimuoto 9 Johdanto Optimoinnista

Lisätiedot

Tentissä on viisi tehtävää, jotka arvosteellaan asteikolla 0-6. Tehtävien alakohdat ovat keskenään samanarvoisia ellei toisin mainita.

Tentissä on viisi tehtävää, jotka arvosteellaan asteikolla 0-6. Tehtävien alakohdat ovat keskenään samanarvoisia ellei toisin mainita. Tentissä on viisi tehtävää, jotka arvosteellaan asteikolla 0-6. Tehtävien alakohdat ovat keskenään samanarvoisia ellei toisin mainita. Tehtävä 1 Mitä seuraavat käsitteet tarkoittavat? Monitahokas (polyhedron).

Lisätiedot

1 Rajoitettu optimointi I

1 Rajoitettu optimointi I Taloustieteen mat.menetelmät 2017 materiaali II-1 1 Rajoitettu optimointi I 1.1 Tarvittavaa osaamista Matriisit ja vektorit, matriisien de niittisyys Derivointi (mm. ketjusääntö, Taylorin kehitelmä) Implisiittifunktiolause

Lisätiedot

Kombinatorinen optimointi

Kombinatorinen optimointi Kombinatorinen optimointi Sallittujen pisteiden lukumäärä on äärellinen Periaatteessa ratkaisu löydetään käymällä läpi kaikki pisteet Käytännössä lukumäärä on niin suuri, että tämä on mahdotonta Usein

Lisätiedot

Ovatko seuraavat väittämät oikein vai väärin? Perustele vastauksesi.

Ovatko seuraavat väittämät oikein vai väärin? Perustele vastauksesi. 5..0 Tehtävä Ovatko seuraavat väittämät oikein vai väärin? Perustele vastauksesi. (c) (d) Arvostelu Kanta on degeneroitunut jos ja vain jos sitä vastaava kantamatriisi on singulaarinen. Optimissa muuttujan

Lisätiedot

Luento 11: Rajoitusehdot. Ulkopistemenetelmät

Luento 11: Rajoitusehdot. Ulkopistemenetelmät Luento 11: Rajoitusehdot. Ulkopistemenetelmät ja sisäpistemenetelmät Lagrangen välttämättömien ehtojen ratkaiseminen Newtonin menetelmällä Jos tehtävässä on vain yhtälörajoituksia, voidaan minimipistekandidaatteja

Lisätiedot

Harjoitus 3 (3.4.2014)

Harjoitus 3 (3.4.2014) Harjoitus 3 (3..) Tehtävä Olkoon kaaren paino c ij suurin sallittu korkeus tieosuudella (i, j). Etsitään reitti solmusta s solmuun t siten, että reitin suurin sallittu korkeus pienimmillään olisi mahdollisimman

Lisätiedot

Malliratkaisut Demot

Malliratkaisut Demot Malliratkaisut Demot 1 23.1.2017 1. Päätösmuuttujiksi voidaan valita x 1 : tehtyjen peruspöytin lukumäärä x 2 : tehtyjen luxuspöytien lukumäärä. Optimointitehtäväksi tulee max 200x 1 + 350x 2 s. t. 5x

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 14. Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä: yksi yhtälörajoitus Lagrangen menetelmä: monta yhtälörajoitusta

Talousmatematiikan perusteet: Luento 14. Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä: yksi yhtälörajoitus Lagrangen menetelmä: monta yhtälörajoitusta Talousmatematiikan perusteet: Luento 14 Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä: yksi yhtälörajoitus Lagrangen menetelmä: monta yhtälörajoitusta Viime luennolla Tarkastelimme usean muuttujan funktioiden

Lisätiedot

Harjoitus 5 ( )

Harjoitus 5 ( ) Harjoitus 5 (14.4.2015) Tehtävä 1 Figure 1: Tehtävän 1 sallittu joukko S. Optimointitehtävän sallittu alue S on pisteiden (0, 0), (0, 7), (4, 3), (9, 8) ja (9, 0) määräämä viisikulmio. Kyseinen alue saadaan

Lisätiedot

Luento 3: Simplex-menetelmä

Luento 3: Simplex-menetelmä Luento 3: Simplex-menetelmä Kuten graafinen tarkastelu osoittaa, LP-tehtävän ratkaisu on aina käyvän alueen kulmapisteessä, eli ekstreemipisteessä (extreme point). Simplex-menetelmässä ekstreemipisteitä,

Lisätiedot

Piiri K 1 K 2 K 3 K 4 R R

Piiri K 1 K 2 K 3 K 4 R R Lineaarinen optimointi vastaus, harj 1, Syksy 2016. 1. Teollisuuslaitos valmistaa piirejä R 1 ja R 2, joissa on neljää eri komponenttia seuraavat määrät: Piiri K 1 K 2 K 3 K 4 R 1 3 1 2 2 R 2 4 2 3 0 Päivittäistä

Lisätiedot

Malliratkaisut Demo 4

Malliratkaisut Demo 4 Malliratkaisut Demo 4 1. tehtävä a) f(x) = 2x + 21. Funktio on lineaarinen, joten se on unimodaalinen sekä maksimoinnin että imoinnin suhteen. Funktio on konveksi ja konkaavi. b) f(x) = x (pienin kokonaisluku

Lisätiedot

1. Lineaarinen optimointi

1. Lineaarinen optimointi 0 1. Lineaarinen optimointi 1. Lineaarinen optimointi 1.1 Johdatteleva esimerkki Esimerkki 1.1.1 Giapetto s Woodcarving inc. valmistaa kahdenlaisia puuleluja: sotilaita ja junia. Sotilaan myyntihinta on

Lisätiedot

Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi.

Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi. Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi. Konveksisuus Muista x + αd, α 0, on pisteestä x R n alkava puolisuora, joka on vektorin d suuntainen. Samoin

Lisätiedot

Malliratkaisut Demo 1

Malliratkaisut Demo 1 Malliratkaisut Demo 1 1. Merkitään x = kuinka monta viikkoa odotetaan ennen kuin perunat nostetaan. Nyt maksimoitavaksi kohdefunktioksi tulee f(x) = (60 5x)(300 + 50x). Funktio f on alaspäin aukeava paraaeli,

Lisätiedot

Harjoitus 3 (31.3.2015)

Harjoitus 3 (31.3.2015) Harjoitus (..05) Tehtävä Olkoon kaaren paino c ij suurin sallittu korkeus tieosuudella (i,j). Etsitään reitti solmusta s solmuun t siten, että reitin suurin sallittu korkeus pienimmillään olisi mahdollisimman

Lisätiedot

Lineaarinen optimointi. Harjoitus 6-7, Olkoon A R m n, x, c R ja b R m. Osoita, että LP-tehtävän. c T x = min!

Lineaarinen optimointi. Harjoitus 6-7, Olkoon A R m n, x, c R ja b R m. Osoita, että LP-tehtävän. c T x = min! Lineaarinen optimointi Harjoitus 6-7, 016. 1. Olkoon A R m n, x, c R ja b R m. Osoita, että LP-tehtävän c T x = min! (T) Ax b x 0 duaalitehtävän duaali on tehtävä (T). Ratkaisu. (P) c T x = min! Ax b x

Lisätiedot

Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi.

Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi. Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi. Konveksisuus Muista. + αd, α 0, on pisteessä R n alkava puolisuora, joka on vektorin d suuntainen. Samoin 2

Lisätiedot

b 1. b m ) + ( 2b Ax) + (b b)

b 1. b m ) + ( 2b Ax) + (b b) TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-9 Optimointioppi Kimmo Berg 5 harjoitus - ratkaisut min Ax b (vertaa PNS-tehtävät) a x + + a n x n a) Ax b = a m x + + a mn x n = x a a m }{{}

Lisätiedot

Malliratkaisut Demo 4

Malliratkaisut Demo 4 Malliratkaisut Demo 4 1. tehtävä a) () = 2+1. Funktio on lineaarinen, joten se on unimodaalinen sekä maksimoinnin että minimoinnin suhteen. Funktio on konveksi ja konkaavi. b) () = (suurin kokonaisluku

Lisätiedot

Trimmitysongelman LP-relaksaation ratkaiseminen sarakkeita generoivalla algoritmilla ja brute-force-menetelmällä

Trimmitysongelman LP-relaksaation ratkaiseminen sarakkeita generoivalla algoritmilla ja brute-force-menetelmällä Trimmitysongelman LP-relaksaation ratkaiseminen sarakkeita generoivalla algoritmilla ja brute-force-menetelmällä Vesa Husgafvel 19.11.2012 Ohjaaja: DI Mirko Ruokokoski Valvoja: Prof. Harri Ehtamo Työn

Lisätiedot

Kuljetustehtävä. Materiaalia kuljetetaan m:stä lähtöpaikasta n:ään tarvepaikkaan. Kuljetuskustannukset lähtöpaikasta i tarvepaikkaan j ovat c ij

Kuljetustehtävä. Materiaalia kuljetetaan m:stä lähtöpaikasta n:ään tarvepaikkaan. Kuljetuskustannukset lähtöpaikasta i tarvepaikkaan j ovat c ij Kuljetustehtävä Materiaalia kuljetetaan m:stä lähtöpaikasta n:ään tarvepaikkaan Kuljetuskustannukset lähtöpaikasta i tarvepaikkaan j ovat c ij Lähtöpaikan i kapasiteetti on a i (oletetaan, että a i > 0

Lisätiedot

Mat Lineaarinen ohjelmointi

Mat Lineaarinen ohjelmointi Mat-.4 Lineaarinen ohjelmointi..7 Luento 7 Duaalisimple ja herkkyysanalyysi (kirja 4.5, 5., 5.5-5.6) Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 7 / Duaalisimple Herkkyysanalyysi Luentorunko Parametrinen ohjelmointi

Lisätiedot

Lineaarinen optimointitehtävä

Lineaarinen optimointitehtävä Lineaarinen optimointitehtävä min c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n kun a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2. a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n b m x 1, x 2,..., x n 0 1

Lisätiedot

Operatioanalyysi 2011, Harjoitus 3, viikko 39

Operatioanalyysi 2011, Harjoitus 3, viikko 39 Operatioanalyysi 2011, Harjoitus 3, viikko 39 H3t1, Exercise 3.1. H3t2, Exercise 3.2. H3t3, Exercise 3.3. H3t4, Exercise 3.4. H3t5 (Exercise 3.1.) 1 3.1. Find the (a) standard form, (b) slack form of the

Lisätiedot

Valitaan alkio x 1 A B ja merkitään A 1 = A { x 1 }. Perinnöllisyyden nojalla A 1 I.

Valitaan alkio x 1 A B ja merkitään A 1 = A { x 1 }. Perinnöllisyyden nojalla A 1 I. Vaihto-ominaisuudella on seuraava intuition kannalta keskeinen seuraus: Olkoot A I ja B I samankokoisia riippumattomia joukkoja: A = B = m jollain m > 0. Olkoon vielä n = m A B, jolloin A B = B A = n.

Lisätiedot

Simplex-algoritmi. T Informaatiotekniikan seminaari , Susanna Moisala

Simplex-algoritmi. T Informaatiotekniikan seminaari , Susanna Moisala Simplex-algoritmi T-6.5 Informaatiotekniikan seminaari..8, Susanna Moisala Sisältö Simplex-algoritmi Lähtökohdat Miten ongelmasta muodostetaan ns. Simplextaulukko Miten haetaan käypä aloitusratkaisu Mitä

Lisätiedot

4. Luennon sisältö. Lineaarisen optimointitehtävän ratkaiseminen Simplex-menetelmä

4. Luennon sisältö. Lineaarisen optimointitehtävän ratkaiseminen Simplex-menetelmä JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO 4. Luennon sisältö Lineaarisen optimointitehtävän ratkaiseminen Simplex-menetelmä kevät 2012 TIEA382 Lineaarinen ja diskreetti optimointi Lineaarinen optimointitehtävä Minimointitehtävä

Lisätiedot

Ellipsoidimenetelmä. Samuli Leppänen Kokonaislukuoptimointi. S ysteemianalyysin Laboratorio

Ellipsoidimenetelmä. Samuli Leppänen Kokonaislukuoptimointi. S ysteemianalyysin Laboratorio Ellipsoidimenetelmä Kokonaislukuoptimointi Sovelletun matematiikan lisensiaattiseminaari Kevät 2008 / 1 Sisällys Ellipsoidimenetelmän geometrinen perusta ja menetelmän idea Formaali ellipsoidimenetelmä

Lisätiedot

MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 4

MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 4 MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 4 Ehtamo Duaalin muodostamisen muistisäännöt Duaalin muodostamisessa voidaan käyttää muistisääntötaulukkoa, jota voidaan lukea vasemmalta oikealle tai oikealta

Lisätiedot

Implementation of Selected Metaheuristics to the Travelling Salesman Problem (valmiin työn esittely)

Implementation of Selected Metaheuristics to the Travelling Salesman Problem (valmiin työn esittely) Implementation of Selected Metaheuristics to the Travelling Salesman Problem (valmiin työn esittely) Jari Hast xx.12.2013 Ohjaaja: Harri Ehtamo Valvoja: Hari Ehtamo Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston

Lisätiedot

Luento 6: Monitavoitteinen optimointi

Luento 6: Monitavoitteinen optimointi Luento 6: Monitavoitteinen optimointi Monitavoitteisessa optimointitehtävässä on useita optimoitavia kohdefunktioita eli ns kriteereitä: f,,f m Esimerkki ortfolion eli arvopaperijoukon optimoinnissa: f

Lisätiedot

Kimppu-suodatus-menetelmä

Kimppu-suodatus-menetelmä Kimppu-suodatus-menetelmä 2. toukokuuta 2016 Kimppu-suodatus-menetelmä on kehitetty epäsileiden optimointitehtävien ratkaisemista varten. Menetelmässä approksimoidaan epäsileitä funktioita aligradienttikimpulla.

Lisätiedot

Harjoitus 7: vastausvihjeet

Harjoitus 7: vastausvihjeet Taloustieteen matemaattiset menetelmät 31C01100 Kevät 2017 Topi Hokkanen topi.hokkanen@aalto.fi Harjoitus 7: vastausvihjeet 1. (Epäyhtälörajoitteet) Olkoon f (x, y) = 6x + 4y ja g (x, y) = x 2 + y 2 2.

Lisätiedot

Luento 6: Monitavoiteoptimointi

Luento 6: Monitavoiteoptimointi Luento 6: Monitavoiteoptimointi Monitavoiteoptimointitehtävässä on useita optimoitavia kohdefunktioita eli ns kriteereitä: f 1,, f m Esimerkiksi opiskelija haluaa oppia mahdollisimman hyvin ja paljon mahdollisimman

Lisätiedot

Search space traversal using metaheuristics

Search space traversal using metaheuristics Search space traversal using metaheuristics Mika Juuti 11.06.2012 Ohjaaja: Ville Mattila Valvoja: Harri Ehtamo Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla verkkosivuilla. Muilta osin kaikki

Lisätiedot

1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa:

1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa: 1 Kertaus Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa: min c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n kun a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2 (11) a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n

Lisätiedot

Kon Konepajojen tuotannonohjaus: ILOG CPLEX Studion käyttö

Kon Konepajojen tuotannonohjaus: ILOG CPLEX Studion käyttö Kon-15.4199 Konepajojen tuotannonohjaus: ILOG CPLEX Studion käyttö 22.1.2016 Harjoituksessa 1. Varmistetaan että kaikilla on pari! Ilmoittautukaa oodissa etukäteen! 2. Tutustutaan ensimmäiseen tehtävään

Lisätiedot

Osakesalkun optimointi. Anni Halkola Turun yliopisto 2016

Osakesalkun optimointi. Anni Halkola Turun yliopisto 2016 Osakesalkun optimointi Anni Halkola Turun yliopisto 2016 Artikkeli Gleb Beliakov & Adil Bagirov (2006) Non-smooth optimization methods for computation of the Conditional Value-at-risk and portfolio optimization.

Lisätiedot

Algoritmit 2. Luento 13 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 2. Luento 13 Ti Timo Männikkö Algoritmit 2 Luento 13 Ti 2.5.2017 Timo Männikkö Luento 13 Merkkijonon sovitus Horspoolin algoritmi Laskennallinen vaativuus Päätösongelmat Epädeterministinen algoritmi Vaativuusluokat NP-täydellisyys

Lisätiedot

Kokonaislukuoptimointi hissiryhmän ohjauksessa

Kokonaislukuoptimointi hissiryhmän ohjauksessa Kokonaislukuoptimointi hissiryhmän ohjauksessa Systeemianalyysin laboratorio Teknillinen Korkeakoulu, TKK 3 Maaliskuuta 2008 Sisällys 1 Johdanto Taustaa Ongelman kuvaus 2 PACE-graafi Graafin muodostaminen

Lisätiedot

Kokonaislukuoptimointi

Kokonaislukuoptimointi Kokonaislukuoptimointi Algebrallisen geometrian sovelluksia Sisältö Taustaa algebrallisesta geometriasta Gröbnerin kanta Buchbergerin algoritmi Kokonaislukuoptimointi Käypyysongelma Algoritmi ratkaisun

Lisätiedot

Lineaaristen monitavoiteoptimointitehtävien

Lineaaristen monitavoiteoptimointitehtävien Lineaaristen monitavoiteoptimointitehtävien ratkaiseminen Jerri Nummenpalo 17.09.2012 Ohjaaja: TkT Juuso Liesiö Valvoja: Prof. Ahti Salo Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla verkkosivuilla.

Lisätiedot

Uolevin reitti. Kuvaus. Syöte (stdin) Tuloste (stdout) Esimerkki 1. Esimerkki 2

Uolevin reitti. Kuvaus. Syöte (stdin) Tuloste (stdout) Esimerkki 1. Esimerkki 2 Uolevin reitti Kuvaus Uolevi on ruudukon vasemmassa ylänurkassa ja haluaisi päästä oikeaan alanurkkaan. Uolevi voi liikkua joka askeleella ruudun verran vasemmalle, oikealle, ylöspäin tai alaspäin. Lisäksi

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen

Lisätiedot

Projektiportfolion valinta

Projektiportfolion valinta Projektiportfolion valinta Mat-2.4142 Optimointiopin seminaari kevät 2011 Portfolion valinta Käytettävissä on rajallinen määrä resursseja, joten ne on allokoitava mahdollisimman hyvin eri projekteille

Lisätiedot

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5. 2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2

Lisätiedot

Graafit ja verkot. Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja. eli haaroja. Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria

Graafit ja verkot. Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja. eli haaroja. Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria Graafit ja verkot Suuntamaton graafi: eli haaroja Joukko solmuja ja joukko järjestämättömiä solmupareja Suunnattu graafi: Joukko solmuja ja joukko järjestettyjä solmupareja eli kaaria Haaran päätesolmut:

Lisätiedot

Harjoitus 1 (17.3.2015)

Harjoitus 1 (17.3.2015) Harjoitus 1 (17.3.2015) Tehtävä 1 Piirretään tilanteesta verkko, jossa kaupungeille on annetttu seuraavat numerot: 1 = Turku 2 = Tampere 3 = Helsinki 4 = Kuopio 5 = Joensuu. a) Tehtävänä on ratkaista Bellman

Lisätiedot

73125 MATEMAATTINEN OPTIMOINTITEORIA 2

73125 MATEMAATTINEN OPTIMOINTITEORIA 2 73125 MATEMAATTINEN OPTIMOINTITEORIA 2 Risto Silvennoinen Tampereen teknillinen yliopisto, kevät 2004 1. Peruskäsitteet Optimointiteoria on sovelletun matematiikan osa-alue, jossa tutkitaan funktioiden

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

Mat Lineaarinen ohjelmointi

Mat Lineaarinen ohjelmointi Mat-2.34 Lineaarinen ohjelmointi..27 Luento 5 Simplexin implementaatioita (kirja 3.2-3.5) Lineaarinen ohjelmointi - Syksy 27 / Luentorunko (/2) Simplexin implementaatiot Naiivi Revised Full tableau Syklisyys

Lisätiedot

LP-mallit, L8. Herkkyysanalyysi. Varjohinta. Tietokoneohjelmia. Aiheet. Yleistä, LP-malleista. Esimerkki, Giapetto.

LP-mallit, L8. Herkkyysanalyysi. Varjohinta. Tietokoneohjelmia. Aiheet. Yleistä, LP-malleista. Esimerkki, Giapetto. LP-mallit, L8 Yleistä 1 LP-mallit on yksi Operaatioanalyysin (Operations Research) perustyökaluista. Perusongelma: Miten pitää suorittaa operaatio mahdollisimman hyvin, kun käytettävissä on rajalliset

Lisätiedot

Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti.

Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti. Joukon määritelmä Joukko on alkioidensa kokoelma. Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti. Näin ei tässä

Lisätiedot

12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa

12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa 179 12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa Tarkastelemme tässä luvussa useamman muuttujan (eli vektorimuuttujan) n reaaliarvoisia unktioita : R R. Edellisessä luvussa todettiin, että riittävän säännöllisellä

Lisätiedot

Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt

Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö Yhtälöryhmä Yhtälöryhmässä on useita yhtälöitä ja yleensä myös useita tuntemattomia. Tavoitteena on löytää tuntemattomille sellaiset arvot, että kaikki yhtälöt toteutuvat samanaikaisesti.

Lisätiedot

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta. Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua

Lisätiedot

Jälki- ja herkkyysanalyysi. Tutkitaan eri kertoimien ja vakioiden arvoissa tapahtuvien muutosten vaikutusta optimiratkaisuun

Jälki- ja herkkyysanalyysi. Tutkitaan eri kertoimien ja vakioiden arvoissa tapahtuvien muutosten vaikutusta optimiratkaisuun Jälki- ja herkkyysanalyysi Tutkitaan eri kertoimien ja vakioiden arvoissa tapahtuvien muutosten vaikutusta optimiratkaisuun 1 Hinnat ja varjohinnat Objektifunktio c T x = Kerroin c j ilmoittaa, paljonko

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 4 To 15.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 4 To 15.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Lineaarinen yhtälöryhmä Lineaarinen yhtälöryhmä matriisimuodossa Ax = b

Lisätiedot

KKT: log p i v 1 + v 2 x i = 0, i = 1,...,n.

KKT: log p i v 1 + v 2 x i = 0, i = 1,...,n. TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-2.139 Optimointioppi Kimmo Berg 7. harjoitus - ratkaisut 1. Oletetaan aluksi, että epäyhtälöt eivät ole aktiivisia p i > 0. Tässä tapauksess KKTehdot

Lisätiedot

Malliratkaisut Demot 5,

Malliratkaisut Demot 5, Malliratkaisut Demot 5, 2.2.25 Tehtävä : a) Tehtävä voidaan sieventää muotoon max 5x + 9x 2 + x 3 s. t. 2x +x 2 x 3 x 3 x 2 3 x 3 3 x,x 2,x 3 Tämä on tehtävän kanoninen muoto,n = 3 jam =. b) Otetaan käyttöön

Lisätiedot

6. Luennon sisältö. Lineaarisen optimoinnin duaaliteoriaa

6. Luennon sisältö. Lineaarisen optimoinnin duaaliteoriaa JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO 6. Luennon sisältö Lineaarisen optimoinnin duaaliteoriaa työkalu ratkaisun analysointiin Jälki- ja herkkyysanalyysiä mitä tapahtuu optimiratkaisulle, jos tehtävän vakiot hieman muuttuvat

Lisätiedot

Totaalisesti unimodulaariset matriisit voidaan osoittaa olevan rakennettavissa oleellisesti verkkomalleihin liittyvistä matriiseista

Totaalisesti unimodulaariset matriisit voidaan osoittaa olevan rakennettavissa oleellisesti verkkomalleihin liittyvistä matriiseista 8. Verkkomallit Totaalisesti unimodulaariset matriisit voidaan osoittaa olevan rakennettavissa oleellisesti verkkomalleihin liittyvistä matriiseista (P. D. Seymour, Journal of Combinatorial Theory (B),

Lisätiedot

Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa

Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Lagrangen kerroin Oletetaan aluksi, että f, g : R R. Merkitään (x 1, x ) := (x, y) ja johdetaan Lagrangen kerroin λ tehtävälle min f(x, y) s.t. g(x, y) = 0 Olkoon

Lisätiedot

Sekalukuoptimointi. Lehtonen, Matti Matemaattisen ohjelmoinnin seminaari, Tietojenkäsittelytieteen laitos Helsingin Yliopisto

Sekalukuoptimointi. Lehtonen, Matti Matemaattisen ohjelmoinnin seminaari, Tietojenkäsittelytieteen laitos Helsingin Yliopisto Sekalukuoptimointi Lehtonen, Matti Matemaattisen ohjelmoinnin seminaari, 2000-10-11 Tietojenkäsittelytieteen laitos Helsingin Yliopisto 1 Tiivistelmä Seminaarin aihe käsittelee globaalin optimoinnin erästä

Lisätiedot

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij. Liittomatriisi Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä (cof A) ij =( 1) i+j det A ij kaikilla i, j = 1,...,n. Huomautus 8 Olkoon A 2 M(n, n). Tällöin kaikilla

Lisätiedot

V. V. Vazirani: Approximation Algorithms, luvut 3-4 Matti Kääriäinen

V. V. Vazirani: Approximation Algorithms, luvut 3-4 Matti Kääriäinen V. V. Vazirani: Approximation Algorithms, luvut 3-4 Matti Kääriäinen Luento omatoimisen luennan tueksi algoritmiikan tutkimusseminaarissa 23.9.2002. 1 Sisältö Esitellään ongelmat Steiner-puu Kauppamatkustajan

Lisätiedot