LP-mallit, L8. Herkkyysanalyysi. Varjohinta. Tietokoneohjelmia. Aiheet. Yleistä, LP-malleista. Esimerkki, Giapetto.

Transkriptio

1 LP-mallit, L8

2 Yleistä 1 LP-mallit on yksi Operaatioanalyysin (Operations Research) perustyökaluista. Perusongelma: Miten pitää suorittaa operaatio mahdollisimman hyvin, kun käytettävissä on rajalliset resurssit? (max tai min) Jatko-ongelma: Miten optimi muuttuu, jos jokin mallin parametri muuttuu? Jatko-ongelma 2: Mitä enintään kannattaa maksaa yhdestä lisäresurssista?

3 (1/n) 2 's Woodcarving inc. valmistaa kahdenlaisia puuleluja: sotilaita ja junia. Tavoitefunktio. Sotilaan myyntihinta on 27e, ja siihen kuluu materiaalia 10eedestä. Jokainen valmistettu sotilas aiheuttaa lisäksi muuttuvia palkka- ja yleiskustannuksia keskimäärin 14eedestä. Junan myyntihinta on 21e, ja siihen kuluu 9eedestä materiaalia. Muuttuvia palkka- ja yleiskustannuksia jokainen juna aiheuttaa keskimäärin 10e. Rajoitteet. Resurssien kulutus. Sotilaiden ja junien valmistus tapahtuu kahdella osastolla: puutyöosastolla ja viimeistelyosastolla. Yksi sotilas vaatii 1 tunnin puutyötä ja 2 tuntia viimeistelyä. Vastaavasti yksi juna vaatii 1 tunnin puutyötä ja 1 tunnin viimeistelyä.

4 jatkuu (2/n) 3 Rajoitteet. Olemassaolevat resurssit. Yritys pystyy hankkimaan kaiken tarvitsemansa materiaalin, mutta puutyö- ja viimeistelyosastojen kapasiteetti on rajallinen. Käytettävissä on 80 tuntia puutyötä per viikko, ja 100 tuntia viimeistelytyötä per viikko. Rajoitteet. Lisäajoitteet. Lelujen kysynnästä tiedetään, että junien kysyntä on käytännössä rajoittamaton, mutta sotilaita saadaan kaupaksi korkeintaan 40 per viikko. Kysymys: Miten yritys voi maksimoida katetuottonsa? Muodostetaan ongelmasta LP-malli.

5 Ratkaisu (3/n) 4 (1) Päätösmuuttujat x 1 = puusotilaiden valmistus (kpl/viikko) x 2 = puujunien valmistus (kpl/viikko) (2) Tavoitefunktio Muodostamme tavoitefunktion z(x 1, x 2 ), jolle etsimme suurinta mahdollista arvoa. Tavoitefunktio on nyt katetuotto. z = R(x 1, x 2 ) C(x 1, x 2 ) = tuotto kustannus {}}{{}}{ (27x x 2 ) (10x 1 + 9x }{{} x x 2 ) }{{} materiaali palkat yms. = 3x 1 + 2x 2

6 Ratkaisu (4/n) 5 (3) Rajoitteet Selvitämme jokaisen tuotantoa rajoittavan tekijän erikseen Puutyö: resurssitarve = 1x 1 + 1x 2 (h/viikko) Käytettävissä oleva resurssi = 80 (h/viikko) 1. rajoite: x 1 + x 2 80 Viimeistelytyö: resurssitarve = 2x 1 + 1x 2 (h/viikko) Käytettävissä oleva resurssi = 100 (h/viikko) 2. rajoite: 2x 1 + x Kysyntärajoite: 3. rajoite: x 1 40 Merkkirajoitteet: 4. rajoite: x rajoite: x 2 0

7 Ratkaisu (5/n) 6 (4) LP-malli Kootaan kaikki oleellinen siistiksi paketiksi max z = 3x 1 + 2x 2 ehdoin x 1 + x x 1 + x x 1 40 x 1, x 2 0

8 Ratkaisu (6/n) 7 (5) Graanen ratkaisu Aloitetaan tarkastelu ensimmäisestä rajoitteesta x 1 + x 2 80 Jos kiinnitämme x 1 :n arvon (esim. x 1 = 50), niin emme saa antaa x 2 :lle liian suurta arvoa. x 2 tulee olla pienempi tai yhtä suuri kuin kuin 80 x 1 (esim. x = 30). (x 1, x 2 )-tasossa tulee pisteen olla siis suoran x 1 + x 2 = 80 alapuolella. Piirrämme suoran tasoon. Sitä varten selvitämme kaksi suoran pistettä A = (0, 80), ja B = (80, 0)

9 Ratkaisu (7/n) 8 Ensimmäinen rajoite: x 1 + x 2 80 alapuoli A = (0, 80), B = (80, 0) x A 50 0 alapuoli käypä x 1 B

10 Ratkaisu (8/n) 9 Toinen rajoite: 2x 1 + x alapuoli C = (0, 100), D = (50, 0) x C 50 alapuoli käypä 0 D x 1

11 Ratkaisu (9/n) 10 Kolmas rajoite: x 1 40 vasen puoli E = (40, 0) x vasen puoli käypä 0 E x 1

12 Ratkaisu (10/n) 11 Lopuksi piirrämme kaikki suorat samaan kuvaan. Huomaa, että merkkirajoitteet kieltävät pystyakselin vasemman puolen (x 2 -akseli) sekä vaaka-akselin alapuolen (x 1 -akseli.

13 Ratkaisu (11/n) 12 x 1 + x 2 80 alapuoli A = (0, 80), B = (80, 0) 2x 1 + x alapuoli C = (0, 100), D = (50, 0) x 1 40 vasen puoli E = (40, 0) x C A 50 0 käypä alue B E D x 1

14 Ratkaisu (12.0/n) 13 Seuraavaksi haemme käyvästä alueesta parhaan pisteen. x x 1 Merkitsemme kuvaan pisteet, joissa z = 3x 1 + 2x 2 = 90.

15 Ratkaisu (12.1/n) 14 Seuraavaksi haemme käyvästä alueesta parhaan pisteen. x x 1 Merkitsemme kuvaan pisteet, joissa z = 3x 1 + 2x 2 = 90.

16 Ratkaisu (12.2/n) 15 Seuraavaksi haemme käyvästä alueesta parhaan pisteen. x x 1 Merkitsemme kuvaan pisteet, joissa z = 3x 1 + 2x 2 = 120.

17 Ratkaisu (12.3/n) 16 Seuraavaksi haemme käyvästä alueesta parhaan pisteen. x x 1 Merkitsemme kuvaan pisteet, joissa z = 3x 1 + 2x 2 = 150.

18 Ratkaisu (12.4/n) 17 Seuraavaksi haemme käyvästä alueesta parhaan pisteen. x x 1 Merkitsemme kuvaan pisteet, joissa z = 3x 1 + 2x 2 = 180.

19 Ratkaisu (13/n) 18 Seuraavaksi haemme käyvästä alueesta parhaan pisteen. x optimi x 1 = 20 x 2 = 60 z = x 1 Merkitsemme kuvaan pisteet, joissa z = 3x 1 + 2x 2 = 180.

20 19 Käy läpi rajoitteet 1. kaksi pistettä rajoitesuoralta 2. mikä puoli käypä Piirrä koordinaatisto Piirrä rajoitesuorat ja käypä alue. Merkitse käypä alue kuvaan. Piirrä tavoitesuora jollakin z:n arvolla Päättele optimipiste Kirjoita vastaus

21 20

22 21

23 22

24 23