LP-mallit, L19. Aiheet. Yleistä, LP-malleista. Esimerkki, Giapetto. Graafisen ratkaisun vaiheet. Optimin olemassaolo

Transkriptio

1 LP-mallit, L19

2 Yleistä 1 LP-mallit on yksi Operaatioanalyysin (Operations Research) perustyökaluista. Perusongelma: Miten pitää suorittaa operaatio mahdollisimman hyvin, kun käytettävissä on rajalliset resurssit? (max tai min) Jatko-ongelma: Miten optimi muuttuu, jos jokin mallin parametri muuttuu? Jatko-ongelma 2: Mitä enintään kannattaa maksaa yhdestä lisäresurssista?

3 (1/n) 2 Giapetto s Woodcarving inc. valmistaa kahdenlaisia puuleluja: sotilaita ja junia. Tavoitefunktio. Sotilaan myyntihinta on 27e, ja siihen kuluu materiaalia 1eedestä. Jokainen valmistettu sotilas aiheuttaa lisäksi muuttuvia palkka- ja yleiskustannuksia keskimäärin 14eedestä. Junan myyntihinta on 21e, ja siihen kuluu 9eedestä materiaalia. Muuttuvia palkka- ja yleiskustannuksia jokainen juna aiheuttaa keskimäärin 1e. Rajoitteet. Resurssien kulutus. Sotilaiden ja junien valmistus tapahtuu kahdella osastolla: puutyöosastolla ja viimeistelyosastolla. Yksi sotilas vaatii 1 tunnin puutyötä ja 2 tuntia viimeistelyä. Vastaavasti yksi juna vaatii 1 tunnin puutyötä ja 1 tunnin viimeistelyä.

4 jatkuu (2/n) 3 Rajoitteet. Olemassaolevat resurssit. Yritys pystyy hankkimaan kaiken tarvitsemansa materiaalin, mutta puutyö- ja viimeistelyosastojen kapasiteetti on rajallinen. Käytettävissä on 8 tuntia puutyötä per viikko, ja 1 tuntia viimeistelytyötä per viikko. Rajoitteet. Lisäajoitteet. Lelujen kysynnästä tiedetään, että junien kysyntä on käytännössä rajoittamaton, mutta sotilaita saadaan kaupaksi korkeintaan 4 per viikko. Kysymys: Miten yritys voi maksimoida katetuottonsa? Muodostetaan ongelmasta LP-malli.

5 Ratkaisu (3/n) 4 (1) Päätösmuuttujat x 1 = puusotilaiden valmistus (kpl/viikko) = puujunien valmistus (kpl/viikko) (2) Tavoitefunktio Muodostamme tavoitefunktion z(x 1, ), jolle etsimme suurinta mahdollista arvoa. Tavoitefunktio on nyt katetuotto. z = R(x 1, ) C(x 1, ) tuotto kustannus {}}{{}}{ = (27x ) (1x 1 + 9x }{{} x ) }{{} materiaali palkat yms. = 3x 1 + 2

6 Ratkaisu (4/n) 5 (3) Rajoitteet Selvitämme jokaisen tuotantoa rajoittavan tekijän erikseen Puutyö: resurssitarve = 1x (h/viikko) Käytettävissä oleva resurssi = 8 (h/viikko) 1. rajoite: x Viimeistelytyö: resurssitarve = 2x (h/viikko) Käytettävissä oleva resurssi = 1 (h/viikko) 2. rajoite: 2x Kysyntärajoite: 3. rajoite: x 1 4 Merkkirajoitteet: 4. rajoite: x 1 5. rajoite:

7 Ratkaisu (5/n) 6 (4) LP-malli Kootaan kaikki oleellinen siistiksi paketiksi max z = 3x ehdoin x x x 1 4 x 1,

8 Ratkaisu (6/n) 7 (5) Graafinen ratkaisu Aloitetaan tarkastelu ensimmäisestä rajoitteesta x Jos kiinnitämme x 1 :n arvon (esim. x 1 = 5), niin emme saa antaa :lle liian suurta arvoa. tulee olla pienempi tai yhtä suuri kuin kuin 8 x 1 (esim. 8 5 = 3). (x 1, )-tasossa tulee pisteen olla siis suoran x 1 + = 8 alapuolella. Piirrämme suoran tasoon. Sitä varten selvitämme kaksi suoran pistettä A = (, 8), ja B = (8, )

9 Ratkaisu (7/n) 8 Ensimmäinen rajoite: x alapuoli A = (, 8), B = (8, ) 1 A 5 alapuoli käypä 5 1 x 1 B

10 Ratkaisu (8/n) 9 Toinen rajoite: 2x alapuoli C = (, 1), D = (5, ) 1 C 5 alapuoli käypä D 5 1 x 1

11 Ratkaisu (9/n) 1 Kolmas rajoite: x 1 4 vasen puoli E = (4, ) 1 5 vasen puoli käypä E 5 1 x 1

12 Ratkaisu (1/n) 11 Lopuksi piirrämme kaikki suorat samaan kuvaan. Huomaa, että merkkirajoitteet kieltävät pystyakselin vasemman puolen ( -akseli) sekä vaaka-akselin alapuolen (x 1 -akseli.

13 Ratkaisu (11/n) 12 x alapuoli A = (, 8), B = (8, ) 2x alapuoli C = (, 1), D = (5, ) x 1 4 vasen puoli E = (4, ) 1 C A 5 käypä alue B E D 5 1 x 1

14 Ratkaisu (12./n) 13 Seuraavaksi haemme käyvästä alueesta parhaan pisteen x 1 Merkitsemme kuvaan pisteet, joissa z = 3x = 9.

15 Ratkaisu (12.1/n) 14 Seuraavaksi haemme käyvästä alueesta parhaan pisteen x 1 Merkitsemme kuvaan pisteet, joissa z = 3x = 9.

16 Ratkaisu (12.2/n) 15 Seuraavaksi haemme käyvästä alueesta parhaan pisteen x 1 Merkitsemme kuvaan pisteet, joissa z = 3x = 12.

17 Ratkaisu (12.3/n) 16 Seuraavaksi haemme käyvästä alueesta parhaan pisteen x 1 Merkitsemme kuvaan pisteet, joissa z = 3x = 15.

18 Ratkaisu (12.4/n) 17 Seuraavaksi haemme käyvästä alueesta parhaan pisteen x 1 Merkitsemme kuvaan pisteet, joissa z = 3x = 18.

19 Ratkaisu (13/n) 18 Seuraavaksi haemme käyvästä alueesta parhaan pisteen. 1 5 optimi x 1 = 2 = 6 z = x 1 Merkitsemme kuvaan pisteet, joissa z = 3x = 18.

20 19 Käy läpi rajoitteet 1. kaksi pistettä rajoitesuoralta 2. mikä puoli käypä Piirrä koordinaatisto Piirrä rajoitesuorat ja käypä alue. Merkitse käypä alue kuvaan. Piirrä tavoitesuora jollakin z:n arvolla Päättele optimipiste Kirjoita vastaus

21 2 Tarkastellaan Giapetton esimerkin käyvän alueen sisä-pistettä (2, 2). 1 5 z = 3x = x 1 Pistettä voidaan siirtää vähän oikealle tai vasemmalle tai vähän ylöspäin tai alaspäin. Jokin näistä siirroksista parantaa tavoitefunktion arvoa. Optimi ei ole sisäpisteessä vaan REUNALLA.

22 21 n suhteen on olemassa neljä vaihtoehtoista tilannetta. Yksikäsitteinen ratkaisu. Ongelmalla yksi optimaalinen ratkaisu. (Esim Giapetto n ongelma edellä.) Ääretön määrä optimeja. Suuri määrä keskenään yhtä hyviä optimaalisia ratkaisuja. (Esim. 2 alla) Rajoittamaton optimi. Tavoitefunktion arvo saadaan miten suureksi tahansa (Esim. 3 alla) Käypä alue on tyhjä. Ongelmalle ei ole edes huonoa ratkaisua. (Esim. 4 alla)

23 (ääretön määrä optimeja) 22 Jos tavoitesuora on yhdensuuntainen jonkin rajoitesuoran kanssa tapahtuu usein, että kaksi tai useampia nurkkapisteitä ovat optimaalisia. Esim. 2. LP-malli max z = 5x s.t. x x x 1, 5 optimi x 1 2 = 5 x 1 z = 25 5 x 1

24 (rajoittamaton optimi) 23 Jos käypä alue vuotaa äärettömiin, voi käydä niin, että tavoitefunktion arvoa voidaan parantaa loputtomasti. Esim. 3. LP-malli max z = x 1 + s.t. x x 1, 5 rajoittamaton optimi engl. unbounded optimum 5 x 1

25 (tyhjä käypä alue) 24 Jos rajoitteet ovat ristiriitaiset niin ongelmalle ei löydy yhtään käypää ratkaisua. Esim. 4. LP-malli max z = x 1 + s.t. x x x 1, 5 käypä alue on tyhjä engl. no feasible solution 5 x 1