Demo 1: Excelin Solver -liitännäinen

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Demo 1: Excelin Solver -liitännäinen"

Transkriptio

1 MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 1 Ehtamo Demo 1: Excelin Solver -liitännäinen Ratkaise tehtävä käyttäen Excelin Solveria. max 3x 1 + x 2 s.e. 2x 1 + 5x 2 8 4x 1 + 2x 2 5 x 1, x 2 0 Ratkaisu 1. Päätösmuuttuja x 1 sijoitetaan soluun B2 ja x 2 soluun C2. Näiden solujen numeroarvoja Solver tulee muuttelemaan ratkaistaessaan tehtävää. Jätä nämä solut tyhjiksi tai syötä niihin alkuarvauksesi, josta Ratkaisin lähtee ratkaisemisessa liikkeelle. 2. Kohdefunktio sijoitetaan soluun B4. Kirjoitetaan soluun kohdefunktion 3x 1 + x 2 kaava viittaamalla muuttujien soluihin B2 ja C2, jotka vastaavat muuttujien x 1 ja x 2 arvoja. Kaava tulee aloittaa aina = -merkillä. Kirjoita soluun B4: =3*B2+C2 Kohdefunktion maksimointi/minimointi määritellään Ratkaisimessa vaiheissa 5 ja Ensimmäisen rajoitusehdon vasen puoli sijoitetaan soluun B6. Kirjoitetaan soluun rajoitusehdon 2x 1 + 5x 2 kaava viittaamalla muuttujien soluihin. Kirjoita soluun B6: =2*B2+5*C2 Rajoitusehdon oikean puolen arvo asetetaan soluun D6. Kirjoita soluun D6: 8 Vasemman ja oikean puolen välinen epäyhtälö määritellään Ratkaisimessa vaiheessa Toisen rajoitusehdon vasen puoli sijoitetaan soluun B7. Kirjoitetaan soluun rajoitusehdon 4x 1 + 2x 2 kaava viittaamalla muuttujien soluihin. Kirjoita soluun B7: =-4*B2+2*C2. Rajoitusehdon oikean puolen arvo asetetaan soluun D7. Kirjoita soluun D7: -5 Vasemman ja oikean puolen välinen epäyhtälö määritellään Ratkaisimessa vaiheessa 8. Jos haluat, voi määritellä kohtien 3. ja 4. tavoin myös, muuttujien x 1 ja x 2 rajoitukset kirjoittamalla soluun B9: =B2 ja D9: 0 (x 1 0) ja B10: =C2 ja D10: 0 (x 2 0) Tämän rajoituksen voi kuitenkin tehdä helposti myös Solverin asetuksista vaiheen 9 mukaisesti. Kuva 1: Exceliin syötettävät kaavat 1

2 Ratkaisin 5. Käynnistä Ratkaisin valitsemalla se Data-välilehden oikeasta laidasta. Asetetaan Ratkaisimeen kohdefunktio. Kirjoita Tavoite ruutuun B4 tai kun ruutu on aktiivinen valitse hiirellä solu B4. Voit myös painaa Tavoite-ruudun viereistä painiketta, jolloin pienempi ikkuna avautuu, johon voit kirjoittaa kohdesolun B4 tai valita solun hiirellä. $ -merkit solun kirjaimen ja numeron edessä eivät vaikuta viittauksen toimintaan. Kuva 2: Excelin Ratkaisin 6. Tehtävässä kohdefunktiota maksimoidaan eli Ratkaisimen Kohde kohdassa valitaan Suurin. (Minimoinnissa valittaisiin Pienin ja haluttaessa ratkaisulle tietty arvo valittaisiin Arvo ja kirjoitettaisiin viereiseen ruutuun haluttu arvo.) 7. Asetetaan muuttujien solut eli Muuttamalla muuttujasoluja kohtaan kirjoitetaan viittaus soluihin B2 ja C2 kirjoittamalla B2:C2 tai valitsemalla hiirellä solut B2 ja C2 (hiiren vasen nappi koko ajan pohjassa soluja valitessa). 8. Asetetaan rajoitusehdot. Reunaehdot kohdan oikealla puolella löytyy Lisäänäppäin, josta avautuu Lisää reunaehto ikkuna. Soluviittaus kohtaan tulee viittaus rajoitusehdon vasemman puolen soluun (1. rajoitusehdossa solu B6), joko kirjoittaen B6 tai valiten hiirellä solun. Seuraavasta valikosta valitaan sopiva merkki 1. rajoitusehdolle eli (rajoitusehdoille voidaan asettaa myös tai =, kok ja bin ovat muuttujasolujen rajoittamiseksi kokonaisluvuiksi ja binääriluvuiksi. Reunaehto kohtaan tulee 1. rajoitusehdon oikean puolen arvo eli joko arvo 8 tai viittaus soluun D6, jossa on jo vastaava arvo. Koska lisätään toinen rajoitusehto, valitaan Lisää, josta annettu rajoitusehto tallentuu ja kohdat tyhjenevät seuraavaa rajoitusehtoa varten. Aseta 2.rajoitusehto em. tavalla eli B7, ja D7 (tai -5). Valitse OK, jolloin poistut Lisää reunaehto valikosta takaisin Ratkaisimen pääikkunaan. (Jos valitsit Lisää ja olet jo asettanut kaikki rajoitusehdot, niin valitse Peruuta poistuaksesi) Rastita Ratkaisimen pääikkunasta Tee ei-negatiivisia muuttujista, joilla ei ole reunaehtoja-laatikko, jolloin Ratkaisin rajoittaa päätösmuuttujat epänegatiivisiksi ( 0 ). Tämän rajoitusehdon voi tehdä myös edellisen vaiheen mukaisesti käyttämällä 4. vaiheen soluja B9 ja B10. Lisää reunaehto, jossa viittaat soluihin B9 ja B10, joiden epäyhtälöksi aseta ( ) ja reunaehdoksi 0. 2

3 Kuva 3: 1. rajoitusehdon lisääminen 9. Koska optimointitehtävä on lineaarinen, valitse Valitse ratkaisumenetelmäkohdasta Simplex LP-algoritmi. 10. Ratkaisin on valmis, joten valitse Ratkaise, jolloin Ratkaisin ratkaisee tehtävän ja eteesi avautuu Ratkaisimen tulokset ikkuna, joka ilmoittaa pystyikö Ratkaisin ratkaisemaan tehtävän. Valitse OK, jotta Excel säilyttää uudet muuttujien arvot. (Voit myös palauttaa alkuperäiset alkuarvaukset muuttamalla ikkunan valintoja). Kuva 4: Tehtävän mukaiset Ratkaisimen parametrit Ratkaisimella saadaan optimaalinen ratkaisu, jossa päätösmuuttujien arvoiksi saadaan niitä vastaavista soluista B2 ja C2 ja kohdefunktion arvo sitä vastaavasta solusta B4. Päätösmuuttujan x 1 arvo on 1,70833, päätösmuuttujan x 2 arvo on 0,91667 ja kohdefunktion arvo on 6, Rajoitusehtojen soluja B6 ja D6 sekä soluja B7 ja D7 vertaamalla huomataan, että kumpikin rajoitusehto on sitova (arvot ovat yhtäsuuret). Demo 2: Optimointitehtävän muodostaminen Seppo haluaa valmistaa banaanilaatikoita käyttäen mahdollisimman vähän pahvia. Laatikot ovat umpinaisia suorakulmaisia särmiötä. Laatikkoon tulisi mahtua vähintään 0.1 m 3 banaaneja, ja kuljetussyistä laatikot saavat olla korkeintaan 20 cm korkeita. Minkälaiset mitat Sepon kannattaa valita? Entä jos kuljetuksesta johtuva korkeusrajoitus poistetaan? Tunnista yllä olevasta tehtävästä: ˆ Päätösmuuttujat (optimointimuuttujat), 3

4 Kuva 5: Tehtävän optimaalinen ratkaisu ˆ Kohdefunktio, ˆ Rajoitusehdot, ja ratkaise saamasi optimointitehtävä Excelin Solverilla. Ratkaisu Tehtävässä valmistetaan suorakulmaisen särmiön muotoisia laatikoita, joten valitaan laatikon muodon määrittelevät päätösmuuttujat, joiden yksiköiksi valitaan metri (m): x 1 := x 2 := x 3 := laatikon korkeus (m) laatikon leveys (m) laatikon pituus (m) Koska halutaan minimoida laatikossa käytettävän pahvin määrää (m 2 ), valitaan kohdefunktioksi laatikon tahkojen yhteispinta-alan minimointi: min 2 x 1 x x 1 x x 2 x 3. Laatikon tilavuuden tulee olla vähintään 0,1 m 3, jolloin saadaan rajoitusehdoksi: x 1 x 2 x Laatikon korkeus saa olla korkeintaan 0,2 m, jolloin saadaan rajoitusehdoksi: x Koska laatikon korkeus, leveys ja pituus eivät voi olla negatiivisia, rajoitetaan ne vähintään nolliksi: x 1 0, x 2 0 ja x 3 0. Excel Syötetään tehtävän tiedot Exceliin ja ratkaistaan tehtävä Ratkaisimen avulla Demo 1:n mukaisesti. Sijoitetaan päätösmuuttujat soluihin B2, C2 ja D2. Kirjoitetaan soluun B4 kohdefunktion kaava =2*B2*C2+2*B2*D2+2*C2*D2. Kirjoitetaan soluun B6 tilavuuden rajoitusehto =B2*C2*D2 ja sitä vastaavan rajoituksen arvo 0,1 soluun D6. Kirjoitetaan 4

5 soluun B7 korkeuden rajoitusehto =B2 ja sitä vastaavan rajoituksen arvo 0,2 soluun D7. Käynnistetään Ratkaisin ja sijoitetaan Aseta tavoite-kohtaan kohdefunktion solu B4 ja valitaan minimointitehtävälle Kohde-kohdasta vaihtoehto Pienin. Sijoitetaan solut B2, C2 ja D2 kirjoittamalla Muuttamalla muuttujasoluja-kohtaan B2:D2, joka viittaa kaikkiin soluihin solusta B2 soluun D2. Lisätään rajoitusehdot valitsemalla Reunaehdot-kohdassa Lisää. Lisätään 1. epäyhtälörajoitus sijoittamalla Soluviittaus-kohtaan solu B6, valitsemalla sopiva epäyhtälö ( ) ja sijoittamalla Reunaehto-kohtaan viittaus soluun D6. Valitaan Lisää ja lisätään 2. epäyhtälörajoitus sijoittamalla Soluviittaus-kohtaan solu B7, valitsemalla sopiva epäyhtälö ( ) ja sijoittamalla Reunaehto-kohtaan viittaus soluun D7. Valitaan OK reunaehtojen lisäämisen lopettamiseksi. Rajoitetaan muuttujat epänegatiivisiksi rastittamalla Tee ei-negatiivisia muuttujista, joilla ei ole reunaehtoja-laatikko. Tehtävän kohdefunktio ja 1. rajoitusehto ovat epälineaarisia, joten valitaan ratkaisumenetelmäksi GRG Nonlinear. Ratkaistaan tehtävä valitsemalla Ratkaise. Tehtävän ratkaisuksi saadaan, että laatikon korkeuden tulee olla 0,2 m ja leveyden ja pituuden kummankin tulee olla noin 0,70 m, jolloin laatikon tahkojen yhteispintaalaksi tulee noin 1,57 m 2. 5

6 Jos laatikon korkeuden rajoitusehtoa ei tarvitse huomioida, poistetaan Ratkaisimen Reunaehdot-kohdasta rajoitus B7 D7 ja ratkaistaan tehtävä. Tällöin tehtävän ratkaisuksi saadaan, että jokaisen särmän tulee olla noin 0,46 m pitkä, jolloin laatikosta tulee kuutio. Kuution tahkojen yhteispinta-ala eli kohdefunktion arvo on noin 1,29 m 2. Tehtävä 1: Optimointitehtävän osat ja ratkaiseminen Solverilla Ratkaise Excelin Solverilla a) min x + y s.e. x 2 + y 2 x y 0 x, y 0 b) max ln(x + sin y) s.e. e x xy 0 x π 4 0 y π 4 Huomaa. Excel osaa myös erikoisempia funktioita kuten SIN(), COS(), LN(), EXP(). π:n saat funktiolla PI(). Lisää funktioita löytyy Formulas -välilehdeltä Ratkaisu Syötetään tehtävän tiedot Exceliin ja ratkaistaan tehtävä Ratkaisimen avulla Demon 1 mukaisesti. a) Sijoitetaan päätösmuuttujat soluihin B2 ja C2. Kirjoitetaan soluun B4 kohdefunktion kaava =B2+C2. Kirjoitetaan soluun B6 1. rajoitusehto =B2^2+C2 ja sitä vastaavan rajoituksen arvo 2 soluun D6. Kirjoitetaan soluun B7 2. rajoitusehto =B2-C2 ja sitä vastaavan rajoituksen arvo 0 soluun D7. 6

7 Käynnistetään Ratkaisin ja sijoitetaan Aseta tavoite-kohtaan kohdefunktion solu B4 ja valitaan minimointitehtävälle Kohde-kohdasta vaihtoehto Pienin. Sijoitetaan solut B2 ja C2 kirjoittamalla Muuttamalla muuttujasoluja-kohtaan B2:C2. Lisätään rajoitusehdot valitsemalla Reunaehdot-kohdassa Lisää. Lisätään 1. epäyhtälörajoitus sijoittamalla Soluviittaus-kohtaan solu B6, valitsemalla sopiva epäyhtälö ( ) ja sijoittamalla Reunaehto-kohtaan viittaus soluun D6. Valitaan Lisää ja lisätään 2. epäyhtälörajoitus sijoittamalla Soluviittaus-kohtaan solu B7, valitsemalla sopiva epäyhtälö ( ) ja sijoittamalla Reunaehto-kohtaan viittaus soluun D7. Valitaan OK reunaehtojen lisäämisen lopettamiseksi. Rajoitetaan muuttujat epänegatiivisiksi rastittamalla Tee ei-negatiivisia muuttujista, joilla ei ole reunaehtoja-laatikko. Vaihtoehtoisesti voidaan lisätä Reunaehdot-kohtaan rajoitusehdot B9 D79 ja B10 D10. Tehtävän 1. rajoitusehto on epälineaarinen, joten valitaan ratkaisumenetelmäksi GRG Nonlinear. Ratkaistaan tehtävä valitsemalla Ratkaise. Tehtävän ratkaisuksi saadaan x on 1,41421 ja y on 0, jolloin kohdefunktion arvo on 1, Päätösmuuttujien arvoja rajoittaa 1. epäyhtälörajoitus ja y:n epänegatiivisuusrajoitus. b) Sijoitetaan päätösmuuttujat soluihin B2 ja C2. Kirjoitetaan soluun B4 kohdefunktion kaava =LN(B2+SIN(C2)). Kirjoitetaan soluun B6 1. rajoitusehto =EXP(-B2)-B2*C2 ja sitä vastaavan rajoituksen arvo 0 soluun D6. Kirjoitetaan soluun B7 2. rajoitusehto =B2 ja sitä vastaavan rajoituksen arvo =PI()/4 soluun D7. Sitten kirjoitetaan soluun B8 3. rajoitusehto =C2 ja sitä vastaavan rajoituksen arvo =PI()/4 soluun D8. 7

8 Käynnistetään Ratkaisin ja sijoitetaan Aseta tavoite-kohtaan kohdefunktion solu B4 ja valitaan maksimointitehtävälle Kohde-kohdasta vaihtoehto Suurin. Sijoitetaan solut B2 ja C2 kirjoittamalla Muuttamalla muuttujasoluja-kohtaan B2:C2. Lisätään rajoitusehdot Reunaehdot-kohtaan rajoitusehdot B6 D6, B7 D7 ja B8 D8. Rajoitetaan muuttujat epänegatiivisiksi rastittamalla Tee ei-negatiivisia muuttujista, joilla ei ole reunaehtoja-laatikko. Tehtävän kohdefunktio ja 1. rajoitusehto ovat epälineaarisia, joten valitaan ratkaisumenetelmäksi GRG Nonlinear. Ratkaistaan tehtävä valitsemalla Ratkaise. Ratkaisuksi saadaan, että x on noin 0,659 ja y 0,785, jolloin kohdefunktion arvo on 0,312. Tehtävä 2: Optimointitehtävän formulointi Matti on perustanut kadun varteen mehukaupan. Hänellä on käytössään 8 litraa mehutiivistettä ja rajattomasti vettä. Hän on tuotantotalouden markkinointitutkimuskurssilla tehnyt kyselyn, jonka mukaan keskimääräinen ohikulkija suostuu maksamaan lasista (2 dl) mehua (p 0.7)2 e, missä p kertoo kuinka suuri osa mehusta on tiivistettä (0 p 1). Matti on myös selvittänyt, että keskimäärin myyntipisteen ohi kulkevat ihmiset ostavat yhteensä 10 litraa mehua päivässä. Kuinka vahvaa mehua Matin kannattaa myydä? Muodosta optimointitehtävä ja ratkaise se Excelin Solverilla. Ratkaisu Matin tuotto riippuu mehun hinnasta, joka riippuu mehun tiivisteen osuudesta, ja päivän mehun määrän kysynnästä, joka on vakio 10 litraa (l). Valitaan päätösmuuttujiksi: x 1 := x 2 := tiivisteen määrä (l) veden määrä (l), jolloin mehun määrä on tiivisteen ja veden määrien summa eli x 1 + x 2 ja tiivisteen osuus mehusta p on x 1 x 1 +x 2. 8

9 Tehtävänä on maksimoida tuottoa, joka on mehun hinta kerrottuna mehun määrällä: ( ( ) ) 1 max x x 1 + x 0, 7 (x 1 + x 2 ). 2 Mehua ostetaan päivässä korkeintaan 10 litraa, jolloin rajoitusehdoksi saadaan: x 1 + x 2 10 Tiivistettä on käytössä vain 8 litraa, jolloin tiivisteen määrälle saadaan rajoitusehto: x 1 8 Tiivisteen ja veden määrät eivät voi olla negatiivisia, joten: ja x 1 0 x 2 0 Excel Syötetään tehtävän tiedot Exceliin ja ratkaistaan tehtävä Solverin avulla aiempien tehtävien mukaisesti. Sijoitetaan päätösmuuttujat soluihin B2 ja C2 ja kohdefunktion kaava =5*(1/3-1/2*((B2/(B2-C2))-0,7)^2)*(B2+C2) soluun B4. Sijoitetaan 1. rajoitusyhtälön kaava =B2 ja arvo 8 soluihin B6 ja D6. Vastaavasti 2. ja 3. rajoitusyhtälöiden kaavat =B2/(B2+C2) ja =B2+C2 soluihin B7 ja B8 ja arvot 1 ja 10 soluihin D7 ja D8. Käynnistetään Ratkaisin ja sijoitetaan Aseta tavoite-kohtaan viittaus kohdefunktion soluun B4 ja valitaan Kohde-kohdassa maksimointitehtävälle Pienin. Valitaan päätösmuuttujalla sijoittamalla solujen B2 ja C2 viittaus B2:C2 Muuttamalla muuttujasoluja-kohtaa. Lisätään Reunaehdot-kohtaan rajoitusehdot B6 D6, B7 D7 ja B8 D8. Rajoita päätösmuuttujat rastittamalla Tee ei-negatiivisia muuttujistalaatikko. Kohdefunktio on epälineaarinen, joten käytetään GRG Nonlinear-algoritmia. Lopulta ratkaistaan tehtävä. Ratkaisuksi saadaan, että tiivistettä tulisi käyttää 7 l ja vettä 3 l, jolloin mehusta saatava tuotto olisi 16,67 e. Rajoitusehdoista huomataan, että vain mehun kysyntä rajoittaa päätösmuuttujien arvoja. 9

10 Tehtävä 3: Alkuarvon merkitys Solverissa a) Ratkaise tehtävä min cos x s.e. π 4 x π 4 Käyttäen alkuarvona pisteitä x = 0, x = 0.1 ja x = 0.1. Piirrä kuva. Huomaa. Excel käyttää alkuarvona sitä arvoa, joka päätösmuuttujasoluun on asetettu ennen solverin ajamista. b) Ratkaise tehtävä min sin x x 3 s.e. 0 x 5π Käyttäen alkuarvona pisteitä x = 3 ja x = 8. Piirrä tilanteesta kuva. Ratkaisu a) Valitaan solu B2 vastaamaan päätösmuuttujaa x ja sijoitetaan kohdefunktion kaava =COS(B2) soluun B4. Kirjoitetaan rajoitusyhtälöt soluihin rajoitusyhtälöiden vasemmat puolet eli =B2 soluihin B6 ja D6 ja oikeat puolet eli =-PI()/4 ja =PI()/4 soluihin B7 ja D7. Kirjoitetaan alkuarvo 0 soluun B2. Käynnistetään Ratkaisin ja sijoitetaan Aseta tavoite-kohtaan kohdefunktion solu B4 ja valitaan minimointitehtävälle Kohde-kohdasta vaihtoehto Pienin. Sijoitetaan solu B2 Muuttamalla muuttujasoluja-kohtaan. Lisätään rajoitusehdot Reunaehdot-kohtaan rajoitusehdot B6 D6 ja B7 D7. Ratkaisuksi saadaan x on π 1 4, jolloin kohdefunktion arvo on 2. Muista kytkeä Solverista pois asetus, joka pakottaa päätösmuuttujien ratkaisut epänegatiivisiksi! Vaihdetaan soluun B2 arvo 0,1 ja ratkaistaan tehtävä uudestaan, jolloin x:n arvoksi saadaan π 1 4, jolloin kohdefunktion arvo on 2. Nyt algoritmin iteraatio pystyi etenemään ja se pysähtyi muuttujan x ylärajan tullessa vastaan. Vastaavasti kirjoitetaan soluun B2 arvo -0,1 ja ratkaistaan tehtävä, jolloin x = π 4 ja kohdefunktion arvo on 1 2. Piirretään kosinifunktion kuvaaja Excelissä kirjoittamalla x-akselin arvoja kasvavassa järjestyksessä soluun B ja soluun B Tämän jälkeen voit helposti jatkaa näiden arvojen kasvattamista valitsemalla molemmat solut yhtä aikaa ja vetämällä solujen oikeassa alakulmasa olevasta neliöstä alaspäin, kunnes pääset tarpeeksi suureen x-arvoon. Kirjoita soluun C11 kohdefunktion kaava, jossa viittaat viereiseen soluun, jossa x:n arvo on eli =COS(B11). Kopioi jälleen kaavaa vetämällä oikean alakulman neliöstä alaspäin, jolloin esim. soluun C12 tulee kaava COS(B12). Valitse kaikki muodostamasi arvot ja valitse Insert-välilehdeltä Scatter-alavalikko, josta valitse jokin sopiva kuvaaja (esim. Scatter with Smooth Lines and Markers). 10

11 cos x x b) Tehtävä voidaan ratkaita samalla tavalla kuin a-kohta. Tällä kertaa kohdefunktion soluun B4 kirjoitetaan kaava =SIN(B2)-B2/3. Muuttujan alarajaksi asetetaan arvo 0 soluun D6 ja ylärajaksi =5*PI() soluun D7. Ratkaistaan tehtävä lähtemällä alkuarvosta x on 3, jolloin x:n arvoksi saadaan 5,052 ja kohdefunktion arvoksi -2,627. Ratkaistaan tehtävä lähtemällä alkuarvosta x on 8, jolloin x:n arvoksi saadaan 11,3354 ja kohdefunktion arvoksi -4,721. Tehtävän oikea ratkaisu on x = 15, 708 ja kohdefunktion arvo on -5,236, johon olisi päästy esim. alkuarvauksella x on 15. Tästä huomataan, että Ratkaisimen käyttämä algoritmi voi jäädä epälineaarisessa tehtävässä lokaaliin ääriarvoon riippuen alkuarvauksesta, jolloin se ei löydä tehtävän oikeaa ratkaisua. Piirretään a-kohdan mukaisesti tehtävän mukainen kuvaaja sijoittamalla sopiviin soluihin vierekkäin x:n arvoja 0:sta 5π:hin ja käyttämällä kohdefunktion kaavaa =SIN(solu)-solu/ sin x x x Tehtävä 4: Tulivuorisaari Mr. Moneybags on varastoinut kaiken omaisuutensa, 2400 kg kultaa, kaukaiselle tuliperäiselle saarelle. Saaren tulivuori uhkaa nyt purkautua, ja Mr. Moneybags haluaa siirtää rahansa turvaan. Saarella ei ole lentokenttää tai satamaa, joten siirto pitää tehdä helikoptereilla. Matka on pitkä ja sää epävakaa, joten helikopterit eivät välttämättä selviä matkasta. Käytössä on 3 kopteria, joista kullakin on tietty todennäköisyys selvitä matkasta. Todennäköisyys riippuu lisäksi kopterin kuormasta. 11

12 Todennäköisyydet ovat seuraavat: p 1 = 0.9 ( 1 x ) p 2 = 0.8 ( 1 x ) p 3 = 0.9 ( 1 x ). Ensimmäinen kopteri kykenee kantamaan 1000 kg, toinen 1200 kg ja kolmas 1600 kg. Kuinka paljon kultaa Mr. Moneybagsin kannattaa ottaa mukaan, jos hän haluaa maksimoida perille päässeen kullan määrän odotusarvon? Entä jos hän ahneuksissaan vaatii, että kaikki kulta on pakattava mukaan? Muotoile tehtävästä optimointitehtävä, ja ratkaise Excelin Solverilla. Ratkaisu Päätösmuuttujiksi valitaan kuhunkin helikopteriin lastattavan kullan määrä: x 1 := x 2 := x 3 := kullan määrä 1. helikopterissa (kg) kullan määrä 2. helikopterissa (kg) kullan määrä 3. helikopterissa (kg) Maksimoidaan perille saapuvan kullan odotusarvoa, joka riippuu kullan määrästä ja todennäköisyydestä, jolla helikopteri selviää matkasta: maksimoidaan: 3 kullan määrä helikopterissa i helikopterin i todennäköisyys i=1 = max 3 x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 i=1 = x 1 0, 9 ( 1 x ) x2 0, 8 ( 1 x ) x3 0, 9 ( 1 x ). Kullan määrä helikopterissa ei voi ylittää helikopterin kantokykyä eikä voi olla negatiivinen, jolloin saadaan rajoitusehdot: 0 x x x Kullan kokonaismäärä helikoptereissa ei voi ylittää kullan alkuperäistä kokonaismäärää, jolloin saadaan rajoitusehto: x 1 + x 2 + x Ratkaistaan tehtävä Excelin Ratkaisimella edellisten tehtävien tavoin, jolloin vastaukseksi saadaaan, että x 1 = 500, x 2 = 600 ja x 3 = 800. Näin ollen odotusarvoinen kullan määrä on 825 kg. 12

13 Jos kaikki kulta halutaan mukaan, muutetaan kullan kokonaismäärän epäyhtälörajoitus yhtälörajoitukseksi: x 1 + x 2 + x 3 = 2400 Tällöin tehtävän ratkaisuksi saadaan x 1 = 626.6, x 2 = ja x 3 = , jolloin odotusarvoinen kullan määrä on kg. Tästä huomataan, että Mr. Moneybagsin ei kannata olla liian ahne ja yrittää kuljettaa kaikkea kultaa, koska silloin hän saa odotusarvoisesti vähemmän kultaa. Tehtävä 5: Opiskelun optimointi Simolla on edessään vaativa sovelletun matematiikan tentti. Edellinen ilta venyi pitkäksi, ja hänellä on enää 24 tuntia aikaa ennen tenttiä. Simo on kunnianhimoinen oppilas, ja haluaisi optimoida valmistautumisen niin, että saa 70% todennäköisyydellä arvosanaan 5 vaadittavat 28 pistettä. Tilastollisesti Simo on huomannut, että tentin pistesaalis on normaalijakautunut satunnaismuuttuja, odotusarvolla µ = t+u 8 15 pistettä, ja keskihajonnalla σ = t + u, missä t on lukemiseen käytetty aika, ja u on edellisen vuorokauden aikana nukkumiseen käytetty aika. Luonnollisesti Simo ei halua tehdä turhaa työtä, vaan maksimoi vapaa-aikansa, eli työn ja nukkumisen jälkeen vapaaksi jääneen ajan. Muotoile tehtävästä optimointitehtävä, ja ratkaise Excelin Solverilla. Ratkaisu Päätösmuuttujiksi valitaan tekstissä mainitut: t := u := lukemisen määrä (h) unen määrä (h) Maksimoidaan vapaa-aikaa eli vuorokaudesta opiskelun ja nukkumisen jälkeen jäävää aikaa: max 24 t u. 13

14 Halutaan, että todennäköisyys, jolla pistemäärä p on vähintään 28 pistettä, on vähintään 70%. Näin ollen todennäköisyys, jolla pistemäärä saa olla alle 28 pistettä, on korkeintaan 30%. Pistemäärä on normaalijakautunut keskiarvolla µ ja keskihajonnalla σ. Tilastollisista taulukoista saadaan, että standardoitua normaalijakaumaa noudattavalle satunnaismuuttujalle Z pätee P (Z y) = 1 0, 7 y = 0.53 Satunnaismuuttujalle Z ja ei-standardoitua normaalijakaumaa seuraavalle pistemäärälle p pätee yhteys Z = p µ σ, jossa p on verrattava pistemäärä eli 28 pistettä, µ on pistemäärän normaalijakauman keskiarvo ja σ on pistemäärän normaalijakauman keskihajonta. Näin ollen päätösmuuttujille saadaan epäyhtälörajoitukseksi Z = x µ σ = 28 t + 8 u 15 t + u 0.53 Opiskelutuntien ja nukkumistuntien yhteismäärä ei voi ylittää vuorokauden tuntien määrää, jolloin saadaan rajoitusehdoksi: t + u 24 Opiskelutuntien ja opiskelutuntien määrät eivät voi olla negatiivisia, joten: t 0 ja u 0 Ratkaistaan tehtävä Excelin Ratkaisimella, jolloin huomataan, että tehtävälle saadaan monta optimaalista ratkaisua, joissa kaikissa t + u = Tällöin kohdefunktion arvo on Näin ollen Simo voi jakaa tuntia miten itse haluaa unen ja opiskelun välillä. 14

Aki Taanila LINEAARINEN OPTIMOINTI

Aki Taanila LINEAARINEN OPTIMOINTI Aki Taanila LINEAARINEN OPTIMOINTI 26.4.2011 JOHDANTO Tässä monisteessa esitetään lineaarisen optimoinnin alkeet. Moniste sisältää tarvittavat Excel ohjeet. Viimeisin versio tästä monisteesta ja siihen

Lisätiedot

Harjoitus 8: Excel - Optimointi

Harjoitus 8: Excel - Optimointi Harjoitus 8: Excel - Optimointi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Lineaarisen optimointimallin muodostaminen

Lisätiedot

Harjoitus 4: Matlab - Optimization Toolbox

Harjoitus 4: Matlab - Optimization Toolbox Harjoitus 4: Matlab - Optimization Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Optimointimallin muodostaminen

Lisätiedot

Malliratkaisut Demot

Malliratkaisut Demot Malliratkaisut Demot 1 23.1.2017 1. Päätösmuuttujiksi voidaan valita x 1 : tehtyjen peruspöytin lukumäärä x 2 : tehtyjen luxuspöytien lukumäärä. Optimointitehtäväksi tulee max 200x 1 + 350x 2 s. t. 5x

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 11. Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla

Talousmatematiikan perusteet: Luento 11. Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla Talousmatematiikan perusteet: Luento 11 Lineaarinen optimointitehtävä Graafinen ratkaisu Ratkaisu Excel Solverilla Esimerkki Esim. Yritys tekee kahta elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta,

Lisätiedot

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN 1 LUKULAUSEKKEITA Ratkaise seuraava tehtävä: Retkeilijät ajoivat kahden tunnin ajan polkupyörällä maantietä pitkin 16 km/h nopeudella, ja sitten vielä kävelivät metsäpolkua

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu

Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Merkintöjä := vasen puoli määritellään oikean puolen lausekkeella s.e. ehdolla; siten että (engl. subject to, s.t.) vasemman puolen

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Merkitse yhtä puuta kirjaimella x ja kirjoita yhtälöksi. Mikä tulee vastaukseksi? 3x + 2x = 5x + =

Merkitse yhtä puuta kirjaimella x ja kirjoita yhtälöksi. Mikä tulee vastaukseksi? 3x + 2x = 5x + = Mikä X? Esimerkki: Merkitse yhtä puuta kirjaimella ja kirjoita yhtälöksi. Mikä tulee vastaukseksi? 3 + 2 = 5 + = 5 + = 1. Merkitse yhtä päärynää kirjaimella ja kirjoita yhtälöksi? Mikä tulee vastaukseksi?

Lisätiedot

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys

Lisätiedot

KAAVAT. Sisällysluettelo

KAAVAT. Sisällysluettelo Excel 2013 Kaavat Sisällysluettelo KAAVAT KAAVAT... 1 Kaavan tekeminen... 2 Kaavan tekeminen osoittamalla... 2 Kaavan kopioiminen... 3 Kaavan kirjoittaminen... 3 Summa-funktion lisääminen... 4 Suorat eli

Lisätiedot

Malliratkaisut Demot

Malliratkaisut Demot Malliratkaisut Demot 5 10.4.2017 Tehtävä 1 x 2 7 0,7 9,8 6 5 4 x 1 x 2 7 x 1 x 2 1 3 2 x 1 0 4,3 x 1 9 1 0,0 x 2 0 9,0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x 1 Kuva 1: Tehtävän 1 sallittu joukko S Optimointitehtävän sallittu

Lisätiedot

Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu

Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Merkintöjä := vasen puoli määritellään oikean puolen lausekkeella s.e. ehdolla; siten että (engl. subject to, s.t.) on voimassa

Lisätiedot

Trigonometrian kaavat 1/6 Sisältö ESITIEDOT: trigonometriset funktiot

Trigonometrian kaavat 1/6 Sisältö ESITIEDOT: trigonometriset funktiot Trigonometrian kaavat 1/6 Sisältö Ulkoa muistettavat peruskaavat Trigonometrisia funktioita koskevia kaavoja on paljon. Seuraavassa esitetään tärkeimmät ja lyhyet ohjeet niiden muistamiseen. Varsinaisesti

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

LABORAATIOSELOSTUSTEN OHJE H. Honkanen

LABORAATIOSELOSTUSTEN OHJE H. Honkanen LABORAATIOSELOSTUSTEN OHJE H. Honkanen Tämä ohje täydentää ja täsmentää osaltaan selostuskäytäntöä laboraatioiden osalta. Yleinen ohje työselostuksista löytyy intranetista, ohjeen on laatinut Eero Soininen

Lisätiedot

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi.

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vaihtoehto oikein.. Laskutoimitusten a) yhteen- ja vähennyslaskun b) kerto- ja jakolaskun c) potenssiin korotuksen järjestys

Lisätiedot

Malliratkaisut Demo 4

Malliratkaisut Demo 4 Malliratkaisut Demo 4 1. tehtävä a) f(x) = 2x + 21. Funktio on lineaarinen, joten se on unimodaalinen sekä maksimoinnin että imoinnin suhteen. Funktio on konveksi ja konkaavi. b) f(x) = x (pienin kokonaisluku

Lisätiedot

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

30A01000 Taulukkolaskenta ja analytiikka Luku 8: Lineaarinen optimointi ja sen sovellukset

30A01000 Taulukkolaskenta ja analytiikka Luku 8: Lineaarinen optimointi ja sen sovellukset 30A01000 Taulukkolaskenta ja analytiikka Luku 8: Lineaarinen optimointi ja sen sovellukset Mitä on lineaarinen optimointi (LP)? LP= lineaarinen optimointiongelma (Linear Programming) Menetelmä, jolla etsitään

Lisätiedot

Harjoitus 9: Optimointi I (Matlab)

Harjoitus 9: Optimointi I (Matlab) Harjoitus 9: Optimointi I (Matlab) MS-C2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt MS-C2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Optimointimallin muodostaminen Optimointitehtävien

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

Malliratkaisut Demo 1

Malliratkaisut Demo 1 Malliratkaisut Demo 1 1. Merkitään x = kuinka monta viikkoa odotetaan ennen kuin perunat nostetaan. Nyt maksimoitavaksi kohdefunktioksi tulee f(x) = (60 5x)(300 + 50x). Funktio f on alaspäin aukeava paraaeli,

Lisätiedot

MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 4

MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 4 MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 4 Ehtamo Duaalin muodostamisen muistisäännöt Duaalin muodostamisessa voidaan käyttää muistisääntötaulukkoa, jota voidaan lukea vasemmalta oikealle tai oikealta

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

Malliratkaisut Demot

Malliratkaisut Demot Malliratkaisut Demot 3.2.27 Tehtävä. Valmisohjelmistolla voidaan ratkaista tehtävä min c T x s. t. Ax b x, missä x, c ja b R n ja A R m n. Muunnetaan tehtävä max x + 2x 2 + 3x 3 + x s. t. x + 3x 2 + 2x

Lisätiedot

30 + x. 15 + 0,5x = 2,5 + x 0,5x = 12,5 x = 25. 27,5a + 27,5b = 1,00 55 = 55. 2,5a + (30 2,5)b (27,5a + 27,5b) = 45 55.

30 + x. 15 + 0,5x = 2,5 + x 0,5x = 12,5 x = 25. 27,5a + 27,5b = 1,00 55 = 55. 2,5a + (30 2,5)b (27,5a + 27,5b) = 45 55. RATKAISUT, Insinöörimatematiikan koe 1.5.201 1. Kahdessa astiassa on bensiinin ja etanolin seosta. Ensimmäisessä astiassa on 10 litraa seosta, jonka tilavuudesta 5 % on etanolia. Toisessa astiassa on 20

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

Malliratkaisut Demot

Malliratkaisut Demot Malliratkaisut Demot 2.2.217 Tehtävä 1 Edellisten demojen tehtävä oli muotoa max 3x 1 + 4x 2 s.t. 7x 1 + 3x 2 24 : v 1 x 1 + 4x 2 17 : v 2 x 2 3 : v 3 x 1, x 2. Kohdefunktio voitiin kirjoittaa myös muotoon

Lisätiedot

Osakesalkun optimointi. Anni Halkola Turun yliopisto 2016

Osakesalkun optimointi. Anni Halkola Turun yliopisto 2016 Osakesalkun optimointi Anni Halkola Turun yliopisto 2016 Artikkeli Gleb Beliakov & Adil Bagirov (2006) Non-smooth optimization methods for computation of the Conditional Value-at-risk and portfolio optimization.

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 7 (vko 44/003) (Aihe: odotusarvon ja varianssin ominaisuuksia, satunnaismuuttujien lineaarikombinaatioita,

Lisätiedot

BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2018

BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2018 BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2018 1. (a) Tunnemme vektorit a = [ 5 1 1 ] ja b = [ 2 0 1 ]. Laske (i) kummankin vektorin pituus (eli itseisarvo, eli normi); (ii) vektorien

Lisätiedot

( 3) ( 5) ( 7) ( 2) ( 6) ( 4) Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 105 Päivitetty

( 3) ( 5) ( 7) ( 2) ( 6) ( 4) Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 105 Päivitetty Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 15 Päivitetty 19..6 31 Tapa 1 Ratkaistaan yhtälöryhmä käyttämällä sijoituskeinoa. x y+ z = x y + 3z = 3x 4y+ z = Ratkaistaan yhtälöstä (1) muuttuja

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

Malliratkaisut Demot

Malliratkaisut Demot Malliratkaisut Demot 3 7.3.07 Tehtävä Olkoon tilamuuttujat Tällöin saadaan rekursioyhtälö f n (x n ) = max yn {0,} ynwn xn f 0 ( ) = 0. x n = vaiheessa n jäljellä oleva paino, n =,...,N, esine n pakataan

Lisätiedot

TIEA382 Lineaarinen ja diskreetti optimointi

TIEA382 Lineaarinen ja diskreetti optimointi TIEA382 Lineaarinen ja diskreetti optimointi Jussi Hakanen Tietotekniikan laitos jussi.hakanen@jyu.fi AgC 426.3 Yleiset tiedot Tietotekniikan kandidaattiopintojen valinnainen kurssi http://users.jyu.fi/~jhaka/ldo/

Lisätiedot

MS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2)

MS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2) MS-A4 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ELEC2) MS-A6 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ENG2) Harjoitukset 3L, syksy 27 Tehtävä. a) Määritä luvun π likiarvo käyttämällä Newtonin menetelmää yhtälölle

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

1 Funktiot, suurin (max), pienin (min) ja keskiarvo

1 Funktiot, suurin (max), pienin (min) ja keskiarvo 1 Funktiot, suurin (max), pienin (min) ja keskiarvo 1. Avaa uusi työkirja 2. Tallenna työkirja nimellä perusfunktiot. 3. Kirjoita seuraava taulukko 4. Muista taulukon kirjoitusjärjestys - Ensin kirjoitetaan

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! MAA Koe 4.4.011 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! 1 Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Vieruskulmat b) Tangentti kulmasta Katsottuna.

Lisätiedot

OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI

OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Mitkä kuutiot on taiteltu kuvassa

Lisätiedot

VSP webmail palvelun ka yttö öhje

VSP webmail palvelun ka yttö öhje VSP webmail palvelun ka yttö öhje Kirjaudu webmailiin osoitteessa https://webmail.net.vsp.fi Webmailin kirjautumissivu, kirjoita sähköpostiosoitteesi ja salasanasi: Sähköpostin päänäkymä: 1: Kansiolistaus

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Laskuharjoitus 4 / vko 40

Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Laskuharjoitus 4 / vko 40 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Laskuharjoitus 4 / vko 40 Alkuviikolla harjoitustehtäviä lasketaan harjoitustilaisuudessa. Loppuviikolla näiden harjoitustehtävien tulee olla ratkaistuina harjoituksiin

Lisätiedot

Malliratkaisut Demo 4

Malliratkaisut Demo 4 Malliratkaisut Demo 4 1. tehtävä a) () = 2+1. Funktio on lineaarinen, joten se on unimodaalinen sekä maksimoinnin että minimoinnin suhteen. Funktio on konveksi ja konkaavi. b) () = (suurin kokonaisluku

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen

Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen 1. Funktion nollakohta Newtonin menetelmällä 2. Määrätty integraali puolisuunnikassäännöllä 3. Määrätty integraali Simpsonin menetelmällä Newtonin menetelmä Newtonin

Lisätiedot

Juha Haataja 4.10.2011

Juha Haataja 4.10.2011 METROPOLIA Taulukkolaskenta Perusteita Juha Haataja 4.10.2011 Lisätty SUMMA.JOS funktion käyttö (lopussa). Tavoite ja sisältö Tavoite Taulukkolaskennan peruskäytön hallinta Sisältö Työtila Omat kaavat,

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta

Differentiaali- ja integraalilaskenta Differentiaali- ja integraalilaskenta Opiskelijan nimi: DIFFERENTIAALILASKENTA 1. Raja-arvon käsite, derivaatta raja-arvona 1.1 Raja-arvo pisteessä 1.2 Derivaatan määritelmä 1.3 Derivaatta raja-arvona

Lisätiedot

Harjoitus 3 (3.4.2014)

Harjoitus 3 (3.4.2014) Harjoitus 3 (3..) Tehtävä Olkoon kaaren paino c ij suurin sallittu korkeus tieosuudella (i, j). Etsitään reitti solmusta s solmuun t siten, että reitin suurin sallittu korkeus pienimmillään olisi mahdollisimman

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

Diskreetit todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma

Diskreetit todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma Diskreetit todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma Satunnaismuuttuja Satunnaisilmiö on ilmiö, jonka lopputulokseen sattuma vaikuttaa Satunnaismuuttuja on muuttuja,

Lisätiedot

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO OSA : YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Kolme kaverusta, Olli, Pekka

Lisätiedot

Otoskoko 107 kpl. a) 27 b) 2654

Otoskoko 107 kpl. a) 27 b) 2654 1. Tietyllä koneella valmistettavien tiivisterenkaiden halkaisijan keskihajonnan tiedetään olevan 0.04 tuumaa. Kyseisellä koneella valmistettujen 100 renkaan halkaisijoiden keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää

Lisätiedot

Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 Vastaus

Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 Vastaus Kenguru Benjamin, vastauslomake Nimi Luokka/Ryhmä Pisteet Kenguruloikka Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Jätä ruutu tyhjäksi,

Lisätiedot

6.1 Tekstialueiden valinta eli maalaaminen (tulee tehdä ennen jokaista muokkausta ym.)

6.1 Tekstialueiden valinta eli maalaaminen (tulee tehdä ennen jokaista muokkausta ym.) 6. Tekstin muokkaaminen 6.1 Tekstialueiden valinta eli maalaaminen (tulee tehdä ennen jokaista muokkausta ym.) Tekstin maalaaminen onnistuu vetämällä hiirellä haluamansa tekstialueen yli (eli osoita hiiren

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2010 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 4. kesäkuuta 2010 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille. Ongelmanratkaisu. Isto Jokinen 2017

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille. Ongelmanratkaisu. Isto Jokinen 2017 MATEMATIIKKA Matematiikkaa pintakäsittelijöille Ongelmanratkaisu Isto Jokinen 2017 SISÄLTÖ 1. Matemaattisten ongelmien ratkaisu laskukaavoilla 2. Tekijäyhtälöt 3. Laskukaavojen yhdistäminen 4. Yhtälöiden

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

Painonhallinta. Kirjaudu sovellukseen antamalla käyttäjätunnus ja salasana.

Painonhallinta. Kirjaudu sovellukseen antamalla käyttäjätunnus ja salasana. Painonhallinta Sisäänkirjautuminen Kirjaudu sovellukseen antamalla käyttäjätunnus ja salasana. Kuva 1 Sisäänkirjautuminen Yleistä Painonhallinta toimii internet-selaimella, mutta liikuttaessa sovelluksessa,

Lisätiedot

Diskreettiaikainen dynaaminen optimointi

Diskreettiaikainen dynaaminen optimointi Diskreettiaikainen dynaaminen optimointi Usean kauden tapaus 2 kauden yleistys Ääretön loppuaika Optimaalinen pysäytys Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / Ongelma t 0 x 0 t- t T x t- + x t + x T u

Lisätiedot

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f

Lisätiedot

AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRIS- TÖALAN VALINTAKOE 2008 MATEMATIIKKA

AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRIS- TÖALAN VALINTAKOE 2008 MATEMATIIKKA AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRIS- TÖALAN VALINTAKOE 008 MATEMATIIKKA TEHTÄVIEN RATKAISUT Tehtävä. Maljakossa on 0 keltaista ja 0 punaista tulppaania, joista puutarhuriopiskelijan on määrä

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAB4 Koe Jussi Tyni 1..015 A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: 1. a. Piirrä seuraava suora mahdollisimman tarkasti ruutupaperille:

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen

Lisätiedot

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on

Lisätiedot

Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt

Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö Yhtälöryhmä Yhtälöryhmässä on useita yhtälöitä ja yleensä myös useita tuntemattomia. Tavoitteena on löytää tuntemattomille sellaiset arvot, että kaikki yhtälöt toteutuvat samanaikaisesti.

Lisätiedot

Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi.

Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi. 10.1 Yleistä Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi. Esimerkkejä: 2x 8 = 12 A = πr 2 5 + 7 = 12 Yhtälöissä voi olla yksi tai useampi muuttuja Tuntematonta muuttujaa merkitään usein

Lisätiedot

Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen

Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen MTTTP5, kevät 2016 4.2.2016/RL Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen 1. Laitosneuvostoon valitaan 2 professoria, 4 muuta henkilökuntaan kuuluvaa jäsentä sekä 4 opiskelijaa. Laitosneuvostoon

Lisätiedot

6. Harjoitusjakso II. Vinkkejä ja ohjeita

6. Harjoitusjakso II. Vinkkejä ja ohjeita 6. Harjoitusjakso II Seuraavaksi harjoitellaan algebrallisten syötteiden, komentojen ja funktioiden käyttöä GeoGebrassa. Tarjolla on ensimmäisen harjoittelujakson tapaan kahden tasoisia harjoituksia: perustaso

Lisätiedot

Integrointi ja sovellukset

Integrointi ja sovellukset Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,

Lisätiedot

[MATEMATIIKKA, KURSSI 9]

[MATEMATIIKKA, KURSSI 9] 2016 Puustinen, Sinn PYK [MATEMATIIKKA, KURSSI 9] Avaruusgeometrian teoriaa, tehtäviä ja linkkejä peruskoululaisille 1 SISÄLLYSLUETTELO 9. KURSSIN SISÄLTÖ... 3 9.0.1 MALLIKOE 1... 4 9.0.2 MALLIKOE 2...

Lisätiedot

FUNKTION KUVAAJAN PIIRTÄMINEN

FUNKTION KUVAAJAN PIIRTÄMINEN FUNKTION KUVAAJAN PIIRTÄMINEN Saat kuvapohjan painamalla @-näppäintä tai Insert/Graph/X-Y-POT. Kuvapohjassa on kuusi paikanvaraaja: vaaka-akselin keskellä muuttuja ja päissä minimi- ja maksimiarvot pstakselin

Lisätiedot

Harjoitus 3 (31.3.2015)

Harjoitus 3 (31.3.2015) Harjoitus (..05) Tehtävä Olkoon kaaren paino c ij suurin sallittu korkeus tieosuudella (i,j). Etsitään reitti solmusta s solmuun t siten, että reitin suurin sallittu korkeus pienimmillään olisi mahdollisimman

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ (1 piste/kohta)

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ (1 piste/kohta) MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 3.3.06. ( piste/kohta) Sivu / 8 Kohta Vaihtoehdon numero A B C D E F 3. a) Ainakin yhdet sulut kerrottu oikein auki 6x 4x x( 3x) Ratkaistu nollakohdat sieventämisen lisäksi

Lisätiedot

ARVOSANA-HARJOITUKSEN RATKAISU

ARVOSANA-HARJOITUKSEN RATKAISU ARVOSANA-HARJOITUKSEN RATKAISU Tee allaoleva taulukko. Arvosana-sarakkeeseen pitää tehdä sellainen jos-funktio. joka määrittää arvosanaksi Hylätty tai Hyväksyttty. Jos pisteet ovat vähintään 10, arvosanaksi

Lisätiedot

FUNKTION KUVAAJAN PIIRTÄMINEN

FUNKTION KUVAAJAN PIIRTÄMINEN FUNKTION KUVAAJAN PIIRTÄMINEN Saat kuvapohjan painamalla @-näppäintä tai Insert/Graph/X-Y-POT. Kuvapohjassa on kuusi paikanvaraaja: vaaka-akselin keskellä muuttuja ja päissä minimi- ja maksimiarvot pystyakselin

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

Funktion määrittely (1/2)

Funktion määrittely (1/2) Funktion määrittely (1/2) Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden B:n alkion b. Merkitään b = f (a). Tässä A = M f on f :n määrittelyjoukko, B on f :n maalijoukko.

Lisätiedot

Tentissä on viisi tehtävää, jotka arvosteellaan asteikolla 0-6. Tehtävien alakohdat ovat keskenään samanarvoisia ellei toisin mainita.

Tentissä on viisi tehtävää, jotka arvosteellaan asteikolla 0-6. Tehtävien alakohdat ovat keskenään samanarvoisia ellei toisin mainita. Tentissä on viisi tehtävää, jotka arvosteellaan asteikolla 0-6. Tehtävien alakohdat ovat keskenään samanarvoisia ellei toisin mainita. Tehtävä 1 Mitä seuraavat käsitteet tarkoittavat? Monitahokas (polyhedron).

Lisätiedot

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y ) MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y

Lisätiedot

Fx-CP400 -laskimella voit ratkaista yhtälöitä ja yhtälöryhmiä eri tavoin.

Fx-CP400 -laskimella voit ratkaista yhtälöitä ja yhtälöryhmiä eri tavoin. 3. Yhtälöt Fx-CP400 -laskimella voit ratkaista yhtälöitä ja yhtälöryhmiä eri tavoin. 3.1 Ensimmäisen asteen yhtälöt Ratkaise yhtälö. 3 x ( x 3) 4x 5 Kirjoita tehtävä sellaisenaan, maalaa se ja käytä Interactive

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

Esimerkiksi jos käytössä ovat kirjaimet FFII, mahdolliset nimet ovat FIFI ja IFIF. Näistä aakkosjärjestykssä ensimmäinen nimi on FIFI.

Esimerkiksi jos käytössä ovat kirjaimet FFII, mahdolliset nimet ovat FIFI ja IFIF. Näistä aakkosjärjestykssä ensimmäinen nimi on FIFI. A Nimi Uolevi sai koiranpennun, mutta siltä puuttuu vielä nimi. Uolevi on jo päättänyt, mitä kirjaimia nimessä tulee olla. Lisäksi hän haluaa, että nimi muodostuu toistamalla kaksi kertaa sama merkkijono.

Lisätiedot

Harjoitustehtävät, syys lokakuu 2010. Helpommat

Harjoitustehtävät, syys lokakuu 2010. Helpommat Harjoitustehtävät, syys lokakuu 010. Helpommat Ratkaisuja 1. Kellon minuutti- ja tuntiosoittimet ovat tasan suorassa kulmassa kello 9.00. Milloin ne ovat seuraavan kerran tasan suorassa kulmassa? Ratkaisu.

Lisätiedot

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja

Lisätiedot

Kertaustehtävien ratkaisut

Kertaustehtävien ratkaisut Kertaustehtävien ratkaisut. x y = x + 6 (x, y) 0 0 + 6 = 6 (0, 6) + 6 = (, ) + 6 = 0 (, 0) y-akselin leikkauspiste on (0, 6) ja x-akselin (, 0).. x y = x (x, y) 0 0 (0, 0) (, ) (, ) x y = x + (x, y) 0

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.

Lisätiedot

1.1 Funktion määritelmä

1.1 Funktion määritelmä 1.1 Funktion määritelmä Tämän kappaleen otsikoksi valittu funktio on hyvä esimerkki matemaattisesta käsitteestä, johon usein jopa tietämättämme törmäämme arkielämässä. Tutkiessamme erilaisia Jos joukkojen

Lisätiedot

Syksyn 2015 Lyhyen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Lyhyen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 015 Lhen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Tekijät: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen Ratkaisut on laadittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmalla kättäen Muistiinpanot -sovellusta.

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä.

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016

Lisätiedot

Luento 2: Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli.

Luento 2: Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli. Luento : Optimointitehtävän graafinen ratkaiseminen. LP-malli. LP-malli simerkki: Maalifirma Sateenkaari valmistaa ulko- ja sisämaalia raaka-aineista M ja M. Sisämaalin maksimikysyntä on tonnia/päivä.

Lisätiedot

TAULUKKORYHMÄT. Sisällysluettelo

TAULUKKORYHMÄT. Sisällysluettelo Excel 2010 Taulukkoryhmät Sisällysluettelo TAULUKKORYHMÄT TAULUKOIDEN RYHMITTÄMINEN... 1 Ryhmän luominen... 1 Ryhmän purkaminen... 1 Tietojen kirjoittaminen, muotoilu ym.... 1 Tietojen kopioiminen taulukosta

Lisätiedot

Luento 6: Monitavoitteinen optimointi

Luento 6: Monitavoitteinen optimointi Luento 6: Monitavoitteinen optimointi Monitavoitteisessa optimointitehtävässä on useita optimoitavia kohdefunktioita eli ns kriteereitä: f,,f m Esimerkki ortfolion eli arvopaperijoukon optimoinnissa: f

Lisätiedot

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0. Ääriarvon laatu Jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaali ääriarvokohta (x 0, y 0 ) on aina kriittinen piste (ts. f x (x, y) = f y (x, y) = 0, kun x = x 0 ja y = y 0 ), mutta kriittinen piste ei ole aina

Lisätiedot