Demo 1: Excelin Solver -liitännäinen

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Demo 1: Excelin Solver -liitännäinen"

Transkriptio

1 MS-C2105 Optimoinnin perusteet Malliratkaisut 1 Ehtamo Demo 1: Excelin Solver -liitännäinen Ratkaise tehtävä käyttäen Excelin Solveria. max 3x 1 + x 2 s.e. 2x 1 + 5x 2 8 4x 1 + 2x 2 5 x 1, x 2 0 Ratkaisu 1. Päätösmuuttuja x 1 sijoitetaan soluun B2 ja x 2 soluun C2. Näiden solujen numeroarvoja Solver tulee muuttelemaan ratkaistaessaan tehtävää. Jätä nämä solut tyhjiksi tai syötä niihin alkuarvauksesi, josta Ratkaisin lähtee ratkaisemisessa liikkeelle. 2. Kohdefunktio sijoitetaan soluun B4. Kirjoitetaan soluun kohdefunktion 3x 1 + x 2 kaava viittaamalla muuttujien soluihin B2 ja C2, jotka vastaavat muuttujien x 1 ja x 2 arvoja. Kaava tulee aloittaa aina = -merkillä. Kirjoita soluun B4: =3*B2+C2 Kohdefunktion maksimointi/minimointi määritellään Ratkaisimessa vaiheissa 5 ja Ensimmäisen rajoitusehdon vasen puoli sijoitetaan soluun B6. Kirjoitetaan soluun rajoitusehdon 2x 1 + 5x 2 kaava viittaamalla muuttujien soluihin. Kirjoita soluun B6: =2*B2+5*C2 Rajoitusehdon oikean puolen arvo asetetaan soluun D6. Kirjoita soluun D6: 8 Vasemman ja oikean puolen välinen epäyhtälö määritellään Ratkaisimessa vaiheessa Toisen rajoitusehdon vasen puoli sijoitetaan soluun B7. Kirjoitetaan soluun rajoitusehdon 4x 1 + 2x 2 kaava viittaamalla muuttujien soluihin. Kirjoita soluun B7: =-4*B2+2*C2. Rajoitusehdon oikean puolen arvo asetetaan soluun D7. Kirjoita soluun D7: -5 Vasemman ja oikean puolen välinen epäyhtälö määritellään Ratkaisimessa vaiheessa 8. Jos haluat, voi määritellä kohtien 3. ja 4. tavoin myös, muuttujien x 1 ja x 2 rajoitukset kirjoittamalla soluun B9: =B2 ja D9: 0 (x 1 0) ja B10: =C2 ja D10: 0 (x 2 0) Tämän rajoituksen voi kuitenkin tehdä helposti myös Solverin asetuksista vaiheen 9 mukaisesti. Kuva 1: Exceliin syötettävät kaavat 1

2 Ratkaisin 5. Käynnistä Ratkaisin valitsemalla se Data-välilehden oikeasta laidasta. Asetetaan Ratkaisimeen kohdefunktio. Kirjoita Tavoite ruutuun B4 tai kun ruutu on aktiivinen valitse hiirellä solu B4. Voit myös painaa Tavoite-ruudun viereistä painiketta, jolloin pienempi ikkuna avautuu, johon voit kirjoittaa kohdesolun B4 tai valita solun hiirellä. $ -merkit solun kirjaimen ja numeron edessä eivät vaikuta viittauksen toimintaan. Kuva 2: Excelin Ratkaisin 6. Tehtävässä kohdefunktiota maksimoidaan eli Ratkaisimen Kohde kohdassa valitaan Suurin. (Minimoinnissa valittaisiin Pienin ja haluttaessa ratkaisulle tietty arvo valittaisiin Arvo ja kirjoitettaisiin viereiseen ruutuun haluttu arvo.) 7. Asetetaan muuttujien solut eli Muuttamalla muuttujasoluja kohtaan kirjoitetaan viittaus soluihin B2 ja C2 kirjoittamalla B2:C2 tai valitsemalla hiirellä solut B2 ja C2 (hiiren vasen nappi koko ajan pohjassa soluja valitessa). 8. Asetetaan rajoitusehdot. Reunaehdot kohdan oikealla puolella löytyy Lisäänäppäin, josta avautuu Lisää reunaehto ikkuna. Soluviittaus kohtaan tulee viittaus rajoitusehdon vasemman puolen soluun (1. rajoitusehdossa solu B6), joko kirjoittaen B6 tai valiten hiirellä solun. Seuraavasta valikosta valitaan sopiva merkki 1. rajoitusehdolle eli (rajoitusehdoille voidaan asettaa myös tai =, kok ja bin ovat muuttujasolujen rajoittamiseksi kokonaisluvuiksi ja binääriluvuiksi. Reunaehto kohtaan tulee 1. rajoitusehdon oikean puolen arvo eli joko arvo 8 tai viittaus soluun D6, jossa on jo vastaava arvo. Koska lisätään toinen rajoitusehto, valitaan Lisää, josta annettu rajoitusehto tallentuu ja kohdat tyhjenevät seuraavaa rajoitusehtoa varten. Aseta 2.rajoitusehto em. tavalla eli B7, ja D7 (tai -5). Valitse OK, jolloin poistut Lisää reunaehto valikosta takaisin Ratkaisimen pääikkunaan. (Jos valitsit Lisää ja olet jo asettanut kaikki rajoitusehdot, niin valitse Peruuta poistuaksesi) Rastita Ratkaisimen pääikkunasta Tee ei-negatiivisia muuttujista, joilla ei ole reunaehtoja-laatikko, jolloin Ratkaisin rajoittaa päätösmuuttujat epänegatiivisiksi ( 0 ). Tämän rajoitusehdon voi tehdä myös edellisen vaiheen mukaisesti käyttämällä 4. vaiheen soluja B9 ja B10. Lisää reunaehto, jossa viittaat soluihin B9 ja B10, joiden epäyhtälöksi aseta ( ) ja reunaehdoksi 0. 2

3 Kuva 3: 1. rajoitusehdon lisääminen 9. Koska optimointitehtävä on lineaarinen, valitse Valitse ratkaisumenetelmäkohdasta Simplex LP-algoritmi. 10. Ratkaisin on valmis, joten valitse Ratkaise, jolloin Ratkaisin ratkaisee tehtävän ja eteesi avautuu Ratkaisimen tulokset ikkuna, joka ilmoittaa pystyikö Ratkaisin ratkaisemaan tehtävän. Valitse OK, jotta Excel säilyttää uudet muuttujien arvot. (Voit myös palauttaa alkuperäiset alkuarvaukset muuttamalla ikkunan valintoja). Kuva 4: Tehtävän mukaiset Ratkaisimen parametrit Ratkaisimella saadaan optimaalinen ratkaisu, jossa päätösmuuttujien arvoiksi saadaan niitä vastaavista soluista B2 ja C2 ja kohdefunktion arvo sitä vastaavasta solusta B4. Päätösmuuttujan x 1 arvo on 1,70833, päätösmuuttujan x 2 arvo on 0,91667 ja kohdefunktion arvo on 6, Rajoitusehtojen soluja B6 ja D6 sekä soluja B7 ja D7 vertaamalla huomataan, että kumpikin rajoitusehto on sitova (arvot ovat yhtäsuuret). Demo 2: Optimointitehtävän muodostaminen Seppo haluaa valmistaa banaanilaatikoita käyttäen mahdollisimman vähän pahvia. Laatikot ovat umpinaisia suorakulmaisia särmiötä. Laatikkoon tulisi mahtua vähintään 0.1 m 3 banaaneja, ja kuljetussyistä laatikot saavat olla korkeintaan 20 cm korkeita. Minkälaiset mitat Sepon kannattaa valita? Entä jos kuljetuksesta johtuva korkeusrajoitus poistetaan? Tunnista yllä olevasta tehtävästä: ˆ Päätösmuuttujat (optimointimuuttujat), 3

4 Kuva 5: Tehtävän optimaalinen ratkaisu ˆ Kohdefunktio, ˆ Rajoitusehdot, ja ratkaise saamasi optimointitehtävä Excelin Solverilla. Ratkaisu Tehtävässä valmistetaan suorakulmaisen särmiön muotoisia laatikoita, joten valitaan laatikon muodon määrittelevät päätösmuuttujat, joiden yksiköiksi valitaan metri (m): x 1 := x 2 := x 3 := laatikon korkeus (m) laatikon leveys (m) laatikon pituus (m) Koska halutaan minimoida laatikossa käytettävän pahvin määrää (m 2 ), valitaan kohdefunktioksi laatikon tahkojen yhteispinta-alan minimointi: min 2 x 1 x x 1 x x 2 x 3. Laatikon tilavuuden tulee olla vähintään 0,1 m 3, jolloin saadaan rajoitusehdoksi: x 1 x 2 x Laatikon korkeus saa olla korkeintaan 0,2 m, jolloin saadaan rajoitusehdoksi: x Koska laatikon korkeus, leveys ja pituus eivät voi olla negatiivisia, rajoitetaan ne vähintään nolliksi: x 1 0, x 2 0 ja x 3 0. Excel Syötetään tehtävän tiedot Exceliin ja ratkaistaan tehtävä Ratkaisimen avulla Demo 1:n mukaisesti. Sijoitetaan päätösmuuttujat soluihin B2, C2 ja D2. Kirjoitetaan soluun B4 kohdefunktion kaava =2*B2*C2+2*B2*D2+2*C2*D2. Kirjoitetaan soluun B6 tilavuuden rajoitusehto =B2*C2*D2 ja sitä vastaavan rajoituksen arvo 0,1 soluun D6. Kirjoitetaan 4

5 soluun B7 korkeuden rajoitusehto =B2 ja sitä vastaavan rajoituksen arvo 0,2 soluun D7. Käynnistetään Ratkaisin ja sijoitetaan Aseta tavoite-kohtaan kohdefunktion solu B4 ja valitaan minimointitehtävälle Kohde-kohdasta vaihtoehto Pienin. Sijoitetaan solut B2, C2 ja D2 kirjoittamalla Muuttamalla muuttujasoluja-kohtaan B2:D2, joka viittaa kaikkiin soluihin solusta B2 soluun D2. Lisätään rajoitusehdot valitsemalla Reunaehdot-kohdassa Lisää. Lisätään 1. epäyhtälörajoitus sijoittamalla Soluviittaus-kohtaan solu B6, valitsemalla sopiva epäyhtälö ( ) ja sijoittamalla Reunaehto-kohtaan viittaus soluun D6. Valitaan Lisää ja lisätään 2. epäyhtälörajoitus sijoittamalla Soluviittaus-kohtaan solu B7, valitsemalla sopiva epäyhtälö ( ) ja sijoittamalla Reunaehto-kohtaan viittaus soluun D7. Valitaan OK reunaehtojen lisäämisen lopettamiseksi. Rajoitetaan muuttujat epänegatiivisiksi rastittamalla Tee ei-negatiivisia muuttujista, joilla ei ole reunaehtoja-laatikko. Tehtävän kohdefunktio ja 1. rajoitusehto ovat epälineaarisia, joten valitaan ratkaisumenetelmäksi GRG Nonlinear. Ratkaistaan tehtävä valitsemalla Ratkaise. Tehtävän ratkaisuksi saadaan, että laatikon korkeuden tulee olla 0,2 m ja leveyden ja pituuden kummankin tulee olla noin 0,70 m, jolloin laatikon tahkojen yhteispintaalaksi tulee noin 1,57 m 2. 5

6 Jos laatikon korkeuden rajoitusehtoa ei tarvitse huomioida, poistetaan Ratkaisimen Reunaehdot-kohdasta rajoitus B7 D7 ja ratkaistaan tehtävä. Tällöin tehtävän ratkaisuksi saadaan, että jokaisen särmän tulee olla noin 0,46 m pitkä, jolloin laatikosta tulee kuutio. Kuution tahkojen yhteispinta-ala eli kohdefunktion arvo on noin 1,29 m 2. Tehtävä 1: Optimointitehtävän osat ja ratkaiseminen Solverilla Ratkaise Excelin Solverilla a) min x + y s.e. x 2 + y 2 x y 0 x, y 0 b) max ln(x + sin y) s.e. e x xy 0 x π 4 0 y π 4 Huomaa. Excel osaa myös erikoisempia funktioita kuten SIN(), COS(), LN(), EXP(). π:n saat funktiolla PI(). Lisää funktioita löytyy Formulas -välilehdeltä Ratkaisu Syötetään tehtävän tiedot Exceliin ja ratkaistaan tehtävä Ratkaisimen avulla Demon 1 mukaisesti. a) Sijoitetaan päätösmuuttujat soluihin B2 ja C2. Kirjoitetaan soluun B4 kohdefunktion kaava =B2+C2. Kirjoitetaan soluun B6 1. rajoitusehto =B2^2+C2 ja sitä vastaavan rajoituksen arvo 2 soluun D6. Kirjoitetaan soluun B7 2. rajoitusehto =B2-C2 ja sitä vastaavan rajoituksen arvo 0 soluun D7. 6

7 Käynnistetään Ratkaisin ja sijoitetaan Aseta tavoite-kohtaan kohdefunktion solu B4 ja valitaan minimointitehtävälle Kohde-kohdasta vaihtoehto Pienin. Sijoitetaan solut B2 ja C2 kirjoittamalla Muuttamalla muuttujasoluja-kohtaan B2:C2. Lisätään rajoitusehdot valitsemalla Reunaehdot-kohdassa Lisää. Lisätään 1. epäyhtälörajoitus sijoittamalla Soluviittaus-kohtaan solu B6, valitsemalla sopiva epäyhtälö ( ) ja sijoittamalla Reunaehto-kohtaan viittaus soluun D6. Valitaan Lisää ja lisätään 2. epäyhtälörajoitus sijoittamalla Soluviittaus-kohtaan solu B7, valitsemalla sopiva epäyhtälö ( ) ja sijoittamalla Reunaehto-kohtaan viittaus soluun D7. Valitaan OK reunaehtojen lisäämisen lopettamiseksi. Rajoitetaan muuttujat epänegatiivisiksi rastittamalla Tee ei-negatiivisia muuttujista, joilla ei ole reunaehtoja-laatikko. Vaihtoehtoisesti voidaan lisätä Reunaehdot-kohtaan rajoitusehdot B9 D79 ja B10 D10. Tehtävän 1. rajoitusehto on epälineaarinen, joten valitaan ratkaisumenetelmäksi GRG Nonlinear. Ratkaistaan tehtävä valitsemalla Ratkaise. Tehtävän ratkaisuksi saadaan x on 1,41421 ja y on 0, jolloin kohdefunktion arvo on 1, Päätösmuuttujien arvoja rajoittaa 1. epäyhtälörajoitus ja y:n epänegatiivisuusrajoitus. b) Sijoitetaan päätösmuuttujat soluihin B2 ja C2. Kirjoitetaan soluun B4 kohdefunktion kaava =LN(B2+SIN(C2)). Kirjoitetaan soluun B6 1. rajoitusehto =EXP(-B2)-B2*C2 ja sitä vastaavan rajoituksen arvo 0 soluun D6. Kirjoitetaan soluun B7 2. rajoitusehto =B2 ja sitä vastaavan rajoituksen arvo =PI()/4 soluun D7. Sitten kirjoitetaan soluun B8 3. rajoitusehto =C2 ja sitä vastaavan rajoituksen arvo =PI()/4 soluun D8. 7

8 Käynnistetään Ratkaisin ja sijoitetaan Aseta tavoite-kohtaan kohdefunktion solu B4 ja valitaan maksimointitehtävälle Kohde-kohdasta vaihtoehto Suurin. Sijoitetaan solut B2 ja C2 kirjoittamalla Muuttamalla muuttujasoluja-kohtaan B2:C2. Lisätään rajoitusehdot Reunaehdot-kohtaan rajoitusehdot B6 D6, B7 D7 ja B8 D8. Rajoitetaan muuttujat epänegatiivisiksi rastittamalla Tee ei-negatiivisia muuttujista, joilla ei ole reunaehtoja-laatikko. Tehtävän kohdefunktio ja 1. rajoitusehto ovat epälineaarisia, joten valitaan ratkaisumenetelmäksi GRG Nonlinear. Ratkaistaan tehtävä valitsemalla Ratkaise. Ratkaisuksi saadaan, että x on noin 0,659 ja y 0,785, jolloin kohdefunktion arvo on 0,312. Tehtävä 2: Optimointitehtävän formulointi Matti on perustanut kadun varteen mehukaupan. Hänellä on käytössään 8 litraa mehutiivistettä ja rajattomasti vettä. Hän on tuotantotalouden markkinointitutkimuskurssilla tehnyt kyselyn, jonka mukaan keskimääräinen ohikulkija suostuu maksamaan lasista (2 dl) mehua (p 0.7)2 e, missä p kertoo kuinka suuri osa mehusta on tiivistettä (0 p 1). Matti on myös selvittänyt, että keskimäärin myyntipisteen ohi kulkevat ihmiset ostavat yhteensä 10 litraa mehua päivässä. Kuinka vahvaa mehua Matin kannattaa myydä? Muodosta optimointitehtävä ja ratkaise se Excelin Solverilla. Ratkaisu Matin tuotto riippuu mehun hinnasta, joka riippuu mehun tiivisteen osuudesta, ja päivän mehun määrän kysynnästä, joka on vakio 10 litraa (l). Valitaan päätösmuuttujiksi: x 1 := x 2 := tiivisteen määrä (l) veden määrä (l), jolloin mehun määrä on tiivisteen ja veden määrien summa eli x 1 + x 2 ja tiivisteen osuus mehusta p on x 1 x 1 +x 2. 8

9 Tehtävänä on maksimoida tuottoa, joka on mehun hinta kerrottuna mehun määrällä: ( ( ) ) 1 max x x 1 + x 0, 7 (x 1 + x 2 ). 2 Mehua ostetaan päivässä korkeintaan 10 litraa, jolloin rajoitusehdoksi saadaan: x 1 + x 2 10 Tiivistettä on käytössä vain 8 litraa, jolloin tiivisteen määrälle saadaan rajoitusehto: x 1 8 Tiivisteen ja veden määrät eivät voi olla negatiivisia, joten: ja x 1 0 x 2 0 Excel Syötetään tehtävän tiedot Exceliin ja ratkaistaan tehtävä Solverin avulla aiempien tehtävien mukaisesti. Sijoitetaan päätösmuuttujat soluihin B2 ja C2 ja kohdefunktion kaava =5*(1/3-1/2*((B2/(B2-C2))-0,7)^2)*(B2+C2) soluun B4. Sijoitetaan 1. rajoitusyhtälön kaava =B2 ja arvo 8 soluihin B6 ja D6. Vastaavasti 2. ja 3. rajoitusyhtälöiden kaavat =B2/(B2+C2) ja =B2+C2 soluihin B7 ja B8 ja arvot 1 ja 10 soluihin D7 ja D8. Käynnistetään Ratkaisin ja sijoitetaan Aseta tavoite-kohtaan viittaus kohdefunktion soluun B4 ja valitaan Kohde-kohdassa maksimointitehtävälle Pienin. Valitaan päätösmuuttujalla sijoittamalla solujen B2 ja C2 viittaus B2:C2 Muuttamalla muuttujasoluja-kohtaa. Lisätään Reunaehdot-kohtaan rajoitusehdot B6 D6, B7 D7 ja B8 D8. Rajoita päätösmuuttujat rastittamalla Tee ei-negatiivisia muuttujistalaatikko. Kohdefunktio on epälineaarinen, joten käytetään GRG Nonlinear-algoritmia. Lopulta ratkaistaan tehtävä. Ratkaisuksi saadaan, että tiivistettä tulisi käyttää 7 l ja vettä 3 l, jolloin mehusta saatava tuotto olisi 16,67 e. Rajoitusehdoista huomataan, että vain mehun kysyntä rajoittaa päätösmuuttujien arvoja. 9

10 Tehtävä 3: Alkuarvon merkitys Solverissa a) Ratkaise tehtävä min cos x s.e. π 4 x π 4 Käyttäen alkuarvona pisteitä x = 0, x = 0.1 ja x = 0.1. Piirrä kuva. Huomaa. Excel käyttää alkuarvona sitä arvoa, joka päätösmuuttujasoluun on asetettu ennen solverin ajamista. b) Ratkaise tehtävä min sin x x 3 s.e. 0 x 5π Käyttäen alkuarvona pisteitä x = 3 ja x = 8. Piirrä tilanteesta kuva. Ratkaisu a) Valitaan solu B2 vastaamaan päätösmuuttujaa x ja sijoitetaan kohdefunktion kaava =COS(B2) soluun B4. Kirjoitetaan rajoitusyhtälöt soluihin rajoitusyhtälöiden vasemmat puolet eli =B2 soluihin B6 ja D6 ja oikeat puolet eli =-PI()/4 ja =PI()/4 soluihin B7 ja D7. Kirjoitetaan alkuarvo 0 soluun B2. Käynnistetään Ratkaisin ja sijoitetaan Aseta tavoite-kohtaan kohdefunktion solu B4 ja valitaan minimointitehtävälle Kohde-kohdasta vaihtoehto Pienin. Sijoitetaan solu B2 Muuttamalla muuttujasoluja-kohtaan. Lisätään rajoitusehdot Reunaehdot-kohtaan rajoitusehdot B6 D6 ja B7 D7. Ratkaisuksi saadaan x on π 1 4, jolloin kohdefunktion arvo on 2. Muista kytkeä Solverista pois asetus, joka pakottaa päätösmuuttujien ratkaisut epänegatiivisiksi! Vaihdetaan soluun B2 arvo 0,1 ja ratkaistaan tehtävä uudestaan, jolloin x:n arvoksi saadaan π 1 4, jolloin kohdefunktion arvo on 2. Nyt algoritmin iteraatio pystyi etenemään ja se pysähtyi muuttujan x ylärajan tullessa vastaan. Vastaavasti kirjoitetaan soluun B2 arvo -0,1 ja ratkaistaan tehtävä, jolloin x = π 4 ja kohdefunktion arvo on 1 2. Piirretään kosinifunktion kuvaaja Excelissä kirjoittamalla x-akselin arvoja kasvavassa järjestyksessä soluun B ja soluun B Tämän jälkeen voit helposti jatkaa näiden arvojen kasvattamista valitsemalla molemmat solut yhtä aikaa ja vetämällä solujen oikeassa alakulmasa olevasta neliöstä alaspäin, kunnes pääset tarpeeksi suureen x-arvoon. Kirjoita soluun C11 kohdefunktion kaava, jossa viittaat viereiseen soluun, jossa x:n arvo on eli =COS(B11). Kopioi jälleen kaavaa vetämällä oikean alakulman neliöstä alaspäin, jolloin esim. soluun C12 tulee kaava COS(B12). Valitse kaikki muodostamasi arvot ja valitse Insert-välilehdeltä Scatter-alavalikko, josta valitse jokin sopiva kuvaaja (esim. Scatter with Smooth Lines and Markers). 10

11 cos x x b) Tehtävä voidaan ratkaita samalla tavalla kuin a-kohta. Tällä kertaa kohdefunktion soluun B4 kirjoitetaan kaava =SIN(B2)-B2/3. Muuttujan alarajaksi asetetaan arvo 0 soluun D6 ja ylärajaksi =5*PI() soluun D7. Ratkaistaan tehtävä lähtemällä alkuarvosta x on 3, jolloin x:n arvoksi saadaan 5,052 ja kohdefunktion arvoksi -2,627. Ratkaistaan tehtävä lähtemällä alkuarvosta x on 8, jolloin x:n arvoksi saadaan 11,3354 ja kohdefunktion arvoksi -4,721. Tehtävän oikea ratkaisu on x = 15, 708 ja kohdefunktion arvo on -5,236, johon olisi päästy esim. alkuarvauksella x on 15. Tästä huomataan, että Ratkaisimen käyttämä algoritmi voi jäädä epälineaarisessa tehtävässä lokaaliin ääriarvoon riippuen alkuarvauksesta, jolloin se ei löydä tehtävän oikeaa ratkaisua. Piirretään a-kohdan mukaisesti tehtävän mukainen kuvaaja sijoittamalla sopiviin soluihin vierekkäin x:n arvoja 0:sta 5π:hin ja käyttämällä kohdefunktion kaavaa =SIN(solu)-solu/ sin x x x Tehtävä 4: Tulivuorisaari Mr. Moneybags on varastoinut kaiken omaisuutensa, 2400 kg kultaa, kaukaiselle tuliperäiselle saarelle. Saaren tulivuori uhkaa nyt purkautua, ja Mr. Moneybags haluaa siirtää rahansa turvaan. Saarella ei ole lentokenttää tai satamaa, joten siirto pitää tehdä helikoptereilla. Matka on pitkä ja sää epävakaa, joten helikopterit eivät välttämättä selviä matkasta. Käytössä on 3 kopteria, joista kullakin on tietty todennäköisyys selvitä matkasta. Todennäköisyys riippuu lisäksi kopterin kuormasta. 11

12 Todennäköisyydet ovat seuraavat: p 1 = 0.9 ( 1 x ) p 2 = 0.8 ( 1 x ) p 3 = 0.9 ( 1 x ). Ensimmäinen kopteri kykenee kantamaan 1000 kg, toinen 1200 kg ja kolmas 1600 kg. Kuinka paljon kultaa Mr. Moneybagsin kannattaa ottaa mukaan, jos hän haluaa maksimoida perille päässeen kullan määrän odotusarvon? Entä jos hän ahneuksissaan vaatii, että kaikki kulta on pakattava mukaan? Muotoile tehtävästä optimointitehtävä, ja ratkaise Excelin Solverilla. Ratkaisu Päätösmuuttujiksi valitaan kuhunkin helikopteriin lastattavan kullan määrä: x 1 := x 2 := x 3 := kullan määrä 1. helikopterissa (kg) kullan määrä 2. helikopterissa (kg) kullan määrä 3. helikopterissa (kg) Maksimoidaan perille saapuvan kullan odotusarvoa, joka riippuu kullan määrästä ja todennäköisyydestä, jolla helikopteri selviää matkasta: maksimoidaan: 3 kullan määrä helikopterissa i helikopterin i todennäköisyys i=1 = max 3 x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 i=1 = x 1 0, 9 ( 1 x ) x2 0, 8 ( 1 x ) x3 0, 9 ( 1 x ). Kullan määrä helikopterissa ei voi ylittää helikopterin kantokykyä eikä voi olla negatiivinen, jolloin saadaan rajoitusehdot: 0 x x x Kullan kokonaismäärä helikoptereissa ei voi ylittää kullan alkuperäistä kokonaismäärää, jolloin saadaan rajoitusehto: x 1 + x 2 + x Ratkaistaan tehtävä Excelin Ratkaisimella edellisten tehtävien tavoin, jolloin vastaukseksi saadaaan, että x 1 = 500, x 2 = 600 ja x 3 = 800. Näin ollen odotusarvoinen kullan määrä on 825 kg. 12

13 Jos kaikki kulta halutaan mukaan, muutetaan kullan kokonaismäärän epäyhtälörajoitus yhtälörajoitukseksi: x 1 + x 2 + x 3 = 2400 Tällöin tehtävän ratkaisuksi saadaan x 1 = 626.6, x 2 = ja x 3 = , jolloin odotusarvoinen kullan määrä on kg. Tästä huomataan, että Mr. Moneybagsin ei kannata olla liian ahne ja yrittää kuljettaa kaikkea kultaa, koska silloin hän saa odotusarvoisesti vähemmän kultaa. Tehtävä 5: Opiskelun optimointi Simolla on edessään vaativa sovelletun matematiikan tentti. Edellinen ilta venyi pitkäksi, ja hänellä on enää 24 tuntia aikaa ennen tenttiä. Simo on kunnianhimoinen oppilas, ja haluaisi optimoida valmistautumisen niin, että saa 70% todennäköisyydellä arvosanaan 5 vaadittavat 28 pistettä. Tilastollisesti Simo on huomannut, että tentin pistesaalis on normaalijakautunut satunnaismuuttuja, odotusarvolla µ = t+u 8 15 pistettä, ja keskihajonnalla σ = t + u, missä t on lukemiseen käytetty aika, ja u on edellisen vuorokauden aikana nukkumiseen käytetty aika. Luonnollisesti Simo ei halua tehdä turhaa työtä, vaan maksimoi vapaa-aikansa, eli työn ja nukkumisen jälkeen vapaaksi jääneen ajan. Muotoile tehtävästä optimointitehtävä, ja ratkaise Excelin Solverilla. Ratkaisu Päätösmuuttujiksi valitaan tekstissä mainitut: t := u := lukemisen määrä (h) unen määrä (h) Maksimoidaan vapaa-aikaa eli vuorokaudesta opiskelun ja nukkumisen jälkeen jäävää aikaa: max 24 t u. 13

14 Halutaan, että todennäköisyys, jolla pistemäärä p on vähintään 28 pistettä, on vähintään 70%. Näin ollen todennäköisyys, jolla pistemäärä saa olla alle 28 pistettä, on korkeintaan 30%. Pistemäärä on normaalijakautunut keskiarvolla µ ja keskihajonnalla σ. Tilastollisista taulukoista saadaan, että standardoitua normaalijakaumaa noudattavalle satunnaismuuttujalle Z pätee P (Z y) = 1 0, 7 y = 0.53 Satunnaismuuttujalle Z ja ei-standardoitua normaalijakaumaa seuraavalle pistemäärälle p pätee yhteys Z = p µ σ, jossa p on verrattava pistemäärä eli 28 pistettä, µ on pistemäärän normaalijakauman keskiarvo ja σ on pistemäärän normaalijakauman keskihajonta. Näin ollen päätösmuuttujille saadaan epäyhtälörajoitukseksi Z = x µ σ = 28 t + 8 u 15 t + u 0.53 Opiskelutuntien ja nukkumistuntien yhteismäärä ei voi ylittää vuorokauden tuntien määrää, jolloin saadaan rajoitusehdoksi: t + u 24 Opiskelutuntien ja opiskelutuntien määrät eivät voi olla negatiivisia, joten: t 0 ja u 0 Ratkaistaan tehtävä Excelin Ratkaisimella, jolloin huomataan, että tehtävälle saadaan monta optimaalista ratkaisua, joissa kaikissa t + u = Tällöin kohdefunktion arvo on Näin ollen Simo voi jakaa tuntia miten itse haluaa unen ja opiskelun välillä. 14

Aki Taanila LINEAARINEN OPTIMOINTI

Aki Taanila LINEAARINEN OPTIMOINTI Aki Taanila LINEAARINEN OPTIMOINTI 26.4.2011 JOHDANTO Tässä monisteessa esitetään lineaarisen optimoinnin alkeet. Moniste sisältää tarvittavat Excel ohjeet. Viimeisin versio tästä monisteesta ja siihen

Lisätiedot

Harjoitus 8: Excel - Optimointi

Harjoitus 8: Excel - Optimointi Harjoitus 8: Excel - Optimointi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Lineaarisen optimointimallin muodostaminen

Lisätiedot

Harjoitus 4: Matlab - Optimization Toolbox

Harjoitus 4: Matlab - Optimization Toolbox Harjoitus 4: Matlab - Optimization Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Optimointimallin muodostaminen

Lisätiedot

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN 1 LUKULAUSEKKEITA Ratkaise seuraava tehtävä: Retkeilijät ajoivat kahden tunnin ajan polkupyörällä maantietä pitkin 16 km/h nopeudella, ja sitten vielä kävelivät metsäpolkua

Lisätiedot

KAAVAT. Sisällysluettelo

KAAVAT. Sisällysluettelo Excel 2013 Kaavat Sisällysluettelo KAAVAT KAAVAT... 1 Kaavan tekeminen... 2 Kaavan tekeminen osoittamalla... 2 Kaavan kopioiminen... 3 Kaavan kirjoittaminen... 3 Summa-funktion lisääminen... 4 Suorat eli

Lisätiedot

Merkitse yhtä puuta kirjaimella x ja kirjoita yhtälöksi. Mikä tulee vastaukseksi? 3x + 2x = 5x + =

Merkitse yhtä puuta kirjaimella x ja kirjoita yhtälöksi. Mikä tulee vastaukseksi? 3x + 2x = 5x + = Mikä X? Esimerkki: Merkitse yhtä puuta kirjaimella ja kirjoita yhtälöksi. Mikä tulee vastaukseksi? 3 + 2 = 5 + = 5 + = 1. Merkitse yhtä päärynää kirjaimella ja kirjoita yhtälöksi? Mikä tulee vastaukseksi?

Lisätiedot

Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu

Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Luento 1: Optimointimallin muodostaminen; optimointitehtävien luokittelu Merkintöjä := vasen puoli määritellään oikean puolen lausekkeella s.e. ehdolla; siten että (engl. subject to, s.t.) on voimassa

Lisätiedot

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

30A01000 Taulukkolaskenta ja analytiikka Luku 8: Lineaarinen optimointi ja sen sovellukset

30A01000 Taulukkolaskenta ja analytiikka Luku 8: Lineaarinen optimointi ja sen sovellukset 30A01000 Taulukkolaskenta ja analytiikka Luku 8: Lineaarinen optimointi ja sen sovellukset Mitä on lineaarinen optimointi (LP)? LP= lineaarinen optimointiongelma (Linear Programming) Menetelmä, jolla etsitään

Lisätiedot

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys

Lisätiedot

Malliratkaisut Demo 1

Malliratkaisut Demo 1 Malliratkaisut Demo 1 1. Merkitään x = kuinka monta viikkoa odotetaan ennen kuin perunat nostetaan. Nyt maksimoitavaksi kohdefunktioksi tulee f(x) = (60 5x)(300 + 50x). Funktio f on alaspäin aukeava paraaeli,

Lisätiedot

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi.

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vaihtoehto oikein.. Laskutoimitusten a) yhteen- ja vähennyslaskun b) kerto- ja jakolaskun c) potenssiin korotuksen järjestys

Lisätiedot

LABORAATIOSELOSTUSTEN OHJE H. Honkanen

LABORAATIOSELOSTUSTEN OHJE H. Honkanen LABORAATIOSELOSTUSTEN OHJE H. Honkanen Tämä ohje täydentää ja täsmentää osaltaan selostuskäytäntöä laboraatioiden osalta. Yleinen ohje työselostuksista löytyy intranetista, ohjeen on laatinut Eero Soininen

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen

Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen 1. Funktion nollakohta Newtonin menetelmällä 2. Määrätty integraali puolisuunnikassäännöllä 3. Määrätty integraali Simpsonin menetelmällä Newtonin menetelmä Newtonin

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

Harjoitus 3 (3.4.2014)

Harjoitus 3 (3.4.2014) Harjoitus 3 (3..) Tehtävä Olkoon kaaren paino c ij suurin sallittu korkeus tieosuudella (i, j). Etsitään reitti solmusta s solmuun t siten, että reitin suurin sallittu korkeus pienimmillään olisi mahdollisimman

Lisätiedot

Diskreetit todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma

Diskreetit todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma Diskreetit todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Odotusarvo Binomijakauma Poisson-jakauma Satunnaismuuttuja Satunnaisilmiö on ilmiö, jonka lopputulokseen sattuma vaikuttaa Satunnaismuuttuja on muuttuja,

Lisätiedot

Juha Haataja 4.10.2011

Juha Haataja 4.10.2011 METROPOLIA Taulukkolaskenta Perusteita Juha Haataja 4.10.2011 Lisätty SUMMA.JOS funktion käyttö (lopussa). Tavoite ja sisältö Tavoite Taulukkolaskennan peruskäytön hallinta Sisältö Työtila Omat kaavat,

Lisätiedot

Otoskoko 107 kpl. a) 27 b) 2654

Otoskoko 107 kpl. a) 27 b) 2654 1. Tietyllä koneella valmistettavien tiivisterenkaiden halkaisijan keskihajonnan tiedetään olevan 0.04 tuumaa. Kyseisellä koneella valmistettujen 100 renkaan halkaisijoiden keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää

Lisätiedot

VSP webmail palvelun ka yttö öhje

VSP webmail palvelun ka yttö öhje VSP webmail palvelun ka yttö öhje Kirjaudu webmailiin osoitteessa https://webmail.net.vsp.fi Webmailin kirjautumissivu, kirjoita sähköpostiosoitteesi ja salasanasi: Sähköpostin päänäkymä: 1: Kansiolistaus

Lisätiedot

Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 Vastaus

Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 Vastaus Kenguru Benjamin, vastauslomake Nimi Luokka/Ryhmä Pisteet Kenguruloikka Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Jätä ruutu tyhjäksi,

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2010 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 4. kesäkuuta 2010 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO OSA : YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Kolme kaverusta, Olli, Pekka

Lisätiedot

Painonhallinta. Kirjaudu sovellukseen antamalla käyttäjätunnus ja salasana.

Painonhallinta. Kirjaudu sovellukseen antamalla käyttäjätunnus ja salasana. Painonhallinta Sisäänkirjautuminen Kirjaudu sovellukseen antamalla käyttäjätunnus ja salasana. Kuva 1 Sisäänkirjautuminen Yleistä Painonhallinta toimii internet-selaimella, mutta liikuttaessa sovelluksessa,

Lisätiedot

6.1 Tekstialueiden valinta eli maalaaminen (tulee tehdä ennen jokaista muokkausta ym.)

6.1 Tekstialueiden valinta eli maalaaminen (tulee tehdä ennen jokaista muokkausta ym.) 6. Tekstin muokkaaminen 6.1 Tekstialueiden valinta eli maalaaminen (tulee tehdä ennen jokaista muokkausta ym.) Tekstin maalaaminen onnistuu vetämällä hiirellä haluamansa tekstialueen yli (eli osoita hiiren

Lisätiedot

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! MAA Koe 4.4.011 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! 1 Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Vieruskulmat b) Tangentti kulmasta Katsottuna.

Lisätiedot

Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi.

Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi. 10.1 Yleistä Kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta sanotaan yhtälöksi. Esimerkkejä: 2x 8 = 12 A = πr 2 5 + 7 = 12 Yhtälöissä voi olla yksi tai useampi muuttuja Tuntematonta muuttujaa merkitään usein

Lisätiedot

Harjoitus 3 (31.3.2015)

Harjoitus 3 (31.3.2015) Harjoitus (..05) Tehtävä Olkoon kaaren paino c ij suurin sallittu korkeus tieosuudella (i,j). Etsitään reitti solmusta s solmuun t siten, että reitin suurin sallittu korkeus pienimmillään olisi mahdollisimman

Lisätiedot

1 Funktiot, suurin (max), pienin (min) ja keskiarvo

1 Funktiot, suurin (max), pienin (min) ja keskiarvo 1 Funktiot, suurin (max), pienin (min) ja keskiarvo 1. Avaa uusi työkirja 2. Tallenna työkirja nimellä perusfunktiot. 3. Kirjoita seuraava taulukko 4. Muista taulukon kirjoitusjärjestys - Ensin kirjoitetaan

Lisätiedot

Tentissä on viisi tehtävää, jotka arvosteellaan asteikolla 0-6. Tehtävien alakohdat ovat keskenään samanarvoisia ellei toisin mainita.

Tentissä on viisi tehtävää, jotka arvosteellaan asteikolla 0-6. Tehtävien alakohdat ovat keskenään samanarvoisia ellei toisin mainita. Tentissä on viisi tehtävää, jotka arvosteellaan asteikolla 0-6. Tehtävien alakohdat ovat keskenään samanarvoisia ellei toisin mainita. Tehtävä 1 Mitä seuraavat käsitteet tarkoittavat? Monitahokas (polyhedron).

Lisätiedot

OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI

OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Mitkä kuutiot on taiteltu kuvassa

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

Kertaustehtävien ratkaisut

Kertaustehtävien ratkaisut Kertaustehtävien ratkaisut. x y = x + 6 (x, y) 0 0 + 6 = 6 (0, 6) + 6 = (, ) + 6 = 0 (, 0) y-akselin leikkauspiste on (0, 6) ja x-akselin (, 0).. x y = x (x, y) 0 0 (0, 0) (, ) (, ) x y = x + (x, y) 0

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRIS- TÖALAN VALINTAKOE 2008 MATEMATIIKKA

AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRIS- TÖALAN VALINTAKOE 2008 MATEMATIIKKA AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRIS- TÖALAN VALINTAKOE 008 MATEMATIIKKA TEHTÄVIEN RATKAISUT Tehtävä. Maljakossa on 0 keltaista ja 0 punaista tulppaania, joista puutarhuriopiskelijan on määrä

Lisätiedot

Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon

Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon KA1-kurssi on ehkä mahdollista läpäistä, vaikkei osaisikaan piirtää suoraa yhtälön perusteella. Mutta muut kansiksen kurssit, no

Lisätiedot

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0. Ääriarvon laatu Jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaali ääriarvokohta (x 0, y 0 ) on aina kriittinen piste (ts. f x (x, y) = f y (x, y) = 0, kun x = x 0 ja y = y 0 ), mutta kriittinen piste ei ole aina

Lisätiedot

Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 Vastaus

Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 Vastaus Kenguru Cadet, vastauslomake Nimi Luokka/Ryhmä Pisteet Kenguruloikka Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Jätä ruutu tyhjäksi, jos

Lisätiedot

Harjoitustehtävät, syys lokakuu 2010. Helpommat

Harjoitustehtävät, syys lokakuu 2010. Helpommat Harjoitustehtävät, syys lokakuu 010. Helpommat Ratkaisuja 1. Kellon minuutti- ja tuntiosoittimet ovat tasan suorassa kulmassa kello 9.00. Milloin ne ovat seuraavan kerran tasan suorassa kulmassa? Ratkaisu.

Lisätiedot

3. Kuvio taitetaan kuutioksi. Mikä on suurin samaa kärkeä ympäröivillä kolmella sivutahkolla olevien lukujen tulo?

3. Kuvio taitetaan kuutioksi. Mikä on suurin samaa kärkeä ympäröivillä kolmella sivutahkolla olevien lukujen tulo? Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu perjantaina 4.2.2011 OSA 1 Ratkaisuaika 30 min Pistemäärä 20 Tässä osassa ei käytetä laskinta. Esitä myös lasku, kuvio, päätelmä tai muu lyhyt perustelu.

Lisätiedot

[MATEMATIIKKA, KURSSI 9]

[MATEMATIIKKA, KURSSI 9] 2016 Puustinen, Sinn PYK [MATEMATIIKKA, KURSSI 9] Avaruusgeometrian teoriaa, tehtäviä ja linkkejä peruskoululaisille 1 SISÄLLYSLUETTELO 9. KURSSIN SISÄLTÖ... 3 9.0.1 MALLIKOE 1... 4 9.0.2 MALLIKOE 2...

Lisätiedot

Funktion määrittely (1/2)

Funktion määrittely (1/2) Funktion määrittely (1/2) Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden B:n alkion b. Merkitään b = f (a). Tässä A = M f on f :n määrittelyjoukko, B on f :n maalijoukko.

Lisätiedot

Uutiskirjesovelluksen käyttöohje

Uutiskirjesovelluksen käyttöohje Uutiskirjesovelluksen käyttöohje Käyttäjätuki: Suomen Golfpiste Oy Esterinportti 1 00240 HELSINKI Puhelin: (09) 1566 8800 Fax: (09) 1566 8801 E-mail: gp@golfpiste.com 2 Sisällys Johdanto... 1 Päänavigointi...

Lisätiedot

Työvuorosuunnittelun optimointi (valmiin työn esittely)

Työvuorosuunnittelun optimointi (valmiin työn esittely) Työvuorosuunnittelun optimointi (valmiin työn esittely) Pekka Alli 1.12.2015 Ohjaaja: Tuuli Haahtela Valvoja: Harri Ehtamo Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla verkkosivuilla. Muilta

Lisätiedot

1.1 Funktion määritelmä

1.1 Funktion määritelmä 1.1 Funktion määritelmä Tämän kappaleen otsikoksi valittu funktio on hyvä esimerkki matemaattisesta käsitteestä, johon usein jopa tietämättämme törmäämme arkielämässä. Tutkiessamme erilaisia Jos joukkojen

Lisätiedot

Kenguru 2015 Benjamin (6. ja 7. luokka)

Kenguru 2015 Benjamin (6. ja 7. luokka) sivu 1 / 8 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 3 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009

MATEMATIIKKA 3 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 EB-TUTKINTO 2009 MATEMATIIKKA 3 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 KOKEEN KESTO: 3 tuntia (180 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

6. Harjoitusjakso II. Vinkkejä ja ohjeita

6. Harjoitusjakso II. Vinkkejä ja ohjeita 6. Harjoitusjakso II Seuraavaksi harjoitellaan algebrallisten syötteiden, komentojen ja funktioiden käyttöä GeoGebrassa. Tarjolla on ensimmäisen harjoittelujakson tapaan kahden tasoisia harjoituksia: perustaso

Lisätiedot

1. Lineaarinen optimointi

1. Lineaarinen optimointi 0 1. Lineaarinen optimointi 1. Lineaarinen optimointi 1.1 Johdatteleva esimerkki Esimerkki 1.1.1 Giapetto s Woodcarving inc. valmistaa kahdenlaisia puuleluja: sotilaita ja junia. Sotilaan myyntihinta on

Lisätiedot

1. HARJOITUS harjoitus3_korjaus.doc

1. HARJOITUS harjoitus3_korjaus.doc Word - harjoitus 1 1. HARJOITUS harjoitus3_korjaus.doc Kopioi itsellesi harjoitus3_korjaus.doc niminen tiedosto Avaa näyttöön kopioimasi harjoitus. Harjoitus on kirjoitettu WordPerfet 5.1 (DOS) versiolla

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.2 Kulman tangentti 2.3 Sivun pituus tangentin avulla 2.4 Kulman sini ja kosini 2.5 Trigonometristen funktioiden käyttöä 2.7 Avaruuskappaleita 2.8 Lieriö 2.9

Lisätiedot

E-RESULTS LITE -OHJEET

E-RESULTS LITE -OHJEET E-RESULTS LITE -OHJEET 1 ALKUVALMISTELUT Huolehdi ennen rastiesi pitoa, että Tulospalvelutietokoneen akku on ladattu täyteen Seuran EMIT-kortit ovat tallessa ja selkeästi erillään lähtöleimasimesta. Lähtö-

Lisätiedot

Harjoitus 1 (20.3.2014)

Harjoitus 1 (20.3.2014) Harjoitus 1 (20.3.2014) Tehtävä 1 Piirretään tilanteesta verkko, jossa kaupungeille on annetttu seuraavat numerot: 1 = Turku 2 = Tampere 3 = Hämeenlinna 4 = Imatra 5 = Jyväskylä. 5 2 149(5) 190(4) 113(1)

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ.9.013 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan

Lisätiedot

Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5

Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5 Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5 1. Kotitehtävä. 2. Lasketaan aluksi korkoa korolle. Jos korkoprosentti on r, ja korko maksetaan n kertaa vuodessa t vuoden ajan, niin kokonaisvuosikorko

Lisätiedot

235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 8. Sovellutuksia. 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. 8.2. Keskiö ja hitausmomentti

235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 8. Sovellutuksia. 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. 8.2. Keskiö ja hitausmomentti 8. Sovellutuksia 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen 235. Laske sen kappaleen tilavuus, jota rajoittavat pinnat z = xy, x = y 2, z = 0, x = 1. (Kappale sijaitsee oktantissa x 0, y 0, z 0.) 1/6. 236.

Lisätiedot

Syksyn 2015 Lyhyen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Lyhyen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 015 Lhen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Tekijät: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen Ratkaisut on laadittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmalla kättäen Muistiinpanot -sovellusta.

Lisätiedot

Metallitanko, jonka pituus on 480 cm, jaetaan kahteen osaan. Toinen osista on 60 cm pitempi kuin toinen. Mitkä ovat osien pituudet?

Metallitanko, jonka pituus on 480 cm, jaetaan kahteen osaan. Toinen osista on 60 cm pitempi kuin toinen. Mitkä ovat osien pituudet? 1 Metallitanko, jonka pituus on 480 cm, jaetaan kahteen osaan. Toinen osista on 60 cm pitempi kuin toinen. Mitkä ovat osien pituudet? Tapa 1 Merkitään toista osaa x:llä, toista y:llä ja piirretään asiaa

Lisätiedot

Kenguru 2014 Ecolier (4. ja 5. luokka)

Kenguru 2014 Ecolier (4. ja 5. luokka) sivu 1 / 11 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 8..05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

73125 MATEMAATTINEN OPTIMOINTITEORIA 2

73125 MATEMAATTINEN OPTIMOINTITEORIA 2 73125 MATEMAATTINEN OPTIMOINTITEORIA 2 Risto Silvennoinen Tampereen teknillinen yliopisto, kevät 2004 1. Peruskäsitteet Optimointiteoria on sovelletun matematiikan osa-alue, jossa tutkitaan funktioiden

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 13 Ti 23.2.2016. Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 13 Ti 23.2.2016. Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 13 Ti 23.2.2016 Timo Männikkö Luento 13 Suunnittelumenetelmät Taulukointi Kapsäkkiongelma Ahne menetelmä Verkon lyhimmät polut Dijkstran menetelmä Verkon lyhin virittävä puu Kruskalin

Lisätiedot

Nuorten hyvinvointi tilastotietokannan käyttöohjeet Tieke 18.5 2015

Nuorten hyvinvointi tilastotietokannan käyttöohjeet Tieke 18.5 2015 Nuorten hyvinvointi tilastotietokannan käyttöohjeet Tieke 18.5 2015 Taulukon valinta Valitse vasemmalta kansioita, kunnes saat taulukkoluettelon näkyviin. Jos etsit tietoa jostain tietystä aiheesta, voit

Lisätiedot

Tarkastellaan seuraavaksi esimerkkien avulla yhtälöryhmän ratkaisemista käyttäen Gaussin eliminointimenetelmää.

Tarkastellaan seuraavaksi esimerkkien avulla yhtälöryhmän ratkaisemista käyttäen Gaussin eliminointimenetelmää. Yhtälörhmä Lineaarisen htälörhmän alkeisoperaatiot ovat ) kahden htälön järjestksen vaihto ) htälön kertominen puolittain nollasta eroavalla luvulla ja ) luvulla puolittain kerrotun htälön lisääminen johonkin

Lisätiedot

3 Avaruusgeometria. Lieriö. 324. a) V = 30 20 12 = 7 200 (cm 3 ) 7 200 cm 3 = 7,2 dm 3 = 7,2 l. b) V = A p h = 30 15 = 450 (cm 3 )

3 Avaruusgeometria. Lieriö. 324. a) V = 30 20 12 = 7 200 (cm 3 ) 7 200 cm 3 = 7,2 dm 3 = 7,2 l. b) V = A p h = 30 15 = 450 (cm 3 ) Avaruusgeometria Lieriö 4. a) 0 0 1 7 00 (cm ) 7 00 cm 7, dm 7, l b) A p h 0 15 450 (cm ) 5. Kuution särmän pituus on a 1, cm. a) a 1, 1,78 1,7 (cm ) b) A 6a 6 1, 8,64 8,6 (cm ) 16 6. r d 8 (cm) A p h

Lisätiedot

MATEMATIIKKA PAOJ2 Harjoitustehtävät

MATEMATIIKKA PAOJ2 Harjoitustehtävät MATEMATIIKKA PAOJ2 Harjoitustehtävät 6. Laske kuvan suorakulmion pinta-ala. ( T ) 1. Täytä taulukko m 12 1,45 0,805 2. Täytä taulukko mm 12345 4321 765 23,5 7. Laske kuvan suorakulmion pinta-ala.( T )

Lisätiedot

c. Indifferenssikäyrän kulmakerroin eli rajasubstituutioaste on MRS NL = MU L

c. Indifferenssikäyrän kulmakerroin eli rajasubstituutioaste on MRS NL = MU L MIKROTALOUSTIEDE A31C00100 Kevät 2016 Olli Kauppi HARJOITUKSET II 1. Jutan ruokavalio koostuu yksinomaan nauriista ja lantuista. Jutan hyötyfunktio on muotoa U(N,L) = 12NL. Tällä hetkellä Jutta on päättänyt

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

http://www.microsoft.com/expression/

http://www.microsoft.com/expression/ Verkkojulkaisuharjoitus1 TAVOITE Harjoituksen tarkoituksena on opiskella käyttämään verkkojulkaisueditoria (Microsoft Expression Web) ja käynnistämään verkkosivu internetissä. VERKKOSIVUEDITORIN KÄYTTÖOHJEITA

Lisätiedot

Avaa ohjelma ja tarvittaessa Tiedosto -> Uusi kilpailutiedosto

Avaa ohjelma ja tarvittaessa Tiedosto -> Uusi kilpailutiedosto Condess ratamestariohjelman käyttö Aloitus ja alkumäärittelyt Avaa ohjelma ja tarvittaessa Tiedosto -> Uusi kilpailutiedosto Kun kysytään kilpailun nimeä, syötä kuvaava nimi. Samaa nimeä käytetään oletuksena

Lisätiedot

Näillä sivuilla Tilastomatematiikan esimerkit, joissa käsitellään tietokoneen käyttöä tilastollissa operaatioissa, on tehty Excel-2007 -versiolla.

Näillä sivuilla Tilastomatematiikan esimerkit, joissa käsitellään tietokoneen käyttöä tilastollissa operaatioissa, on tehty Excel-2007 -versiolla. Näillä sivuilla Tilastomatematiikan esimerkit, joissa käsitellään tietokoneen käyttöä tilastollissa operaatioissa, on tehty Excel-2007 -versiolla. Nämä ohjeet, samoin kuin Tilastomatematiikan kirjakaan,

Lisätiedot

Excel Perusteet. 2005 Päivi Vartiainen 1

Excel Perusteet. 2005 Päivi Vartiainen 1 Excel Perusteet 2005 Päivi Vartiainen 1 SISÄLLYS 1 Excel peruskäyttö... 3 2 Fonttikoon vaihtaminen koko taulukkoon... 3 3 Sarakkeen ja rivin lisäys... 4 4 Solun sisällön ja kaavojen kopioiminen... 5 5

Lisätiedot

Excelin käyttö mallintamisessa. Regressiosuoran määrittäminen. Käsitellään tehtävän 267 ratkaisu.

Excelin käyttö mallintamisessa. Regressiosuoran määrittäminen. Käsitellään tehtävän 267 ratkaisu. Excelin käyttö mallintamisessa Regressiosuoran määrittäminen Käsitellään tehtävän 267 ratkaisu. 1)Kirjoitetaan arvot taulukkoon syvyys (mm) ikä 2 4 3 62 6 11 7 125 2) Piirretään graafi, valitaan lajiksi

Lisätiedot

3 Eksponentiaalinen malli

3 Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen kasvaminen ja väheneminen 6. Kulunut aika (h) Bakteerien määrä 0 80 0 60 0 0 7 7 0 0 0 6. 90 % 0,90 Pienennöksiä (kpl) Piirroksen korkeus (cm) 0,90 6,0, 0,90 6,0,06,

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut 7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut D1. a) Oletetaan, että satunnaismuuttujat X ja Y noudattavat kaksiulotteista normaalijakaumaa parametrein E(X) = 0, E(Y ) = 1, Var(X) = 1, Var(Y ) = 4 ja Cov(X,

Lisätiedot

Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma

Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma OuLUMA - Jussi Tyni OuLUMA, sivu 1 Ihastellaan muotoja Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma Luokkataso: lukio Välineet: kynä, paperia, laskin Tavoitteet: Tarkoitus on arkielämään

Lisätiedot

Ajokorttimoduuli Moduuli 2. - Laitteenkäyttö ja tiedonhallinta. Harjoitus 1

Ajokorttimoduuli Moduuli 2. - Laitteenkäyttö ja tiedonhallinta. Harjoitus 1 Ajokorttimoduuli Moduuli 2 - Laitteenkäyttö ja tiedonhallinta Harjoitus 1 Tämän harjoituksen avulla opit alustamaan levykkeesi (voit käyttää levykkeen sijasta myös USBmuistitikkua). Harjoitus tehdään Resurssienhallinnassa.

Lisätiedot

Tehnyt 9B Tarkistanut 9A

Tehnyt 9B Tarkistanut 9A Tehnyt 9B Tarkistanut 9A Kuitinmäen koulu Syksy 2006 Avaruusgeometrian soveltavia tehtäviä... 3 1. Päästäänkö uimaan?... 3 2. Mummon kahvipaketti... 3 3. Tiiliseinä... 4 4. SISUSTUSTA... 5 5. Kirkon torni...

Lisätiedot

MICROSOFT EXCEL 2010

MICROSOFT EXCEL 2010 1 MICROSOFT EXCEL 2010 Taulukkolaskentaohjelman jatkokurssin tärkeitä asioita 2 Taulukkolaskentaohjelmalla voit Käyttää tietokonetta ruutupaperin ja taskulaskimen korvaajana Laatia helposti ylläpidettäviä

Lisätiedot

Ensin klikkaa käynnistä-valikkoa ja sieltä Kaikki ohjelmat valikosta kaikki ohjelmat

Ensin klikkaa käynnistä-valikkoa ja sieltä Kaikki ohjelmat valikosta kaikki ohjelmat Microsoft Office 2010 löytyy tietokoneen käynnistä-valikosta aivan kuin kaikki muutkin tietokoneelle asennetut ohjelmat. Microsoft kansion sisältä löytyy toimisto-ohjelmistopakettiin kuuluvat eri ohjelmat,

Lisätiedot

Öljysäiliö maan alla

Öljysäiliö maan alla Kaigasniemen koulu Öljysäiliö maan alla Yläkoulun ketaava ja syventävä matematiikan tehtävä Vesa Maanselkä 009 Ostat talon jossa on öljylämmitys. Takapihalle on kaivettu maahan sylintein muotoinen öljysäiliö

Lisätiedot

4757 4h. MAGNEETTIKENTÄT

4757 4h. MAGNEETTIKENTÄT TURUN AMMATTIKORKEAKOULU TYÖOHJE 1/7 FYSIIKAN LABORATORIO V 1.6 5.014 4757 4h. MAGNEETTIKENTÄT TYÖN TAVOITE Työssä tutkitaan vitajohtimen aiheuttamaa magneettikentää. VIRTAJOHTIMEN SYNNYTTÄMÄ MAGNEETTIKENTTÄ

Lisätiedot

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö Aluksi Matematiikan käsite suora on tarkalleen sama asia kuin arkikielen suoran käsite. Vai oliko se toisinpäin? Matematiikan luonteesta johtuu, että sen soveltaja ei tyydy pelkkään suoran nimeen eikä

Lisätiedot

OP-eTraderin käyttöopas

OP-eTraderin käyttöopas OP-eTraderin käyttöopas Tämä käyttöopas on lyhennetty versio virallisesta englanninkielisestä käyttöoppaasta, joka löytyy etrader - sovelluksen Help-valikosta tai painamalla sovelluksessa F1 -näppäintä.

Lisätiedot

Luvuilla laskeminen. Esim. 1 Laske 6 21 7

Luvuilla laskeminen. Esim. 1 Laske 6 21 7 Luvuilla laskeminen TI-84 Plus käyttää laskujen suorittamiseen ns. yhtälönkäsittelyjärjestelmää (EOS TM, Equation Operating System), jonka avulla lausekkeiden syöttö tapahtuu matemaattisessa kirjoitusjärjestyksessä.

Lisätiedot

7. Resistanssi ja Ohmin laki

7. Resistanssi ja Ohmin laki Nimi: LK: SÄHKÖ-OPPI Tarmo Partanen Teoria (Muista hyödyntää sanastoa) 1. Millä nimellä kuvataan sähköisen komponentin (laitteen, johtimen) sähkön kulkua vastustavaa ominaisuutta? 2. Miten resistanssi

Lisätiedot

1. Muunna seuraavat yksiköt. Ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikan valmiuksien kilpailu. Oppilaitos:.. Koulutusala:...

1. Muunna seuraavat yksiköt. Ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikan valmiuksien kilpailu. Oppilaitos:.. Koulutusala:... MATEMATIIKAN KOE Ammatillisen koulutuksen kaikkien alojen yhteinen matematiikan valmiuksien kilpailu Nimi: Oppilaitos:.. Koulutusala:... Luokka:.. Sarjat: LAITA MERKKI OMAAN SARJAASI. Tekniikka ja liikenne:..

Lisätiedot

Ylläpitoalue - Etusivu

Ylläpitoalue - Etusivu Crasmanager 5.2 Ylläpitoalue - Etusivu Sivut osiossa sisällön selaus ja perussivujen ylläpito. Tietokannat osiossa tietokantojen ylläpito. Tiedostot osiossa kuvien ja liitetiedostojen hallinta. Työkalut

Lisätiedot

Tekstinkäsittelyn jatko Error! Use the Home tab to apply Otsikko 1 to the text that you want to appear here. KSAO Liiketalous 1

Tekstinkäsittelyn jatko Error! Use the Home tab to apply Otsikko 1 to the text that you want to appear here. KSAO Liiketalous 1 KSAO Liiketalous 1 Lomakkeet Lomake on asiakirja, joka sisältää täyttämistä ohjaavia tietoja tai merkintöjä. Wordin lomakekenttä-toiminnolla luodaan näytöllä täytettäviä lomakkeita tai tulostettavia lomakepohjia.

Lisätiedot

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö.

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö. Kappaleiden tilavuus Suorakulmainensärmiö. Tilavuus (volyymi) V = pohjan ala kertaa korkeus. Tankomaisista kappaleista puhuttaessa nimitetään korkeutta tangon pituudeksi. Pohjan ala A = b x h Korkeus (pituus)

Lisätiedot

Kenguru 2013 Cadet (8. ja 9. luokka)

Kenguru 2013 Cadet (8. ja 9. luokka) sivu 1 / 12 3 pistettä 1. Annalla on neliöistä koostuva ruutupaperiarkki. Hän leikkaa paperista ruutujen viivoja pitkin mahdollisimman monta oikeanpuoleisessa kuvassa näkyvää kuviota. Kuinka monta ruutua

Lisätiedot

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet Luento 25.11.2015 Susanna Hurme, Yliopistonlehtori, TkT Tämän päivän luento Aiemmin ollaan johdettu palkin voimatasapainoyhtälöt differentiaaligeometrisella tavalla

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot