Tutkivaa oppimista? 1 Siltanosturi

Transkriptio

1 Tutkivaa oppimista? 1 Siltanosturi Kuva 1.1: Siltanosturi. Vaunuun, jonka massa on m 1, on ripustettu (elastisella) vaijerilla massa m 2. Voima F u1 liikuttaa vaunua ja voima F u2 kelaa kuorman kannatinvaijeria sisään. Halusin kokeilla matematiikan, tietotekniikan ja mekaniikan tutkivaa oppimista. Millainen mekaniikan ongelma voisi olla riittävän mielenkiintoinen ja opettavainen ansaitakseen muutaman päivän mittaisen projektin? Mekaniikka tarjoaa järjestelmät tarjoaa hyviä matematiikan ja ohjelmoinnin harjoitustehtäviä, koska ongelmat ovat niin konkreettisia, että opiskelija voi ymmärtää, mitä on ratkaisemassa. Silti yksinkertaisenkin mekaanisen järjestelmän toiminta voi olla yllättävän monimutkaista ja siksi mielenkiintoinen ja opettavainen tutkimuskohde. Päädyin kuvan mukaiseen siltanosturiin. Tutkittavan ilmiön pitää tietysti kiinnostaa opiskelijaa. Ketä tällainen ilmiö voisi kiinnostaa? Onko ketään muuta kuin minä? No, tämä olikin tarkoitettu minulle. Tehtävän tasokin oli minulle aika lailla kohdallaan. 1

2 En onnistunut johtamaan kuvan nosturin liikeyhtälöitä Newtonin mekaniikan perusteella, mutta onneksi löysin googlaimella vinkkejä Lagrangen mekaniikasta. Webistä löysin monta esimerkkiä oikeammin samat esimerkit kopioituna eri paikkoihin Lagrangen mekaniikan soveltamisesta, mutta niissä käsiteltiin suljettuja järjestelmiä, joihin ei kohdistu ulkoisia voimia. Eräällä kysymysvastaus palstalla jopa väitettiin, että moinen ei edes ole mahdollista. Säätötekniikkaa harrastaneena minusta tuntui oudolta tarkastella järjestelmää, jota ei voi ohjata, joten jatkoin sinnikkäästi surffailua kunnes löysin artikkelin, jonka mukaisesti sisällytin ulkoiset voimat Lagrangen yhtälöön. En perehtynyt Lagrangen yhtälön johtamiseen, joten en tiedä varmaksi, onko ratkaisu matemaattisesti pätevä. Tyydyin siihen, että yhtälöiden simulointi tuotti järkevän näköisen tuloksen. Lagrangen yhtälön soveltaminen on insinöörilaskentoa, sen johtaminen ja johtamiseen perehtyminen matematiikkaa. Tällä kertaa tyydyin verryttelemään insinöörilaskentoa. Pikaisen googlailun perusteella näytti, että kukaan ei näyttänyt innostuneen opetustarkoituksessa simuloimaan nosturia tai muita esimerkkeinä käyttämiään järjestelmiä. Vaikutti siltä, että opetuksessa käytettävien esimerkkien tehtävät oli keksitty sopivasti niin, että ne saattoi ratkaista analyyttisesti, ei niin, että tulos olisi ollut ainakaan minun mielestäni mielenkiintoinen. Lisäksi vaikutti siltä, että samoja vanhoja esimerkkejä kierrätetään uudistamatta niitä vastaamaan nykyisten tietoteknisten työkalujen tarjoamia mahdollisuuksia. Minun kouluaikoinani dynaamisten järjestelmien simulointi oli mahdollista vain hyvin varustetuissa yliopistoissa ja tutkimuslaitoksissa, nyt saman voi tehdä läppärillä. Miksei siis jo lukiossa simuloitaisi järjestelmien toimintaa? Fysiikan tunneilla harjoitellaan voimien laskemista, muttei tutkita, mitä voimat voivat saada aikaan. Mielenkiintoisin osuus jää näkemättä. No, ainakin minun mielestäni mielenkiintoisin. Matematiikan kursseilla tarkastellaan differentiaaliyhtälöistä vain analyyttisesti käsityönä ratkaistavissa olevia, mikä rajoittaa sovellusesimerkit kaikkein yksinkertaisimpiin. 1.1 Siltanosturin tilayhtälön johtaminen a 1 (t) Seuraavassa a(t) tarkoittaa vektoria. a n (t) d dt a 1(t) ja ȧ(t) vektoria. d dt a n(t). [, at (t) vektoria a 1 (t) a n (t) ] 2

3 Lagrangen mekaniikan mukaisissa esimerkkiratkaisuissa neuvottiin valitsemaan koordinaatisto niin, että energioiden laskeminen on mahdollisimman helppoa. Valitsin koordinaatit niin, että x on massan m 1 liikkeen suuntainen koordinaatti, koordinaatti θ kertoo vaijerin poikkeaman pystysuunnasta ja s on vaijerin pituuden suuntainen koordinaatti. Määritetään liikeyhtälöt: Vaunun m 1 paikka: x 1 (t) Vaijerin kulma: θ(t) Vaijerin pituus: l(t) = l 0 + l s (t), missä l 0 on lepopituus ja l s (t) on jännityksen aiheuttama venymä. [ ] x 1 (t) + sin(θ(t)) l(t) Kuorman m 2 paikka: x 2 (t) = cos(θ(t)) l(t) Vaijerin jännitys: F s (t) = k s l s (t), missä k s on vaijerin jousivakio. Lagrangen mekaniikkaa sovellettaessa muodostetaan aluksi langrangen funktio L, joka on järjestelmän kineettisen ja potentiaalienergian erotus: L(x(t)) = T (x(t)) V (x(t)) L(x(t) = 1 2 ( m1 ẋ 2 1(t) + m 2 x 2 (t) T x 2 (t) ) ( 1/2 k s ls(t) 2 m 2 g cos(θ(t)) l(t) ) Langrangen mekaniikan perusyhtälö on d dt ( ) L(x(t)) ẋ(t) ( ) L(x(t)) x(t) = u(x(t), t) Missä x(t) = [x 1 (t), θ(t), l(t)] T voimavektori. ja u(x(t), t) on systeemin vaikuttava ulkoinen Nosturimme tapauksessa u(x(t), t) = F u1 (t) 0 F u2 (t) missä F u1 (t) on vaunua liikuttava voima ja F u2 (t) kuormaa vaijerin avualla nostava ja laskeva voima. Nosturin tapauksessa Langrangen mekaniikan perusyhtälö on toisen asteen differentiaaliyhtälö muuttujien x 1 (t),θ(t)ja l s (t) suhteen. Sijoittamalla 3

4 v 1 (t) = d dt x 1(t), ω(t) = d dt θ(t), v s(t) = d dt l s(t) saadaan kuuden ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälön ryhmä ż(t) = f(z(t), u(t), t). Mikäli tunnetaan z(0), järjestelmän toimintaa voidaan simuloida eli ratkaista z(t), t [0, T f ] numeerisella integroinnilla. Johdin tilayhtälöt ja suoritin simuloinnin xmaxima ohjelmistolla: xmaxima koodi ja sen tuottama hieman käsityönä editoitu Python-ohjelma optimiohjausten laskemista varten. Koodista näkee, että käsityönä tilayhtälöiden johtaminen olisi ollut ylivoimaista, mutta xmaximalla periaatteessa sangen johdonmukaista ja suoraviivaista. Käytännössä xmaximan kuten yleensä tietoteknisten työkalujen käytön opettelu vaati kuitenkin aikaa ja sinnikkyyttä varsinkin kun yritin tehdä mahdollisimman eleganttia ja yleispätevää koodia. Quick-anddirty ohjelmointi tuottaa helposti virheitä ja koodia, jota on työläs muokata ja uudelleenkäyttää. Minulta vei paljon aikaa selvittää, miten plotata järkevästi simuloinnin tulos. Jos tämän tapaisia projekteja käytetään opetuksessa, ohjaajan on hyvä osata auttaa opiskelijoita välttämään toisarvoisten ongelmien kanssa takkuaminen. 1.2 Siltanosturin toiminnan tutkiminen Järjestelmän simulointi Jos järjestelmän ẋ(t) = f(x(t), u(t), t) alkutila x(0) ja ohjaukset u(t) tunnetaan saadaan alkuarvotehtävä, josta x(t) voidaan ratkaista numeerisesti integroimalla. u(t) voidaan antaa yksinkertaisesti ajan funktiona tai laskea se järjestelmän tilan funktiona käyttää takaisinkytkettyä säätöä. Seuraavassa on tutkittu kolmen erilaisen nosturin toimintaa: Nosturi, jonka ripustusvaijeri on vakiomittainen jolloin ainoa ohjaus on nosturin vaunua liikuttava voima. Kuten edellinen, mutta ripustusvaijeri on elastinen. Esimerkissä vaijeri on kimmoisuudeltaan kuin benji-köysi, jotta elastisuuden vaikutus tulisi paremmin esille. Nosturi, jonka kuormaa voidaan nostaa ja laskea muuttamalla ripustusvaijerin pituutta. 4

5 Kuva 1.2: Vakiomittainen nostovaijeri: Vaunu on nykäisty liikkeelle ja hetken kuluttua jarruteltu sitä Kuva 1.3: Vakiomittainen nostovaijeri Kuva 1.4: Elastinen nostovaijeri: 5

6 Kuva 1.5: Elastinen nostovaijeri Kuva 1.6: Elastinen nostovaijeri Kuva 1.7: Säädettäväpituinen ripustusvaijeri. Ohjausvoima 2 on kannatusvoiman poikkeama massan m2 painosta. 6

7 Kuva 1.8: Säädettäväpituinen ripustusvaijeri Kuva 1.9: Säädettäväpituinen ripustusvaijeri Kuva 1.10: Säädettäväpituinen nostovaijeri: Kannatinvaijerin paikka ja asento eri ajan hetkinä. Janan yläpää osoittaa vaunun aseman tietyllä hetkellä ja janan alapää kuorman aseman samalla hetkellä. Jätän myöhemmäksi harjoitukseksi Optimiohjauksen laskeminen Järjestelmälle ẋ(t) = f(x(t), u(t), t) voidaan ratkaista kustannuksen 7

8 ˆ Tf J = g f (x(t f )) + g(x(t), u(t), t)dt 0 minimoiva ohjaus u(t), t [0, T f ] Pontryaginin minimiperiaatteella. Siltanosturiesimerkissä g(x(t), u(t), t) = Fu1 2 + Fu2 2 ja g f (x(t f )) = x ] T f C x f missä x T f = xt (T f ) [0 0 0 x 1f 0 s f ja C lopputilan poikkeaman painotusten diagonaalimatriisi. Optimointikriteeri siis sakottaa ohjausvoiman käytöstä ja siitä, että lopputila poikkeaa tavoitellusta. Integroitava kustannus voisi myös olla 1 ja systeemi voitaisiin vaatia vietäväksi tarkalleen haluttuun lopputilaan, jolloin minimoitaisiin lopputilan saavuttamiseen kuluvaa aikaa. Arvelin kuitenkin tuollaisen minimiaikatehtävän numeerisesti vaikeammaksi ratkaista, joten jätin sen lisährjoitukseksi. Optimiohjausta laskettaessa määritellään aluksi Hamiltonin funktio H(x(t), λ(t), u(t), t) = λ T (t) f(x(t), u(t), t) + g(x(t), u(t), t) Pontryaginin miniperiaatteen mukaan optimitrajektorilla H on pienimmillään, eli optimiohjaus saadaan minimoimalla H u:n suhteen. Lisäksi optimitrajektorilla pätee λ(t) = H(x(t), λ(t), u(t), t) = h(x(t), λ(t), u(t), t) x(t) Minimiperiaate antaa ongelmasta riippuen käyttökelpoisia lisäehtoja H:lle ja λ(t f ):lle. Esimerkkissä pätee λ(t f ) = g f (x(t f )) x(t) Minimiperiaate johtaa kahden pisteen reuna-arvotehtävään: Pitää ratkaista ẋ(t) = f(x(t), u(t), t) ja λ(t) = h(x(t), λ(t), u(t), t) kun tiedetään x(0) ja optimointitehtävästä riippuen joko x(t f ) tai λ(t f ). Optimointitehtävän ratkaisemiseen tarvittavien yhtälöiden johtaminen oli xmaximalla yhtä johdonmukaista ja suoraviivaista kuin järjestelmän tilayhtälöiden johtaminenkin. xmaximassa ei tarjoa algoritmin kahden pisteen reuna-arvotehtävän ratkaisemiseen, mutta xmaximalla oli helppo generoida Python-ohjelma ja ratkaista tehtävä Pythonin scikits.pvb_solver modulilla. 8

9 Kuva 1.11: Vakiomittainen nostovaijeri: Vaunu on nykäisty liikkeelle ja hetken kuluttua jarruteltu sitä Kuva 1.12: Vakiomittainen nostovaijeri Kuva 1.13: Elastinen nostovaijeri 9

10 Kuva 1.14: Elastinen nostovaijeri Kuva 1.15: Elastinen nostovaijeri Kuva 1.16: Elastinen nostovaijeri, hidas ajo 10

11 Kuva 1.17: Elastinen nostovaijeri, hidas ajo Kuva 1.18: Elastinen nostovaijeri, hidas ajo Kuva 1.19: Säädettäväpituinen ripustusvaijeri 11

12 Kuva 1.20: Säädettäväpituinen ripustusvaijeri Kuva 1.21: Säädettäväpituinen ripustusvaijeri 1.3 Lisäharjoituksia Ilmanvastuksen huomioiminen Koska nosturiesimerkkini ei muutenkaan ole kovin realistinen tilayhtälöihin voisi vielä lisätä kuorman nopeuden neliöön verrannollisen ilmanvastuksen aiheuttaman voiman. Tehtävä saattaa olla sangen mielenkiintoinen, koska ilmanvastus on luontevinta laskea xy-koordinaatistossa eikä tilayhtälön johtamiseen käyttämässäni koordinaatistossa. Ilmanvastuksen huomioonottaminen jäikin lisätehtäväksi, koska se näytti vaativan ikävähkön koordinaatistomuutoksen Heuristinen säätö Nosturille voi yrittää kehitellä säätöalgoritmeja, jotka siirtävät kuormaa tietyn matkan ja pysäyttävät sen elegantisti. 12

13 1.3.3 Nosturin animaatio Ylläpiirretyt kuvaajat eivät ainakaan tottumattomalle havainnollista kovin hyvin järjestelmän dynamiikka. Järjestelmän toimintaa olisi hieno animoida niin, että ruudulla liikkuvaa nosturia voisi ohjata muuttelemalla ohjausvoimaa vaikka nuolinäppäimillä. Samalla ohjelmalla pitäisi tietysti voida animoida ylläesitettyjen simulointien tulokset Vuoristorata En perehtynyt kunnolla Lagrangen mekaniikan tarjoamiin mahdollisuuksiin, mutta minulle jäi vaikutelma, että Lagrangen yhtälöä voi täydentää tilarajoituksia kuvaavilla yhtälöillä. Esimerkissäni siltanosturin vaunu kulkee pitkin vaakasuoraa kiskoa. Tieto siitä, että vaunun korkeus referenssitasosta y 1 (t) = 0 on otettu huomioon liikeenergian lausekkeessa ja samasta syystä vaunun potentiaalienergiaa ei ole yhtälössä lainkaan. Vaunun potentiaali- ja liike-energialle olisi kuitenkin voinut kirjoittaa yleiset yhtälöt ja kertoa kiskon reitti erillisellä rajoitusyhtälöllä y 1 (t) = 0. Yleisesti kiskon reitin voisi kuvata rajoitusyhtälöllä p(x 1 (t), y 1 (t), z 1 (t) = 0. Kiskon muotoa kuvaava funktio p voisi olla muutaman annetun pisteen kautta kulkemaan sovitettu polynomi, splini-käyrä tai muu vastaava. Kolmiulotteinen tehtävä antaisi muun ohella mahdollisuuden harjoitella kolmiulotteisten liikeratojen visualisointia ja 3D-animaatiota. Siltanosturista saisi hauskan laitteen huvipuistoon, jos vaunun kiskon vääntäisi mutkille ylös ja alas, oikealle ja vasemmalle. Kuorma olisi adrenaliinihakuisille huvittelijoille tarkoitettu matkustajakori tai yksittäinen huvittelija benji-köyden varassa. Opiskelijoilta vaadittavat esitiedot, ohjaajan rooli Tällaisen projektin avulla oppimisen idea on, että matemaattisia ja fysikaalisia perusteita ei opiskella perusteellisesti etukäteen vaan tarkastellaan niitä tarvittavilta osin projektin kuluessa ja perehdytään teorioihin kunnolla vasta kun on kokeiltu niitä ensin käytännössä. Onkohan tällainen mahdollista? Aivan kaikkea tarvittavaa fysiikkaa ja matematiikkaa ei tietenkään voi opiskella projektin kuluessa, ellei halua projektin kestävän vuosia. Mitkä olisivat välttämättömät esitiedot, joita tämän tyyppiseen projektiin osallistuvilla opiskelijoilla pitäisi olla? 13

14 Derivaatasta opiskelijoilla pitäisi olla jonkinmoinen käsitys, mutta tehtävän vaatiman derivoinnin voi jättää xmaximalle. Tällaista tehtävää ei edes voi ratkaista käsityönä varsinkaan, kun laskennan joutuu uusimaan monta kertaa ennen kuin saa lähtöyhtälöissä kaiken kohdalleen. Opiskelijan pitäisi ymmärtää, mitä ovat vektori, voima ja energia tai ne pitää esitellä harjoituksen aluksi. Ohjaajan pitäisi esitellä tarvittavilta osin xmaximan käyttöä muutamalla sopivalla pienellä harjoituksella. Mikäli projektin tavoitteena ei ole oppia xmaxima ohjelmointia, xmaxima-algoritmista voisi tehdä niin valmiin, että järjestelmän potentiaali- ja liike-energian lausekkeiden ja mahdollisten lisärajoitusten koodaamisen jälkeen loppu hoituisi napinpainalluksella. Ohjaajan olisi hyvä perehtyä Lagrangen mekaniikan ja Pontryaginin minimiperiaatteen johtamiseen sen varmistamiseksi, ettei googlaamalla haettuja reseptejä tule sovellettua väärin. (Toivottavasti minä en sortunut moiseen.) xmaxima tai muu käytettävä työkalu ratkaisee alkuarvotehtävän siitä riippumatta, ymmärtääkö opiskelija, mitä on numeerinen integrointi. Silti lienee hyvä selittää numeerisen integroinnin periaate ja saattaa opiskelija siitä itsekin kiinnostua. Käyttämäni Runge-Kutta vaatii käyttäjää antamaan integrointiaskelen, joten sen merkityksestä on hyvä jotain ymmärtää. Harjoituksen kuluessa kannattaa tietysti kokeilla, mitä integrointiaskelen muuttaminen vaikuttaa tulokseen. Järjestelmän animointia varten pitäisi opetella graafista ohjelmointia esimerkiksi Pythonilla. Opiskelijoilta tämä edellyttäisi jonkin verran kokemusta ohjelmoinnista. Ohjaajan pitäisi etukäteen ohjelmoida esimerkkiohjelma tai vähintään etsiä malliksi sopiva ohjelma. Pythonin manuaalissa näytti olevan jonkimmoisen pelimoottorin runko, jossa pyöriteltiin jotain kappaletta. Aikani ei kuitenkaan riittänyt Pythonin grafiikkaolioihin perehtymiseen. Ilman aiempaa Python grafiikkaohjelmoinnin kokemusta en äkkiseltään edes ymmärtänyt esimerkkiä. Tietotekniikan osaamiseen toisaalta kuuluu nimenomaan tällaisten ongelmien ratkaiseminen. On kyettävä nopeasti perehtymään johonkin uuteen ilman, että kukaan on kädestä pitäen opastamassa ja ilman, että ehtii mennä kurssille, vaikka sellainen sattuisikin olemaan tarjolla. Yksittäisellä opettajalla tuskin on riittävästi aikaa ahertaa tällaisten projektin valmistelun parissa varsinkaan kun ei ehkä ole mielekästä toistaa samaa harjoitusta vuodesta toiseen. Tämän tyyppistä tutkivaa oppimista pitäisi harrastaa yhteisön turvin, jossa voisi olla mukana opettajien lisäksi opinnäytetöitään tekeviä yliopisto-opiskelijoita ja ehkä jopa yrityksiä. 14

15 Kaikkea tällaista yhteistyötä tosin taitaa jo olla olemassa. Mitä harjoituksesta opittaisiin? Opiskelija saattaisi kysyä: Mitä käytännön hyöytyä tästä on? Mikä tarkoittanee sitä, että harjoitus ei kiinnostanut eikä vaikuttanut edes hyödylliseltä. Turha tällaista projektia olisi opiskelijoille väkisin tyrkyttää. Mikäli opiskelijat ryhtyisivät työhön innolla, projekti antaisi käsityksen differentiaaliyhtälöistä; aavistuksen siitä, mitä fysikaalisen mallinnus on; käsityksen tietoteknisten työkalujen mahdollisuuksista ja ehkä joissakin opiskelijoissa jopa herättäisi kiinnostuksen niihin. Ohjelmointiin on hyvä saada tuntuma ja Maximaan ja Pythoniin tutustuminen palvelee sitä tarkoitusta. Käytin siltanosturia esimerkkinä ja tavoittelin sen optimiohjauksen laskemista, koska itse kauan sitten innostuin moisista ongelmista. Esimerkin valinta ei siis perustu syvälliseen analyysiin tulevaisuuden osaamistarpeista. Ei niistä edes voi tietää kovin paljoa, turha edes yrittää arvailla kovin tarkkaan. Muuten olen sitä mieltä, että tietoteknisten menetelmien soveltamista pitää olla mahdollista opiskella koulun matematiikan ja fysiikan kursseilla. Näin on kaiketi tapahtumassakin, mutta nyt pitäisi alkaa kokeilla, mihin suuntaan ja kuinka paljon kirjojen tehtäväkokoelmaa ja ylioppilaskokeita pitää muuttaa. Tämän tapaiset harjoitukset opettavat opettelemaan taitoja, ottamaan selvää asioista ja soveltamaan tietojaan. Mikäli harjoituksen tavoitetta ja toteutusta ei määritellä liian tarkkaan etukäteen, se jättää tilaa luovuudelle ja innovatiivisuudelle. Tällainen projekti on tilaisuus harjoitella tehokkaita työtapoja ja aikaansaamista. Koska harjoitus kannattaa toteuttaa ryhmätyönä, se opettaa yhdessä ideoimisen ja aikaansaamisen taitoja. Mitä minä itse opin? Aikaa kului todella paljon, vaikka joten vähän vastaavaa olen tehnyt ennenkin. Ehkä lähdin liian hosuen kokeiluun sitä sun tätä. Huolellisemmalla perusteisiin perehtymisellä ja perusteellisemmalla harkinnalla hanke olisi saattanut edetä tehokkaammin. Jouduin googlailemaan esimerkkiä ulkoisten voimien sovittamisesta Lagrangen mekaniikkaan. Jos olisin perehtynyt teoriaan, olisin selviytynyt ilman valmista esimerkkiä. Monelta huolimattomuusvirheeltä olisin voinut välttyä, jos olisin malttanut miettiä kirjoittamieni yhtälöiden ja algoritmien perusteet. 15

16 Opiskeluaikoina funktionaalianalyysi variaatiolaskentoineen tuntui turhanpäiväiseltä. Nyt haluaisin siihen perehtyä. Matemaattisille asioille on täsmällinen matemaattinen todistus, mutta se ei tunnu minua auttavan. Minun pitää saada matemaattisista tuloksista intuitiivinen käsitys, tuntuma siihen, mitä ne tarkoittavat käytännössä. 16