Kuvalähdemenetelmä. Paul Kemppi TKK, Tietoliikenneohjelmistojen ja Multimedian Laboratorio. Tiivistelmä
|
|
- Kirsti Tarja Mäki
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Kuvalähdemenetelmä Paul Kemppi TKK, Tietoliikenneohjelmistojen ja Multimedian Laboratorio Tiivistelmä Tämä paperi käsittelee huoneakustiikan mallinnuksessa yleisesti käytetyn kuvalähdemenetelmän toimintaperiaatteita, sovelluksia ja rajoituksia. Kuvalähdemenetelmän avulla voidaan mallintaa mielivaltaisen muotoisen tilan impulssivaste yksinkertaistamalla tila äärelliseksi määräksi tasopintoja ja muodostamalla virtuaalikuvalähteet näiden tasopintojen suhteen. Kuvalähdemenetelmän merkittävin rajoitus on sen vaatiman laskenta-ajan voimakas kasvu heijastuskertaluvun funktiona. Tämän vuoksi kuvalähdemenetelmän rinnalla impulssivastetta muodostettaessa käytetään usein muita menetelmiä myöhäisten heijastusten ja jälkikaiunnan mallintamiseen. 1 JOHDANTO Kuvalähdemenetelmä on sädeakustiikkaan pohjautuva menetelmä, jolla kyetään mallintamaan tarkasti suoran äänen ja varhaisten heijastusten vaikutus syntyvään äänikenttään. Menetelmän soveltuvuutta on kehitetty yksinkertaisen suorakaiteen muotoisen huoneen käsittelystä (Allen et al., 1978) mielivaltaisen monitahokkaan virtuaalilähteiden laskemiseen (Borish, 1984). Laskenta-ajan vähentämiseksi on kehitetty myös menetelmä alemman kertaluvun heijastuksista laskettujen tuloksien ekstrapoloimiseksi mallintamaan korkeamman asteen heijastuksia (Kristiansen et al., 1992). Kuvalähdemenetelmän avulla kyetään mallintamaan vain peilikuvaheijastuksina etenevän äänen energian jakautuminen. Heijastuspinnan epätasaisuuden aiheuttamaa sirontaa voidaan kuitenkin mallintaa lisäämällä kuvalähdemenetelmän avulla saatuun impulssivasteeseen diffuusi taustasignaali (Heinz, 1992). Paperin alussa käsitellään kuvalähdemenetelmän yleiset perusteet, jonka jälkeen esitetään kuvalähteiden muodostamiseen ja näkyvyystarkasteluihin liittyvät vaiheet. Tämän lisäksi esitellään keino ekstrapoloida kuvalähdemenetelmän avulla laskettuja tuloksia korkeamman asteen heijastuksille. Loppuosassa käsitellään kuvalähdemenetelmän soveltamista impulssivasteen muodostamisessa, erimuotoisten tilojen akustiikan vertailussa sekä säteenseurantamenetelmän analysoimisessa. 1
2 2 MENETELMÄN PERUSTEET Kuvalähdemenetelmä kuuluu fysikaalisiin mallinnusmenetelmiin ja on perusteltavissa keinona täyttää reunaehto rajapinnalla. Menetelmässä äänen aallonpituuden oletetaan olevan lähdes nolla, jolloin ääntä voidaan käsitellä valon tavoin energian säteittäisenä etenemisenä. Mallinnettavan tilan rajapinnoissa tapahtuvat heijastukset voidaan tällöin olettaa noudattavan peiliheijastuslakia. Äänen aallonpituuden olettaminen lähes nollaksi johtaa siihen, että äänen aaltoluonne jää huomiotta. Tämän vuoksi kuvalähdemenetelmän avulla ei voida mallintaa äänen diffraktoitumista eli ilmiötä, jossa ääniaalto kaartuu esteen taakse kulkiessaan sen ohi. Kuvalähdemenetelmä ei myöskään ota huomioon äänen siroamista epätasaisista heijastuspinnoista eli diffuusiota. Tapauksissa, jossa äänen aallonpituus on suuri verrattuna mallinnettavan tilan pintojen epätasaisuuteen, mutta pieni verrattuna tilan pinta-alaan, on tehty oletus kuitenkin suhteellisen pätevä. 3 KUVALÄHTEIDEN MUODOSTAMINEN Kuvalähteet muodostetaan peilaamalla alkuperäinen äänilähde jokaisen tilaa rajaavan tason kanssa. Näin saadut kuvalähteet peilataan edelleen, jolloin tuloksena saadaan toisen asteen kuvalähteet. Tällä periaatteella jatketaan, kunnes ollaan saatu muodostettua haluttu määrä kuvalähteitä. Muodostettavien kuvalähteiden määrää rajoittavia ehtoja käsitellään tarkemmin luvussa 2. Kuvassa 1 on esitetty suorakaiteen muotoisen kaksiulotteisen huoneen lähteen kaikki neljä ensimmäisen asteen kuvalähdettä. Kuva 1. Ensimmäisen asteen kuvalähteet. Mielivaltaisen muotoisen heijastavan tasopinnan ja lähdepisteen koordinaattien pohjalta voidaan kuvalähteen koordinaattipisteet määrittää yksikertaisella vektorilaskulla. Olkoon nˆ heijastavaa tasoa kohtisuorasti vastaan osoittava suuntavektori ja p origon etäisyys heijastustasoon. Kuvasta 2 voidaan helposti nähdä, että kuvalähteeseen päädytään kulkemalla alkuperäisestä lähdepisteestä 2d pituinen matka heijastustasoa vastaan kohtisuoraa janaa pitkin. Alkuperäisen lähteen etäisyys heijastustasosta on täten d p P nˆ, (1) ja vektori origosta kuvalähdepisteeseen R P 2dnˆ. (2) 2
3 Kuva 2. Kuvalähteen koordinaattivektori R saadaan laskemalla ensin lähteen etäisyys d heijastusrajapinnasta. 4 NÄKYVYYSTARKASTELUT Edellisessä luvussa käsiteltiin laskuperiaate, jonka avulla mielivaltaiselle monitahokkaalle voidaan laskea kuvalähdepisteiden paikkakoordinaatit. Jos laskettujen heijastusten määrä on N ja heijastuspintojen lukumäärä M, niin mahdollisia kuvalähteitä on yhteensä 1 M ( M 1) N. Näin saatu kuvalähteiden määrä on kuitenkin hyvin epärealistinen, koska siinä ei ole huomioitu vielä mitenkään tarkasteltavan tilan geometriaa. Kuvalähteet voidaan esittää puurakenteena, jossa jokainen kerros vastaa yhtä uutta heijastusastetta (Kuva 3) Kuva 3.M -heijastuspintaisen huoneen kaikki kuvalähteet puurakenteena. Kuvalähteet 1,1 ja M,1 voidaan hylätä suoraan. Jokaisen heijastuksen käänteisheijastuksen voidaan luonnollisesti hylätä suoraan. Jäljelle jääneistä kuvalähteistä osa karsiutuu edelleen pois, sillä kuvalähdepisteiden tulee toteuttaa kolme kriteeriä. Ensimmäinen kriteeri on oikeellisuus (validity). Kriteerin mukaan kaikki 3
4 sellaiset kuvalähdepisteet, jotka on muodostettu peilaamalla kuvalähdepiste tarkasteltavan tilan rajapinnan ulkopuolelta pinnan sisäpuolelle, mitätöidään. Kuten Borish (1984, s. 1828) on esittänyt julkaisussaan, rajapintojen voidaan ajatella olevan peilejä, joiden heijastava pinta osoittaa huoneen sisäpuolelle. Tällöin ainoastaan ne kuvalähdepisteet, jotka saadaan peilaamalla toinen kuvalähde peilin heijastavalta puolelta rajapinnan ulkopuolelle, toteuttavat oikeellisuusehdon. Kuvassa 4 pisteet P1 ja P2 toteuttavat oikeellisuuskriteerin, mutta piste P3 ei, sillä se on peilautunut pisteestä P2, joka sijaitsee 2. rajapinnan heijastamattomalla puolella. Kuva 4. Virtuaalisista kuvalähdepisteistä P1 ja P2 täyttävät oikeellisuuskriteerin. Toinen kriteeri on läheisyys (proximity). Tällä tarkoitetaan kuvalähdepisteiden määrän rajoittamista perustuen muodostetun kuvalähteen ja havainnointipisteen väliseen etäisyyteen. Toisin sanoen kaikki ne kuvalähteet, jotka sijaitsevat määritettyä maksimietäisyyttä kauempana, hylätään. Samalla myös kyseisen kuvalähteen jälkeläisinä muodostetut kuvalähdepisteet voidaan jättää tarkastelun ulkopuolelle, koska niiden etäisyys havainnointipisteestä on automaattisesti isäsolmuna toimivan pisteen etäisyyttä suurempi ja ylittää siten määritetyn maksimietäisyyden. Kolmantena kriteerinä on näkyvyys (visibility), joka kaksiulotteisessa tarkastelussa tarkoittaa sitä, että havainnointipisteen täytyy sijaita peilikuvalähteen ja peilauksessa käytetyn rajapinnan reunapisteiden välille muodostetussa näkyvyyskeilassa. Kuvassa 5 havainnointipisteen A suhteen peilikuvalähde toteuttaa näkyvyyskriteerin, mutta pisteen B kohdalla peilikuvalähde hylättäisiin. Kuva 5. Peilikuvalähteen näkyvyyskeila. Lähteen A suhteen kuvalähde toteuttaa näkyvyyskriteerin. 4
5 Kolmiulotteisessa mallissa näkyvyystarkastelu muuttuu niin, että peilikuvalähteestä piirretään yhdysjana tarkastelupisteeseen ja jos kyseinen jana leikkaa rajapinnan suuntaisen tason tasoalueen sisäpuolella, toteuttaa piste näkyvyyskriteerin. Matemaattisesti sama tarkastelu voidaan tehdä muodostamalla yhdysjanan ja rajapintatason leikkauspisteestä vektorit tasoalueen kulmapisteisiin ja laskemalla näiden vektorien ristitulot. Jos kaikkien ristitulojen antamat vektorit osoittavat samaan suuntaan, jana leikkaa tason ja siten näkyvyyskriteeri täyttyy. Jos taas yhdenkin vektoritulon tuottama vektori osoittaa päinvastaiseen suuntaan kuin muut tulosvektorit, jana ei leikkaa tasoaluetta ja siten tarkastelussa ollut kuvalähde voidaan hylätä. Kuvassa 6 on esitetty kahdesta kuvalähteestä tarkastelupisteeseen muodostetut yhdysjanat. Huomataan, että ristitulo v 1 v osoittaa päinvastaiseen suuntaan, kuin tulo 2 v 2 v 3, joten kuvalähde P1 ei toteuta näkyvyyskriteeriä. Toisen kuvalähteen kohdalla tilanne on toisaalta se, kaikkien vektorien t1 t2, t2 t3,..., t5 t6 väliset ristitulot osoittavat samaan suuntaan ja siten P2 toteuttaa näkyvyyskriteerin. Kuva 6. Näkyvyystarkastelu kuvalähteiden P1 ja P2 osalta. Edellä mainittu menetelmä näkyvyystarkastelun suorittamiseen ei kuitenkaan ole riittävä, jos tasopinta käsittää yli 180 asteen kulmia. Tällöin kuulijasta kuvalähdepisteisiin piirrettyjen vektorien välinen ristitulo saattaa tuottaa keskenään erisuuntaisia vektoreita siitä huolimatta, että yhdysjanan ja tason leikkauspiste sijaitsisi tasoalueen sisäpuolella. Tällöin tarvitaan lisätarkastelu, jossa summataan tason kulmapisteisiin piirrettyjen vektorien väliset kulmat. Jos näiden kulmien summa on 2, leikkauspiste on tason reunojen sisäpuolella. Jos taas summaksi saadaan 0, leikkauspiste on tasonalueen reunojen ulkopuolella. Mainittakoon vielä, että näkyvyystarkastelun tekemiseen on tarjolla muitakin algoritmeja, kuten yhdistetty säteenseuranta/kuvalähdealgoritmi. Lisäksi on joudutaan vielä erikseen suorittamaan katvealueiden tarkastelu jokaiselle kuulijan ja virtuaalilähteen välisen polun segmentille. Ne virtuaalilähteet, joista kuulijapisteeseen 5
6 vedetty jana leikkaa katveen muodostavan tason, hylätään. Koska katvealuetarkastelu aiheuttaa lisää kompleksisuutta ja siten kasvattaa laskenta-aikaa, potentiaalisesti katvealueen muodostavat tasot merkitään erikseen ylös ja siten voidaan rajoittaa niiden pintojen määrää, joille katvetarkastelu suoritetaan. Kuvassa 7 on esimerkki yli 180 asteen kulman aiheuttamasta katvealueesta. Kuten kuva osoittaa, kuvalähteen ja havainnointipisteen välinen estepinta aiheuttaa heijastuksen aivan kuten muutkin tilan pinnat ja siten uusi kuvalähdepiste muodostetaan myös esteen aiheuttaman pinnan suhteen. Kuva 7. Yli 180 asteen kulma aiheuttaa simuloitavaan tilaan katvealueen. Koska kuvalähteiden muodostaminen näkyvyystarkasteluineen kasvattaa laskenta-aikaa heijastuskertaluvun kuutiona, on kehitetty ekstrapolointimenetelmiä korkeamman asteen virtuaalilähteiden mallintamiseksi alemman kertaluvun virtuaalilähteiden pohjalta. Yksi vaihtoehto on olettaa, että ensimmäisten N heijastuksen jälkeen jäljellä oleva energia on diffuusia ja tämän oletuksen pohjalta korvata heijastukset N 1 lähtien tilastollisilla menetelmillä luodulla jälkikaiunnalla. Toisena vaihtoehtona on olettaa heijastusten jatkuvan peilikuvaheijastuksina ja muodostaa kuvalähteet ekstrapoloimalla jo laskettuja varhaisempia heijastuksia. Kristiansen et al. (1992, s. 201) tutki ekstrapolointimenetelmän toimivuutta yksinkertaisen suorakulmaisen huoneen tapauksessa. Kuuden varhaisimman heijastusasteen perusteella muodostettiin ekstrapolointifunktiot näkyvien kuvalähteiden määrälle ja kuvalähteiden keskimääräiselle etäisyydelle. Tämän jälkeen samalle huoneelle ekstrapolointimenetelmällä approksimoitujen kuvalähteiden tarkat sijainnit tietokoneella (Allen et al., 1978). Verrattaessa ekstrapolointimenetelmällä saatuja tuloksia tarkasti laskettuihin arvoihin huomattiin, että niiden korreloivat hyvin keskenään. 5 SOVELLUKSET Kuvalähdemenetelmän pääasiallinen käyttötarkoitus on erilaisten konserttisalien akustisen tilavaikutelman mallinnus laskettujen virtuaalilähteiden pohjalta muodostetun impulssivasteen perusteella. Menetelmää kuitenkin käytetään myös mm. erimuotoisen tilojen akustisten ominaisuuksien vertailuun ja toisten akustisten mallinnusmenetelmien analysointiin. Kuvalähdemenetelmän heikkoutena on, että se ottaa huomioon vain peilimäiset heijastukset. Heijastuspintojen epätasaisuudesta johtuva äänen sironta jää tarkastelun ulkopuolelle. Lisäksi kuvalähdemenetelmä ei myöskään sovellu jälkikaiunnan 6
7 mallintamiseen, sillä heijastusten kertaluvun kasvaessa muodostettavien kuvalähteiden määrä kasvaa heijastustasojen kuutiona. Tästä johtuen laskenta-aika kasvaa nopeasti liian suureksi ja toisaalta kuvalähdemenetelmä on turhan pikkutarkka jälkikaiunnan mallinnukseen. Jälkikaiunta onkin järkevämpää muodostaa erikseen käyttäen apuna tilastollisia menetelmiä. 5.1 Impulssivasteen muodostaminen kuvalähteiden perusteella Jotta voidaan tuottaa vaikutelma siitä, että ääni on tuotettu simuloitavassa tilassa, täytyy väritön äänisignaali konvoloida tilan impulssivasteen kanssa. Kuvalähdemenetelmän avulla muodostetut virtuaalilähteiden sijainnit voidaan konvertoida impulssivasteeksi melko suoraviivaisesti. Ensin lasketaan suoran äänisignaalin viive, joka aiheutuu äänilähteen ja kuulijan välisestä etäisyydestä kaavalla vs0 l t 0, (4) c missä vektorit vs 0 ja l osoittavat lähteen ja kuulijan sijainnin sekä c äänennopeuden. Koska kuulijan on mahdotonta havaita suoran äänen viivettä pelkän kuuloaistinsa avulla, kaikkia myöhemmin saapuneita heijastuksia verrataan suoran äänen saapumisaikaan. Heijastuneiden signaalien saapumisajat lasketaan täten kaavalla missä vs i l i t0, i 0, (5) c vs i on paikkavektori i :teen virtuaalilähteeseen. Saapumisaikojen lisäksi viivästyneille äänisignaaleille on laskettava myös niiden amplitudit. Kuvalähdemenetelmän yhteydessä otetaan huomioon kolme vaimennusta aiheuttavaa tekijää. Ensimmäinen tekijä on äänipainetason riippuminen äänisignaalin kulkemasta matkasta. Oletuksena on yleensä, että äänilähde on pistemäinen ja siten se tuottaa pallomaisia ääniaaltorintamia. Toinen tekijä on äänienergian absorboituminen heijastusrajapinnoissa ja kolmas väliaineen eli ilman aiheuttama vaimennus. Näiden kahden tekijän perusteella viivästyneille äänisignaaleille voidaan laskea suoran äänen amplitudiin verrannollinen voimakkuus kaavalla R0 g i j, (6) R i j S missä R i on etäisyys kuulijan ja i :en virtuaalilähteen välillä, S on kuulijan ja lähteen välillä olevien heijastuspintojen lukumäärä ja j on j :en heijastuspinnan heijastuskerroin. Lisäksi voidaan myös ottaa huomioon ilman absorboiva vaikutus äänienergiaan lisäämällä 0.5 mr i eksponenttitermi, missä m on ilman absorbointivakio. e Kuten jo aiemmin mainittiin, kuvalähdemenetelmällä ei kyetä mallintamaan äänen sirontaa. Lopullisen impulssivasteen todenmukaisuuden kannalta äänen diffuusilla osalla 7
8 on kuitenkin merkitystä. Heinz (1992, s. 147) on esittänyt menetelmän, jolla hieman modifioituun kuvalähdemenetelmään lisätään diffuusi taustasignaali. Menetelmä perustuu siihen, että karkeista pinnoista aiheutuvan diffuusin sironnan voidaan olettaa olevan suunnaltaan satunnaisesti jakautunutta. Sironnan estimointiin käytetään äänipartikkelin seurantamenetelmää alhaisella aikaresoluutiolla. Menetelmässä äänipartikkelin reittiä jäljitetään siten, että aina heijastuspintaan osuessaan partikkelin energiaa skaalataan termillä 1 a, missä a on heijastuspinnan absorbointivakio kyseisellä taajuusalueella. Kuulijapisteen ympärillä ajatellaan olevan pallomainen esim. 1m halkaisijaltaan oleva vastaanottopinta. Pintaan törmänneiden hiukkasten pohjalta muodostetaan diffuusin äänienergian tehospektri, johon kohdistetaan Poisson prosessi. Tuloksena saadaan sarja Dirac pulsseja, jotka ovat Poisson jakautuneet aika-akselille. Jotta diffuusi taustasignaali vastaisi mahdollisimman hyvin todellisuudessa havaittavaa äänisignaalin sironnasta aiheutuvaa osuutta, Dirac pulssit vielä konvoloidaan HRTF siirtofunktion kanssa. 5.2 Erimuotoisten tilojen akustiikan vertailu kuvalähdemenetelmän avulla Impulssivasteen muodostamisen lisäksi kuvalähdemenetelmää voidaan käyttää suoraan erimuotoisten tilojen akustisten ominaisuuksien vertailemiseen. Vertailussa käytetään hyväksi kuvalähdepisteiden sijainneista muodostettua kuvaajaa. Kuvaaja voi olla projisioitu kolmiulotteinen näkymä kuvalähdepisteiden sijainnista. Kuvalähdepisteen voidaan myös esittää pelkästään kulman funktiona kaksiulotteisessa koordinaatistossa, jolloin virtuaalilähteen amplitudi esitetään esimerkiksi kuvalähteitä esittävien rastien suuruudella (Kuva 8). Kuva 8. Kuvalähdepisteitä esitettynä kulmakoordinaastistossa Kolmas tapa esittää kuvalähdepisteiden sijainti ja voimakkuus on käyttää polaarikoordinaatistoa (Kuva 9), jossa kulma 0 osoittaa todellisen lähteen suuntaan ja virtuaalilähteet on esitetty tarkkailupisteestä lähtevillä janoilla. Janan pituus ilmoittaa vain vastaavan virtuaalilähteen suhteellisen amplitudin, joten elevaatioinfo häviää. 8
9 Kuva 9. Kuvalähdepisteitä esitettynä polaarikoordinaatistossa. Kuvalähdepisteiden sijaintien ja voimakkuuksien perusteella voidaan siis myös päätellä miten esimerkiksi konserttisalin muoto vaikuttaa tilavaikutelman syntymiseen. Borish (1984, s. 1833) vertaili suorakaiteen muotoisen, viuhkan sekä käänteisen viuhkan muotoisten salien kuvalähteiden sijoittumista (Kuva 10). Vertailussa havaittiin, että suorakaiteen muotoisen salin kuvalähdepisteet asettautuivat suoriin riveihin salin etu- ja takapuolelle. Viuhkan muotoisen salin tapauksessa kuvalähderivit kaartuivat pois päin salin keskustasta ja vastaavasti käänteisen viuhkan tapauksesta salin keskustaan päin. Tästä voitiin vetää johtopäätös, että parhaimman tilavaikutelman synnyttää käänteisen viuhkan mallinen sali, koska sen tapauksessa kuvalähdepisteet ympyröivät tasaisimmin salia. Vastaavasti viuhkan muotoinen sali oli tällä perusteella huonoin vaihtoehto. Kuva 10. Kolmen salityypin kuvalähdepisteiden sijainnin vertailu. Käänteisen viuhkan tapauksessa kuvalähdepisteet ympyröivät tasaisimmin salia. 5.3 Kuvalähteiden käyttö säteenseurantamenetelmän analysoinnissa Kuvalähdemenetelmän avulla voidaan analysoida toista huoneakustiikan mallinnuksessa yleisesti käytettävää menetelmää, säteenseurantaa. Säteenseurannan etuna kuvalähdemenetelmään nähden on sen helpompi ohjelmoitavuus geometrialtaan monimutkaisten tilojen simuloinnissa. Säteenseurantamenetelmällä on kuitenkin omat haittapuolensa, joiden paljastamiseen voidaan käyttää kuvalähdemenetelmää. 9
10 Säteenseurantamenetelmässä säteitä emittoidaan lähdepisteestä tasaisesti joka suuntaan. Säteitä seurataan niin kauan kunnes saavutetaan jokin virtuaalisista kuulijapisteistä. Kuvalähdemenetelmän avulla säteenseurantaan liittyvät ongelmatilanteet voidaan esittää kuvan 11 mukaisesti. Kuva 11. Säteenseurannan ongelmatilanteet kuvalähdemenetelmän avulla analysoituna. Nähdään, että säteeltä A jää kokonaan huomaamatta toinen virtuaalinen kuuntelija, joka jää lähellä olevan kuuntelijapisteen katveeseen. Toisaalta säteeltä B jää huomaamatta lähellä olevat virtuaaliset kuulijapisteet, koska säde vain sivuaa niitä. Toisin kuin kuvalähdemenetelmän tapauksessa, säteenseurannan avulla ei siis havaita kaikkia tietyn etäisyyden sisäpuolella olevia virtuaalipisteitä, vaan osa niistä jää huomaamatta. 6 YHTEENVETO Kuvalähdemenetelmä on yksi eniten käytetyistä menetelmistä huoneakustiikan mallinnuksessa. Menetelmän avulla voidaan simuloida tarkasti äänilähteen varhaisia heijastuksia. Menetelmää voidaan soveltaa mielivaltaisen muotoiseen tilaan. Haittapuolena on heijastusten kertaluvun funktiona eksponentiaalisesti kasvava laskenta-aika ja toisaalta monimutkaisen geometrian omaavien tilojen mallinnuksen ohjelmointi on suhteellisen hankalaa. Kuvalähdemenetelmää käytetään mm. erilaisissa huoneakustiikan mallinnusohjelmistoissa. Sillä voidaan tutkia varhaisten heijastusten sekä ajallista, että myös spatiaalista jakaumaa. Yhdistämällä kuvalähdemenetelmän avulla luotujen varhaisten heijastusten impulssivaste tilastollisesti luotuun jälkikaiuntaan voidaan menetelmää hyödyntää myös auralisoitaessa mallinnustuloksia esimerkiksi suunnitteilla olevasta konserttisalista. 10
11 LÄHDEVIITTEET Allen, J.B., Berkley, D.A. Image Method for Efficiently Simulating Small-Room Acoustics, J. Acoust. Soc. Am., 65, 5, April, 1979, Borish, Jeffery. Extension of the image Model to Arbitrary Polyhedra. J. Acoust. Soc. Am., 75, 6, June, 1984, Kristiansen, U.R., A. Krokstad, and T.Follestad. Extending the Image Method to Higher- Order Reflections. J. Applied Acoustics, 38, 2-4, 1993, Heinz, R. Binaural Room Simulation Based on an Image Source Model with Addition of Statistical Methods to Include the Diffuse Sound Scattering of Walls and to Predict the Reverberant Tail J. Applied Acoustics, 38, 2-4,1993,
HUONEAKUSTIIKAN MALLINNUS VIRTUAALISELLA AALTOKENT- TÄSYNTEESILLÄ 1 JOHDANTO 2 VIRTUAALISEN AALTOKENTTÄSYNTEESIN TEORIA
HUONEAKUSTIIKAN MALLINNUS VIRTUAALISELLA AALTOKENT- TÄSYNTEESILLÄ Samuel Siltanen ja Tapio Lokki Teknillinen korkeakoulu, Mediatekniikan laitos PL 50, 02015 TKK Samuel.Siltanen@tml.hut.fi 1 JOHDANTO Huoneakustiikan
LisätiedotKuvalähdemenetelmä. Niko Lindgren HUT, Telecommunications Software and Multimedia Laboratory. nlindgre@cc.hut.fi. Tiivistelmä
Kuvalähdemenetelmä Niko Lindgren HUT, Telecommunications Software and Multimedia Laboratory nlindgre@cc.hut.fi Tiivistelmä Tässä seminaarityössä olen tutkinut kuvalähdemenetelmää, jota käytetään huoneakustiikan
LisätiedotREUNAEHTOJEN TOTEUTUSTAPOJA AALTOJOHTOVERKOSSA
Antti Kelloniemi, Lauri Savioja Teknillinen Korkeakoulu Tietoliikenneohjelmistojen ja multimedian laboratorio PL 54, 215 TKK antti.kelloniemi@hut.fi, lauri.savioja@hut.fi 1 JOHDANTO Aaltojohtoverkko (digital
LisätiedotSuorat ja tasot, L6. Suuntajana. Suora xy-tasossa. Suora xyzkoordinaatistossa. Taso xyzkoordinaatistossa. Tason koordinaattimuotoinen yhtälö.
Suorat ja tasot, L6 Suora xyz-koordinaatistossa Taso xyz-koordinaatistossa stä stä 1 Näillä kalvoilla käsittelemme kolmen laisia olioita. Suora xyz-avaruudessa. Taso xyz-avaruudessa. Emme nyt ryhdy pohtimaan,
LisätiedotKOLMIULOTTEISEN TILAN AKUSTIIKAN MALLINTAMINEN KAKSIULOTTEISIA AALTOJOHTOVERKKOJA KÄYTTÄEN
KOLMIULOTTEISEN TILAN AKUSTIIKAN MALLINTAMINEN KAKSIULOTTEISIA AALTOJOHTOVERKKOJA KÄYTTÄEN Antti Kelloniemi 1, Vesa Välimäki 2 1 Tietoliikenneohjelmistojen ja multimedian laboratorio, PL 5, 15 TKK, antti.kelloniemi@tkk.fi
LisätiedotHUONEAKUSTIIKAN MALLINNUS JA AURALISAATIO - KATSAUS NYKYTUT- KIMUKSEEN 2 DIFFRAKTION MALLINNUS KUVALÄHDEMENETELMÄSSÄ
HUONEAKUSTIIKAN MALLINNUS JA AURALISAATIO - KATSAUS NYKYTUT- KIMUKSEEN Tapio Lokki ja Lauri Savioja Teknillinen korkeakoulu Tietoliikenneohjelmistojen ja multimedian laboratorio PL 5400, 02015 TKK Tapio.Lokki@hut.fi,
LisätiedotBraggin ehdon mukaan hilatasojen etäisyys (111)-tasoille on
763343A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 2 Kevät 2018 1. Tehtävä: Kuparin kiderakenne on pkk. Käyttäen säteilyä, jonka aallonpituus on 0.1537 nm, havaittiin kuparin (111-heijastus sirontakulman θ arvolla
LisätiedotSolmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:
Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)
LisätiedotMATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA
EB-TUTKINTO 2008 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 5. kesäkuuta 2008 (aamupäivä) KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Europpa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin,
LisätiedotBM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016
BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 1. Hahmottele karkeasti funktion f : R R 2 piirtämällä sen arvoja muutamilla eri muuttujan arvoilla kaksiulotteiseen koordinaatistoon
Lisätiedot2 Pistejoukko koordinaatistossa
Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia
Lisätiedot10. Globaali valaistus
10. Globaali valaistus Globaalilla eli kokonaisvalaistuksella tarkoitetaan tietokonegrafiikassa malleja, jotka renderöivät kuvaa laskien pisteestä x heijastuneen valon ottamalla huomioon kaiken tähän pisteeseen
LisätiedotSuora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R},
Määritelmä Suora Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko { p + t v t R}, missä p, v R n ja v 0. Tässä p on suoran jonkin pisteen paikkavektori ja v on suoran suuntavektori. v p LM1,
Lisätiedotyleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p
MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y
Lisätiedot9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa
9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.
LisätiedotOta tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta
MAA5.2 Loppukoe 26.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Olkoon vektorit
Lisätiedot235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 8. Sovellutuksia. 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. 8.2. Keskiö ja hitausmomentti
8. Sovellutuksia 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen 235. Laske sen kappaleen tilavuus, jota rajoittavat pinnat z = xy, x = y 2, z = 0, x = 1. (Kappale sijaitsee oktantissa x 0, y 0, z 0.) 1/6. 236.
LisätiedotVektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on
13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu
LisätiedotParempaa äänenvaimennusta simuloinnilla ja optimoinnilla
Parempaa äänenvaimennusta simuloinnilla ja optimoinnilla Erkki Heikkola Numerola Oy, Jyväskylä Laskennallisten tieteiden päivä 29.9.2010, Itä-Suomen yliopisto, Kuopio Putkistojen äänenvaimentimien suunnittelu
LisätiedotMAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla
LisätiedotLauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa:
Simo K. Kivelä, 13.7.004 Frégier'n lause Toisen asteen käyrillä ellipseillä, paraabeleilla, hyperbeleillä ja niiden erikoistapauksilla on melkoinen määrä yksinkertaisia säännöllisyysominaisuuksia. Eräs
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä
LisätiedotYleistä vektoreista GeoGebralla
Vektoreita GeoGebralla Vektoreilla voi laskea joko komentopohjaisesti esim. CAS-ikkunassa tai piirtämällä piirtoikkunassa. Ensimmäisen tavan etuna on, että laskujen tueksi muodostuu kuva. Tästä on varmasti
LisätiedotRistitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti
14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on
LisätiedotRiemannin pintojen visualisoinnista
Riemannin pintojen visualisoinnista eli Funktioiden R R kuvaajat Simo K. Kivelä 7.7.6 Tarkastelun kohteena olkoon kompleksimuuttujan kompleksiarvoinen funktio f : C C, f(z) = w eli f(x + iy) = u(x, y)
Lisätiedot3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö
3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden
Lisätiedot1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot
Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan
LisätiedotPreliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä
LisätiedotMATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA
EB-TUTKINTO 2010 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 4. kesäkuuta 2010 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa
LisätiedotKuva 1. Mallinnettavan kuormaajan ohjaamo.
KUORMAAJAN OHJAAMON ÄÄNIKENTÄN MALLINNUS KYTKETYLLÄ ME- NETELMÄLLÄ Ari Saarinen, Seppo Uosukainen VTT, Äänenhallintajärjestelmät PL 1000, 0044 VTT Ari.Saarinen@vtt.fi, Seppo.Uosukainen@vtt.fi 1 JOHDANTO
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa
LisätiedotKoontitehtäviä luvuista 1 9
11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan
Lisätiedot3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta.
3 Suorat ja tasot Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3.1 Suora Havaitsimme skalaarikertolaskun tulkinnan yhteydessä, että jos on mikä tahansa nollasta
LisätiedotMuodonmuutostila hum 30.8.13
Muodonmuutostila Tarkastellaan kuvan 1 kappaletta Ω, jonka pisteet siirtvät ulkoisen kuormituksen johdosta siten, että siirtmien tapahduttua ne muodostavat kappaleen Ω'. Esimerkiksi piste A siirt asemaan
Lisätiedot( ) ( ) ( ) ( ( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 271 Päivitetty 19.2.2006. 701 a) = keskipistemuoto.
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 7 Päivitetty 9..6 7 a) + y = 7 + y = 7 keskipistemuoto + y 7 = normaalimuoto Vastaus a) + y = ( 7 ) + y 7= b) + y+ 5 = 6 y y + + = b) c) ( ) + y
LisätiedotPUTKIJÄRJESTELMÄSSÄ ETENEVÄN PAINEVAIHTELUN MALLINNUS HYBRIDIMENETELMÄLLÄ 1 JOHDANTO 2 HYBRIDIMENETELMÄN MATEMAATTINEN ESITYS
PUTKIJÄRJESTELMÄSSÄ ETENEVÄN PAINEVAIHTELUN MALLINNUS HYBRIDIMENETELMÄLLÄ Erkki Numerola Oy PL 126, 40101 Jyväskylä erkki.heikkola@numerola.fi 1 JOHDANTO Työssä tarkastellaan putkijärjestelmässä etenevän
LisätiedotMATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009
EB-TUTKINTO 2009 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa
LisätiedotPythagoraan polku 16.4.2011
Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,
LisätiedotPinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali
Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: Tasoalueen pinta-ala Jos funktio f saa välillä [a, b] vain ei-negatiivisia arvoja, so. f() 0, kun [a, b], voidaan kuvaajan y = f(), -akselin
LisätiedotA B = (1, q, q 2 ) (2, 0, 2) = 2 2q q 2 = 0 q 2 = 1 q = ±1 A(±1) = (1, ±1, 1) A(1) A( 1) = (1, 1, 1) (1, 1, 1) = A( 1) A(1) A( 1) = 1
Mapu I Viikko 4 tehtävä malli Millä q:n arvoilla vektori A(q) (, q, q ) on kohtisuora vektorin B (, 0, ) kanssa? Ovatko A:n eri ratkaisut keskenään kohtisuoria? Jos eivät, määrää niiden välinen kulma!
LisätiedotÄÄNENVAIMENTIMIEN MALLINNUSPOHJAINEN MONITAVOITTEINEN MUODONOPTIMOINTI 1 JOHDANTO. Tuomas Airaksinen 1, Erkki Heikkola 2
ÄÄNENVAIMENTIMIEN MALLINNUSPOHJAINEN MONITAVOITTEINEN MUODONOPTIMOINTI Tuomas Airaksinen 1, Erkki Heikkola 2 1 Jyväskylän yliopisto PL 35 (Agora), 40014 Jyväskylän yliopisto tuomas.a.airaksinen@jyu.fi
Lisätiedot6.8 Erityisfunktioiden sovelluksia
6.8 Erityisfunktioiden sovelluksia Tässä luvussa esitellään muutama esimerkki, joissa käytetään hyväksi eksponentti-, logaritmi- sekä trigonometrisia funktioita. Ensimmäinen esimerkki juontaa juurensa
Lisätiedotf(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.
Ääriarvon laatu Jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaali ääriarvokohta (x 0, y 0 ) on aina kriittinen piste (ts. f x (x, y) = f y (x, y) = 0, kun x = x 0 ja y = y 0 ), mutta kriittinen piste ei ole aina
LisätiedotYhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän
LisätiedotSuorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009
Viidennen viikon luennot Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Perustuu kirjan Poole: Linear Algebra lukuihin I.3 - I.4 Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Aluksi hiukan 2 ja 3 ulotteisen reaaliavaruuden
LisätiedotLisätehtäviä. Rationaalifunktio. x 2. a b ab. 6u x x x. kx x
MAA6 Lisätehtäviä Laske lisätehtäviä omaan tahtiisi kurssin aikan Palauta laskemasi tehtävät viimeistään kurssikokeeseen. Tehtävät lasketaan ilman laskint Rationaalifunktio Tehtäviä Hyvitys kurssiarvosanassa
LisätiedotT-111.4310 Vuorovaikutteinen tietokonegrafiikka Tentti 14.12.2011
T-111.4310 Vuorovaikutteinen tietokonegrafiikka Tentti 14.12.2011 Vastaa kolmeen tehtävistä 1-4 ja tehtävään 5. 1. Selitä lyhyesti mitä seuraavat termit tarkoittavat tai minkä ongelman algoritmi ratkaisee
LisätiedotPitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.
Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja
LisätiedotParaabeli suuntaisia suoria.
15.5.017 Paraabeli Määritelmä, Paraabeli: Paraabeli on tason niiden pisteiden ura, jotka ovat yhtä etäällä annetusta suorasta, johtosuorasta ja sen ulkopuolella olevasta pisteestä, polttopisteestä. Esimerkki
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, 2952018, Ratkaisut (Sarja A) 1 Anna kaikissa kohdissa vastaukset tarkkoina arvoina Kohdassa d), anna kulmat
LisätiedotTampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus
Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 201 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus 6 1..201 1. Tarkastellaan Gouraudin sävytysmallia. Olkoon annettuna kolmio ABC, missä A = (0,0,0), B = (2,0,0) ja C = (1,2,0)
Lisätiedot1. Olkoot vektorit a, b ja c seuraavasti määritelty: a) Määritä vektori. sekä laske sen pituus.
Matematiikan kurssikoe, Maa4 Vektorit RATKAISUT Sievin lukio Keskiviikko 12.4.2017 VASTAA YHTEENSÄ VIITEEN TEHTÄVÄÄN! MAOL JA LASKIN/LAS- KINOHJELMAT OVAT SALLITTUJA! 1. Olkoot vektorit a, b ja c seuraavasti
Lisätiedotc) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.
MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
LisätiedotJuuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. ( )
Kertaus K1. a) OA =- i + j + k K. b) B = (, 0, 5) K. a) AB = (6 -(- )) i + ( - ) j + (- -(- 7)) k = 8i - j + 4k AB = 8 + (- 1) + 4 = 64+ 1+ 16 = 81= 9 b) 1 1 ( ) AB = (--(- 1)) i + - - 1 j =-i - 4j AB
LisätiedotAaltojen heijastuminen ja taittuminen
Luku 11 Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Tässä luvussa käsitellään sähkömagneettisten aaltojen heijastumista ja taittumista väliaineiden rajapinnalla. Rajoitutaan monokromaattisiin aaltoihin ja oletetaan
Lisätiedot10.2. Säteenjäljitys ja radiositeettialgoritmi. Säteenjäljitys
10.2. Säteenjäljitys ja radiositeettialgoritmi Säteenjäljitys Säteenjäljityksessä (T. Whitted 1980) valonsäteiden kulkema reitti etsitään käänteisessä järjestyksessä katsojan silmästä takaisin kuvaan valolähteeseen
Lisätiedot1 Vastaa seuraaviin. b) Taajuusvasteen
Vastaa seuraaviin a) Miten määritetään digitaalisen suodattimen taajuusvaste sekä amplitudi- ja vaihespektri? Tässä riittää sanallinen kuvaus. b) Miten viivästys vaikuttaa signaalin amplitudi- ja vaihespektriin?
LisätiedotJAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT
JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT Kanta ja dimensio Tehtävä Esittele vektoriavaruuden kannan määritelmä vapauden ja virittämisen käsitteiden avulla ja anna vektoriavaruuden dimension määritelmä Esittele Lause
LisätiedotMAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.
Lisätiedotc) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.
MAA4. Koe 8.5.0 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse
LisätiedotVanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016
Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.
LisätiedotHelsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,
LisätiedotKoordinaatistot 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut
Koordinaatistot 1/6 Sisältö Koordinaatiston ja koordinaattien käsite Geometrisissa tehtävissä ja siten mös monissa kätännön ongelmissa on usein tarpeen ilmoittaa pisteiden sijainti jonkin kiinteän vertailussteemin
LisätiedotRATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.
RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion
LisätiedotA-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota.
MAA5.2 Loppukoe 24.9.2013 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! A1. A-osio. Tehdään
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 16.12.2016 K1 Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. 3 r s = 0 4 r+ 4s = 2 12r 4s = 0 + r+ 4s = 2 13 r = 2 r = 2 13 2 Sijoitetaan r = esimerkiksi yhtälöparin
LisätiedotJava 3D-audiorajapinnan toteutus 3D-äänen renderöinnin näkökulmasta
Java 3D-audiorajapinnan toteutus 3D-äänen renderöinnin näkökulmasta Markus Kolsi HUT, Tietoliikenneohjelmistojen ja multimedian laboratorio Markus.Kolsi@hut.fi Tiivistelmä Luonnolliselta kuulostavan audiovisuaalisen
LisätiedotÄÄNTÄ VAHVISTAVAT OLOSUHDETEKIJÄT. Erkki Björk. Kuopion yliopisto PL 1627, 70211 Kuopion erkki.bjork@uku.fi 1 JOHDANTO
ÄÄNTÄ VAHVISTAVAT OLOSUHDETEKIJÄT Erkki Björk Kuopion yliopisto PL 1627, 7211 Kuopion erkki.bjork@uku.fi 1 JOHDANTO Melun vaimeneminen ulkoympäristössä riippuu sää- ja ympäristöolosuhteista. Tärkein ääntä
Lisätiedoty=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6
MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+
Lisätiedot1.1 Vektorit. MS-A0007 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. 1. Vektorit ja kompleksiluvut
ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0007 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 26.10.2015 Reaalinen
LisätiedotKoska ovat negatiiviset. Keskihajontoja ei pystytä laskemaan mutta pätee ¾.
24.11.2006 1. Oletetaan, että kaksiulotteinen satunnaismuuttuja µ noudattaa kaksiulotteista normaalijakaumaa. Oletetaan lisäksi, että satunnaismuuttujan regressiofunktio satunnaismuuttujan suhteen on ݵ
LisätiedotTampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus
Tampereen yliopisto Tietokonegrafiikka 2013 Tietojenkäsittelytiede Harjoitus 2 7.2.2013 1. Matematiikan lukiokurssissa on esitetty, että ylöspäin aukeavan paraabelin f(x) = ax 2 +bx+c,a > 0,minimikohtasaadaan,kunf
LisätiedotLuento 3: 3D katselu. Sisältö
Tietokonegrafiikan perusteet T-.43 3 op Luento 3: 3D katselu Lauri Savioja Janne Kontkanen /27 3D katselu / Sisältö Kertaus: koordinaattimuunnokset ja homogeeniset koordinaatit Näkymänmuodostus Kameran
Lisätiedot102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä.
Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 Päivitett 19..6 11 Todistus 1 Kärä x + = x + 4 5 3 31 = x x+ 4, jos ja vain jos pisteen 3,7 koordinaatit toteuttavat kärän htälön. Kun x = 3 ja
LisätiedotLineaarialgebra MATH.1040 / voima
Lineaarialgebra MATH.1040 / voima 1 Seuraavaksi määrittelemme kaksi vektoreille määriteltyä tuloa; pistetulo ja. Määritelmät ja erilaiset tulojen ominaisuudet saattavat tuntua, sekavalta kokonaisuudelta.
LisätiedotMAA10 HARJOITUSTEHTÄVIÄ
MAA0 Määritä se funktion f: f() = + integraalifunktio, jolle F() = Määritä se funktion f : f() = integraalifunktio, jonka kuvaaja sivuaa suoraa y = d Integroi: a) d b) c) d d) Määritä ( + + 8 + a) d 5
LisätiedotVektorit, suorat ja tasot
, suorat ja tasot 1 / 22 Koulussa vektori oli nuoli, jolla oli suunta ja suuruus eli pituus. Siirretään vektori siten, että sen alkupää on origossa. Tällöin sen kärki on pisteessä (x 1, x 2 ). Jos vektorin
LisätiedotDifferentiaalilaskennan tehtäviä
Differentiaalilaskennan tehtäviä DIFFERENTIAALILASKENTA 1. Raja-arvon käsite, derivaatta raja-arvona 1.1 Raja-arvo pisteessä 1.2 Derivaatan määritelmä 1.3 Derivaatta raja-arvona 2. Derivoimiskaavat 2.1
LisätiedotTaso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora
Taso 1/5 Sisältö Taso geometrisena peruskäsitteenä Kolmiulotteisen alkeisgeometrian peruskäsitteisiin kuuluu taso pisteen ja suoran lisäksi. Intuitiivisesti sitä voidaan ajatella joka suunnassa äärettömyyteen
Lisätiedot3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO
3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n
LisätiedotEllipsoidimenetelmä. Samuli Leppänen Kokonaislukuoptimointi. S ysteemianalyysin Laboratorio
Ellipsoidimenetelmä Kokonaislukuoptimointi Sovelletun matematiikan lisensiaattiseminaari Kevät 2008 / 1 Sisällys Ellipsoidimenetelmän geometrinen perusta ja menetelmän idea Formaali ellipsoidimenetelmä
Lisätiedota b c d
1. 11. 011!"$#&%(')'+*(#-,.*/103/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + +. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. 5 140 8 47 = 5 140 ( 3 ) 47 = 5 140 3 47 = 5 140 141 = (5 ) 140 = 10 140, jossa on
LisätiedotXXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut
XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut 1. Avaruusalus sijaitsee tason origossa (0, 0) ja liikkuu siitä vakionopeudella johonkin suuntaan, joka ei muutu. Tykki
LisätiedotKenguru 2016 Student lukiosarjan ratkaisut
sivu 1 / 22 Ratkaisut TEHTÄVÄ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 VASTAUS A C E C A A B A D A TEHTÄVÄ 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 VASTAUS A C B C B C D B E B TEHTÄVÄ 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 VASTAUS D C C E E
Lisätiedot7.6. Fysikaalinen peiliheijastus. Pinnan mikrogeometrian mallintaminen. Varjostus ja peittämisvaikutukset
7.6. Fysikaalinen peiliheijastus Tässä mallissa otetaan huomioon fysikaalispohjainen peilikomponentti (Blinn 1977. Sittemmin mallia laajennettiin käsittämään kirkkaan valaistuksen spektrin ja tämän riippuvuuden
LisätiedotYLIOPPILASTUTKINTO 22. 3. 2000 MATEMATIIKAN KOE - PITKÄ OPPIMÄÄRÄ
INTERNETIX Ylioppilaskirjoitusten tehtävät Page YLIOPPILSTUTINTO MTEMTIIN OE PITÄ OPPIMÄÄRÄ okeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Eräät tehtävät sisältävät useita osia [merkittynä a), b) jne],
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1
LisätiedotKESKEISET SISÄLLÖT Keskeiset sisällöt voivat vaihdella eri vuositasoilla opetusjärjestelyjen mukaan.
VUOSILUOKAT 6 9 Vuosiluokkien 6 9 matematiikan opetuksen ydintehtävänä on syventää matemaattisten käsitteiden ymmärtämistä ja tarjota riittävät perusvalmiudet. Perusvalmiuksiin kuuluvat arkipäivän matemaattisten
LisätiedotMAA15 Vektorilaskennan jatkokurssi, tehtävämoniste
MAA15 Vektorilaskennan jatkokurssi, tehtävämoniste Tason ja avaruuden vektorit 1. Olkoon A(, -, 4) ja B(5, -1, -3). a) Muodosta pisteen A paikkavektori. b) Muodosta vektori AB. c) Laske vektorin AB pituus.
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.2.2016 Susanna Hurme Tervetuloa kurssille! Mitä on statiikka? Mitä on dynamiikka? Miksi niitä opiskellaan? Päivän aihe: Voiman käsite ja partikkelin tasapaino
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015
PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.
LisätiedotGEOMETRIA MAA3 Geometrian perusobjekteja ja suureita
GEOMETRI M3 Geometrian perusobjekteja ja suureita Piste ja suora: Piste, suora ja taso ovat geometrian peruskäsitteitä, joita ei määritellä. Voidaan ajatella, että kaikki geometriset kuviot koostuvat pisteistä.
LisätiedotTyö 21 Valon käyttäytyminen rajapinnoilla. Työvuoro 40 pari 1
Työ 21 Valon käyttäytyminen rajapinnoilla Työvuoro 40 pari 1 Tero Marttila Joel Pirttimaa TLT 78949E EST 78997S Selostuksen laati Tero Marttila Mittaukset suoritettu 12.11.2012 Selostus palautettu 19.11.2012
LisätiedotToisen asteen käyrien ja pintojen geometriaa Ympyrän ja pallon ominaisuuksia
10. Toisen asteen käyrien ja pintojen geometriaa 10.1. Ympyrän ja pallon ominaisuuksia 446. Minkä käyrän muodostavat ne tason E 2 pisteet, joista pisteitä ( a,0) ja (a,0) yhdistävä jana (a > 0) näkyy 45
LisätiedotSäätötekniikan matematiikan verkkokurssi, Matlab tehtäviä ja vastauksia 29.7.2002
Matlab tehtäviä 1. Muodosta seuraavasta differentiaaliyhtälöstä siirtofuntio. Tämä differentiaaliyhtälö saattaisi kuvata esimerkiksi yksinkertaista vaimennettua jousi-massa systeemiä, johon on liitetty
Lisätiedot