REUNAEHTOJEN TOTEUTUSTAPOJA AALTOJOHTOVERKOSSA

Transkriptio

1 Antti Kelloniemi, Lauri Savioja Teknillinen Korkeakoulu Tietoliikenneohjelmistojen ja multimedian laboratorio PL 54, 215 TKK 1 JOHDANTO Aaltojohtoverkko (digital waveguide mesh) [1] on yksiulotteisessa soitinmallinnuksessa jo aiemmin käytetyn aaltojohtotekniikan [2] laajennus useamaan ulottuvuuteen. Aaltojohtoverkon etuna geometrisiin huoneakustiikan malleihin nähden on äänen aaltoluonteesta johtuvien seikkojen kuten diffraktion ja interferenssin automaattinen sisältyminen malliin. Aiemmilla Akustiikkaäivillä aaltojohtoverkon toimintaa on esitelty äänen ilmassa etenemisen osalta [3, 4]. Aaltojohtoverkon uutteeksi on havaittu suuntariiuva disersio, jonka määrä on kyetty minimoimaan interoloitua verkkoa ja taajuusvaraukseksi kutsuttua jälkikäsittelytekniikkaa hyödyntämällä [5]. Sen sijaan reunaehtojen toteuttaminen on todettu ongelmalliseksi. Vain rajainnat, joiden heijastuskerroin osataan mallintaa tarkasti, joskin myös reunaehdon aroksimaatio on käytännössä riittävän hyvä [6]. Suurimana ongelmana on ollut täysin heijastamattoman seinän toteuttaminen. Uuden Taylorin sarjakehitelmään erustuvan tavan reunaehdon aroksimointiin ovat esittäneet Murhy ja Mullen [7]. Tässä artikkelissa arvioidaan sen toimivuutta heijastuskulman ja taajuuden funktiona. Uutena tuloksena esitetään vaaavalintaisen heijastukertoimen toteuttaminen täysin heijastavan ja täysin heijastamattoman seinän lineaarikombinaationa. 2 RAJAPINNAN HEIJASTUSKERROIN AALTOJOHTOVERKOSSA Aaltojohtoverkko on tutkitussa taauksessa muodostettu kaksiulotteisesta neliömatriisista. Äänenaineen arvo kussakin solmukohdassa lasketaan interoloimattomassa taauksessa neljän vertikaalisesti ja horisontaalisesti suorilla linjoilla sijaitsevan naaurisolmun edellisistä arvoista ja arvosta, joka solmukohdalla itsellään oli kaksi ajanhetkeä aikaisemmin. Kuvan 1(a) mukaisin indeksimerkinnöin solmun äivitysyhtälö ajanhetkellä on! " $#%! & '(! & )#%*,+ - (. (1) Tasaisemi noeuden suuntajakauma saavutetaan interoloidulla verkolla, jossa solmun arvo lasketaan myös kulmittaisten naaureiden ja alkion itsensä edellisistä arvoista, / $ 6! & $#% 6! & ** 6! " )#%* 7 ) 1894 $ ': ; & $#% #%:! " )#%*! " <#% *( 6 ) 1=>4 + *? (2) missä 13? 18 ja 1= ovat suuntien otimoidut ainotuskertoimet [8]. 73

2 i+1,j 1 i+1,j i+1,j+1 3 i,j 1 i,j i,j+1 2 i 1,j 1 i 1,j i 1,j+1 1, 2 1, 1 1 1,1 B (a) (b) Kuva 1: Yksityiskohdat (a) interoloimattomasta aaltojohtoverkosta ja (b) verkon laidasta. Heijastuskertoimien suuntariiuvuuden testaamiseksi luotiin kaksi verkkoa, joista toisessa simuloitiin ääniaallon heijastumista rajainnasta (kuva 2(a)) ja toisessa mitattiin referenssin muodostamiseksi vastaavan matkan esteettä kulkeneen signaalin taso (kuva 2(b)). Ensimmäisen verkon reunalta heijastunut signaali vastaanotettiin lähetysisteen kanssa linjassa olevissa isteissä. Vastaanotetusta signaalista vähennettiin suoraa tietä lähteestä vastaanottimelle edennyt signaali ja heijastuneen signaalin tasoa verrattiin toisessa verkossa vastaanotetun signaalin tasoon. Verkkojen muut seinät olivat niin kaukana, etteivät niistä syntyneet heijastukset ehtineet vastaanottimille simulointiaikana. Signaalin jälkimmäinen uolisko ikkunoitiin uolikkaalla Hanning-funktiolla katkaisuvirheen välttämiseksi reunaehdon taajuusvasteen laskennassa. 2.1 Heijastava seinä Äänenaine seinäinnan lähellä on sitä kohti etenevän ääniaallon aineen ja heijastuneen aallon aineen summa. Aaltojohtoverkossa esitettynä aikallinen aine ajanhetkellä on 4 ( 4 9 *? (3) R S R S 2θ R (a) (b) Kuva 2: Heijastuksen tarkastelussa käytetyt koejärjestelyt: (a) lähetysisteestä S kuunteluisteeseen R reunaheijastuksen kautta kulkeneen signaalin tasoa verrattiin (b) saman matkan esteettä lähteestä S isteeseen R kulkeneen signaalin tasoon eri kulmilla. 74

3 heijastuksen voimakkuus / db heijastuksen voimakkuus / db θ = o θ = o 5 Taylor. aste 1. aste 6 2. aste 3. aste suhteellinen taajuus Interoloimaton verkko Interoloitu verkko θ = 45 o θ = 45 o suhteellinen taajuus Kuva 3: Heijastukset. 4. asteen Taylor-sarjakehitelmällä toteutetuista absorboivista rajainnoista interoloimattomassa ja interoloidussa aaltojohtoverkossa kohtisuoralla ja viistolla kulmalla. missä alaindeksi viittaa reunassa olevaan verkon solmuun ja reunaan nähden kohtisuorasti sen vieressä olevaan solmuun kuten kuvassa 1(b). Verkon loettaminen nolla-arvoihin saa aikaan ainoan tarkasti mallinnettavissa olevan heijastuskertoimen. Kovan seinän malli saatiin toteutettua hyvällä tarkkuudella käyttäen yhtälöä 3 arvolla [6], %: 4 : 6 (. (4) 2.2 Heijastamaton seinä Heijastamattoman seinän simulointi aaltojohtoverkkoa käyttäen on osoittautunut haastavaksi tehtäväksi. Jotta heijastuskerroin saataisiin lähelle nollaa, täytyy luoda aroksimaatio äärettömään tilaan etenevän aineaallon käyttäytymisestä. Yksinkertainen heijastamattoman seinän malli saadaan yhtälöstä (3), joka saa arvolla muodon : (. (5) Näin määritelty rajainta ei kuitenkaan absorboi aaltoa läheskään täydellisesti, sillä malli erustuu oletukselle reunan kohdalla yksiulotteisesti etenevästä aallosta. Virhettä syntyy aallon etenemisnoeuden muutoksesta sekä huomiotta jätetyistä aineaallon etenemissuunnasta ja geometrisesta vaimennuksesta. Paineen laskennan ulottaminen vain yhden aika-askeleen äähän ei ilmeisesti riitä hyvän aroksimaation tekemiseen. Kehittyneemmän, joskin edelleen aaltoyhtälön yksiulotteiselle aroksimaatiolle erustuvan reunaehdon ovat esittäneet Murhy ja Mullen, jotka ehdottavat ratkaisuksi verkon terminointia laskemalla 75

4 R EUNAEHTOJEN TOTEUTUSTAPOJA AALTOJOHTOVERKOSSA (a) (b) Kuva 4: Simulaatio, jossa (a) verkon toiselle itkälle sivulle on määritelty heijastava reunaehto ja vastakkaiselle sivulle ensimmäisen asteen Taylor-sarjakehitelmällä toteutettu absorboiva reunaehto. Toisessa simulaatiossa (b) heijastava reunaehto on korvattu negatiiviseen suuntaan reunan suuntaisesti etenevää aaltoa vaimentavalla ehdolla. äänenaineen arvo reuna-alkion kohdalla Taylorin sarjakehitelmällä [7]!!! % : 6 Tämä sarjakehitelmä voidaan esittää arvojen ketaan differensseinä 6! (6) avulla halutulla tarkkuudella [7], kun derivaatat las- % 6 (? 6 ( 7 4! & *? 6 (7) joten esimerkiksi Taylorin sarjakehitelmän ensimmäisen asteen yhtälö voidaan kirjoittaa! 4 % : (. ' ( 7 (8) Suoritetut simulaatiot osoittivat ensimmäisen ja toisen asteen sarjakehitelmien tuovan huomattavan arannuksen vaimennukseen, mikä on nähtävissä kuvassa 3. Kolmannen asteen termien lisääminen ei enää vaikuttanut tulokseen yhtä dramaattisesti. Tuloksista voidaan havaita aroksimaation yksisuuntaisuuden aiheuttama suuntariiuvuus. Jos aallon oletetaan etenevän reunan kohtisuoran sijaan reunan suuntaisesti, voidaan :n derivaatat kirjoittaa kohtisuoran koordinaatin sijaan reunan suuntaisiksi. Kuvan 1(b) merkinnöin 6 % : (? % : 4 :! " (? jolloin yhtälö 8 saa muodon : *. ; 4 ( (9) (1) Kuvassa 4(b) esitetään simulaatio, jossa tämä reunaa itkin negatiiviseen suuntaan etenevää aaltoa vaimentava reunaehto heijastaa kohtisuoran aallon täysin ja voimistaa ositiiviseen suuntaan etenevää aaltoa. Tämä menetelmä on siten käytännöllinen vain joissakin erikoistaauksissa. 76

5 2 f=.5. asteen ratkaisu, yhtälö (3) f= f=.2 suhteellinen virhe / % suhteellinen virhe / % f= asteen ratkaisu, yhtälö (11) 5 f= f=.2 θ = o θ = 45 o r r r Kuva 5: Heijastuskertoimen suhteellinen virhe vaaavalintaisen heijastuskertoimen yhtälöihin asetetun :n funktiona. Ylemmissä kuvissa on esitetty alkueräinen. asteen ratkaisu, alemmissa 1. asteen Taylor-sarjakehitelmällä saavutettu tulos. 2.3 Vaaasti asetettava heijastuskerroin Kaikki heijastuskertoimen arvot välillä... voidaan simuloida sijoittamalla haluttu heijastuskertoimen arvo yhtälöön (3). Huoneakustiikan mallintamisessa kiinnostava heijastuskertoimen arvoväli on.... Tarkastelemalla yhtälön (4) ja Taylor-sarjakehitelmän ensimmäisen asteen muotoja (8) havaitaan, että tilanteita ja aroksimoivista yhtälöistä voidaan muodostaa lineaarikombinaatio 4 %; 4 ; 4 : (. (11) Kombinoimalla voidaan asettaa absortion määrä kulloisellakin menetelmällä saavutettavien maksimin ja minimin välille. Kuvassa 5 on esitetty simulaatiotuloksista laskettuja arvoja heijastuskertoimen virheelle. Taylor-sarjakehitelmän maksimivirhe on alkueräistä ienemi ja suuntariiuvuus on vähentynyt. Kombinaatio näyttää tehtyjen simulaatioiden erusteella toimivan hyvin vain, jos heijastamaton reunaehto on samaa tai alemaa astelukua kuin heijastava reunaehto. Nostamalla vain heijastamattoman reunaehdon astelukua saavutetaan aremi absortio, mutta virhe heijastuskertoimen? läheisyydessä kasvaa. Menetelmän heikkoutena on yhä myös absortion voimakas suuntariiuvuus. 77

6 3 YHTEENVETO Taylorin sarjakehitelmä-aroksimaatiolla toteutettuja absorboivien rajaintojen toteutuksia testattiin aaltojohtoverkossa. Toteutukset todettiin yksinkertaisiksi, joskin tarkkojen tulosten laskeminen vaatii toisen tai korkeamman asteen yhtälöiden käyttöä. Menetelmistä käyttökeloisimmaksi todettiin toisen asteen Taylor-sarjakehitelmä. Absortion suuntariiuvuus on suuri, mikä rajoittaa menetelmän käytettävyyttä. Heijastavan ja heijastamattoman rajainnan kombinaationa saatiin muodostettua rajaintoja, joiden heijastuskerroin on välillä. Näiden laatu riiuu kombinoitujen rajaintojen laadusta ja ehtojen yhdenmukaisuudesta. Jatkossa yritään löytämään aremia menetelmiä absorboivien reunaehtojen toteuttamiseen. Samalla yritään löytämään taoja toteuttaa heijastuskertoimeltaan hallitusti suunta- ja taajuusriiuvia rajaintoja. KIITOKSET Kiitokset aiheeseen liittyvistä keskusteluista rof. Vesa Välimäelle. Tätä Satial Audio and Room Acoustics (SARA) -rojektiin liittyvää tutkimusta on rahoittanut Suomen Akatemia (rahoitusäätös 215). VIITTEET [1] VAN DUYNE S & SMITH J O, The 2-D digital waveguide mesh, in Proc. IEEE Worksho on Alications of Signal Processing to Audio and Acoustics (WASPAA 93), New Paltz, NY, lokakuu [2] SMITH J O, Physical modeling using digital waveguides, Comuter Music Journal, 16(1992) 4, [3] VÄLIMÄKI V & SAVIOJA L, Edistysaskelia moniulotteisen aaltoliikkeen mallinnuksessa, Akustiikkaäivät 1999, Tamere , sivut 59 64, Akustinen seura ry., [4] LOKKI T & SAVIOJA L, Huoneakustiikan mallinnus ja auralisaatio katsaus nykytutkimukseen, Akustiikkaäivät 21, Esoo , sivut , Akustinen seura ry., 21. [5] SAVIOJA L & VÄLIMÄKI V, Reducing the disersion error in the digital waveguide mesh using interolation and frequency waring techniques, IEEE Trans. Seech and Audio Processing, 8(2), [6] SAVIOJA L, RINNE T, & TAKALA T, Simulation of room acoustics with a 3-D finite difference mesh, Proc. Int. Comuter Music Conf. (ICMC 94), sivut , Aarhus, Denmark, syyskuu [7] MURPHY D T & MULLEN J, Digital waveguide mesh modelling of room acoustics: imroved anechoic boundaries, Proc. DAFX-2, sivut , Hamburg, Germany, syyskuu 22. [8] SAVIOJA L & VÄLIMÄKI V, Imroved discrete-time modeling of multi-dimensional wave roagation using the interolated digital waveguide mesh, Proc. Int. Conf. Acoust., Seech, Signal Processing (ICASSP 97), volume 1, sivut , Munich, Germany, huhtikuu