Strategiapelit ja Nashin tasapaino. Esitta ja : Sebastian Siikavirta

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Strategiapelit ja Nashin tasapaino. Esitta ja : Sebastian Siikavirta"

Transkriptio

1 Strategiapelit ja Nashin tasapaino. Esitta ja : Sebastian Siikavirta

2 Johdantoa peliteoriaan - ka ytetyt termit Peliteoria tutkii pelaajien toimintaa peleissa. Mika on peli? Mika on pelaaja? Peli tarkasti ma a ritelty valintatilanne. Pelissa pa a ma a ra. Pelaaja toimija ta ssa tilanteessa. Pelaaja voi olla ihminen, tekoa ly, ela in, joukko ihmisia...

3 Strategiapelit Peli on strategiapeli jos siina on interaktiivista pa a to ksen tekoa. pelaajalla monta valintaa valintaa voi vaihtaa? sama kuin monta valintaa sa a nno t ja pa a ma a ra ma a ritelty ja rajattu pelaajan pa a to s vaikuttaa muihin pelaajiin pelaaja saa tieta a muiden pa a to kset, ainakin seurausten kautta muiden pa a to kset tietoon vasta oman pa a to ksen ja lkeen

4 Strategiapelit taulukkona A a rellinen strategiapeli voidaan esitta a taulukkona. pelaajien pa a to kset akseleilla, vain kaksi pelaajaa 2-ulotteisessa taulukossa taulukossa numerot pelaajien hyo ty pa a to ksilla t1 t2 t1 1,2 2,4 t2 1,2 2,4 t1 ja t2 mahdolliset pa a to kset 1,2, tarkoittaa etta rivin valitsija hyo tyy 1, sarakkeen 2

5 Nashin tasapaino Tilanne strategiapelissa jossa yksika a n pelaajan ei hanki muuttamalla strategiaansa. oletus etta pelaajia a a rellinen ma a ra, va hinta a n 1 pelaajat rationaalisia ja itsekka ita pyrkiva t jokaisella valinnalla suoraan hyo tyyn pelaajat tieta va t muutkin rationaalisiksi Pelaaja ei voi pa a sta parempaan tilanteeseen jos kaikki pyrkiva t parhaaseen.

6 Strategiapeli formaalisti Ma a ritelma 11.1 Strategiapeli on kolmikko hn, (Ai), ( i)i: a a rellinen joukko pelaajia N epa tyhja joukko Ai mahdollisia toimintoja i N toiminnan hyo dyn ja rjestysrelaatio i A:ssa i N

7 Seuraus toimien sijaan. Joskus pelaajien toimet parempi esitta a toimien seurauksina kuin itse toimina. Ma a ritella a n etta C on kaikkien toimien seurasten joukko. Kytketa a n toimet ja seuraus yhteen funktiolla: g:a C Ja ma a ritella a n hyo dyn ja rjestysrelaatio myo s seurauksille: aj i ak jos ja vain jos g(aj ) i g(ak )

8 Satunnaistatapahtuma Joskus teon seuraukseen vaikuttaa satunnaistapahtuma. satunnaistapahtumaa ei voi etuka teen ennustaa Funktiossa g satunnaistapahtuma on otettava huomioon. Olkoon Ω todena ko isyysavaruus satunnaistapahtumalle. Ma a ritella a n viela funktio g uudelleen: g :A Ω C Nyt g(a, ω) on seuraus kun: a A satunnaistapahtuma on ω Ω

9 Seuraus hyo tyna Yleensa ja rjestysrelaatio on parempi kuvata pelaajan toimintojen seurausten sijasta hyo tyna pelaajalle. Hyo ty voidaan kytkea toimintaan hyo tyfunktiolla: ui : A R Ma a ritella a n funktio ja rjestysrelaation kautta: pelaajan hyo ty ui(a) ui(b) aina kun a i b Yleensa pelia ka sitella a n ja rjestysrelaation sijasta hyo tyfunktiolla.

10 Nashin tasapainon ma a ritelma Nashin tasapaino strategiapelissa hn, (Ai), ( i)i on tekojen mahdollisuus(profiili) a A jolla on ominaisuus jokaiselle pelaajalle i N: (a i, a i ) i (a i, ai) : ai A a i on kaikki muut paitsi pelaajan :n toimintamahdollisuudet ai pelaajan i toiminta Tilanne on Nashin tasapaino kun: a i ei paranna pelaajan i mahdollisuuksia Siis mika a n pelaajan toiminta ei paranna ha nen asemaansa nykyisesta tilanteesta. koskee kaikkia pelaajia

11 Vaihtoehtoinen ma a ritelma lle Nashin tasapainon voi ma a ritella myo s vastauksena muiden tekemiin siirtoihin. Mille tahansa a i A i : B(a i) on joukko parhaita siirtoja pelaajalle i kun a i: Bi(a i) = ai A : (a i, ai) i (a i, a0i) a0i A kutsutaan Bi parhaan vastauksen funktioksi pelaajalle i a i muiden kuin pelaaja i:n teot Nyt jos a i Bi(a i) i N niin: a i on pelaaja i:n paras vastaus muiden pelaajien siirtoihin jos vain yksi alkio, Nashin tasapaino mahdollista lo yta a Jos a i ei paranna pelaajan mahdollisuuksia, on tilanne Nashin tasapaino.

12 Kakutanin kiintopistelause(fixed point theorem) Onko pelissa Nashin tasapaino? Kakutanin kiintopistelause kertoo. Olkoon X euklidisen avaruuden alijoukko joka on epa tyhja rajoitettu ja suljettu konveksi. Olkoon f : X X siten etta : f (x) epa tyhja konveksi kaikilla x X f :n pita a olla suljettu Jos molemmat ehdot ta yttyva t, niin pelissa on va hinta a n yksi Nashin tasapaino. kertoo olemassaolon, ei ma a ra a

13 Vangin dilemma Klassinen peli jossa Nashin tasapaino. Kaksi epa iltya eri eristysselleissa. jos molemmat tunnustavat, saavat molemmat 3 vuotta linnaa jos molemmat ovat tunnustamatta, saavat molemmat 1 vuoden linnaa jos toinen tunnustaa toista vastaan, vapautuu tunnustanut ja toinen saa 4 vuotta tunnustaa ei tunnusta tunnustaa 3,3 0,4 ei tunnusta 4,0 1,1

14 Kivi - paperi - sakset Kaikissa peleissa ei ole Nashin tasapainoa. Esimerkkina kivi-paperisakset, johon tehty muutos. Ajatuksena etta pa a to ksensa voi muuttaa. kivi paperi sakset kivi 0,0-1,1 1,-1-1,1 paperi 1,-1 0,0 sakset -1,1 1,-1 0,0 Pelaaja joka saa -1, kannattaa aina vaihtaa pa a to sta a n. Pelissa ei pa a se syntyma a n tasapainoa.

15 Yhteenveto Strategiapelit interaktiivisia valintatilanteita. Ne on mahdollista esitta a formaalisti kolmikkona hn, (Ai), ( i)i. Nashin tasapaino on tilanne. ei va ltta ma tta edullisin tilanne Nashin tasapaino esiintyy joissakin strategiapeleissa. Kakutanin kiintopistelause paljastaa onko sita pelissa

16 Kysymyksia Mihin ta ta nyt ka yteta a n? Mita hyo tya? Miten pa a dyta a n Nashin tasapainoon?

Peliteoria Strategiapelit ja Nashin tasapaino. Sebastian Siikavirta sebastian.siikavirta@helsinki.fi

Peliteoria Strategiapelit ja Nashin tasapaino. Sebastian Siikavirta sebastian.siikavirta@helsinki.fi Peliteoria Strategiapelit ja Nashin tasapaino Sebastian Siikavirta sebastian.siikavirta@helsinki.fi Helsinki 11.09.2006 Peliteoria Tomi Pasanen HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos Sisältö

Lisätiedot

Epätäydellisen tiedon jatkuvat pelit. Mika Viljanen Peliteorian seminaari

Epätäydellisen tiedon jatkuvat pelit. Mika Viljanen Peliteorian seminaari Epätäydellisen tiedon jatkuvat pelit Mika Viljanen Peliteorian seminaari Erityispiirteitä Erityispiirteitä Epätäydellinen tieto aiemmista toiminnoista Erityispiirteitä Epätäydellinen tieto aiemmista toiminnoista

Lisätiedot

Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit

Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit Nollasummapelit ja bayesilaiset pelit Kristian Ovaska HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos Seminaari: Peliteoria Helsinki 18. syyskuuta 2006 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Nollasummapelit 1 2.1

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Tero Sirkka. Peliteoriaa

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Tero Sirkka. Peliteoriaa TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Tero Sirkka Peliteoriaa Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Toukokuu 2013 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö Sirkka, Tero: Peliteoriaa Pro gradu

Lisätiedot

Luento 5: Peliteoriaa

Luento 5: Peliteoriaa Luento 5: Peliteoriaa Tässä kappaleessa tutustutaan hieman peliteoriaan. Keskeisiä asioita ovat Nash-tasapaino ja sekastrategia. Cournot n duopolimalli vuodelta 1838 toimii oivallisena havainnollistuksena

Lisätiedot

Luento 5: Peliteoria

Luento 5: Peliteoria Luento 5: Peliteoria Portfolion optimointi Sijoittajan tehtävä Nashin tasapaino Vangin ongelma Nashin neuvotteluratkaisu 1 Portfolion optimointi Varallisuus A sijoitetaan n:ään sijoituskohteeseen (osake,

Lisätiedot

FINDRI REF- TECHNOLOGY. Findri Ref-Control. Lauhduttimien ja nesteja a hdyttimien puhaltimien seka pumppujen ohjauskeskus

FINDRI REF- TECHNOLOGY. Findri Ref-Control. Lauhduttimien ja nesteja a hdyttimien puhaltimien seka pumppujen ohjauskeskus Findri Ref-Control Lauhduttimien ja nesteja a hdyttimien puhaltimien seka pumppujen ohjauskeskus Kohteeseen kuin kohteeseen optimoitavat Findri Ref-Control -ohjauskeskukset Oy Yleiskylma -Findri tarjoaa

Lisätiedot

Peliteoria ja huutokauppamekanismit

Peliteoria ja huutokauppamekanismit Peliteoria ja huutokauppamekanismit Satu Ruotsalainen Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2015 Tiivistelmä: Satu Ruotsalainen, Peliteoria ja huutokauppamekanismit

Lisätiedot

PELITEORIAN PERUSTEITA

PELITEORIAN PERUSTEITA PELITEORIAN PERUSTEITA Matti Estola 29. marraskuuta 2013 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Peliteoreettisen analyysin vaiheet 2 3 Staattiset pelit täydellisen informaation vallitessa 3 4 Pelin ratkaiseminen 4 4.1

Lisätiedot

Luento 5: Peliteoriaa

Luento 5: Peliteoriaa Luento 5: Peliteoriaa Tässä kappaleessa tutustutaan lyhyesti peliteoriaan. Peliteorian ratkaisukäsite on Nashin tasapaino, jonka jo Augustin Cournot esitti duopolimallinsa ratkaisuna v. 1838. Cournot n

Lisätiedot

Epätäydellisen tiedon jatkuvat pelit

Epätäydellisen tiedon jatkuvat pelit Epätäydellisen tiedon jatkuvat pelit Mika Viljanen Helsinki 4..2006 Peliteorian seminaari HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos Sisältö Johdanto 2 Epätäydellisen tiedon jatkuva peli 2. Jatkuvan

Lisätiedot

Luento 8. June 3, 2014

Luento 8. June 3, 2014 June 3, 2014 Luokka pelejä, joissa pelaajilla on epätäydellistä informaatiota toistensa preferensseistä ja joissa valinnat tehdään samanaikaisesti. Tämä tarkoittaa, että pelaajat eivät tiedä toistensa

Lisätiedot

SISÄLTÖ. 1. Yleista s Lataus s Ka ytto s Lisa tietoja s Lakka Pihakivet GDL ohjeet

SISÄLTÖ. 1. Yleista s Lataus s Ka ytto s Lisa tietoja s Lakka Pihakivet GDL ohjeet SISÄLTÖ 1. Yleista s. 3 2. Lataus s. 3 3. Ka ytto s. 4 4. Lisa tietoja s. 7 2 Lakka Pihakivet GDL ohjeet 1. Yleistä Lakka Pihakivet GDL objekti toimii Archicad ohjelmistossa ja se on tehty helpottamaan

Lisätiedot

Paljonko maksat eurosta -peli

Paljonko maksat eurosta -peli Paljonko maksat eurosta -peli - Ajattele todellinen tilanne ja toimi oman näkemyksesi mukaisesti - Tee tarjous eurosta: * Korkein tarjous voittaa euron. * Huonoimman tarjouksen esittäjä joutuu maksamaan

Lisätiedot

Pelien teoriaa: tasapainokäsitteet

Pelien teoriaa: tasapainokäsitteet Pelien teoriaa: tasapainokäsitteet Salanién (2005) ja Gibbonsin (1992) mukaan Mat-2.4142 Optimointiopin seminaari Jukka Luoma 1 Sisältö Staattinen Dynaaminen Staattinen Dynaaminen Pelityyppi Täydellinen

Lisätiedot

Yleinen tietämys ja Nashin tasapaino

Yleinen tietämys ja Nashin tasapaino Yleinen tietämys ja Nashin tasapaino 24.3.2010 Nashin tasapaino Ratkaisumalli kahden tai useamman pelaajan pelille. Yleisesti: Jos jokainen pelaaja on valinnut strategiansa eikä yksikään pelaaja voi hyötyä

Lisätiedot

Kuka hyötyy biotaloudesta? Professori Hanna-Leena Pesonen Jyväskylän yliopisto BIOCLUS-hankkeen loppuseminaari 22.10.2012

Kuka hyötyy biotaloudesta? Professori Hanna-Leena Pesonen Jyväskylän yliopisto BIOCLUS-hankkeen loppuseminaari 22.10.2012 Kuka hyötyy biotaloudesta? Professori Hanna-Leena Pesonen Jyväskylän yliopisto BIOCLUS-hankkeen loppuseminaari 22.10.2012 Sisältö I. Biotalous osana kestävää taloutta: Talouskasvun irrottaminen luonnonvarojen

Lisätiedot

TEHTÄVÄKORI Monisteita matikkaan. Riikka Mononen

TEHTÄVÄKORI Monisteita matikkaan. Riikka Mononen ---------------------------------------- TEHTÄVÄKORI Monisteita matikkaan Riikka Mononen ---------------------------------------- Tehtäväkori 2016 TEHTÄVÄKORI Monisteita matikkaan -materiaali on kokoelma

Lisätiedot

Peliteoria luento 2. May 26, 2014. Peliteoria luento 2

Peliteoria luento 2. May 26, 2014. Peliteoria luento 2 May 26, 2014 Pelien luokittelua Peliteoriassa pelit voidaan luokitella yhteistoiminnallisiin ja ei-yhteistoiminnallisiin. Edellisissä kiinnostuksen kohde on eri koalitioiden eli pelaajien liittoumien kyky

Lisätiedot

HINATTAVAN LAITTEEN/ KYLPYTYNNYRIN VUOKRASOPIMUSEHDOT

HINATTAVAN LAITTEEN/ KYLPYTYNNYRIN VUOKRASOPIMUSEHDOT Vuokra-aika HINATTAVAN LAITTEEN/ KYLPYTYNNYRIN VUOKRASOPIMUSEHDOT Vuokra-aika alkaa vuokrauksen kohteena olevan HINATTAVAN LAITTEEN eli kylpytynnyrin sovitulla luovutushetkella ja kesta a siihen saakka,

Lisätiedot

Johdanto peliteoriaan Kirja kpl. 2

Johdanto peliteoriaan Kirja kpl. 2 Aalto-yliopiston TKK Mat-2.4142 K2010 Esitelmä 1 Ilkka Leppänen 1 Johdanto peliteoriaan Kirja kpl. 2 Ilkka Leppänen 20.1.2010 Aalto-yliopiston TKK Mat-2.4142 K2010 Esitelmä 1 Ilkka Leppänen 2 Aiheet Laajennettu

Lisätiedot

Pelit matematiikan opetuksessa

Pelit matematiikan opetuksessa Pelit matematiikan opetuksessa Vadim Kulikov Helsingin Yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Epsilonit kirjaa tutkimassa, 28.01.2012 Millaisia pelejä? pärjääminen edellyttää ongelmanratkaisukykyä,

Lisätiedot

Matriisit, kertausta. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi

Matriisit, kertausta. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Aiheet. Määritelmiä ja merkintöjä. Laskutoimitukset. Matriisikaavoja. Matriisin transpoosi Matriisit, kertausta Merkintöjä 1 Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ( 2 0.4 8 0 2 1 ) ( 0, 4 ), ( ) ( 1 4 2, a 11 a 12 a 21 a 22 ) Kaavio kirjoitetaan kaarisulkujen väliin

Lisätiedot

Luento 7. June 3, 2014

Luento 7. June 3, 2014 June 3, 2014 Peli, jossa on kaksi Nash-tasapainoa. Yksi tasapaino on (1; 2) ja toinen (2; 1); P1:n valinta on ilmoitettu ensin. Ensimmäinen tasapaino ei vaikuta hyvältä; se perustuu epäuskottavaan uhkaukseen.

Lisätiedot

Piirrä kuvioita suureen laatikkoon. Valitse ruutuun oikea merkki > tai < tai =.

Piirrä kuvioita suureen laatikkoon. Valitse ruutuun oikea merkki > tai < tai =. Piirrä kuvioita suureen laatikkoon. Valitse ruutuun oikea merkki tai < tai =. 1 Valitse ruutuun oikea merkki tai < tai =. ------------------------------------------------------------------------------

Lisätiedot

Nollasummapelit ja muut yleisemmät summapelit

Nollasummapelit ja muut yleisemmät summapelit Nollasummapelit ja muut yleisemmät summapelit Teemu Orjatsalo Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syksy 2013 Tiivistelmä: Teemu Orjatsalo, Nollasummapelit

Lisätiedot

i lc 12. Ö/ LS K KY: n opiskelijakysely 2014 (toukokuu) 1. O pintojen ohjaus 4,0 3,8 4,0 1 ( 5 ) L i e d o n a mma t ti - ja aiku isopisto

i lc 12. Ö/ LS K KY: n opiskelijakysely 2014 (toukokuu) 1. O pintojen ohjaus 4,0 3,8 4,0 1 ( 5 ) L i e d o n a mma t ti - ja aiku isopisto i lc 12. Ö/ 1 ( 5 ) LS K KY: n opiskelijakysely 2014 (toukokuu) 1. O pintojen ohjaus 1=Täysi n en mi eltä. 2=Jokseenki n er i m ieltä, 3= En osaa sanoa 4= Jokseenki n sa m a a mieltä, 5= Täysin sa ma a

Lisätiedot

Vapaaehtoiset palkattomat virkavapaat ja työlomat (5+2)

Vapaaehtoiset palkattomat virkavapaat ja työlomat (5+2) Yhteistyöryhmä 1 16.01.2013 Kunnanhallitus 71 04.02.2013 Yhteistyöryhmä 14 24.10.2013 Kunnanhallitus 289 02.12.2013 Vapaaehtoiset palkattomat virkavapaat ja työlomat (5+2) 26/01.01.03/2013 Yhteistyöryhmä

Lisätiedot

Johtajuuden uusi aika miksi johtajuuden pita a muuttua?

Johtajuuden uusi aika miksi johtajuuden pita a muuttua? Johtajuuden uusi aika miksi johtajuuden pita a muuttua? Niina Andersin Hallituksen puheenjohtaja, johdon konsultti, valmentaja, coach Avidia Oy 1 Passion For Progress Alhaisen toimeenpanokyvyn tunnusmerkkejä

Lisätiedot

SEKASTRATEGIAT PELITEORIASSA

SEKASTRATEGIAT PELITEORIASSA SEKASTRATEGIAT PELITEORIASSA Matti Estola 8. joulukuuta 2013 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Ratkaistaan sukupuolten välinen taistelu sekastrategioiden avulla 5 Teksti on suomennettu kirjasta: Gibbons: A Primer

Lisätiedot

& # # w. œ œ œ œ # œ œ œ œ œ # œ w. # w nœ. # œ œ œ œ œ # œ w œ # œ œ œ Œ. œ œ œ œ œ œ œ œ # œ w. œ # œ œ œ w œ œ w w w w. W # w

& # # w. œ œ œ œ # œ œ œ œ œ # œ w. # w nœ. # œ œ œ œ œ # œ w œ # œ œ œ Œ. œ œ œ œ œ œ œ œ # œ w. œ # œ œ œ w œ œ w w w w. W # w Epainn muis (1.1., 6.12.) # œ œ œ œ œ # œ w i nun Kris lis sä py hää muis tus Tofia (6.1.) jo Jo pai a, y lis n [Ba li nu a, os,] kun ni, l nä ru k, i dän Ju ma lis, y lis ka i dän h tm h nk sl nu a, o

Lisätiedot

Johdatus politologiaan. Turun yliopisto, sl 2012 Maija Setälä Luento VII: Politiikan tutkimuksen lähestymistapoja: Rationaalisen valinnan teoria

Johdatus politologiaan. Turun yliopisto, sl 2012 Maija Setälä Luento VII: Politiikan tutkimuksen lähestymistapoja: Rationaalisen valinnan teoria Johdatus politologiaan Turun yliopisto, sl 2012 Maija Setälä Luento VII: Politiikan tutkimuksen lähestymistapoja: Rationaalisen valinnan teoria Rationaalisen valinnan teoria Rationaalisen valinnan teoria

Lisätiedot

Toistetut pelit Elmeri Lähevirta. MS-E2142 Optimointiopin seminaari: Peliteoria ja tekoäly

Toistetut pelit Elmeri Lähevirta. MS-E2142 Optimointiopin seminaari: Peliteoria ja tekoäly Toistetut pelit MS-E2142 Optimointiopin seminaari: Peliteoria ja tekoäly 12.10.2016 Elmeri Lähevirta The document can be stored and made available to the public on the open internet pages of Aalto University.

Lisätiedot

Konsulttidemokratia asiantuntijuutta korvaamassa. Hanna Kuusela, tutkijatohtori Suomen Akatemia / Tampereen yliopisto Kevätneuvokki 2014

Konsulttidemokratia asiantuntijuutta korvaamassa. Hanna Kuusela, tutkijatohtori Suomen Akatemia / Tampereen yliopisto Kevätneuvokki 2014 Konsulttidemokratia asiantuntijuutta korvaamassa Hanna Kuusela, tutkijatohtori Suomen Akatemia / Tampereen yliopisto Kevätneuvokki 2014 Mikä konsulttidemokratia? Teknokratiasta konsulttidemokratiaan. Konsulttidemokratiassa

Lisätiedot

Peliteoria luento 1. May 25, 2015. Peliteoria luento 1

Peliteoria luento 1. May 25, 2015. Peliteoria luento 1 May 25, 2015 Tavoitteet Valmius muotoilla strategisesti ja yhteiskunnallisesti kiinnostavia tilanteita peleinä. Kyky ratkaista yksinkertaisia pelejä. Luentojen rakenne 1 Joitain pelejä ajanvietematematiikasta.

Lisätiedot

1. Kaikki kaatuu, sortuu August Forsman (Koskimies)

1. Kaikki kaatuu, sortuu August Forsman (Koskimies) olo q» date reliioso olo 7 K (2003) KE2a7 1. Kaikki kaatuu, sortuu uust Forsma (Koskimies) olo 14 olo 21 3 3 3 3 3 3 3 3 Ÿ ~~~~~~~~~~~ π K (2003) KE2a7 uhlakataatti (kuoro) - 2 - Kuula: - 3 - uhlakataatti

Lisätiedot

Sosiaali- ja terveysltk 201 09.12.2014 Sosiaali- ja terveysltk 22 26.01.2016

Sosiaali- ja terveysltk 201 09.12.2014 Sosiaali- ja terveysltk 22 26.01.2016 Sosiaali- ja terveysltk 201 09.12.2014 Sosiaali- ja terveysltk 22 26.01.2016 TILOJEN VUOKRAAMINEN TORNION SAIRASKOTISÄÄTIÖLTÄ PÄIVÄKESKUSTOIMINTAA VARTEN/TILOJEN VUOKRAAMINEN VUODELLE 2014/TILOJEN VUOKRAAMINEN

Lisätiedot

EVÄITÄ ELÄMÄLLE -OHJELMA

EVÄITÄ ELÄMÄLLE -OHJELMA EVÄITÄ ELÄMÄLLE -OHJELMA Raportti vuodelta 2014 Pelastakaa Lapset tukee Eva ita Ela ma lle -ohjelmalla syrja ytymisvaarassa olevien lasten koulunka yntia ja harrastamista. Ohjelma edista a lasten yhdenvertaisuutta,

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

SÄÄNTÖMÄÄRÄISEN VUOSIKOKOUKSEN ESITYSLISTA

SÄÄNTÖMÄÄRÄISEN VUOSIKOKOUKSEN ESITYSLISTA SÄÄNTÖMÄÄRÄISEN VUOSIKOKOUKSEN ESITYSLISTA Aika: 10.12.2016 klo 15:00 Paikka: Allianssi talo, Asemapa a lliko nkatu 1, 00520 Helsinki 1. KOKOUKSEN AVAUS Esitys: Eurooppanuorten puheenjohtaja Jesse Ja a

Lisätiedot

Kurssilla esitetään lyhyt katsaus niihin todennäköisyyden ja satunnaisprosessien peruskäsitteisiin ja -ominaisuuksiin, joita tarvitaan digitaalisten

Kurssilla esitetään lyhyt katsaus niihin todennäköisyyden ja satunnaisprosessien peruskäsitteisiin ja -ominaisuuksiin, joita tarvitaan digitaalisten Todennäköisyys Kurssilla esitetään lyhyt katsaus niihin todennäköisyyden ja satunnaisprosessien peruskäsitteisiin ja -ominaisuuksiin, joita tarvitaan digitaalisten tietoliikennejärjestelmien ymmärtämisessä

Lisätiedot

Määritelmä 2.5. Lause 2.6.

Määritelmä 2.5. Lause 2.6. Määritelmä 2.5. Olkoon X joukko ja F joukko funktioita f : X R. Joukkoa F sanotaan pisteittäin rajoitetuksi, jos jokaiselle x X on olemassa sellainen C x R, että f x C x jokaiselle f F. Joukkoa F sanotaan

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 29.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/26 Kertausta: Kanta Määritelmä Oletetaan, että w 1, w 2,..., w k W. Vektorijono ( w 1, w 2,..., w k ) on aliavaruuden

Lisätiedot

Hammastekniikka tutuksi

Hammastekniikka tutuksi Hammastekniikka tutuksi Hammasteknikko on suun terveydenhuollon ammattilainen, joka suunnittelee ja valmistaa erilaisia hammasproteeseja ja -kojeita yhteistyössä hammaslääkärin kanssa. Hammasteknisessä

Lisätiedot

Rakennus- ja ympäristölautakunta 252 16.12.2015 655/11.01.00/2014. Rakennus- ja ympäristölautakunta 16.12.2015 252

Rakennus- ja ympäristölautakunta 252 16.12.2015 655/11.01.00/2014. Rakennus- ja ympäristölautakunta 16.12.2015 252 Rakennus- ja ympäristölautakunta 252 16.12.2015 Päätös / ympäristölupahakemus / Syväsatama, jätteiden loppusijoittaminen ja hyödyntäminen satamakentän rakenteissa, Kokkolan Satama / Länsi- ja Sisä-Suomen

Lisätiedot

SISÄISTEN VUOKRIEN LASKUTUS Laskutuskuukaudel Vuokra-ajalta 1.1.-31 122014

SISÄISTEN VUOKRIEN LASKUTUS Laskutuskuukaudel Vuokra-ajalta 1.1.-31 122014 Hallinto 5320 _ SISÄISTEN VUOKRIEN LASKUTUS Laskutuskuukaudel -ajalta 1.1.-31 2014 20 14 KUNNANVIRASTO 5320 5309 3470-999 5320'. TA;n 2014 muk Jako-% Kust. Laskutus ajalta [kuukaudet 1.1-31..2014-111151

Lisätiedot

Maatalous-metsätieteellinen tiedekunta Ympäristöekonomia Kansantaloustiede ja matematiikka

Maatalous-metsätieteellinen tiedekunta Ympäristöekonomia Kansantaloustiede ja matematiikka 1. Selitä mitä tarkoittavat a) M2 b) vaihtoehtoiskustannus. Anna lisäksi esimerkki vaihtoehtoiskustannuksesta. (7 p) Vastaus: a) Lavea raha. (1 p) M1 (Yleisön hallussa olevat lailliset maksuvälineet ja

Lisätiedot

Johdatus peliteoriaan

Johdatus peliteoriaan Johdatus peliteoriaan Kahden pelaajan nollasummapelien ratkaiseminen ja Nashin tasapainojen olemassaolo usean pelaajan yleisessä summapelissä Henri Nousiainen Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto

Lisätiedot

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32 1 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki 4B.2 Esimerkki 4B.3 Esimerkki 4C.1 Esimerkki 4C.2 Esimerkki 4C.3 2 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki

Lisätiedot

Tasapaino epätäydellisen tiedon peleissä

Tasapaino epätäydellisen tiedon peleissä hyväksymispäivä arvosana arvostelija Tasapaino epätäydellisen tiedon peleissä Marja Hassinen Helsinki 9..2006 Peliteoria-seminaarin esitelmä HESINGIN YIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos Sisältö Johdanto

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Sivistyslautakunta 38 03.03.2015 Kunnanhallitus 84 30.03.2015 Kunnanhallitus 103 13.04.2015. Varhaiskasvatusjohtajan viran hoito 1.9.

Sivistyslautakunta 38 03.03.2015 Kunnanhallitus 84 30.03.2015 Kunnanhallitus 103 13.04.2015. Varhaiskasvatusjohtajan viran hoito 1.9. Sivistyslautakunta 38 03.03.2015 Kunnanhallitus 84 30.03.2015 Kunnanhallitus 103 13.04.2015 Varhaiskasvatusjohtajan viran hoito 1.9.2015 alkaen 768/01.01.03/2015 SIVLTK 03.03.2015 38 Asian valmistelija:

Lisätiedot

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v +

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v + 9. 0. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 009 È ÖÙ Ö P. Olkoon vadelmien hinta v e, herukoiden h e ja mustikoiden m e rasialta. Oletukset voidaan tällöin kirjoittaa yhtälöryhmäksi v + h + m = 8 v +

Lisätiedot

Paljastetut preferenssit ja peliteoria. Ks. esim. Grüne-Yanoff & Lehtinen (tulossa) tai Hausman 2000, 2005, Guala 2006

Paljastetut preferenssit ja peliteoria. Ks. esim. Grüne-Yanoff & Lehtinen (tulossa) tai Hausman 2000, 2005, Guala 2006 Paljastetut preferenssit ja peliteoria Ks. esim. Grüne-Yanoff & Lehtinen (tulossa) tai Hausman 2000, 2005, Guala 2006 Peruskysymys Voidaanko peliteorian palkkiot ymmärtää paljastettuina preferensseinä

Lisätiedot

811312A Tietorakenteet ja algoritmit Kertausta kurssin alkuosasta

811312A Tietorakenteet ja algoritmit Kertausta kurssin alkuosasta 811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2016-2017 Kertausta kurssin alkuosasta II Algoritmien analyysi: oikeellisuus Algoritmin täydellinen oikeellisuus = Algoritmi päättyy ja tuottaa määritellyn tuloksen

Lisätiedot

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka >> Klassinen

Lisätiedot

1 Logiikkaa. 1.1 Logiikan symbolit

1 Logiikkaa. 1.1 Logiikan symbolit 1 Logiikkaa Tieteessä ja jokapäiväisessä elämässä joudutaan tekemään päätelmiä. Logiikassa tutkimuskohteena on juuri päättelyt. Sen sijaan päätelmien sisältöön ei niinkäään kiinnitetä huomiota. Päätelmät

Lisätiedot

Evolutiivinen stabiilisuus populaation

Evolutiivinen stabiilisuus populaation Antti Toppila sivu 1/20 Optimointiopin seminaari Syksy 2008 Evolutiivinen stabiilisuus populaation määrittämisessä Antti Toppila 24.9.2008 Antti Toppila sivu 2/20 Optimointiopin seminaari Syksy 2008 Sisältö

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006)

Salausmenetelmät. Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) Salausmenetelmät Veikko Keränen, Jouko Teeriaho (RAMK, 2006) LUKUTEORIAA JA ALGORITMEJA 3. Kongruenssit à 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Määritelmä 3.1 Kaksi lukua a ja b ovat keskenään kongruentteja (tai

Lisätiedot

kivikoriaita h500mm VIERAS JÄTEKATOS JÄTEKATOS +135,10 +135,10 lumet lumet 5 svk asf lumet PULL-UP PULL-UP 31 AIR AIR WALKER WALKER jumppa

kivikoriaita h500mm VIERAS JÄTEKATOS JÄTEKATOS +135,10 +135,10 lumet lumet 5 svk asf lumet PULL-UP PULL-UP 31 AIR AIR WALKER WALKER jumppa h500mm kivikoriaita kivikoriaita h500mm 11 h500mm kivikoriaita kivikoriaita h500mm 22 33 44 66 55 77 88 10 10 99 11 11 12 12 kivikoriaita h500mm 13 13 14 14 15 15 VIERAS JÄTEATOS JÄTEATOS +135,10 +135,10

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet, L3 Prosentti, yhtälöt Aiheet

Talousmatematiikan perusteet, L3 Prosentti, yhtälöt Aiheet Talousmatematiikan perusteet, L3 Prosentti, t Toisen Prosentti 1 Jos b on p% luvusta a, eli niin b = p 100 a a = perusarvo (Mihin verrataan?) (Minkä sadasosista on kysymys.) p = prosenttiluku (Miten monta

Lisätiedot

1.4 Funktion jatkuvuus

1.4 Funktion jatkuvuus 1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Opas kuntouttavaan tyo toimintaan

Opas kuntouttavaan tyo toimintaan Opas kuntouttavaan tyo toimintaan Yleistä 2 Eurajoen kunta ja rjesta a kuntouttavaa tyo toimintaa pitkään työttömänä olleille ja sen tarkoituksena on parantaa asiakkaan ela ma nhallintaa, työelämävalmiuksia

Lisätiedot

Seudullinen rakennusjärjestysmalli. Kangasala, Lempäälä, Nokia, Pirkkala, Orivesi, Tampere, Ylöjärvi ja Vesilahti

Seudullinen rakennusjärjestysmalli. Kangasala, Lempäälä, Nokia, Pirkkala, Orivesi, Tampere, Ylöjärvi ja Vesilahti Seudullinen rakennusjärjestysmalli Kangasala, Lempäälä, Nokia, Pirkkala, Orivesi, Tampere, Ylöjärvi ja Vesilahti Tampereen kaupunkiseutuun kuuluu kahdeksan kuntaa: Kangasala, Lempäälä, Orivesi, Pirkkala,

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,

Lisätiedot

Laukaan kunnan perusturvalautakunnan selvitys lastensuojelun määräraikojen ylittymisen vuoksi

Laukaan kunnan perusturvalautakunnan selvitys lastensuojelun määräraikojen ylittymisen vuoksi Perusturvalautakunta 30 08.05.2014 Laukaan kunnan perusturvalautakunnan selvitys lastensuojelun määräraikojen ylittymisen vuoksi 89/05.09.00/2013 Perusturvalautakunta 30 Valmistelija: perusturvajohtaja

Lisätiedot

Toimintakatteen toteumat tulosalueittain:

Toimintakatteen toteumat tulosalueittain: Perusturvalautakunta 27 26.04.2016 Perusturvalautakunnan talouden seuranta 2-3 /2016 Perusturvalautakunta 26.04.2016 27 Kaupunginhallitus on kokouksessaan 11.01.2016 4 hyväksynyt talous ar vion 2016 täytäntöönpano-ohjeen.

Lisätiedot

Valmistelija hallintopäällikkö Marja-Leena Larsson:

Valmistelija hallintopäällikkö Marja-Leena Larsson: Kaupunginhallitus 251 05.10.2015 Kaupunginhallitus 291 09.11.2015 Kaupunginhallitus 305 23.11.2015 Kaupunginhallitus 325 18.12.2015 Kaupunginhallitus 35 01.02.2016 SOSIAALITYÖN JOHTAJAN VIRAN TÄYTTÄMINEN

Lisätiedot

Miksi draamatarinoita?

Miksi draamatarinoita? Jouni Piekkari Metropolia AMK/ KAMU - kaveriohjausta maahanmuuttajille -hanke Miksi draamatarinoita? Draaman käytöstä kotoutumisen ja kohtauttamisen välineenä. KAMU-hankkeessa tutkitaan ja kokeillaan erityisesti

Lisätiedot

Alkeispelastuksen sa a nno t 2015 2015-01-13

Alkeispelastuksen sa a nno t 2015 2015-01-13 Alkeispelastuksen sa a nno t 2015 2015-01-13 Oleelliset muutokset vuoden 2014 sa a nto ihin: 1.5 Hidasteet osa on päivitetty. 2.3 Rakentaminen osa on pa ivitetty. Muita muutoksia ei ole. Johdanto Alue

Lisätiedot

Formula 18 Ranking 21.5., 28.5., Suomalainen Pursiseura ry ( SPS )

Formula 18 Ranking 21.5., 28.5., Suomalainen Pursiseura ry ( SPS ) Formula 18 Ranking 21.5., 28.5., 4.6.2015 Suomalainen Pursiseura ry ( SPS ) Purjehdusohje 1. Säännöt 1.1. Kilpailussa noudatetaan Purjehduksen kilpailusa a nno issa ma a riteltyja sa a nto ja. 1.2. Kielten

Lisätiedot

Mat. tukikurssi 27.3.

Mat. tukikurssi 27.3. Mat. tukikurssi 7.. Tänään oli paljon vaikeita aiheita: - suunnattu derivaatta - kokonaisdierentiaali - dierentiaalikehitelmä - implisiittinen derivointi Nämä kaikki liittvät aika läheisesti toisiinsa.

Lisätiedot

Kirjainkiemurat - mallisivu (c)

Kirjainkiemurat - mallisivu (c) Aa Ii Uu Ss Aa Ii Uu Ss SII-LIN VII-LI-KUP-PI I-sot, pie-net kir-jai-met, sii-li neu-voo aak-ko-set. Roh-ke-as-ti mu-kaan vaan, kaik-ki kyl-lä op-pi-vat! Ss Har-joit-te-le kir-jai-mi-a li-sää vih-koo-si.

Lisätiedot

Helmaripäivät 2017 Länsi- Suomen piiri

Helmaripäivät 2017 Länsi- Suomen piiri Länsi- Suomen piiri Mitä muutoksella haetaan? Ø Halutaan saada valmentajat paremmin mukaan toimintaan Ø Valmentajilta viesti pelaajille ja tätä kautta arki paremmaksi Mikä tapahtumien idea on? Ø Valmentajien

Lisätiedot

LUKUVUODEN 2011-2012 KOULUKYYTIEN OPTIOISTA PÄÄTTÄMINEN LUKUVUODEKSI 2012-2013

LUKUVUODEN 2011-2012 KOULUKYYTIEN OPTIOISTA PÄÄTTÄMINEN LUKUVUODEKSI 2012-2013 Sivistyslautakunta 30 22.06.2011 Sivistyslautakunta 52 22.05.2012 LUKUVUODEN 2011-2012 KOULUKYYTIEN OPTIOISTA PÄÄTTÄMINEN LUKUVUODEKSI 2012-2013 Sivltk 30 Koululaisten kuljetuksista on pyydetty tarjoukset

Lisätiedot

Evolutiivisesti stabiilin strategian oppiminen

Evolutiivisesti stabiilin strategian oppiminen Evolutiivisesti stabiilin strategian oppiminen Janne Laitonen 8.10.2008 Maynard Smith: s. 54-60 Johdanto Käytös voi usein olla opittua perityn sijasta Tyypillistä käytöksen muuttuminen ja riippuvuus aikaisemmista

Lisätiedot

Yhtymähallitus 119 26.08.2015 Yhtymähallitus 151 28.10.2015 Yhtymähallitus 163 25.11.2015 Yhtymähallitus 26 25.02.2016

Yhtymähallitus 119 26.08.2015 Yhtymähallitus 151 28.10.2015 Yhtymähallitus 163 25.11.2015 Yhtymähallitus 26 25.02.2016 Yhtymähallitus 119 26.08.2015 Yhtymähallitus 151 28.10.2015 Yhtymähallitus 163 25.11.2015 Yhtymähallitus 26 25.02.2016 Mäntykodin palvelutuotannon kilpailuttaminen 53/00.01.00/2015 Yhtymähallitus 26.08.2015

Lisätiedot

RATKAISUT: 21. Induktio

RATKAISUT: 21. Induktio Physica 9 2. painos 1(6) ATKAISUT ATKAISUT: 21.1 a) Kun magneettienttä muuttuu johdinsilmuan sisällä, johdinsilmuaan indusoituu lähdejännite. Tätä ilmiötä utsutaan indutiosi. b) Lenzin lai: Indutioilmiön

Lisätiedot

TALOUSARVION 2015 MUUTOS / HUOVILAN KOULUN ILTAPÄIVÄTOIMINTA / OPETUS- JA VARHAISKASVATUSPALVELUT

TALOUSARVION 2015 MUUTOS / HUOVILAN KOULUN ILTAPÄIVÄTOIMINTA / OPETUS- JA VARHAISKASVATUSPALVELUT Opetus- ja 112 26.08.2015 varhaiskasvatuslautakunta Kunnanhallitus 303 14.09.2015 Valtuusto 64 28.09.2015 TALOUSARVION 2015 MUUTOS / HUOVILAN KOULUN ILTAPÄIVÄTOIMINTA / OPETUS- JA VARHAISKASVATUSPALVELUT

Lisätiedot

Urheilua ja elämyksiä. Lentopalloliiton strategia 2016-2020

Urheilua ja elämyksiä. Lentopalloliiton strategia 2016-2020 Urheilua ja elämyksiä Lentopalloliiton strategia 2016-2020 Huippu-urheilu Beach volley ja lentopallo ovat suomalaisia menestyslajeja. Fanit ja media seuraavat edustusjoukkueitamme kotimaassa ja ulkomailla.

Lisätiedot

KÄTILÖTYÖN ERIKOISASIANTUNTIJA

KÄTILÖTYÖN ERIKOISASIANTUNTIJA KÄTILÖTYÖN ERIKOISASIANTUNTIJA 1. Tausta 2. Erikoisasiantuntija-alueet 2.1 Naisen terveyden erikoisasiantuntija seksuaaliterveyteen tai naistentauteihin liittyva ssa ka tilo tyo ssa 2.2 Ä itiyshuollon

Lisätiedot

Raahen seudun hyvinvointikuntayhtymä kirjoittaa:

Raahen seudun hyvinvointikuntayhtymä kirjoittaa: Kunnanhallitus 18 11.01.2016 Raahen seudun hyvinvointikuntayhtymän ikäsuunnitelma vuosille 2016-2025 Khall 11.01.2016 18 Raahen seudun hyvinvointikuntayhtymä kirjoittaa: "Yhall 28.08.2013 88 "Vanhuspalvelulaki"

Lisätiedot

MUSIIKKI VUOSILUOKAT 7-9

MUSIIKKI VUOSILUOKAT 7-9 MUSIIKKI VUOSILUOKAT 7-9 Oppiaineen tehta va Musiikin opetuksen tehta va na on luoda edellytykset monipuoliseen musiikilliseen toimintaan ja aktiiviseen kulttuuriseen osallisuuteen. Opetus ohjaa oppilaita

Lisätiedot

Valintakoe

Valintakoe Valintakoe 7.3.05 Kokeessa saa käyttää kirjoitusvälinewiden lisäksi ainoastaan kokeessa jaettavaa funktiolaskinta ja taulukkoa Pisteytys 8*3p=4p. Tehtävien alakohtien pistemäärät voivat poiketa toisistaan..

Lisätiedot

Sosiaali- ja terveysalan lupa- ja valvontavirasto/botnia Scan Oy

Sosiaali- ja terveysalan lupa- ja valvontavirasto/botnia Scan Oy Sosiaali- ja terveyslautakunta 380 09.11.2011 Sosiaali- ja terveysalan lupa- ja valvontavirasto/botnia Scan Oy 1068/61/616/2011 STLTK 380 Botnia Scan Oy on pyytänyt sosiaali- ja ter veysalan lupa- ja valvontavirastolta

Lisätiedot

EHDOTUS KOULUTUSSOPIMUKSEN KÄYTTÖÖN OTOSTA AMMATILLISESSA KOULUTUKSESSA

EHDOTUS KOULUTUSSOPIMUKSEN KÄYTTÖÖN OTOSTA AMMATILLISESSA KOULUTUKSESSA EHDOTUS KOULUTUSSOPIMUKSEN KÄYTTÖÖN OTOSTA AMMATILLISESSA KOULUTUKSESSA Raportin luovutus opetus- ja kulttuuriministeriölle 13.4.2016 Selvityshenkilöt Maija Aaltola ja Rauno Vanhanen KOULUTUSSOPIMUKSEN

Lisätiedot

KEURUUN KAUPUNKI PÖYTÄKIRJA 9/2015 1(9)

KEURUUN KAUPUNKI PÖYTÄKIRJA 9/2015 1(9) KEURUUN KAUPUNKI PÖYTÄKIRJA 9/2015 1(9) Tarkastuslautakunta 19.11.2015 AIKA 19.11.2015 klo 15:00-18:00 PAIKKA Kehitysvammaisten asumisyksikkö Runokulma klo 15, ja sen jälkeen kau pun gin ta lo, kokoushuone

Lisätiedot

T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (opetusmoniste, kappaleet )

T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (opetusmoniste, kappaleet ) T-79144 Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (opetusmoniste, kappaleet 11-22) 26 29102004 1 Ilmaise seuraavat lauseet predikaattilogiikalla: a) Jokin porteista on viallinen

Lisätiedot

http://www.iihce.fi/desktopmodules/iihcemodules/print.aspx?listid=626

http://www.iihce.fi/desktopmodules/iihcemodules/print.aspx?listid=626 1 / 9 2.10.2010 15:37 Kirjainten tekeminen [ref# 1379] Harjoitteen tavoite: Kiekonkäsittelyn alkeiden harjoittelu Osallistujien määrä ja ryhmäjako: Kaikki mukana (halutessa pienryhmät) Tarvittavat välineet

Lisätiedot

Myymälätilojen vuokran tarkistus/ Antiikki ja Sisustus Kristallisirpale

Myymälätilojen vuokran tarkistus/ Antiikki ja Sisustus Kristallisirpale Kaupunginhallitus 258 20.10.2014 Kaupunginhallitus 294 07.12.2015 Myymälätilojen vuokran tarkistus/ Antiikki ja Sisustus Kristallisirpale 141/522/2013 Kaupunginhallitus 20.10.2014 258 Kaupunginhallitus

Lisätiedot

Pro Navetta-hanke

Pro Navetta-hanke Pro Navetta-hanke 1.9.2016-31.5.2018 Eläinten hyvinvointi mukana investoinneissa ja maidontuotannon kehittämisessä Syksyn muistettavat tukiasiat ja eläinten hyvinvointikorvaus Esityksen sisältö: Hankeen

Lisätiedot

Heinola Jääporat on valmistettu Suomessa ja Suomalaisen Työn Liitto on myöntänyt. oikeuden käyttää Avainlippu -tunnusta merkkinä suomalaisesta työstä.

Heinola Jääporat on valmistettu Suomessa ja Suomalaisen Työn Liitto on myöntänyt. oikeuden käyttää Avainlippu -tunnusta merkkinä suomalaisesta työstä. Heinola Jääporat on valmistettu Suomessa ja Suomalaisen Työn Liitto on myöntänyt oikeuden käyttää Avainlippu -tunnusta merkkinä suomalaisesta työstä. Heinolan Jääporatehdas esittelee ylpeänä uuden, modernin

Lisätiedot

LEMPÄÄLÄN KUNTA ESITYSLISTA 1/2016 1. Asia Otsikko Sivu

LEMPÄÄLÄN KUNTA ESITYSLISTA 1/2016 1. Asia Otsikko Sivu LEMPÄÄLÄN KUNTA ESITYSLISTA 1/2016 1 AIKA klo 17:00 PAIKKA Tekninen 10, Tampereentie 10 KÄSITELTÄVÄT ASIAT Asia Otsikko Sivu 1 KOKOUKSEN LAILLISUUS JA PÄÄTÖSVALTAISUUS 2 2 PÖYTÄKIRJAN TARKASTAJIEN VALINTA

Lisätiedot

Lineaarialgebra MATH.1040 / voima

Lineaarialgebra MATH.1040 / voima Lineaarialgebra MATH.1040 / voima 1 Seuraavaksi määrittelemme kaksi vektoreille määriteltyä tuloa; pistetulo ja. Määritelmät ja erilaiset tulojen ominaisuudet saattavat tuntua, sekavalta kokonaisuudelta.

Lisätiedot

Hätäkeskuslaitoksen ja Lohjan kaupungin välisen määräaikaisen vuokrasopimuksen päättäminen

Hätäkeskuslaitoksen ja Lohjan kaupungin välisen määräaikaisen vuokrasopimuksen päättäminen Kaupunginhallitus 139 31.03.2014 Kaupunginhallitus 271 16.06.2014 Kaupunginhallitus 511 15.12.2014 Hätäkeskuslaitoksen ja Lohjan kaupungin välisen määräaikaisen vuokrasopimuksen päättäminen 877/10.03.02/2013

Lisätiedot

Maakuntajohtajan virka

Maakuntajohtajan virka Maakuntahallitus 47 25.02.2013 Maakuntahallitus 50 11.03.2013 Maakuntahallitus 63 18.03.2013 Maakuntavaltuusto 23 25.03.2013 Maakuntajohtajan virka MH 47 Hallintopäällikön ehdotus: Maakuntahallitus perusti

Lisätiedot