Approksimaatiovirheiden mallintaminen raudoitteita sisältävän kohteen resistanssitomograassa

Transkriptio

1 Approksimaatiovirheiden mallintaminen raudoitteita sisältävän kohteen resistanssitomograassa Mikko Räsänen Pro gradu -tutkielma Sovelletun fysiikan koulutusohjelma Itä-Suomen yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos 16. helmikuuta 2019

2 ITÄ-SUOMEN YLIOPISTO, Luonnontieteiden ja metsätieteiden tiedekunta Sovelletun fysiikan koulutusohjelma, laskennallinen fysiikka Mikko Räsänen: Approksimaatiovirheiden mallintaminen raudoitteita sisältävän kohteen resistanssitomograassa Pro Gradu-tutkielma, 64 sivua Tutkielman ohjaajat: FT Aku Seppänen (pääohjaaja) ja FT Tuomo Savolainen Helmikuu 2019 Avainsanat: resistanssitomograa, käänteisongelma, approksimaatiovirhemenetelmä, raudoite Tiivistelmä Resistanssitomograa (ERT) on sähköinen kuvantamismenetelmä, jossa kuvannettavan kohteen ulkopintaan kiinnitettyjen elektrodien välillä syötetään vaihtovirtaa, ja elektrodien välisten jännitteiden amplitudit mitataan. Mittausten perusteella lasketaan estimaatti kohteen sisäiselle sähkönjohtavuusjakaumalle. Sähkönjohtavuusjakauman estimointi on epälineaarinen ja huonosti asetettu käänteisongelma, jonka ratkaisu on hyvin herkkä mittaus- ja mallinnusvirheille. Käänteisongelman ratkaisemiseen voidaan käyttää tilastollista eli Bayesilaista lähestymistapaa, jossa mittausvirheen lisäksi voidaan huomioida mallinnusvirheitä niin sanotulla approksimaatiovirhemenetelmällä. Resistanssitomograa soveltuu esimerkiksi betonirakenteiden kuvantamiseen, ja sillä voidaan havaita halkeamia ja kosteuden etenemistä rakenteessa. Betonirakenteet sisältävät usein raudoitteita, joiden sijainnit ja muodot täytyy tuntea resistanssitomograan mittausten tarkkaa mallintamista varten. Jos raudoitteiden sijainteja ja muotoja ei tunneta tarkasti, mallissa esiintyvä virhe aiheuttaa virheitä kohteen sähkönjohtavuusjakauman estimaattiin. Tässä Pro Gradu - tutkielmassa käytettiin approksimaatiovirhemenetelmää resistanssitomograan käänteisongelman ratkaisemiseen tilanteessa, jossa mittauksia kuvaava malli on virheellinen johtuen betonirakenteen sisäisen raudoitteen huomiotta jättämisestä. Approksimaatiovirhemenetelmää testattiin simulaatioiden avulla sylinterigeometriassa, jossa elektrodit sijaitsivat sylinterin muotoisen kohteen ulkoreunalla, ja laattageometriassa, jossa elektrodit sijaitsivat laatan muotoisen kohteen yläpinnalla. Sylinterigeometriassa raudoite oli yksinkertainen suora tanko, ja laattageometriassa useammasta tangosta muodostuva verkko. Tulosten perusteella kohteen sähkönjohtavuusjakaumalle saadaan tarkempia estimaatteja mallintamalla raudoitteen huomiotta jättämisestä aiheutuvaa approksimaatiovirhettä. Etenkin laattageometriassa sähkönjohtavuusjakauman estimaatit ovat virheellisiä, jos approksimaatiovirhettä ei mallinneta. Huomioimalla approksimaatiovirhe saadaan hyvin kohteen sähkönjohtavuusjakaumaa vastaava estimaatti. Työn tulokset osoittavat, että approksimaatiovirhemenetelmä soveltuu kohteen sisäisen raudoitteen epätarkasta mallintamisesta aiheutuvan mallinnusvirheen korjaamiseen.

3 Lyhenteet EIT Impedanssitomograa (Electrical Impedance Tomography ) ERT Resistanssitomograa (Electrical Resistance Tomography ) FEM Äärellisten elementtien menetelmä (Finite Element Method ) MAP Maximum a Posteriori -estimaatti CEM Tavallinen virhemalli (Conventional Error Model ) EEM Paranneltu virhemalli (Enhanced Error Model ) AEM Approksimaatiovirhemalli (Approximation Error Model ) 2

4 Merkinnät Ω Ω r σ( r) e l u( r) z l U l V ν I l j( r) B(, ) H 1 (Ω) π x ( ) x Γ x π x,y ( ) π x y ( ) x y a, b a trace(a) Kuvannettava kohde Kohteen Ω reuna pisteen paikkavektori sähkönjohtavuusjakauma elektrodi, jonka indeksi on l N sähköinen potentiaali elektrodin e l ja kohteen välinen kontakti-impedanssi elektrodin e l sähköinen potentiaali mitattu jännitevektori pinnan ulospäin suunnattu yksikkönormaalivektori sähkövirta elektrodin e l läpi sähkövirran tiheys bilineaarimuoto Sobolev-avaruus satunnaismuuttujan x tiheysfunktio satunnaismuuttujan x odotusarvo Satunnaismuuttujan x kovarianssimatriisi satunnaismuuttujien x ja y yhteistiheysfunktio ehdollisen satunnaismuuttujan x y tiheysfunktio ehdollisen satunnaismuuttujan x y odotusarvo Vektorien a ja b pistetulo Vektorin a Euklidinen normi matriisin A jälki 3

5 Sisältö 1 Johdanto 5 2 Resistanssitomograa Resistanssitomograan suora malli Suoran mallin ratkaisun FEM-approksimaatio Käänteisongelma Approksimaatiovirhemenetelmä Approksimaatiovirheen mallintaminen Approksimaatiovirheen aiheuttavien parametrien estimointi Raudoitteisiin liittyvä approksimaatiovirhe Simulaatiot Simulaatiot sylinterigeometriassa Priorit ja approksimaatiovirhemallien muodostaminen Simuloidut kohteet ja estimaattien laskenta Tulokset ja pohdinta Simulaatiot laattageometriassa Simuloidut kohteet ja estimaattien laskenta Tulokset ja pohdinta Johtopäätökset 58 4

6 1 Johdanto Resistanssitomograa on ainetta rikkomaton sähköinen kuvantamismenetelmä, jossa estimoidaan kuvannettavan kohteen sähkönjohtavuusjakaumaa. Menetelmässä kohteen pintaan kiinnitetään elektrodeja, joiden välillä syötetään vaihtovirtaa. Virransyöttöjen aikana mitataan elektrodien välisten jännitteiden amplitudit. Kohteen sähkönjohtavuusjakauma estimoidaan syötettyjen sähkövirtojen ja vastaavien mitattujen jännitteiden perusteella. Estimoidusta sähkönjohtavuusjakaumasta saadaan tietoa kohteen sisäisistä rakenteista, joiden sähkönjohtavuudet eroavat toisistaan. Resistanssitomograalla on sovelluksia lääketieteellisessä kuvantamisessa, missä sitä voidaan hyödyntää hengityksen seurantaan, pehmytkudosten kuvantamiseen ja aivojen kuvantamiseen [13]. Teollisuudessa resistanssitomograaa voidaan käyttää sekoitustankkien kuvantamiseen ja putkien sisäisten virtausten kuvantamiseen [47]. Resistanssitmograalla voidaan kuvantaa sähköä johtavia kiinteitä materiaaleja [814], joten menetelmä soveltuu esimerkiksi betonirakenteiden kuvantamiseen ja rakenteiden kunnon arviointiin. Resistanssitomograalla voidaan havaita esimerkiksi betonin halkeamia [8] ja veden etenemistä betonissa [13]. Tutkimuksissa menetelmää on testattu simulaatioiden avulla sekä pienikokoisilla muurauslaastista tai betonista valmistetuilla kohteilla. Resistanssitomograa on mahdollisesti käyttökelpoinen menetelmä myös oikeiden, suurikokoisten betonirakenteiden kuvantamiseen. Rakenteiden kuvantamista varten tutkitaan myös sensing skin - tekniikkaa, jossa ehjän kohteen pintaan muodostetaan sähköä johtava kerros, jota kuvannetaan resistanssitomograalla [15]. Kohteen pintaan asti ulottuvat halkeamat halkaisevat tällöin myös pinnoitteen, ja halkeamat näkyvät pinnoitteen estimoidussa sähkönjohtavuusjakaumassa. Betonirakenteissa käytetään usein raudoitteita, joilla rakenne saadaan kestämään venyttäviä voimia. Raudoite on resistanssitomograan mittauksissa tasapotentiaalissa, joten se vaikuttaa sähköiseen potentiaaliin kohteen sisällä ja edelleen elektrodien väleillä mitattaviin jännitteisiin. Raudoitteen vaikutus mittausdataan mahdollistaa esimerkiksi raudoitteen paikantamisen resistanssitomograan avulla [8]. Toisaalta betonin kuvantamisessa kiinnostuksen kohde on yleensä raudoitteiden sijaan jokin sähkönjohtavuusjakaumaan vaikuttava ominaisuus, kuten betonin kosteusjakauma. Tällöin raudoitteet muodostavat mittauksia häiritsevän tekijän, joka voidaan ottaa huomioon mallintamalla raudoitteiden vaikutusta mittausdataan. Raudoitteiden mallintamista varten niiden sijainnit ja muodot täytyy joko tuntea ennakkoon tai estimoida samanaikaisesti sähkönjohtavuusjakauman kanssa. Raudoitteiden sijaintien ja muotojen estimointi on laskennallisesti raskasta, ja se tuottaa ylimääräistä laskentatyötä tilanteessa, jossa tarvitaan tietoa vain kohteen sähkönjohtavuusjakaumasta. Estimoinnin sijaan raudoitteita voidaan mallintaa ennakkotiedon perusteella, mutta epätarkka ennakkotieto johtaa virheelliseen malliin. Virheellisen mallin käyttö aiheuttaa edelleen virheitä sähkönjohtavuusjakauman estimaattiin. Sähkönjohtavuusjakauman estimointi on huonosti asetettu käänteisongelma, jonka ratkaisemiseen voidaan soveltaa Bayesilaista eli tilastollista lähestymistapaa. Bayesilainen lähestymis- 5

7 tapa sallii mittausvirheen lisäksi myös mallinnusvirheiden huomioimisen estimoinnissa, jolloin saadaan tarkempia estimaatteja kuin huomioimalla vain mittausvirhe [16]. Mallinnusvirheitä kutsutaan usein myös approksimaatiovirheiksi. Resistanssitomograassa ja muissa käänteisongelmissa on tutkittu usean eri tyyppisen approksimaatiovirheen huomiointia. Tässä työssä testataan approksimaatiovirheen huomiointia tilanteessa, jossa resistanssitomograan mittauksia kuvaavan mallin approksimaatiovirhe johtuu kohteen sisäisen raudoitteen huomiotta jättämisestä. Työn tavoitteena on tutkia, saadaanko kohteen sähkönjohtavuusjakauman estimaatteja tarkennettua ottamalla approksimaatiovirhe huomioon estimoinnissa. Kappaleessa 2 esitellään resistanssitomograan suora malli, suoran mallin ratkaisun approksimaatio äärellisten elementtien menetelmällä ja työssä käytetty käänteisongelman ratkaisumenetelmä. Kappaleessa 3 esitellään approksimaatiovirheiden mallintamisen periaate ja sovelletaan sitä raudoitteista johtuviin approksimaatiovirheisiin. Kappaleessa 4 esitellään työssä tehtyjen simulaatioiden tulokset ja pohdintaa saaduista tuloksista. Lopuksi kappaleessa 5 on lyhyt yhteenveto työstä. 6

8 2 Resistanssitomograa Resistanssitomograa (Electrical Resistance Tomography, ERT) on sähköinen kuvantamismenetelmä, jossa kuva muodostuu kohteen estimoidusta sähkönjohtavuusjakaumasta. Sähkönjohtavuusjakauma estimoidaan kohteen pinnalta tehtyjen sähköisten mittausten perusteella. Mittaukset suoritetaan kiinnittämällä kohteen pintaan elektrodeja, joiden kautta kohteeseen syötetään vaihtovirtaa. Virtaa syötetään tavallisesti kahden elektrodin välillä kerrallaan, ja kunkin virransyötön aikana mitataan kaikkien elektrodien välisten jännitteiden amplitudit. Myös useampaa kuin kahta elektrodia voidaan käyttää samanaikaisesti virransyötöissä [17, 18]. Kuvassa 1 on esitelty ERT:n mittausasetelma. Jos käytetyllä mittauslaitteistolla on mahdollista mitata myös jännitteiden vaihe-eroja, voidaan mitatun amplitudi- ja vaihedatan avulla estimoida kohteen kompleksista admittiivisuusjakaumaa, jonka reaaliosa sähkönjohtavuus on. Tällöin menetelmää kutsutaan impedanssitomograaksi (Electrical Impedance Tomography, EIT). Lyhenteellä EIT viitataan usein myös resistanssitomograaan. Resistanssitomograalla on käytännön sovelluksia lääketieteessä [13], prosessikuvantamisessa [47] ja geofysiikassa [19]. Lisäksi se on käyttökelpoinen menetelmä ainetta rikkomattomassa testauksessa [814]. e 4 V 3 e 3 V 2 e 2 I σ( r) V 1 e 1 +I Ω Kuva 1: Resistanssitomograan mittausasetelma. Ω on kuvannettava kohde, σ( r) on kohteen sähkönjohtavuusjakauma, I on syötetyn sähkövirran amplitudi ja V i on elektrodien e i ja e i+1 välillä mitatun jännitteen amplitudi. 7

9 2.1 Resistanssitomograan suora malli Resistanssitomograan suora malli yhdistää kohteen sähkönjohtavuusjakauman σ( r) ja määrättyä virransyöttöä vastaavat elektrodien väliset jännitteet V. Malli koostuu sähkönjohtavuudelle σ( r) ja sähköiselle potentiaalille u( r) muodostetusta osittaisdierentiaaliyhtälöstä ja reunaehdoista. ERT:n suora malli on [20] (σ( r) u( r)) = 0, r Ω (2.1) u( r) + z l σ( r) u ν ( r) = U l, r e l, l = 1,..., L (2.2) σ( r) u e l ν ( r)ds = I l, l = 1,..., L (2.3) σ( r) u ( r) = 0, ν r L Ω\ e l, (2.4) missä σ( r) on kohteen sähkönjohtavuusjakauma, u( r) on kohteen sisäinen sähköinen potentiaali, r on pisteen paikkavektori, z l on elektrodin e l ja kohteen välinen kontakti-impedanssi, U l on elektrodin e l potentiaali ja I l on elektrodin e l kautta syötetty sähkövirta. Lisäksi ν on ulospäin suunnattu yksikkönormaali ja L on elektrodien lukumäärä. Yhtälöiden (2.1)-(2.4) lisäksi sähkövarauksen tulee säilyä, joten virransyötölle asetetaan ehto l=1 L I l = 0. (2.5) l=1 Lisäksi sähköisen potentiaalin referenssitaso tulee kiinnittää, jotta suoran mallin ratkaisu on yksikäsitteinen. Referenssitaso voidaan kiinnittää esimerkiksi asettamalla elektrodien potentiaaleille U l ehto L U l = 0. (2.6) l=1 Kun sähkönjohtavuus σ( r), kontakti-impedanssit z l ja virransyöttö on määrätty, yhtälöiden (2.1)-(2.6) ratkaisuna saadaan kohteen sisäinen potentiaali u( r) ja elektrodien potentiaalit U l. Suoran mallin yhtälö (2.1) voidaan johtaa Maxwellin yhtälöistä. Kohteen oletetaan koostuvan lineaarisesta ja isotrooppisesta väliaineesta, ja syötetyn sähkövirran oletetaan olevan aikaharmoninen funktio. Lisäksi sähkömagneettisen induktion vaikutus sähkökenttään jätetään huomiotta, mikä on ERT:ssä käytetyillä matalilla taajuuksilla hyvä approksimaatio. Tällöin sähkökenttä E( r) approksimoidaan pyörteettömäksi, ja se voidaan esittää muodossa E( r) = u( r). Myös kapasitiiviset ilmiöt jätetään huomiotta, eli sähkövirran approksimoidaan muodostuvan vain varausten liikkeestä eikä lisäksi sähkövuon tiheyden ajallisesta muutoksesta. [20] Ohmin lain nojalla yhtälö (2.1) voidaan kirjoittaa sähkövirran tiheyden j( r) avulla muodos- 8

10 sa j( r) = 0, mikä tarkoittaa että kohteen sisällä ei ole sähkövirran lähteitä. Ensimmäinen reunaehto (2.2) tarkoittaa, että elektrodin e l potentiaali U l poikkeaa kohteen potentiaalista u( r) elektrodin alla. Potentiaalin epäjatkuvuus johtuu elektrodin ja kohteen välisestä kontaktiimpedanssista z l. Kontakti-impedanssi aiheutuu käytännössä siitä, että elektrodien ja kohteen rajapinnalla sähkövirta muuttuu elektronien virtauksesta ionien virtaukseksi [5]. Toinen reunaehto (2.3) tarkoittaa, että virrantiheyden normaalikomponentin j ν ( r) = σ( r) u ( r) integraali ν elektrodin e l pinnan yli on kyseisen elektrodin läpi syötetyn sähkövirran suuruinen. Viimeinen reunaehto (2.4) tarkoittaa, että virrantiheyden normaalikomponentti j ν ( r) = 0 kohteen reunalla muualla kuin elektrodien kohdalla. Yllä esitetyssä mallissa reunaehdot (2.2)-(2.4) muodostavat niin sanotun täydellisen elektrodimallin [21], jossa otetaan huomioon elektrodien ja kohteen väliset kontakti-impedanssit. Täydellisen elektrodimallin on havaittu mallintavan mittauksia mittaustarkkuuden rajoissa, toisin kuin yksinkertaisempien reunaehtojen [22]. Yksinkertaisempia reunaehtoja ovat esimerkiksi jatkuva malli, jossa sähkövirran tiheyden normaalikomponentti on kohteen reunalla jatkuva funktio, ja oikosulkumalli, jossa ei oteta huomioon elektrodien ja kohteen välisiä kontaktiimpedansseja. 2.2 Suoran mallin ratkaisun FEM-approksimaatio ERT:n suoralle mallille pystytään muodostamaan analyyttinen ratkaisu vain tapauksissa, joissa kohteen geometria ja sähkönjohtavuusjakauma ovat riittävän yksinkertaisia [23, 24]. Analyyttisen ratkaisun sijasta mallin ratkaisua voidaan approksimoida numeerisilla menetelmillä, kuten elementtimenetelmällä (Finite Element Method, FEM). ERT:n suoran mallin FEMapproksimaatiota on käsitelty esimerkiksi lähteissä [5, 8, 20, 25, 26]. Tässä kappaleessa FEMapproksimaation periaate esitetään lyhyesti. Elementtimenetelmässä käytetään suoran mallin variationaalimuotoa, jota sanotaan myös mallin heikoksi muodoksi. Variationaalimuodossa suora malli esitetään integraaliyhtälönä, jossa esiintyy sähköisen potentiaalin u( r) ja elektrodien potentiaalien U l lisäksi testifunktiot v ja V l, joille pätee samat reunaehdot kuin u( r):lle ja U l :lle. Variationaalimuodolle muodostetaan diskreetti approksimaatio, joka kirjoitetaan usean eri testifunktioparin (v, V l ) avulla. Tällöin päädytään yhtälöryhmään, jonka ratkaisuna saadaan approksimaatiot u( r):lle ja U l :lle. Variationaalimuodon johtaminen aloitetaan kertomalla yhtälöä (2.1) puolittain testifunktiolla v ja integroimalla saatu yhtälö Ω:n yli. Vastaavasti yhtälö (2.2) kerrotaan puolittain testifunktiolla V l, ja saatu yhtälö integroidaan elektrodin e l yli. Näin saadut kaksi yhtälöä voidaan sieventää käyttämällä reunaehtoja (2.3)-(2.4) sekä Greenin kaavaa. Yhdistämällä tulokset 9

11 saadaan suoran mallin (2.1)-(2.4) variationaalimuoto, joka on B((u, U), (v, V )) = L I l V l, (2.7) l=1 missä (v, V ) H ovat testifunktioita, H = H 1 (Ω) R L ja H 1 (Ω) on Sobolev-avaruus. Variationaalimuodossa esiintyvä bilineaarimuoto B : H H R on B((u, U), (v, V ))) = σ u vdx + Ω L 1 z l l=1 e l (u U l )(v V l )ds. (2.8) On osoitettu, että variationaalimuodolle on olemassa yksikäsitteinen ratkaisu ja että elementtimenetelmä on numeerisesti stabiili [21]. Elementtimenetelmässä variationaalimuodon (2.7) ratkaisulle haetaan approksimaatiota äärellisulotteisesta ratkaisuavaruudesta, joka määrätään valitsemalla avaruuden kantafunktiot. Kannan valinnan lisäksi Ω jaetaan äärellisen kokoisiin elementteihin, jotka ovat tässä työssä tetraedrin muotoisia. Sähköinen potentiaali esitetään kantafunktioiden lineaarikombinaationa N u u( r) u h ( r) = β i φ i ( r), (2.9) missä N u on kantafunktioiden lukumäärä, β i R ja funktiot φ i ovat kantafunktioita. Tässä työssä kanta valitaan siten, että kantafunktioita φ i on yhtä monta kuin elementtihilassa on solmupisteitä, ja kantafunktioille pätee ehto 1, kun i = j φ i ( r j ) =. (2.10) 0, kun i j Tällöin solmupisteessä r j potentiaalin arvo on β j. Kantafunktiot voivat olla esimerkiksi lineaarisia funktioita, jolloin φ i :n arvo laskee lineaarisesti nollaan siirryttäessä solmupisteestä r i kohti mitä vain viereistä solmupistettä r j. Tässä työssä käytetään 2. asteen kantafunktioita, joilla potentiaalia voidaan approksimoida tarkemmin kuin lineaarisilla kantafunktioilla elementtien määrän ollessa vakio [26]. Suoran mallin numeerista ratkaisua varten myös sähkönjohtavuusjakauma esitetään muodossa N σ σ( r) σ h ( r) = σ i ψ i ( r), (2.11) missä N σ on kantafunktioiden lukumäärä. Potentiaali u( r) ja sähkönjohtavuus σ( r) voidaan esittää eri kannoissa. Tässä työssä kantafunktiot ψ i ovat lineaarisia. Elektrodien potentiaalit i=1 i=1 10

12 esitetään muodossa L 1 U U h = γ j n j, (2.12) j=1 missä γ j R ja n 1 = ( 1, 1, 0,..., 0) T, n 2 = ( 1, 0, 1, 0,..., 0) T R L 1 jne. Tällä kantavektorien n j valinnalla varmistetaan, että ehto (2.6) pätee. Tällä valinnalla elektrodien potentiaalit ovat L 1 U 1 = l=1 U 2 = γ 1 U 3 = γ 2. U L = γ L 1. Äärellisulotteisen ratkaisuavaruuden kantafunktiot ovat (φ i, 0),.., (φ Nu, 0), (0, n 1 ),.., (0, n L 1 ), ja näitä funktioita käytetään myös testifunktioina variationaalimuodossa. Variationaalimuotoon (2.7) sijoitetaan sähkönjohtavuuden σ, elektrodien potentiaalien U ja sähköisen potentiaalin u kantafunktioesitykset. Variationaalimuodon täytyy päteä erikseen jokaiselle testifunktiolle, joten siitä saadaan lineaarinen yhtälöryhmä. Yhtälöryhmä voidaan esittää matriisimuodossa Aθ = I, (2.13) γ l missä θ = (β, γ) T, β = (β 1,..., β Nu ) ja γ = (γ 1,..., γ L 1 ). Lisäksi I = (0 1 Nu, Î)T, Î = (I 1 I 2, I 1 I 3,..., I 1 I L ). Matriisi A on muotoa missä lohkomatriisit B, C ja D ovat ( B A = C T ) C, (2.14) D ( Nσ ) L 1 B(i, j) = σ k ψ k ( r) φ i φ j dx + φ i φ j ds, i, j = 1,..., N u (2.15) Ω z l k=1 l=1 e l ( 1 C(i, j) = φ i ds 1 ) φ i ds, i = 1,..., N u, j = 1,..., L 1 (2.16) z 1 e 1 z j+1 e j+1 L 1 e 1 z D(i, j) = (n i ) l (n j ) l ds = 1, i j i, j = 1,..., L 1, (2.17) z l l=1 e l + e j+1 z j+1, i = j e 1 z 1 missä e i on elektrodin i pinta-ala. Yhtälöissä (2.15)-(2.17) esiintyvien integraalien laskemiseen käytetään numeerisia menetelmiä [25]. 11

13 Diskretoidun variationaalimuodon ratkaisun θ = A 1 I laskemisen jälkeen potentiaali u( r) ja elektrodien potentiaalit U l voidaan esittää yhtälöiden (2.9) ja (2.12) avulla. Elektrodien potentiaaleista U l voidaan laskea mittauksia vastaavat elektrodien väliset jännitteet V yhtälöllä V = M U, missä M on mittauksia vastaava dierenssimatriisi. Esimerkiksi jos jännitteet mitataan vierekkäisten elektrodien väliltä, M on muotoa M = Suoran mallin FEM-approksimaatiota käytetään käänteisongelman ratkaisumenetelmissä. Käänteisongelman ratkaisuna saadaan sähkönjohtavuusjakauman σ( r) kantafunktioesityksen (2.11) kertoimet σ i. Jatkossa näille kertoimille käytetään merkintää σ = (σ 1,..., σ Nσ ) T. 2.3 Käänteisongelma Resistanssitomograan käänteisongelma on ratkaista kohteen sisäinen sähkönjohtavuusjakauma σ( r) ja elektrodien kontakti-impedanssit z l, kun virransyöttöjä vastaavat jännitemittaukset on tehty. Kontakti-impedanssien estimointi samanaikaisesti sähkönjohtavuusjakauman kanssa on tärkeää käytettäessä oikeaa mittausdataa, koska väärin asetetut kontakti-impedanssit aiheuttavat virheitä sähkönjohtavuusjakauman estimaattiin [5]. Toisaalta estimoinnin sijasta kontaktiimpedansseille voitaisiin asettaa approksimatiiviset arvot, ja ottaa tähän liittyvä approksimaatiovirhe huomioon estimoinnissa [27]. Tässä työssä käytetään simuloitua mittausdataa, ja oletetaan yksinkertaisuuden vuoksi kontakti-impedanssit z l tunnetuiksi. Jatkossa ERT:n suora malli kirjoitetaan lyhyesti muodossa V = U(σ( r); z), missä puolipisteellä erotetaan tuntematon sähkönjohtavuusjakauma σ( r) ja tunnettut kontakti-impedanssit z. ERT:n käänteisongelma on huonosti asetettu, mikä tarkoittaa että usealla hyvin erilaisella sähkönjohtavuusjakaumalla σ( r) simuloidut jännitemittaukset sopivat mitattuun jännitedataan V mittaustarkkuuden rajoissa [16]. Tämän vuoksi käänteisongelmaa ei voida ratkaista esimerkiksi pienimmän neliösumman menetelmällä, jossa etsitään johtavuusjakauma jolle V U(σ( r); z) 2 minimoituu. Huonosti asetettujen käänteisongelmien tapauksessa pienimmän neliösumman ratkaisu on hyvin herkkä mittaus- ja mallinnusvirheille, joten ratkaisu ei vastaa kohteen oikeaa sähkönjohtavuusjakaumaa. Huonosti asetettujen käänteisongelmien ratkaisemiseen voidaan käyttää regularisointimenetelmiä, joissa ongelmaa muokataan siten, että saadaan hyvin asetettu ongelma. ERT:ssä regularisointia on käytetty esimerkiksi lähteissä [17,20,25,26]. Regularisoinnin sijaan käänteisongelmien ratkaisemiseen voidaan käyttää myös Bayesilaista eli tilastollista lähestymistapaa, jossa tuntemattomia muuttujia käsitellään satunnaismuuttujina. Bayesilaisessa lähestymistavassa käänteisongelman ratkaisu on suoran mallin U(σ( r); z), 12

14 mittausvirheen statistiikan ja prioritiedon perusteella muodostettu tuntematonta muuttujaa σ kuvaava todennäköisyystiheysfunktio, jota sanotaan posterioritiheydeksi. Usein lasketaan niin sanottu Maximum a Posteriori -estimaatti (MAP), joka on posterioritiheyden maksimikohta. Koko posterioritiheyden tarkastelu sallii myös estimaatin luotettavuuden arvioinnin, mutta tämä tarkastelu vaatii posterioritiheyden näytteistämistä Markovin ketjuihin perustuvilla menetelmillä. Pelkän MAP-estimaatin laskeminen on huomattavasti helpompi toteuttaa kuin posterioritieyden näytteistäminen. ERT:n käänteisongelmaan liittyvää posterioritiheyden näytteistämistä on tehty esimerkiksi lähteessä [28]. Tässä kappaleessa esitetään MAP-estimaatin laskennan periaate. Bayesilaisessa lähestymistavassa käänteisongelman ratkaisemiseen käytetään mittausdatan lisäksi saatavilla olevaa ennakkotietoa kohteen sähkönjohtavuusjakaumasta. Ennakkotietoa kuvataan sähkönjohtavuuden prioritodennäköisyystiheydellä π σ (σ). Ennakkoon voidaan esimerkiksi tietää, että kohteen sähkönjohtavuus on sileä, tai että sähkönjohtavuusjakauma on epäjatkuva [29]. Lisäksi saatavilla voi olla kvantitatiivista ennakkotietoa, kuten tietoa sähkönjohtavuusjakauman mahdollisista arvoista. Tässä työssä sähkönjohtavuudelle käytetään katkaistuja Gaussisia prioreja, jotka ovat muotoa { π σ (σ) Ξ(σ) exp 1 } 2 (σ σ ) T Γ 1 σ (σ σ ), (2.18) missä Γ σ ja σ ovat Gaussisen satunnaismuuttujan σ kovarianssimatriisi ja odotusarvo. Lisäksi Ξ(σ) on positiivisuuspriori, jonka määritelmä on 1, kun min(σ) 0 Ξ(σ) = 0, kun min(σ) < 0 Priorin valintaa tässä työssä käsitellään tarkemmin Kappaleessa 4.. (2.19) Bayesilaisessa lähestymistavassa mittausvirhettä käsitellään satunnaismuuttujana, jolla on todennäköisyystiheys π e (e). Kirjoitetaan ERT:n havaintomalli lyhyesti muodossa V = U(σ; z) + e, (2.20) missä V on mitatut jännitteet, U(σ; z) on ERT:n suoran mallin FEM-approksimaatio, ja e on additiiviseksi oletettu mittausvirhe. Tässä työssä mittausvirheen oletetaan olevan Gaussinen, joten sen tiheysfunktio on muotoa { π e (e) exp 1 } 2 (e e ) T Γ 1 e (e e ), (2.21) missä Γ e on virheen kovarianssimatriisi ja e on virheen odotusarvo. Mittausvirheen e oletetaan olevan riippumaton sähkönjohtavuudesta σ. Yhteistiheys π V,σ,e (V, σ, e) voidaan kirjoittaa 13

15 ehdollisen tiheyden määritelmän avulla muodossa π V,σ,e (V, σ, e) = π V σ,e (V σ, e)π e σ (e σ)π σ (σ) = δ(v U(σ; z) e)π e σ (e σ)π σ (σ), (2.22) missä δ on Diracin deltafunktio ja π V σ,e (V σ, e) = δ(v U(σ; z) e) havaintomallin (2.20) perusteella, kun σ ja e on kiinnitetty. Toisaalta ehdollisen tiheyden määritelmän avulla voidaan myös kirjoittaa π V,σ,e (V, σ, e) = π V,e σ (V, e σ)π σ (σ). (2.23) Mittausten V ehdollinen tiheys on yhtälöiden (2.22) ja (2.23) nojalla π V σ (V σ) = = π V,e σ (V, e σ)de δ(v U(σ; z) e)π e σ (e σ)de = π e σ (V U(σ; z) σ) = π e (V U(σ; z)). (2.24) Integraali on tässä ratkaistu muodollisesti. Kyseessä on Lebesgue-integraali, jossa Diracin deltafunktiota käytetään mittana jonka suhteen integraali lasketaan. Viimeisessä välivaiheessa käytettiin oletusta, että e ja σ ovat keskenään riippumattomia. Mittausvirheen e tiheysfunktio on muotoa (2.21), joten π V σ (V σ) = π e (V U(σ; z)) { = exp 1 } 2 (V U(σ; z) e ) T Γ 1 e (V U(σ; z) e ), (2.25) missä M on jännitemittausten lukumäärä. Tiheysfunktiota π(v σ) kutsutaan likelihood-funktioksi [16]. Tämän funktion avulla voidaan laskea ns. maximum likelihood -estimaatti (ML-estimaatti), joka on σ ML = arg max π V σ (V σ). (2.26) σ Maximum likelihood-estimaatin laskeminen vastaa painotettua pienimmän neliösumman menetelmää, jossa mittausvirheen kovarianssimatriisia Γ e käytetään eri mittausten suhteelliseen painottamiseen. Resistanssitomograan käänteisongelma on huonosti asetettu, joten ML-estimaatti ei käytännössä vastaa kohteen oikeaa sähkönjohtavuusjakaumaa [30]. Likelihood-funktion lisäksi estimoinnissa täytyy käyttää sähkönjohtavuuden prioritiheyttä π σ (σ), jolloin saadaan muodos- 14

16 tettua posterioritiheys. Posterioritiheys saadaan kirjoittamalla sähkönjohtavuuden ja mitattujen jännitteiden yhteistiheys kahdessa muodossa ehdollisen tiheyden määritelmän avulla. π σ,v (σ, V ) = π V σ (V σ)π σ (σ) = π σ V (σ V )π V (V ). (2.27) Tästä saadaan Bayesin kaava π σ V (σ V ) = π σ(σ)π V σ (V σ) π V (V ) π σ (σ)π V σ (V σ), (2.28) missä π V (V ) on normalisointivakio, joka voidaan jättää huomiotta. Tiheysfunktiota π σ V (σ V ) kutsutaan posterioritiheydeksi [16]. Yhtälöistä (2.18) ja (2.25) saadaan posterioritiheydelle muoto { π σ V (σ V ) Ξ(σ) exp 1 2 (V U(σ; z) e ) T Γ 1 e (V U(σ; z) e ) 1 } 2 (σ σ ) T Γ 1 σ (σ σ ). (2.29) Posterioritiheydestä voidaan laskea MAP-estimaatti, joka on posterioritiheyden maksimikohta. MAP-estimaatti siis minimoi posterioritiheyden (2.29) negatiivisen eksponentin. Huomioimalla sähkönjohtavuuden σ positiivisuusrajoite, saadaan σ MAP = arg max π(σ V ) σ = arg min σ 0 {(V U(σ; z) e ) T Γ 1 e (V U(σ; z) e ) + (σ σ ) T Γ 1 σ (σ σ )} = arg min{(v U(σ; z) e ) T L T e L e (V U(σ; z) e ) + (σ σ ) T L T σ L σ (σ σ )} σ 0 = arg min{(l e (V U(σ; z) e ) T L e (V U(σ; z) e ) + (L σ (σ σ )) T L σ (σ σ )} σ 0 = arg min{ L e (V U(σ; z) e ) 2 + L σ (σ σ ) 2 }, (2.30) σ 0 missä L e ja L σ ovat matriisien Γ 1 e ja Γ 1 σ Cholesky-tekijät. MAP-estimaatin laskeminen on siis optimointiongelma, joka voidaan ratkaista esimerkiksi Gauss-Newton-algoritmilla. Ilman positiivisuusrajoitetta Gauss-Newton-iteraatio olisi muotoa σ k+1 = σ k + d k (J T Γ 1 e =: σ k + d k p k, J + L T σ L σ ) 1 (J T Γ 1 e (V U( σ k ; z) e ) Γ 1 σ ( σ k σ )) (2.31) missä σ k on estimaatti iteraatiokierroksella k, d k R on askelpituus ja J on mallin U(σ; z) Jacobin matriisi laskettuna pisteessä σ k. Iterointi aloitetaan alkuarvauksesta σ 0, ja estimaatti siirtyy jokaisella iterointikierroksella suuntaan p k askelpituuden d k verran. Tässä työssä alkuar- 15

17 vauksena käytetään priorin odotusarvoa. Lisäksi suuntavektori p k lasketaan ensin, jonka jälkeen askelpituus d k valitaan viivahakumenetelmällä. Jacobin matriisin J laskenta σ:n suhteen on esitetty esimerkiksi lähteessä [5]. Positiivisuusrajoite toteutetaan tässä työssä menetelmällä, jossa minimoitavaan funktionaaliin (2.30) lisätään sakkofunktio q(σ), jolloin minimointiongelma on muotoa σ MAP = arg min{ L e (V U(σ; z) e ) 2 + L σ (σ σ ) 2 + q(σ)}. (2.32) σ 0 Sakkofunktio q(σ) on tässä työssä muotoa q(σ) = σ min,2 σ i σ min,1 aσ 2 i + bσ i + c, (2.33) missä σ min,2 ja σ min,1 ovat pieniä positiivisia lukuja siten että σ min,2 < σ min,1. Lisäksi a, b ja c ovat vakioita, joiden arvot voidaan laskea kun kiinnitetään arvot σ min,2, σ min,1, q(σ min,2 ) ja q:n nollakohta q(σ min,1 ) = aσ 2 min,1 + bσ min,1 + c = 0. Sakkofunktio q(σ) siis kasvattaa minimoitavan funktionaalin (2.32) arvoa jos σ k sisältää arvoja, jotka ovat pienempiä kuin σ min,1. Iteraatiokierroksella k vektorin σ k negatiiviset komponentit projisoidaan arvoon σ min,2, jolloin sakkofunktio pakottaa näitä komponentteja kasvamaan iteraatiokierroksella k + 1. Positiivisuusrajoite toteutetaan siis sisäpistemenetelmällä (Interior Point Method ), mikä tarkoittaa että σ:n estimaatti pysyy jokaisella iteraatiokierroksella ei-negatiivisena. Sisäpistemenetelmää käytetään, koska suoran mallin ratkaiseminen vaatii ei-negatiivisen sähkönjohtavuusjakauman. Sakkofunktion q(σ) gradientin komponentit ovat 0, kun σ i > σ min,1 [ q] i =, (2.34) 2aσ i + b, kun σ i σ min,1 ja q(σ):n Hessen matriisi on diagonaalimatriisi, jonka diagonaalialkiot ovat muotoa 0, kun σ i > σ min,1 [H q ] i,i =. (2.35) 2a, kun σ i σ min,1 Optimointiongelman (2.32) ratkaisun Gauss-Newton iteraatio on muotoa σ k+1 = σ k + d k (J T Γ 1 e =: σ k + d k p k. J + L T σ L σ + H q ) 1 (J T Γ 1 (V U( σ k ; z) e ) Γ 1 ( σ k σ ) q) e σ (2.36) Iteraatio on siis samanlainen kuin ilman positiivisuusrajoitteen huomiointia (2.31), mutta nyt iteraatioon on lisätty sakkofunktion q(σ) gradientti ja Hessen matriisi. 16

18 ERT:n suoran ongelman epälineaarisuudesta sekä ei-negatiivisuudesta johtuen posterioritiheys ei ole Gaussinen, joten MAP-estimaatin luotettavuuden tarkka arviointi vaatii posterioritiheyden näytteistämistä. Näytteistämisen sijaan MAP-estimaatille voidaan laskea approksimatiiviset luottamusvälit approksimoimalla posterioritiheyttä Gaussisena. Tällöin posterioritiheyden kovarianssille saadaan approksimaatio [16] Γ σ V (Γ 1 σ + J T Γ 1 e J) 1, (2.37) missä Jacobin matriisi J on sama kuin yhtälössä (2.31), mutta laskettu pisteessä σ MAP. Approksimatiivisesta posterioritiheyden kovarianssista voidaan laskea kullekin MAP-estimaatin komponentille σ MAP,k esimerkiksi kolmen keskihajonnan luottamusväli, joka on [ σ MAP,k 3 Γ σ V,kk, σ MAP,k + 3 Γ σ V,kk ]. 17

19 3 Approksimaatiovirhemenetelmä Kun käänteisongelmien ratkaisemiseen käytetään Bayesilaista lähestymistapaa, malleissa esiintyviä virheitä voidaan ottaa huomioon approksimaatiovirhemenetelmällä [16, 31]. Osittaisdierentiaaliyhtälöihin perustuvissa malleissa virhettä aiheutuu esimerkiksi mallin diskretoinnista elementtimenetelmällä ratkaisemista varten. Mallin reunaehdot voivat olla huonosti tunnettuja, etenkin jos kohteen reunan muoto on myös huonosti tunnettu. Reunan muodon lisäksi kuvantamisongelmissa sensorien paikat voivat olla epätarkasti tunnettuja. Malli voi sisältää huonosti tunnettuja parametreja, joille voidaan ennakktiedon perusteella asettaa vain approksimatiiviset arvot. Virheellisen suoran mallin käyttö käänteisongelman ratkaisemisessa voi johtaa huonoon ratkaisuun, joka ei vastaa kohdetta. Resistanssitomograassa approksimaatiovirhemenetelmää on sovellettu usean erityyppisen mallinnusvirheen huomiointiin. Näitä virheitä ovat diskretointivirhe [19, 27, 32], approksimatiivisen reunan muodon aiheuttama virhe [1, 19, 27, 3234], tuntemattomien reunaehtojen aiheuttama virhe [19] ja tuntemattomien kontakti-impedanssien aiheuttama virhe [27]. Menetelmää on myös käytetty tilanteessa, jossa suoraa mallia on yksinkertaistettu approksimoimalla sähkönjohtavuuden olevan muuttumaton jonkin paikkakoordinaatin suhteen [35]. Lisäksi menetelmää voidaan käyttää tilanteessa, jossa suoran mallin FEM-approksimaatiota yksinkertaistetaan esittämällä sähkönjohtavuus ja sähköinen potentiaali pienellä määrällä kantafunktioita [36]. Approksimaatiovirhemenetelmällä voidaan käsitellä useaa erityyppistä mallinnusvirhettä samanaikaisesti [27]. Approksimaatiovirhemenetelmää on sovellettu ERT:n lisäksi useisiin muihin käänteisongelmiin. Approksimaatiovirheitä on käsitelty ERT:n lisäksi esimerkiksi diuusissa optisessa tomograassa, jossa kohteen absorptio- ja sirontakerroinjakaumat estimoidaan kohteen reunalla tehtävien optisten mittausten perusteella. Tässä tapauksessa approksimaatiovirhemenetelmää on sovellettu esimerkiksi diskretointivirheen [37], tuntemattomaan reunan muodon [3739], ja säteilynsiirtoyhtälön ja diuusioapproksimaation välisen mallinnusvirheen huomiointiin [40]. Fluoresenssitomograassa approksimaatiovirhemenetelmää on sovellettu approksimatiivisesti mallinnettujen väliaineen optisten ominaisuuksien aiheuttaman virheen huomiointiin [41]. Approksimaatiovirhemenetelmää on käytetty myös tilanteissa, joissa jokin suorassa mallissa esiintyvä jakauma approksimoidaan homogeeniseksi, kun estimoidaan tämän jakauman sijasta jotain muuta mallissa esiintyvää suuretta. Lähteessä [42] käytettiin approksimaatiovirhemenetelmää diuusissa optisessa tomograassa tilanteeseen, jossa kohteen sirontakerroinjakaumaa approksimoitiin homogeenisena ja estimoitiin vain absorptiokerroinjakauma. Lähteessä [43] approksimoitiin väliaineen permittiivisyysjakauma homogeeniseksi, kun estimoitiin sähkömagneettisia aaltoja sirottavan kohteen sijaintia. Approksimaatiovirheitä on käsitelty myös epästationäärisissä käänteisongelmissa, joissa ajasta riippuvaa kohteen tilaa estimoidaan eri ajanhetkillä tehtyjen mittausten perusteella [4, 6, 44, 18

20 45]. Puutteellisesta tiedosta johtuvien mallinnusvirheiden lisäksi malli voi sisältää tietoisesti tehtyjä mallinnusvirhetä. Käyttämällä harvaa diskretointia suorassa mallissa voidaan vähentää käänteisongelman ratkaisuun tarvittavaa laskentatehoa- ja aikaa. Harvan diskretoinnin lisäksi laskentaa voidaan nopeuttaa asettamalla mallin ei-kiinnostaville parametreille approksimatiiviset arvot, ja estimoimalla ainoastaan kiinnostavat tuntemattomat parametrit. Jos eikiinnostaville parametreille asetetut arvot poikkeavat niiden oikeista arvoista, käänteisongelman ratkaisu kiinnostaville parametreille voi poiketa hyvin paljon parametrien oikeista arvoista. Approksimaatiovirhemenetelmässä otetaan huomioon suorassa mallissa esiintyvät virheet, jolloin kiinnostaville parametreille saadaan tarkempia estimaatteja. 3.1 Approksimaatiovirheen mallintaminen Suora malli voi sisältää käänteisongelman ratkaisun kannalta ei-kiinnostavia tuntemattomia parametreja, joita merkitään jatkossa vektorilla ξ. Käytetään σ:n ja ξ:n yhteiselle posterioritiheydelle merkintää π σ,ξ V (σ, ξ V ). Tämä posterioritiheys voidaan marginalisoida integroimalla ei-kiinnostavien parametrien ξ suhteen π σ V (σ V ) = π σ,ξ V (σ, ξ V )dξ, (3.1) jolloin saadaan posterioritiheys sähkönjohtavuudelle σ. Tämä tapa σ:n estimointiin vaatii tiheysfunktion π σ,ξ V näytteistämistä, mikä on laskennallisesti raskasta. Approksimaatiovirhemenetelmässä posterioritiheys π σ,ξ V marginalisoidaan approksimatiivisesti parametrien ξ suhteen etukäteen [42]. Tällöin parametreille ξ voidaan asettaa approksimatiiviset arvot, eikä niitä tarvitse estimoida samanaikaisesti σ:n MAP-estimaatin laskennan kanssa. Tässä kappaleessa esitellään approksimaatiovirhemenetelmän käyttö. Oletetaan, että U Ω,δ (σ, ξ) on riittävän tarkka laskennallinen malli, jonka approksimaatiovirhe on mittausvirheeseen verrattuna pieni. Tässä mallissa kohteen Ω geometria on mallinnettu tarkasti. Alaindeksi δ viittaa FEM-hilan diskretointiin; δ voi olla esimerkiksi suurin sallittu elementin tilavuus, joka on tarkalle mallille pieni. Lisäksi ξ on parametrivektori, joka voi sisältää mitä vain mallin parametreja, joita σ:n lisäksi tarvitaan suoran mallin ratkaisemiseen. Tässä työssä kontakti-impedansseja z pidetään tunnettuina parametreina, joten ne muodostavat osan parametrivektorista ξ. Näiden lisäksi ξ voi sisältää esimerkiksi kohteen geometriaa kuvaavia parametreja. Olkoon U Ω,h (σ, ξ 0 ) approksimatiivinen malli, jossa kohteen geometria voi olla mallinnettu virheellisesti (merkitään Ω), diskretointi voi olla harvempi kuin tarkassa mallissa (h δ), ja parametrivektorille ξ on asetettu approksimatiivinen arvo ξ 0. Näistä mallinnusvirheistä johtuen approksimatiivisella mallilla U Ω,h (σ, ξ 0 ) lasketut mittaukset ovat malliin U Ω,δ (σ, ξ) verrattuna virheellisiä. 19

21 Tarkkaan laskennalliseen malliin liittyvä havaintomalli (2.20) voidaan kirjoittaa muodossa V = U Ω,δ (σ, ξ) + e = U Ω,h (σ, ξ 0 ) + [U Ω,δ (σ, ξ) U Ω,h (σ, ξ 0 )] + e = U Ω,h (σ, ξ 0 ) + ε(σ, ξ) + e = U Ω,h (σ, ξ 0 ) + η(σ, ξ), (3.2) missä ε(σ, ξ) = U Ω,δ (σ, ξ) U Ω,h (σ, ξ 0 ) on approksimaatiovirhe ja η(σ, ξ) = ε(σ, ξ) + e. Havaintomalli (3.2) on siis samaa muotoa kuin havaintomalli (2.20), mutta nyt myös mallinnusvirhe on huomioitu additiivisena virheenä. Approksimaatiovirhemenetelmän periaatteena on käyttää havaintomallia (3.2), ja huomioida mallinnusvirheen ε statistiikka MAP-estimaatin laskennassa. Johdetaan seuraavaksi posterioritiheys käyttäen havaintomallia (3.2). Mittausvirhettä e käsitellään riippumattomana muuttujista (σ, ξ), kuten kappaleessa 2.3. Lisäksi mittausvirheen e ja mallinnusvirheen ε oletetaan olevan keskenään riippumattomia. Johdetaan aluksi likelihoodfunktio. Ehdollisen todennäköisyyden avulla yhteistiheys π(v, σ, ξ, e, ε) voidaan kirjoittaa muodossa π V,σ,ξ,e,ε (V, σ, ξ, e, ε) = π V σ,ξ,e,ε (V σ, ξ, e, ε)π σ,ξ,e,ε (σ, ξ, e, ε) = δ(v U Ω,h (σ, ξ 0 ) e ε)π e,ε,ξ σ (e, ε, ξ σ)π σ (σ), (3.3) missä π V σ,ξ,e,ε (V σ, ξ, e, ε) = δ(v U Ω,h (σ, ξ 0 ) e ε) havaintomallin (3.2) perusteella, kun (σ, ξ, e, ε) on kiinnitetty (ξ:n kiinnitettyä arvoa merkitään ξ 0 :lla). Toisaalta ehdollisen tiheyden määritelmän avulla voidaan myös kirjoittaa π V,σ,ξ,e,ε (V, σ, ξ, e, ε) = π V,ξ,e,ε σ (V, ξ, e, ε σ)π σ (σ). (3.4) Yhtälöiden (3.3) ja (3.4) avulla saadaan ehdollinen tiheysfunktio π V σ (V σ) vastaavasti kuin kappaleessa 2.3 (yhtälö (2.24)) π V σ (V σ) = π V,ξ,e,ε σ (V, ξ, e, ε σ)dξdedε = δ(v U Ω,h (σ, ξ 0 ) e ε)π e,ε,ξ σ (e, ε, ξ σ)dξdedε = δ(v U Ω,h (σ, ξ 0 ) e ε)π e,ε σ (e, ε σ)dedε = δ(v U Ω,h (σ, ξ 0 ) e ε)π e (e)π ε σ (ε σ)dedε = π e (V U Ω,h (σ, ξ 0 ) ε)π ε σ (ε σ)dε (3.5) 20

22 Likelihood-funktio π V σ (V σ) saadaan siis kahden tiheysfunktion konvoluutiointegraalina ε:n suhteen. Näistä kahdesta tiheysfunktioista ensimmäinen on π e (V U(σ, ξ 0 )), jonka huomataan olevan satunnaismuuttujan e + U(σ, ξ 0 ) tiheysfunktio evaluoituna pisteessä V. Tässä σ ja ξ 0 olivat kiinnitettyjä, joten U(σ, ξ 0 ) on vakio, joka on lisätty satunnaismuuttujaan e. Konvoluutiointegraalin toinen tiheysfunktio on yksinkertaisesti satunnaismuuttujan ε σ tiheysfunktio. Kuten edellä, pidetään mittausvirhettä Gaussisena, eli π e (e) = N (e, Γ e ). Integraalissa (3.5) esiintyvälle tiheysfunktiolle π ε σ voidaan muodostaa Gaussinen approksimaatio approksimoimalla ensin yhteistiheyttä π ε,σ (ε, σ) Gaussisena ( ) T ( π ε,σ (ε, σ) exp 1 ε ε 2 σ σ Tällöin saadaan, että π ε σ on muotoa π ε σ (ε σ) = N (ε σ, Γ ε σ ), missä [16] Γ ε Γ σε Γ εσ Γ σ ) 1 ( ) ε ε σ σ. (3.6) ε σ = ε + Γ εσ Γ 1 σ (σ σ ) (3.7) Γ ε σ = Γ ε Γ εσ Γ 1 σ Γ σε. (3.8) Kokonaisvirheelle η pätee η σ = e+ε σ, joten sen tiheysfunktioksi saadaan π η σ = N (η σ, Γ η σ ), missä η σ = e + ε + Γ εσ Γ 1 σ (σ σ ) (3.9) Γ η σ = Γ e + Γ ε Γ εσ Γ 1 σ Γ σε. (3.10) Tiheysfunktiot π e ja π ε σ ovat Gaussisia ja e ja ε ovat keskenään riippumattomia satunnaismuuttujia. Edelleen myös e + U(σ, ξ 0 ) ja ε σ ovat keskenään riippumattmia. Konvoluutiointegraali (3.5) on siis kahden keskenään riippumattoman ja Gaussisen satunnaismuuttujan tiheysfunktioiden konvoluutio. Tällöin tuloksena saadaan tunnetusti Gaussinen tiheysfunktio, jonka odotusarvo on satunnaismuuttujien e + U(σ, ξ 0 ) ja ε σ odotusarvojen summa, ja jonka kovarianssimatriisi on vastaavasti e + U(σ, ξ 0 ):n ja ε σ:n kovarianssimatriisien summa. Siten likelihood-funktio π V σ (V σ) on π(v σ) = N (e + U Ω,h (σ, ξ 0 ) + ε σ, Γ e + Γ ε σ ) = N (U Ω,h (σ, ξ 0 ) + η σ, Γ η σ ) { exp 1 } 2 (V U Ω,h (σ, ξ 0 ) η σ ) T Γ 1 η σ (V U Ω,h (σ, ξ 0 ) η σ ). (3.11) 21

23 Kun käytetään katkaistua Gaussista prioria kuten kappaleessa 2.3, posterioritiheys on muotoa { π(σ V ) Ξ(σ) exp 1 2 (V U Ω,h (σ, ξ 0 ) η σ ) T Γ 1 η σ (V U Ω,h (σ, ξ 0 ) η σ ) 1 } 2 (σ σ ) T Γ 1 σ (σ σ ). Huomioimalla σ:n positiivisuusrajoite kuten kappaleessa 2.3, MAP-estimaatti on (3.12) σ MAP = arg min{ L η σ (V U Ω,h (σ, ξ 0 ) η σ ) 2 + L σ (σ σ ) 2 + q(σ)}, (3.13) σ 0 missä L T η σ L η σ = Γ 1 η σ. Estimaatti voidaan laskea Gauss-Newton-algoritmilla, joka on nyt muotoa σ k+1 = σ k + d k (J T Γ 1 η σ J + LT σ L σ + H q ) 1 (J T Γ 1 η σ (V U Ω,h ( σ k, ξ 0 ) η σ ) Γ 1 σ ( σ k σ ) q) =: σ k + d k p k. (3.14) Approksimaatiovirheen sisältävää virhemallia kutsutaan approksimaatiovirhemalliksi (Approximation Error Model, AEM). Usein approksimoidaan lisäksi, että σ ja ε ovat keskenään riippumattomia, jolloin Γ σε = 0 ja Γ εσ = 0. Tällöin kokonaisvirheen η odotusarvo (3.9) ja kovarianssi (3.10) ovat muotoa η σ = e + ε (3.15) Γ η σ = Γ e + Γ ε. (3.16) Tällöin virhemallia kutsutaan parannelluksi virhemalliksi (Enhanced Error Model, EEM). σ:n ja ε:n approksimointi riippumattomiksi satunnaismuuttujiksi on karkea approksimaatio, mutta suurimmassa osassa approksimaatiovirhemenetelmään liittyvistä tutkimuksista on käytetty tätä virhemallia. Tämän virhemallin käytön on havaittu parantavan saatuja MAP-estimaatteja verrattuna vain mittausvirheen sisältävän virhemalliin (2.20) käyttöön [19, 33, 35, 43]. Käytännössä approksimaatiovirheen odotusarvo ε, kovarianssi Γ ε sekä ristikovarianssit Γ σϵ ja Γ ϵσ lasketaan simuloitujen approksimaatiovirheen näytteiden perusteella. Tämä simulaatio ja statistiikan laskenta voidaan suorittaa ennen kuin kuvannettavasta kohteesta tehdään mittauksia. Statistiikan laskeminen vaatii suoran ongelman ratkaisemista sekä tarkalla mallilla U Ω,δ (σ, ξ) että approksimatiivisella mallilla U Ω,h (σ, ξ 0 ). Statistiikan laskemisen jälkeen MAP-estimointiin tarvitaan vain approksimatiivista mallia U Ω,h (σ, ξ 0 ). Statistiikan laskenta aloitetaan generoimalla näytteitä parametrivektorille (σ, ξ) T priorijakaumasta. Olkoon näytteiden määrä N s ja merkitään indeksiä l N vastaavaa näytettä 22

24 (σ (l), ξ (l) ) T. Tätä näytettä vastaava approksimaatiovirhe on ε (l) = U Ω,δ (σ (l) δ, ξ(l) ) U Ω,h (σ (l) h, ξ 0). (3.17) Approksimaatiovirheen odotusarvo ε, kovarianssi Γ ε ja ristikovarianssit Γ εσ ja Γ σε lasketaan näytteiden perusteella yhtälöillä ε = 1 N s Γ ε = Γ εσ = N s l=1 1 N s 1 1 N s 1 ε (l) (3.18) N s l=1 N s l=1 (ε (l) ε )(ε (l) ε ) T (3.19) (ε (l) ε )(σ (l) σ ) T (3.20) Γ σε = Γ T εσ. (3.21) Jos käytetään approksimaatiota, jossa ε ja σ ovat keskenään riippumattomia, ei tarvitse laskea ristikovarianssimatriiseja Γ εσ ja Γ σε. 3.2 Approksimaatiovirheen aiheuttavien parametrien estimointi Approksimaatiovirhemenetelmässä tuntemattomalle parametrivektorille ξ asetetaan approksimatiivinen arvo ξ 0, ja tähän approksimaatioon ja muihin virhelähteisiin liittyvä mallinnusvirhe otetaan huomioon estimoitaessa vektoria σ. Approksimaatiovirhemenetelmän käytön sijasta tuntemattomat parametrit ξ voitaisiin estimoida samanaikaisesti σ:n kanssa, mutta erityisesti kohteen geometriaa kuvaavien parametrien MAP-estimointi on vaikeaa, koska tällöin suoraa mallia täytyy derivoida näiden parametrien suhteen [46,47]. Geometriaa kuvaavien parametrien estimointi iteratiivisilla menetelmillä on laskennallisesti raskasta, koska parametrien estimaatin muuttuessa kohteelle täytyy muodostaa uusi FEM-hila. Käytettäessä approksimaatiovirhemenetelmää parametreille ξ voidaan muodostaa MAPestimaatti σ:n estimoinnin jälkeen, jolloin parametreja ξ ei tarvitse estimoida samanaikaisesti σ:n kanssa [1, 34, 48]. Menetelmä perustuu approksimaatiovirheen ε realisaation estimointiin samanaikaisesti kiinnostavan parametrivektorin σ kanssa, jonka jälkeen estimoidun approksimaatiovirheen realisaation perusteella saadaan estimaatti parametreille ξ. Tämä menetelmä ξ:n estimointiin on laskennallisesti kevyempi kuin ξ:n suora estimointi samanaikaisesti σ:n kanssa. Menetelmää on käytetty resistanssitomograassa kohteen ulkoreunan muodon estimointiin jälkikäteen, kun σ:n estimaattia laskettaessa käytetään ulkoreunan muodolle yksinkertaista approksimaatiota [1,34,48]. Tässä kappaleessa esitellään ξ:n estimoinnin periaate approksimaatiovirhemenetelmän avulla. Kappaleessa käytetään approksimaatiota, jossa approksimaatiovirhe 23

25 ε ja sähkönjohtavuus σ ovat keskenään riippumattomia. Parametrivektorin ξ estimoinnissa approksimaatiovirhemenetelmällä hyödynnetään approksimaatiovirheen kovarianssimatriisin Γ ε ominaisarvohajotelmaa Γ ε = W DW 1, (3.22) missä matriisin W sarakkeet ovat Γ ε :n ominaisvektorit ja diagonaalimatriisin D päädiagonaalilla ovat Γ ε :n ominaisarvot. Kovarianssimatriisit ovat symmetrisiä, joten matriisi W on ortogonaalinen eli W 1 = W T. Tällöin Γ ε :n ominaisarvohajotelma voidaan kirjoittaa summana Γ ε = m λ k w k wk T, (3.23) k=1 missä λ k, k = 1,..., m ovat ominaisarvot järjestyksessä suurimmasta pienimpään, ja pystyvektorit w k ovat vastaavat ominaisvektorit. Ominaisvektorit muodostavat kannan avaruudelle R m, joten approksimaatiovirhe ε voidaan esittää yksikäsitteisesti muodossa p m ε = ε + α k w k + β j w j =: ε + ε 1 + ε 2, (3.24) k=1 j=p+1 missä kertoimet α k, β j saadaan skalaariprojektioina, α k = ε ε, w k, β j = ε ε, w j. Jos ε 1 riittää kuvailemaan approksimaatiovirheen vaihtelua, approksimaatiovirheen realisaatiolle saadaan pienidimensioinen estimaatti, kun kertoimet α =: (α 1, α 2,..., α p ) T estimoidaan samanaikaisesti σ:n kanssa. Estimointia varten kertoimille α muodostetaan Gaussinen prioritiheys, jonka odotusarvo ja kovarianssi saadaan ominaisarvohajotelman ominaisuuksien avulla. Kertoimen α k odotusarvo on E {α k } = E {ε} ε, w k = 0, w k = 0. Kertoimien α kovarianssimatriisi on siten muotoa E {α 1 α 1 } E {α 1 α 2 } E {α 1 α p } E {α Γ α = 2 α 1 } E {α 2 α 2 } , E {α p α 1 }... E {α p α p } 24

26 missä diagonaalialkiot ovat ja diagonaalilta poikkeavat alkiot ovat E {α k α k } = E { ε ε, w k ε ε, w k } = E { w k, ε ε ε ε, w k } = E { w T k (ε ε )(ε ε ) T w k } = w T k E { (ε ε )(ε ε ) T } w k = w T k Γ ε w k = w T k λ k w k = λ k w k, w k = λ k, E {α k α j } = E { ε ε, w k ε ε, w j } = w T k Γ ε w j = w T k λ j w j = λ j w k, w j = 0. Kertoimien α prioritiheys on siis N (0, Γ α ), missä Γ α = diag(λ 1, λ 2,..., λ p ). Käyttämällä kovarianssimatriisin Γ ε ominaisarvohajotelmaa, approksimaatiovirheeen sisältävä havaintomalli (3.2) voidaan kirjoittaa muodossa V = U Ω,h (σ, ξ 0 ) + ε + e p = U Ω,h (σ, ξ 0 ) + α k w k + ε + ε 2 + e k=1 = U Ω,h (σ, ξ 0 ) + W p α + ε + ε 2 + e, (3.25) missä α = (α 1, α 2,..., α p ) T ja W p = [w 1, w 2,..., w p ]. Vastaavasti kuin Kappaleessa 3, vektorille (σ T, α T ) T saadaan posterioritiheys { π σ,α V (σ, α V ) Ξ(σ) exp 1 2 (V U Ω,h (σ, ξ 0 ) W p α e ε ) T Γ 1 e+ε 2 (V U Ω,h (σ, ξ 0 ) W p α e ε ) 1 } 2 (σ σ ) T Γ 1 σ (σ σ ), (3.26) 25

27 missä Γ e+ε2 = Γ e + m j=p+1 λ jw j w T j. Edelleen MAP-estimaatti parametreille (σ T, α T ) T on (σ T, α T ) T MAP = arg min σ 0,α R p { L e+ε2 (V U Ω,h (σ, ξ 0 ) W p α e ε ) 2 + L σ (σ σ ) 2 + L α α 2 + q(σ)}. (3.27) Estimaatti voidaan laskea Gauss-Newton-algoritmilla, joka on muotoa ( σ T, α T ) T k+1 =( σ T, α T ) T k + d k (J T Γ 1 e+ε 2 J + L T prl pr + H q ) 1 (J T Γ 1 e+ε 2 (V U Ω,h ( σ k, ξ 0 ) W α e ε ) Γ 1 σ ( σ k σ ) Γ 1 α α k q) = : σ k + d k p k, missä L T prl pr = Γ 1 pr, Γ pr = ( Γ σ 0 ) (3.28) ( ) ja J = J σ W. 0 Γ α on laskettu, vektorille ξ saadaan estimaatti approksimoimalla yhteisti- Kun (σ T, α T ) T MAP heyttä π(ξ, α) Gaussisena [1]. ξ:n MAP-estimaatiksi saadaan tällöin [48] ξ MAP = ξ + Γ ξα Γ 1 α α MAP, (3.29) ja ξ:n komponenteille voidaan määrittää luottamusvälit kovarianssimatriisista [48] Γ ξ α = Γ ξ Γ ξα Γ 1 α Γ T ξα. (3.30) Tarvittava odotusarvo ξ ja kovarianssit Γ ξ, Γ α, Γ ξα lasketaan näytteiden perusteella, vastaavasti kuin Kappaleessa 3.1 ξ = 1 N s Γ ξ = Γ α = Γ ξα = N s l=1 1 N s 1 1 N s 1 1 N s 1 ξ (l) (3.31) N s l=1 N s l=1 N s l=1 (ξ (l) ξ )(ξ (l) ξ ) T (3.32) α (l) α (l)t (3.33) (ξ (l) ξ )(α (l) ) T, (3.34) missä näytettä (σ (l), ξ (l) ) T vastaava approksimaatiovirhe on ε (l), ja tätä vastaavan kerroinvektorin α (l) komponentti α (l) k saadaan skalaariprojektiosta α (l) k = ε(l) ε, w k. Parametrivektorin ξ estimoinnissa approksimaatiovirhemenetelmän avulla täytyy valita yhtälössä (3.24) esiintyvä katkaisukohta p, jolla asetetaan kuinka monta projektiokerrointa α i 26

28 estimoidaan. Tässä työssä p valitaan kuten lähteissä [1, 34], eli valitaan pienin p N, jolle trace(γ ε2 ) < trace(γ e ). (3.35) Tämän voidaan ajatella tarkoittavan, että approksimaatiovirheen ei-estimoitava osa ε 2 on vähemmän merkittävä kuin mittausvirhe. Lähteessä [34] havaittiin, että tätä useamman projektiokertoimen estimointi ei tarkentanut parametrien ξ MAP-estimaattia. 3.3 Raudoitteisiin liittyvä approksimaatiovirhe Resistanssitomograa on raudoitetun betonin kuvantamiseen sopiva ainetta rikkomaton kuvantamismenetelmä. Betonin raudoitteet käyttäytyvät mittauksissa kohteen sisäisten elektrodien tavoin, koska raudoite muodostuu johteesta ja raudoitteen ja betonin välillä vaikuttaa kontaktiimpedanssi. Raudoitteet vaikuttavat siten mittausdataan, ja datan perusteella on esimerkiksi mahdollista estimoida raudoitteen sijainti samanaikaisesti kohteen sähkönjohtavuusjakauman kanssa [8]. Toisaalta betonin kuvantamisessa voidaan tarvita rautojen paikantamisen sijaan tietoa vain raudoitteita ympäröivän materiaalin sähkönjohtavuusjakaumasta, josta saadaan tietoa esimerkiksi betonirakenteen kosteusjakaumasta [4951]. Tällöin raudoitteet muodostavat mittauksia häiritsevän tekijän. Mittausdataa voidaan käyttää sähkönjohtavuusjakauman estimointiin ilman raudoitteiden huomiointia suorassa mallissa, jolloin raudoitteet näkyvät estimoidussa sähkönjohtavuusjakaumassa taustaa korkeampana sähkönjohtavuutena. Tällöin kuitenkin tehdään mallinnusvirhe, sillä raudoitteet tulisi ottaa suorassa mallissa huomioon kohteen sisäisinä elektrodeina. Mallinnusvirheestä johtuen sähkönjohtavuusjakauman estimaattiin aiheutuu virheitä, jolloin esimerkiksi betonin kosteusjakaumaa ei voida estimoida tarkasti sähkönjohtavuusjakauman perusteella. Raudoitteeseen liittyvä mallinnusvirhe voidaan välttää, jos raudoitteen sijainti ja muoto on tunnettu etukäteen. Tällöin raudoite voidaan lisätä suoraan malliin kohteen sisäisenä elektrodina, jolle pätee vastaavat reunaehdot kuin kohteen pintaan kytketyille elektrodeille [8]. Kuvassa 2 on esimerkki FEM-hilasta, jossa kohteen sisäinen elektrodi on mallinnettu. Toisaalta oikeita kohteita kuvannettaessa raudoitteen sijaintia ei yleensä tunneta tarkasti. Toinen tapa välttää raudoitteiseen liittyvä mallinnusvirhe on parametrisoida raudoitteen muoto ja sijainti, ja estimoida nämä parametrit samanaikaisesti kohteen sähkönjohtavuusjakauman kanssa [8]. Tämä vaikeuttaa MAP-estimaatin laskemista, koska raudoitteen parametrien estimointi Gauss-Newton menetelmällä vaatii suoran mallin derivointia näiden parametrien suhteen. Lisäksi MAP-estimaatin laskenta on tällä menetelmällä laskennallisesti raskasta, koska kohteelle täytyy muodostaa uusi FEM-hila joka kerta kun estimoitujen parametrien arvot muuttuvat Gauss-Newton algoritmissa. Raudoitteen paikan estimointi ei ole tarkoituksenmukaista, jos tarvitaan estimaatti vain sähkönjohtavuusjakaumalle. 27

29 Z Tässä työssä käytetään approksimaatiovirhemenetelmää raudoitteen huomiotta jättämisestä aiheutuvan mallinnusvirheen korjaamiseen. Menetelmään tarvittavat mallinnusvirheen näytteet generoidaan simulaatiolla, jossa raudoitteet huomioidaan tarkassa mallissa sisäelektrodeina, ja approksimatiivisessa mallissa raudoitteita ei huomioida. Raudoitteeseen liittyvän approksimaatiovirheen lisäksi huomioidaan samanaikaisesti suoran mallin diskretointivirhe. Tällöin approksimaatiovirhemallin näytteiden generoinnissa käytetään epätarkassa mallissa harvempaa FEMhilaa kuin tarkassa mallissa. Muodostettuja approksimaatiovirhemalleja testataan käyttämällä niitä sähkönjohtavuusjakaumien estimointiin simuloidun mittausdatan perusteella Y X Kuva 2: Esimerkki FEM-hilasta, jossa kohteen sisäinen elektrodi on mallinnettu. Sisäelektrodi näkyy hilassa aukkona, jonka reunalla pätee vastaavat reunaehdot kuin reunaelektrodeilla. 28

30 4 Simulaatiot Raudoitteen huomiotta jättämisestä aiheutuvan mallinnusvirheen korjaamista approksimaatiovirhemenetelmällä testattiin työssä simulaatioiden avulla. Simulaatioissa tarkasteltiin kahta eri mittausgeometriaa: sylinterigeometriaa, jossa elektrodit olivat sylinterin muotoisen kohteen ulkoreunalla, ja laattageometriaa, jossa elektrodit olivat suorakulmaisen laatan yläpinnalla. Virransyöttöjen ja jännitemittausten simulointiin käytettiin molemmissa mittausgeometrioissa 16:ta elektrodia. Taulukossa 1 on esitelty virransyöttökuvio, joka oli sama molemmissa mittausgeometrioissa. Virransyöttöjä oli 24 kpl., ja sylinterigeometriassa ne vastasivat vierekkäisten ja vastakkaisten elektrodien välisiä syöttöjä. Jännitemittaukset simuloitiin vierekkäisten elektrodien välillä. Jännitemittauksia oli siten kullekin kohteelle = 384 kappaletta. Virransyötöt Virtaa syöttävät elektrodit , 2-3, 3-4,...,15-16, , 2-10, 3-11,...,7-15, 8-16 Taulukko 1: Simulaatioissa käytetty virransyöttökuvio, jossa oli 24 virransyöttöä. Simulaatioissa käytettiin 16:ta elektrodia ja sähkövirtaa syötettiin kussakin virransyötössä kahden elektrodin välillä. Molemmille mittausgeometrioille muodostettiin approksimaatiovirhemallit, joita käytettiin sähkönjohtavuusjakauman estimaattien laskemiseen. Estimoinnissa käytettiin suoraa mallia, jossa kohteen sisäistä raudoitetta ei mallinnettu. Estimaatit laskettiin virhemallilla, joka huomioi vain mittausvirheen (2.20), sekä approksimaatiovirhemallilla (3.2). Approksimaatiovirhemallilla estimaatit laskettiin kahdella tavalla: tekemällä approksimaatio, jossa sähkönjohtavuus σ ja mallinnusvirhe ε ovat keskenään riippumattomia, ja ilman tätä approksimaatiota. Approksimaatiovirhemallien muodostamista, simuloituja kohteita ja rekonstruktioiden laskentaa käsitellään geometriakohtaisesti seuraavissa kappaleissa. Laskenta toteutettiin MATLABohjelmistolla, ja tarvittavat FEM-hilat muodostettiin avoimen lähdekoodin ohjelmalla NET- GEN Laskentaan käytettiin toimistopöytäkonetta (Intel Xeon E5507, 48 GB RAM). 4.1 Simulaatiot sylinterigeometriassa Sylinterin säde oli 14 cm ja korkeus 7 cm. Elektrodit mallinnettiin sylinterin ulkoreunan osaalueina siten, että elektrodin kaaren pituus oli 2,5 cm ja korkeus 7 cm. Elektrodit sijaitsivat sylinterin ulkoreunalla tasavälein. Simulaatioissa tarkasteltiin sähkönjohtavuusjakaumia, jotka olivat muuttumattomia korkeuden suhteen. Sähkönjohtavuus parametrisoitiin ympyränmuotoisessa kaksiulotteisessa hilassa, jossa oli 1117 solmupistettä. Parametrisaatiohila on esitetty kuvassa 3. Kaikki suoran ongelman ratkaisut laskettiin sylinteriä mallintavassa kolmiulotteisessa hilassa. Sähkönjohtavuusjakauma interpoloitiin kolmiulotteiseen hilaan siten, että sähkönjohtavuus ei muutu sylinterin korkeuden suhteen. Tämä interpolaatio voidaan esittää lineaariku- 29

31 Kuva 3: Kaksiulotteinen sähkönjohtavuuden parametrisaatiohila, jota käytettiin sylinterigeometriassa. vauksen P avulla σ 3D = P σ 2D, (4.1) missä σ 2D sisältää sähkönjohtavuuden arvot parametrisaatiohilan solmupisteissä ja σ 3D sisältää sähkönjohtavuuden arvot 3-ulotteisen hilan solmupisteissä. Tällä tavalla sähkönjohtavuusjakauma voidaan määritellä kahdessa ulottuvuudessa, vaikka mittaukset simuloidaan kolmessa ulottuvuudessa. Vastaavaa sähkönjohtavuuden parametrisointia on käytetty esimerkiksi lähteessä [8] Priorit ja approksimaatiovirhemallien muodostaminen Approksimaatiovirheen näytteistämisessä sähkönjohtavuudelle arvottiin näytteitä priorijakaumasta. Priorijakauma muodostettiin kaksiulotteiselle sähkönjohtavuusjakaumalle parametrisaatiohilassa. Sylinterigeometriassa kokeiltiin kahta eri priorijakaumaa: isotrooppista ja anisotrooppista Gaussista sileysprioria, jotka ovat muotoa (2.18). Molemmilla prioreilla sähkönjohtavuuden odotusarvo oli σ = 0, 04 ms. Isotrooppisen priorin kovarianssimatriisi oli muotoa cm Γ ij = a exp ( r ) i r j 2, (4.2) 2b 2 30

32 missä r i on hilan solmupisteen i paikkavektori, a = ( σ ) 2 c 3, b = 2 log 100, ja c = 5 cm on ns. korrelaatiopituus. Näillä valinnoilla sähkönjohtavuuden arvo hilan solmupisteessä on välillä [0, 2σ ] todennäköisyydellä 99,7 %. Lisäksi ristikovarianssit laskevat eksponentiaalisesti siten, että etäisyydellä 5 cm olevien solmupisteiden sähkönjohtavuuksien ristikovarianssi on 1 % kovarianssimatriisin suurimmasta arvosta a. Anisotrooppisen sileyspriorin kovarianssimatriisi oli muotoa Γ ij = a exp ( (x i x j ) 2 (y ) i y j ) 2, (4.3) 2b 2 x 2b 2 y missä a = ( σ ) 2 c 3, b x = 2 x c log 100 ja b y = y 2 log 100. Tässä x- ja y-suuntaiset korrelaatiopituudet olivat c x = 200 cm ja c y = 5 cm. Isotrooppinen sileyspriori suosii kohteita, joissa sähkönjohtavuuden epähomogeenisuuksien koko on korrelaatiopituuden c = 5 cm suuruusluokkaa. Anisotrooppinen sileyspriori suosii kohteita, joissa sähkönjohtavuus ei muutu merkittävästi x- suunnassa, ja joissa sähkönjohtavuus on y:n suhteen sileä funktio. Anisotrooppisen sileyspriorin korrelaatiopituudet valittiin kokeilemalla eri pituuksia ja arpomalla priorin mukaisesti jakautuneita näytteitä, kunnes saatiin määritettyä priori jonka näytteet ovat x:n suhteen lähes muuttumattomia ja y:n suhteen sileitä funktioita. Sähkönjohtavuuden lisäksi approksimaatiovirheen näytteistämistä varten arvottiin näytteitä raudoitteen sijaintia kuvaavalle parametrivektorille Θ. Sylinterigeometriassa raudoite oli rautatanko, jonka säde oli 2 cm ja jonka korkeus oli sama kuin sylinterin korkeus, eli 7 cm. Raudoitteen parametreina Θ käytettiin tangon keskipisteen x- ja y-koordinaatteja. Keskipisteen paikka arvotttiin tasajakaumasta, jonka kantaja oli 11 cm - säteinen ympyrä. Kuvissa 4 ja 5 on alariveillä esitetty arvottuja näytteitä kohteen sähkönjohtavuudelle 2-ulotteisessa parametrisaatiohiloissa. Yläriveillä on esitetty parametrisaatiohilasta interpoloitu sähkönjohtavuusjakauma sekä raudoitteen paikka 3-ulotteisessa hilassa. 31

33 (a) (b) (c) (d) (e) (f ) (g) (h) Kuva 4: Esimerkkejä isotrooppisen sileyspriorin näytteistä ja raudoitteen paikasta (a)-(d). Raudoitteen paikka näkyy kuvissa aukkona. Alarivillä (e)-(h) on esitetty vastaavat sähkönjohtavuusjakaumat kaksiulotteisessa parametrisaatiohilassa. (a) (b) (c) (d) (e) (f ) (g) (h) Kuva 5: Esimerkkejä anisotrooppisen sileyspriorin näytteistä ja raudoitteen paikasta (a)-(d). Raudoitteen paikka näkyy kuvissa aukkona. Alarivillä (e)-(h) on esitetty vastaavat sähkönjohtavuusjakaumat kaksiulotteisessa parametrisaatiohilassa. Elektrodien ja rautatangon kontakti-impedansseja pidettiin vakioina, joten niitä ei arvottu approksimaatiovirheen näytteistämistä varten. Reunaelektrodien kontakti-impedanssit olivat 0, 03 Ωm 2, ja rautatangon kontakti-impedanssi oli Ωm 2. Approksimaatiovirhettä näytteistettiin laskemalla tarkalla mallilla ja approksimatiivisella 32

34 mallilla simuloitujen jännitemittausten erotus. Merkitään ξ:llä parametrivektoria ξ = (Θ T, z T ) T, joka tarvitaan sähkönjohtavuuden σ lisäksi suoran mallin ratkaisemiseen. Tarkassa mallissa U Ω,δ (σ; ξ) raudoite mallinnettiin kohteen sisäisenä elektrodina. Approksimatiivisessa mallissa raudoitetta ei huomioitu, eli ξ = z. Approksimatiivisessa mallissa rautatangon kohdalle saatiin sähkönjohtavuusjakauman arvot priorin näytteestä. Työssä käytettiin kahta erilaista approksimatiivista mallia. Ensimmäisessä mallissa U Ω,δ (σ; z) FEM-hilan tiheys oli sama kuin tarkassa mallissa, ja toisessa mallissa U Ω,h (σ; z) hila oli huomattavasti harvempi. Hilan tiheyttä säädettiin määräämällä suurin sallittu elementin tilavuus. Kuvassa 6 on esitetty tarkassa mallissa ja approksimatiivisissa malleissa käytetyt FEM-hilat. Hilojen solmupisteiden ja elementtien lukumäärät on esitetty taulukossa 2. Tarkassa mallissa solmupisteiden ja elementtien määrät vaihtelivat hieman riippuen rautatangon paikasta. Sylinterigeometriassa muodostettiin neljä approksimaatiovirhemallia, koska molempia prioreja kohden testattiin molempia approksimatiivisia malleja. Kussakin approksimaatiovirhemallissa käytettiin 2000:ta mallinnusvirheen näytettä. Kuvassa 7 on havainnollistettu approksimaatiovirhettä yhdelle satunnaiselle sähkönjohtavuuden ja raudoitteen paikan näytteelle. Sähkönjohtavuuden näyte oli arvottu isotrooppisesta sileyspriorista ja rautatangon keskipisteen paikka oli [3,0 cm, -6,5 cm]. Kuvassa 7 alarivillä on myös verrattu approksimaatiovirheen ja mittausvirheen keskihajontaa. Simulaatiossa mittausvirheen keskihajonta oli kullekin jännitemittaukselle 0,1 % virheettömän jännitemittauksen itseisarvosta. Approksimaatiovirheen keskihajonta on selvästi suurempi kuin mittausvirheen keskihajonta. Lisäksi approksimaatiovirheen odotusarvo on nollasta poikkeava, toisin kuin mittausvirheen odotusarvo, jota pidetään tässä työssä nollana. (a) (b) (c) Kuva 6: Approksimaatiovirheen näytteistämiseen käytetyt FEM-hilat. Tarkassa mallissa U Ω,δ (σ; ξ) rautatanko mallinnettiin kohteen sisäisenä elektrodina, ja kuvassa (a) on esimerkki hilasta tietylle tangon paikalle. Approksimatiivisissa malleissa U Ω,δ (σ; z) (b) ja U Ω,h (σ; z) (c) rautatankoa ei mallinnettu, joten näitä hiloja pidettiin samana kaikille sähkönjohtavuuden ja raudoitteen parametrien näytteille. Hilassa (b) suurin sallittu elementin koko oli yhtä suuri kuin hilassa (a). Hilassa (c) suurin sallittu elementin koko oli suurempi. 33

35 U Ω,δ (σ; ξ) U Ω,δ (σ; z) U Ω,h (σ; z) N N e Taulukko 2: Approksimaatiovirheen näytteistämisessä käytettyjen hilojen solmupisteiden lukumäärät N ja elementtien lukumäärät N e. Tarkalle mallille U Ω,δ (σ; z) solmupisteiden ja elementtien lukumäärät vaihtelivat hieman riippuen raudoitteen sijainnista kohteessa (a) (d) (b) (e) (c) (f ) Kuva 7: Kuvassa (a) on punaisella viivalla tarkalla mallilla U Ω,δ (σ; ξ) simuloidut jännitemittaukset, ja sinisellä approksimatiivisella mallilla U Ω,δ (σ; z) simuloidut mittaukset. Kuvassa (b) on vastaava approksimaatiovirhe. Kuvassa (c) on sinisellä approksimaatiovirheen odotusarvo, punaisella sen keskihajonta ja keltaisella mittausvirheen keskihajonta. Oikea sarake on vastaava, mutta approksimatiivinen malli U Ω,h (σ; z) sisälsi myös diskretointivirheen.

36 4.1.2 Simuloidut kohteet ja estimaattien laskenta Muodostettuja approksimaatiovirhemalleja testattiin simuloimalla erilaisia kohteita vastaavat mittaukset, ja laskemalla estimaatit kohteiden sähkönjohtavuusjakaumille. Sylinterigeometriassa tarkasteltiin viittä kohdetta. Kohteet muodostettiin kaksiulotteisessa parametrisaatiohilassa, ja ne on esitetty kuvien 8-12 yläriveillä. Ensimmäisen kohteen sähkönjohtavuusjakauma oli vakio, σ = 0, 04 ms, eli priorien odotusarvon suuruinen. Sylinterin keskellä oli rautatanko, jonka cm säde oli 2 cm. Toisen kohteen sähkönjohtavuusjakauma oli myös vakio, σ = 0, 04 ms. Tässä cm kohteessa rautatanko oli lähempänä sylinterin reunaa kuin kohteessa 1. Rautatangon keskipisteen paikka oli [10 cm, 0 cm]. Myös kolmannelle kohteelle sähkönjohtavuusjakauma oli vakio, σ = 0, 04 ms. Kohde 3 ei sisältänyt rautatankoa. Kohteen 3 avulla tutkittiin, miten approksimaatiovirhemenetelmä toimii tilanteissa, joissa käytetään approksimaatiovirhemallia cm vaikka kohde ei sisällä raudoitetta. Neljännessä kohteessa sähkönjohtavuusjakauma oli y:n suhteen lineaarinen funktio, σ(x, y) = (0, 0025y + 0, 045) ms. Kohteen keskellä oli rautatanko. Viidennellä cm kohteella sähkönjohtavuusjakauma oli sama kuin neljännellä kohteella, mutta rautatanko oli lähempänä reunaa. Rautatangon keskipisteen paikka oli [10 cm, 0 cm]. Mittausten simulointiin käytettiin mallia, jossa rautatanko oli huomioitu, ja jonka FEMhila oli tiheämpi kuin approksimaatiovirheen näytteistämisessä käytetty tarkka hila. Simuloituun mittausdataan lisättiin nollakeskiarvoista Gaussista virhettä, jonka keskihajonta kullekin jännitemittaukselle oli 0,1 % virheettömän jännitemittauksen itseisarvosta. Käänteisongelman ratkaisemisessa käytettiin approksimatiivisia malleja U Ω,δ (σ; z) ja U Ω,h (σ; z), eli samoja approksimatiivisia malleja kuin approksimaatiovirheen näytteistämisessä käytettiin. Sähkönjohtavuuden σ estimaatit olivat kaksiulotteisia esityksiä parametrisaatiohilassa, mutta käänteisongelmaa ratkaistaessa kaikki suoran ongelman ratkaisut laskettiin 3-ulotteisessa hilassa. Kullekin kohteelle laskettiin MAP-estimaatit σ EEM, σ AEM ja ( σ, α) EEM käyttäen approksimaatiovirhemalleja suoraan malliin liittyvän mallinnusvirheen huomiointiin. Kaikki estimaatit laskettiin käyttäen molempia approksimatiivisia suoria malleja U Ω,δ (σ; z) ja U Ω,h (σ; z). Estimaateista ( σ, α) EEM laskettiin edelleen MAP-estimaatit raudoitteen parametreille kappaleessa 3.2 kuvatulla tavalla. Projektiokertomien α lukumäärä valittiin kussakin approksimaatiovirhemallissa yhtälön (3.35) perusteella. Vertailun vuoksi laskettiin myös σ MAP-CEM -estimaatit, joita laskettaessa otettiin huomioon vain mittausvirheen statistiikka. Kohteille 1-3 käytettiin estimoinnissa samaa isotrooppista sileysprioria kuin approksimaatiovirheen näytteistämisessä. Approksimaatiovirhemenetelmää hyödyntävissä estimaateissa käytettiin isotrooppisella sileyspriorilla muodostettuja approksimaatiovirhemalleja. Kohteelle 3 ei laskettu estimaattia ( σ, α) MAP-EEM, koska tämän kohteen tarkoituksena oli tarkastella approksimaatiovirhemallin toimintaa tilanteessa, jossa kohde ei sisällä raudoitetta. Kohteille 4 ja 5 käytettiin estimoinnissa samaa anisotrooppista sileysprioria kuin approksimaatiovirheen näyt- 35

37 teistämisessä ja anisotrooppsella sileyspriorilla muodostettuja approksimaatiovirhemalleja Tulokset ja pohdinta Tulokset kohteelle 1 on esitetty kuvassa 8. Kohteen oikea sähkönjohtavuusjakauma on ylimmällä rivillä, ja raudoitteen paikka näkyy kuvassa aukkona. Vasemmassa reunassa on kohteen sähkönjohtavuusjakaumalle lasketut estimaatit, joiden laskennassa käytettiin approksimatiivista mallia U Ω,δ (σ; z), jossa approksimaatiovirhe johtuu vain raudan huomiotta jättämisestä. Oikeassa reunassa on samat estimaatit, vastaten mallia U Ω,h (σ; z), joka sisälsi myös diskretointivirheen. Toisella rivillä on estimaatti σ MAP-CEM ja kolmannella rivillä σ MAP-EEM. Neljännellä rivillä on estimaatti ( σ, α) MAP-EEM, jossa raudoitteen estimoitua sijaintia on merkitty ympyrällä, ja raudoitteen keskipisteen x- ja y-koordinaattien kolmen keskihajonnan luottamusvälejä on merkitty viivoilla. Jokaisen estimaatin oikealla puolella on esitetty yksiulotteinen sähkönjohtavuuden ja MAP-estimaatin proilikäyrä kuviin merkityn mustan viivan kohdalla, sekä estimaatin kolmen keskihajonnan luottamusvälit. Kuvissa 9-12 on esitetty vastaavat tulokset kohteille 2-5. Kohteelle 3 ei laskettu estimaattia ( σ, α) MAP-EEM, eli ei yritetty estimoida raudoitteen paikkaa. Kohteille laskettiin myös σ MAP-AEM -estimaatit täydellä approksimaatiovirhemallilla, mutta näitä estimaatteja ei esitetä, sillä ne eivät poikenneet havaittavasti σ MAP-EEM -estimaateista. Ilman approksimaatiovirheen huomiointia kohteen 1 tuloksissa (kuva 8) näkyy raudan kohdalla johtava alue, joka on leveämpi kuin rautatangon todellinen koko. Lisäksi tätä aluetta ympäröi rengas, jossa sähkönjohtavuuden arvo on oikeaa arvoa pienempi. Myös approksimaatiovirhemallilla lasketuissa estimaateissa kohteen keskellä on johtava alue, jonka ympärillä on matalemman johtavuuden rengas, mutta sähkönjohtavuusjakauman estimaatti on lähempänä oikeaa jakaumaa kuin ilman approksimaatiovirheen huomiointia lasketut estimaatit. Proilikäyrissä σ MAP-CEM -estimaattien luottamusvälit ovat kapeita, sillä niissä ei oteta huomioon suoran mallin approksimaatiovirheitä. Huomioimalla approksimaatiovirhe saadaan estimaateille realistisemmat luottamusvälit. Luottamusvälien leveyden perusteella raudoitteen huomiotta jättämisestä aiheutuva approksimaatiovirhe on merkittävä verrattuna mittausvirheeseen, ja myös approksimatiivisen mallin U Ω,h (σ; z) diskretointivirheeseen. Approksimaatiovirheen realisaation ja raudoitteen parametrien estimointi kaventaa luottamusvälejä verrattuna σ MAP-EEM -estimaatteihin. Luottamusvälien perusteella menetelmän luotettavuus siis paranee, kun estimoidaan approksimaatiovirhettä aiheuttavien parametrien arvot. Raudoitteen sijainnin estimaatti on tässä tilanteessa tarkka. Kohteen 2 (Kuva 9) σ MAP-CEM -estimaatteissa on virheitä, jotka katoavat kun approksimaatiovirhe otetaan huomioon. Virheet estimaateissa ovat merkittävämpiä kuin kohteen 1 tapauksessa, koska lähellä reunaa sijaitseva raudoite vaikuttaa mittausdataan enemmän, ja tätä vaikutusta ei huomioida suorassa mallissa. Proilikäyristä havaitaan, että σ MAP-CEM -estimaatit ovat selvästi virheellisiä lähellä raudoitetta, ja että sähkönjohtavuuden oikeat arvot eivät edes 36

38 ole luottamusvälien sisällä. σ MAP-EEM -estimaatit ovat lähempänä oikeaa sähkönjohtavuutta, ja luottamusvälit ovat realistisemmat. Tässä tapauksessa raudoitteen sijainnin estimaatti ei ole yhtä tarkka kuin kohteelle 1, mutta se on silti lähellä raudoitteen oikeaa sijaintia. Kohteen 3 (Kuva 10) tarkoituksena oli kokeilla, tuottaako approksimaatiovirhemenetelmä virheellisiä MAP-estimaatteja, kun kohde ei sisällä rautaa. Tässä tapauksessa σ MAP-EEM - estimaateissa ei esiinny suuria virheitä, ja ne ovat kvalitatiivisesti yhtä hyviä kuin σ MAP-CEM - estimaatti. Raudoitteeseen liittyvän mallinnusvirheen huomiointiin muodostetun virhemallin käyttö ei siten ole merkittävän haitallista, vaikka kohde ei sisällä raudoitetta. Kohteiden 4 ja 5 σ MAP-CEM -estimaateissa on suuria virheitä, koska estimoinnin tuloksena saadun sähkönjohtavuusjakauman täytyy olla yhteensopiva anisotrooppisen priorin kanssa. Tällöin raudoitteen paikalla näkyy σ MAP-CEM -estimaateissa raita, jolla on korkea sähkönjohtavuus. Virheet ovat vielä suurempia, jos suorassa mallissa käytetään harvaa FEM-hilaa. Suoran mallin approksimaatiovirheellä on siis merkittävä vaikutus estimaatteihin, kun inversiossa käytetään vahvasti anisotrooppista prioria. σ MAP-CEM -estimaatteissa on suuria johtavuuden arvoja myös sellaisissa kohdissa, joissa ei ollut rautaa, eli sähkönjohtavuusjakauman estimaatti on näissä kohdissa virheellinen. Huomioimalla approksimaatiovirhe saadaan kohteen taustan sähkönjohtavuudelle tarkempi estimaatti, joka vastaa paremmin kohteen oikeaa sähkönjohtavuusjakaumaa. Myös raudoitteen parametrien estimoinnin tulokset ovat hyviä kohteille 4 ja 5. Raudoitteen estimoidut sijainnit ovat lähellä oikeita sijainteja, ja tangon keskipisteen oikeat x- ja y-koordinaatit ovat estimaattien luottamusvälien sisällä. Mallinnusvirheiden huomioimisen lisäksi approksimaatiovirhemallin etuna on estimaattien laskennan nopeuttaminen, koska menetelmällä voidaan korjata harvennetusta diskretoinnista aiheutuvaa virhettä. Käyttämällä harvennettua mallia U Ω,h (σ; z) estimaattien laskentaan kulunut aika oli noin 80 % mallilla U Ω,δ (σ; z) käytetystä ajasta, joka oli kullekin kohteelle korkeintaan 150 s. Estimaattien laskenta-aikoja ei pyritty optimoimaan tässä työssä, joten ajat on mainittu vain keskinäistä vertailua varten. Sylinterigeometriassa laskenta-ajat eivät olleet kummallakaan mallilla pitkiä, mutta laskennan nopeuttamisesta voidaan hyötyä merkittävästi suurikokoisten kohteiden tapauksessa. Approksimaatiovirhemenetelmällä ja harvennetun mallin käytöllä voidaan saavuttaa moninkertaisesti nopeampi laskenta-aika tilanteissa, joissa kohteen riittävän tarkkaan mallintamiseen tarvitaan suuri määrää solmupisteitä. Sylinterigeometrian tulokset osoittavat, että approksimaatiovirhemenetelmä toimii raudoitteen huomiotta jättämisestä johtuvan virheen korjaamiseen sähkönjohtavuusjakauman estimoinnissa. Menetelmällä voidaan tulosten perusteella korjata samanaikaisesti raudoitteen huomiotta jättämisestä aiheutuva virhe ja suoran mallin harvasta diskretoinnista johtuva virhe. Myös rautatangon sijainnin estimointi approksimaatiovirhemenetelmän avulla onnistui sylinterigeometriassa hyvin. 37

39 (a) (b) (e) (c) (f ) (d) (g) Kuva 8: Tulokset kohteelle 1. (a) Kohteen sähkönjohtavuusjakauma σ. Raudoitteen paikka näkyy kuvassa aukkona. Estimaattien (b), (c) ja (d) laskennassa käytettiin mallia U Ω,δ (σ; z). Estimaattien (e), (f) ja (g) laskennassa käytettiin harvaa mallia U Ω,h (σ; z). (b) ja (e): Estimaatit σ MAP-CEM. (c) ja (f): Estimaatit σ MAP-EEM. (d) ja (g): Estimaatit ( σ, α) MAP-EEM, joissa raudoitteen paikan estimaatti on esitetty violetilla ympyrällä ja oikea paikka mustalla ympyrällä. Violetit poikkiviivat kuvaavat raudan keskipisteen koordinaattien kolmen keskihajonnan luottamusvälejä. Jokaisen estimaatin oikealla puolella on esitetty σ:n ja σ MAP :n arvot y-suuntaisen mustan viivan kohdalla, sekä kolmen keskihajonnan luottamusvälit estimaatille. Sininen viiva kuvaa sähkönjohtavuuden oikeita arvoja, punainen viiva estimaattia ja katkoviivat luottamusvälejä. 38

40 (a) (b) (e) (c) (f ) (d) (g) Kuva 9: Tulokset kohteelle 2. (a) Kohteen sähkönjohtavuusjakauma σ. Raudoitteen paikka näkyy kuvassa aukkona. Estimaattien (b), (c) ja (d) laskennassa käytettiin mallia U Ω,δ (σ; z). Estimaattien (e), (f) ja (g) laskennassa käytettiin harvaa mallia U Ω,h (σ; z). (b) ja (e): Estimaatit σ MAP-CEM. (c) ja (f): Estimaatit σ MAP-EEM. (d) ja (g): Estimaatit ( σ, α) MAP-EEM, joissa raudoitteen paikan estimaatti on esitetty violetilla ympyrällä ja oikea paikka mustalla ympyrällä. Violetit poikkiviivat kuvaavat raudan keskipisteen koordinaattien kolmen keskihajonnan luottamusvälejä. Jokaisen estimaatin oikealla puolella on esitetty σ:n ja σ MAP :n arvot y-suuntaisen mustan viivan kohdalla, sekä kolmen keskihajonnan luottamusvälit estimaatille. Sininen viiva kuvaa sähkönjohtavuuden oikeita arvoja, punainen viiva estimaattia ja katkoviivat luottamusvälejä. 39

41 (a) (b) (d) (c) (e) Kuva 10: Tulokset kohteelle 3. (a) Kohteen sähkönjohtavuusjakauma σ. Estimaattien (b) ja (c) laskennassa käytettiin mallia U Ω,δ (σ; z). Estimaattien (d) ja (e) laskennassa käytettiin harvaa mallia U Ω,h (σ; z). (b) ja (d): Estimaatit σ MAP-CEM. (c) ja (e): Estimaatit σ MAP-EEM. Jokaisen estimaatin oikealla puolella on esitetty σ:n ja σ MAP :n arvot y-suuntaisen mustan viivan kohdalla, sekä kolmen keskihajonnan luottamusvälit estimaatille. Sininen viiva kuvaa sähkönjohtavuuden oikeita arvoja, punainen viiva estimaattia ja katkoviivat luottamusvälejä. 40

42 (a) (b) (e) (c) (f ) (d) (g) Kuva 11: Tulokset kohteelle 4. (a) Kohteen sähkönjohtavuusjakauma σ. Raudoitteen paikka näkyy kuvassa aukkona. Estimaattien (b), (c) ja (d) laskennassa käytettiin mallia U Ω,δ (σ; z). Estimaattien (e), (f) ja (g) laskennassa käytettiin harvaa mallia U Ω,h (σ; z). (b) ja (e): Estimaatit σ MAP-CEM. (c) ja (f): Estimaatit σ MAP-EEM. (d) ja (g): Estimaatit ( σ, α) MAP-EEM, joissa raudoitteen paikan estimaatti on esitetty violetilla ympyrällä ja oikea paikka mustalla ympyrällä. Violetit poikkiviivat kuvaavat raudan keskipisteen koordinaattien kolmen keskihajonnan luottamusvälejä. Jokaisen estimaatin oikealla puolella on esitetty σ:n ja σ MAP :n arvot y-suuntaisen mustan viivan kohdalla, sekä kolmen keskihajonnan luottamusvälit estimaatille. Sininen viiva kuvaa sähkönjohtavuuden oikeita arvoja, punainen viiva estimaattia ja katkoviivat luottamusvälejä. 41

43 (a) (b) (e) (c) (f ) (d) (g) Kuva 12: Tulokset kohteelle 5. (a) Kohteen sähkönjohtavuusjakauma σ. Raudoitteen paikka näkyy kuvassa aukkona. Estimaattien (b), (c) ja (d) laskennassa käytettiin mallia U Ω,δ (σ; z). Estimaattien (e), (f) ja (g) laskennassa käytettiin harvaa mallia U Ω,h (σ; z). (b) ja (e): Estimaatit σ MAP-CEM. (c) ja (f): Estimaatit σ MAP-EEM. (d) ja (g): Estimaatit ( σ, α) MAP-EEM, joissa raudoitteen paikan estimaatti on esitetty violetilla ympyrällä ja oikea paikka mustalla ympyrällä. Violetit poikkiviivat kuvaavat raudan keskipisteen koordinaattien kolmen keskihajonnan luottamusvälejä. Jokaisen estimaatin oikealla puolella on esitetty σ:n ja σ MAP :n arvot y-suuntaisen mustan viivan kohdalla, sekä kolmen keskihajonnan luottamusvälit estimaatille. Sininen viiva kuvaa sähkönjohtavuuden oikeita arvoja, punainen viiva estimaattia ja katkoviivat luottamusvälejä. 42

44 4.2 Simulaatiot laattageometriassa Simulaatioissa mallinnetun laatan mitat olivat 50 cm 50 cm 10 cm. Elektrodit olivat neliöitä, joiden sivun pituus oli 4 cm. Elektrodit oli asetettu laatan yläpintaan säännölliseen muodostelmaan, jossa viereisten elektrodien välissä oli 6,8 cm tilaa, ja laatan reunan ja lähimmän elektrodin väliin jäi 6,8 cm tilaa. Laattageometriassa sähkönjohtavuus parametrisoitiin kolmiulotteisessa, tasajakoisessa hilassa. Parametrisaatiohila on esitetty kuvassa 13 (a). (a) (b) (c) Kuva 13: Kuvassa (a) on esitetty laattageometriassa käytetty sähkönjohtavuuden parametrisaatiohila. Kuvassa (b) on esimerkki approksimaatiovirheen näytteistämisessä käytetyn tarkan mallin FEM-hilasta. Kuvassa (c) on approksimaatiovirheen näytteistämisessä käytetty approksimatiivisen mallin FEM-hila. Elektrodien paikat näkyvät hiloissa (b) ja (c) alueina, joissa hilaa on tihennetty. Sähkönjohtavuudelle käytettiin anisotrooppista sileysprioria, jonka odotusarvo oli σ = 0, 04 ms. Priorin kovarianssimatriisi oli muotoa cm Γ ij = a exp ( (x i x j ) 2 (y i y j ) 2 (z ) i z j ) 2, (4.4) 2b 2 x 2b 2 y 2b 2 z missä a = ( σ ) 2 c 3, b x = 2 x c log 100, b y = y c 2 log 100 ja b z = 2 z log 100. Korrelaatiopituudet olivat c x = 350 cm, c y = 350 cm ja c z = 4, 5 cm. Priorin korrelaatiopituudet valittiin siten, että sähkönjohtavuusjakaumalle arvotut näytteet ovat z-koordinaatin (syvyyden) suhteen sileitä funktioita, ja lähes muuttumattomia x- ja y-suunnissa. Laatan sisäinen raudoite muodostui neljästä yhteen liitetystä rautatangosta. Kaksi tankoa olivat keskenään samansuuntaiset, ja toiset kaksi tankoa näitä vasten kohtisuorassa. Kunkin tangon säde oli r = 0, 6 cm, ja samansuuntaisten tankojen keskipisteiden välinen etäisyys oli 30 cm. Tankojen liitoskohdat mallinnettiin toisiaan leikkaavina sylintereinä, ja neljästä tangosta muodostuvaa verkkoa pidettiin yhtenä kohteen sisäisenä elektrodina. Raudoitteen sijainnille 43

45 sallittiin vaihtelua seuraavalla parametrisaatiolla d [1 cm, 9cm] (4.5) x 0 [8 cm, 12cm] (4.6) y 0 [8 cm, 12cm] (4.7) t = min {d s, 10 d s}, s = 0, 7cm. (4.8) x 0 + y 0 + r θ x [ tan 1 (t), tan 1 (t)] (4.9) θ y [ tan 1 (t), tan 1 (t)] (4.10) θ z [ 5, 5 ], (4.11) missä parametri d on raudoiteverkon syvyys, joka määritetään raudoiteverkon keskelle muodostuvan neliön keskipisteen syvyytenä laatan yläpinnasta mitattuna. Parametri x 0 on laatan x-suuntaista reunaa, jossa y = 25 cm, lähimmän x-suuntaisen tangon keskipisteen etäisyys kyseisestä reunasta. Vastaavasti parametri y 0 on laatan y-suuntaista reunaa, jossa x = 25 cm, lähimmän y-suuntaisen tangon keskipisteen etäisyys kyseisestä reunasta. Parametrit θ x, θ y, θ z ovat raudoiteverkon rotaatiot x, y ja z-akselien suhteen. Raudoitteen parametreja on havainnollistettu kuvassa 14. Approksimaatiovirheen näytteistämisessä parametrit arvottiin tasajakaumista kaavoissa (4.5)-(4.11) listatuilta väleiltä. Parametrit d, x 0 ja y 0 arvottiin ensin, koska parametrien θ y ja θ z rajat riippuvat niiden arvoista. Tällä parametrisaatiolla laatan kyljistä ulostulevat rautatangot ovat vähintään etäisyydellä s = 0, 7 cm laatan ala- ja yläpinnasta. Kuvassa 15 on esitetty kymmenen priorijakaumasta arvottua raudoitteen sijaintia. Myös laattageometrian tapauksessa elektrodien ja raudoitteen kontakti-impedansseja pidettiin vakioina, eli niitä ei arvottu approksimaatiovirheen näytteistämistä varten. Reunaelektrodien kontakti-impedanssit olivat 0, 03 Ωm 2, ja raudoitteen kontakti-impedanssi oli Ωm 2. Approksimaatiovirhettä näytteistettiin vastaavasti kuin sylinterigeometriassa. Kuvassa 13 on esitetty tarkassa mallissa ja approksimatiivisessa mallissa käytetyt FEM-hilat. Tarkassa mallissa U Ω,δ (σ; ξ) raudoite mallinnettiin kohteen sisäisenä elektrodina, ja approksimatiivisessa mallissa raudoitetta ei huomioitu. Laattageometriassa testattiin yhtä approksimatiivista mallia U Ω,δ (σ; z), jossa FEM-hilan suurin sallittu elementin koko oli sama kuin tarkassa mallissa. Laattageometriassa muodostettiin siten vain yksi approksimaatiovirhemalli. Näytteiden määrä oli 1000 kappaletta. Hilojen solmupisteiden ja elementtien lukumäärät on esitetty taulukossa 3. Tarkassa mallissa solmupisteiden ja elementtien määrät vaihtelivat hieman riippuen rautatangon paikasta. Kuvassa 16 on havainnollistettu approksimaatiovirhettä vastaten yhtä satunnaista sähkönjohtavuuden ja raudoitteen parametrien näytettä. Kuvassa 16 on myös verrattu approksimaa- 44

46 θ y d θ z y 0 θ x θ z x 0 Kuva 14: Raudoitteen parametrit laattageometrian tapauksessa. Parametrit x 0 ja y 0 ovat laatan x- ja y-akseleiden suuntaisia reunoja lähimpien tankojen keskipisteiden etäisyydet laatan reunoista, kun raudoitetta ei ole pyöritetty minkään akselin suhteen. Parametrit θ x, θ y ja θ z ovat raudoitteen rotaatiot x- y- ja z-akseleiden suhteen. Parametri d on raudoiteverkon keskipisteen syvyys laatan pinnasta. 45

47 U Ω,δ (σ; z) U Ω,δ (σ; z) N N e Taulukko 3: Approksimaatiovirheen näytteistämisessä käytettyjen hilojen solmupisteiden lukumäärät N ja elementtien lukumäärät N e. Tarkalle mallille U Ω,δ (σ; z) solmupisteiden ja elementtien lukumäärät vaihtelivat hieman riippuen raudoitteen sijainnista kohteessa. Suurin sallittu elementin koko oli molemmissa malleissa sama. Tarkalle mallille muodostetuissa FEM-hiloissa solmupisteitä oli enemmän, koska laatan sisäisen raudoitteen ympärille tarvittiin pieniä elementtejä mallintamaan raudoitteen reunaa. tiovirheen ja mittausvirheen keskihajontaa. Simulaatiossa mittausvirheen keskihajonta oli kullekin jännitemittaukselle 0,1 % virheettömän jännitemittauksen itseisarvosta. Kuten sylinterigeometriassa, myös laattageometriassa approksimaatiovirheen keskihajonta oli huomattavasti suurempi kuin mittausvirheen keskihajonta Simuloidut kohteet ja estimaattien laskenta Muodostettua approksimaatiovirhemallia testattiin simuloimalla erilaisia kohteita vastaavat mittaukset, joiden perusteella kohteiden sähkönjohtavuusjakaumille laskettiin estimaatteja. Laattageometriassa tarkasteltiin neljää kohdetta, jotka on esitetty kuvissa 17, 19, 21 ja 23 ylärivellä. Ensimmäisen kohteen sähkönjohtavuusjakauma oli homogeeninen, ja sähkönjohtavuuden arvo oli 0, 06 ms cm. Kohteen raudoitteen parametrivektori oli [5 cm, 11,5 cm, 11,5 cm, 0, 0, 0 ], eli rautatangoista muodostuva verkko oli suorassa laatan keskellä. Parametrien x 0, y 0 arvot olivat siis [11,5 cm, 11,5 cm], mikä vastaa [1,5 cm, 1,5 cm] siirtymää odotusarvoista [10 cm, 10 cm]. Toisessa kohteessa sähkönjohtavuus oli lineaarinen z:n funktio, σ(x, y, z) = 0, 1 ms + z ms (0, 09). cm 10 cm Raudoitteen parametrit olivat [5 cm, 11,5 cm, 11,5 cm, 0, 0, 0 ]. Kolmannessa kohteessa sähkönjohtavuusjakauma oli sama kuin toisessa kohteessa, ja raudoitteen parametrit olivat [1,5 cm, 11,5 cm, 11,5 cm, 0, 0, 0 ], eli raudoiteverkko oli suorassa ja lähellä laatan yläpintaa. Neljännessä kohteessa sähkönjohtavuusjakauma oli sama kuin toisessa ja kolmannessa kohteessa, ja raudoitteen parametrit olivat [5 cm, 11,5 cm, 11,5 cm, 5, 2, 4 ], eli tässä kohteessa raudoiteverkko oli vinossa asennossa. Mittausten simulointiin käytettiin mallia, jossa raudoite huoimioitiin, ja jonka FEM-hila oli tiheämpi kuin approksimaatiovirheen näytteistämisessä käytetyn tarkan mallin hila. Mittauksiin lisättiin nollakeskiarvoista Gaussista virhettä, jonka keskihajonta kullekin jännitemittaukselle oli 0,1 % kunkin virheettömän jännitemittauksen itseisarvosta. Käänteisongelman ratkaisemisessa käytettiin suorana mallina approksimatiivista mallia U Ω,h (σ; z). Kohteille laskettiin estimaatit σ MAP-CEM, σ MAP-EEM ja ( σ, α) MAP-EEM. 46

48 Kuva 15: Kymmenen priorijakaumasta arvottua raudoitteen sijaintia laatan sisällä (a) (b) (c) Kuva 16: Kuvassa (a) on punaisella viivalla tarkalla mallilla U Ω,δ (σ; ξ) simuloidut jännitemittaukset vastaten yhtä sähkönjohtavuuden ja raudoitteen parametrien näytettä. Sinisellä viivalla on vastaavat approksimatiivisella mallilla U Ω,δ (σ; z) simuloidut mittaukset. Kuvassa (b) on vastaava approksimaatiovirhe. Kuvassa (c) on sinisellä approksimaatiovirheen odotusarvo, punaisella sen keskihajonta, ja keltaisella mittausvirheen keskihajonta.

49 4.2.2 Tulokset ja pohdinta Kohteen 1 sähkönjohtavuusjakauman estimoinnin tulokset on esitetty kuvassa 17. Kohteen oikea sähkönjohtavuusjakauma on esitetty ylhäällä. Toisella rivillä on vasemmalla estimaatti σ MAP-CEM, keskellä estimaatti σ MAP-EEM, ja oikealla estimaatti ( σ, α) MAP-EEM. Kunkin estimaatin alapuolella on esitetty sähkönjohtavuuden ja MAP-estimaatin yksiulotteiset proilikäyrät janalla (x, y, z) = (0, 0, [ 10, 0]), eli pystysuoralla janalla laatan keskellä. Kuvassa 18 on esitetty raudoitteen paikan estimoinnin tulokset kohteelle 1. Raudoitteen oikea paikka on esitetty sinisellä ja MAP-estimaatti punaisella värillä. Taulukossa 4 on esitetty raudoitteen oikeaa paikkaa vastaava parametrivektori ja MAP-estimaatti kolmen keskihajonnan luottamusvälien kanssa. Kohteiden 2,3 ja 4 tulokset on esitetty vastaavasti kuvissa 19, 21, 23, kuvissa 20, 22, 24 sekä taulukoissa 5, 6, 7. Kohteille laskettiin myös σ MAP-AEM -estimaatit käyttäen täyttä approksimaatiovirhemallia, mutta näitä estimaatteja ei esitetä, koska ne eivät poikenneet merkittävästi σ MAP-EEM -estimaateista. Kohteen 1 σ MAP-CEM -estimaatista havaitaan, että laattageometriassa raudoitteen huomiotta jättämisestä aiheutuva approksimaatiovirhe on merkittävä, ja estimaatti ei vastaa kohteen oikeaa sähkönjohtavuusjakaumaa. Approksimaatiovirheen vaikutus tavallisella virhemallilla laskettuihin estimaatteihin on suurempi kuin sylinterigeometriassa, koska laattageometriassa käytetyn suurikokoisen raudoitteen huomiotta jättäminen aiheuttaa suuremman mallinnusvirheen. Proilikäyrissä σ MAP-CEM -estimaatin luottamusvälit ovat kapeita, ja sähkönjohtavuuden oikeat arvot eivät ole luottamusvälien sisällä. Huomioimalla approksimaatiovirhe saadaan sähkönjohtavuusjakaumalle selvästi tarkempi estimaatti, ja lisäksi leveämmät luottamusvälit, joiden sisälle kohteen sähkönjohtavuusjakauman oikeat arvot jäävät. Estimaattien luottamusvälit ovat leveämpiä syvemmällä laatassa, koska laatan yläpinnalta tehtävät mittaukset ovat herkempiä sähkönjohtavuuden arvoille lähellä yläpintaa. Raudoitteen paikan estimointi kaventaa luottamusväleja, mutta oikea sähkönjohtavuusjakauma on edelleen luottamusvälien sisällä. Kohteen 1 raudoitteen parametrien estimoinnissa syvyydelle d ja kulmille θ x,y,z saadaan estimaatit, jotka ovat lähellä oikeita arvoja. Parametrien x 0 ja y 0 estimaatit poikkeavat enemmän oikeista arvoista. Estimointi onnistuu siis paremmin parametreille, jotka ovat lähellä odotusarvoja. Raudoitteen parametrien estimaattien luottamusvälit ovat suuret, joten parametrien estimointia approksimaatiovirhemenetelmän avulla ei voida pitää tarkkana laattageometriassa. Kohteen 2 sähkönjohtavuusjakauma σ oli syvyyden suhteen lineaarinen funktio. Vastaavasti kuin kohteelle 1, σ MAP-CEM -estimaatti ei vastaa kohteen oikeaa sähkönjohtavuusjakaumaa. Huomioimalla approksimaatiovirhe saadaan σ MAP-EEM -estimaatti, joka on lähellä oikeaa sähkönjohtavuusjakaumaa syvyyteen 7,5 cm asti. Huomioimalla approksimaatiovihe voidaan siis estimoida sähkönjohtavuusjakaumaa syvyyden funktiona. Raudoitteen parametrien estimoinnin tulokset ovat vastaavia kuin kohtelle 1. Parametrien estimaatit ovat lähellä parametrien oikeita arvoja, kun oikeat arvot ovat lähellä priorin odotusarvoja. 48

50 Kohteen 3 oikea sähkönjohtavuusjakauma σ oli sama kuin kohteella 2, mutta raudoite sijaitsi lähellä laatan yläpintaa. Myös tämän kohteen sähkönjohtavuusjakaumalle saatiin hyviä estimaatteja huomioimalla approksimaatiovirhe estimoinnissa. Approksimaatiovirhemenetelmää voidaan siis käyttää sähkönjohtavuusjakauman estimointiin syvyyden funktiona, vaikka raudoite sijaitsee lähellä pintaan kiinnitettyjä elektrodeja. Tässä kohteessa raudoitteen syvyyttä kuvaava parametri d ei ollut lähellä priorin odotusarvoa. Raudoitteen estimoitu sijainti on syvemmällä kuin oikea sijainti, eli myös tässä tilanteessa parametrien estimointi ei ole tarkkaa parametreille, jotka poikkeavat priorin odotusarvosta. Parametrin d estimaatti on pienempi kuin priorin odotusarvo. Raudoitteen sijainnin estimaatti on siis priorin odotusarvoon nähden oikeassa suunnassa, mutta sijaintia ei saada estimoitua tarkasti approksimaatiovirhemenetelmän avulla. Kohteessa 4 raudoite oli vinossa asennossa. Huommioimalla approksimaatiovirhe saatiin hyvä estimaatti myös tämän kohteen sähkönjohtavuusjakaumalle. Raudoitteen parametrien θ x, θ y ja θ z estimaatit ovat selvästi pienempiä kuin parametrien oikeat arvot, joten vinossa olevan raudoiteverkon asennon estimointi ei ole tarkkaa käytetyllä menetelmällä. Kohteen sisäisen raudoitteen parametrien estimointi ei ollut laattageometriassa yhtä tarkkaa kuin sylinterigeometriassa. Parametrien estimointi olisi tarkempaa, jos prioritietona raudoitteen mahdollinen sijainti tunnettaisiin tarkemmin. Raudoitteen parametrien estimointi vaikutti myös saatuihin sähkönjohtavuusjakaumien estimaatteihin, sillä σ MAP-EEM -estimaatit ja sähkönjohtavuuden ( σ, α) MAP-EEM -estimaatit poikkesivat hieman toisistaan. Erot näissä sähkönjohtavuuksien estimaateissa olivat kuitenkin pieniä, ja erot näkyivät syvällä laatan sisällä, missä estimointimenetelmä ei ole yhtä tarkka kuin lähellä laatan pintaa. Kaikille kohteille saadut σ MAP-CEM -estimaatit poikkesivat selvästi kohteiden oikeista sähkönjohtavuusjakaumista. Sähkönjohtavuusjakaumien σ MAP-EEM -estimaatit, joiden laskennassa huomioitiin mallinnusvirhe, vastasivat hyvin kohteiden sähkönjohtavuusjakaumia. Approksimaatiovirhemenetelmä toimi siis raudoitteen huomiotta jättämisestä aiheutuvan mallinnusvirheen korjaamiseen myös laattageometriassa, missä mittauksia tehtiin vain laatan yläpinnalta ja raudoite oli realistisen kokoinen ja muotoinen. 49

51 (a) (b) (c) (d) (e) (f ) (g) Kuva 17: Tulokset kohteelle 1. Sähkönjohtavuusjakauma ja estimaatit on esitetty pystysuorina leikkeinä kohdissa y = 25; 12, 5; 0; 12, 5; 25. Kuvassa a) on oikea kohde, kuvassa b) σ MAP-CEM - estimaatti ja kuvassa c) σ MAP-EEM -estimaatti. Kuvassa d) on ( σ, α) MAP-EEM -estimaatti sähkönjohtavuudelle. Kunkin estimaatin alapuolella on esitetty yksiulotteiset proilit janalla x, y = 0, z [ 10, 0]. Sininen viiva on σ ja punainen viiva on MAP-estimaatti jonka kolmen keskihajonnan luottamusväliä on merkitty punaisilla katkoviivoilla. 50

52 d (cm) x 0 (cm) y 0 (cm) θ x ( ) θ y ( ) θ z ( ) Kohde 5 11,5 11, Estimaatti 5,09 ± 2,38 10,40 ± 1,20 10,22 ± 0,98-0,54 ± 3,00-0,2158 ± 2,26-0,15 ± 2,32 Taulukko 4: Raudoitteen parametrit kohteelle 1 sekä parametrien MAP-estimaatti kolmen keskihajonnan luottamusväleillä. Kuva 18: Tulokset kohteelle 1. Kuvassa raudoitteen oikea paikka on esitetty sinisellä ja MAPestimaatti punaisella värillä. 51

53 (a) (b) (c) (d) (e) (f ) (g) Kuva 19: Tulokset kohteelle 2. Sähkönjohtavuusjakauma ja estimaatit on esitetty pystysuorina leikkeinä kohdissa y = 25; 12, 5; 0; 12, 5; 25. Kuvassa a) on oikea kohde, kuvassa b) σ MAP-CEM - estimaatti ja kuvassa c) σ MAP-EEM -estimaatti. Kuvassa d) on ( σ, α) MAP-EEM -estimaatti sähkönjohtavuudelle. Kunkin estimaatin alapuolella on esitetty yksiulotteiset proilit janalla x, y = 0, z [ 10, 0]. Sininen viiva on σ ja punainen viiva on MAP-estimaatti jonka kolmen keskihajonnan luottamusväliä on merkitty punaisilla katkoviivoilla. 52

54 d (cm) x 0 (cm) y 0 (cm) θ x ( ) θ y ( ) θ z ( ) Kohde 5 11,5 11, Estimaatti 4,52 ± 2,38 10,72 ± 1,20 10,60 ± 0,98-0,52 ± 3,00-0,08 ± 2,26-0,23 ± 2,32 Taulukko 5: Raudoitteen parametrit kohteelle 2 sekä parametrien MAP-estimaatti kolmen keskihajonnan luottamusväleillä. Kuva 20: Kuvassa kohteen 2 raudoitteen oikea paikka on esitetty sinisellä värillä. Raudoitteen paikan MAP-estimaatti on esitetty punaisella värillä. 53

55 (a) (b) (c) (d) (e) (f ) (g) Kuva 21: Tulokset kohteelle 3. Sähkönjohtavuusjakauma ja estimaatit on esitetty pystysuorina leikkeinä kohdissa y = 25; 12, 5; 0; 12, 5; 25. Kuvassa a) on oikea kohde, kuvassa b) σ MAP-CEM - estimaatti ja kuvassa c) σ MAP-EEM -estimaatti. Kuvassa d) on ( σ, α) MAP-EEM -estimaatti sähkönjohtavuudelle. Kunkin estimaatin alapuolella on esitetty yksiulotteiset proilit janalla x, y = 0, z [ 10, 0]. Sininen viiva on σ ja punainen viiva on MAP-estimaatti jonka kolmen keskihajonnan luottamusväliä on merkitty punaisilla katkoviivoilla. 54

56 d (cm) x 0 (cm) y 0 (cm) θ x ( ) θ y ( ) θ z ( ) Kohde 1,5 11,5 11, Estimaatti 3,50 ± 2,38 10,12 ± 1,20 10,48 ± 0,98 0,64 ± 3,00-0,04 ± 2,26-0,47 ± 2,32 Taulukko 6: Raudoitteen parametrit kohteelle 3 sekä parametrien MAP-estimaatti kolmen keskihajonnan luottamusväleillä. Kuva 22: Kuvassa kohteen 3 raudoitteen oikea paikka on esitetty sinisellä värillä. Raudoitteen paikan MAP-estimaatti on esitetty punaisella värillä. 55

57 (a) (b) (c) (d) (e) (f ) (g) Kuva 23: Tulokset kohteelle 4. Sähkönjohtavuusjakauma ja estimaatit on esitetty pystysuorina leikkeinä kohdissa y = 25; 12, 5; 0; 12, 5; 25. Kuvassa a) on oikea kohde, kuvassa b) σ MAP-CEM - estimaatti ja kuvassa c) σ MAP-EEM -estimaatti. Kuvassa d) on ( σ, α) MAP-EEM -estimaatti sähkönjohtavuudelle. Kunkin estimaatin alapuolella on esitetty yksiulotteiset proilit janalla x, y = 0, z [ 10, 0]. Sininen viiva on σ ja punainen viiva on MAP-estimaatti jonka kolmen keskihajonnan luottamusväliä on merkitty punaisilla katkoviivoilla. 56

58 d (cm) x 0 (cm) y 0 (cm) θ x ( ) θ y ( ) θ z ( ) Kohde 5 11,5 11, Estimaatti 4,27 ± 2,38 10,37 ± 1,20 10,34 ± 0,98 0,15 ± 2,32 1,13 ± 2,26 1,56 ± 3,00 Taulukko 7: Raudoitteen parametrit kohteelle 4 sekä parametrien MAP-estimaatti kolmen keskihajonnan luottamusväleillä. Kuva 24: Kuvassa kohteen 4 raudoitteen oikea paikka on esitetty sinisellä värillä. Raudoitteen paikan MAP-estimaatti on esitetty punaisella värillä. 57