seuraavista aiheista:

Transkriptio

1 / KUL KULJETUSVÄLINETEKNIIKAN PERUSTEET SYKSY 2010 LAIVA, SUURIN IHMISEN VALMISTAMA LIIKKUVA RAKENNE Johdanto Luennon tavoite on antaa yleiskuva laivan rakennesuunnittelusta. Luennon sisältö koostuu seuraavista aiheista: - laivan runkorakenne - kaarijärjestelmät - laivarakenteet luokittelu lujuuslaskennan kannalta - laivapalkki - laivan rakenteen suunnittelun työvaiheet - laivan rakenteiden keventämisen keinot Laivan rakenteen pääosat Laivan runko muodostaa vesitiiviin ja lujan ulkokuoren. Geometrialtaan se on monimutkainen ja ei-levittyvistä pinnoista muodostettu. Keula on kiilamainen, jotta sen vastus veden suhteen olisi pieni ja aallokossa sen liikkeet olisivat pehmeät. Vertikaalisuunnassa runko rajoittuu pohjalaidoitukseen ja pääkanteen. Rungon rakenteen tulee kestää merenkäynnin aiheuttamat kuormat ja sen on säilytettävä vesitiiveyden kaikissa operointitilanteissa. Rungon sisällä on lastitila ja laivan toimintaan liittyvät koneistot ja laitteet. Kuvassa 1 on esitetty suuren konttilaivan runkorakenne. Konttilaivan toiminnallinen idea perustuu pinta-alaltaan suuriin luukkuihin. Laivan päämitat ovat: LOA= 274,32 m, B = 32,21 m, D = 23,00 m ja T = 10,00 m, = ton, CB = 0,545 ja v = 26 solmua. 1

2 Kuva 1. Suuren ja nopean konttilaivan runkorakenne. Laivan rungon pääelementit on esitetty Kuvassa 2. Pohja- ja sivulaidoitus yhdessä muodostavat suljetun vesitiiviin kuoren. Pääkansi on eräissä laivatyypeissä suljettu kuten tankkilaivoissa, mutta valtaosassa laivoja pääkannella sijaitsee lastiruuman aukot, joiden peitteenä ovat roisketiiviit lastiluukut. Laivan rungon rajoittaman sisätilan jakaminen erillisiin tiloihin tapahtuu poikittaisten ja pitkittäisten laipioiden avulla. kansi deck sivu laidoitus side shell pitkittäinen laipio longitudinal bulkhead poikittainen laipio transverse bulkhead palle bilge pohjalaidoitus bottom shell Kuva 2. Laivan runkorakenteen pääelementit. 2

3 Laivan rungon pääelementtien sitominen toisiinsa ja tuenta tapahtuu kaarijärjestelmän avulla. Kaarijärjestelmä on tyypiltään kevytrakenne, jossa ulkoisen kuorman aiheuttamat rasitukset siirtyvät rakenne-elementiltä toiselle, katso Kuva 3. Kyseisessä kuvassa on esitetty pitkittäin kaaritettu rakenne, mutta kuormankantoperiaate on sama myös poikittain kaaritetussa järjestelmässä. Pohjalaidoitukseen kohdistuu vesikuorma. Lujuusopillisesti pohjalevy toimii laattana, joka tukeutuu pitkittäisiin kaariin eli voimat siirtyvät kaarille laatan tukivoiman muodossa. Laivassa käytetään kaarien välisenä etäisyytenä eli kaarivälinä 600 mm mm riippuen laivan koosta. Pitkittäiset kaaret tukeutuvat poikittaisiin jäykkääjiin. joiden etäisyys toisistaan on poikittaisen kaarivälin monikerta ja vaihteluväli on 2000 mm mm riippuen taas laivan koosta. Poikittaiset jäykkääjät tukeutuvat runkorakenteen pääelementteihin eli laipioihin, laidoitukseen ja kansiin. Kuvassa 3 esitetyt pohjalaidoitukseen kiinnitetyt poikittaiset jäykkääjät tukeutuvat siten pitkittäiseen laipioon ja laidoitukseen. Edellä kuvattu kuormasiirtomekanismi määrittelee myös kunkin rakenne-elementin lujuusopillisen toiminnan, jota hyödynnetään rakenneosien mitoituksessa. Lisäksi mekanismin avulla voit varmistua, että lujuuselementtiin kohdistuva kuorma siirtyvät varmasti eteenpäin, jos näin ei tapahdu riittävässä määrin tai se tapahtuu geometrisesti epäedullisesti niin edessä on rakenteen sortuminen ja pahimmillaan laivapalkin katkeaminen Tätä voimien siirtomekanismin periaatetta olen kutsunut 'hiiriteknologiaksi' eli jos jännityshiirien kulkureitillä on esteitä niin rakenteen toimivuus on huono. kehyskaari web frame pitkittäinen kaari longitudinal frame vesipainekuorma water pressure kload pohjalaidoitus levy bottom plate Kuva 3. Laivan pitkittäinen kaarijärjestelmä ja sen toimintaperiaate. 3

4 Kaarijärjestelmä Laivapalkin kaarijärjestelmää, jossa kannessa ja pohjassa kaaret ovat laivan pitkittäisakselin suunnassa ja laidoituksessa poikittaissuunnassa, kutsutaan sekakaarijärjestelmäksi, katso Kuva 4. Kyseinen kaarijärjestelmä on yleisin. Pitkittäissuunnassa olevia kaaria kutsutaan pohjassa pohjan pituuskaariksi (18) ja vastaavasti kannessa kannen pituuspalkeiksi (14). Kaarijärjestelmässä joka neljännelle poikittaiselle kaarelle sijoitettu poikittainen kehyskaari muodostuu pohjatukista (8) ja laidoituksen kehyskaaresta (16) ja kannen poikitaisjäykkääjästä (17). S 2 S 1 C L 4 S S S 18 S 6 Kuva 4. Laivapalkin sekakaarijärjestelmä. Taulukko 1. Kaarijärjestelmien osien nimitykset. no suomi ruotsi englanti 1 kansilevy däckplåt deck plating 2 kannen reunalevy däcksvägare deck stringer 3 tankinkatto tanktak tank top 4 ketkasarja skärstråk sheer strake 5 pallesarja slagstråk bilge strake 6 kölilevy kölplåt keel plate 7 keskisisäköli centervägare center girder 8 pohjatukki bottenstock floor 9 sisäköli sidovägare side girder 10 pallepolvio slagknä side bracket 4

5 11 laitajäykkääjä sidovägare side stringer 12 polvio knäplåt bracket 13 laidoituskaari spant frame 14 kansipalkki däcksbalk deck beam 15 pitkittäisjäykkääjä deckvägare longitudinal deck girder 16 kehyskaari sidoveb webframe 17 poikittaisjäykkääjä däckveb t deck girder 18 pohjakaari botten spant bottom frame 19 pohjatukin jäykistäjä stag stiffener 20 palleköli slingerköl bilge keel 21 kulkuaukko manhål manhole 22 väistölovi urtag notch Laivan rakenteen mitoituksen osaongelmat Perinteisesti laivanrakenteiden mitoituksessa on käytetty kolmea hierarkiatasoa, katso Kuva 5. Primäärisenä rakenteena on laivapalkki. Sekundäärinen rakenteen muodostavat kaksoispohja ja kehyskaari. Tertiäärisen rakenteen kaaret ja jäykistämätön levykenttä. Esimerkiksi luokituslaitosten sääntökirjojen rakenne perustuu kyseiseen jakoon, myös elementtimenetelmän käytössä kyseinen jako on hyödyllinen. σ 1 jännitys laivapalkki neutraaliakseli σ 2 jännitys σ 3 jännitys. sivusisäköli pitkittäiskaari ' Kuva 5. Laivan rakennehierarkia esitettynä palkkiteorian antamina nimellisjännityksinä. 5

6 Laivapalkin sortumismuodot määrittävät käytettävät lujuuskriteerit. Kun rakenteessa esiintyvä jännitys ylittää myötörajan teräsmateriaali plastisoituu ja siinä esiintyy pysyviä muodonmuutoksia, jos venymä kasvaa edelleen niin lopulta materiaalin murtumispiste saavutetaan. Yksiakselisessa venymätilanteessa se tapahtuu noin 20 % suhteellisen venymän arvolla. Moniakselisessa venymätilanteessa vastaava arvo on luokkaa 5-10 %. Rakennemateriaalille määritetään myötö- ja murtoraja. Esimerkiksi perusteräkselle (MS) miniarvot ovat 235 N/mm2 ja N/mm2. Laivan poikkileikkauksen rakenneosat puristuksessa voivat lommahtaa, jolloin ne menettävät kuormankantokyvyn. Rakenteen lommahduslujuus on riippuvainen kaarijärjestelmästä ja rakenneosien geometrisistä mitoista. Materiaalin myötölujuus ei vaikuta vaan kimmomoduuli kun ollaan elastisella alueella. Laivapalkkia rasittavan aaltomomentin vaihtelu aiheuttaa väsymistä. Väsymistarkastelussa on otettava huomioon koko rasitushistoria. Rakenneyksityiskohdilla ja korroosiolla on suuri vaikutus. Alustavassa tarkastelussa väsyminen otetaan huomioon alentamalla sallittua jännitystasoa. Haurasmurtumislujuus varmistetaan materiaalille tehtävällä iskusitkeyskokeella. Haurasmurtumiseen vaikuttaa lämpötila, kuormitusnopeus ja materiaalin paksuus. Laivapalkin kuormitus Laivapalkin taivutusmomentti kostuu kahdesta osasta. Tyynenveden momentista MSW, joka on seurausta laivan massan ja uppouman nostovoiman erilaisesta jakautumisesta pitkin laivapalkkia. Satamassa se on ainoa laivapalkkia rasittava kuorma. Aaltomomentti M W on seurausta veden hydrodynaamisesta painekentästä laivan rungon pinnalla ja massavoimista aallossa. Klassillinen tarkastelu perustuu siihen, että laiva asetetaan staattiseen mitoitusaaltoon. Tyynenveden momentti MSW Tyynenveden tilanne vastaa kuormituksia satamassa, jossa ei aallokkoa esiinny. Lujuusteknisesti laivan runkoa voidaan tarkastella palkkina, jonka tasapainoyhtälöt, katso Kuva 6, ovat seuraavat: ( Q + dq) Q + df = 0 1 ( M + dm) M Qdx + dfdx = 0, 2, (1) 6

7 josta saadaan seuraavat yhtälöt taivutusmomentin M, leikkausvoiman Q ja palkin kuorman q välille 2 d M 2 dx dq = = q dx. (2) Johtuen laivan paino q W (x) ja uppouman nostovoiman q (x) erilaisesta jakautumisesta pitkin laivapalkkia, katso Kuva 6, siihen kohdistuu myös tyynessä vedessä ulkoinen kuorma q(x), jonka lauseke on seuraava: q W ( x) q ( x) q ( x) = (3) Ulkoisen kuormituksen integraali antaa tyynenveden leikkausvoiman Q SW Q SW x ( x) = q( x) dx (4) 0 Kuva 6. Palkin alkiossa vaikuttavat voimat. Laivapalkin on oltava staattisesti tasapainossa, josta johtuen palkin päissä leikkausvoiman arvo on nolla. Palkin reunaehtoina on, että leikkausvoiman ja myöskin momenttin arvot ovat nolla palkin päissä. Tätä kutsutaan vapaa-vapaa palkiksi. Kuvassa 7 on esitetty periaatepiirros leikkausvoiman jakautumasta laivan pituusakselin suunnassa. Tyynenveden momentti MSW on leikkausvoiman integraali: 7

8 M SW x ( x) = Q( x) dx (5) 0 Tässäkin tapauksessa momentin arvo palkin päissä on nolla. Kuten Kuvasta 7 ilmenee saavuttaa momentti suurimman arvon noin L/2 kohdalla, jossa leikkausvoiman arvo on nolla. Tätä tyynenveden momentin arvoa käytetään laivapalkin pitkittäislujuuteen osallistuvien rungon osien mitoituksessa. Laivapalkin kuormitustilannetta, jossa kannessa on vetoa ja pohjassa puristusta kutsutaan hogging-tilanteeksi. Päinvastaista tilannetta, jossa kannessa on puristusta ja pohjassa vetoa kutsutaan vastaavasti sagging-tilanteeksi. uppouman nostovoima q (x) q W (x), q (x) laivan paino q W (x) q(x) kuorma Q SW (x) tyynenveden leikkausvoima M SW (x) tyynenveden momentti L Kuva 7. Tyynenveden leikkausvoima ja taivutusmomentti. 8

9 Aaltomomentti MW Laivapalkin aaltomomentti MW johtuu veden painekentän muuttumisesta laivan rungon pinnalla aallossa. Klassillinen tarkastelu perustuu siihen, että laiva asetetaan staattiseen mitoitusaaltoon, jonka tehollisen korkeuden Hw lauseke lausuttuna aallonpituuden λ avulla on esimerkiksi seuraava: H W = 0.45 λ 0,6 (6) Lausekkeesta havaitaan, että aallon pituuden ollessa yhtäsuuri kuin laivan pituus niin aallonkorkeuden tehollinen arvo ei kasva lineaarisesti laivan pituuden funktiona, katso Kuva 8. Siinä on myös esitetty 1800-luvulla käytössä ollut Billesin lineaarinen riippuvuus. Tästä seuraa se, että suurien laivojen kohtaamat kuormat ovat suhteessa alhaisemmat kuin pienen laivan kohtaamat vastaavat kuormat. H W [m] Η W = 0.45 λ0, Η W = λ λ [m] Kuva 8. Laivapalkkiin kohdistuvan tehollinen aallonkorkeus Hw aallonpituuden funktiona. Laivapalkin aaltomomentin lausekkeet Det Norske Veritas (DnV) nimisen luokituslaitoksen sääntökirjan mukaan ovat seuraavat: M W,sag = 0,11L 2 B(C B + 0, 2)C W [knm] M W, hog = 0,19L 2 BC B2 C W [knm] (7) 9

10 Lausekkeista havaitaan, että aaltomomentti on riippuvainen laivan pituudesta L, levey-desta B ja uppouman täyteläisyysasteesta CB. Aaltokertoimelle Cw on annettu myös luku-arvot luokan sääntökirjassa, jotka on kalibroitu nykytietämyksen pohjalta. Kuvassa 9 on esitetty aaltomomentin pituusjakautuma DnV:n sääntökirjan mukaan. Taivutusvastusvaatimus lasketaan laivapalkin eri kohdissa, jotta laivan muodon vaikutus tulee huomioon otetuksi. Laivapalkkia rasittava kokonaismomentti M T on tyynenveden momentin MSW ja aaltomomentin MW summa M T = MSW + MW. hogging AP 5 FP sagging nopeus- ja keulanmuotolisä Kuva 9. Aaltomomentin jakautuma laivan pitkittäisakselin suunnassa DNV:n sääntökirjan mukaan. Laivapalkin taivutusvastus Z Viime vuosisadan puolella tehtiin laivapalkin taipumamittauksia. Havaittiin, että laivapalkki noudattaa lujuusopin Euler-Bernoulli -palkkiteoriaa, jossa poikkileikkaustasot säilyvät tasoina ja poikkileikkauksen rakenne-elementtien suhteellinen venymä εx on verrannollinen sen etäisyyteen neutraaliakselista, jossa venymä on nolla: ε x = z ρ = z d2 w dx 2 (8) 10

11 Laivan teräsrakenteiden kohdalla myös Hooken laki jännitysten ja venymien välillä on myös voimassa, jolloin normaalijännityksen ja suhteellisen venymän välinen riippuvuus voidaan lausua kimmomoduulin E avulla σ x = E ε x (9) Ulkoisen momentin M ja sisäisen normaalijännityksen väliseksi tasapainoyhtälön avulla saadaan normaalijännityksen lausekkeeksi σ x = M I y z (10) Mitoituksen kannalta kiinnostavat jännitykset sijaitsevat laivapalkin ylimmässä kannessa ja pohjassa, joiden etäisyys neutraali-akselista ovat suurimmat. Laivapalkki noudattaessa teknistä taivutusoppia, niin ulkoinen momentti jaettuna sallitulla jännitysarvolla antaa vaadittavan taivutusvastuksen Z [m3] Z = M T σ sall (11) Lukuarvoltaan sallittujännitys on noin 60-70% materiaalin myötörajasta. Poikkeuksena palkkiteorialle muodostaa laivat, joissa kansirakennus on pitkä ja korkea kuten risteilylaivoissa on tilanne. Tällöin joudutaan hyvin nopesti siirtymään 3D elementtimallien käyttöön. Laivan rakennesuunnittelun toimenpiteet Laivan rakennesuunnittelun lähtökohtana on laivalle asetettavat toiminnalliset vaatimukset, jotka riippuvat laivatyypistä ja sen purjehdusalueesta. Rakennesuunnittelun sisältämät työvaiheet ovat rakenteen periaateratkaisun hahmottaminen, rakenne-elementtien mitoitus ja materiaalivalinnat. Laivan rakennesuunnitteluun pätevät samat perustotuudet kuin laivan yleissuunnittelussa: teknisesti hyväksyttävistä vaihtoehdoista valitaan taloudellisten kriteerien pohjalta edullisin. Kuvassa 10 on esitetty kaavio muodossa laivan rakennesuunnittelun osa-alueet. Ne koostuvat toisaalta rakenteiden toiminnallisten vaatimusten täyttämisestä ja toisaalta itse rakenteen mitoituksesta. Materiaalin valinta vaikuttaa aina rakenneratkaisuun. Kehitetyistä 11

12 rakenneratkaisuista tapauksesta riippuen valitaan painon tai hinnan suhteen edullisin. Käytännön rakennesuunnittelussa on ensiarvoisen tärkeätä selvittää laivalle asetettavat toiminnalliset vaatimukset, jotka yleensä rajoittavat käytettävissä olevia rakenneratkaisuja. Konttilaivan toiminnallinen idea perustuu pinta-alaltaan suuriin luukkuihin. Ro-ro-laivassa vaaditaan leveät ja avonaiset kannet. Jäänmurtajassa vaaditaan jääkuormat kestävä laidoitus. rakenteelle asetettavat toiminnalliset vaatimukset rakenteen suunnittelu mitoitus materiaalinvalinta materiaalit: mekaaniset ja fysikaaliset ominaisuudet hinta ja toimitusehdot kustannusanalyysi eri vaihtoehdoille optimointi rakenteen valmistus: leikkaus ja taivutus hitsaus kokoonpano suunnitelma hyväksyttäminen luokalla ja tilaajalla Kuva 10. Laivan rakennesuunnittelun osatekijät. Laivan rakennemitoitus etenee asteittain tarkentuen. Alussa on syytä käyttää nopeita ja yksinkertaisia menetelmiä, jotka perustuvat pitkälti luokituslaitoksen sääntökirjassa esitettyihin mitoituslausekkeisiin. Niiden avulla haravoidaan eri rakennevaihtoehtojen käytettävyys. Suunnittelun tarkentuessa voidaan ottaa käyttöön myös aikaa vievät, mutta tarkemmat laskentamallit. On kuitenkin hyvä pitää mielessä se, että laskennan osa-alueet on aina pidettävä tasapainossa toisensa suhteen, katso Kuva 11. Ei ole mitään mieltä laskea rakenteessa esiintyvät jännitykset tarkasti esimerkiksi 3D-elementtimallilla, jos kuormat on arvoitu epätarkasti. KUORMA X VASTE X LUJUUS LOPPUTULOS = Kuva 11. Laivan rakenteiden mitoituksen lopputuloksen hyvyys. 12

13 Laivan rakenneratkaisut on hyväksytettävä tilaajalla ja viranomaisella, jota yleensä edustaa valittu luokituslaitos. Luokituslaitos vaatii tietyn minimilujuuden täyttämisen. Luokan vaatiman minimilujuuden riittävyys on tapauskohtaisesti harkittava. On pidettävä kirkkaana mielessä, että luokituslaitos on vain konsultti, lopullisen vastuun kantaa suunnittelijat. Laivan rakenteiden kehittäminen Rakenteiden kehittämisessä on kaksi perustavoitetta, joko laivan suorituskyvyn parantaminen keventämällä rakennetta tai valmistuskustannusten pienentäminen. Uuden teknologian avulla voidaan luoda rakenneratkaisuja, jotka täyttävät molemmat vaatimukset. Sen sijaan olemassa oleva teknologia yleensä kohdistuu jompaan kumpaan tavoitteeseen. Laivaturvallisuus asettaa myös uusia vaatimuksia laivan rakenneratkaisuille. Keskeisinä ongelmina ovat viime aikoina olleet törmäykset ja karilleajo sekä palokestävyys. Raken-teen kustannusanalyysissä tulisi valmistuskustannusten lisäksi ottaa huomioon käyttökustannukset, jotka painottuvat käytettävyyden eli korroosio-ominaisuuksien parantamiseen, jolloin myös on mahdollista alentaa huoltokustannuksia. Erityisesti matkustajalaivojen rakennesuunnittelussa ottamaan huomioon esteettiset näkökohdat. Kuvassa 12 on esitetty kaavion muodossa periaatteelliset mahdollisuudet laivan rakenteiden keventämiseksi. Uudet materiaalit kuten erikoislujat teräkset tai kevytmetallit tarjoavat yhden tien, mutta uudet rakenneratkaisut on myös syytä pitää mielessä. uudet rakenneratkaisut jäykistetty levykenttä - MS-teräsmateriaali teräksinen kerroslevyrakenne jäykistetty levykentä - erikoislujateräs - alumiini kerroslevyrakenne - alumiini - AL/ST-komposiitti Kuva 12. Laivan rakenteiden keventämisen keinot 13

14 Laivanrakennusterästen kehitys on kohdistut materiaalin lujuusominaisuuksien ja liittämismenetelmien parantamiseen. Edellisessä ovat kohteena olleet lujuuden ja iskusitkeyden kasvattaminen. Näin on voitu nostaa laivanrakenteiden jännitystasoja ja siten materaalipaksuudet ovat pienentyneet, jonka seurauksena laivan teräspaino on alentunut. Liittämismenetelmien kehitys on kohdistunut ennen kaikkea hitsaukseen. Merkittävimmin hitsaukseen laajalla palokaaren energian alueella. Hitsausvirheiden määrää on pystytty pienentämään. Käytön kannalta teräksen korroosiokestävyys muodostaa keskeisen tekijän. Tämä on toisaalta riippuvainen hitsatun rakenteen korroosio-ominaisuuksista ja toisaalta suojaus- ja pinnoitusmenetelmien mukaan tehokkuudesta. Pinnoitusmenetelmistä maalaus on keskeisin, mutta erikoistapauksissa myös muita menetelmiä kuten ruostumattoman teräksen käyttö voi tulla kyseeseen. Erikoislujat teräkset laivan rungon materiaalina ovat saaneet viimeaikoina paljon huomio-ta osakseen. Niiden käyttökohteet on huolella valittava, koska rakenteen väsymislujuus ei kasva myötörajan funktiona ja pienillä levyn paksuuksilla lommahduslujuus ei kasva myötörajan funktiona Eulerin lommahdusteorian mukaan, vaan on riippuvainen kimmomoduulista, rakenteen geometrisista mitoista, katso Kuva 13. σ c [N/mm 2 ] s = 700 mm σ el σ f = 360 N/mm 2 σ f = 235 N/mm t [mm] Kuva 13. Levykentän lommahdusjännitys myötörajan funktiona. 14

15 Alumiinista valmistetun laivapalkin pitkittäislujuus muodostaa keskeisen ongelman. Alumiinirakenne on herkkä väsymisen suhteen. Alumiinimateriaalilla ei ole väsymisen suhteen alarajaa kuten teräksellä ja staattinen lujuus alenee hitsauksesta johtuen. Näin ollen telakalla tulee olla korkeatasoinen laadunvarmistus, jossa rakenneyksityiskohtien hitsauksen laatu ja hitsaussaumojen sijoittelu, on huolella mietitty. Alumiinirakenteen valmistaminen vaatii erityisosaamista. Päällisin puolin alumiinirakenne muistuttaa teräsrakennetta, mutta kokemuksesta tiedetään, että niiden valmistuksessa erot ovat suuremmat kuin yhtäläisyydet. Alumiinityötä voidaan verrata puutyöhön siinä, että molemmat materiaalit vaativat taidokasta käsittelyä, jotta vältetään muodonmuutokset. Käytäntö on myös osoittanut, että alumiinirakenteen levysepän koulutustulos on parempi kun oppilaan osaamispohjana ei ole teräsrakenteiden valmistus. Kuva 14. Maailman suurimman alumiinialuksen rakentaminen Rauman telakalla. Lähteet PNA: Vol I, Ch. IV Strength of Ships. Taggart, Ship Design and Construction: Ch. VI Analysis and design of principal hull structures, Ch. VII Structural components, Ch. VIII Hull materials and welding. Rawson, K, & Tupper, E. Basic Ship Theory. Vol I 15