Satunnaisluvut, satunnaisvektorit ja niiden jakaumat
|
|
- Aarno Kahma
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 1A Satunnaisluvut, satunnaisvektorit ja niiden jakaumat Ensimmäisen harjoituksen tavoitteena on kerrata todennäköisyyden peruskäsitteitä, jotka ovat välttämättömiä stokastisten prosessien käsittelyssä. Kertaamisen apuna voi käyttää esim. luentomonisteita [Koi09, Les13] tai vapaasti verkosta ladattavaa kirjaa [GS97]. Alla on kuhunkin tehtävään esitetty malliratkaisut punaisella sekä malliratkaisujen lisämateriaalit sinisellä. Tuntitehtävät 1A1 Tero Pitkämäki heittää yleisurheilukilpailussa keihästä kuusi kertaa. Oletetaan, että heittojen pituudet metreinä (Z 1,..., Z 6 ) ovat riippumattomia jatkuvan välin (80, 92) tasajakaumaa noudattavia satunnaislukuja. (a) Laske Teron ensimmäisen heittotuloksen odotusarvo ja varianssi. Ratkaisu. (Leskelä, luvut 1.4 ja 1.9) Merkitään a 80 ja b 92 sekä h b a 12. Tällöin ensimmäisen heiton tulos voidaan esittää muodossa Z 1 a+hu 1, missä U 1 noudattaa jatkuvan yksikkövälin (0, 1) tasajakaumaa. U 1 :n tiheysfunktio on 1 (0,1) (u), joten odotusarvo on toinen momentti ja varianssi Näin ollen ja varianssi EU 1 EU u du 1 2 u 2 du 1 3, Var(U 1 ) EU 2 1 (EU 1 ) ( 1 2 EZ 1 a + heu 1 86 Var(Z 1 ) h 2 Var(U 1 ) 12. ) Lisäys. Kuljetetaanpa yksiköitä mukana: heitto on Z 1 metriä. Siis Var(Z 1 m) E([(Z 1 m) E(Z 1 m)] 2 ) 12m 2. Varianssi on siis 12 neliömetriä. Tämän vuoksi Teron suoriutusvarmuutta kuvaakin paremmin keskihajonta Var(Z 1 ) 3.46m. (b) Selvitä satunnaisluvun Y max(z 1,..., Z 6 ) kertymäfunktio F Y ja tiheysfunktio f Y sekä laske todennäköisyys, että Teron pisin heitto kantaa vähintään 91 metriä. Ratkaisu. (Leskelä, luku 1.5) (i) Määritelmän mukaan yleisesti satunnaisluvun Y kertymäfunktio F Y on F Y (y) P(Y y). 1 / 11
2 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssilta muistamme, että kertymäfunktio määrittelee jakauman. Yllä kuvatun satunnaisluvun Y max(z 1,..., Z 6 ) kertymäfunktio on siis F Y (y) P(max(Z 1,..., Z 6 ) y) P(Z 1 y,..., Z 6 y) P(Z 1 y) 6 ((y a)/h) 6 h 6 (y a) 6, kun y [a, b]. Lisäksi F Y (y) 0 kun y < a ja F Y (y) 1 kun y > b. Näin saadaan 0, y a F Y (y) h 6 (y a) 6, a y b 1, y b. (ii) Yleisesti f Y : R R 0 on satunnaisluvun Y tiheysfunktio, jos kaikilla y R pätee F Y (y) y a f Y (a)da. (1) Kaikilla satunnaisluvuilla ei ole tiheysfunktiota. Erityisesti kaavasta (1) seuraa Analyysin Peruslauseen mukaan, että (a) jotta tiheysfunktio olisi olemassa, on F Y :n oltava jatkuva (b) jos F Y on jatkuva ja lisäksi derivaatta F Y on olemassa ja jatkuva (mahdollisesti äärellisen montaa poikkeuspisteettä lukuunottamatta), niin Y :llä on tiheysfunktio f Y F Y (määritelmällä poikkeuspisteissä ei ole merkitystä). Käytännössä tiheysfunktio selvitetään yleensä helpoiten kohdan (b) avulla derivoimalla jatkuvaa kertymäfunktiota ja asettamalla f Y F Y. Jos ehtoa (b) on vaikea muistaa, voi aina veikata, että f Y F Y, ja osoittaa integroimalla, että (1) pätee tällä valinnalla. Tehtävänannossa kuvatulle satunnaisluvulle Y max(z 1,..., Z 6 ) saatiin kohdassa (i) jatkuva kertymäfunktio. Derivoidaan osan (i) vastausta: 0, y < a F Y (y) 6h 6 (y a) 5, a < y < b 0, y > b. Derivaatta on olemassa ja jatkuva kaikkialla paitsi mahdollisesti pisteissä a ja b, joten tiheysfunktioksi voidaan y.o. ominaisuuden (b) perusteella asettaa esimerkiksi 0, y a f Y (y) 6h 6 (y a) 5, a < y < b 0, y b. 2 / 11
3 (iii) Teron pisin heitto kantaa yli 91 m tn:llä P(Y > 91) 1 P(Y 91) 1 F Y (91) (c) Selvitä satunnaisluvun X min(z 1,..., Z 6 ) kertymäfunktio F X ja laske todennäköisyys, että vähintään yksi Teron heitoista jää alle 85 metrin. Ratkaisu. Tämä on analoginen kohtaan (b): F X (x) 0, jos x < 80 ja F X (x) 1, jos x > 92. Muutoin, F X (x) P(X x) 1 P(Z 1 > x &... & Z 6 > x) 1 [1 P(Z 1 x)] 6 1 [1 (x a)/h] 6. Y.o. kertymäfunktio on jatkuva. Käyttäen tätä tietoa saadaan P(X < 85) P(X 85) F X (85) 1 [1 (85 80)/12] (d) Onko satunnaisvektorilla (X, Y ) (yhteis)tiheysfunktiota f X,Y? Ovatko satunnaisluvut X ja Y riippumattomat? Perustele vastauksesi. Ratkaisu. (i) (Leskelä, luku 1.6) Satunnaisvektorilla (X, Y ) on tiheysfunktio. Perustellaan etsimällä tiheysfunktio. Aloitetaan kuitenkin yhteiskertymäfunktiosta. Määritelmän mukaan yleisesti satunnaisvektorin (X 1,..., X n ) yhteiskertymäfunktio F (X1,...,X n) on F (X1,...,X n)(x 1,..., x n ) P(X 1 x 1,..., X n x n ). Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssilta muistamme, että yhteiskertymäfunktio määrittelee satunnaisvektorin jakauman. Satunnaisvektorilla (X 1,..., X n ) on yhteistiheysfunktio f (X1,...,X n) : R n R 0, jos kaikilla (x 1,..., x n ) R n pätee x1 xn F (X1,...,X n)(x 1,..., x n )... f (X1,...,X n)(a 1,..., a n )da n... da 1. a 1 a n Kaikilla satunnaisvektoreilla ei ole yhteistiheysfunktiota. Erityisesti kaavasta yllä seuraa, että (a) jotta yhteistiheysfunktio olisi olemassa, on F (X1,...,X n):n oltava jatkuva (b) jokaisessa alueessa, jossa F (X1,...,X n) on jatkuva ja sen derivaatat kertalukuun n asti ovat olemassa ja jatkuvia, kuvaa (X 1,..., X n ):n jakaumaa paikallisesti k.o. alueessa yhteistiheysfunktio f (X1,...,X n) 1 n F (X1,...,X n). (T.s. k.o. alueen osajoukkojen todennäköisyydet saadaan integroimalla f (X1,...,X n):ää.) 3 / 11
4 Käytännössä yhteistiheysfunktio selvitetään usein helpoiten kohdan (b) avulla derivoimalla jatkuvaa yhteiskertymäfunktiota kaikkien muuttujien suhteen ja tarkistamalla, että näin saadut paikalliset yhteistiheysfunktiot f (X1,...,X n) 1 n F (X1,...,X n) sisältävät tn-massan 1 määrittelyalueissaan. Palataan itse tehtävänannon satunnaisvektoriin (X, Y ) (min(z 1,..., Z 6 ), max(z 1,..., Z 6 )). Yhteistiheysfunktio määritetään seuraavasti: jos x y, selvästi F (X,Y ) (x, y) P(X x, Y y) P(Y y) F Y (y), koska X min(z 1,..., Z 6 ) max(z 1,..., Z 6 )) Y. Jos taas x < y, saadaan F (X,Y ) (x, y) P(X x, Y y) P(Y y) P(X > x, Y y) F Y (y) P(x < Z 1 y,..., x < Z 6 y) F Y (y) P(x < Z 1 y) 6 F Y (y) [F Z1 (y) F Z1 (x)] 6. Muistetaan, että yllä 0, y a F Y (y) h 6 (y a) 6, a y b 1, y b 0, x a F Z1 (x) h 1 (x a), a x b 1, x b. Erityisesti Y :n ja Z 1 :n kertymäfunktiot ovat jatkuvia, joten myös F (X,Y ) on jatkuva. Lisäksi derivoimalla ylläolevia lausekkeita havaitaan, että joukossa A : {(x, y) R 2 : a < x < y < b} pätee x y F (X,Y ) (x, y) 30h 6 (y x) 4, ja kaikkien muiden F (X,Y ) :n paloittaisten määrittelyalueiden sisäpisteissä x y F (X,Y ) (x, y) 0. Helposti havaitaan, että y.o. derivaatta integroituna joukon A yli tuotta ykkösen. Erityisesti siis ylläolevan kohdan (b) mukaan yhteistiheysfunktioksi käy seuraava valinta: { 30h 6 (y x) 4, a < x < y < b, f (X,Y ) (x, y) 0, muutoin. (ii) (Leskelä, luku 1.7) Muistetaan, että määritelmän mukaan yleiset satunnaismuuttujat X ja Y ovat riippumattomat, jos kaikille joukoille B X, B Y R pätee P(X B X, Y B Y ) P(X B X )P(Y B Y ). 4 / 11
5 Väite: tehtävän X ja Y ovat riippuvat. Todistus: olkoot B X, B Y R avoimia välejä, B X (90, 91), B Y (88, 89). Koska X Y, pätee P(X B X, Y B Y ) 0. Edellä johdetuista kertymäfunktioista F X ja F Y taas havaitaan, että P(X B X ) ja P(Y B Y ) ovat molemmat positiivisia. Näin ollen löydettiin B X, B Y R, joille P(X B X, Y B Y ) P(X B X )P(Y B Y ). (e) Onko satunnaisvektorilla (Z 1, Y ) (yhteis)tiheysfunktiota f Z1,Y? Ratkaisu. Väite: Ei ole. Todistus: Jokainen Teron heitto jää lyhyimmäksi samalla todennäköisyydellä, eli P(Z 1 Y ) 1/6. Jos yhteistiheysfunktio f Z1,Y olisi olemassa, sen pintaintegraali (nollapinta-alaisen) suoran Z 1 Y yli olisi siis positiivinen 1/6. Tämä ei ole mahdollista. Kotitehtävät (palautettava kirjallisina pe klo 10:15 mennessä) 1A2 Olkoon X satunnaisluku, joka noudattaa joukon Z + {0, 1, 2,... } geometrista jakaumaa onnistumistodennäköisyydellä p (0, 1), jolloin X:llä on pistemassafunktio π X (k) (1 p) k p, kun k 0, 1, 2,... (a) Määritä ehdollinen todennäköisyys P [ X t + h X t ] kokonaisluvuille t, h 0. Ratkaisu. (Leskelä, luku 1.8) Yleisesti P(A B) P(A B)/P(B). Soveltamalla tähän saadaan P(X t + h X t) P(X t + h) P(X t) p kt+h (1 p)k p (1 p)k kt (merkitään q 1 p) qt+h 1 1 q q t 1 1 q q h (1 p) h. Lisäys. Erityisesti tulos yllä ei riipu t:stä. Tämä on geometrisen jakauman muistittomuusominaisuus: jos on odotettava geometrisesti jakautunut (diskreetti) aika X, ja on odotettu jo t aikayksikköä, on vielä jäljellä oleva odotus jakautunut kuten tapauksessa t 0, eli edelleen saman geometrisen jakauman mukainen satunnaismuuttuja. Muistittomuusominaisuus myös karakterisoi geometrisen jakauman; oletetaan, että meillä on odotusaika X Z + :sta, ja se on muistiton. Tällöin siis kaikilla t, P(X 1 + t X 1) P(X t) 1 P(X 1 + t) P(X 1) P(X t), 1 eli peräkkäisten tn-massojen suhde on vakio, ja jakauma on siis geometrinen. P(X 1) 5 / 11
6 (b) Laske X:n odotusarvo ja varianssi. Ratkaisu. (Leskelä, luvut 1.3 ja 1.9) Lasketaan odotusarvo ja varianssi suoraan määritelmästä. Vaihtoehtoinen tapa olisi vaikkapa momenttiemäfunktion avulla. (i) EX kp(x k) kp(1 p) k Sarja voidaan laskea geometrisen sarjan derivaatan avulla. Merkitään q 1 p: kq k q q k (2) q joten EX p q 1 q 1 q 1 q (1 q) 1 p 2 p 2 k(1 p) k p 1 p p 2 1 p p. (ii) Varianssin laskemiseksi muistetaan Var(X) EX 2 (EX) 2, joten riittää laskea neliön odotusarvo, EX 2 p k 2 (1 p) k. Sarja saadaan taas derivointikikalla: k 2 q k (3) ( q ) kq k q q ( ) q q (1 q) 2 q q + 1 (1 q) 3 6 / 11
7 joten Lopulta EX 2 p(1 p) 2 p p 3 Var(X) EX 2 (EX) 2 (1 p)(2 p) p 2. (1 p)(2 p) (1 p)2 p 2 p 2 1 p. p 2 Lisäys. Yllä esintyneet vaikeat sarjat (2) ja (3) voidaan myös laskea elementääristi pelkän geometrisen sarjan kaavan avulla. Tämä perustuu termien sopivaan ryhmittelyyn (koska kaikki äärettömän monta sarjan termiä ovat positiivisia, voidaan ne summata vapaavalintaisessa järjestyksessä). Ensin (2): kq k q k + q k + q k +... k1 k2 k3 q 1 q + q2 1 q + q3 1 q q k 1 q k1 q (1 q). 2 Lasketaan seuraavaksi samaan tapaan varianssiin tarvittu sarja (3). Tätä varten tarvitaan ensin lievä yleistys edellisestä sarjasta (2): kun l 1, kq k l q k + q k + q k +... kl ja edelleen (3) voidaan laskea k 2 q k kl kl+1 lql 1 q + ql+1 (1 q) 2 kq k + k1 1 1 q l1 kq k + k2 kl+2 kq k +... k3 lq l q + (1 q) 2 q (1 q) + q 2 3 (1 q) 3 q q + 1 (1 q). 3 l1 q l 7 / 11
8 Huomataan, että saatiin samat tulokset kuin geometristä sarjaa derivoimalla. Olkoon Y satunnaisluku, joka noudattaa eksponenttijakaumaa vauhtiparametrilla λ > 0, jolloin Y :llä on tiheysfunktio { f Y (x) λe λx λe λx, kun x > 0, 1 (0, ) (x) 0, muuten. (c) Määritä ehdollinen todennäköisyys P [ Y > t + h Y > t ] reaaliluvuille t, h > 0. Ratkaisu.KPätee P [ Y > t + h Y > t ] P [ Y > t + h ] /P [ Y > t ]. Tätä varten tarvitaan eksponenttifunktion integraali: joten xa λe λx dx e aλ P [ Y > t + h Y > t ] e (t+h)λ /e tλ e hλ. Lisäys. Tämäkään tulos ei riipu t:stä, joten jatkuvalla eksponttijakaumalla on diskreettiä geometrista jakaumaa vastaava jatkuva-aikaisen odotusajan muistittomuusominaisuus. Jatkuva muistittomuusominaisuus myös karakterisoi eksponenttijakauman: olkoon X positiivinen muistiton odotusaika. Merkitään kertymäfunktion komplementtia G X :llä, G X 1 F X. Tällöin G X (0) 1, G X (x) x 0 ja kaikilla t, h > 0 G X (h) P(X > h) P(X > t + h X > t) P(X > t + h) G X(t + h) P(X > t) G X (t) G X (t + h) G X (h)g X (t). Käyttämällä nyt i kertaa y.o. kaavaa saadaan G X (i/2 j ) G X (1/2 j ) i kiinnitetyllä j. Näin ollen kaikilla x i/2 j, i 1, 2,... ja millä tahansa kiinnitetyllä j on G X (x) muotoa G X (x) e xλ j, jollakin λ j > 0. Lukujono x i/2 j, i 1, 2,... sisältyy jonoon x i/2 j+1, i 1, 2,.... Näin ollen λ j ei riipu j:stä, joten päätellään, että G X (x) on eksponentiaalinen fuktio G X (x) e xλ kaikilla dyadisilla luvuilla x i/2 j, i, j Z 0. Koska dyadiset luvut ovat tiheitä R:ssä ja kertymäfunktio F X on aina oikealta jatkuva, seuraa että G X (x) on eksponenttifuktio e xλ kaikilla x R. 8 / 11
9 (d) Laske Y :n odotusarvo ja varianssi. Ratkaisu. (i) Osittaisintegroinnilla sekä tietämällä tiheysfunktion normalisointi saadaan EY yf Y (y)dy y R λ ye λy dy y R + λ 1 / ( y) y R + λ e λy dy + 1 λ e λy y0 1 λe λy dy λ y R + 1/λ (ii) Y.o. osittaisintegrointia voidaan helposti muokata antamaan rekursiokaava eksponenttijakauman momenteille: EY 0 1 ja E[Y k ] y k f Y (y)dy y R λ y k e λy dy y R + λ 1 / y R + λ e λy ky k 1 dy + ( 1λ ) e λy y k y0 k λe λy y k 1 dy λ y R + k λ E[Y k 1 ]. Näin ollen E[Y k ] k!/λ k ja erityisesti Var(Y ) E[Y 2 ] E[Y ] 2 1/λ 2. 9 / 11
10 1A3 Otaniemi Eulers ja Leppävaaran Algebra mittelevät robottijalkapalloliigan mestaruudesta pelaamalla sarjan otteluita paras kolmesta -järjestelmällä, jolloin kaksi voittoa saavuttanut joukkue voittaa mestaruuden. Oletetaan, että otteluiden tulokset ovat toisistaan riippumattomia ja Eulers voittaa kunkin ottelun todennäköisyydellä p (a) Millä todennäköisyydellä Eulers vie mestaruuden? Ratkaisu. Olkoon satunnaisluku X k se, kuinka monta voittoa Eulers saa k:sta ensimmäisestä ottelusta. Eulers voittaa mestaruuden, mikäli se voittaa ottelusarjasta kaksi. Jos toinen joukkueista voittaa kaksi ensimmäistä peliä peräkkäin, ei kolmatta peliä tarvitse pelata. Tästä huolimatta voidaan kuvitella, että kolmaskin peli pelattaisiin, vaikka sillä ei olisikaan merkitystä lopputulokseen. Näin tekemällä havaitaan, että Eulers voittaa tn:llä P(X 3 2). Tutkitaan nyt X k :n jakaumaa. X k voidaan ilmaista indikaattorimuuttujien avulla: merkitään { 1, jos Eulers voittaa ottelun j, θ j 0, muuten. Tällöin esimerkiksi X 3 θ 1 +θ 2 +θ 3 on kolmen riippumattoman Ber(p)-jakautuneen satunnaismuuttujan summa, missä p Peruskurssilta muistetaan, että X k noudattaa binomijakaumaa Bin(k, p). Näin ollen kysytty tn siis on P(X 3 2) ( ) 3 p 2 (1 p) ( 3 3 ) p 3 (1 p) 0 3p 2 (1 p) + p (b) Mikä on todennäköisyys, että mestaruus ratkeaa vasta kolmannessa pelissä? Ratkaisu. Ottelusarja ratkeaa vasta kolmannessa pelissä, joss (θ 1, θ 2 ) (1, 0) tai (θ 1, θ 2 ) (0, 1). Summamalla näiden tn:t nähdään, että kysytty tn on 2(1 p)p (c) Mikä on ratkaisuun tarvittavien pelien lukumäärän odotusarvo? Ratkaisu. Mestaruus ratkeaa joko toisessa tai kolmannessa pelissä. Edellisen kohdan myötä kolmannessa pelissä tn:llä p 3 2(1 p)p, joten kahdessa pelissä ottelu ratkeaa tn:llä p 2 1 p 3. Näin siis kysytty odotusarvo on 2p 2 + 3p 3 2(1 p 3 ) + 3p p Pohditaan mahdollista liigan sääntömuutosta. Analysoi seuraavaksi ottelusarjaa, jossa käytetään paras seitsemästä -järjestelmää, jolloin neljä voittoa ottanut joukkue voittaa mestaruuden: (d) Millä todennäköisyydellä Eulers nyt vie mestaruuden? Ratkaisu. Jälleen kuvitellaan, että myös ne ottelut pelataan, joilla ei ole mestaruuden kannalta merkitystä. Tällöin Eulersin voittojen lukumärää seitsemästä 10 / 11
11 Viitteet pelistä on X 7 7 j1 θ j ja Algebran voitot saadaan kaavalla 7 X 7. Eulers voittaa mestaruuden täsmälleen silloin, kun X 7 4. Koska X 7 on Bin(7, p)-jakautunut, havaitaan että kysytty tn on P(X 7 4) 7 j4 ( ) 7 p j (1 p) 7 j j Lisäys. Siirtyminen paras seitsemästä -syteemiin siis kasvatti ennakkosuosikki Eulersin mestaruustodennäköisyyttä. Oletetaan yleisemmin, että ottelusarjassa pelataan 2l + 1 ottelua ja mestariksi tulee l + 1 voitolla. Tällöin Eulersin mestaruustodennäköisyyden pitäisi intuitiivisesti kasvaa l:n funktiona kohti yhtä. Todista tämä. (Vihje: Raja: suurten lukujen laki. Kasvavuus: merkitään Eulersin johtoa otteluvoitoissa 2l + 1 ottelun jälkeen Y l : X 2l+1 (2l + 1 X 2l+1 ) 2X 2l+1 2l 1. Prosessia Y l voi ajatella esim. satunnaiskävelynä ajassa l Z +. Kävely kulkee parittomilla luvuilla ja ottaa askeleita 0, ±2. Miten tn-massaa kulkee 1:stä 1:een ja päinvastoin, kun l kasvaa yhdellä?) (e) Mikä on todennäköisyys, että mestaruus ratkeaa vasta seitsemännessä pelissä? Ratkaisu. Ottelusarja ratkeaa vasta seitsemännessä pelissä jos ja vain jos kuudennen pelin jälkeen otteluvoitot ovat tasan 3 3, eli X 6 3. Binomijakaumasta saadaan ( ) 6 P(X 6 3) p 3 (1 p) (4) 3 [GS97] Charles M. Grinstead and J. Laurie Snell. Introduction to Probability. American Mathematical Society, articles/probability_book/book.html, [Koi09] Petri Koistinen. Todennäköisyyslaskennan kurssin luentomoniste. helsinki.fi/~pek/papers/tn09.pdf, [Les13] Lasse Leskelä. Stokastiset prosessit. Luentomoniste. %7Elleskela/LectureNotes002.html, / 11
Satunnaisluvut, satunnaisvektorit ja niiden jakaumat
1A Satunnaisluvut, satunnaisvektorit ja niiden jakaumat Ensimmäisen harjoituksen tavoitteena on kerrata todennäköisyyden peruskäsitteitä, jotka ovat välttämättömiä stokastisten prosessien käsittelyssä.
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotPoisson-prosessien ominaisuuksia ja esimerkkilaskuja
4B Poisson-prosessien ominaisuuksia ja esimerkkilaskuja Tuntitehtävät 4B1 Eksponentiaalisten odotusaikojen toistuva odottaminen. Satunnaisluvun X sanotaan noudattavan Gamma-jakaumaa parametrein k ja λ,
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
Lisätiedot1. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden heittojen lukumäärä, joilla tuli 1, 2, 3 tai 4.
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 206 Kurssikoe 28.0.206 Ratkaisuehdotuksia. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden
LisätiedotMartingaalit ja informaatioprosessit
4A Martingaalit ja informaatioprosessit Tämän harjoituksen tavoitteena on tutustua satunnaisvektorin informaation suhteen lasketun ehdollisen odotusarvon käsitteeseen sekä oppia tunnistamaan, milloin annettu
Lisätiedotx 4 e 2x dx Γ(r) = x r 1 e x dx (1)
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta IIA, syksy 217 217 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. Laske numeeriset arvot seuraaville integraaleille: x 4 e 2x dx ja 1
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 2 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi
Lisätiedotk S P[ X µ kσ] 1 k 2.
HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 28 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Osa tämän viikon tehtävistä ovat varsin haastavia, joten ei todellakaan
Lisätiedot(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio.
Todennäköisyyslaskenta I, kesä 7 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia. Satunnaismuuttujalla X on ns. kaksipuolinen eksponenttijakauma eli Laplacen jakauma: sen tiheysfunktio on fx = e x. a Piirrä tiheysfunktio.
LisätiedotTehtäväsarja I Tehtävät 1-5 perustuvat monisteen kappaleisiin ja tehtävä 6 kappaleeseen 2.8.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Tehtävät -5 perustuvat monisteen kappaleisiin..7 ja tehtävä 6 kappaleeseen.8..
LisätiedotPoisson-prosessien ominaisuuksia ja esimerkkilaskuja
5B Poisson-prosessien ominaisuuksia ja esimerkkilaskuja Alla on kuhunkin tehtävään esitetty malliratkaisut punaisella sekä malliratkaisujen lisämateriaalit sinisellä. Tuntitehtävät 5B1 Teemu Selänne on
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 21. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 21. syyskuuta 2007 1 / 19 1 Satunnaismuuttujien riippumattomuus 2 Jakauman tunnusluvut Odotusarvo Odotusarvon ominaisuuksia
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3A Satunnaismuuttujien summa ja keskihajonta Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
Lisätiedot2 exp( 2u), kun u > 0 f U (u) = v = 3 + u 3v + uv = u. f V (v) dv = f U (u) du du f V (v) = f U (u) dv = f U (h(v)) h (v) = f U 1 v (1 v) 2
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 208 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Satunnaismuuttuja U Exp(2) ja V = U/(3 + U). Laske f V käyttämällä muuttujanvaihtotekniikkaa.
LisätiedotSatunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja
LisätiedotHY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia
HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 07 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Osa tämän viikon tehtävistä ovat varsin haastavia, joten ei todellakaan
Lisätiedot4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on
Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Otanta Poisson- Jakaumien tunnusluvut Diskreetit jakaumat Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen
LisätiedotJohdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012
Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012 Muunnoksen jakauma (ei pelkkä odotusarvo ja hajonta) Satunnaismuuttujien summa; Tas ja N Vakiokerroin (ax) ja vakiolisäys (X+b) Yleinen muunnos: neulanheittoesimerkki
LisätiedotSallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu. f(x, y) = k x y, kun 0 < y < x < 1,
Todennäköisyyslaskenta, 2. kurssikoe 7.2.22 Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu.. Satunnaismuuttujien X ja Y yhteistiheysfunktio on
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 4 (vko 41/2003) (Aihe: diskreettejä satunnaismuuttujia ja jakaumia, Laininen luvut 4.1 4.7) 1. Kone tekee
LisätiedotMS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3A Normaaliapproksimaatio Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi 2016
LisätiedotLisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia
Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia KE (2014) 1 Hypergeometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma
LisätiedotTodennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3
Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3 Aiheet: Satunnaisvektorit ja moniulotteiset jakaumat Tilastollinen riippuvuus ja lineaarinen korrelaatio Satunnaisvektorit ja moniulotteiset
Lisätiedot0 kun x < 0, 1/3 kun 0 x < 1/4, 7/11 kun 1/4 x < 6/7, 1 kun x 1, 1 kun x 6/7,
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 07 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä niistä
Lisätiedot4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut
4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut D1. Kone valmistaa kuulalaakerin kuulia, joiden halkaisija vaihtelee satunnaisesti. Halkaisijan on oltava tiettyjen rajojen sisällä, jotta kuula olisi käyttökelpoinen.
LisätiedotHY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä
LisätiedotSatunnaismuuttujat ja jakaumat
Luku 2 Satunnaismuuttujat ja jakaumat Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 2. syyskuuta 207 2. Satunnaismuuttujan käsite Käytännön tilanteissa ei yleensä olla kiinnostuneita satunnaisilmiön kaikista yksityiskohdista,
Lisätiedot30A02000 Tilastotieteen perusteet
30A02000 Tilastotieteen perusteet Kertaus 1. välikokeeseen Lauri Viitasaari Tieto- ja palvelujohtamisen laitos Kauppatieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2019 Periodi I-II Sisältö Välikokeesta Joukko-oppi
LisätiedotValintahetket ja pysäytetyt martingaalit
4B Valintahetket ja pysäytetyt martingaalit Tämän harjoituksen tavoitteena on oppia tunnistamaan, mitkä satunnaishetket ovat valintahetkiä ja oppia laskemaan lukuarvoja ja estimaatteja satunnaisprosessien
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 3. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset
Todennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 3. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset 1. Olkoon X satunnaismuuttuja, ja olkoot a R \ {0}, b R ja Y = ax + b. (a) Olkoon X diskreetti ja f sen pistetodennäköisyysfunktio.
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 28. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 28. syyskuuta 2007 1 / 20 1 Jatkoa diskreeteille jakaumille Negatiivinen binomijakauma Poisson-jakauma Diskreettien
LisätiedotD ( ) E( ) E( ) 2.917
Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 4. harjoitukset/ratkaisut Aiheet: Diskreetit jakaumat Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen jakauma, Kertymäfunktio,
LisätiedotSatunnaismuuttujan odotusarvo ja laskusäännöt
Luku 3 Satunnaismuuttujan odotusarvo ja laskusäännöt Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 16. syyskuuta 2017 3.1 Odotusarvon käsite ja suurten lukujen laki Lukuarvoisen satunnaismuuttujan X odotusarvo määritellään
LisätiedotSallitut apuvälineet: kirjoitusvälineet, laskin sekä käsinkirjoitettu, A4-kokoinen lunttilappu ja MAOL taulukkokirjaa
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II. kurssikoe 18.1.15 Sallitut apuvälineet: kirjoitusvälineet, laskin sekä käsinkirjoitettu, A4-kokoinen lunttilappu ja MAOL taulukkokirjaa
LisätiedotV ar(m n ) = V ar(x i ).
Mat-.3 Stokastiset prosessit Syksy 007 Laskuharjoitustehtävät 6 Poropudas/Kokkala. Olkoon M n = X +... + X n martingaali ja M 0 = 0. Osoita, että V ar(m n ) = n V ar(x i ). i= Huomattavaa on, että muuttujia
LisätiedotJuuri 10 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri 0 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..08 Kertaus K. a) Alapaineiden pienin arvo on ja suurin arvo 74, joten vaihteluväli on [, 74]. b) Alapaineiden keskiarvo on 6676870774
Lisätiedot3. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut
Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku, kevät - eliövaara, Palo, Mellin. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut D. Uurnassa A on 4 valkoista ja 6 mustaa kuulaa ja uurnassa B on 6 valkoista ja 4 mustaa
LisätiedotOdotusarvo. Odotusarvon ominaisuuksia Satunnaismuuttujien ominaisuuksia 61
3.3. Satunnaismuuttujien ominaisuuksia 61 Odotusarvo Määritelmä 3.5 (Odotusarvo) Olkoon X diskreetti satunnaismuuttuja, jonka arvojoukko on S ja todennäköisyysfunktio f X (x). Silloin X:n odotusarvo on
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
Lisätiedot0 3 y4 dy = 3 y. 15x 2 ydx = 15. f Y (y) = 5y 4 1{0 y 1}.
HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 18 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsar I 1. Satunnaismuuttujilla X Y on tkuva yhteiskauma yhteistiheysfunktiolla f
LisätiedotTilastomatematiikka Kevät 2008
Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastomatematiikka p.1/19 4.3 Varianssi Satunnaismuuttuja on neliöintegroituva, jos odotusarvo
LisätiedotEpäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista
6 Epäyhtälöitä Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista työvälineistä. Yhtälö a = b kertoo sen, että kaksi ehkä näennäisesti erilaista asiaa ovat samoja. Epäyhtälö a b saattaa antaa keinon analysoida
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4A Parametrien estimointi Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016, periodi
Lisätiedot1. Jatketaan luentojen esimerkkiä 8.3. Oletetaan kuten esimerkissä X Y Bin(Y, θ) Y Poi(λ) λ y. f X (x) (λθ)x
HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 017 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. Jatketaan luentojen esimerkkiä 8.3. Oletetaan kuten esimerkissä X
Lisätiedot2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet
Tilastotieteen jatkokurssi Sosiaalitieteiden laitos Harjoitus 5 (viikko 9) Ratkaisuehdotuksia (Laura Tuohilampi). Jatkoa HT 4.5:teen. Määrää E(X) ja D (X). E(X) = 5X p i x i =0.8 0+0.39 +0.4 +0.4 3+0.04
LisätiedotGeneroivat funktiot, Poisson- ja eksponenttijakaumat
4A Generoivat funktiot, Poisson- ja eksponenttijakaumat Tämän harjoituksen tavoitteena on edelleen tutustua generoivien funktioiden sovelluksiin ja lisäksi harjoitella ratkaisemaan Poisson- ja eksponenttijakaumiin
Lisätiedot6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11)
6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11) 1. a) Sivun 102 hypergeometrisen jakauman määritelmästä saadaan µ µ 13 39 13! 13 12 11 10 9 µ 0! 8! 1! 2 2! 2 1 0 49 48! 47!! 14440 120 31187200 120 1287
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 5 (vko 4/003) (Aihe: jatkuvia satunnaismuuttujia ja jakaumia, sekamalli, Laininen luvut 5.1 5.7, 6.1 6.3)
LisätiedotMAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen
MAT-5 Todennäköisyyslaskenta Tentti.. / Kimmo Vattulainen Vastaa jokainen tehtävä eri paperille. Funktiolaskin sallittu.. a) P A). ja P A B).6. Mitä on P A B), kun A ja B ovat riippumattomia b) Satunnaismuuttujan
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 7 (vko 44/003) (Aihe: odotusarvon ja varianssin ominaisuuksia, satunnaismuuttujien lineaarikombinaatioita,
LisätiedotHarjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox
Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen tavoitteet Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat
LisätiedotKeskihajonta ja korrelaatio
Luku 4 Keskihajonta ja korrelaatio Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 19. syyskuuta 2017 4.1 Jakauman varianssi ja keskihajonta Edellisessä luvussa opittiin, että satunnaismuuttujan odotusarvo on X:n jakauman
LisätiedotTodennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Todennäköisyyslaskun kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Vilkkumaa / Kuusinen 2 Motivointi Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittaviin ilmiöihin liittyvien havaintojen
LisätiedotMartingaalit ja informaatioprosessit
6A Martingaalit ja informaatioprosessit Tämän harjoituksen tavoitteena on oppia tunnistamaan, milloin satunnaisprosessi on martingaali annetun informaatioprosessin suhteen ja milloin satunnaishetki on
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 20. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 20. syyskuuta 2007 1 / 17 1 Kolmogorovin aksioomat σ-algebra Tapahtuman todennäköisyys 2 Satunnaismuuttujat Todennäköisyysjakauma
LisätiedotMarkov-ketjut pitkällä aikavälillä
2A Markov-ketjut pitkällä aikavälillä Tämän harjoituksen tavoitteena on oppia lukemaan siirtymämatriisista tai siirtymäkaaviosta, milloin Markov-ketju on yhtenäinen ja jaksoton; oppia tunnistamaan, milloin
Lisätiedot8.1 Ehdolliset jakaumat
8 Ehdollinen jakauma Tämän kappaleen tärkeitä käsitteitä: Ehdollinen jakauma; ehdollinen ptnf/tf. Kertolaskusääntö eli ketjusääntö yhteisjakauman esittämiseksi. Ehdollinen odotusarvo ja ehdollinen varianssi.
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 17. Integraalin sovelluksia kassavirta-analyysissa Integraalin sovelluksia todennäköisyyslaskennassa
Talousmatematiikan perusteet: Luento 17 Integraalin sovelluksia kassavirta-analyysissa Integraalin sovelluksia todennäköisyyslaskennassa Motivointi Kahdella edellisellä luennolla olemme oppineet integrointisääntöjä
LisätiedotTodennäköisyysjakaumia
8.9.26 Kimmo Vattulainen Todennäköisyysjakaumia Seuraavassa esitellään kurssilla MAT-25 Todennäköisyyslaskenta esille tulleita diskreettejä todennäköisyysjakaumia Diskreetti tasajakauma Bernoullijakauma
LisätiedotTodennäköisyyden ominaisuuksia
Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset
LisätiedotMAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen
MAT-25 Todennäköisyyslaskenta Tentti 12.4.216 / Kimmo Vattulainen Funktiolaskin sallittu. Palauta kaavakokoelma 1. a) Pelaajat A ja B heittävät noppaa vuorotellen ja pelin voittaa se, joka saa ensimmäiseksi
LisätiedotTodennäköisyyslaskun kertaus. Heliövaara 1
Todennäköisyyslaskun kertaus Heliövaara 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Heliövaara 2 Stunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jos satunnaisilmiötä halutaan mallintaa matemaattisesti,
LisätiedotMatemaattinen tilastotiede. Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto
Matemaattinen tilastotiede Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto Alkusanat Tämä moniste perustuu vuosina 2002-2004 pitämiini matemaattisen tilastotieteen luentoihin
Lisätiedot5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3
Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Verkot todennäköisyyslaskennassa Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut Kertymäfunktio, Momentit, Odotusarvo,
Lisätiedot031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3
031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 3 Jukka Kemppainen Mathematics Division Jakauman tunnusluvut Jakauman tärkeimmät tunnusluvut ovat odotusarvo ja varianssi. Odotusarvo ilmoittaa jakauman keskikohdan
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 4. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 4. lokakuuta 2007 1 / 17 1 Moniulotteiset todennäköisyysjakaumat Johdanto Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat Kaksiulotteisen
LisätiedotKäytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella:
8.1 Satunnaismuuttuja Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella: Esim. Nopanheitossa (d6) satunnaismuuttuja X kertoo silmäluvun arvon. a) listaa kaikki satunnaismuuttujan arvot b)
LisätiedotMAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen
MAT-200 Todennäköisyyslaskenta Tentti 29.04.20 / Kimmo Vattulainen Funktiolaskin sallittu.. a) Pelaajat A ja B heittävät noppaa vuorotellen ja pelin voittaa se, joka saa ensimmäiseksi kuutosen. A aloittaa
LisätiedotSatunnaismuuttujien summa ja keskiarvo
Luku 5 Satunnaismuuttujien summa ja keskiarvo Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 21. syyskuuta 2017 5.1 Satunnaismuuttujien summa Satunnaismuuttujien summa S n = X 1 + +X n ja keskiarvo n 1 S n ovat satunnaismuuttujia,
LisätiedotTilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo
Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Tilastollisia peruskäsitteitä ja Monte Carlo 1/13 Kevät 2003 Tilastollisia
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Mitä tänään? Jos satunnaisilmiötä halutaan mallintaa matemaattisesti, on ilmiön tulosvaihtoehdot kuvattava numeerisessa muodossa. Tämä tapahtuu liittämällä
LisätiedotTODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä
J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Todennäköisyyslaskenta 1 TODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä Otosavaruus S S on satunnaiskokeen E kaikkien mahdollisten alkeistapahtumien e joukko. Esim. 1. Noppaa
LisätiedotTilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 2A
Tilastollinen päättely II, kevät 07 Harjoitus A Heikki Korpela 3. tammikuuta 07 Tehtävä. (Monisteen tehtävä.3 Olkoot Y,..., Y n Exp(λ. Kirjoita vastaava tilastollisen mallin lauseke (ytf. Muodosta sitten
Lisätiedot5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut
Mat-.09 Sovellettu todennäköisyyslasku, kevät -05 5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut D. Eräässä maata kiertävällä radalla olevassa satelliitissa on ilmaisin, jonka elinikä X yksikkönä vuosi noudattaa
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 5B Bayesläiset piste- ja väliestimaatit Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto
LisätiedotJatkuvat satunnaismuuttujat
Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 3. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 3. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Varianssin luottamusväli, jatkoa 2 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 3
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin
Lisätiedot(b) Onko hyvä idea laske pinta-alan odotusarvo lähetmällä oletuksesta, että keppi katkeaa katkaisukohdan odotusarvon kohdalla?
6.10.2006 1. Keppi, jonka pituus on m, taitetaan kahtia täysin satunnaisesti valitusta kohdasta ja muodostetaan kolmio, jonka kateetteina ovat syntyneet palaset. Kolmion pinta-ala on satunnaismuuttuja.
LisätiedotOtosavaruus ja todennäköisyys Otosavaruus Ë on joukko, jonka alkiot ovat kokeen tulokset Tapahtuma on otosavaruuden osajoukko
ÌÓÒÒĐĐÓ ÝÝ ÔÖÙ ØØ Naiiveja määritelmiä Suhteellinen frekvenssi kun ilmiö toistuu Jos tehdas on valmistanut 1000000 kpl erästä tuotetta, joista 5013 ovat viallisia, niin todennäköisyys, että tuote on viallinen
LisätiedotInversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7
Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7 Kevät 2012 1 Tilastolliset inversio-ongelmat Tilastollinen ionversio perustuu seuraaviin periaatteisiin: 1. Kaikki mallissa olevat muuttujat mallinnetaan
LisätiedotMarkov-kustannusmallit ja kulkuajat
2B Markov-kustannusmallit ja kulkuajat Tämän harjoituksen tavoitteena on oppia laskemaan Markov-kustannusmallien kustannuskertymiä ja -vauhteja, ketjujen odotettuja kulkuaikoja sekä todennäköisyyksiä osua
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 3: Todennäköisyysjakaumia. Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Diskreettejä jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Diskreettejä jakaumia >> Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma
LisätiedotErilaisia Markov-ketjuja
MS-C2 Stokastiset prosessit Syksy 207 3A Erilaisia Markov-ketjuja Tuntitehtävät 3A Lepakoiden rengastaja (tai kuponkien keräilijä) Lepakkoluolassa on lepakkoa, joista jokainen lentää luolasta ulos joka
LisätiedotJatkuva-aikaisten Markov-prosessien aikakehitys
5A Jatkuva-aikaisten Markov-prosessien aikakehitys Tämän harjoituksen tavoitteena on harjoitella jatkuva-aikaisiin Markov-prosesseihin liittyviä hetkittäisiä jakaumia ja tutkia niien muutoksia ajassa.
LisätiedotTKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 3, 6, 7 Pistetehtävät: 2, 4, 5, 9 Ylimääräiset tehtävät: 8, 10, 11 Aiheet: Moniulotteiset jakaumat Avainsanat: Diskreetti jakauma,
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta IIa, syyslokakuu 2019 / Hytönen 2. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset
Todennäköisyyslaskenta IIa, syyslokakuu 019 / Hytönen. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset 1. Kurssilla on 0 opiskelijaa, näiden joukossa Jutta, Jyrki, Ilkka ja Alex. Opettaja aikoo valita umpimähkään opiskelijan
LisätiedotTilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 1A
Tilastollinen päättely II, kevät 207 Harjoitus A Heikki Korpela 23. tammikuuta 207 Tehtävä. Kertausta todennäköisyyslaskennasta. Ilmoita satunnaismuuttujan Y jakauman nimi ja pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktio
LisätiedotMat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 5. harjoitukset/ratkaisut. Jatkuvat jakaumat
Mat-2.09 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Jatkuvat jakaumat Avainsanat: Binomijakauma, Eksponenttijakauma, Jatkuva tasainen jakauma, Kertymäfunktio, Mediaani, Normaaliapproksimaatio, Normaalijakauma,
LisätiedotLisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen
MTTTP5, kevät 2016 4.2.2016/RL Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen 1. Laitosneuvostoon valitaan 2 professoria, 4 muuta henkilökuntaan kuuluvaa jäsentä sekä 4 opiskelijaa. Laitosneuvostoon
LisätiedotGripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta
MS-A00 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta 7.. Gripenberg Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot ja minkä kokeen suoritat! Laskin,
LisätiedotMatemaattisten tieteiden kandiohjelma / MTL Todennäköisyyslaskenta IIb Kurssikoe (kesto 2h 30 min)
Matemaattisten tieteiden kandiohjelma / MTL Todennäköisyyslaskenta IIb Kurssikoe 8..7 (kesto h 3 min) Sallitut apuvälineet: kirjoitusvälineet, laskin sekä käsinkirjoitettu, A4-kokoinen lunttilappu. Ei
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Jatkuvia jakaumia Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen raja-arvolause TKK (c) Ilkka Mellin
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja
Lisätiedot