S-.6 Fysiikka IV (Sf) Tetti 6.5.5 I välikokee alue. Oletetaa, että protoi ja elektroi välie vetovoima o verraollie suureesee r ( F kr) eikä etäisyyde eliö kääteisarvoo ( F k/ r ). Käytä kulmaliikemäärä kvatittumissäätöä ja osoita, että statioääriste ratoje säteet ovat r ( / km) / eergiat ovat E tässä voimaketässä. ja että ω, missä ω o massa m omaava hiukkase kiertoliikkee kulmataajuus Bohri malli kvatisoitiehto o L ;,,, 3,... () Jos oletamme rada ympyrä muotoiseksi L mrv v mr. () Tasaiselle ympyräliikkeelle pätee (sijoitetaa lopuksi yhtälö ()) mv m kr r r 3. (3) r m mr Ratkaisemalla r F r km H G I km K J /. () Merkitsemällä oskillaattori kulmataajuutta ω k / m saadaa kokoaiseergiaksi: E mv + kr kr k km k / m ω, (5) missä käytettii toistamisee yhtälöä (). Voidaa osoittaa, että eksakti kvattimekaaie ratkaisu o
F H I K 3 E + ω, missä ( 3 / ) ω o s. ollapiste-eergia. Huomaa, että myös harmoie oskillaattori toteuttaa viriaaliteoreema, joka yleisessä muodossa kirjoitetaa Eki V r (6) klassisessa mekaiikassa tarkoittaa aikakeskiarvoa ja kvattimekaiikassa ao suuree odotusarvoa. Voidaa osoittaa, että teoreema (6) yleistys johtaa reaalikaasu tilayhtälö muotoo F I pv νrt + ij ij HG F r 3 kaikki parit KJ ave missä ave tarkoittaa aikakeskiarvoa.. Äärettömä syvässä (välillä [, L ] sijaitsevassa) potetiaalikuopassa oleva hiukkase πx ie t x aaltofuktio o (, ) si / π ie t xt e si e / Ψ +, missä E o omiaistilaa 5L L L π x si vastaava eergia. Mikä o liikemäärä odotusarvo eri aja hetkiä? L L : Liikemäärää vastaava operaattori o pˆ i, jote liikemäärä odotusarvo saadaa laskemalla operaattori odotusarvo L L * * pˆ Ψ ( xt, ) pˆψ ( xtdx, ) ( xt, ) i ( xtdx, ) Ψ Ψ x x L πx πx π πx π πx si si cos cos 5L + + + iet / + iet / iet / iet / i e e e e dx π L πx πx πx πx i si cos si cos 5L + L L L L πx πx ie ( E) πx πx ie ( E) + si cos e + si cos e dx Nyt voidaa käyttää kaavaa si a cosb si( a+ b) + si( a b). Saadaa
π L πx πx i si si 5L + L L. 3πx πx ie ( E) 3πx πx ie ( E) + si + si e + si + si e dx Kaksi esimmäise termi itegraalit ovat ollia, koska sii-fuktio itegroidaa koko jakso moikerra yli. Jatketaa kahde viimeise termi itegroitia π L 3πx πx ie ( E) 3πx πx ie ( E) pˆ i si si e si si e dx 5L + + + π 3πx πx 3πx πx i e + + e L ie ( E) ie ( E ) si si si si 5L π L L L L i ( ) e + + e π L ( ) L ( ) i e + e cos( ( ) ) ( ) ( ) ( ) i E E i E E (( ) ) ( ) (( ) ) (( ) ) 5L 3π π 3π π ie E ie E 5L 3π 3π π L { / isi ( E E ) + cos (( E E) ) + isi (( E E) ) } i E E t 5L 3π π L i si i (( E E) t / ) 5L 3π 3 si (( E E) ) 5 L Tulos tarkoittaa käytäössä, että hiukkae liikkuu edestakaisi potetiaalikuopassa, sillä liikemäärä o vuorotelle positiivie ja egatiivie. dx 3. Elektroi o p tilassa. a) Mitkä ovat elektroi mahdolliset kokoaiskulmaliikemäärävektori arvot (vektori pituude ja vektori joki kompoeti sallitut arvot) b) Mitä tarkoitetaa spiratavuorovaikutuksella ja mite se vaikuttaa p elektroi mahdollisii eergiatiloihi ku ulkoisia kettiä ei ole? c) Spi-ratavuorovaikutuksessa esiityvä vakio o E Z α al l ( l + )( l + /) (termi S Lkerroi) missä α /37 o s. hieorakeeparametri. Mikä o spi-ratahajoa suuruus vedy p tilalle? a) Kokoaiskulmaliikemäärälle pätee ( ) J j j+ ; Jz mj missä kulmaliikemäärie yhteelaskusääö mukaa j l / tai j l+ /. Tässä l, jote j / ("likkutila") tai j 3/ ("oikotila"). Mageettie kvattiluku saa vastaavasti arvot m j, j+,..., j. j
b) Spiratavuorovaikutus aiheutuu elektroi spi- ja rataliikkeisii liittyvie efektiiviste sähkövirtoje aiheuttamie mageettiste momettie välisestä kytkeästä. Mageettie välie vuorovaikutus o verraollie mageettiste momettie pistetuloo. Koska mageettiset mometit ovat puolestaa verraollisia (kerroi egatiivie) vastaavii kulmaliikemäärii o spiratavuorovaikutus muotoa E as L, missä a o verraollisuuskerroi. Koska spivektori SL voi olla vai kahdessa eri kulmassa kulmaliikemäärävektorii ähde voi pistetulolla olla vai kaksi eri arvoa ts. p eergiatila jakautuu kahtee toisistaa hiema poikkeavaa eergiaa. c) Vektorilaskea avulla E a j ( j+ ) l ( l+ ) s ( s+ ) SL Sijoittamalla kvattiluvut saadaa l. l ESL al jos j l + / p 3 / tilalle l, jote ESL al ( ) ESL l+ al jos j l / E + a a p / tilalle l, jote ( ) SL l l Vakio a l arvoksi saadaa al Eα ( ) E α,3 mev + + Spiratakorjaus o siis p 3 / tilalle,5 mev ja p / tilalle -,3 mev.. II välikokee alue. a) Laske heliumi perustila eergia itseäiste elektroie approksimaatiossa käyttäe vedykaltaisia aaltofuktioita ja tietoa, että s. Coulombi repulsioeergia o Ψ * e r, r r, r drdr 3, ev ( ) Ψ ( ) πε r r jos aaltofuktio o vedykaltaiste orbitaalie tulo. b) Muodosta heliumi perustila Slateri determiatti. c) Mihi kokoaisspii kvattilukuihi tämä tila liittyy. d) Mitä Pauli kieltosäätö edellyttää determiattiaaltofuktiolta. a) Alimma kertaluvu aaltofuktio heliumi perustilalle o
ψ σ σ, M s s χ χ χ χ S + + S ( r,, r ) φ ( r ) φ ( r ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ] ( r ) + ( ) s( r ) + ( ) ( r ) ( ) ( r ) ( ) φs χ φ χ φ χ φ χ s s Huomaa mite determiattiaaltofuktio o automaattisesti oikei ormitettu. Yhtälössä () vedykaltaiset aaltofuktiot toteuttavat yhtälö. () m missä o Ze i φs i s s i e πεr i ( r ) E φ ( r ), () Es 3,6eV Z, heliumille Z, jote E s 5,eV. Heliumi Hamiltooperaattori ( ) e e e + + + m e πε r πε r πε r r. (3) Eergia odotusarvolle saadaa (Hamiltoi operaattori ei sisällä spikoordiaatteja, jote aaltofuktio spiosa voidaa jättää pois) E * ( ) ˆ ave Ψ r, r HΨ ( r, r) drdr * e E + E + Ψ ( r, r ) Ψ ( r, r ) dr dr s s πε r r -5, ev -5, ev +3, ev -7,8 ev missä käytettii hyväksi omiaisfuktio-omiaisuutta () (kaattaa sijoittaa aaltofuktio () ja Hamilto (3) odotusarvo lausekkeesee ja purkaa sulkulausekkeet). Lisäksi käytettii tehtävässä aettua repulsioeergia arvoa. b) Perustila Slateri determiatti o oikeastaa aettu jo yhtälössä (). c) Tähä tilaa liittyvät kokoaisspii kvattiluvut S ja M. S d) Jos determiatissa o kaksi samaa yhde elektroi omiaistilaa, se tulee olla olla. Tämä omiaisuus toteutuu determiati matemaattise määritelmä perusteella automaattisesti, sillä determiattii tulee tässä tapauksessa kaksi idettistä vaakariviä. 5. Oletetaa, että kuutiollise ioikitee potetiaalieergia repulsiivie osa o muotoa e Eprep, kβ, R
missä β ja ovat parametreja. Osoita, että jos kitee tasapaiotilassa ioie välie etäisyys o R, ii vastaava kokoaispotetiaalieergia o e Eptot, ( R R) kα R. Tasapaioetäisyydellä potetiaalieergialla o miimiarvo, jote de ptot, e α β + dr πε +. R R R R Tästä saamme / β αr. Potetiaalieergia voidaa siis kirjoittaa muodossa E ptot, αe R R πεr R R joho sijoittamalla R R saamme e Eptot, ( R R) kα R. 6. Sovella yhtälöä Ek ( ) E Ecoska betseei π elektroie perustila ja esimmäise viritety tila eergia laskemisee. Esimmäie ja toie viritetty tila ovat 3,8 ev ja,9 ev perustila yläpuolella. Osoita äide eergioide arvoje avulla, että parametri E keskiarvo o E,75 ev. Mitä voidaa saoa betseei värillisyydestä? Betseei π -tilat muodostuvat hypridisoitueista hiiliatomie p spiorbitaaleista. Betseeimolekyyli o rekaa muotoie. Rekaassa o N 6 hiiliatomia. Blochi tila o muotoa 6 ika ( ) e ψ ( φ a) Ψ φ ()
missä ( a) ψ φ o hiiliatomii kuuluva p spiorbitaali ja a π /6. Elektroi aaltofuktio täytyy olla muuttumato kierrettäessä molekyyliä 36-astetta. Jos teemme yhtälössä () ideksi vaihdo, se tulee muotoo 5 ika ( ) e ψ ( φ a) Ψ φ () Nyt atomia vastaava atomiorbitaali kertoime täytyy olla sama kui yhtälössä () hiiliatomi 6 kerroi ts. ik( ) a ik( 6) a ik6a e e e k6a ± Nπ, ± π /3 a, ± π /3 a, ± π / a, ± π /3 a, ± 5 π /3a Huomaa, että egatiiviset k: arvot eivät tuo uusia eergiatiloja, mutta e kaksikertaistavat jokaise yhde elektroi eergiataso degeeraatio (ks. alla). Sijoittamalla aetut arvot eergia lausekkeesee Sovelletaa yt aettua tight-bidig approksimaatio eergia lauseketta. Betseei π -elektroie sijoittumie spiorbitaaleille Kutaki aaltovektori arvoa kohde saadaa kaksi spi tilaa. Betseei π -elektroeja o yksi jokaista kuutta hiiliatomia kohde, jote täyttämällä tilat () alimmasta lukie saamme oheise kuva esittämät elektroikofiguraatiot. ka E E cos ka Degeeraatio E E ± π /3 E E ± π /3 E + E 3 ± π E + E ± π /3 E + E Toiseksi alimmalle ja sitä ylemmille eergiatasolle meee eljä elektroia, koska iihi liittyy kaksi eri aaltovektori arvoa (ks. yhtälö 3). Eergiatiloje kokoaiseergiat ovat yksittäiste elektroie eergioide summa. Tiloje kokoaiseergiat (kaikkie kuude π -elektroi eergioide summa) ovat b g b g b g b g b g b g b g b g E - E + E - E 6E -8E E - E + 3 E - E + E + E 6E -6E E - E + 3 E - E + E + E 6E -5E (3) perustila.viritetty tila ().viritetty tila
. viritetty tila o siis E verra perustila yläpuolella ja. viritetty tila 3E perustila yläpuolella. Vertaamalla äitä tuloksia aettuihi kokeellisii arvoihi 3,8 ev ja,9 ev laskemme seuraavaksi vakio E arvo.. Viritety tila avulla saamme E, 9eV ja toise viritety tila avulla E, 6eV ja siis keskiarvoksi E,75eV. Jos tight-bidig approksimaatio olisi tarkka, saisimme tieteki molemmissa tapauksissa sama E arvo. Koska tulokset ovat kohtalaise lähellä toisiaa, voimme pitää approksimaatiotamme kuiteki järkevää alimma kertaluvu arvioa. Perustila ja viritettyje tiloje väliste trasitioide aallopituudet λ hc/ E ovat 33 m ja 5 m eivätkä siis äkyvä valo aallopituudella (38-78m). Vakioita 3 7 7 7 e p m 9,9 kg m, 675 kg m, 678 kg amu, 665 kg 9 8 3 c µ B e, 6 C, 9979 m/s, 55 Js 9, 73 JT - - 6 Ke Km ε 8,85 C N m / πε µ, 566 mkgc µ / π 3 - - -3 A γ 6, 67 Nm kg N 6, 5 mol R 8, 33 JK mol k,385 JK