, m s ) täytetään alimmasta energiatilasta alkaen. Alkuaineet joiden uloimmalla elektronikuorella on samat kvanttiluvut n,

Transkriptio

1 S-114.6, Fysiikka IV (EST),. VK , Ratkaisut 1. Selitä lyhyesti mutta mahdollisimman täsmällisesti: a) Keskimääräisen kentän malli ja itsenäisten elektronien approksimaatio. b) Monen fermionin aaltofunktion hiukkasvaihtosymmetria ja sen toteutuminen determinanttiaaltofunktiossa. c) Paulin kieltosääntö. d) Alkuaineiden jaksollinen järjestelmä e) Bornin ja Oppenheimerin approksimaatio f) Yleistetyt värähtelykoordinaatit. a) Kunkin elektronin ajatellaan liikkuvan itsenäisesti muiden elektronien muodostaman keskimääräisen varaustiheyden ja ytimen positiivisen varauksen yhdessä muodostamassa sähköstaattisessa potentiaalissa. Tämä mahdollistaa monen elektronin aaltofunktion kuvaamisen yksitttäisten elektronien spinorbitaalien antisymmetrisoituna tulona. b) Monen fermionin aaltofunktio vaihtaa merkkinsä jos kahden fermionin paikka- ja spinkoordinaatit vaihdetaan keskenään. Tämä ehto täyttyy automaattisesti jos keskimääräisessä kentässä lasketuista aaltofunktioista muodostetaan ns Slaterin determinantti sjoittamalla yksi elektroni kullekin spin-orbitaalille. c) Yhdelle spinorbitaalille voidaan sijoittaa vain yksi elektroni (muuten determinanttiaaltofunktio on nolla kaikkialla). d) Keskimääräisessä kentässä lasketut spinorbitaalit (kvantiluvut n, l, ml, m s ) täytetään alimmasta energiatilasta alkaen. Alkuaineet joiden uloimmalla elektronikuorella on samat kvanttiluvut n, l ja sama määrä elektroneita ovat kemiallisesti samankaltaisia. e) Ytimillä on ainakin 000 kertaa suurempi massa kuin elektroneilla, joten elektronit ehtivät aina mukautua ytimien välisen etäisyyden muutokseen. f) Yleistetyissä koordinaateissa lasketut molekyylivärähtelyt voidaan kuvata riippumattomilla harmonisilla oskillaattoreilla (muunnos karteesisista koordinaateista yleistettyihin koordinaatteihin poistaa värähtelijöiden välisen kytkennän alimmassa kertaaluvussa). 1 piste kustakin kohdasta.

2 . (a) LiH molekyylin dipolimomentti on 1, Cm. Selvitä, onko kyseessä kovalenttinen vai ionisidos, kun tiedetään, että LiH molekyylin sidospituus on 0,160 nm. (b) Laske natrium ja kloori ionien tasapainoetäisyys ruokasuolakiteessä, kun tiedetään, että ruokasuolan tiheys on,16 g/cm. (a) LiH molekyylin dipolimomentti p LiH = 1,96 * 10-9 Cm ja sidospituus r 0 = 0,160 nm. Molekyylin sähködipolimomentti kertoo asteen, jolla sidos on ionisidos tai kovalenttinensidos. Jos sidos on täysin ionisidos, sen dipolimomentti on p ioninen = er 0 (1 piste), koska silloin varaukset e ja +e ovat etäisyydellä r 0. Sidoksen ionisuusaste saadaan siis jakamalla mitattu arvo tekijällä p ioninen = er 0 (1 piste): 9 p 1,96 10 Cm sidoksen ionisuus LiH = = 0, er 1,60 10 C 0,16 10 nm Sidos on siis 77% ionisidos (1 piste). 0 (b) NaCl-kiteen rakenne on prujun kuvan 7- mukainen. Kyseessä on kaksiatomisesta kantaklusterista muodostuva FCC-hila (1 piste). Natriumin moolimassa on M Na ja kloorin M Cl. Ajatellaan, että jokainen ioni sijaitsee kuutiomaisessa tilavuudessa, jonka sivun pituus on tasapainoetäisyys r 0. Yhden moolin massa natriumkloridia on (M Na + M Cl ) * amu * N A = m Ionit sijaitsevat tilavuudessa *N A *r 0 (1 piste), jossa N A on Avogadron luku. Tiheyden ja tasapainoetäisyyden suhde on siten m m m m ρ = r r V = N r = N = N ρ (1 piste) 0 0 A 0 Aρ A Sijoitetaan natriumin ja kloorin moolimassat ja saadaan: m = (,99 g/mol + 5,45 g/mol) * 1,6605*10-7 kg * 6,0*10 1/mol =58,4 g =,16 g/cm r 0 = 0,8 nm

3 . (a) Johda yhden alkuaineen atomeista muodostuvan atomiketjun hilavärähtelyjen dispersiorelaatio (kulmataajuus aaltovektorin funktiona). (b) Mikä on ääniaallon nopeus kun aaltovektori on hyvin pieni ja toisaalta kun aaltovektori lähestyy arvoa π / a, missä a on hilavakio? Luku (a) Liikeyhtälön muodostaminen: 1p Yritteen muodostaminen: 1p Oikea vastaus: p (b) Nopeus oikein, kun k = 0: 1p Nopeus oikein, kun k = pi/a: 1p

4 4. Tarkastellaan 79 Br 19 F molekyyliä. Atomien tasapainoetäisyys (sidospituus) on ro = 0,176 nm. (a) Laske neljän ensimmäisen rotaatiotason energia. (b) Määritä transitioissa l = 0 l = 1 ja l = 1 l = absorboituvien fotonien energiat. (c) Laske värähtelytasojen energiaero. Voimavakio on 4,5 N/m. (a) Rotaatioenergia on kvantittunut seuraavan yhtälön mukaisesti: E r = l ( l + 1 ), l = 0,1,,,, I m 1m missä hitausmomentti I on I = µ ro = ro. Nyt m1 = 78,918 u ja m = 18,998 u ovat m 1 + m 79Br:n 19 F:n massat, vastaavasti, joten hitausmomentiksi saadaan 79,918 18,998 1, kg 9 ( 0, ) m 7, kg m I =. 79, ,998 Rotaatio energiat voidaan siis kirjoittaa muodossa 4 ( 1, Js) 5 ( 1) 4,96 10 ( 1) Er = l l + ev l l , kg m Neljän alimman tilan enrgiat ovat: l Erl / µev , (b) Energiat saadaan suoraan eo. taulukosta energioiden erotuksina: 6 l = 0 l = 1: E = 87,9 10 ev abs 6 l = 1 l = : Eabs = 176,1 10 ev k (c) Värähtelytasojen energiaero on E v = ωo = 6,8 mev. µ. (a) Kaava oikein: 1p Rotaatiotasojen energiat laskettu oikein: 1p (b) Siirtymä l = 0 l = 1: 1p Siirtymä l = 1 l = : 1p (c) Kaava oikein: 1p Värähtelytasojen energiaero laskettu oikein: 1p

5 5. Laske tiheyssuhde yksiatomisille SC (simple cupic), FCC (face centered cubic) ja BCC (body centered cubic) hiloille olettamalla, että atomit ovat kovia R säteisiä palloja. (Laske kuinka suuren suhteellisen osan tilavuudesta pallot varaavat itselleen, jos kiteessä lähimmät pallot ovat annetun symmetrian puitteissa kiinni toisissaan. (a) SC hila: Atomit sijaitsevat kuution kärjissä pallojen säde R kuution sivun pituus a = R Kustakin kahdeksasta pallosta on yksi kahdeksasosa kuution sisällä. Täyttösuhteeksi saadaan: 4 1 π R π 0.5 =. R 6 (b) BCC hila: Atomit sijaitsevat kuution kärjissä ja lisäksi kuution keskipisteessä. Pallojen säteen ja kuution särmän pituuksien suhteen määrää nyt kuution lävistäjä, jonka pituus on vähintään R + R + R = 4R. Tästä laskemme kuution särmän pituudeksi 1/ 4 a + a = 4R a = R Kuution sisällä on nyt kahdeksas osa kustakin nurkka-atomista ja lisäksi keskellä oleva atomi eli yhteensä kaksi atomia. Täyttösuhde on siis 4 π R π 0.68 =. 4 8 R (c) FCC hila: Atomit sijaitsevat kuution nurkissa ja tahkojen keskipisteissä. Sivun pituuden määrää tahkon lävistäjä, joka on R + R + R. Sivun pituudeksi saadaan siis 4 a = 4R a = R = R. Kuution sisällä on nurkkapisteissä olevista atomeista yhteensä yksi atomi ja sivutahkoissa olevista 6 atomista puolet eli yhteensä 4 atomia. Täyttäsuhteeksi saadaan siis 4 4 π R π 0.74 =. R (a) (b) ja (c) kohdista: Periaate oikein: 1p Tiheyssuhteet laskettu oikein: 1p