Korkeammat derivaatat

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "Korkeammat derivaatat"

Ari-Matti Manninen
7 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 Korkeammat derivaatat Jo kerran derivoitu funk1o voidaan derivoida uudelleen. d dx! " # df(x) dx $ % & = d2 f(x) = f''(x) = f (2) (x) dx 2 Yleisemmin merkitään: d n f(x) dx n = f (n) (x)

Esimerkki: 2- atominen molekyyli Värähtelevän kaksiatomisen molekyylin poten1aalienergiaa sidospituuden r funk1ona voidaan kuvata erilaisilla

2 Esimerkki: 2- atominen molekyyli Värähtelevän kaksiatomisen molekyylin poten1aalienergiaa sidospituuden r funk1ona voidaan kuvata erilaisilla poten1aaleilla, esim: Harmoninen poten1aali: V harm (r) = 0.5k(r r eq ) 2 r eq r Morse- poten1aali: V morse (r) = D(1 e a(r r eq ) ) 2 r eq r

3 Tehtävä: osoita, ejä harmonisen värähtelijän voimavakio on k = d 2 V harm (r) dr 2 Ratkaisu: r=req V harm (r) = 1 2 k(r r eq )2 dv harm (r) = 1 dr 2 k 2 (r r eq) 1 d dr (r r eq) = k(r r eq ) 1 d 2 V harm (r) = k d dr 2 dr (r r eq) = k 1= k Koska V harm (r):n toisen derivaatan arvo on k kaikkialla, se on sitä myös kohdassa r = r eq.

4 Tehtävä: laske Morse- poten1aalin "voimavakio" d 2 V morse (r) dr 2 r=req Ratkaisu: V morse (r) = D(1 e a(r r eq ) ) 2 dv morse (r) = D 2 (1 e a(r r eq ) ) 1 d dr dr (1 e a(r r eq ) ) = 2D(1 e -a(r-r eq ) # ) 0 e a(r r eq ) d { dr a(r r ) & eq } $ % ' ( = 2D(1 e a(r r eq ) )( e a(r r eq ) )( a) = 2aD(e a(r r eq ) e 2a(r r eq ) ) d 2 V morse (r) dr 2 = 2aD(e a(r req ) d { dr a(r r eq) } e 2a(r r eq ) d { dr 2a(r r eq) }) = 2aD( # e a(r r eq $ ) a& ' # e 2a(r r eq $ ) 2a& ' ) = 2a2 D(2e 2a(r r eq ) e a(r r eq ) )

5 Sijoitetaan r = r eq : d 2 V morse (r) dr 2 r=req = 2a 2 D(2e 2a(r eq r eq ) e a(r eq r eq ) ) = 2a 2 D(2e 2a 0 e a 0 ) = 2a 2 D(2e 0 e 0 ) = 2a 2 D(2 1 1) = 2a 2 D

6 KvanOkemialliset operaajorit OperaaJori on laskutoimituksen merkintätapa. Merkitään usein "hatulla": Â Esim derivaajaoperaajori Â = d/dx Âf(x) = d/dx(f(x)) Â[e 2x ] = 2e 2x Miksi operaajoreista puhutaan tällä kurssilla? 1. OperaaJoreita käytetään lyhennysmerkintänä, esim Laplacen operaajori: 2 = d 2 dx + d 2 2 dy + d 2 2 dz 2 2. OperaaJorit ovat kvanokemiassa tärkeitä itsestäänkin (ei siis pelkkiä merkintöjä).

7 Esim: Hamiltonin operaajori Kuvaa jonkin systeemin (esim atomi tai molekyyli) kaikkia ominaisuuksia. ˆ H Operaa,orien laskutoimitukset Operaa,orien summa (Â + ˆB)f =Âf + ˆBf Esim A ˆ = x, B ˆ =, f(x,y) = 3xy2 y ( ˆ A + ˆ B )f = ( x + y )3xy2 = x (3xy2 ) + y (3xy2 ) = 3y 2 + 6xy

8 Operaa,orien tulo ( A ˆ B ˆ )f = A ˆ ( B ˆ f) B:llä operoidaan ensin Esim. A ˆ = x, B ˆ =, f(x,y) = 3xy2 y ( A ˆ B ˆ )f = x ( y 3xy2 ) = (6xy) = 6y x ( ˆ B ˆ A )f = y ( x 3xy2 ) = y (3y2 ) = 6y Tässä tapauksessa operoin1järjestyksellä ei ollut väliä, muja yleises1 ojaen ˆ A ˆ B ˆ B ˆ A

9 Esim A ˆ = y, B ˆ = y, f(y) = y ( ˆ A ˆ B )f = y (y y) = y (y2 ) = 2y huom! Eri tulos! ( ˆ B ˆ A )f = y ( y y) = y 1 = y A ˆ B ˆ B ˆ A ˆ

10 Ominaisarvoyhtälö A ˆ f(x) = a f(x) a on vakio OperaaJori Esim OperaaJori d/dx d dx ex =1 e x OperaaJorin ominaisfunk1o d/dx:n ominais- funk1o on e x Ominaisarvo Ei riipu x:stä! Ominaisarvo

11 Esim: Onko e 2x operaajorin d/dx ominaisfunk1o? Jos on, mikä on ominaisarvo? Ratkaisu: d dx e 2x = 2 e 2x Vastaus: on ominaisfunk1o, ominaisarvo on 2 Esim: Ovatko x 2 tai e x2 operaajorin d/dx ominaisfunk1o? Jos on, mitkä ovat ominaisarvot? Ratkaisu: d dx x2 = 2x, d 2 dx ex = 2x e x 2 Ei ole vakio! Vastaus: eivät ole ominaisfunk1oita.

12 Hamiltonin operaajori vapaalle hiukkaselle Klassisessa mekaniikassa kineeonen energia T on: T = 1 2 mv2 = p2 2m Missä p = mv on liikemäärä. 1 ulojuvuudessa voidaan kirjoijaa esim p x = mv x. KvanOmekaniikassa liikemäärää p korvataan operaajorilla (tässä esim x - akselin suunnassa): ˆp x = -i d dx (Tavallaanhan nopeus ja liikemäärä ovat klassisessakin mekaniikassa derivaajoja, esim v = dx/dt.) KvanO- mekaniikassa kineeosen energian operaajori on siten: ˆT = ˆp x 2 2m = 2 2m ( d dx )2 = 2 2m d 2 dx 2

13 Vapaalla hiukkasella poten1aalienergia (V) on nolla, jolloin Hamiltonin operaajorissa on ainoastaan kineeosen energian termi. Schrödingerin yhtälö (1 ulojuvuudessa) on siis: Ĥψ(x) = Eψ(x) 2 d 2 ψ(x) = Eψ(x) 2m dx 2 Ja kyseessä on melko yksinkertainen ominaisarvoyhtälö. Tunnemmeko funk1oita joiden toinen derivaaja olisi miinus yksi kertaa vakio kertaa funk7o itse? - d 2 sin(kx) = k 2 sin(kx) - d 2 cos(kx) dx 2 dx 2 = k 2 cos(kx) Ilman mitään monimutkaisia laskuja voimme siis päätellä ejä ψ(x) on sini- tai kosiniaalto, muotoa a sin(kx) tai a cos(kx), a ja k vakioita. Tästä syystä ψ(x):aa sanotaan aaltofunk7oksi.

14 Tosielämän esimerkki: Vetyatomi (elektronin liike protonin ympärillä) MitaJava suure: energia E n 1lalla n (n =pääkvanoluku). Energiaa vastaava operaajori: Hamiltonin operaajori H ˆ Ominaisarvoyhtälö: ˆ H ψ n = E n ψ n Vetyatomin 1laa pääkvanoluvun arvolla n kuvaa aaltofunk1o ψ n. ψ n on elektronin paikan funk1o. Elektronin paikan todennäköisyysjakauma on ψ n* ψ n, missä * merkitsee kompleksikonjugaaoa (tähän palataan myöhemmillä luennoilla).

15 Hamiltonin operaajori vetyatomin elektronille: H ˆ = 2 2 2m e e2 4πε 0 r Missä esiintyy aiemmin mainiju Laplacen operaajori, ja r on elektronien etäisyys y1mestä. Tilan n=1 aaltofunk1o (1s- orbitaali) on ψ 1 = 2( 1 a 0 ) 3 2 e r a 0 ( 1 1 4π ) 2 ja 1lan n=1 energia on: m e e4 E 1 = 32π 2 ε (Tämän laskeminen ei ihan onnistu tähän mennessä opetetuilla taidoilla, koska sihen tarvitaan hieman useamman muubujan differeneaalilaskentaa

16 Toinen tosielämän esimerkki: impulssimomen1n (pyörimismäärän) z- komponeno on ominaisarvoyhtälön J ˆ z ψ = J z ψ Ominaisarvo. Impulssimomen1n operaajori on: Ĵ z = i φ missä i on imaginääriyksikkö; i 2 = 1. a) Onko e iϕ impulssimomenooperaajorin ominaisfunk1o? Ĵ z e iφ = i e iφ φ = i ieiφ = e iφ Ominaisarvoyhtälö on voimassa: e iϕ on J ˆ z :n ominaisfunk1o, ominaisarvo ħ. ˆ J z

17 b) entä cos(ϕ)? Ĵ z cos(φ) = i cos(φ) φ Ei ole ominaisfunk1o = i sin(φ) c) entä e i2ϕ? Ĵ z e i2φ = i e i2φ = i 2iei2φ = 2 e i2φ φ On ominaisfunk1o, ominaisarvo 2ħ.

Samankaltaiset tiedostot

Korkeammat derivaatat

Korkeammat derivaatat Jo kerran derivoitu funk6o voidaan derivoida uudelleen. d! df(x) $ dx " # dx % & = d2 f(x) = f''(x) = f (2) (x) dx 2 Yleisemmin merkitään: d n f(x) dx n = f (n) (x) Esimerkki: 2-