Ch7 Kvanttimekaniikan alkeita. Tässä luvussa esitellään NMR:n kannalta keskeiset kvanttimekaniikan tulokset.

Transkriptio

1 Ch7 Kvanttimekaniikan alkeita Tässä luvussa esitellään NMR:n kannalta keskeiset kvanttimekaniikan tulokset.

2 Spinnittömät hiukkaset Hiukkasta kuvaa aineaaltokenttä eli aaltofunktio. Aaltofunktio riippuu paikasta ja ajasta. Aaltofunktio on yleisesti kompleksinen, sen itseisarvon neliö on hiukkasen todennäköisyystiheys = todennäköisyys sille että hiukkanen havaitaan pisteessä x hetkellä t. Ajan funktiona muuttuva aaltofunktio (tässä reaalinen)

3 Ajasta riippuvaa Schrödäri Aineaaltokenttä on ajasta riippuvan Schrödingerin yhtälön ratkaisu h bar h = h / 2π määritellään Plackin vakio jaettuna 2 π:llä Hamilton operaattori on potentiaali- ja liikeenergiaoperaattoreiden summa. V if x < 0 = 0 if 0 x 1 if x >1 Potentiaalienergia kovassa potentiaalilaatikossa liikkuvalle hiukkaselle Liike-energiaoperaattori on liikemääräoperaattorin neliö jaettuna 2m:llä vrt klassinen mekaniikka

4 Aaltofunktio ja informaatio Aaltofunktio sisältää kaiken informaation joka hiukkasesta voidaan saada selville kokeellisin menetelmin. Kertaa Kvanttimekaniikan postulaatit luvun 6 Powerpointeista Jos mittaamme ominaisuuden q, todennäköisyys että saamme tulokseksi vastaavan operaattorin ominaisarvon q n on tämä peittointegraalin itseisarvon neliö jos tiedämme että hiukkasen aaltofunktio on ψ Qˆ n = qn n Ominaisuuden q mahdollisia mittaustuloksia ovat ainoastaan vastaavan operaattorin ominaisarvot Mittaustulosten keskiarvo saadaan tästä integraalista sitä kutsutaan suureen q odotusarvoksi hiukkaselle jonka aaltofunktio on ψ.

5 Energiatasot Hamiltonin operaattori on sikäli erikoisasemassa, että sen ominaisarvot ovat hiukkasen mahdolliset energiatilat. Jos siis mittaamme hiukkasen energian tulos on jokin näistä ominaisarvoista. Potentiaaliboxin hiukkaselle Hamiltonin ominaisarvot ovat π h n En = 2 2mL Esimerkissä L = 1

6 Stationääriset tilat Energian ominaisarvoyhtälöä kutsutaan ajasta riippumattomaksi Schrödäriksi. Muutama potentiaaliboksin hiukkasen aaltofunktio ja ominaisenergiaa. Nämä aaltofunktiot eivät riipu ajasta.

7 Luonnolliset yksiköt Usein on edullistä määritellä "luonnolliset yksiköt" H ˆ =h 1 Tällöin Hˆ Lisäksi Hˆ n = ω missä ω n n n = E h n 1

8 Stationääriset tilat Ajasta riippuvat tilat toteuttavat Schrödärin d ψ ( t) = ihˆ ψ ( t) dt Tämän formaali ratkaisu on ψ ( t) = exp{ iht} ψ ( 0) ˆ Jos alkuehtona hiukkanen on tilassa n hetkellä t = 0; ψ 0 = n { Hˆ } ψ ( ) { ωn } exp i t 0 = exp i t n ψ ˆ ψ ω ψ ( t) = exp{ iht} ( 0) = exp{ i t} ( 0) Tällaista tilaa kutsutaan stationääriseksi koska sen todennäköisyystiheys on ajasta riippumaton. n ( )

9 ( ) ψ ( ) ˆ ψ ( ) Säilymislait Voidaan osoitta, että jos operaattori Qˆ kommutoi hamiltonin H ˆ kanssa ja jälkimmäinen ei riipu ajasta niin Qˆ :n odostusarvo on ajasta riippumaton. Q t = t Q t = (1) Sijoittamalla ˆ = ψ { } { ˆ } ψ ( t) = exp{ ih t} ψ ( 0) ψ ( t) = ψ ( t) exp { iht} ψ ( ) ( 0) exp ˆ { + iht} Sijoittamalla yhtälöön (1) ψ ψ ψ ˆ ˆ ψ ( t) Qˆ ( t) = ( 0) exp ˆ { + iht} Qexp{ iht} ( 0) Kommutoinnista seuraa että Hˆ Qˆ = Qˆ Hˆ ja käyttäen Luvu 6 operaattorisääntöjä exp { Hˆ ˆ ˆ } exp{ H } + i t Q i t = Qˆ siis ( t) Qˆ ( t) = ( 0) Qˆ ( 0) ψ ψ ψ ψ ja odotusarvo ajasta riippumaton. = =

10 Kulmaliikemäärä Kulmaliikemäärä liittyy pyörimiseen. Kirjan merkinnöillä klassisessa fysiikassa l = r p Vastaava operaattori: r rˆ, p ih = ihd Luonnollisissa yksiköissä joita käytetään seuraavassa h = 1 ( ) = ψ ( ) xˆ ψ x, y, z, t x x, y, z, t ˆ Dxψ ( x, y, z, t) = ψ ( x, y, z, t) x

11 Kierto-operaattorit Kierto-operaattorit kuvaavat aaltofunktion muutosta kun koordinaatistoa kierretään. Alaindeksi kertoo minkä akselin suhteen kierretään ja kulma β kuinka paljon. Kierto x-akselin ympäri Kierto y-akselin ympäri HUOM. Kuvaan merkitty kiertosuunta on positiivinen

12 Kierto-operaattoreiden ominaisuuksia Kierto-operaattorien tärkeimpiä ominaisuuksia 1 ( β ) = ( β ) = ( β ) ( β ) R ( β ) - niille on olemassa käänteisoperaattori : Rˆ ˆ = 1ˆ - ja unitaarisia Rˆ Rˆ Rˆ x x x - kommutoivat vastaavan kulmaliikemääräoperaattorin kanssa - sandwitch ominaisuus: ( β ) ˆ ˆ ( β ) ( ) ( ) Rˆ l R = lˆ x x x x Rˆ β lˆ Rˆ β = lˆ cos β + lˆ sin β x y x y z x x Rˆ x ( β ) lˆ ( β ) = lˆ Rˆ x x x

13 Sykliset kiertorelaatiot Edellisestä seuraavat sykliset relaatiot Esimerkki: ( π / 2 ) ( β ) ( π / 2) = ( β ) Rˆ Rˆ Rˆ Rˆ x y x z Kierto xz-tasossa olevan akselin ympäri

14 L:n muotoinen kappale käy läpi muutamia kiertomuunnoksia. Lopputulos on sama kuin yksi π/4 rotaatio z-akselin ympäri. Esimerkkejä

15 Kulmaliikemäärän kvantittuminen Kulmaliikemäärävektorin suuruus ja suunta ovat kvantittuneet ( 1) h L ( 1) L = L = l l + = L = l l + Luonnollisissa yksiköissä Lz = mh Lz = m Ominaistilat z-komponetille ovat yhteiset kulmaliikemäärän neliön operaattorin kanssa

16 Matriisiesitykset Operaattorin l tilakannassa z 2 Operaattorin l tilakannassa { } l, m = 0,0, 1,1, 1,0 1, 1 2,2,... { } l, m = 0,0, 1,1, 1,0 1, 1 2,2,...

17 Ominaisfunktioita Ominaistilojen todennäköisyyspintojen esityksiä

18 Korotusoperaattorit Korotus- ja laskuoperaattorit määritellään Niiden tärkeimmät ominaisuudet ovat ˆ + Operaattorin l esitys ˆ Operaattorin l esitys

19 x- ja y-komponentit Korotus ja laskuoperaattoreiden avulla lausuttuna x- ja y-komponentit ovat Matriisiesitykset

20 Spin-operaatttori Spin- eli hiukkasen sisäinen kulmaliikemäärä toteuttaa matemaattisesti samat säännöt kuin rataliikkeen kulmaliikemäärä Sykliset kommutaatiosäännöt Ominaisfunktiomääritelmät Kvantittumissäännöt Korotus ja laskuoperaattorit Korotus ja laskuoperaattoreiden ominaisuudet

21 Spinin kierto-operaattorit Määritellään Spinkulmaliikemääräoperaattorin avulla samoin kuin avaruuskierrot Sandwich operaattorit määritellään samaan tapaan ( ) ( ) Rˆ β Iˆ Rˆ β = Iˆ cos β + Iˆ sin β x y x y z ( π / 2 ) ( β ) ( π / 2) = ( β ) Rˆ Rˆ Rˆ Rˆ x y x z

22 Spinin kantafunktiot Yleisesti I, M Määritellään seuraava normaalijärjestys 3/ 2,3/ 2 3/ 2,1/ 2 3/ 2, 1/ 2 3/ 2, 3/ 2... Spinin x-komponentin matriisiesitys I=3/2,M aliavaruudessa

23 Trace (jälki) Määritelmä operaattorin Aˆ tracille kantatilojen m avulla 1. Trace on riippumaton kantatiloista kunhan kantatilat ortonormitettu. 2. Tulon jälki on riippumaton tekijöiden järjestyksestä { ˆ ˆ} m Aˆ = { ˆ} Tr AB n, m n n Bˆ m = Tr BA ˆ Huomaa Closure relaatio n n = 1ˆ 3. Kolmen tai useamman operaattorin tulon jälki on riippumaton tekijöiden syklisestä permutoinnista. n= 1 Hyödyllinen relaatio

24 Spin - 1/2 erikoistapaus Kantatilat Tärkeimmät operaattoriesitykset yo kannassa Iˆ 1/ 2 ˆ z α = α I z β = 1/ 2 β Iˆ + α 0 Iˆ + = β = α Iˆ α β Iˆ = β = 0 Paulin spinmatriisit

25 Spin - ½ rotaatio-operaattorit Rotaatio-operaattorin esitys spin ½ kannalle. Kokeilemalla voi huomata että esimerkiksi relaatiot ( ) ( ) Rˆ β Iˆ Rˆ β = Iˆ cos β + Iˆ sin β x y x y z Yksikköoperaattori Normitettu yksikköoperaattori ( π / 2 ) ( β ) ( π / 2) = ( β ) Rˆ Rˆ Rˆ Rˆ x y x z Toteutuvat yo matriiseilla

26 Korotus- ja laskuoperaattorit Käyttämällä lasku- ja korotusoperaattoreiden määritelmää ja spin-1/2 kantafunktioita saadaan helposti nämä matriisiesitykset Projektio-operaattorit : jos näillä operoidaan yleiseen spin ½ tilaan ne antavat projisoivat ko tilasta vastaavan spin komponentin. ˆα ˆβ I α = α I α = 0 Iˆ α 0 Iˆ β β = β = β Matriisiesitys spin ½ kannassa

27 Spin -1 hiukkaset Matriisiesitykset Spinoperaattorille

28 Spin 1 rotaatio-operaattorit

29 Spin 3/2 hiukkaset Määritellään seuraava normaalijärjestys 3/ 2,3/ 2 3/ 2,1/ 2 3/ 2, 1/ 2 3/ 2, 3/ 2... Korkeammat spin-tilat