ψ(x) = A cos(kx) + B sin(kx). (2) k = nπ a. (3) E = n 2 π2 2 2ma 2 n2 E 0. (4)

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "ψ(x) = A cos(kx) + B sin(kx). (2) k = nπ a. (3) E = n 2 π2 2 2ma 2 n2 E 0. (4)"

Karoliina Niemelä
7 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 76A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 4 Kevät Tehtävä: Yksinkertainen malli kovalenttiselle sidokselle: a) Äärimmäisen yksinkertaistettuna mallina elektronille atomissa voidaan pitää syvää potentiaalikuoppaa {, kun < x < a U(x) = muulloin. ausu neljä alinta energia-arvoa (vastaten kahdeksaa alinta energiatasoa) ja piirrä nämä pystysuoralle energia-akselille. b) Ajatellaan, että meillä on kaksi tällaista potentiaalikuoppaa täysin toisistaan erotettuna. Totea, että sallitut energia-arvot ovat samat kuin edellisessä kohdassa, mutta kunkin energia-arvon tasojen määrä on kaksinkertaistunut (=4). c) Ajatellaan seuraavaksi, että b)-kohdan potentiaalikuopat yhtyvät yhdeksi potentiaalikuopaksi, jonka leveys on 2a. Piirrä tämän 8 alinta energia-arvoa vastaavalle akselille kuin kohdassa a). Vertaamalla kohtien b) ja c) energiatasoja pyri ymmärtämään mitkä tasot vastaavat toisiaan ja miten niiden energiat ovat muuttuneet potentiaalikuoppien yhdistyessä. d) Oletetaan, että kummassakin b)-kohdan potentiaalikuopassa on 2 elektronia. Mikä on tämän mallin mukainen kovalentin sidoksen sidosenergia eli kuinka paljon energiaa vapautuu potentiaalikuoppien yhdistyessä? Ratkaisu: a) Tarkastellaan yksiulotteista Schrödingerin yhtälöä (koska potentiaali on yksiulotteinen) 2 + U(x)ψ = Eψ. (1) x2 Jotta ψ(x) olisi yhtälön ratkaisu, sen täytyy hävitä kuopan ulkopuolella (siis alueissa x < ja x > a). Tämä on seurausta potentiaalin äärettömyydestä ko. alueessa. Aaltofunktion täytyy olla jatkuva, joten saadaan reunaehdot ψ() = ja ψ(a) =. Tarkastellaan sitten yhtälöä kuopan sisällä ( < x < a). Tehdään yrite (jos differentiaalilaskenta on tuttua, niin tämä valinta tuntuu varmasti luontevalta) ψ(x) = A cos(kx) + B sin(kx). (2) Koska ψ() =, niin A =. Vastaavasti, koska ψ(a) =, niin B sin(ka) =. Siten Sijoittamalla Schrödingerin yhtälöön saadaan k = nπ a. () E = n 2 π2 2 a 2 n2 E. (4)

Siten molemmissa kuopissa on a)-kohdan energiatasot, mutta nyt siis samaa energia-arvoa vastaavia tasoja on neljä, kaksi kutakin kuoppaa kohden.

2 Neljä alinta energiaa ovat yksiköissä E : E 1 = 1, E 2 = 4, E = 9 ja E 4 = 16. Nämä on piirretty kuvaan. b) Koska kuoppien väliin jää alue, jossa potentiaali on ääretön, ovat kuoppien energiatasot toisistaan riippumattomia. Siten molemmissa kuopissa on a)-kohdan energiatasot, mutta nyt siis samaa energia-arvoa vastaavia tasoja on neljä, kaksi kutakin kuoppaa kohden. Jos kuoppien välinen potentiaalivalli muutetaan äärelliseksi saadaan aikaan tilanne, jossa kuoppien energiatilat ovat kytkeytyneet. (Tällaisia kaksoiskuoppapotentiaaleja (eng. double-well potential) voidaan käyttää esim. kvanttilaskennassa (kts. Wikipedia: Quantum Computer), jonka perusyksiköt, kubitit (eng. qubit, kts. Wikipedia: Qubit) koostuvat kahdesta kvanttitilasta. Äärellisen potentiaalivallin omaavassa kaksoiskuoppapotentiaalissa vasemman ja oikean puoleisten kuoppien perustilat voivat toimia kubitin tiloina.) c) Oletetaan sitten, että kuopan leveys on 2a. Energiat ovat muotoa E = n2 4 E. (5) Siten kahdeksan alinta energiaa ovat: E 1 = 1, 4 E 2 = 1, E = 9, 4 E 4 = 4, E 5 = 25, 4 E 6 = 9, E 7 = 49 ja 4 E 8 = 16. Havaitaan, että toinen degeneroituneista energioista pysyy samana ja toisen energia laskee. d) Oletetaan, että elektronit ovat alimmalla energiatasolla. Tällöin niiden kokonaisenergia ennen kuoppien yhdistämistä on 4E 1 = 4E. Yhdistämisen jälkeen elektronit miehittävät

3 kaksi 2a-levyisen kuopan alinta energiatasoa (Paulin kieltosääntö sanoo, että vain kaksi fermionia (=elektronia, tässä tapauksessa) mahtuu samaan kvanttitilaan tai toisinsanoan, vain yksi elektroni yhdelle energiatasolle). Kokonaisenergia on 2E 1 + 2E 2 = E, joten vapautunut energia on 2 E = π2 2 4ma Tehtävä: Osoita, että aaltofunktio ψ(x, y, z) = A sin n 1πx sin n 2πy sin n πz (n 1, n 2 ja n ovat positiivisia kokonaislukuja) on Schrödingerin yhtälön ratkaisu, ja että se häviää -sivuisen kuution pinnalla (sivutahkot siis kohdissa x, y, z = ja ). Ratkaisu: Oletetaan, että kysymyksessä on vapaan hiukkasen aaltofunktio (U(x, y, z) = ). Tällöin Schrödingerin yhtälö on muotoa ( 2 2 x y z 2 ) ψ = Eψ. (7) Nyt (6) = n2 1π 2 x 2 ψ 2 = n2 2π 2 y 2 ψ (8) 2 = n2 π 2 z 2 ψ. 2 Siten saadaan, että ψ toteuttaa Schrödingerin yhtälön, jos E = π2 2 (n n n 2 ). Huomataan sitten, että sin() = ja sin(nπ) = kaikilla kokonaisluvuilla n. Siten kuution reunalla joku aaltofunktion sineistä = josta seuraa että aaltofunktio häviää.. Tehtävä: Tarkastellaan elektroneja kuution muotoisessa syvässä potentiaalikuopassa, jonka tilavuus on V =. Etsi kaikki energia-arvot, jotka ovat pienempiä tai yhtäsuuria kuin E r = 6 2 π 2. aske kuinka monta energiatasoa näissä on. Vertaa energiatasojen m 2 määrää luennolla arvioituun N p (E) = V E /2. [Vastaus: n tod (E π 2 r ).5n arvioitu (E r ) yllämainitulla energialla.] Ratkaisu: Edellisen tehtävän perusteella aaltotilojen energiat ovat muotoa E = π2 2 2 (n2 1 + n n 2 ) (n n n 2 )E. (9) Nyt E 6 2 π 2 m 2 eli n n n (1)

4 Koska n i :t ovat ei-negatiivisia löytyvät kaikki mahdolliset ehdon toteuttavat kolmikon (n 1, n 2, n ) arvot ja niitä vastaavat energiat listasta (1, 1, 1) E 1 = E, (2, 1, 1) E 2 = 6E, (1, 2, 1) E 2 = 6E, (1, 1, 2) E 2 = 6E, (2, 2, 1) E = 9E, (2, 1, 2) E = 9E, (1, 2, 2) E = 9E, (, 1, 1) E 4 = 11E, (1,, 1) E 4 = 11E, (1, 1, ) E 4 = 11E, (2, 2, 2) E 5 = 12E. Nähdään, että energioilla E 1 ja E 5 on yksi tila ja muilla kolme (siis yhteensä 11 tilaa). (Yhtä yhden hiukkasen aaltofunktiota, eli tilaa, vastaa kaksi energiatasoa (vastaten elektronin spinin mahdollisia arvoja), eli yhteensä 22 energiatasoa. Nyt pitää verrata energiatasojen lukumäärää luentojen kaavan (6) antamaan arvioon.) uennoilla arvioitiin, että jos energian E arvo on suuri, niin energialtaan sitä pienempien tasojen määrää voi arvioida kaavalla n(e)v = 2 V π 2 E /2 = 2 π 2 6 /2 π m /2 = 2 6/2 2π joka antaa luvun, joka on noin kaksi kertaa todellisten tasojen määrä. 44, (11) 4. Tehtävä: aske vapaaelektronimallin mukainen Fermi-energia, Fermi-lämpötila, Fermiaaltoluku ja Fermi-nopeus kuparille (tiheys = 8.96 g/cm, atomimassa= 6.55u, Z = 1) ja alumiinille (tiheys = 2.7 g/cm, atomimassa= u, Z = ). Ratkaisu: Olkoon ρ tiheys ja M atomimassa. Nyt johtavuuselektronitiheys n e = Z ρ M. (12) Muistetaan, että atomimassayksikkö u = kg ja elektronin massa m = kg. Siten saadaan Fermi-energiat Fermi-lämpötilat ovat ε Cu F = 2 (π2 n Cu e ) 2/ 6.985eV ε Al F = 2 (π2 n Al e ) 2/ eV. (1) Edelleen Fermi-aaltoluvut ovat k Cu TF Cu = εcu F k B TF Al = εal F K k B K. (14) F = (π 2 n Cu e ) 1/ m 1 kf Al = (π 2 n Al e ) 1/ m 1. (15)

5 opuksi lasketaan Fermi-nopeudet vf Cu = kcu F m vf Al = kal F m s m m s. (16) 5. Tehtävä: aske vapaiden elektronien keskimääräinen energia perustilassa (lämpötila T = ): E = 1 εf g(e)ede. (17) n e (Vastaus: E = 5 ε F.) Ratkaisu: Elektronien tilatiheys (kts. luentomoniste) on On siis ensin laskettava integraali g(e) = π 2 E. (18) Koska niin saadaan, että εf E /2 de = 2 5 ε5/2 F. (19) ε F = 2 (π2 n e ) 2/, (2) E = 1 εf g(e)ede = n e = 2 5 ε F 2 n e π 2 5 ε5/2 F n e π 2 () /2 (π2 n e ) = 5 ε F. (21)

Samankaltaiset tiedostot

Vapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälö (yksiulotteinen)

Vapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälö (yksiulotteinen Vapaaseen hiukkaseen ei vaikuta voimia, joten U(x = 0. Vapaan hiukkasen energia on sen liike-energia eli E=p /m. Koska hiukkasella on määrätty energia,