Clulus Lukion Täydentävä ineisto 45 0 45 60 ( - ) + SUORKULMINEN KOLMIO Pvo Jäppinen lpo Kupiinen Mtti Räsänen
Suorkulminen kolmio Suorkulminen kolmio Käsillä olev Lukion Clulus -srjn täydennysmterili koko kiken sen keskeisen ineiston, jok lukio-opinnoiss liittyy suorkulmiseen kolmioon. iepiiri soveltuu yvin myös omtoimiseen opiskeluun kurssin M yteydessä ti koko oppimäärää kerrttess. Kolmioiden luokittelu Kolmiot voidn luokitell sivujen mukn kulmien mukn tssivuinen tskylkinen erisivuinen (kikki sivut ytä pitkiä) (kksi ytä pitkää sivu) (kikki sivut eri pituisi) teräväkulminen tylppäkulminen suorkulminen (kikki kulmt teräviä) (yksi kulm tylppä) (yksi kulm suor) Suorkulmisen kolmion suorn kulmn viereisen sivun nimi on kteetti j vstisen ypotenuus. Kolmioss suurint kulm vst pisin sivu, joten ypotenuus on suorkulmisen kolmion pisin sivu. Kolmioss kikkien kulmien summ on 80. Tämän nojll suorkulmisen kolmion terävien kulmien summ on 90. Ne ovt siis toistens komplementtikulmi. ypotenuus kteetti β kteetti
Suorkulminen kolmio Pytgorn luse Tunnetuin suorkulmiseen kolmioon liittyvä luse on Pytgorn luse. Pytgors oli kuuluis kreikklinen mtemtikko j filosofi, jok kuoli 99-vuotin vuonn 469 e. Suorkulmisen kolmion kteettien neliöiden summ on ytä suuri kuin ypotenuusn neliö. Oeisen kuvn mukn + eli +. Pytgorn luse tunnettiin jo muinisess Mesopotmiss, ekä jo froiden jn Egyptissäkin. Mutt Pytgors, jok toi todistuksen mtemtiikkn, lienee ensimmäisenä todistnut luseen. ikojen kuluess näitä todistuksi on esitetty runssti erilisin versioin. Seurvss on niistä kolme esimerkkiä. Todistus Oeisiss kuviss on kksi neliötä, joiden kummnkin sivun pituus on +. Neliöt on jettu osiin niin, että kummsskin neliössä on neljä ytenevää suorkulmist kolmiot, joiden kteetit ovt j j ypotenuus. Oikenpuoleiseen kuvn syntynyt nelikulmio on neliö, kosk kikki sivut ovt ytä pitkiä j jokinen kulm 80 ( + β) 80 90 90. Kun molemmist lkuperäisistä neliöistä väennetään neljä smnsuuruist kolmiot, sdn ytä suuret pint-lt eli tulos +. β β Todistus Viereisessä kuvss on neljä smnlist suorkulmist kolmiot sijoitettu neliön muotoon. Keskelle jäävän pienemmän neliön sivun pituus on kteettien erotus j l ( ). Kuvss ole- vn -sivuisen neliön l voidn nyt esittää seurvsti: 4 + ( ) + + +. (-) Todistus Suorkulmisen kolmion ypotenuusn vstinen korkeus jk kolmion kteen oskolmioon, jotk ovt ydenmuotoisi sekä keskenään että lkuperäisen kolmion knss ytenevyys- Mtemtiikn kielessä jotkin lyennetyt ilmisut vkiintuvt. Tässä yteydessä neliö trkoitt toist potenssi j kteetin neliö kyseisen sivun pituuden toist potenssi.
Suorkulminen kolmio luseen kk nojll. Kosk ydenmuotoisten kuvioiden lojen sude on mittkvn eli vstinjnojen suteen neliö, sdn oeisen kuvn merkinnöin j. Lskemll ytälöt yteen sdn. Kosk + + + +, niin, jost +. Pytgorn luseen käänteisluse Mille tns kolmiolle pätee kosiniluse + os γ, joss j ovt kulmn γ viereisiä sivuj j on kulmn γ vstinen sivu. Jos kolmion sivut toteuttvt ytälön +, Niin 0 os γ, jolloin os γ 0 j näin ollen γ 90. Tällinen kolmio on siis suorkulminen. γ Jos kolmioss kden sivun neliöiden summ on kolmnnen sivun neliö, niin kolmio on suorkulminen. Kun kolmion suorkulmisuutt testtn yllä olev lusett käyttäen, tulee "kolmnneksi sivuksi" eli mdolliseksi ypotenuusksi vlit luonnollisesti kolmion pisin sivu. Esimerkki Suorn kulmn konstruointi pituuden mittuksill perustuu Pytgorn luseen käänteisluseeseen. Millä pituuden rvoll vrmistuu oeisess tilnteess rkennusten seinälinjojen kotisuoruus? 6 500 mm 7 00 mm Rtkisu: Seinälinjt ovt toisin vstn kotisuorss trklleen silloin, kun 6 500 + 7 00. Sdn 94 090 000, jost 9 700. Vstus: 9 700 mm Esimerkki Kolmion sivujen pituudet ovt ), 5 j, ), 5 j 7. Selvitä, onko kolmio suorkulminen. Rtkisu ) + 05 j 5 5. Kosk + 5, kolmio ei ole suorkulminen. Huomutus: Kosk 5 > +, on pääteltävissä, että pisintä sivu vstv kulm on tylppä, eli kolmio on tylppäkulminen. Kosiniluseen vull sdn kulmn likirvoksi 99,.
Suorkulminen kolmio 4 ) + 5 69 j 7 69. Kosk + 5 7, kolmio on suorkulminen. Vstus: ) Ei ole. ) On. Tetäviä. Kolmion sivujen pituudet ovt ) 5, j 5, ) 9, 40 j 4 Selvitä, onko kolmio suorkulminen.. Kolmion kden sivun pituudet ovt 5 j 7. Määritä kolmnnen sivun pituus, kun kolmio on suorkulminen.. Suorkulmisen kolmion ypotenuus on 4 m pitempi kuin toinen kteetti. Toisen kteetin pituus on 7 m. Kuink pitkä on ypotenuus? 4. Viereisessä kuvss esitetyn neliön sivun pituus on. Kuink pitkiä ovt kirjimell merkityt jnt? 5. ) Osoit, että luvut n +, n + n j n + n + ovt Pytgorn lukuj (eli toteuttvt Pytgorn ytälö), kun n on luonnollinen luku. ) Määritä kikki selliset Pytgorn luvut, jotk ovt peräkkäisiä luonnollisi lukuj. 6. Viereisessä kuvss olevien ydenmuotoisten lueiden pint-lt ovt, j. Osoit, että +. *7. Pytgorlisten mukn koko milmnkikkeus rkentui luonnollisten lukujen mllin mukn. Tämän jttelutvn tuosi seurv uomio: ei ole kt sellist luonnollist luku, joist toisen neliö olisi kksi kert toisen neliö. Osoit tämä todeksi epäsuorsti lätemällä ytälöstä n m, joss n j m ovt luonnollisi lukuj. Ydenmuotoiset suorkulmiset kolmiot Kolmioiden ydenmuotoisuusluseist sss, sks, kk j ssk esiintyy kikkein useimmin luse kk: Jos kolmion kksi kulm ovt ytä suuret kuin vstinkulmt toisess kolmioss, kolmiot ovt ydenmuotoiset. Kun on todistettv kksi suorkulmist kolmiot ydenmuotoisiksi, riittää osoitt, että niissä kummsskin on smnsuuruinen terävä kulm. Siitä seur välittömästi, että toisetkin terävät kulmt j smll kolmioiden kikki vstinkulmt ovt ytä suuri.
Suorkulminen kolmio 5 Edellä todettiin Pytgorn luseen yteydessä, että suorkulmisen kolmion ypotenuusn vstinen korkeus jk kolmion kteen oskolmioon, jotk ovt ydenmuotoisi sekä keskenään että lkuperäisen kolmion knss. Kosk ydenmuotoisten kuvioiden vstinjnojen suteet ovt ytä suuret, sdn seurv tulos: p Hypotenuusn vstinen korkeus on kteettien ypotenuusll olevien projektioiden q keskiverto*. p Kteetti on ypotenuusn j ypotenuusll olevn projektions keskiverto. q p p q q Seurus: Jälkimmäisestä luseest sdn ytälöt p j q, joist yteen lskemll seur. Kysymyksessä on jälleen erilinen tp todist Pyt- tulos + p + q ( p + q ) gorn luse. Esimerkki Lske oeisen suorkulmion BCD lävistäjän osn olevn jnn EF pituus. Rtkisu: D 60 Pytgorn luseen mukn C 60 + 4 64 68. Merkitään CF. Kosk 68 kteetti on ypotenuusn j sillä olevn projektions keskiverto, pätee, jost 04 56 56 5. Kosk E CF, niin EF 68 68 0 7. 68 68 7 7 7 7 5 Vstus: EF 7 7 E F C B *) Verrntoon liittyvät nimitykset Kun kksi sudett merkitään ytä suuriksi, sdn verrnto. Verrnnoss suureet,, j d ovt verrnnon jäseniä niin, että on ensimmäinen, toinen, kolms j d neljäs jäsen. Suureet j d ovt äärimmäisiä d j j keskimmäisiä jäseniä. p Edellä sduss suorkulmisen kolmion verrnnoss keskimmäiset jäsenet ovt smt. Tällöin snotn, että on äärimmäisten jäsenten p j q keskiverto. Kosk verrnnoss keskimmäisten jäsenten tulo on q ytä suuri kuin äärimmäisten jäsenten tulo, sdn ytälö pq, jost edelleen pq. Stu neliöjuurilusekett kutsutn p:n j q:n geometriseksi keskirvoksi.
Suorkulminen kolmio 6 Tetäviä C 8. Tiedetään, että kolmioss BC on y j. Osoit, että kolmio BC on suorkulminen. y B 9. Oeiseen kolmiokuvioon on merkitty kirjimin kuuden eri jnn pituudet. Määritä tuntemttomt pituudet seurviss tpuksiss. ) 6 j 0 ) 6 j ) j 5 q p 0. Suorkulmisen kolmion ypotenuusn vstinen korkeus jk ypotenuusn osiin, joiden pituudet ovt 4,8 m j, m. Lske kolmion pint-l. 4 Ympyrään liittyvä suor kulm Tngentti on suor, joll on ympyrän knss trklleen yksi yteinen piste, sivumispiste. Voitisiin myös määritellä, että t tngentti on suor, jok on kotisuorss sädettä vstn keällä olevss päätepisteessä, ti r tngentti on suor, jok on säteen etäisyydellä keskipisteestä. Kun näistä määritelmästä vlitn yksi, toisi voidn pitää tngentin ominisuuksin. Keäkulm on kulm, jonk kärki on ympyrän keällä j kyljet leikkvt ympyrää. Keäkulmn toisen kylkenä voi oll myös ympyrän tngentti. Viereisessä kuvss kulm on kren BC sisältämä keäkulm, krt BDC vstv keäkulm. Kulm β on keäkulm vstv keskuskulm. Tiedetään, että keäkulm on puolet vstvst keskuskulmst. Siitä seur erityisesti, että jos keskuskulm on 80, keäkulm on silloin 90. Tässä tilnteess keäkulm on puoliympyrän sisältämä j on voimss luse: B β D C Puoliympyrän sisältämä keäkulm on suor.
Suorkulminen kolmio 7 Esimerkki Oeisen kuvn ympyrälle on piirretty tngentti pisteeseen P. Määritä kren PRS steluku sekä kulmien j y suuruudet, kun keäkulm 58. Rtkisu: Kulm y on myös keäkulm, j kosk sitä j kulm vst sm kri PRS, niin y. Kulm vstv keskuskulm on, j kosk on puolet siitä, niin. Keskuskulmll j sitä vstvll krell on sm steluku, joten kren PRS steluku on 58 6. Vstus: y 58, kren PRS steluku on 6 P y S R Esimerkki nnettu jn ypotenuusn on sitä toiseen pikkn siirtämättä piirrettävä suorkulminen kolmio, jonk toinen kteetti on tunnetun jnn suuruinen. Rtkisu: Olkoot jnn päätepisteet j B. Piirretään jn B lkisijn ympyräviiv. Tämän jälkeen piirretään piste keskipisteenä j jn säteenä ympyräviiv. Se leiktkoon ensin piirrettyä ympyrää pisteessä C. Ydistetään piste C pisteisiin j B. Kolmio BC on vdittu kolmio. Se on suorkulminen, sillä sen kulm C on puoliympyrän sisältämä keäkulm. Tetävä voidn rtkist, mikäli jn on lyyempi kuin jn. Kuink mont eri rtkisu on mdollist sd? C B Esimerkki Osoit geometrisesti, että kden positiivisen luvun j geometrinen keskirvo on enintään + ytä suuri kuin smojen lukujen ritmeettinen keskirvo eli. Rtkisu: Olkoot j kden jnn pituudet. Merkitään smoill kirjimill myös itse jnoj. Erotetn joltkin suorlt peräkkäin jnt j j piirretään puoliympyrä, jonk lkisijn pituus + on +. Puoliympyrän säde on silloin. Piirretään puoliympyrään suorkulminen kolmio, jonk kteettien projektiot ovt j. Silloin kolmion korkeus on näiden projektioiden keskiverto eli jnojen j r geometrinen keskirvo. Kosk suorkulmisen kolmion kteetti on in lyyempi kuin ypotenuus, on kuvn korostetuss oskolmioss < r eli <. Siinä erikoistpukses- + s, että, on r, jolloin geometrinen j ritmeettinen keskirvo ovt ytä suuri.
Suorkulminen kolmio 8 Tetäviä. Viereisessä kuvss on puoliympyrälle piirretty tngentti. Kuink suuri on kulm? 6 D. Oeisen nelikulmion BCD ympäri voidn piirtää ympyrä. Mieti tpoj, kuink löydetään tämän ympyrän keskipiste. C. On nnettu jnt j. Merkitään smoill kirjimill myös jnojen pituuksi. On piirrettävä jn, jok on jnojen j geometrinen keskirvo. B 4. Tunnetn kuutio, jonk särmä on. Miten löydetään geometrisesti sellisen neliön sivu s, jonk pint-l on ytä suuri kuin kuution vipn l? (Oje: s 6 ) 5. Suorkulmisen kolmion korkeutt koskev ytälö p (ks. s 5) voidn esittää muodoss pq. Osoit tämä ytälö oikeksi soveltmll luksi Pytgorn lusett oeisess kuvss korostettuun oskolmioon. q p r q 5 Suorkulmisen kolmion trigonometri Kolmioiden ydenmuotoisuusluseest kk seur, että kikki selliset suorkulmiset kolmiot ovt ydenmuotoisi, joiss on smnsuuruinen terävä kulm. Niissä kolmioiss sivujen suteet ovt ytä suuret. ' ' eli ytäpitävästi ' ' ' ' ' ' Vstvsti j. ' ' ' Sivujen sude riippuu vin terävän kulmn suuruudest eikä linkn kolmion koost. Näitä sivujen suteit snotn terävän kulmn trigonometrisiksi funktioiksi, j ne ovt nimeltään sini, kosini, tngentti j kotngentti. Funktioiden määritelmät ovt seurvt: sin os tn ot
Suorkulminen kolmio 9 Määritelmistä voidn jot trigonometrin peruskvt. Tässä yteydessä käytetään vkiintuneit merkitsemistpoj ) (sin sin j (os ) os. + sin + os + sin : tn os ot tn sin + os sin tn os ot tn Kun suorkulmisen kolmion toinen terävä kulm on, toinen on sen komplementtikulm β 90. Näiden kulmien välille sdn seurvt trigonometriset yteydet: sin β os tn β ot osβ sin ot β tn β 90 - Ensimmäisen ytälön mukn kulmn kosini on ytä suuri kuin komplementtikulmn sini. Kosinin j kotngentin nimissä olev etutvu ko onkin tullut komplementtikulm-snn lust. Esimerkki Suorkulmisen kolmion kteettien pituudet ovt 48 j 55. Määritä kolmion pienimmän kulmn trigonometristen funktioiden trkt rvot j pienin kulm steen kymmenesosn trkkuudell. Rtkisu: Pienin kulm on lyimmän sivun vstinen kulm. Pytgorn luseen nojll 48 + 55 5 9 7. Sdn tulokset 48 55 48 55 sin, os, tn j ot. 7 7 55 48 Lskimell sdn 4,. 48 55 Sivun 8 määritelmissä ot on vin tn:n käänteisluku. Joskus, vikk vieläkin rvemmin, esiintyvät myös sinin j kosinin käänteisluvut "kosekntti" j "sekntti". Ne määritellään ytälöin ose j se. Lskimiss esiintyvät nykyisin yleensä vin sini, kosini j tngentti. Lskimi edeltävänä ikn trigonometristen funktioiden rvot stiin tätä trkoitust vrten ldituist tulukkokirjoist esimerkiksi viiden desimlin trkkuudell.
Suorkulminen kolmio 0 Muistikolmiot Neliön lävistäjä jk neliön kteen tskylkiseen suorkulmiseen kolmioon, joiss kntkulmien suuruus on 45. Jos neliön sivun pituus on, lävistäjän pituus on +. Kolmion sivujen suteet ovt siis ::. 45 45 Tssivuisen kolmion korkeus jk kolmion kteen suorkulmiseen kolmioon, joiden terävien kulmien steluvut ovt 0 j 60. Kun lyyemmän kteetin pituus on, ypotenuusn pituus on j toisen kteetin pituus. Sivujen suteet ovt näin ollen : :. 0 60 Näitä kolmioiden erikoistpuksi kutsutn muistikolmioiksi. Moniss sovelluksiss on eduksi muist niiden sivujen suteet : : j : :. Käänteisesti voidn päätellä kolmio muistikolmioksi, mikäli sillä on minitut sivujen suteet. Esimerkki Muistikolmioon, jonk ypotenuusn pituus on 0, piirretään suuremmn terävän kulmn puolittj. Kuink pitkiin osiin se jk leikkmns kteetin? Rtkisu: Lyyemmän kteetin pituus on 5 j pitemmän 5. Kulmn puolittj jk kolmion oskolmioiksi, joist toinen on muistikolmio j toinen tskylkinen kolmio. Jos pienemmän muistikolmion lyyempi kteetti on, ypotenuus on, jolloin tskylkisen kolmion toinen kylki on myös. Sdn ytälö + 5, jost. Tällöin. 5 0 5 0 Vstus: j 0 0 60 Tetäviä. 6. Määritä muistikolmioiss esiintyvien terävien kulmien trigonometristen funktioiden trkt rvot. 7. Kuink pitkä on tskylkisen suorkulmisen kolmion kteetti, kun ypotenuusn pituus on 6? 8. Mäen jyrkkyys ilmistn usein prosentulisesti nousun j vksuunnss edetyn mtkn suteen. Määritä tien kltevuus stein, kun jyrkkyydeksi on liikennemerkillä ilmoitettu %.
Suorkulminen kolmio 9. Suorkulmisen kolmion terävän kulmn sini on 0,6804. Määritä kyseisen kulmn kosinin j tngentin rvot viidellä desimlill. 0. Minkä leveyspiirin pituus on 000 km? Mpllon säde on 6 70 km.. Lske oess kuvtun rkennuksen kton kltevuus j korkeus. Räystään pituus on 60 m. 5,8 m 0,0 m. Kksi korkeuskäyrää sijitsee krtll 4 mm:n päässä toisistn. Mston kltevuus kyseisessä kodss on 8,4. Kuink suuri on käyrien välinen korkeusero, kun krtn mittkv on : 0 000?. Neljäkkään lävistäjien pituudet ovt 64 m j 8 m. Määritä neljäkkään kulmt j sivujen pituudet. 64 m 8 m 4. Järven rntn rkennetn puoli kilometriä pitkä ptovlli, jonk poikkileikkus on oeisen kuvn mukinen. Kuink pljon m-inest rkentmisen trvitn? 7,0 m 40 0 6,0 m 5. Lske oeisess kuutioss esiintyvien kulmien j β suuruudet steen kymmenesosn trkkuudell. β
Suorkulminen kolmio Vstuksi. ) Ei ole. ) On.. 8 ti 54, 7. 0 m 4. 0 pituusyksikköä 4 5. ) + ( n + ) + (n + n) 4n + 4n + + 4n + 8n + 4 n 6. 4 ) 4n + 4n + + 4n + n + n (n + n + ) n + ( n + ) ( n + ) n + n + n + n + 4n + 4 n n 0 n ti n inot peräkkäiset Pytgorn luvut ovt, 4 j 5. j + +. Lskemll ytälöt yteen sdn +, jolloin +. *7. Olkoon n m, joss n, m N. Voidn rjoituksett olett, että n j m ovt keskenään jottomi, kosk yteiset tekijät voitisiin jk ytälöstä pois. Jos n on priton, myös n on priton, mutt tämä on mdotont, kosk on prillinen. Jos ts n on prillinen esimerkiksi, niin m n k 4k m eli k m, jolloin m olisi prillinen. Näin ei voi oll, kosk n j m ovt keskenään jottomi. Jotopäätös on, että ytälöä n m eivät toteut mitkään luonnolliset luvut. 8. + y + ( y + ) 9. 4 ) 8, p, q 6, 4 5 5 5 ) 0, 5 ) 5, p, q, 4 0. 54 m. 58. Lyin tp: jnn C keskipiste 5. r ( r )( r + ) pq 7. 8 8. 7,4 9. os tn 0, 7865 0. 55. 5, 9,,4 m. 40 m. Kikki sivut 5 m, kulmt 76 j 04 4. noin 47 00 m 5. 5, j β 54, 7 p, 0 8 q, 0 6 0