* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat

Transkriptio

1 Trigonometria. a) Määrittele trigonometriset funktiot. b) Vertaa trigonometristen funktioiden ominaisuuksia määritys- ja arvojoukko sekä perusjakso). * Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat a) Määritellään mielivaltaisen kulman α trigonometriset funktiot tarkastelemalla yksikköympyrää eli -säteistä origokeskistä ympyrää. Kulma α sijaitsee siten, että sen kärki on origossa ja oikea kylki alkukylki) positiivisella x-akselilla. Kulma kasvaa, kun loppukylki kiertyy positiiviseen kiertosuuntaan vastapäivään). Vastaavasti negatiiviseen suuntaan kiertyminen myötäpäivään) merkitsee kulman pienenemistä ja negatiivisia kulmia. Kulman α kiertyvä loppukylki kohtaa yksikköympyrän koordinaatiston pisteessä x, y). Trigonometristen funktioiden määritelmät ovat silloin: sinα) = y, cosα) = x, tanα) = y x = sinα) cosα), cotα) = x y = cosα) sinα), secα) x = cosα) cscα) y = sinα). ja b) Trigonometriset funktiot saavat yksikköympyrän eri neljänneksissä eri merkkisiä arvoja. Funktiot sini ja kosekantti saavuttavat positiivisia arvoja. ja. neljänneksessä sekä negatiivisia. ja 4. neljänneksessä. Kosini ja sekantti saavat positiivisia arvoja. ja 4. neljänneksessä sekä tangentti ja kotangentti. ja. neljänneksessä. Sini ja kosini ovat määriteltyjä kaikilla argumentin x reaaliarvoilla. Muut funktiot ovat määriteltyjä muualla paitsi nimittäjän nollakohdissa. Funktioiden lähtöjoukot ovat siten seuraavat: sinx), x R; cosx), x R; tanx), x π + nπ; cotx), x nπ; secx), x π + nπ ja cscx), x nπ.

2 . a) Määritä tarkka arvo lausekkeille cosα), tanα), ja cotα), kun sinα) = ja 0 < α < π. b) Laske lausekkeen sinx) tarkka arvo, kun cosx) = 5 tehtävä ) ja π < x < π. YO kevät 985 c) Kulma α on tylppä ja sinα) =. Määritä tarkka arvo lausekkeille cosα) ja tanα). * Trigonometristen funktioiden merkkikaaviot a) cosα) = b) sinx) = 0 8, tanα) = 8 ja cotα) = 8 69 c) cosα) = 5 ja tanα) = 5 a) Koska sinα) =, saadaan määritelmän mukaan suorakulmainen kolmio, jonka hypotenuusa on ja kateetit ja x = 8. Tällöin cosα) = 8, tanα) = 8 ja cotα) = 8. b) Koska cosα) = 5, saadaan määritelmän mukaan suorakulmainen kolmio, jonka hypotenuusa on ja kateetit 5 ja y =. Funktioiden sin ja cos merkkikaavioiden perusteella cos on positiivinen ja sin negatiivinen, kun π < x < π. Saadaan sinx) = sinx)cosx) = 0 ) 5 = 69. c) Koska sinα) =, saadaan määritelmän mukaan suorakulmainen kolmio, jonka hypotenuusa on ja kateetit ja z = 5. Funktiot cos ja tan ovat molemmat negatiivisia. neljänneksessä. Saadaan cosα) = 5 ja tanα) = 5.. a) Tasakylkisen kolmion kylki on 7, cm ja huippukulma 48 astetta. Laske kolmion ala. b) Kolmion sivu on,8 m ja sen viereiset kulmat 49,5 astetta ja 7,6 astetta. Laske kolmion kolmas kulma, muut sivut, ala sekä kolmion ympäri piirretyn ympyrän säde. * Sinilause ja kosinilause

3 * Kulmanpuolittajat ja keskijanat a) 8,9 cm b) α = 58,9, x =,5 m, y =,4 m, A =,744 m ja R =,65 m a) Alan kaavan avulla saadaan A = acsinβ) = 7, 7, sin48 ) = 8,9 cm ). b) Kolmion kulmien summa on 80, joten kolmion kolmas kulma on α = 80 49,5 + 7,6 ) = 58,9. Muut sivut saadaan sinilauseen avulla: y x =,5 m) ja x sin49,5 ) =,8 sin58,9 ) Kolmion pinta-ala A =,8,4 sin49,5 ) =,744 m ) ja ympäri piirretyn ympyrän säde R =,8 sin58,9 ) R =,65 m). sin7,6 ) =,8 sin58,9 ) y =,4 m). 4. Kolmion kaksi sivua ovat 5,0 cm ja 6,0 cm sekä ensiksi mainitun sivun vastainen kulma 5,4 astetta. Laske jälkimmäisen sivun vastainen kulma. α = 7,94 tai α = 08,06 Kuvausta vastaava kolmio voi olla terävä- tai tylppäkulmainen. Kulma α saadaan sinilauseen avulla 6 sinα) = 5 sin5,4 ) α 7,94 ja α = 80 7,94 = 08, a) Kolmion kaksi sivua ovat 7,0 cm ja,0 cm sekä niiden välinen kulma 67, astetta. Laske kolmion kolmas sivu. b) Eräästä talosta voidaan mennä uimarantaan joko kulkemalla ensin suoraan maantietä pitkin 400 metriä, kääntymällä sitten 05 astetta vasempaan ja kulkemalla suoraan pikkutietä pitkin vielä 00 metriä tai sitten kulkemalla koko matka metsän läpi. Millä nopeudella pitäisi metsän läpi kulkea, jotta siihen menisi yhtä paljon aikaa kuin tietä pitkin käveltäessä, kun nopeus tietä pitkin on 6 km/h? a) 6,49 cm

4 b),9 km/h a) Kolmion kolmas sivu saadaan kosinilauseen avulla x = cos67, ) x 6,49 cm). b) Metsäpolun pituus saadaan kosinilauseen avulla x = cos75 ) x 45,568 m). Uimaranta x 00 Talo Matka-aika t tietä pitkin on t =,4+, 6 0,67 h), jolloin nopeus metsän läpi on v = s t =,46 0,67 =,9 km/h). 6. Osoita oikeaksi kaava a) cos90 α) = sinα) b) cos80 + α) = cosα) c) cos75 ) = 4 6 ) * Trigonometriset yhtälöt a) cos90 α) = cos90 ) cosα) + sin90 ) sinα) = 0 cosα) + sinα) = sinα) b) cos80 + α) = cos80 ) cosα) sin80 ) sinα) = cosα) 0 sinα) = cosα)

5 c) cos75 ) = cos ) = cos45 ) cos0 ) sin45 ) sin0 ) = = 4 6 ) 7. Määritä lausekkeen sinα β) tarkka arvo, kun sinα) = 4, cosβ) =, 0 < α < 70 ja 0 < β < 70. Missä neljänneksessä on kulma α β? Lauseke sinα β) = +5 ja kulma on. neljänneksessä. Koska sinα) = 4, saadaan määritelmän mukaan suorakulmainen kolmio, jonka hypotenuusa on 4 ja kateetit ja 5. Tällöin cosα) = 5 4, kun 0 < α < 70. Lisäksi koska cosβ) =, saadaan suorakulmainen kolmio, jonka hypotenuusa on ja kateetit ja 5. Tällöin sinβ) = 5, kun 0 < β < 70. Saadaan sinα β) = sinα) cosβ) cosα) sinβ) = ) 5 0,56. Koska kulma α on. neljänneksessä ja kulma β. neljänneksessä, on kulman α β oltava joko. neljänneksessä tai. neljänneksessä. Lisäksi, koska sinα β) on positiivinen, tiedetään, että kulma α β on. neljänneksessä. = 5 8. Määritä funktioiden suurin ja pienin arvo. a) f x) = sinx) ) + sinx) b) f x) = sinx) ) + cosx) c) f x) = 8 sinx) ) cosx) ) d) f x) = sinx π 4 )sinx + π 4 ) * Ulkoa muistettavat peruskaavat * Helposti johdettavat kaavat a) suurin arvo on ja pienin on 4 b) suurin arvo on 8 ja pienin on c) suurin arvo on ja pienin on 0 d) suurin arvo on ja pienin on

6 a) Täydennetään funktio neliöksi. f x) = sinx) ) + sinx) = sinx) ) + sinx) ) = sinx) + ) 4 Koska sinx), on funktion suurin arvo f 0) = sin0) + ) 4 = ja pienin f ) = sin ) + ) 4 = 4. b) Täydennetään funktio neliöksi. f x) = sinx) ) + cosx) = cosx) ) ) + cosx) = cosx) ) + cosx) cosx) ) ) = cosx) + = cosx) ) cosx) + 6 = cosx) 4) + 8 ) Koska cosx), on funktion suurin arvo f,8) = 4 4 ) + 8 = 8 ja pienin f π) = cosπ) 4) + 8 =. c) Sievennetään funktio. f x) = 8 sinx) ) cosx) ) = sinx) cosx) = sinx)cosx) = sinx) Koska sinx) sinx), on funktion suurin arvo f π ) = sin π ) = ja pienin f 0) = sin0) = 0. d) Sievennetään lauseke. f x) = sinx π 4 )sinx π 4 ) ) = sinx)cos π 4 ) cosx)sin π 4 )sinx)cos ) π 4 ) + cosx)sin π 4 ) ) ) = sinx) cosx) sinx) + cosx) ) ) = sinx) cosx) sinx) + cosx) sinx) ) ) ) cosx) = cosx) = ) ) ) sinx) = cosx) Koska cosx) cosx), on funktion suurin arvo f π ) = cosπ) = ja pienin f 0) = cos0) =.

7 9. Ratkaise yhtälö a) sinx) = b) sinx) = c) tanx) = d) cos x )) = 0 e) sinx + π ) + = 0 * Esimerkki trigonometrisesta yhtälöstä * Esimerkki trigonometrisesta yhtälöstä a) x = 0 + n 60 x = 0 + n 60, kun n Z b) x = 0 + n 0 x = 40 + n 0, kun n Z c) x = 6,4 + n 80, kun n Z d) x = 80 + n 70 x = n 70, kun n Z e) x = π + n π x = 7π + n π, kun n Z a) sinx) = x = 0 + n 60 x = 0 + n 60, kun n Z b) sinx) = x = 0 + n 0 x = 40 + n 0, kun n Z c) tanx) = x = 6,4 + n 80, kun n Z d) cos x )) = 0 cos x ) = 0 x = 90 + n 60 x = 70 + n 60 x = 80 + n 70 x = n 70, kun n Z e) sinx + π ) + = 0 sinx + π ) = x + π = 5π 4 + n π x + π = 7π 4 + n π x = π + n π x = 7π + n π, kun n Z

8 0. Ratkaise yhtälö a) sinx) = sinx) b) cosx 0 ) = cosx + 0 ) c) tanx) = tan45 x) a) x = 0 + n 80 x = 45 + n 90, kun n Z b) x = 0 + n 60 x = 0 + n 0, kun n Z c) x = 5 + n 60 x = 75 + n 80, kun n Z a) sinx) = sinx) x = x + n 60 x = 0 + n 80, kun n Z sinx) = sinx) sinx) = sin80 x) x = 80 x + n 60 x = 45 + n 90, kun n Z b) cosx 0 ) = cosx + 0 ) x 0 = x n 60 x = 0 + n 60, kun n Z cosx 0 ) = cos x 0 ) cosx 0 ) = cos x 0 ) x 0 = x 0 + n 60 x = 0 + n 0, kun n Z c) tanx) = tan45 x) x = 45 x + n 80 x = 5 + n 60 x = 75 + n 80, kun n Z. Ratkaise yhtälö a) sinx + ) = cosx + ) b) tanx) = cotx 45 )

9 a) x = π n π x = π n π, kun n Z b) x = 67,5 + n 90, kun n Z a) sinx + ) = cosx + ) sinx + ) = sin π x ) x = π n π, kun n Z sinx + ) = sinπ π x ) x = π n π, kun n Z b) tanx) = cotx 45 ) tanx) = tan90 x + 45 ) x = 67,5 + n 90, kun n Z. Ratkaise yhtälö a) sinx) = sinx) b) cosx) = cosx 60 ) c) tanx + ) = tanx + ) a) x = 0 + n 60 x = 90 + n 80, kun n Z b) x = 80 + n 0 x = 40 + n 60, kun n Z c) x = π + n, kun n Z a) sinx) = sinx) sinx) = sin x) x = 0 + n 60, kun n Z sinx) = sin80 + x) x = 90 + n 80, kun n Z b) cosx) = cosx 60 ) cosx) = cos80 x + 60 ) x = 80 + n 0, kun n Z cosx) = cos40 x) cosx) = cos 40 + x) x = 40 + n 60, kun n Z

10 c) tanx + ) = tanx + ) tanx + ) = tan x ) x = π + n, kun n Z. Ratkaise yhtälö a) sin x ) = sinx) b) sinx) + sinx) + sinx) = 0 c) sinx) ) + 4sinx) + 4 = 0 d) sinx) ) cosx) ) = 0 e) 4sinx)cosx) = 0 f) sinx) + cosx) = 0 g) sinx) ) 4sinx)cosx) 5 cosx) ) = 0 a) x = 0 + n 70 x = 60 + n 70 b) x = 0 + n 60 x = 80 + n 60 ) x = 90 + n 60 x 4 = 70 + n 60 ) x 5 = 0 + n 60 x 6 = 40 + n 60 ), kun n Z c) Yhtälöllä ei ole ratkaisua. d) x = 45 + n 80 x = 5 + n 80, kun n Z e) x = 0 + n 60 x = 60 + n 80, kun n Z f) x = 50 + n 80, kun n Z g) x 78,7 + n 80 x 5 + n 80, kun n Z a) Tiedetään, että sinx) = sinx)cosx) sinx) = sin x)cos x). sin x) = sinx) sin x) = sin ) x)cos x) sin x) cos x) = 0 sin x ) = 0 cos x ) = 0 x = 0 + n 70 x = 60 + n 70

11 b) sinx) + sinx) + sinx) = 0 sinx) 4 cosx) ) ) + sinx)cosx) + sinx) = 0 sinx) 4 cosx) ) ) + cosx) + = 0 sinx) 4 cosx) ) ) + cosx) = 0 ) sinx) cosx) 4cosx) + = 0 sinx) = 0 cosx) = 0 4cosx) + = 0 x = 0 + n 60 x = 80 + n 60 ) x = 90 + n 60 x 4 = 70 + n 60 ) x 5 = 0 + n 60 x 6 = 40 + n 60 ), kun n Z c) Bikvadraattinen yhtälö. Merkitään sinx) = u. ) sinx) + 4sinx) + 4 = 0 u + 4u + 4 = 0 u = sinx) =, mikä on mahdoton. Yhtälöllä ei ole ratkaisua. d) sinx) ) cosx) ) = 0 sinx) ) + cosx) ) = 0 cosx) = 0 x = 0 + n 60 x = 60 + n 80, kun n Z e) 4sinx)cosx) = 0 sinx)cosx) = 0 sinx) = x = 0 + n 60 x = 60 + n 80, kun n Z f) sinx) + cosx) = 0 sinx) cosx) + = 0 tanx) = tanx) = x = 50 + n 80, kun n Z g) sinx) ) ) 4sinx)cosx) 5 cosx) = 0 ) ) sinx) ) 4sinx)cosx) ) 5 cosx) ) = 0 cosx) cosx) tanx)) 4tanx) 5 = 0 cosx) Bikvadraattinen yhtälö. Merkitään tanx) = u. u 4u 5 = 0 u = 5 u = tanx) = 5 tanx) = x 78,7 + n 80 x 5 + n 80, kun n Z 4. Määritä likiarvoja käyttämättä funktion f : f x) = sinx) ) cosx) ) 4, x R, suurin ja

12 pienin arvo. YO kevät 989, tehtävä 8a) * Hyödynnä derivaattaa. * Merkitse cosx) ) = u. suurin arvo on 7 4 ja pienin 0 Sievennetään funktio f x) = sinx) ) cosx) ) = cosx) ) ) ) 4 cosx) = cosx) ) 4 ) 6. cosx) Merkitään cosx) ) = u u u = gu). Etsitään funktion g nollakohdat g u) = u u = u u) = 0 u = 0 u =. Derivaatta g > 0, kun 0 < u < ja g < 0, kun < u <. Funktio g saavuttaa pienimmän arvon g0) = 0 ja suurimman arvon g ) = *) Käyrät y = sinx) ja y = sinx) rajoittavat kahta eri kokoa olevia silmukoita. Laske kummankin silmukan pinta-ala. * Laske kuvaajien nollakohdat ja leikkauspisteet. * Hyödynnä integraalia. Pienemmän silmukan ala on 4 ja suuremman 4. Etsitään funktion y = sinx) nollakohdat. sinx) = 0

13 x = 0 + n π x = π + n π Etsitään funktioiden sinx) ja sinx) leikkauspisteet. sinx) = sinx) x = 0 + n π, kun n Z sinx) = sinπ x) x = π + n π, kun n Z Nyt pienemmän silmukan ala on A = R π ) 0 sinx) sinx) dx. Integroidaan sivussa. Merkitään x = t dx = dt. R sinx) = R sint) dt = ) cost) +C = cosx) +C Tällöin A = / π ) 0 cosx) + cosx) = 4. Suuremman silmukan ala on A == / π π cosx) + cosx) ) = *) Puistossa on kaksi toisiaan vastaan kohtisuoraa käytävää sekä koirien suosima puu, jonka etäisyys toisesta käytävästä on 60 m, toisesta 00 m. Käytävien väliin on muodostunut lyhin mahdollinen suora oikopolku, joka sivuaa puuta. Minkä kulman tämä oikopolku muodostaa puuta lähempänä olevan käytävän kanssa? YO syksy 990 tehtävä 8b) * Hyödynnä trigonometrista kaavaa tanx) = sinx) cosx) lausekkeen sieventämisessä. 40 Jos polun ja puuta lähempänä olevan käytävän välinen kulma on α, on polun pituus 00 cosα) + 60 sinα) = 0 5 cosα) + sinα) ). Määrätään funktion f α) = 5 cosα) + sinα)

14 pienin arvo välillä ]0, π [. Derivaatta f α) = 5sinα) ) cosα) = 5 cosx) sinx) = 5 cosx) = 5 sinx)/tanx) ) cosα) sinα) cosx) cosx) ) sinx) cosx) tanx) = 5tanx) tanx) ) sinx) cosx) tanx) ) sinx) sinx) cosx) ) sinx) = 5tanx) tanx)sinx) cosx) = 5 ) sinx) tanx)) sinx) cosx) ) sinx) = 5 tanx)) = 5 ) cosx) tanx) cosx) ) sinx) tanx)) cosx) cosx) ) sinx) = 5cosα) sinα) ) tanα) 5 ) ) = 0, kun tanα) = 5, α 40. Vastaava f :n arvo on pienin, koska f α) < 0, kun tanα) ) < 5, ja f α) > 0, kun tanα) ) > 5. x 00 y 60 a