Viivintegrli: "Pc- Mn" - tulkint Otetn funk:o f(,), jok riippuu muudujist j. Jokiselle, tson pisteellä funk:oll on siis joku rvo. Tpillisiä fsiklis- kemillisi esimerkkejä voisivt oll esimerkiksi mss:hes ti vrus:hes pikn funk:on ti korkeus krdkoordinmen funk:on Esim: funk:o f(,) kertoo mus:en pllojen :heden kentällä. Pc- Mn liikuu kärää pitkin pisteestä pisteeseen j sö plloj. Kuink mont pllo Pc- Mn sö? Vstus on (suunnilleen) viivintegrli f(,) ds (ds on ääredömän pieni pl kärää) ds Viivintegrli: "Pc- Mn" - tulkint Tämä tulkint ud hhmodmn, mistä on kse, mud ei vielä vrsinises: ut lskemn integrli. Kuvst nähdään kuitenkin suorn ksi keskeinen si: Viivintegrlin rvo (Pc- Mnin sömien pllojen lukumäärä) riippuu leisessä tpuksess lku- j loppupisteiden lisäksi mös integroin:rei:stä. 2 f(,) ds f(,) ds 1 2 1 1
"Perinteisempi" tulkint: 1D Funk:o f():n kuvj on kärä. f():n rvo :n eri pisteissä kuvtn plväinä oheisess kuvss. Integrlin f()d tulkint: kärän lle jäävä pint- l. Voidn jtell edä lue jetn (ääredömän kpeisiin) siivuihin, joiden pint- l lsketn hteen. f()d 2D f(,) ds Funk:o f(,):n rvo pisteessä, kuvtn mös plvään korkeuten (vsen kuv). Funk:on kuvj on siis pint. Kärä kulkee, tsoss. Jokisess :n pisteessä f(,):llä on jokin rvo nämäkin voidn piirtää plväinä/siivuin siivuin kuten oikenpuoleisess kuvss. Viivintegrli kärällä summ siivujen pint- lt ("idn pint- ln") ivn kuten "tvllinen" integroin:kin Tvllinen integrli on ikään kuin viivintegrli kärällä =0. 2
Viivintegrlin lskeminen kemiss Kemin sovelluksiss viivintegrli nnetn leensä "ds - muodon sijn muodoss, joss esiint jo vlmiiksi d j d: Esim: [ ] f(,) ds = F(,)d + G(,)d $ R RT ΔV = & dt % p p 2 dp ' ) ( Tämän muodon grfinen hhmodminen on joskus vikemp, mud lskeminen usein helpomp: viivintegrli sdn usein helpos: muunnedu tvllisten integrlien (:n ti :n suhteen) summksi. (Välikokeess pdetään lskemn väin tämäntppisiä viivintegrlej; ds muotoiset ovt lisämterili.) Viivintegroin:: esimerkki Esim. lske integrli [ d + d] kun reim on sellinen edä = 1 j : 1 0. Rtkisu: d d(1 ) = = 1 d = d d d [ d + d] = (1 )d + (1 )( d) =0 =0 =1 [ ] = $ %( 1+ + 2 )d& ' = ( 2 1)d =1 (0,1) =0 =1 (1,0) = =0 =1 ( 3 3 )=0 (13 3 1) = 2 3 3
Esim. lske integrli [ d + d] kun reim on (1,0) (1,1) (0,1) lku:lnne loppu:lnne Rtkisu: Käsitellään rei:n ost erikseen. Osss 1 pätee: (0,1) = 1, jolloin d = 0. : 0 1 Osss 2 pätee: =1, jolloin d = 0 : 1 0 2 (1,1) 1 (1,0) Nt voidn lske integrli khden osn summn: (0,1) 2 (1,1) [ d + d] =1 = ( 0 +1 d)+ ( 1 d + 1 0) =0 =1 = d + = =0 =1 1 =0 2 2 + =0 =1 =0 =1 1d = 1 2 12 0 + 0 ( 1) = 3 2 =0 =1 1 (1,0) ReiMosll 1: =1, d = 0 : 0 1 ReiMosll 2: =1, d = 0 : 1 0 4
Viivintegrli j eksk2 differen2li Otetn viivintegrli muoto [ ] f(,) ds = F(,)d + G(,)d Jos F(,)d + G(,)d on eksk: differen:li, viivintegrlin rvo ei riipu kärän muodost, vn inostn sen lku- j loppupisteistä. Kutsutn lku- j loppupisteitä vikk kirjimill j, ts = (, ), = (, ). Viivintegrli j eksk2 differen2li Perustelu: jos F(,)d + G(,)d on eksk:, on olemss funk:o z(,) jonk kokonisdifferen:li dz = F(,)d + G(,)d jolloin [ F(,)d + G(,)d] = dz = z() z() Tällöin [ F(,)d + G(,)d] = [ F(,)d + G(,)d] 2 Mille thns kärille 1, 2 joill on smt lku- j loppupisteet. 1 2 1 5
Eksk2 differen2li j sulje<u viivintegrli Jos kärällä on sm lku- j loppupiste, nähdään he: edä eksk:n differen:lin viivintegrli tämän kärän li (suljedu integrli) on noll: [ F(,)d + G(,)d] = dz = z() z() 0 SuljeDu integrli merkitään usein integrlimerkissä olevll plloll: dz Epäeksk:n differen:lin suljedu viivintegrli ei väldämädä ole noll. Grfinen tulkint Olkoon z = z(,) mston korkeus pikn, funk:on Esim. on sijin: Pohjois Etelä- kselill j sijin: Itä Länsi- kselill kuten krtoiss leensä. z:n kokonisdifferen:li: dz = ( z(,) ) d + ( z(,) ) d OsiDisderivtt kertovt mston jrkkden Itä Länsi j Pohjois Etelä- suunniss kusskin mston pisteessä. Kokonisdifferen:lin luseke siis kertoo, kuink pljon korkeus z muuduu, kun kuljetn pieni mtk d Itä Länsi- suunnss j pieni mtk d Pohjois Etelä- suunnss. 6
Grfinen tulkint dz = ( z(,) ) d + ( z(,) ) d d d Grfinen tulkint Korkeuden muutos Δz jollkin pidemmällä mtkll pisteestä pisteeseen kärää pitkin sdn integroimll dz: Δz = dz = ( z(,) ) d + ( z(,) ) d = z() z() Tulos riippuu inostn lku- j loppupisteistä, eikä vlitust rei:stä (kuten krtstkin voi päätellä). Huom: Δz on siis korkeuden "nedomuutos" (lähtö- j päätepisteen korkeuksien erotus), kiipeilijät (ms) lskevt usein "rudomuutost" eli kuink mont metriä päivässä on noustu tämä sd :ets: riippu rei:stä mikäli välillä kävellään lspäin j siden ts lös. 7
Korkeuden muutos ei riipu rei2stä. Korkeuden differen2li on eksk2 Korkeuden muutos Δz ei siis riipu vlitust rei:stä, kosk korkeuden differen2li dz on eksk2. Voidn helpos: kuvitell mös moni muit pikst riippuvi differen:limuotoisi lusekkeit muoto F(,)d + G(,)d, jotk eivät ole eksktej. Esimerkiksi epäeksk: differen:li F(,)d + G(,)d voisi oll todennäköiss, edä pienellä mtkll d, d pikst (,) tulee vstn lppitäh: (kukk). Epäeksk:en differen:lien viivintegrlit (esimerkissä siis lödedjen lppitäh:en lukumäärä, kun p:koidn joku vuoristoreim ) riippuvt rei:stä, ivn kuten rkijärjelläkin voi päätellä. 8
Lötääkö Asteri lppitähden? Lötääkö Asteri kukn? F(,)d + G(,)d = 100% F(,)d + G(,)d = 0% 1 2 2 1 9
Fsiklinen esimerkki Aiemmin trkstel:in differen:lej dv = RT j p 2 dp + R RT dt dw = pdv = dp + RdT p p Molemmt kuvvt ksu, jonk pined j lämpö:l muutetn josskin prosessiss. dv on :lvuuden muutoksen differen:li, j dw ksun tekemän tön differen:li. Tilvuuden muutos ΔV ti ksun tekemä tö ΔW sdn odmll dv:n j dw:n viivintegrlit p,t vruudess kuljetun "polun" li. Aiemmin näh:in edä dv on eksk: mud dw ei. Mitä tämä trkoid? Ideliksu jonk lämpö2l j pine< nostetn. p 2 1 T Polku 1 : ensin lämmitetään, siden nostetn pined. Polku 2 : ensin nostetn pine, siden lämmitetään. Tilvuuden muutos ei riipu polust! ΔV 1 = dv = ΔV 2 = dv 1 Teht tö riippuu polust! ΔW 1 = dw ΔW 2 = dw 1 2 2 10
Sulje<u kierto p 3 T Kuljetn nt polku 3 pitkin, jok joht tkisin lkupisteeseensä. Kosk dv on eksk:, voidn päätellä suorn, edä :lvuus ei muutu prosessiss. Kosk dw ei ole eksk:, ksun tekemä tö prosessiss ei (väldämädä) ole noll. p Fsiklinen tulkint T Se, edä :lvuuden differen:li dv on eksk: trkoid edä on olemss funk:o V(p,T) jok kertoo V:n rvon jokisess p,t pisteessä. Se, edä tön differen:li dw on epäeksk: kertoo edä vstv funk:ot W(p,t) ei (väldämädä) ole olemss. On mielekästä puhu ksun :lvuudest :etssä pineess j lämpö:lst, mud ei ole mielekästä sno esimerkiksi edä "ksun tö tässä lämpö:lss on 3 joule". Tön suhteen voidn puhu vin muutoksist (ΔW, dw). 11
Fsiikss j kemiss viivintegrlill kuvtn jonkin suureen (esim :lvuus, tö, vrus...) muutost, kun kht (ti usemp) ssteemin muuduj muutetn jotin polku pitkin. Jos ko. suureen differen:li on eksk:, polull ei ole merkitstä, vn inostn lku- j loppupisteillä. Jos ko. suureen differen:li ei ole eksk:, polull ts on merkitstä. Termodnmiikss epäeksk:n differen:lin d- kirjin merkitään usein poikidisell viivll (esim dw) jod muistedisiin premmin edä integroin:reim vikud tulokseen. Esimerkiksi ssteemin tekemä tö ei siis väldämädä ole noll, vikk se plisikin tkisin lkupisteeseensä. Arkielämän sovellus: juoksulenkki Kumpulst Turkuun j tkisin kulud kllä kloreit, vikk onkin "suljedu" reim... Eksk2uden hödntäminen integroitess Aiemmin näh:in tpoj, millä viivintegrlej voi lske "hnkls:". Mikäli integroitvn on eksk: differen:li, voidn lskuj usein helpod kädämällä hväksi sitä, edä tulos ei riipu rei:stä. è Vlitn siis lskemisen knnlt mhdollisimmn helppo reim! Tpillises: helpoin reim on sellinen, missä pidetään in jompikumpi muuduj kerrlln vkion. [ Fd + Gd] Fd + Gd ekskti ' d=0 d=0 12
Lsketn integrli [(4 + )d + ( + 6)d], Esimerkki missä kärä on kuvss näkvä monimutkinen funk:o, jok kulkee pisteestä 0,0 pisteeseen 2,2. Rtkisu: Trkistetn, onko integroitv differen:li eksk:. [(4 + )d + ( + 6)d] on (4 + ) ( + 6) ( ) =1, ( ) =1 0,0 2,2 Voidn siis unoht hnkln näköinen käpprä, j vlit mikä thns reim pisteiden 0,0 j 2,2 välillä. Vlitn kuvss näkvä reim. Sdn siis: [(4 + )d + ( + 6)d] 1 + 2 (Kärällä 1 : = 0,d = 0. Kärällä 2 : = 2,d = 0) =2 = (4 + 0) d + (2 + 6) d = =0 0 =2 =0 2 2 2 2 + (2 + 3 2 ) 0 = (8 0) + (4 +12 0 0) = 24 2,2 2 0,0 1 13