MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

Samankaltaiset tiedostot
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

Integraalilaskenta. Määrätty integraali

Käydään läpi: ääriarvo tarkastelua, L Hospital, integraalia ja sarjoja.

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että

5 Riemann-integraali ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Ala- ja yläintegraali

5 Epäoleellinen integraali

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät

3 Integraali ja derivaatta

Kertausta ja täydennystä

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku.

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [

Riemannin integraalista

Matematiikan tukikurssi

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b

i 2 n 3 ( (n 1)a (i + 1) 3 = 1 +

Riemannin integraalista

2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia.

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 9. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 9 () Numeeriset menetelmät / 29

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

Riemannin integraali

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

Johdatus reaalifunktioihin P, 5op

Lebesguen integraali - Rieszin määritelmä

2 Epäoleellinen integraali

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1

Lisää määrätystä integraalista Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita:

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot

Matematiikan tukikurssi

6 Integraalilaskentaa

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM) Laskuharjoitus 4 / vko 47, mallivastaukset

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?

Viikon aiheet. Pinta-ala

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.

4 Pinta-alasovelluksia

Lebesguen integraali

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu

4 Taso- ja avaruuskäyrät

Sinilause ja kosinilause

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

ANALYYSI 2. Tero Kilpeläinen

ANALYYSI I, kevät 2009

Pertti Koivisto. Analyysi C

ANALYYSI I, kevät 2009

MS-A010X Di erentiaali- ja integraalilaskenta Lukujoukot. 1.2 Jonot. 1.2 Perusongelmat. 1.3 Suppeneminen I. 1.2 Jonojen ominaisuuksia

Sarjat ja integraalit

Numeerinen integrointi

Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15

Newtonin, Riemannin ja Henstock-Kurzweilin integraalit

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki

Numeerinen integrointi.

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI

ANALYYSI I, kevät 2009

Johdatus fraktaaliderivaattoihin ja niiden sovelluksiin

Määrätty integraali. Markus Helén. Mäntän lukio

Pinta-alan laskeminen

VEKTOREILLA LASKEMINEN

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014

VEKTOREILLA LASKEMINEN

Monikulmion pinta-ala ylioppilaille

ANALYYSIN TEORIA A JA B

Analyysin perusteet kauppatieteilijöille P

2.2 Monotoniset jonot

Matematiikan tukikurssi

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1: tiivistelmä ja oheislukemista

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa II

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause

Riemann-integraalin ja mittaintegraalin vertailua

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat. 1.2 Jonot. jossa

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.

Sarjojen tasainen suppeneminen

Pertti Koivisto. Analyysi B

Olkoon. M = (Q, Σ, δ, q 0, F)

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS

ANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen

Olkoon. äärellinen automaatti. Laajennetaan M:n siirtymäfunktio yksittäisistä syötemerkeistä merkkijonoihin: jos q Q, x Σ, merkitään

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat. 1.2 Jonot. jossa

Analyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto

Integraalilaskennasta lukiossa ja lukion oppikirjasarjoissa

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat. 1.2 Jonot. jossa

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille P

Säännöllisten operaattoreiden täydentäviä muistiinpanoja

1 Jonot. 2 Sarjat. 3 Jatkuvuus. 4 Derivaatta. 5 Taylor-polynomit ja -sarjat. 1.2 Jonot. jossa

Matematiikan tukikurssi

Transkriptio:

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 20, 2017 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A010{2,3,4,5} Mtemtiikn j (SCI,ELEC*, systeeminlyysin ENG*) litos) Differentili- jnovember integrlilskent 20, 20171 Luento 1 / 23 7: In

Suorkulmion pint-l Integrlilsku voidn tulkit eräiden pint-lojen lskemiseksi. Aluksi trkstelln umpinisten tsokäyrien rjmien lueiden pint-loj j pyritään ntmn pint-llle integrlien knnlt käyttökelpoinen määritelmä. Askel 1: Suorkulmion pint-l on knt korkeus: A = b. b Tässä ei ole vrsinisesti jteltu mitään mtemttisesti, vn on hyväksytty käyttökelpoisen määritelmänä. Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A010{2,3,4,5} Mtemtiikn j (SCI,ELEC*, systeeminlyysin ENG*) litos) Differentili- jnovember integrlilskent 20, 20171 Luento 2 / 23 7: In

Suunnikkn pint-l Askel 2: Suunnikkn pint-l on knt korkeus: A = h. h Ajteltu, että pint-ln täytyy oll summutuv. Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A010{2,3,4,5} Mtemtiikn j (SCI,ELEC*, systeeminlyysin ENG*) litos) Differentili- jnovember integrlilskent 20, 20171 Luento 3 / 23 7: In

Kolmion pint-l Askel 3: Kolmion pint-l on A = 1 2 h. h Ajteltu, että yhdenmuotoisten kppleiden pint-lojen tulee oll smoj. Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A010{2,3,4,5} Mtemtiikn j (SCI,ELEC*, systeeminlyysin ENG*) litos) Differentili- jnovember integrlilskent 20, 20171 Luento 4 / 23 7: In

Monikulmio Monikulmio on tsolue, jot rj umpininen j itseään leikkmton murtoviiv. Murtoviiv koostuu peräkkäisistä jnoist, joille edellisen päätepiste = seurvn lkupiste. Se on umpininen, jos viimeisen päätepiste = ensimmäisen lkupiste. Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A010{2,3,4,5} Mtemtiikn j (SCI,ELEC*, systeeminlyysin ENG*) litos) Differentili- jnovember integrlilskent 20, 20171 Luento 5 / 23 7: In

Umpinisen monikulmion pint-l Askel 4: Monikulmion pint-l määritellään jkmll monikulmio kolmioihin (= monikulmion kolmiointi) j lskemll kolmioiden pint-lojen summ. Luse: Kolmioiden pint-lojen summ ei riipu kolmioinnin vlinnst. Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A010{2,3,4,5} Mtemtiikn j (SCI,ELEC*, systeeminlyysin ENG*) litos) Differentili- jnovember integrlilskent 20, 20171 Luento 6 / 23 7: In

Yleisen tsojoukon pint-l likimäärin Askel 5: Muodostetn rjoitetulle tsolueelle D sisämonikulmioit M s j ulkomonikulmioit M u : M s D M u. Monikulmioille pätee A(M s ) A(M u ) seuruksen siitä, että sm on tott sisäkkäisille kolmioille. Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A010{2,3,4,5} Mtemtiikn j (SCI,ELEC*, systeeminlyysin ENG*) litos) Differentili- jnovember integrlilskent 20, 20171 Luento 7 / 23 7: In

Pint-ln määritelmä Määritelmä Rjoitetull tsojoukoll D on pint-l, jos jokist ε > 0 vst sisämonikulmio M s j ulkomonikulmio M u, joiden pint-lojen erotus on pienempi kuin ε: A(M u ) A(M s ) < ε. Tällöin kikkien lukujen A(M s ) j A(M u ) välissä on yksikäsitteinen reliluku A(D), jot kutsutn joukon D pint-lksi. Yllätys: Vikk joukon D reun olisi jop jtkuv umpininen tsokäyrä, ei sillä in ole pint-l! Reunkäyrä voi oll niin kiemurtelev, että sen pint-l > 0. Ensimmäinen esimerkki [W.F. Osgood, 1903]. Sitten on rjoitettuj joukkoj D, joiden reun ei edes ole jtkuv tsokäyrä. Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A010{2,3,4,5} Mtemtiikn j (SCI,ELEC*, systeeminlyysin ENG*) litos) Differentili- jnovember integrlilskent 20, 20171 Luento 8 / 23 7: In

Määrätty integrli I Olkoon f : [, b] R sellinen, että f (x) 0 kikill x [, b]. Kuink suuren pint-ln A käyrä y = f (x) rj yhdessä x-kselin knss välillä [, b], joss jtelln < b? y y = f (x) A = b f(x) dx b x Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A010{2,3,4,5} Mtemtiikn j (SCI,ELEC*, systeeminlyysin ENG*) litos) Differentili- jnovember integrlilskent 20, 20171 Luento 9 / 23 7: In

Määrätty integrli II Kutsumme tätä pint-l A (jos se on ylipäätään olemss) määrätyksi integrliksi A = f (x) dx Määrätty integrli on siis reliluku (ei funktio). Myöhemmin hvitn, että ehto f (x) 0 ei trvit linkn. x-kselin lpuolelle jäävä pint-l voidn ymmärtää negtiivisen. Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A010{2,3,4,5} Mtemtiikn j (SCI,ELEC*, systeeminlyysin ENG*) litos) Differentili- j November integrlilskent 20, 2017 1 Luento 10 / 23 7: In

Määrätty integrli III Tällä kurssill integrli määritellään kikille ploittin jtkuville funktioille. Ploittinen jtkuvuus trksti hetken päästä. Yleisemmin integrli voidn tutki myös rjoitettujen funktioiden tpuksess, jolloin puhutn Riemnn-integrlist. Ploittin jtkuvt funktiot ovt Riemnn-integroituvi kuten hetken päästä määritellään. Ikävä kyllä, kikki rjoitetut funktiot eivät ole Riemnn-integroituvi. Tämä hnkloitt yleisen tpuksen käsittelyä. Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A010{2,3,4,5} Mtemtiikn j (SCI,ELEC*, systeeminlyysin ENG*) litos) Differentili- j November integrlilskent 20, 2017 1 Luento 11 / 23 7: In

Jtkuvn funktion integrli I Olkoon f : [, b] R jtkuv, joss < b. Välin [, b] jkoon eli ositukseen = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b liittyy sitä vstv funktion f yläsumm S = j lsumm s = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f (x) x k 1 x x k } k=1 n m k (x k x k 1 ), m k = min{f (x) x k 1 x x k }. k=1 Nämä ovt positiivisen funktion tpuksess erään ulko- j sisämonikulmion (= pylväsdigrmmit) pint-loj. Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A010{2,3,4,5} Mtemtiikn j (SCI,ELEC*, systeeminlyysin ENG*) litos) Differentili- j November integrlilskent 20, 2017 1 Luento 12 / 23 7: In

Jtkuvn funktion integrli II y y y = f ( x) y = f (x) b x b x Punisten pylväiden pint-lojen summ on (tsvälistä jko vstv) yläsumm S vsemmnpuoleisess kuvss j lsumm s oikenpuoleisess kuvss. Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A010{2,3,4,5} Mtemtiikn j (SCI,ELEC*, systeeminlyysin ENG*) litos) Differentili- j November integrlilskent 20, 2017 1 Luento 13 / 23 7: In

Ominisuuksi Ain pätee: (i) Kun jkopisteitä lisätään (snotn: jko tihennetään), niin s ksv j S pienenee; (ii) s S, vikk ne lskettisiin eri jkopisteillä. Perustelu: (i) Kuviost (ti muull tvoin) nähdään, miten l- j yläsumm muuttuvt, kun lisätään yksi jkopiste. Piirrä! (ii) Jos ylä- j lsummn lskemiseen käytetään smoj jkopisteitä, niin väite on selvä, kosk m k M k kikill k. Jos jkopisteet eivät ole smt, niin trkstelln tihennettyä jko ottmll mukn molempien jkojen kikki pisteet. Tämän jälkeen väite seur kohdst (i). Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A010{2,3,4,5} Mtemtiikn j (SCI,ELEC*, systeeminlyysin ENG*) litos) Differentili- j November integrlilskent 20, 2017 1 Luento 14 / 23 7: In

Integrlin määritelmä Määritelmä Positiivinen funktio f on Riemnn-integroituv välillä [, b], jos jokist ε > 0 vst sellinen jko, joss S s < ε. Funktion f integrli I R on tällöin se yksikäsitteinen luku, jolle s I S kikiss joiss; merkitään f (x) dx = I. Positiivisen funktion tpuksess tämä vst täsmälleen sitä vtimust, että jkoihin liittyvien pylväsdigrmmien vull lsketut ulkoj sisämonikulmioiden pint-lt sdn mielivltisen lähelle toisin, kun jko tihennetään riittävästi. Mikä tulee ongelmksi, jos funktio ei olekn positiivinen? Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A010{2,3,4,5} Mtemtiikn j (SCI,ELEC*, systeeminlyysin ENG*) litos) Differentili- j November integrlilskent 20, 2017 1 Luento 15 / 23 7: In

Sopimuksi I Olkoon f : [, b] R funktio, joss < b j f (x) 0. Ljennetn integrlimerkin käyttöä tekemällä seurvt sopimukset: b f (x) dx = 0, f (x) dx = ( f (x)) dx = f (x) dx, f (x) dx. Viimeinen sopimus mhdollist negtiivisten funktioiden integroimisen. Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A010{2,3,4,5} Mtemtiikn j (SCI,ELEC*, systeeminlyysin ENG*) litos) Differentili- j November integrlilskent 20, 2017 1 Luento 16 / 23 7: In

Sopimuksi II Näiden sopimusten nojll pätee f (x) dx = c f (x) dx + f (x) dx c kikill, b, c järjestyksestä riippumtt Piirrä kuvio!. Lisäksi voimme integroid sekä positiivisi että negtiivisi rvoj svuttvi funktiot määrittelemällä f (x) dx = f + (x) dx + f (x) dx joss f + (x) = mx(f (x), 0) j f (x) = min(f (x), 0). Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A010{2,3,4,5} Mtemtiikn j (SCI,ELEC*, systeeminlyysin ENG*) litos) Differentili- j November integrlilskent 20, 2017 1 Luento 17 / 23 7: In

Riemnn-integroituvuus Luse Integrli on määritelty kikille jtkuville funktioille j se voidn lske rj-rvon n f (x) dx = lim f (x k ) x n k=1 käyttämällä tsvälisiä jkopisteitä x k = + k x, joss x = (b )/n on skelpituus j 0 k n. Yleisemmin: Edellisessä summss rvon f (x k ) tilll voi oll mikä thns rvo f (z k ), kun x k 1 z k x k, eikä jon trvitse oll tsvälinen. Aino vtimus: Jkovälien mx-pituus 0, kun n. Tässä tpuksess puhutn integrlin lskemisest Riemnnin summien vull. Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A010{2,3,4,5} Mtemtiikn j (SCI,ELEC*, systeeminlyysin ENG*) litos) Differentili- j November integrlilskent 20, 2017 1 Luento 18 / 23 7: In

Ploittin jtkuv funktio Määritelmä Funktio f : [, b] R on ploittin jtkuv, jos sillä on vin äärellinen määrä epäjtkuvuuskohti c 1 < c 2 < < c m b, joiss kikiss toispuoliset rj-rvot ovt olemss j äärellisiä (ts. ± ei sllit). Määritelmästä seur, että jokisell yksittäisellä välillä [c k 1, c k ] funktio f voidn muokt jtkuvksi muuttmll päätepistervoiksi ko. toispuoliset rj-rvot. Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A010{2,3,4,5} Mtemtiikn j (SCI,ELEC*, systeeminlyysin ENG*) litos) Differentili- j November integrlilskent 20, 2017 1 Luento 19 / 23 7: In

Integrlin yleistys Määritelmä Jos f : [, b] R on ploittin jtkuv, niin f (x) dx = m+1 k=1 ck c k 1 f (x) dx, kun käytetään edellisen sivun merkintöjä, c 0 =, c m+1 = b j f tulkitn jtkuvksi jokisell välillä [c k 1, c k ] erikseen. Käytännössä integrlin lskeminen täytyy tehdä usemmss osss yllä olevn kvn tpn myös silloin, kun funktio f on määritelty ploittin joko epäyhtenäisellä integroimislueell ti eri kvoin eri os-lueiss (jtkuvuudest riippumtt). Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A010{2,3,4,5} Mtemtiikn j (SCI,ELEC*, systeeminlyysin ENG*) litos) Differentili- j November integrlilskent 20, 2017 1 Luento 20 / 23 7: In

Integrlin ominisuuksi Ploittin jtkuvien funktioiden integrlille pätee Linerisuus: Jos c 1, c 2 R, niin ( c1 f (x) + c 2 g(x) ) dx = c 1 f (x) dx + c 2 g(x) dx. Positiivisuus: Jos h(x) 0 kikill x, niin Seurus: f (x) g(x) f (x) dx Erityisesti: Kosk ±f (x) f (x), niin ± f (x) dx f (x) dx h(x) dx 0. g(x) dx f (x) dx f (x) dx. Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A010{2,3,4,5} Mtemtiikn j (SCI,ELEC*, systeeminlyysin ENG*) litos) Differentili- j November integrlilskent 20, 2017 1 Luento 21 / 23 7: In

Integrlilskennn välirvoluse Luse Jos f : [, b] R on jtkuv, niin f (x) dx = f (c)(b ) jollkin c [, b], ts. f (c) = 1 f (x) dx = f = funktion f keskirvo välillä [, b]. b Perustelu: Tehdään tulull. Mihin trvitn jtkuvuutt? Riittäisikö ploittinen jtkuvuus? Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A010{2,3,4,5} Mtemtiikn j (SCI,ELEC*, systeeminlyysin ENG*) litos) Differentili- j November integrlilskent 20, 2017 1 Luento 22 / 23 7: In

Anlyysin perusluse Luse Anlyysin perusluse: Jos f : [, b] R on jtkuv, niin kikill x ], b[. d dx x f (t) dt = f (x) Perustelu: Tehdään tulull lähtien erotusosmäärästä. Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto, MS-A010{2,3,4,5} Mtemtiikn j (SCI,ELEC*, systeeminlyysin ENG*) litos) Differentili- j November integrlilskent 20, 2017 1 Luento 23 / 23 7: In