Luento 7 Luento 7 LTI järjestelmien taajuusalueen analyysi II 7. LTI järjestelmän taajuusvaste Vaste kompleksiselle eksponenttiherätteelle Taajuusvaste, Boden diagrammi 7.2 Signaalin muuntuminen LTI järjestelmässä Amplitudi ja vaihevaste Oppenheim 6. Signaalin vääristyminen, ryhmäkulkuaikaviive Oppenheim 6.2 7.3 Taajusvasteen tekijät 7.4 Stabiilisuusanalyysi taajuusalueessa
7. LTI-järjestelmän taajusvaste
LTI-järjestelmät u(t) h(t) y(t) Tarkastellaan lineaarista aikainvarianttia järjestelmää n n m m d d d d yt () an yt () ayt () bm ut () bm ut () but (), n m n n m m dt dt dt dt Käytetään pyörivää osoitinta herätteenä ut () i2 ft e ja arvataan, että vaste on muotoa yt 2 () H( f) e i ft 3
LTI-järjestelmät Sijoittamalla heräte sekä arvattu vaste differentiaaliyhtälöön saadaan i2 f a i2 f H( f) e b i2 f e m k bk i2 f k H( f) n n i2 f a i2 f l n m n l i2 ft k i2 ft l k l k k l Siirtofunktio Joten taajuudella f pyörivää osoitin generoi vasteeksi samalla taajuudella pyörivän osoittimen, jonka amplitudi ja vaihe ovat muuttuneet i2 ft i2 ft iarg H( f ) yt () H( f) e H( f) e 4
Tehtävä Mikä on järjestelmän d dt d dt 2 yt () a 2 yt () ayt () but () siirtofunktio H(f)? 5
LTI-järjestelmät Jos järjestelmä on stabiili U ( f ) h(t) <, niin mielivaltaisen herätteen u(t) tapauksessa vasteen y(t) Fouriermuunnos voidaan lausua siirtofunktion ja herätteen Fourier-muunnoksen avulla: Y( f) H( f) U( f) U(f) H(f) Y(f) 6
Tehtävä Ratkaise vasteen y(t) energiaspektri Y(f) 2 kun H(f) 2 h 2 - Hz Hz U(f) 2 u 2 -.5 Hz.5 Hz 7
Taajuusvaste Vasteen y(t) Fourier-muunnos: Y(f)=H(f)U(f) Vasteen y(t) spektritiheys saadaan impulssivasteen ja herätteen spektritiheyksien tulona: 2 2 2 Y( f) H( f) U( f) U( f) 2 Y( f) 2 H ( f ) 2 H( f) 2 Tehonsiirtofunktio Järjestelmä suodattaa signaalia u(t) 8
Esimerkki. (/4) Tarkastellaan RC-suodinta ~ it () d R it () C y() t dt ut () C yt () ut () Rit () y() t d y () t u () t y () t dt RC Impulssivaste d ht () () t ht () dt RC i2 fh ( f ) H ( f ) RC H( f) RC i2 f RC i2 f RC RC t RC ht () F RC e 9
Esimerkki. Tarkastellaan T:n mittaista jännitepulssia u in (t), jonka amplitudi on A. T t ut ( ) Arect 2 T RC-suodattimen impulssivaste h(t)=/e -t/, =RC Ratkaistaan suodattimen ulostulo y(t) A T
Esimerkki. Viivästetyn pulssin Fourier-muunnos T t 2 i2 2 2 e U( f) F u( t) FArect ATsinc( ft) e A T i2 f i F x( t ) X( f) e T i ft 2 f Impulssivasteen Fourier-muunnos t H( f) Fh( t) F e i2 f t F Arect ATsinc( ft ) T Suodatettu signaali i2 ft e Y ( f ) H ( f ) U ( f ) A H( f ) i2 f
Esimerkki Ulostulojänniteen Fourier-muunnos i2 Uout ( f) H( f) Uin( f) A H( f) e i2 f i2 ft X( f) X( f) e, X( f) A H( f) V ( f ) i2 f F v() t dt Ratkaistaan X(f):n käänteismuunnos i2 f t t t A e dt A e t xt () F X( f) F A H( f) i2 f t Ulostulojänniteen lausekkeeksi saadaan ft i ft out u t F U f F X f X f e x t x t T 2 out ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i2 ( ) V( f) e F v t f 2
Esimerkki. Suodatettu pulssi t t y() t Ae t T T t Ae e t T Y(f) T/= Y(f) T/=2 Y(f) T/=5 U(f) - -2-3 -3-2 - 2 3 3
Taajuusvaste Järjestelmän taajuusvaste saadaan syöttämällä sisään eri taajuisia sini-muotoisia signaaleja ja katsomalla kuinka niiden amplitudi ja vaihe muuttuvat kulkiessaan järjestelmän läpi. i2 ft i2 ft ut () cos2 ft e e 2 i2 ft * i2 ft yt () H( f) e H ( f) e 2 2 yt ( ) H( f) e H( f) e 2 2 y() t H( f)cos 2 ftarg H( f) i2 ftiarg( H( f )) i2 ftiarg( H( f )) Lineaarinen järjestelmä ei aiheuta taajuuden muuntumista. 4
Taajuusvaste Taajuusvaste on järjestelmän vaste sini-muotoiseen herätteeseen. Siirtofunktio Amplitudivaste (amplitudi funktio) A( f) H ( f ) Vaihevaste (vaihefunktio) ( f ) arg H( f) Vaiheviive (kantoaallon viive) [phase/carrier delay] Vaihesiirto vastaa aikatasossa signaalin viivästymistä jarg H( f ) j ( f ) H( f) H( f ) e A( f )e t d (f)=(f)/2f i2 ft F ( tt ) e d d 5
Boden käyrät Vahvistuskäyrä Tehonsiirtofunktio logaritmi kulmataajuuden =2 f (rad/s) funktiona 2 log ( H(/(2)) ) Vaihekäyrä Vaihevaste asteina (f) 8/() kulmataajuuden =2 f (rad/s) funktiona (/(2)) Magnitude (db) Phase (deg) Bode Diagram - -2-3 -4-45 -9-2 - 2 Frequency (rad/sec) 6
7.2 Signaalin muuntuminen LTIjärjestelmässä
Amplitudi- ja vaihevääristymät Halutaan siirtää signaali u(t) järjestelmän läpi, ilman että signaalin muoto vääristyy. Ideaalitapauksessa y(t)=a u(t- d ), missä a> on vakio Tätä vastaa taajuusvaste Y(f)=a U(f) e -i2f d Tällöin järjestelmän siirtofunktion pitää olla vakio H(f)=a e -i2f koko signaalin u(t) kaistalla Käytännössä näin ei tapahdu, vaan signaali vääristyy Amplitudivääristymä: A(f) A Vaihevääristymä: (f) 2f 8
Vaiheviive ja ryhmäkulkuaika Vaiheviive Yksittäisen taajuuskomponentin näkemä viive. Toisin sanoen siirtofunktion vaiheensiirto kyseisellä taajuudella. td ( f) ( f) 2 f Ryhmäkulkuaika d tg ( f) ( f) 2 df kuvaa vaiheen muutosta taajuuden funktiona. Ideaalisessa tapauksessa t g on taajuudesta riippumaton vakio. 9
Vaihevääristymä Vaihevääristymä kaistanpäästösignaalille u(t) kaistalla (f c -B/2, f c +B/2), t max t f t f g g g c f f B 2, f B 2 f c f d 2t f f c g f c kantoaallon taajuus Vaiheen muutos taajuuden muutoksen suhteen 2
Vaihevääristymät Tarkastellaan lineaarisesti moduloitua signaalia, jonka kaistanleveys on B ut () xt ()cos2 fct U ( f ) X ( f fc) X ( f fc) 2 2 Signaali kulkee kanavan (järjestelmän) läpi. Kanavan siirtofunktio on i2 fg sgn f H( f) ae A( f) a Amplitudivaste ( f) 2 fg, Vaiheviive t d( f) g 2 f Ryhmäviive f Vaihevaste t d( f ) ( f ) 2 df ELEC-A72 g Signaalit ja järjestelmät g 5 op 2
Vaihevääristymät Ulostulosignaali taajuustasossa i2 f i i2 f i Y( f) H( f) U( f) X( f fc) ae ax( f fc) e 2 2 i ja aikatasossa F cos 2 f t f f e f f e yt () axt ( )cos 2 f t g c d d y() t ax( t )cos 2 f tt f g c d c d d d d c c c d g 2 i Ryhmäviive Vaiheviive / kantoaallon viive 22
Vaihevääristymät Pelkkä vakio vaiheensiirto voi aiheuttaa signaalin vääristymistä. 4 4 2 2 x(t) u(t) -2-2 -4 5 t -4 5 t 4 4 2 2 x(t- g ) y(t) -2-2 -4 5-4 5 t Aalto-yliopisto yt () xt ( )cos Tietoliikenne- 2 ja g fc td 23
Demodulaatio Koherentti demodulaattori: Kanavan vaiheensiirto tunnetaan y() t ax( t )cos 2 f tt f g c d c Superheterodyne vastaanotin yt ˆ( ) yt ()cos 2 ft ax t f t 2 ( g)cos 2 ax( t g) cos22f ct 2 c c Vaiheensiirto estimoidaan Korkeat taajuudet suodatetaan 24
Esimerkki 2. (/4) Tarkastellaan RC-suodinta in () ~ it () d R it () C uout () t dt u t C u () t out u () t Ri() t u () t in out d u () t out u in() t u out () t dt RC Impulssivaste d ht () () t ht () dt RC i2 fh ( f ) H ( f ) RC H( f) RC i2 f RC RC t RC RC ht F e () i2 f RC 25
Esimerkki 2. (2/4) Jos RC=, niin h(t) Bode Diagram A( f) Magnitude (db) - -2-3 ( f ) arg H ( f) arctan(2 f) Phase (deg) -4-45 -9-2 - 2 Frequency (rad/sec) 2 f 26
Esimerkki 2. (3/4) Ryhmäviive d d tg ( f) ( f) arctan(2 f) 2 df 2 df 2 f 2 Ryhmäviive on lähes vakio tällä kaistalla..9.8.7.6 d df arctan( x) x 2.5.4.3.2. -3-2 - 27
Esimerkki 2 (3/4) Kanttipulssi kulkee suodattimen läpi.9.8.7.6.5.4.3.2. -3-2 - f.9.8.7.6.5.4.3.2. T= T= T=.2.4.6.8.2.4.6.8 2 t/t / / / 28
Esimerkki 3 2. asteen suodatin H( f) 2 2 i2 f 2 i2 f 29
7.3 Taajusvasteen tekijät
Taajuusvasteen tekijät Taajuustasossa osoittajan tekijöiden itseisarvot kerrotaan keskenään ja ne jaetaan nimittäjän tekijöiden itseisarvoilla. Osoittajan tekijöiden napakulmat lasketaan yhteen ja niistä vähennetään nimittäjän tekijöiden napakulmat. s-tason siirtofunktio sa i2 f a Gs () Gi (2 f) G( f) ( s b)( sc) ( i2 f b)( i2 f c) 2 2 i2 f a i2 f a ( ) 2 2 2 2 G( f) i2 f a i2 f b i2 f c Gf i f bi f c i f b i f c f-tason siirtofunktio 2 2 2 2 kompleksi luvun kulma (arg) 3
Taajuusvasteen tekijät Tehonsiirtofunktio esitetään usein desibeleinä pp p p p 2 log log log 2 log 3 p3 2 Gf Gf log ( ) 2log ( ) i2 f a 2log Gf ( ) 2log i2 f bi2 f c 2 log i2 f a log i2 f b log i2 f c 32
Taajuusvasteen tekijät Desibelin yksikkö db on suhteellinen yksikkö Tehonsiirron tapauksessa yksikkö on dbw (db verrattuna W.iin) dbm (db verrattuna mw:iin) dbp (db verrattuna pw:iin) dbf (db verrattuna fw:iin) mw 3 W 3 W log 3 log dbw W 3dBW 2mW.2W.2W 2mW log log 3 W mw log 2 dbm 23 dbm.2w log log 2dBW 7 dbw W 33
Taajuusvasteen tekijät Jännitesignaalin tapauksessa amplitudivasteen G(f) :n yksikkö on volttia V dbv (db verrattuna V:iin) dbmv(db verrattuna mv:iin) log ( G(f) ) dbv mutta 2log ( G(f) ) dbw 34
Vakiokerroin Siirtofunktio on reaalinen ja vakio G( f) G2( f) K G( f), G2( f) rad =-8 Im Im K Re -K Re 2lgK Boden vahvistuskäyrä deg Boden vaihekäyrä 2 f Boden vahvistuskäyrä 2lgK deg Boden vaihekäyrä -8 35
Integraattori ja derivaattori G ( f) i2 f G2 ( f) i i2 f 2 f G( f) 2 f, G2( f) 2 f G( j), G2( j) 2 2 Derivaattorin siirtofunktio Integraattorin siirtofunktio rad = -9 j -j Boden vahvistuskäyrä deg Boden vaihekäyrä 2dB/dek 9 Im Im Re Re Boden vahvistuskäyrä -2dB/dek deg Boden vaihekäyrä -9 36
Viive Viive aikatasossa vastaa vaihesiirtoa taajuustasossa Gf ( ) e i2 f cos(2 f) jsin(2 f) Gf f f 2 2 ( ) cos (2 ) sin (2 ) Im sin(2 f) Gf ( ) arctan arctantan(2 f) 2 f cos(2 f) Re Boden vahvistuskäyrä deg Boden vaihekäyrä 37
Ensimmäisen kertaluvun termit. kertaluvun siirtofunktiot G ( f) i2 ft, T G2 ( f) i2 ft Approksimaatio Boden diagrammille Boden vahvistuskäyrä deg Boden vaihekäyrä 2dB/dek 9 /T./T /T Boden vahvistuskäyrä deg Boden vaihekäyrä /T -2dB/dek./T /T -9 38
Ensimmäisen kertaluvun termit. kertaluvun järjestelmän Boden kuvaaja G2 ( f) i2 f Bode Diagram Magnitude (db) - -2-3 -4 Phase (deg) -45-9 -2-2 Frequency (rad/sec) 39
Tehtävä Hahmottele signaalin Boden diagrammi Gf ( ) i2 f. i2 f G ( f) i2 ft, T G2 ( f) i2 ft Boden vahvistuskäyrä 2dB/dek deg 9 /T Boden vahvistuskäyrä deg /T -2dB/dek -9 Boden vaihekäyrä./t /T Boden vaihekäyrä./t /T 4
Gf ( ) i2 f. i2 f Bode Diagram Magnitude (db) -5 - -5-2 Phase (deg) -3-6 -2-2 3 Frequency (rad/sec) 4
Toisen kertaluvun termit Toisenkertaluvun siirtofunktio 2 2 n n Gs () G( f) 2 2 2 2 s 2 s 2 f i 2 f 2 2 n n n n 2 Resonanssitaajuus: r n 2 ( 2 f ) 2 ( 2 f ) j n n Boden vahvistuskäyrä (=) n -4 db/dec Boden vaihekäyrä (=). n -8 n 42
Toisen kertaluvun termit w=; w=logspace(-,,); zeta=.:.:; for k=:length(zeta) sys{k}=tf([ w^2],[ 2*zeta(k)*w w^2]); [mag(k,:),pha(k,:)]=bode(sys{k},w); end; subplot(2,,) semilogx(w/w,2*log(mag)) xlabel('\omega/\omega_') ylabel('db') subplot(2,,2) semilogx(w/w,pha,w/w,- 8*ones(size(w)),'k--') xlabel('\omega/\omega_') ylabel('deg') db deg 2-2 -4-6 - -5 - -5-8 / -2 - /.. 43
Fraktaaliset järjestelmät Fraktaalinen järjestelmä: Asteluku voi olla mikä hyvänsä reaaliluku. Esim. Anomaalinen diffuusio (Anomalous diffusion), aallon kulkeminen monimutkaisessa väliaineessa kuten kudoksessa jne. cxt (,) K cxt (,),, 2 t x Fourier muunnos t 2 () i ft fte dt i2 f F f Taajuusalueen käyttäytyminen G( f) i2 f Hong Guang Sun, Wen Chen, Yang Quan Chen, Variable-order fractional differential operators in Anamalous diffusion modeling, Physics A, pp. 4586-4592, 29. -2 db/dec 44
7.4 Stabiilisuusanalyysi taajuusalueessa
Stabiilisuus Tarkastellaan stabiilin järjestelmää i H( f) A( f) e ( f ) U( f ) Y( f) H(f) Tarkastellaan sini-muotoista herätettä H( f) A( f) e ut () cos 2 f i ( f ) yt ( ) A( f)cos 2 f( f) 46
Stabiilisuus Myötäkytkentä U( f ) + H(f) - E( f ) E( f) U( f) H( f) U( f) et ( ) cos 2 f A( f)cos 2 f ( f) Jos vaihesiirtoa on 8 erosignaali e(t) interferoi konstruktiivisesti (merkki vaihtuu) et () A( f) cos 2 f et () ut () 47
Stabiilisuus Tehdään negatiivinen takaisinkytkentä E ( f ) + - H(f) U ( f ) Y ( f ) E( f) U( f) Y( f) Y( f) H( f) E( f) H( f) Y( f) U( f) H( f) Jos järjestelmän H vaihesiirto on -8, niin signaaliin u(t) summautuu se itse A(f):llä skaalattuna rekursiivisesti e () t u() t et () Afe ( ) () tut () ( Af ( ) ) ut () 2 2() ( ) 2() () ( ( ) ( ) ) () k k k () ( ( ) ( )... ( ) ) () e t A f e t u t A f A f ut e t A f A f A f u t Summa +A(f)+A(f) 2 +.. konvergoi arvoon /(+A(f)), jos A(f)<, jolloin y(t)=a(f)e(t) pysyy rajoitettuna 48
Stabiilisuus kriteeri Sillä taajuudella, jolla vaihe leikkaa -8 vahvistuksen pitää olla 2log(A(f))< db Vahvistusvara: Kuinkapaljon vahvistusta voidaan kasvattaa ennen kuin takaisinkytketystä db järjestelmästä tulee epästabiili Vaihevara: Kuinkapaljon vaihetta voidaan jätättää ennen kuin järjestelmästä tulee epästabiili Boden vahvistuskäyrä Vahvistusvara -8 Vaihevara 49
Esimerkki 3. Ensimmäisenkertaluvun systeemi voidaan tulkita takaisinkytketyksi integraaliksi K K i2 f H( f) Gf ( ) i2 f K K H( f) i2 f Avoimen silmukan siirtofunktio H( f) K i 2 f 5
Esimerkki 3. Jos K< se vastaa -8 vaihesiirtoa ja 2log( K ) vahvistusta Jos K> se vastaa vaihesiirtoa ja 2log( K ) vahvistusta K > K < -8 K> K< Jos K< vaihe on -27 kaikilla f, koska H(f) f, ei takaisinkytketty järjestelmä ole stabiili Jos K> vaihe on -9 kaikilla f, joten takaisinkytketty järjestelmä on stabiili 5
Esimerkki 4. Tarkastellaan 3. kertaluvun suodatinta H( f) K i f 2 2 Uf ( ) Ef ( ) Y( f) + - H(f) Ratkaistaan suurin mahdollinen K:n arvo, jolla takaisinkytketty järjestelmä on stabiili 52
Esimerkki 4 Boden diagrammi -2 Bode Diagram Vahvistusvara ¼ 6 db Magnitude (db) -4-6 -8 - -2 Phase (deg) -9-8 -27-2 - 2 Frequency (rad/sec) 6 2 6 2log( K) K 6.3 53