1. Dirichlet n periaatteesta 1.1. Periaate I. Dirichlet n periaate pohjautuu fysikaaliseen minimienergiaperiaatteeseen ja luo pohjaa osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ja variaatiolaskennan välille). Yksinkertaisesti ilmaistuna: ns. Dirichlet n integraalin Du) = u dx, minimoivat funktiot toteuttavat Laplace-yhtälön u =, ja kääntäen. Täsmennetään ja rajataan tilannetta) hieman. Olkoon R n rajoitettu alue, jonka reuna on sileä niin, että voidaan soveltaa divergenssilausetta). Olkoon f : R annettu jatkuva funktio. Olkoot A f = {U C ) U = f} ja A = {U C ) U = }. Tarkoitus on löytää funktio u A f siten, että Du) = inf U A f DU). Tarkemmin: Tarkoitus on osoittaa seuraavat minimointitehtävä ja Dirichlet n tehtävä keskenään yhtäpitäviksi: } u A f ja { u Af ja Du) = inf DU) U A f u = Oletetaan aluksi, että minimointitehtävällä on ratkaisu u A f. Tällöin kaikille v A ja t R on u + tv A f, joten Du + tv) Du). Siis funktio t Du + tv) saavuttaa pienimmän arvonsa hetkellä t =. Lasketaan tämän funktion derivaatta: Koska Du + tv) = u + t v dx = u dx + t u v dx + t v dx = Du) + t u v dx + t Dv), niin d Du + tv) = u v dx + tdv). dt Erityisesti siis hetkellä t = on u v dx = kaikille v A. Divergenssilauseen tai ensimmäisen Greenin kaavan) nojalla u v dx = u v dx + ν u v ds. 19 Viimeksi muutettu 3.11.6. Dirichlet n periaatteen historiasta: A. F. Monna: Dirichlet s principle. A mathematical comedy of errors and its influence on the development of analysis, Oosthoek, 1975. 88
1. DIRICHLET N PERIAATTEESTA 89 Koska v = reunalla, häviää reunaintegraali, joten u v dx = kaikille v A. Tästä on melko helppo osoittaa, että u =. Oletetaan kääntäen, että u A f ja u =. Olkoon ũ A f mielivaltainen. Tällöin funktiolle v := u ũ on v A ja ũ = u+v. Jälleen divergenssilauseen avulla u v dx = u v dx + ν u v ds = u v dx. Oletuksen mukaan u =, joten u v dx =. Kuten edellä, on Dirichlet n integraalille Dũ) = Du + v) = Du) + u v dx + Dv) = Du) + Dv) Du). Siis u minimoi Dirichlet n integraalin joukossa A f. Funktioluokka C ) on Dirichlet n integraaliin liittyen turhan suppea. Loogisemmin integraaliin liittyy joukko {U C 1 ) DU) < ja U = f}. Tarkastellaan myöhemmin tätä tapausta, kun on tason origokeskinen yksikköympyrä. 1.. Periaate II. Kirjaa [7, Ch. 4] seuraten.) Olkoot, f : R, A f ja A kuten edellä. Oletetaan, että on olemassa ϕ C ) siten, että ϕ = f. Tällöin Laplaceyhtälön epähomogeenisiin reuna-arvoihin liittyvä Dirichlet n tehtävä u A f ja u = ja Poissonin yhtälön homogeenisiin reuna-arvoihin liittyvä Dirichlet n tehtävä v A ja v = ϕ ovat keskenään yhtäpitävät tehtävät. Nimittäin, jos u A f ja u =, niin funktiolle v = u ϕ on v C ), v = u ϕ = ϕ ja v = u ϕ = f f =. Kääntäen, jos v A ja u = ϕ, niin funktiolle u = v + ϕ on u C ), u = v + ϕ = ϕ + ϕ = ja u = v + ϕ = + f = f. Poissonin yhtälöön liittyy seuraava minimointiongelma: on määrättävä funktio ) u A siten, että Du) g u dx = inf DU) g U dx. U A Tässä g : R on annettu jatkuva funktio. Huomaa, että nyt ei ole itsestään selvää, että tarkasteltava funktio on alaspäin rajoitettu. Oletetaan aluksi, että minimimointitehtävällä on ratkaisu u A. Nyt u+tv A kaikille v A ja t R, joten = d ) Du + tv) gu + tv) dx = u v dx gv dx. dt t=
1. DIRICHLET N PERIAATTEESTA 9 Divergenssilauseen nojalla tämä ehto voidaan kirjoittaa muotoon = u v dx gv dx = u v dx + ν u v ds = u v dx gv dx = u + g) v dx. gv dx Tästä seuraa, että u + g =. Siis u on seuraavan reuna-arvotehtävä ratkaisu { u = g :ssa, ja ux) = reunalla. Oletetaan kääntäen, että u A ja u = g. Merkitään F U) = DU) g U dx, kun U A. Nyt kaikille v A on F u + v) = Du) + u v dx + Dv) gu dx gv dx. Divergenssilauseen nojalla u v dx = Siis F u + v) = Du) = Du) + Dv) u v dx + u v dx + Dv) ν u v ds = u v dx. gu dx Du) Siis u minimoi funktionaali)n F joukossa A. Yhteenvetona: u A ja ) Du) g u dx = inf DU) g U dx U A gu dx gv dx gu dx = F u). { u A ja u = g Dirichlet n periaatteen tämän version hyvä puoli on, että tämä voidaan helposti laajentaa Sobolev-avaruuksien funktioille. Dirichlet n periaatteen ja Sobolev-avaruuksien yhteys puolestaan on se, että Sobolev-avaruuksille minimin olemassaolo on suhteellisen helppo todistaa. 1.3. Periaate III. Kirjaa [4,.E,.B] seuraten.) Olkoon R n rajoitettu alue, jonka reuna on riittävän sileä. Funktioille u, v C 1 ) asetetaan Du) = u dx ja Iu, v) = u v dx. Kuvaus 1, : u ) 1/ Du) + u dx
1. DIRICHLET N PERIAATTEESTA 91 on normi vektoriavaruudessa C 1 ). Olkoon H 1 ) vektoriavaruuden C 1 ) täydentymä tämän normin suhteen. [Avaruus H 1 ) on tavallinen Sobolevin avaruus W 1, ); reunan sileyttä tarvitaan siihen, että C 1 ) on tiheä Sobolevin avaruuden W 1, ) = H 1 ) aliavaruus.] Olkoon H) 1 aliavaruuden Cc ) sulkeuma H 1 ):ssa. Sobolevin avaruudessa Dirichlet n reuna-arvotehtävä { u = :ssa, ja ux) = fx) reunalla, voidaan tulkita esimerkiksi seuraavaksi ongelmaksi: Olkoon f H 1 ) annettu funktio. On määrättävä funktio u H 1 ) siten, että u on harmoninen :ssa ja u f H 1 ). Tässä viimeinen ehto tulkitaan reunaehdoksi u f = reunalla. Lause 1.1. Funktio u H 1 ) on harmoninen :ssa, jos ja vain jos u on kohtisuorassa aliavaruutta H 1 ) vastaan bilineaarimuodon I suhteen, t.s. Iu, v) = kaikille v H 1 ). Todistusidea). Divergenssilauseen nojalla kaikille u C 1 ) ja v Cc ) on u v dx = u v dx + ν u v ds = Iu, v). Koska yhtälön molemmat puolet ovat u:n jatkuvia lineaarimuotoja H 1 )-normin suhteen, pätee identiteetti myös kaikille u H 1 ) ja v Cc ). Siis u on harmoninen :ssa 1) u on yhtälön u = heikko ratkaisu :ssa u v dx = kaikille v Cc ) ) 3) Iu, v) = kaikille v C c ) 4) Iu, v) = kaikille v H 1 ). Perusteluja: 1) Weylin lemma seuraavana); ) heikon ratkaisun määritelmä; 3) edellä todettu divergenssilauseen seuraus; 4) kun u H 1 ) on v Iu, v) jatkuva H 1 )-normin suhteen. Väite seuraa y.o. ketjusta. Lause 1. Weylin lemma 1 ). Olkoon u L 1 loc ) yhtälön u = heikko ratkaisu, t.s. u v dx = kaikille v Cc ). Tällöin u C ) ja u =. 1 Hermann Weyl: The method of orthogonal projection in potential theory, Duke Math. J. 7, 194. Sobolevin avaruudet ovat peräisin vain paria vuotta aiemmin ilmestyneestä artikkelista Sergei) [Lvovitš)] Sobolev: Sur un théorème d analyse fonctionelle, Math. Sbornik 4 46), 1938 venäjäksi).
1. DIRICHLET N PERIAATTEESTA 9 Todistusidea). Konvoluutiota ja silottamista tunteville.) Valitaan ϕ Cc B, 1)) siten, että ϕx) dx = 1. R n Kaikille ε > asetetaan ϕ ε x) = ε n ϕx/ε) ja ϕ ε x) = ϕ ε x). Asetetaan vielä ε = {x R n Bx, ε) }. Nyt kaikille ψ Cc ε ) on ϕ ε ψ Cc ) ja u ϕ ε C ε ), joten u ϕ ε ) ψ dx = u ϕ ε ) ψ dx = u ϕ ε ψ)) dx = u ϕ ε ψ) dx =. Tästä seuraa, että u ϕ ε ) = joukossa ε. Keskiarvo-ominaisuuden nojalla kaikille x ε ja riittävän pienille r > on u ϕ ε )x) = 1 u ϕ ω n r n ε )x + y) dy. B,r) Koska u L 1 loc ), on kaikille :n kompakteille osajoukoille K voimassa u ϕ ε u L 1 K):ssa. Keskiarvo-ominaisuudesta seuraa, että u ϕ ε u lokaalisti tasaisesti :ssa. Keskiarvo-ominaisuuden käänteislauseen nojalla u on harmoninen. Funktiot u H 1 ), joille Du) =, ovat vakiofunktioita ja muodostavat H 1 ):n suljetun aliavaruuden. Olkoon tämän ortogonaalikomplementti E. Vaikka u Du) ei ole normi avaruudessa H 1 ), voidaan Hilbertin avaruuksien teoriaa soveltaa H 1 ):n suljettuun aliavaruuteen E. Tällöin u, v) Iu, v) on sisätulo E:ssä, ja H 1 ) E. Projektiolauseen nojalla jokainen f E voidaan esittää muodossa f = u + w, missä w H 1 ) ja u on sisätulon I mielessä kohtisuorassa aliavaruutta H 1 ) vastaan. Edellisten lauseiden nojalla u on harmoninen. Koska myös vakiofunktiot ovat harmonisia, voidaan jokainen f H 1 ) esittää muodossa f = u + w, missä w H 1 ) ja u on harmoninen. Muistettakoon, että ortogonaaliprojektio voidaan karakterisoida myös etäisyyden minimoivana vektorina: Vektorin f E ortogonaaliprojektio suljetulle aliavaruudelle H 1 ) on vektori w H 1 ), jolle etäisyys Df w) on pienin mahdollinen. Ortogonaaliprojektiolauseen tulokset voidaan siirtää seuraavaksi lauseeksi: Lause 1.3 Dirichlet n periaate). Olkoot f, u H 1 ). Tällöin seuraavat ovat yhtäpitäviä: i) u on harmoninen ja f u H 1 ); ii) Du) Dv) kaikille v H 1 ), joille f v H 1 ); iii) Df u) Dv) kaikille v H 1 ), joille f v on harmoninen. Huomautus 1.4. Ortogonaaliprojektiolauseen hienous ei ole niinkään edellisessä karakterisaatiossa, vaan siinä, että se takaa jaon f = u + w, missä w H 1 ) ja u on harmoninen, olemassaolon. Siis H 1 ) = H H 1 ), missä H = {u H 1 ) C ) u on harmoninen}. Tässä summa on ortogonaalinen ei-definiitin sisätulon Iu, v) = u v dx suhteen.
1. DIRICHLET N PERIAATTEESTA 93 1.4. Yksikköympyrä. Esimerkki kirjasta [, Band I, IV.].) Olkoot B = {x, y) R x + y < 1} ja u ) u ) ) Du) = + dx dy, x y B kun u: B R on jatkuvasti derivoituva. Napakoordinaateissa r, θ) on, kun vr, θ) := ur cos θ, r sin θ), 1 π v ) 1 v ) ) Du) = Dv) = + r dr dθ. r r θ Olkoon reunalla S 1 = B annettu jatkuva funktio f, ja oletetaan, että f on esitetty Fourier n sarjana fθ) = a + a k cos kθ + b k sin kθ). Olkoon A f = {U C 1 B) CB) U S 1 = f}. Etsitään funktiota u A f, joka minimoi Dirichlet n integraalin Du) joukossa A f, t.s. u A f ja Du) = inf U A f DU). Esitetään funktio u napakoordinaattien ja Fourier n sarjojen avulla seuraavasti: Funktion vr, θ) Fourier n sarja muuttujan θ suhteen on vr, θ) = f r) + f k r) cos kθ + g k r) sin kθ), missä f k r) = 1 π π vr, θ) coskθ) dθ, g k r) = 1 π π vr, θ) sinkθ) dθ. Koska funktio θ v, θ) = u, ) on vakiofunktio, on f ) = u, ) ja f k ) = g k ) =, kun k 1. Jotta v1, θ) = fθ), pitää olla f k 1) = a k ja g k 1) = b k. Koska u on jatkuva suljetussa yksikköympyrässä B ja jatkuvasti derivoituva avoimessa ympyrässä B, ovat f k ja g k jatkuvia välillä [, 1] ja jatkuvasti derivoituvia välillä [, 1) jatkuvuus- ja derivointilemmat). Fubinin lauseen, Parsevalin kaavan ja monotonisen konvergenssin lauseen avulla saadaan Dv) = π + π 1 f r) r dr 1 f kr) ) + k r f kr) r dr + π 1 g kr) ) + k r g kr) r dr. Huomaa, että tässä voi olla Dv) =. Kaava pitää paikkansa myös tässä tapauksessa, mikä nähdään seuraavasti: Olkoon B ρ = {x, y) R x + y < ρ }, kun < ρ < 1. Koska u C 1 B) on u C 1 B ρ ), joten yllä oleva kaava pätee, kun integrointi ulotetaan välille r ρ. Kun ρ 1, saadaan yllä oleva kaava.
1. DIRICHLET N PERIAATTEESTA 94 Kirjoitetaan summissa esiintyvät integraalit k 1) 1 f kr) ) + k r f kr) r dr 1 = f kr) k ) 1 r f kr) r dr + k f kr)f k r) dr = = 1 1 f kr) k r f kr) ) 1 r dr + k f k r) f kr) k ) r f kr) r dr + ka Muista: f k ) = ja f k 1) = a k.) Vastaavasti 1 g kr) ) + k r g kr) r dr = 1 1 k g kr) k ) r g kr) r dr + kb Integraalille Dv) saadaan siis pienin arvo, kun 1 f r) r dr =, f kr) k ) 1 r f kr) r dr =, g kr) k kr)) r g r dr =. Nämä ehdot reunaehtojen f k 1) = a k ja g k 1) = b k kera) toteutuvat, kun f r) = vakio = a, f k r) = a k r k, g k r) = b k r k. Siis Dv) saa pienimmän arvonsa, kun ja tällöin vr, θ) = a + r k a k cos kθ + b k sin kθ), Dv) = π k a k + b k). Huomaa, että v:lle saatu sarja on sama, johon päädyttiin Poissonin integraalin yhteydessä kuinkas muuten!). Huomaa myös, että Dirichlet n integraali Dv) on äärellinen, jos reunafunktiolta f vaaditaan hieman enemmän kuin vain jatkuvuus. Jos oletetaan, että f on jatkuva, niin tällöin π f θ) dθ = π k a k + b k). Tässä käytetään apuna Parsevalin kaava, joka pätee myös kaikille L -funktioille. Ongelma: Mitä tapahtuu, jos reunafunktio f on vain jatkuva? k Esimerkiksi, olkoon a k = 1, kun k = p p, p = 1,,..., a k =, muuten, ja b k = kaikille k Z +.
Tällöin Kuitenkin sarja Du) = 1. DIRICHLET N PERIAATTEESTA 95 k a k + b k) = fθ) = a k cos kθ = suppenee tasaisesti, joten f on jatkuva. Alussa olleen nojalla jokaiselle u A f on Du) = Dv) = π π + π 1 f r) r dr + π 1 k a k + b k) 1 ) p =. p p=1 p=1 1 p cosp θ) 1 f kr) k kr)) r f r dr g kr) k ) r g kr) r dr + π k a k + b k) Siis DU) = kaikille U C 1 B) CB), joille U S 1 = f. Toisaalta, Dirichlet n tehtävällä { u = yksikköympyrässä B, ja ucos θ, sin θ) = fθ) ympyrän kehällä S 1, on yksikäsitteisesti määrätty ratkaisu u C B) CB) Poissonin integraalin avulla). Tässä siis Dirichlet n tehtävän ratkaisua ei loydetä Dirichlet n integraalin minimoivista funktioista. Huomautus 1.5. Edellä konstruoitu funktio on esimerkki ns. lakunaarisista Fourier n sarjoista. Kokonaislukujono λ k ) Z + on lakunaarinen, jos on olemassa vakio q > 1 siten, että λ k+1 > qλ k kaikille k Z +. Fourier n sarja α k cosλ k θ) + β k sinλ k θ)) on lakunaarinen, jos jono λ k ) on lakunaarinen. Kirjassa [1, V.1.] osoitetaan, että jos funktion f L 1, π) Fourier n sarja on lakunaarinen kosinisarja α k cosλ k θ), ja jos f on derivoituva jossakin pisteessä θ, niin α k λ k, kun k. Tästä seuraa erityisesti, että Weierstrassin funktio k cos k θ) ei ole derivoituva missään. Samoin edellä ollut reunafunktio f ei ole derivoituva missään. Huomautus 1.6. Jatkuvan funktion Fourier n sarja voi hajaantua melko isossakin joukossa. Ks. [38, II.4] esimerkki Banachin ja Steinhausin lauseen sovelluksista): Jos {θ j j N} [, π] on annettu joukko, niin on olemassa ylinumeroituva joukko P ja jatkuva, π-jaksoinen funktio f siten, että P {θ j j N} ja funktion f Fourier n sarja hajaantuu jokaisessa joukon P pisteessä. Huomautus 1.7. Yksikköympyrän kehällä määritellyt funktiot voidaan samastaa π-jaksoisten funktioiden f : R R kanssa. Jos f L S 1 ), niin f voidaan
1. DIRICHLET N PERIAATTEESTA 96 esittää L -normin suhteen suppenevana sarjana fθ) = a + a k cos kθ + b k sin kθ). Tällaiselle funktiolle on f = π fθ) dθ = π a + π a k + b k) <. Jos lisäksi f on absoluuttisesti jatkuva ja f L S 1 ), niin π f = f θ) dθ = π k a k + b k). Tässä f on melkein f:n Sobolev-avaruusnormi f 1, = f + f Kun s R, s, asetetaan f H = π s a + π k s a k + b k) ja H s S 1 ) = {f L S 1 ) f H s < }. Huomaa, että H S 1 ) = L S 1 ), ja kun s Z +, on f H s f s, Sobolevavaruusnormi, f s, = f + f s) ). Voidaan osoittaa, että a) Sobolevin avaruus H 1 B) on joukon C 1 B) täydentymä ympyrän B Sobolevavaruusnormin suhteen; b) kuvaus C 1 B) CS 1 ), u u S 1, voidaan jatkaa jatkuvaksi lineaarikuvaukseksi γ : H 1 B) L S 1 ); c) kuvajoukko γh 1 B)) = H 1/ S 1 ). Huomaa, että f H 1/ = π a + π k a k + b k ). Lisäksi on helppo todistaa Sobolevin upotuslauseen kaltainen tulos: Jos f H s S 1 ) ja s > 1/, niin f on jatkuva tarkemmin: f eroaa jatkuvasta funktiosta vain nollamittaisessa joukossa). Vastaavasti: Jos f H s S 1 ) ja s > k + 1/, missä k N, niin f on k kertaa jatkuvasti derivoituva. Myös avaruuksille H s S 1 ), missä s <, löytyy käyttöä duaaliavaruudelle on H s S 1 )) = H s S 1 ), kun s, ainakin isometristä isomorfismia lukuunottamatta). ) 1/