1 Sisätulo- ja normiavaruudet
|
|
- Sinikka Halttunen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v w + u w ; (c) λv w = λ v w ; (d) v v > 0, kun v 0 (positiividefiniittisyys) aina, kun v, w, u V ja λ R. Reaalinen sisätuloavaruus on pari (V, ), missä V on vektoriavaruus ja on sisätulo avaruudessa V. Yleensä tällöin sanotaan, että V on sisätuloavaruus. Vektoreiden v ja w sisätulolle v w käytetään yleisesti merkintää v w ja puhutaan pistetulosta. Lemma 1. Reaalinen sisätulo on lineaarinen molempien argumenttiensa suhteen eli αv + βu w = α v w + β u w ; (1) ja v αw + βz = α v w + β v z ; (2) v + u w + z = v w + v z + u w + u z (3) aina, kun α, β R ja v, u, w, z V. Todistus. Kohta (1): Käytetään ensin aksiomia b ja sitten aksiomia c, jolloin V.P. = αv + βu w = αv w + βu w = α v w + β u w = O.P. 1
2 Esimerkki 1. Joukko R n, n Z + on reaalinen sisätuloavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ) R n, y = (y 1,..., y n ) R n pistetulo määritellään asettamalla x y = x i y i. (4) Todistus. Määritelmän 1 kohta a: Lasketaan x y = Kohta b: Lasketaan x i y i = y i x i = y x. (x + z) y =(x 1 + z 1,..., x n + z n ) (y 1,..., y n ) = (x i + z i )y i = x i y i + z i y i = x y + z y. Kohta c: Lasketaan (λx) y =(λx 1,..., λx n ) (y 1,..., y n ) = (λx i )y i = λ x i y i = λ x y. Kohta d: Olkoon x 0. Nyt ainakin yksi x k 0, jolloin x 2 k > 0. Siten x x = x 2 i x 2 k > 0. (5) Huomautus 1. Koska 0 0 = 0, (6) niin avaruuden R n sisätulolle (4) pätee x x = 0 x = 0. (7) Myöhemmin todistetaan, että (7) on voimassa yleisemminkin. 2
3 Määritelmä 2. Olkoon V kompleksinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V C on Hermiten (kompleksinen) sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (konjugaatti-symmetrisyys); (b) v + u w = v w + u w ; (c) λv w = λ v w ; (d) v v > 0, kun v 0 (positiividefiniittisyys) aina, kun v, w, u V ja λ C. Esimerkki 2. Joukko C n, n Z + on kompleksinen sisätuloavaruus, kun vektoreiden z = (z 1,..., z n ) C n, w = (w 1,..., w n ) C n pistetulo määritellään asettamalla z w = z i w i. (8) Lemma 2. ja Todistetaan aluksi tapaus (9): Koska 0 = 0 0, niin aksiomin nojalla 0 v = v 0 = 0 v V ; (9) v v = 0 v = 0; (10) v v 0 v V. (11) λv w = λ v w 0 v = 0 0 v = 0 0 v = 0 v V. (12) Otetaan tuloksesta (12) kompleksikonjugaatit, jolloin saadaan Käytetään sitten aksiomia v w = w v, jolloin 0 v = 0 v V. (13) v 0 = 0 v = 0 v V. (14) 3
4 Todistetaan seuraavaksi tapaus (10): Tuloksen (9) erikoistapauksena Mutta aksiomin d mukaan 0 0 = 0. (15) v v > 0, kun v 0. (16) Siispä v v = 0 v = 0. (17) Esimerkki 3. Tarkastellaan kuvausta : R 4 R 4 R, missä kaikilla vektoreilla x, y R 4. Valitaan x = (1, 0, 0, 0), jolloin x y = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 + x 4 y 4 (18) x x = 1 < 0, joten ehto Määritelmän 1 ehto d) ei ole voimassa. Siten kuvaus (18) ei ole sisätulo. Esimerkki 4. Vektoriavaruuteen C([a, b], R) = {f : [a, b] R f on jatkuva}, missä a < b, saadaan (reaalinen) sisätulo asettamalla f g = b a f(t)g(t)dt (19) kaikilla f, g C([a, b], R). Todistus. Aluksi todetaan, että suppeneva reaalinen integraali on reaaliluku. Määritelmän 1 kohdat b ja c seuraavat integraalin lineaarisuudesta seuraavasti αf + βh g = b (αf + βh)(t)g(t)dt = a b α a f(t)g(t)dt + β b 4 a h(t)g(t)dt = α f g + β h g.
5 Kohta d. Olkoon f O. Tällöin f(t) 2 vakio > 0, jollain välillä [c, d] [a, b]. Siten Esimerkki 5. Vektoriavaruuteen f f = b a f(t) 2 dt > 0. (20) C([a, b], C) = {f : [a, b] C f on jatkuva}, missä a < b, saadaan Hermiten sisätulo asettamalla kaikilla f, g C([a, b], C). Esimerkki 6. f g = b a f(t)g(t)dt (21) Esimerkin 4 kuvaus ei ole sisätulo avaruudessa F([a, b], R), sillä funktiolle { 1, kun x = a f(x) = 0, kun x ]a, b] pätee f F([a, b], R) ja f 0, mutta 1.2 Normiavaruus Määritelmä 3. f f = b a f 2 (t)dt = 0. Olkoon V vektoriavaruus kunnan K = R tai K = C yli. Kuvaus : V R 0 on normi, jos (a) v 0 v V ; (b) v = 0 v = 0; (c) λv = λ v v V ja λ K; 5
6 (d) v + w v + w v, w V (kolmioepäyhtälö). Normiavaruus on pari (V, ), missä V on vektoriavaruus ja on normi avaruudessa V. Tällöin sanotaan lyhyesti, että V on normiavaruus. Tärkeitä normiavaruuksia ovat sisätuloavaruudet, nimittäin sisätulon avulla saadaan normi. Lause 1. Olkoon V sisätuloavaruus. Määritellään kuvaus asettamalla Tällöin on normi. : V R v = v v = v v v V. (22) Todistus. Koska niin neliöjuuren arvo on reaaliluku ja Siten saadaan kuvaus v v 0 v V, (23) v = v v 0 v V. (24) : V R 0, joka todistaa myös normin määritelmän kohdan a. Kohta b: Tuloksen (10) nojalla v v = 0 v = 0, (25) joten Kohta c: Aluksi reaalinen tapaus. Olkoon λ R. Lasketaan v = v v = 0 v = 0. (26) λv = (λv) (λv) = λ 2 v v = λ v v = λ v. Vielä kompleksitapaus. Olkoon λ C. Lasketaan λv = (λv) (λv) = λλv v = = λ 2 v v = λ v v = λ v. Ennen kolmioepäyhtälön todistusta esitetään Cauchy-Schwarzin epäyhtälö. 6
7 Lause 2. Kuvaukselle (22) pätee Cauchy-Schwarzin epäyhtälö kaikilla v, w V. Todistus. Kirjoitetaan Tällöin v w v w (27) z := w 2 v (v w)w. z w = w 2 v w (v w)w w = (v w)( w 2 w 2 ) = 0. (28) Siten w 4 v 2 = w 2 v w 2 v = Tästä saadaan ja edelleen (27). Kohta d: Aluksi reaalinen tapaus. Tarkastellaan lauseketta (z + (v w)w) (z + (v w)w) = z z + 2(v w)z w + (v w) 2 w w = w 2 v 2 v w 2 z 2 + v w 2 w 2 v w 2 w 2. v + w 2 = (v + w) (v + w) = v v + v w + w v + w w = mistä saadaan v 2 + 2v w + w 2 v v w + w 2 v v w + w 2 = ( v + w ) 2, v + w v + w aina, kun v, w V. Sitten kompleksitapaus, missä tarvitaan tulosta Nyt z + z 2 z. (29) v + w 2 = (v + w) (v + w) = v v + v w + w v + w w = v 2 + v w + v w + w 2 v v w + w 2 v v w + w 2 = ( v + w ) 2, 7
8 mistä saadaan v + w v + w aina, kun v, w V. Seurauksena saadaan sisätulonormin kolmioepäyhtälöt Lemma 3. Sisätulonormille pätee Esimerkki 7. v w v + w v + w (30) Avaruudessa R n vektorin x = (x 1,..., x n ) sisätulonorminormi x = x x = x x 2 n (31) antaa vektorin pituuden (Eukleideen pituuden). Lauseen 1 mukaan sisätulonormi ja siten myös Eukleideen pituus-funktio (31) toteuttavat normin aksiomit - erityisesti kolmioepäyhtälön x y x + y x + y (32) - lisäksi pätee Cauchy-Schwarzin epäyhtälö Esimerkki 8. x y x y. (33) Avaruudessa R 2 vektorin (x, y) Eukleideen pituus (x, y) = x x = x 2 + y 2 (34) antaa (suorakulmaisen) nelikulmion lävistäjän pituuden sekä yleistää perinteisen Pythagoraan lauseen. Esimerkki 9. Avaruudessa R 3 vektorin (x, y, z) Eukleideen pituus (x, y, y) = x x = x 2 + y 2 + z 2 (35) antaa (suorakulmaisen) suuntaissärmiön lävistäjän pituuden yleistäen kaksiulotteisen Pythagoraan lauseen. 8
9 Olkoon V sisätuloavaruus. Jos v, w V \ {0}, niin Cauchy-Schwarzin epäyhtälön nojalla 1 v w v w 1 (36) Tämä antaa mahdollisuuden määritellä vektorien v ja w välinen kulma α asettamalla cos α = v w v w. (37) Lauseke v w antaa vektoreiden v ja w välisen etäisyyden. Tällöin kosinilause saadaan yleistettyä sisätuloavaruuksiin. Lemma 4. Olkoon V sisätuloavaruus ja v, w V \ {0}. Tällöin v w 2 = v w v w = v 2 + w 2 2 v w 1.3 Ortogonaalisuus Määritelmä 4. = v 2 + w 2 2 cos α v w. Vektorit v ja w ovat ortogo- Olkoon V sisätuloavaruus ja v, w V. naaliset, jos v w = 0. Tällöin käytetään merkintää v w. Epätyhjä joukko T V on ortogonaalinen, jos 0 / T ; v w v, w T, v w. Epätyhjä joukko T V on ortonormaali, jos se on ortogonaalinen ja v = 1 kaikilla v T. Vektorit v ja w ovat ortogonaaliset eli kohtisuorassa toisiaan vastaan; Vektori v on kohtisuorassa vektoria w vastaan; Esimerkki 10. 9
10 Koska 0 w = 0 w V eli 0 w w V, niin nollavektori on kohtisuorassa kaikkia avaruuden vektoreita vastaan. Edelleen, koska nollavektorin sisältävä joukko on lineaarisesti sidottu, niin nollavektoria ei haluta mukaan ortogonaaliseen joukkoon. Nimittäin, ortogonaalisista joukoista on tarkoitus muodostaa kantoja, joiden on syytä olla lineaarisesti vapaita. Olkoon K kunta ja n Z +, tällöin K n on lineaariavaruus kunnan K yli. Merkitään e k = (0,..., 1,..., 0) K n, missä k:s koordinaatti on 1 ja muut nollia aina, kun k = 1, 2,..., n. Tiedetään, että vektorit e 1,..., e n ovat lineaarisesti vapaita kunnan K yli. Olkoon nyt K n = R n, missä sisätulona on (4) tai K n = C n, missä sisätulona on (8). Esimerkki 11. Joukko ortonormaali. E n := {e 1,..., e n } (38) Esimerkki 12. Tarkastellaan vektoriavaruuden sisätuloa Lasketaan C([ 1, 1], R) = {f : [ 1, 1] R f on jatkuva}, f g = 1 t = f(t)g(t)dt. (39) tdt = 0, (40) joten funktiot 1 ja t ovat kohtisuorassa ja joukko {1, t} on ortogonaalinen. Lasketaan normit 1 = 2, t = 2/3. (41) Siten joukko {1, t} ei ole ortonormaali. 10
11 Lause 3. Olkoot V (reaalinen tai kompleksinen) sisätuloavaruus ja S V ortogonaalinen. Tällöin S on lineaarisesti riippumaton. Erityisesti ortonormaali joukko on lineaarisesti riippumaton. Muistettakoon, että nollavektori ei kuulu ortogonaaliseen joukkoon. Todistus. Tutkitaan joukon S äärellistä osajoukkoa J := {s 1,..., s n }, jonka alkioille s 1,..., s n S siis pätee s k s l = 0 aina, kun k l. Asetetaan lineaarikombinaatio nollaksi: a 1 s a n s n = 0. Ottamalla sisätulo vektorin s 1 kanssa saadaan a 1 s 1 s a n s 1 s n = s 1 0 a 1 s 1 s 1 = 0. (42) Koska s 1 0, niin s 1 s 1 > 0 sisätulon aksiomin d nojalla, joten a 1 = 0. Edetään induktiolla tulokseen a 1 =... = a n = 0, joka todistaa joukon J lineaarisen vapauden. Siten kaikki joukon S aäärelliset osajoukot ovat lineerisesti vapaita, joten määritelmän nojalla S on lineaarisesti vapaa. Määritelmä 5. Sisätuloavaruuden V osajoukko S on avaruuden V ortogonaalinen/ortonormaali kanta, jos S on ortogonaalinen/ortonormaali ja avaruuden V kanta. Esimerkki 13. Avaruuden K n luonnollinen kanta {e 1,..., e n } on ortonormaali kanta. Ortonormitus tarkoittaa annetun vektorin jakamista sen normilla, jolloin tuloksena saadaan vektori, jonka pituus on 1. Lemma 5. Olkoon v V, v 0. Tällöin Todistus. f := v/ v f = 1. (43) f 2 = f f = v v v v = 1 v 2 v v = 1 v 2 v 2 = 1. Lause 4. Oletetaan, että S = {v 1,..., v n } on sisätuloavaruuden V ortogonaalinen kanta. Tällöin vektorin v V koordinaatit kannassa S saadaan kaavasta λ i = v i v v i v i (44) kaikilla 1 i n. Erityisesti jos S on ortonormaali, niin λ i = v i v. 11
12 Todistus. Vektorilla v on kannassa {v 1,..., v n } esitys Ottamalla sisätulo v = λ 1 v λ n v n. v i v = λ 1 v i v λ i v i v i λ n v i v n = λ i v i v i. josta saadaan väite (44). Lause 5. Oletetaan, että S = {v 1,..., v n } on sisätuloavaruuden V ortonormaali kanta. Tällöin kaikilla v, w V pätee Parsevalin yhtälö v w = v v i v i w. (45) Lause 6. Jos vektorilla v on kannassa {v 1,..., v n } esitys v = λ 1 v λ n v n, niin v = n v v i 2 = n λ 2 i. (46) 2016: 1. välikoe tähän asti. 1.4 Gram-Schmidt Lause 7. Olkoot V sisätuloavaruus ja {v 1,..., v k } V lineaarisesti riippumaton. Tällöin on olemassa sellainen ortogonaalinen joukko {w 1,..., w k } V, että w 1,..., w k = v 1,..., v k. (47) Todistus. Suoritetaan Gram-Schmidtin ortogonalisointimenetelmä: 12
13 Asetetaan w 1 = v 1, Tällöin esimerkiksi w 2 = v 2 v 2 w 1 w 1 w 1 w 1 w 3 = v 3 v 3 w 2 w 2 v 3 w 1 w 1 w 2 w 2 w 1 w 1... w k = v k v k w k 1 w k 1... v k w 1 w 1. w k 1 w k 1 w 1 w 1 w 2 w 1 = v 2 w 1 v 2 w 1 w 1 w 1 w 1 w 1 = 0, w 3 w 1 = v 3 w 1 v 3 w 2 w 2 w 2 w 2 w 1 v 3 w 1 w 1 w 1 w 1 w 1 = v 3 w 1 0 v 3 w 1 = 0. Yleisemmin induktiolla. Olkoon l 2. Induktio-oletus: Olkoot w i w j = 0 aina, kun l > i > j. Induktioaskel: Lasketaan sisätulo w l w i = v l w i v l w i w i w i w i w i = 0. Lause 8. Jokaisella äärellisulotteisella sisätuloavaruudella V {0} on ortonormaali kanta. Esimerkki 14. Tarkastellaan avaruuden R 4 vektoreita v 1 = (1, 1, 1, 1), v 2 = (5, 1, 1, 1) ja v 3 = ( 3, 3, 1, 3). Etsitään aliavaruudelle H = v 1, v 2, v 3 ortonormaali kanta. 13
14 Käytetään Gram-Schmidtin ortogonalisointimenetelmää, jolloin w 1 = v 1 = (1, 1, 1, 1), w 2 = v 2 (v 2 w 1 ) (w 1 w 1 ) w 1 = (5, 1, 1, 1) (1, 1, 1, 1) = (4, 2, 0, 2), ja w 3 = v 3 (v 3 w 2 ) (w 2 w 2 ) w 2 (v 3 w 1 ) (w 1 w 1 ) w 1 = v w = (0, 0, 0, 0). Koska w 3 = 0, niin {v 1, v 2, v 3 } on lineaarisesti riippuva. Ylläolevasta nähdään, että vektori v 3 on lineaarikombinaatio vektoreista v 1 ja v 2, joten H = v 1, v 2. Nyt {v 1, v 2 } on lineaarisesti riippumaton, joten {w 1, w 2 } on avaruuden H ortogonaalinen kanta. Normittamalla vektorit saadaan ortonormaali kanta {f 1, f 2 }, missä f 1 = w 1 w 1 = Hypertaso (1, 1, 1, 1) ja f 2 = w 2 w 2 = 1 24 (4, 2, 0, 2) = ( 2 6, 1 6, 0, w 1 ) 1. 6 Määritelmä 6. Olkoon V lineaariavaruus kunnan K yli ja dim K V = k Z +. Hypertaso H on V :n (k 1)-ulotteinen aliavaruus. Affiini hypertaso on muotoa w + H, missä H on hypertaso ja w V. Jos hypertason H dimensio on k 1, niin tällöin sanotaan, että myös affiinin hypertason w + H dimensio on k 1. Jos dim K V = 2, niin hypertaso on origon kautta kulkeva suora. 14
15 Jos dim K V = 3, niin hypertaso on origon kautta kulkeva taso. Jos dim K V = 4, niin hypertaso on origon kautta kulkeva 3-ulotteinen aliavaruus eli hypertaso. Lemma 6. Olkoon n V \ {0} annettu ja dim K V = k Z +. Tällöin joukko N := {x V n x = 0} (48) muodostaa (k 1)-ulotteisen hypertason ja joukko x 0 + N = {x V n (x x 0 ) = 0} (49) muodostaa (k 1)-ulotteisen affiinin hypertason. Olkoon seuraavassa e 1,..., e k avaruuden V ortonormaali kanta ja vektoreiden n ja x esitykset siinä: n = n 1 e n k e k = (n 1,..., n k ), (50) x = x 1 e x k e k = (x 1,..., x k ) (51) vastaavine koordinaattiesityksineen. Todistus. Joukolle (48) saadaan koordinaattiesitys N := {x = (x 1,..., x k ) n 1 x n k x k = 0}, (52) missä ehdon n 0 nojalla ainkin yksi koordinaatti n j 0, olkoon vaikka n 1 0. Siten x 1 = 1 n 1 (n 2 x n k x k ) (53) ja edelleen x = x 1 e x k e k = x 2 ( n 2 e 1 +e 2 )+...+x k ( n k e 1 +e k ) := x 2 f x k f k. n 1 n 1 (54) Niinpä N = f 2,..., f k, (55) missä f 2,..., f k on lineaarisesti vapaa ja siten kanta ja dim K N = k 1. Lemma 7. Olkoon dim K V = k Z +. Tällöin V :n hypertaso H voidaan esittää muodossa H = {x V n x = 0} (56) jollakin n V \ {0} sekä vastaava affiini hypertaso x 0 + H muodossa x 0 + H = {x V n (x x 0 ) = 0}. (57) 15
16 Todistus. Hypertaso on (k 1)-ulotteinen aliavaruus, joten on olemassa sellainen ortonormaali joukko g 1,..., g k 1, että H = g 1,..., g k 1, dim K H = k 1. (58) Edelleen on olemassa g k / H, g k V. Lauseen I:7 kohdan (34) nojalla g 1, g 2,..., g k on lineaarisesti vapaa ja siten V :n kanta, joka ortonormitetaan tarvittaessa ja käytetään samoja merkintöjä. Niinpä, jos x H, niin x = β 1 g β k 1 g k g k. (59) Valitaan n = 0 g g k g k, jolloin n x = 0. (60) Tutkitaan pisteen t V etäisyyttä hypertasosta H. Määritelmä 7. Olkoon V normiavaruus ja = S V. Tällöin pisteen t V etäisyys joukosta S on inf t s. (61) s S Tutkitaan pisteen t V etäisyyttä hypertasosta H. Voidaan osoittaa, että pisteen etäisyys hypertasosta on kohtisuoraetäisyys. Lemma 8. Olkoon dim K V = k Z + ja n V \ {0}. Tällöin hypertason H = {x V n x = 0} (62) ja pisteen t V välinen etäisyys l saadaan kaavasta l = n t n (63) Todistus. Ortonormitetaan n: ˆn = n/ n. Koska ˆn H, niin etäisyys l on vektorin αˆn pituus α, missä αˆn on vektorin t ja sen H:lla olevan projektion p H välinen etäisyysvektori eli t p = αˆn. Koska p ˆn ja t = p + αˆn, niin Siten 0 = p ˆn = (t αˆn) ˆn = t ˆn αˆn ˆn = t ˆn α. (64) Affiini hypertaso voidaan kirjoittaa muodossa α = t ˆn = t n n. (65) x 0 + H = {x V n x = b}, b = n x 0. (66) 16
17 Lemma 9. Olkoon dim K V = k Z + ja n V \ {0}. Tällöin affiinin hypertason x 0 + H = {x V n (x x 0 ) = 0} (67) ja pisteen t V välinen etäisyys l saadaan kaavasta l = n (t x 0) n = n t b n (68) Esimerkki 15. Olkoon V = R 3, n = (n 1, n 2, n 3 ), w = (x, y, z) ja w 0 = (x 0, y 0, z 0 ). Nyt affiini hypertaso on muotoa w 0 + H = {w R 3 n (w w 0 ) = 0} = {(x, y, z) R 3 n 1 x + n 2 y + n 3 z = b := n 1 x 0 + n 2 y 0 + n 3 z 0 }. (69) Affiinin hypertason ja pisteen t = (t 1, t 2, t 3 ) R 3 saadaan kaavasta l = n (t w 0) = n n 1 (t 1 x 0 ) + n 2 (t 2 y 0 ) + n 3 (t 3 z 0 ) n n n 2 3 välinen etäisyys l = n 1 t 1 + n 2 t 2 + n 3 t 3 b. (70) n n n Ortogonaalikomplementti Määritelmä 8. Olkoon V sisätuloavaruus ja A V. Osajoukon A ortogonaalikomplementti on osajoukko A = {b V b a = 0 a A}. Ortogonaalikomplementti, ortogonaalinen komplementti, kohtisuora komplementti Merkintä 1. h A h A. Lemma 10. Olkoon V sisätuloavaruus ja A avaruuden V aliavaruus. Tällöin ortogonaalikomplementti A on V :n aliavaruus. 17
18 Lemma 11. Olkoon V sisätuloavaruus ja A avaruuden V aliavaruus. Jos dim K V = n ja dim K A = k, niin A A = {0}, (71) dim K A = n k. (72) Määritelmä 9. Olkoon V sisätuloavaruus, t V ja A aliavaruus. Pisteen t kohtisuora projektio PROJ A (t) = p aliavaruudelle A on yksikäsitteinen piste p, joka toteuttaa ehdot p A; p + h = t; (73) h A. Palataan hetkeksi Gram-Schmidtin ortogonalisointimenetelmän, Lauseen 7 pariin. Olkoon V sisätuloavaruus ja {v 1,..., v k } V lineaarisesti riippumaton. Olkoon j k 1 ja A := {w 1,..., w j } V ortogonaalinen. Muodostetaan alkio w j+1 = h A seuraavasti. Valitaan alkio v j+1 = t / A ja asetetaan: p A; p + h = t; (74) h A. Joten Tällöin 0 = h w l = (t p) w l p = β 1 w β j w j ; p + h = t; h w 1 =... = h w j = 0; w i w l = 0, i l. t w l = p w l = (β 1 w β j w j ) w l = β l w l w l Niinpä saadaan uusi kohtisuora vektori (75) β l = t w l w l w l. (76) w j+1 := h = t p = v j+1 v j+1 w 1 w 1 w 1 w 1... v j+1 w j w j w j w j. (77) 18
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA II LINEAR ALGEBRA PART II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II LINEAR ALGEBRA PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2017 Contents 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 2 1.1 Sisätuloavaruus/Inner product space..............
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA II LINEAR ALGEBRA PART II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II LINEAR ALGEBRA PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVT 2019 1 Contents 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 3 1.1 Sisätuloavaruus/Inner product space..............
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA II/PART II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II/PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2017 LINEAARIALGEBRA 1 / 67 Sisätuloavaruus/Inner product space Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus.
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA II/PART II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II/PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVÄT 2019 LINEAARIALGEBRA 1 / 69 Sisätuloavaruus/Inner product space Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus.
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Ratkaisuluonnoksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
LisätiedotKertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo
Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2012 227/310 Kertausta:
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
LisätiedotOsoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia/Exercises 2017 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
LisätiedotVektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on
13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu
LisätiedotLineaarialgebra II P
Lineaarialgebra II 89P Sisältö Vektoriavaruus Sisätuloavaruus 8 3 Lineaarikuvaus 5 4 Ominaisarvo 5 Luku Vektoriavaruus Määritelmä.. Epätyhjä joukko V on vektoriavaruus, jos seuraavat ehdot ovat voimassa:.
LisätiedotOminaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus
Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin
LisätiedotOrtogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle
Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka
LisätiedotKertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo
Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2014 164/246 Kertausta:
LisätiedotOrtogonaalisen kannan etsiminen
Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,
LisätiedotAvaruuden R n aliavaruus
Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla
Lisätiedot1. Normi ja sisätulo
Kurssimateriaalia K3/P3-kursille syksyllä 3 83 Heikki Apiola Sisältää otteita Timo Eirolan L3-kurssin lineaarialgebramonisteesta, jonka lähdekoodin Timo on ystävällisesti antanut käyttööni Normi ja sisätulo
LisätiedotLineaariavaruudet. Span. Sisätulo. Normi. Matriisinormit. Matriisinormit. aiheita. Aiheet. Reaalinen lineaariavaruus. Span. Sisätulo.
Lineaariavaruudet aiheita 1 määritelmä Nelikko (L, R, +, ) on reaalinen (eli reaalinen vektoriavaruus), jos yhteenlasku L L L, ( u, v) a + b ja reaaliluvulla kertominen R L L, (λ, u) λ u toteuttavat seuraavat
LisätiedotHavainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin. w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5. v = ( 3) = 13. v = v.
Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin w = w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5 v = v v = ( 3) 2 + 2 2 = 13. w =5 3 2 v = 13 4 3 LM1, Kesä 2014 76/102 Normin ominaisuuksia I Lause
LisätiedotLINEAARIALGEBRA A 2016 TOMI ALASTE EDITED BY T.M. FROM THE NOTES OF
LINEAARIALGEBRA 83A 6 EDITED BY T.M. FROM THE NOTES OF TOMI ALASTE SISÄLTÖ Sisältö Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus Sisätuloavaruus 3 Lineaarikuvaus 4 Ominaisarvo 34 5 Esimerkkejä 44 . Lineaariavaruus
Lisätiedotpdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus Sisätuloavaruus Lineaarikuvaus Ominaisarvo 0-68
SISÄLTÖ Sisältö pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 0-1 2 Sisätuloavaruus 0-20 3 Lineaarikuvaus 0-41 4 Ominaisarvo 0-68 5 Esimerkkejä 0-88 1. Lineaariavaruus eli V 1 Lineaariavaruus
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotKanta ja dimensio 1 / 23
1 / 23 Kuten ollaan huomattu, saman aliavaruuden voi virittää eri määrä vektoreita. Seuraavaksi määritellään mahdollisimman pieni vektorijoukko, joka virittää aliavaruuden. Jokainen aliavaruuden alkio
LisätiedotHILBERTIN AVARUUKSISTA
HILBERTIN AVARUUKSISTA Pro gradu -tutkielma Hannariikka Lehtiniemi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Jyväskylän yliopisto syksy 2014 TIIVISTELMÄ Ääretönulotteiset avaruudet ovat monilta ominaisuuksiltaan
Lisätiedot5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A
LisätiedotMääritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.
1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä:
LisätiedotSisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006
Sisätuloavaruudet 4. lokakuuta 2006 Tässä esityksessä vektoriavaruudet V ja W ovat kompleksisia ja äärellisulotteisia. Käydään ensin lyhyesti läpi määritelmiä ja perustuloksia. Merkitään L(V, W ) :llä
LisätiedotBijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.
Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin
LisätiedotLINEAARIALGEBRA. Harjoituksia/Exercises 2017 Valittuja ratkaisuja/selected solutions
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia/Exercises 2017 Valittuja ratkaisuja/selected solutions 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n )
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V
Lisätiedot1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I LM1, Kesä 2012 1/218 Avaruuden R 2 vektorit Määritelmä (eli sopimus) Avaruus R 2 on kaikkien reaalilukuparien joukko; toisin sanottuna R 2 = { (a, b) a R ja b R }.
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
LisätiedotMatriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain
Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit
LisätiedotLINEAARIALGEBRA. Harjoituksia/Exercises 2019 Valittuja ratkaisuja/selected solutions
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia/Exercises 2019 Valittuja ratkaisuja/selected solutions 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n )
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotInsinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut
Insinöörimatematiikka D, 29.3.2016 4. laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut 1. Olkoon u (4,0,4,2) ja v ( 1,1,3,5) vektoreita vektoriavaruudessa R 4. Annetun sisätulon (x,y) indusoima normi on x (x,x) ja
LisätiedotMatriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo
Matriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Antti Rasila 2016 Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Jos {v 1, v 2,..., v k } on äärellisulotteisen vektoriavaruuden V lineaarisesti riippumaton
Lisätiedoti=1 Näistä on helppo näyttää ominaisuudet (1)-(4). Ellei toisin mainita, käytetään R n :ssä
Kurssimateriaalia K3/P3-kursille syksyllä 003. 8.0.003 Heikki Apiola Sisältää otteita Timo Eirolan L3-kurssin lineaarialgebramonisteesta, jonka lähdekoodin Timo on ystävällisesti antanut käyttööni.. Normi
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
LisätiedotMääritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )
Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä
LisätiedotKannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
Lisätiedot4. Hilbertin avaruudet
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 51 4. Hilbertin avaruudet Hilbertin avaruudet ovat ääretönulotteisista normiavaruuksista ominaisuuksiltaan kaikkein lähinnä kotiavaruutta R n tai C n. Tästä syystä niiden
LisätiedotRistitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti
14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on
LisätiedotKuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160
Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä
LisätiedotVapaus. Määritelmä. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee:
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Idea Lineaarisen systeemin ratkaiseminen Olkoon
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotTehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä todistuksia ja lineaarikuvauksen muodostamista. Sarjaan liittyvät Stack-tehtävät: 1 ja 2.
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2016 Harjoitus 3 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 29.8.2016 klo 13.15. Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä
LisätiedotHilbertin avaruudet, 5op Hilbert spaces, 5 cr
Hilbertin avaruudet, 5op Hilbert spaces, 5 cr Pekka Salmi 14.3.2015 Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 14.3.2015 1 / 64 Yleistä Opettaja: Pekka Salmi, MA327 Kontaktiopetus ti 1012 (L), ke 810 (L), ma 1214
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 17 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Vektoriavaruus
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2014 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 1 of 16 Kertausta Lineaarinen riippuvuus
LisätiedotVektorit, suorat ja tasot
, suorat ja tasot 1 / 22 Koulussa vektori oli nuoli, jolla oli suunta ja suuruus eli pituus. Siirretään vektori siten, että sen alkupää on origossa. Tällöin sen kärki on pisteessä (x 1, x 2 ). Jos vektorin
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO Syksy 2017 LINEAARIALGEBRA 1 / 59 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVÄT 2019 LINEAARIALGEBRA 1 / 60 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V
LisätiedotDeterminantti 1 / 30
1 / 30 on reaaliluku, joka on määritelty neliömatriiseille Determinantin avulla voidaan esimerkiksi selvittää, onko matriisi kääntyvä a voidaan käyttää käänteismatriisin määräämisessä ja siten lineaarisen
Lisätiedot6 Vektoriavaruus R n. 6.1 Lineaarikombinaatio
6 Vektoriavaruus R n 6.1 Lineaarikombinaatio Määritelmä 19. Vektori x œ R n on vektorien v 1,...,v k œ R n lineaarikombinaatio, jos on olemassa sellaiset 1,..., k œ R, että x = i v i. i=1 Esimerkki 30.
LisätiedotJAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT
JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT Kanta ja dimensio Tehtävä Esittele vektoriavaruuden kannan määritelmä vapauden ja virittämisen käsitteiden avulla ja anna vektoriavaruuden dimension määritelmä Esittele Lause
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotPistetulo eli skalaaritulo
Pistetulo eli skalaaritulo VEKTORIT, MAA4 Pistetulo on kahden vektorin välinen tulo. Tarkastellaan ensin kahden vektorin välistä kulmaa. Vektorien a ja, kun a 0, välinen kulma on (kuva) kovera kun a vektorit
LisätiedotLINEAARIALGEBRA P. LUENTOMONISTE ja HARJOITUSTEHTÄVÄT
LINEAARIALGEBRA II 802119P LUENTOMONISTE ja HARJOITUSTEHTÄVÄT syksy 2008 30 V SISÄTULOAVARUUKSISTA 1. Sisätulon määritelmä Tarkastellaan sisätulon määrittelyä varten kompleksilukujen joukkoa C = {x + iy
LisätiedotLineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44
Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.
Lisätiedot9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista
29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n
LisätiedotJohdatus lineaarialgebraan
Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 28. lokakuuta 2014 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus....................................
Lisätiedot6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI
0 6 OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 6 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus, dim(v ) = n ja L : V V lineaarikuvaus Määritelmä 6 Skalaari λ R on L:n ominaisarvo, jos
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt QR-hajotelma ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto PNS-ongelma PNS-ongelma
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotMatemaattinen Analyysi / kertaus
Matemaattinen Analyysi / kertaus Ensimmäinen välikoe o { 2x + 3y 4z = 2 5x 2y + 5z = 7 ( ) x 2 3 4 y = 5 2 5 z ) ( 3 + y 2 ( 2 x 5 ( 2 7 ) ) ( 4 + z 5 ) = ( 2 7 ) yhteys determinanttiin Yhtälöryhmän ratkaiseminen
LisätiedotKompaktien operaattoreiden spektraaliteoriasta
Kompaktien operaattoreiden spektraaliteoriasta Lauri Horttanainen Matematiikan Pro Gradu -tutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2008 Sisältö Johdanto 2 1. Sisätuloavaruuden
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 18 R. Kangaslampi QR ja PNS PNS-ongelma
Lisätiedot3 Skalaari ja vektori
3 Skalaari ja vektori Määritelmä 3.1 Skalaari on suure, jolla on vain suuruus, jota mitataan jossakin mittayksikössä. Skalaaria merkitään reaaliluvulla. Esimerkki 3.2 Paino, pituus, etäisyys, pinta-ala,
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA III LINEAR ALGEBRA PART III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III LINEAR ALGEBRA PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2017 Contents 1 Lineaarikuvaus 2 1.1 Määritelmä............................ 2 1.2 Matriisiesitys/Matrix
Lisätiedot2 / :03
file:///c:/users/joonas/desktop/linis II Syksy /Ratkaisuehdotukse / 8 76 3:3 Kysymys Pisteet,, Määritellään positiivisten reaalilukujen joukossa R + = {x R x > } yhteenlasku ja skalaarikertolasku seuraavasti:
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen
LisätiedotSelvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x
Seuraavaksi tarkastellaan C 1 -sileiden pintojen eräitä ominaisuuksia. Lemma 2.7.1. Olkoon S R m sellainen C 1 -sileä pinta, että S on C 1 -funktion F : R m R eräs tasa-arvojoukko. Tällöin S on avaruuden
LisätiedotHarjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010
f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 4.1. Viime kerralta. Esimerkki lokaalikonveksin avaruuden osajoukosta, joka
LisätiedotVastaavasti, jos vektori kerrotaan positiivisella reaaliluvulla λ, niin
1 / 14 Lukiossa vektori oli nuoli, jolla oli suunta ja suuruus eli pituus. Tarkastellaan aluksi tason vektoreita (R 2 ). Siirretään vektori siten, että sen alkupää on origossa. Tällöin sen kärki on pisteessä
LisätiedotVektorianalyysi I MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21.
Vektorianalyysi I MAT21003 Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21. syyskuuta 2017 1 Sisältö 1 Euklidinen avaruus 3 1.1 Euklidinen avaruus
LisätiedotMatriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?
Harjoitus 1, kevät 007 1. Olkoon [ ] cos α sin α A(α) =. sin α cos α Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?. Olkoon a x y A = 0 b z, 0 0 c missä a, b, c 0. Määrää käänteismatriisi
Lisätiedot7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä
7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan
Lisätiedot=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin
FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)
LisätiedotTäydellisyysaksiooman kertaus
Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja
LisätiedotKonformigeometriaa. 5. maaliskuuta 2006
Konformigeometriaa 5. maaliskuuta 006 1 Sisältö 1 Konformigeometria 1.1 Viivan esitys stereograasena projektiona............ 1. Euklidisen avaruuden konformaalinen malli........... 4 Konformikuvaukset
LisätiedotLineaarikuvausten. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksia. Ydin. Matriisin ydin. aiheita. Aiheet. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksen matriisi
Lineaarikuvaukset aiheita ten ten 1 Matematiikassa sana lineaarinen liitetään kahden lineaariavaruuden väliseen kuvaukseen. ten Määritelmä Olkoon (L, +, ) ja (M, ˆ+, ˆ ) reaalisia lineaariavaruuksia, ja
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 29 Laskuharjoitus (9. - 3..29) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Tehtävä. Olkoon V vektoriavaruus. Todistettava: jos U V ja W V ovat V :n aliavaruuksia, niin
LisätiedotHilbertin avaruudet, 5op Hilbert spaces, 5 cr
Hilbertin avaruudet, 5op Hilbert spaces, 5 cr Pekka Salmi 26. huhtikuuta 2017 Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 1 / 115 Yleistä Opettaja: Pekka Salmi, MA327 Kontaktiopetus ti 1012 (L),
LisätiedotLineaarikuvauksen R n R m matriisi
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:
LisätiedotLebesguen mitta ja integraali
Lebesguen mitta ja integraali Olkoon m Lebesguen mitta R n :ssä. R 1 :ssä vastaa pituutta, R 2 :ssa pinta-alaa, R 3 :ssa tilavuutta. Mitallinen joukko E R n = joukko jolla on järkevästi määrätty mitta
Lisätiedotsitä vastaava Cliffordin algebran kannan alkio. Merkitään I = e 1 e 2 e n
Määritelmä 1.1 Algebran A keskus C on joukko C (A) = {a A ax = xa x A}. Lause 1. Olkoon Cl n Cliffordin algebra, jonka generoi joukko {e 1,..., e n }. Jos n on parillinen, niin C (Cl n ) = {λ λ R}. Jos
Lisätiedot6. Lineaariset operaattorit
96 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 6. Lineaariset operaattorit Luvussa 5 osoitimme, että Fourier-sarjat suppenevat L 2 -normissa (kts. Seuraus 5.8 sivulla 80). Osoitimme myös, että kun f on jatkuva ja
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotSingulaariarvohajotelma ja pseudoinverssi
HELSINGIN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Niko Kaitarinne Singulaariarvohajotelma ja pseudoinverssi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Helmikuu 01 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen
LisätiedotOminaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3.
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Ylimääräinen harjoitus 6 Ratkaisut A:n karakteristinen funktio p A on λ p A (λ) det(a λi ) 0 λ ( λ) 0 5 λ λ 5 λ ( λ) (( λ) (
Lisätiedot