7. Laplace-operaattorin ominaisarvoista
|
|
- Olivia Virtanen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 7. Laplace-operaattorin ominaisarvoista Värähtelevän jousen ja lämmönjohtumisyhtälöiden ratkaisemisessa päädyttiin seuraavankaltaiseen reuna-arvotehtävään { V = λv välillä (a, b), ja V (a) = V (b) = 0. Lukuja λ, joille vastaava nollasta eroava funktio V on olemassa, kutsutaan ominaisarvoiksi, ja funktioita V vastaaviksi ominaisfunktioiksi. Esimerkki 7.1. Tarkastellaan tämän ongelman kaksiulotteista versiota. Olkoot a ja b positiivisia reaalilukuja ja Ω = (0, a) (0, b). Pyritään määräämään seuraavan ongelman ratkaisut u = u(x, y) ja luvut λ R: (7.1) 2 u x + 2 u 2 y = λu 2 u(x, y) = 0 reunalla Ω. joukossa Ω, ja Tätä tehtävää kutsutaan Laplace-operaattoriin u = 2 u x + 2 u liittyväksi Dirichlet n omininaisarvotehtäväksi. Jos reunaehdoiksi asetetaan n u(x, y) = 0 reunalla 2 y 2 Ω, kutsutaan tehtävää Laplace-operaattoriin liittyväksi Neumannin omininaisarvotehtäväksi. Tässä n u on u:n suuntaisderivaatta reunan Ω normaalin n suuntaan. Käytetään muuttujien separointia: u(x, y) = v(x)w(y). Tällöin osittaisdifferentiaaliyhtälö saa muodon v (x) v(x) + w (y) w(y) = λ. Koska funktion u tulee hävitä alueen reunalla, on funktioiden v ja w saatava arvo nolla määrittelyväliensä päätepisteissä. Siis on olemassa vakio µ siten, että { v (x) = µv(x), { w (y) = (λ µ)w(y), v(0) = v(a) = 0, w(0) = w(b) = 0. Tämän tehtäväparin ainoiksi nollasta eroaviksi ratkaisuiksi saadaan ( nπ ) 2, ( mπ ) 2, µ = n Z+ λ µ = m Z+ a v n (x) = sin nπx b a, w m (y) = sin mπy. b Siis ( nπ ) 2 ( mπ ) 2, (7.2) λ n,m = n, m Z+, ja u n,m (x, y) = sin nπx sin mπy. a b a b Eräs ero yksiulotteiseen tapaukseen on, että nyt saamaan ominaisarvoon saattaa liittyä useita ominaisfunktioita. Esimerkiksi, jos a = b = π, on λ n,m = (n 2 + m 2 ) ja u n,m (x, y) = sin nx sin my. Vrt. kuviin 2 ja 3. 8 Viimeksi muutettu
2 7. LAPLACE-OPERAATTORIN OMINAISARVOISTA 37 Kuva 2. Laplace-yhtälön ominaisfunktioiden tasa-arvokäyriä u(x, y) = 0 neliössä [0, π] [0, π]. Tässä u = u n,m + r u m,n, r R, ja u n,m (x, y) = sin nx sin my, jota vastaa ominaisarvo λ n,m = (n 2 + m 2 ). Kuva kirjasta [2, Band I, s. 259]. Kuva 3. Laplace-yhtälön ominaisfunktioiden tasa-arvokäyriä u(x, y) = 0 neliössä [0, π] [0, π]. Funktio u(x, y) = u 2r,1 (x, y) + µ u 1,2r (x, y) on ominaisarvoa λ 2r,1 = λ 1,2r = (4r 2 + 1) vastaava ominaisfunktio kaikille µ R. Tässä u n,m (x, y) = sin nx sin my. Kuvissa r = 6; vasemmassa kuvassa µ = 1, oikeassa µ 1. Kuva kirjasta [2, Band I, s. 396].
3 7. LAPLACE-OPERAATTORIN OMINAISARVOISTA 38 Esimerkki 7.2. Etsitään kaksiulotteiselle aaltoyhtälölle ratkaisua u = u(x, y, t) (värähtelevä rummun kalvo, joka lepotilassaan on xy-tason riittävän sileä alue Ω): 2 u t = u = 2 u 2 x + 2 u alueessa Q = Ω (0, ), 2 y 2 (7.3) u(x, y, t) = 0 kaikille (x, y) Ω ja t > 0, sekä u(x, y, 0) = u 0 (x, y) ja u t (x, y, 0) = u 1(x, y) kaikille (x, y) Ω. Muuttujien separoinnilla u(x, y, t) = V (x, y)w (t) saadaan yhtälö W (t) W (t) = V V (x, y) Reunaehtojen nojalla funktiolle V saadaan ehdot V (x, y) = 0 = vakio = λ. kaikille (x, y) Ω. Paikkariippuvan yhtälön V = λv nollasta eroavat, reunaehdot toteuttavat ratkaisut ovat juuri Laplace-yhtälön ominaisfunktiot ja luvut λ vastaavat ominaisarvot. Koska Dirichlet n ominaisarvotehtävän ominaisarvot λ ovat negatiiviset, on aikariippuvan yhtälön ratkaisu W (t) = α sin µt + β cos µt, missä µ = λ. Oletetaan, että Dirichlet n ominaisarvotehtävällä on numeroituva määrä ominaisarvoja λ = µ 2 ja vastaavia ominaisfunktioita. Numeroidaan ominaisarvot λ j = µ 2 j ja vastaavat ominaisfunktiot V j, j Z +. Tällöin tehtävän (7.3) ratkaisu on u(x, y, t) = V j (x, y) (α j sin µ j t + β j cos µ j t), j=1 missä kertoimet α j ja β j pitää määrätä siten, että alkuehdot toteutuvat. Vastaavalla päättelyllä kaksiulotteisen lämmönjohtumisyhtälön u t = u alueessa Q = Ω (0, ), (7.4) u(x, y, t) = 0 kaikille (x, y) Ω ja t > 0, sekä u(x, y, 0) = u 0 (x, y) kaikille (x, y) Ω ratkaisuksi saadaan u(x, y, t) = V j (x, y) α j e µ2 j t, j=1 missä kertoimet α j pitää määrätä siten, että alkuehto toteutuu. Värähtelevän rummunkalvon ominaistaajuudet ovat luvut µ/(2π), kun λ = µ 2 on vastaavan Dirichlet n ominaisarvotehtävän ominaisarvo. Suorakaiteen muotoiselle rummulle ominaistaajuudet ovat kaavan (7.2) nojalla 1 2π λn,m = 1 2 (n a ) 2 + ( m b ) 2, n, m Z+.
4 Värähdyksen perustaajuus on 7. LAPLACE-OPERAATTORIN OMINAISARVOISTA 39 ν 0 = a b. 2 Erityisesti neliönmuotoiselle rummulle, jolle a = b, ominaistaajuudet ovat 2 2a. 1 n2 + m n2 + m 2a 2 = 2 ν 0, n, m Z +, missä ν 0 = 2 Ominaistaajuudet ovat siis perustaajuuden monikertoja, mutta eivät toinen toisensa rationaalisia monikertoja kuten värähtelevän jousen tapauksessa. Esimerkki 7.3. Tarkastellaan vielä tavallisempaa rummunkalvoa, eli olkoon Ω tason origokeskinen, R-säteinen ympyrä x 2 + y 2 < R 2. Olkoon u = u(x, y) Dirichlet n ominaisarvotehtävän ominaisfunktio ja λ vastaava ominaisarvo. Ympyränmuotoiselle alueelle on luonnollista käyttää napakoordinaatteja r ja ϕ. Asetetaan v(r, ϕ) = u(r cos ϕ, r sin ϕ) 0 r R, 0 ϕ 2π. Tällöin (HT) u = 2 u x + 2 u 2 y = 2 v 2 r + 1 v 2 r r v r 2 ϕ. 2 Käytetään v:n määräämiseen separointimenetelmää: v(r, ϕ) = V (r)w (ϕ). Tällöin u = λu V (r)w (ϕ) + 1 r V (r)w (ϕ) + 1 r 2 V (r)w (ϕ) = λv (r)w (ϕ) r 2 V (r) + 1 r V (r) λv (r) V (r) Funktioille V ja W saadaan siis yhtälöt r 2 V (r) + rv (r) + ( λr 2 µ)v (r) = 0, = W (ϕ) W (ϕ) = vakio = µ. W (ϕ) = µw (ϕ). Funktion ϕ v(r, ϕ) tulee olla 2π-jaksoinen, joten W :n yhtälöstä saadaan µ = n 2, n N, ja W (ϕ) = α cos nϕ + β sin nϕ. Yhtälö r 2 V (r) + rv (r) + ( λr 2 n 2 )V (r) = 0, on ns. Besselin differentiaaliyhtälö, jonka lineaarisesti riippumattomat ratkaisut ovat 9 kun λ = 0: cosh(n log r) ja sinh(n log r); kun λ < 0: J n ( λr), ensimmäisen lajin Besselin funktio, ja Y n ( λr), toisen lajin Besselin funktio; kun λ > 0: I n ( λr), modifioitu ensimmäisen lajin Besselin funktio, ja K n ( λr), modifioitu toisen lajin Besselin funktio. 9 Ks. esimerkiksi Milton Abramowitz, Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Ninth Dover printing, Dover Publications, Inc, New York. Funktioita Y n merkitään myös N n ja kutsutaan Neumannin tai Weberin funktioiksi.
5 7. LAPLACE-OPERAATTORIN OMINAISARVOISTA Kuva 4. Besselin funktioiden J 0 (tumma käyrä), J 1 ja J 2 (vaalea käyrä) kuvaajat. Tapaus λ = 0 ei tule kyseeseen, koska ratkaisu ei ole rajoitettu origon lähellä. Samoin toisen lajin Besselin funktiot Y n ( λr) ja K n ( λr) ovat rajoittamattomia origon lähellä. Funktiolla I n ( λr) puolestaan ei ole reaalisia nollakohtia, jonka takia se ei kelpaa. Nimittäin, alkuperäinen reunaehto Dirichlet n ominaisarvotehtävälle vaatii, että u(x, y) = 0 ympyrän kehällä, eli kun x 2 + y 2 = r 2 = R 2. Siis λ < 0, ja luvut λ tulee valita niin, että V (r) = J n ( λr), 0 = V (R) = J n ( λr), t.s. lukujen λr tulee olla funktion J n nollakohtia. Jos Besselin funktion J n nollakohdat ovat j n,m, m Z +, niin ( jn,m ) 2. λ = R Värähtelevää rummunkalvoa kuvaa siis funktio, joka saadaan liittämällä aikakäyttäytyminen aiemmin esitetyllä tavalla funktioon v(r, ϕ) = J n (j n,m r/r)(α n,m cos nϕ + β n,m sin nϕ). n=0 m=0 Besselin differentiaaliyhtälölle r 2 V (r) + rv (r) + (r 2 n 2 )V (r) = 0
6 7. LAPLACE-OPERAATTORIN OMINAISARVOISTA 41 ratkaisu V (r) = J n (r) on kohtalaisen helppo löytää yritteellä V (r) = a k r k+p, k=0 missä p on vakio. Ratkaisuksi löytyy p = ±n, ja kun valitaan p = n, saadaan kertoimille a k palautuskaava, jonka avulla ( 1) k ( r ) n+2k. J n (r) = k! (n + k)! 2 Toisen ratkaisun Y n määrääminen on hankalampaa; ks. [26, Ch. IX]. k= Sturmin-Liouvillen tehtävät. Sturmin-Liouvillen tehtävät ovat yhden muuttujan funktioiden y = y(x) toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöiden reunaarvotehtäviin liittyviä ominaisarvotehtäviä a(x)y (x) + b(x)y (x) + c(x)y(x) = λr(x)y(x), a 1 y(α) + b 1 y (α) = 0, a 2 y(β) + b 2 y (β) = 0. Tässä funktiot a, b, c ja r ovat annettuja funktioita välillä [α, β] R. Määritellään lineaarinen operaattori L, missä L: V C([α, β]), (Ly)(x) = a(x)y (x) + b(x)y (x) + c(x)y(x), V = {y C 2 ([α, β]) a 1 y(α) + b 1 y (α) = 0, a 2 y(β) + b 2 y (β) = 0}. Tavallisen sisätulon (f g) = β α f(x)g(x) dx suhteen operaattori L toteuttaa itseadjungoituneisuusehdon (Lu v) = (u Lv) kaikille u, v V, jos ja vain jos b = a. Merkitään p = a ja q = c. Tällöin itseadjungoitu reuna-arvotehtävä on ( p(x)y (x) ) q(x)y(x) = λr(x)y(x), a 1 y(α) + b 1 y (α) = 0, a 2 y(β) + b 2 y (β) = 0. Itseadjungoitua reuna-arvotehtävää sanotaan säännölliseksi, jos p, p, q ja r ovat jatkuvia välillä [α, β] ja r(x) > 0 kaikille x [α, β]. Määritellään sisätulo (f g) r = β α r(x)f(x)g(x) dx. Säännöllisille Sturmin-Liouvillen reuna-arvotehtäville on voimassa Lause 7.4. (i) Ominaisarvot λ ovat reaaliset (ja siten myös ominaisfunktiot). (ii) Kahta eri ominaisarvoa vastaavat ominaisfunktiot ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan sisätulon ( ) r suhteen.
7 7. LAPLACE-OPERAATTORIN OMINAISARVOISTA 42 (iii) Jokaista ominaisarvoa kohti on olemassa täsmälleen yksi ominaisfunktio (tarkemmin: k.o. ominaisfunktioiden joukko on vektoriavaruuden V yksiulotteinen aliavaruus). (iv) Ominaisarvoja on numeroituvasti ääretön määrä. Ominaisarvot voidaan järjestää siten, että λ 0 < λ 1 < λ 2 <..., jolloin (a) λ j, kun j ; (b) ominaisarvoa λ j vastaavalla ominaisfunktiolla y j on j nollakohtaa välillä (α, β); ja (c) ominaisfunktion y j+1 nollakohdat sijaitsevat ominaisfunktion y j nollakohtien välissä. (v) Jos f : [α, β] R jatkuvasti derivoituva, niin f voidaan esittää ominaisfunktioiden y j suppenevana sarjana f(x) = a j y j (x), missä j=0 a j = (f y j) r (y j y j ) r. Lauseelle löytyy varsin klassinen todistus kirjasta [2, Band I, Kapitel V, 14] (ongelma palautetaan Fredholmin integraaliyhtälöihin) ja nykyaikaisempi, kompaktien operaattoreiden teoriaan pohjautuva esitys kirjasta [15, Ch. XI.7]. Lauseen muotoilu on lainattu kirjasta [12, Ch. 6], jossa tosin kohtien (iv) ja (v) todistukset sivuutetaan (k.o. luku puuttuu kirjan aiemmista laitoksista). Huomaa, että Besselin differentiaaliyhtälö ei sovi yhteen säännöllisten Sturmin-Liouvillen reuna-arvotehtävien kanssa, koska toisen derivaatan kerroin häviää, kun r = 0. Esimerkki 7.5. Tarkastellaan ominaisarvotehtävää (huomaa, että λ:n merkki on vastakkainen kuin lauseessa) { V = λv välillä (0, π), ja V (0) = V (π) = 0. Differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on, kun merkitään λ = µ 2 (jos λ 0, niin ainoa reunaehdot toteuttava ratkaisu on V 0), Reunaehdoista saadaan joten V (x) = α cos µx + β sin µx. α = 0, cos µπ = 0, µ k = k, λ k = ( k)2, V k (x) = sin( 1 + k)x k N. 2 Ominaisfunktioista saatavat sarjat a k sin( 1 + k)x 2 k=1
8 7. LAPLACE-OPERAATTORIN OMINAISARVOISTA 43 eivät kuitenkaan ole varsinaisia Fourier n sarjoja, koska esiintyvät taajuudet ovat väärät. Fourier n sarjojen teoriaa voidaan kuitenkin soveltaa laajentamalla ominaisfunktiot V k (ja muut tarkasteltavat funktiot) välille [π, 2π] siten, että V k on parillinen pisteen x = π suhteen. Tämän jälkeen V k laajennetaan välille [ 2π, 0] siten, että V k on pariton. Lopuksi V k laajennetaan koko reaaliakselille siten, että V k on 2π-jaksoinen. Tähän reuna-arvotehtävään päädytään mm. yksiulotteisessa lämmönjohtumisyhtälössä, jos reunaehtoina on: sauvan toinen pää pidetään vakiolämpötilassa (u(0, t) = 0) ja toinen pää on eristetty ( u (π, t) = 0). x Myös yksiulotteisessa putkessa kulkevat paineaallot toteuttavat aaltoyhtälön. Jos putken toinen pää on suljettu, vastaa sitä reunaehto u(0, t) = 0. Jos toinen pää on avoin, vastaa sitä reunaehto u (π, t) = 0. x 7.2. Elliptiset operaattorit. Osittaisdifferentiaaliyhtälöille Sturmin-Liouvillen reuna-arvotehtäviä vastaavat elliptisten reuna-arvotehtävien ominaisarvotehtävät. Tarkastellaan toisen kertaluvun lineaarista, n muuttujan funktion u = u(x) = u(x 1,..., x n ) osittaisdifferentiaaliyhtälöä 2 u a i,j (x) + x i x j j=1 b j (x) u x j + c(x)u = f(x), missä a i,j, b j, c ja f ovat annettuja muuttujan x funktioita Ω R, ja jokin a i,j 0. Lineaarikuvausta 2 u L: u a i,j (x) + b j (x) u + c(x)u x i x j x j kutsutaan (osittais-)differentiaalioperaattoriksi ja lineaarikuvausta 2 u P : u a i,j (x) x i x j sen pääosaksi. Differentiaalioperaattorin pääosaan liitetään polynomi, ns. karakteristinen polynomi p(ξ 1,..., ξ n ) = a i,j (x)ξ i ξ j. Huomaa, että toisen kertaluvun differentiaalioperaattorin pääosa on neliömuoto (eli homogeeninen, toisen asteen polynomi). Kahden muuttujan x ja y differentiaalioperaattorit on tapana luokitella pääosan mukaan seuraavasti: Olkoon differentiaalioperaattorin karakteristinen polynomi j=1 P = a 2 x 2 + 2b 2 x y + c 2 y 2 p(ξ, η) = a ξ 2 + 2b ξη + c η 2. Sanotaan, että P on elliptinen: jos sen karakteristinen polynomi on definiitti, t.s. jos p(ξ, η) 0 kaikille (ξ, η) 0;
9 7. LAPLACE-OPERAATTORIN OMINAISARVOISTA 44 hyperbolinen: jos sen karakteristinen polynomi on indefiniitti, t.s. jos on olemassa (ξ, η) 0 siten, että p(ξ, η) = 0 ; ja parabolinen: jos sen karakteristinen polynomi on semidefiniitti, t.s. jos p(ξ, η) 0 kaikille (ξ, η) tai jos p(ξ, η) 0 kaikille (ξ, η). Vastaavaan tapaan kuin differentiaalilaskennassa (usean muuttujan funktioiden ääriarvot) voidaan osoittaa, että P on 1 elliptinen, jos ja vain jos b 2 ac < 0; 2 hyperbolinen, jos ja vain jos b 2 ac > 0; ja 3 parabolinen, jos ja vain jos b 2 ac = 0; Oikeastaan y.o. luokittelu sopii vain vakiokertoimisille operaattoreille tai vaihtoehtoisesti pitäisi sanoa esimerkiksi, että k.o. operaattori on elliptinen pisteessä (x 0, y 0 ), jos y.o. definiittisyysehto toteutuu polynomille p(ξ, η) = a(x 0, y 0 ) ξ 2 + 2b(x 0, y 0 ) ξη + c(x 0, y 0 ) η 2. Esimerkiksi, ns. Tricomin operaattori P = y 2 x 2 2 y 2 on elliptinen alemmassa puolitasossa y < 0, hyperbolinen ylemmässä puolitasossa y > 0, ja parabolinen x-akselilla. Palataan yleiseen tapaukseen. Sanotaan, että operaattori L = 2 a i,j (x) + x i x j j=1 b j (x) x j + c(x) on tasaisesti elliptinen, jos sen kertoimet ovat rajoitettuja funktioita Ω R, ja jos on olemassa α > 0 siten, että sen karakteristiselle polynomille on voimassa p(ξ) = a i,j (x)ξ i ξ j α ξ 2 kaikille ξ = (ξ 1,..., ξ n ) R n ja kaikille x Ω. Vastaavasti sanotaan, että muuttujan (x 1,..., x n, t) operaattori L on tasaisesti hyperbolinen, jos se on muotoa L = 2 t 2 L x, missä L x on tasaisesti elliptinen muuttujan (x 1,..., x n ) operaattori. Edelleen sanotaan, että muuttujan (x 1,..., x n, t) operaattori L on tasaisesti parabolinen, jos se on muotoa L = t L x, missä L x on tasaisesti elliptinen muuttujan (x 1,..., x n ) operaattori.
10 7. LAPLACE-OPERAATTORIN OMINAISARVOISTA 45 Näin esimerkiksi Laplace-operaattori = 2 x 2 j=1 j on tasaisesti elliptinen; aalto-operaattori = 2 t 2 on tasaisesti hyperbolinen; ja lämpöoperaattori t on tasaisesti parabolinen. Huomautus 7.6. Toisinaan jo operaattorin elliptisyyteen liitetään merkkisyysvaatimus, t.s. operaattorin karakterisen polynomin pitää olla positiivisesti definiitti, tai sen pitää olla negatiivisesti definiitti. Joskus siis sanotaan, että Laplace-operaattori on elliptinen, mutta että operaattori ei ole elliptinen. Toisinaan taas sanotaan, että operaattori on elliptinen, mutta että operaattori ei ole elliptinen. Tällöin saatetaan operaattoria kutsua Laplace-operaattoriksi Säännöllisiä Sturmin-Liouvillen reuna-arvotehtäviä koskevan lauseen vastine usean muuttujan funktioille on ns. spektraalilause tasaisesti elliptisille operaattoreille. Tarkastellaan Dirichlet n reuna-arvotehtävään liittyvää ominaisarvotehtävää. Olkoon Ω R n rajoitettu alue. Merkitään ja asetetaan L 2 (Ω) = { f : Ω R f on mitallinen ja (f g) = Ω f(x)g(x) dx, Ω } f(x) 2 dx < kun f, g L 2 (Ω). Tällöin on olemassa jono funktioita e k C (Ω), k Z +, ja jono (λ k ) k=1 siten, että (i) λ k > 0 ja λ k ; (ii) e k = λ k e k Ω:ssa; (iii) e k, e k x j L 2 (Ω); (iv) jokainen ominaisavaruus V λk = {u L 2 (Ω) C (Ω) u = λ k u ja u = 0 reunalla Ω} on äärellisulotteinen; (v) funktiot e k ovat ortogonaaliset sisätulon ( ) suhteen; (vi) jokainen f L 2 (Ω) voidaan esittää muodossa f = k=1 a ke k. Edelleen, funktiot e k toteuttavat Dirichlet n reunaehdon u(x) = 0 alueen reunalla Ω heikossa mielessä (tämä jääköön tarkentamatta), ja jos alueen reuna on riittävän sileä, niin e k C(Ω) ja ehto e k (x) = 0 alueen reunalla Ω toteutuu oikeasti. Tämä spektraalilause pitää paikkansa varsin yleisesti tasaisesti elliptisten operaattoreiden ominaisarvotehtäville. Jos alueen reuna on riittävän sileä ja operaattorin kertoimet riittävän derivoituvia, ovat yleistetyt ratkaisut ratkaisuja myös perinteisessä mielessä (jatkuvia alueen reunaa myöten, monta kertaa derivoituvia yms). Ks. [13, Ch. IX] ja [5, Ch. 6 ja Ch. 8].
u = 2 u (9.1) x + 2 u
9. Poissonin integraali 9.. Poissonin integraali. Ratkaistaan Diriclet n reuna-arvotehtävä origokeskisessä, R-säteisessä ympyrässä D = {(x, y) R x +y < R }, t.s. kun f : D R on annettu jatkuva funktio,
Lisätiedot6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia
Lisätiedotu(0, t) = 0 kaikille t > 0: lämpötila pidetään vakiona pisteessä x = 0;
3. Lämmönjohtumisyhtälö I Yksiulotteisessa lämmönjohtumisyhtälössä u t = u γ x tuntematon funktio u = u(x, t) kuvaa lämpötilaa yksiulotteisen kappaleen (ohut sauva; x-akseli) kohdassa x hetkellä t. Kun
Lisätiedot6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI
0 6 OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 6 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus, dim(v ) = n ja L : V V lineaarikuvaus Määritelmä 6 Skalaari λ R on L:n ominaisarvo, jos
LisätiedotMS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Lisätiedot4 Korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt
Differentiaaliyhtälöt c Pekka Alestalo 2015 Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin differentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Luennolla lasketaan esimerkkitehtäviä
LisätiedotJYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. Integraalilaskenta 2 Harjoitus Olkoon A := {(x, y) R 2 0 x π, sin x y 2 sin x}. Laske käyräintegraali
JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MTEMTIIKN J TILSTOTIETEEN LITOS Integraalilaskenta Harjoitus 4 5.4.4. Olkoon := {(x, y) R x π, sin x y sin x}. Laske käyräintegraali + (y dx + x dy) a) suoraan; ja b) Greenin lauseen
LisätiedotRatkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1
1. Selvitä missä tason pisteissä annetut funktiot ovat derivoituvia/analyyttisiä. Määrää funktion derivaatta niissä pisteissä, joissa se on olemassa. (a) (x, y) 2x + ixy 2 (b) (x, y) cos x cosh y i sin
LisätiedotOsittaisdifferentiaaliyhtälöt
Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoituskokoelmat 4 ja 5, kevät 2011 Palautus Eemeli Blåstenille to 23.6. klo 16.00 mennessä 1. Ratkaise Dirichlet ongelma u(x, y) = 0, x 2 + y 2 < 1, u(x, y) = y + x 2,
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
Lisätiedot= vakio = λ. V (x) V (0) = V (l) = 0.
6. Aatoyhtäö I 6.1. Ratkaisu Fourier-sarjojen avua. Oetetaan, että värähteevän angan muodon hetkeä t = määrää funktio u ja nopeuden funktio u 1. Otetaan tehtäväksi määrätä seuraavan akuarvo- reuna-arvotehtävän
LisätiedotKuva 1: Funktion f tasa-arvokäyriä. Ratkaisu. Suurin kasvunopeus on gradientin suuntaan. 6x 0,2
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon f : R R f(x 1, x ) = x 1 + x Olkoon C R. Määritä tasa-arvojoukko Sf(C) = {(x 1, x
LisätiedotLUKU 7. Perusmuodot Ensimmäinen perusmuoto. Funktiot E, F ja G ovat tilkun ϕ ensimmäisen perusmuodon kertoimet ja neliömuoto
LUKU 7 Perusmuodot 7 Ensimmäinen perusmuoto Määritelmä 7 Olkoon ϕ: U R 3 tilkku Määritellään funktiot E, F, G: U R asettamalla (7) E := ϕ ϕ, F := ϕ, G := ϕ u u u u Funktiot E, F G ovat tilkun ϕ ensimmäisen
LisätiedotLineaarinen toisen kertaluvun yhtälö
Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö Keijo Ruotsalainen Mathematics Division Lineaarinen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Toisen kertaluvun täydellinen lineaarinen yhtälö muotoa p 2 (x)y + p 1 (x)y
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
Lisätiedot3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T
3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T Huomautus epälineaarisista. kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Epälineaarisen DY:n ratkaisemiseen ei ole yleismenetelmää. Seuraavat erikoistapaukset voidaan ratkaista
Lisätiedotu 2 dx, u A f siten, että D(u) = inf D(U). Tarkemmin: Tarkoitus on osoittaa seuraavat minimointitehtävä ja Dirichlet n tehtävä u A f ja
1. Dirichlet n periaatteesta 1.1. Periaate I. Dirichlet n periaate pohjautuu fysikaaliseen minimienergiaperiaatteeseen ja luo pohjaa osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ja variaatiolaskennan välille). Yksinkertaisesti
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle /
Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle / 16. 18.5. Lineaariset differentiaaliyhtälöt, homogeeniset differentiaaliyhtälöt Tehtävä 1: a) Määritä differentiaaliyhtälön y 3y = 14e 4x
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
LisätiedotDierentiaaliyhtälöistä
Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 17. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotDierentiaaliyhtälöistä
Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 4. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Lisätiedot4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt
4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 4.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Homogeeninen yhtälö on muotoa F(x, y,, y (n) ) = 0. (1) Yhtälö on lineaarinen, jos se voidaan
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
LisätiedotOminaisarvot ja ominaisvektorit 140 / 170
Ominaisarvot ja ominaisvektorit 140 / 170 Seuraavissa luvuissa matriisit ja vektori ajatellaan kompleksisiksi, ts. kertojakuntana oletetaan olevan aina kompleksilukujoukko C Huomaa, että reaalilukujoukko
Lisätiedota 1 y 1 (x) + a 2 y 2 (x) = 0 vain jos a 1 = a 2 = 0
6. Lineaariset toisen kertaluvun yhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt ovat tuntuvasti hankalampia ratkaista kuin ensimmäinen. Käsittelemmekin tässä vain tärkeintä erikoistapausta, toisen kertaluvun
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.
MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu
LisätiedotKirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskin (yo-kirjoituksissa hyväksytty) on sallittu apuväline tässä kokeessa!
Aalto yliopiston teknillinen korkeakoulu Mat-1.1040 L4 Tentti ja välikokeiden uusinta 21.5.2010 Gripenberg, Arponen, Siljander Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskin
LisätiedotOsoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,
Lisätiedotx j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu
2 Interpolointi Olkoon annettuna n+1 eri pistettä x 0, x 1, x n R ja n+1 lukua y 0, y 1,, y n Interpoloinnissa etsitään funktiota P, joka annetuissa pisteissä x 0,, x n saa annetut arvot y 0,, y n, (21)
LisätiedotHarjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia:
Differentiaaliyhtälöt, Kesä 216 Harjoitus 2 1. Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: (a) y = (2 y) 3, (b) y = (y 1) 2, (c) y = 2y y 2. 2. Etsi seuraavien
Lisätiedotw + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.
Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)
LisätiedotOletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon U R avoin joukko ja ϕ = (ϕ 1, ϕ, ϕ 3 ) : U R 3 kaksiulotteisen C 1 -alkeispinnan
Lisätiedot3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt
3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 3.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos se voidaan kirjoittaa muotoon Jos r(x)
LisätiedotTampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö
Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö Kevät 017 Luennot: Kerkko Luosto Muistiinpanot: Jesse Railo (013) ja Jussi Klemetti (017) 6 Kartioleikkaukset Vanhan ajan geometrian merkittävimpiä tuloksia
LisätiedotLUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k
LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotPisteessä (1,2,0) osittaisderivaatoilla on arvot 4,1 ja 1. Täten f(1, 2, 0) = 4i + j + k. b) Mihin suuntaan pallo lähtee vierimään kohdasta
Laskukarnevaali Matematiikka B. fx, y, z) = x sin z + x y, etsi f,, ) Osittaisderivaatat ovat f f x = sin z + xy, y = x, f z = x cos z Pisteessä,,) osittaisderivaatoilla on arvot 4, ja. Täten f,, ) = 4i
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
LisätiedotMS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt. osa 2 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 1 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
LisätiedotTRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT
TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT ARI LEHTONEN. Trigonometriset funktiot.. Peruskaavat. tan x := sin x cos x, cos x cot x := sin x Anglosaksisissa maissa käytössä ovat myös funktiot sekantti sec
Lisätiedot1 Sisätulo- ja normiavaruudet
1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v
Lisätiedotf(x 1, x 2 ) = x x 1 k 1 k 2 k 1, k 2 x 2 1, 0 1 f(1, 1)h 1 = h = h 2 1, 1 12 f(1, 1)h 1 h 2
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 7 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotukset 6.. Olkoon f : G R, G = {(x, x ) R x > }, f(x, x ) = x x. Etsi differentiaalit d k f(, ), k =,,. Ratkaisu:
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016 Antti Rasila
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, 2952018, Ratkaisut (Sarja A) 1 Anna kaikissa kohdissa vastaukset tarkkoina arvoina Kohdassa d), anna kulmat
LisätiedotMatematiikka B3 - Avoin yliopisto
2. heinäkuuta 2009 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Lisäharjoitustehtävä Kurssin sisältö (1/2) 1. asteen Differentiaali yhtälöt (1.DY) Separoituva Ratkaisukaava Bernoyulli
LisätiedotEpähomogeenisen yhtälön ratkaisu
Epähomogeenisen yhtälön ratkaisu Lause Olkoot a = a(x), b = b(x) ja f = f(x) jatkuvia funktioita välillä I R ja olkoot y 1 = y 1 (x) ja y 2 = y 2 (x) eräs homogeeniyhtälön y + a(x)y + b(x)y = 0 ratkaisujen
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, syksy 2016 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 8. harjoitus, viikko 49 R1 to 12 14 F453 (8.12.) R2 to 14 16 F345 (8.12.) R3 ke 8 10 F345 (7.11.) 1. Määritä funktion f (x) = 1 Taylorin sarja
Lisätiedot10. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt
37. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaalihtälöt Tarkastelemme muotoa () ( x) + a( x) ( x) + a( x) ( x) = b( x) olevia htälöitä, missä kerroinfunktiot ja oikea puoli ovat välillä I jatkuvia. Edellisen
LisätiedotOrtogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle
Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka
LisätiedotLineaarikuvauksen R n R m matriisi
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:
LisätiedotAvaruuden R n aliavaruus
Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla
Lisätiedot11. Poissonin yhtälö Perusratkaisu. Laplacen yhtälöön liittyvää epähomogeenista osittaisdifferentiaaliyhtälöä
. Poissonin yhtälö.. Perusratkaisu. Laplacen yhtälöön liittyvää epähomogeenista osittaisdifferentiaaliyhtälöä u = f kutsutaan Poissonin yhtälöksi ja siihen liittyvvää reuna-arvotehtävää { u = f :ssa, ja
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotLUKU 6. Mitalliset funktiot
LUKU 6 Mitalliset funktiot Määritelmistä 3. ja 3.0 seuraa, että jokainen Lebesgue-integroituva funktio on porrasfunktiojonon raja-arvo melkein kaikkialla. Kuitenkin moni tuttu funktio ei ole Lebesgue-integroituva.
Lisätiedot5 Differentiaaliyhtälöryhmät
5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =
LisätiedotOminaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus
Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen
LisätiedotTäydellisyysaksiooman kertaus
Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja
LisätiedotDierentiaaliyhtälöistä
Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 14. helmikuuta 2011 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun olemassaolosta ja yksikäsitteisyydestä...........
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
Lisätiedot(a) avoin, yhtenäinen, rajoitettu, alue.
1. Hahmottele seuraavat tasojoukot. Mitkä niistä ovat avoimia, suljettuja, kompakteja, rajoitettuja, yhtenäisiä, alueita? (a) {z C 1 < 2z + 1 < 2} (b) {z C z i + z + i = 4} (c) {z C z + Im z < 1} (d) {z
Lisätiedot6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI
6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T Muistutus: vektorien a ja b pistetulo (skalaaritulo,
Lisätiedot9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista
29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY exp z., k = 1, 2,... Eksponenttifunktion z exp(z) Laurent-sarjan avulla
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 11. Integrointi erillisen erikoispisteen ympäri Olkoot f analyyttinen punkteeratussa kiekossa D(z 0.r\{z 0 }. Funktiolla f on erikoispiste z 0.
LisätiedotMatriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?
Harjoitus 1, kevät 007 1. Olkoon [ ] cos α sin α A(α) =. sin α cos α Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?. Olkoon a x y A = 0 b z, 0 0 c missä a, b, c 0. Määrää käänteismatriisi
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS
f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Funktionaalianalyysi Ei harjoituksia 1.4.2015 Funktionaalista viihdettä pääsiäistauolle: viikolla 14 (ma 30.3., ti 31.3. ja ke 1.4.)
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai
. (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita
Lisätiedotpuolitasossa R 2 x e x2 /(4t). 4πt
8. Lämmönjohtumisyhtälö II 8.1. Lämpöydin. Tarkastellaan lämmönjohtumisyhtälöä reaaliakselilla, t.s. pyritään ratkaisemaan alkuarvotehtävä u (8.1) t u 2 u puolitasossa R 2 x 2 + R (, ), u(x, ) f(x) kaikille
LisätiedotSisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006
Sisätuloavaruudet 4. lokakuuta 2006 Tässä esityksessä vektoriavaruudet V ja W ovat kompleksisia ja äärellisulotteisia. Käydään ensin lyhyesti läpi määritelmiä ja perustuloksia. Merkitään L(V, W ) :llä
Lisätiedot1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)
Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)
LisätiedotSARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 43 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Kuva 12. Esimerkin 4.26(c kuvauksen
Lisätiedot2. Fourier-sarjoista. Aaltoliikkeen ja lämmöjohtumisen matemaattinen tarkastelu
2. Fourier-sarjoista Fourier-analyysi: Aaltoliikkeen ja lämmöjohtumisen matemaattinen tarkastelu Matemaattisen analyysin täkein työväline "Jokainen funktio" voidaan esittää harmonisten värähtelyjen, so.
Lisätiedot, on säännöllinen 2-ulotteinen pinta. Määrää T x0 pisteessä x 0 = (0, 1, 1).
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 017 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset 4.1. Osoita, että tasa-arvojoukko S F (0), F : R 3 R, F (x) = 3x 1 x 3 + e x + x e x 3, on säännöllinen
Lisätiedot7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi
7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).
LisätiedotLämpöyhtälö ja sen ratkaisut
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Viktoriia Dziuba Lämpöyhtälö ja sen ratkaisut Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka ja tilastotieteet Matematiikan aineenopettajakoulutus Huhtikuu 216 Tampereen
Lisätiedot8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa
8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen
Lisätiedot= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2
Ratkaisut 1.1. (a) + 5 +5 5 4 5 15 15 (b) 5 5 5 5 15 16 15 (c) 100 99 5 100 99 5 4 5 5 4 (d) 100 99 5 100 ( ) 5 1 99 100 4 99 5 1.. (a) ( 100 99 5 ) ( ( 4 ( ) ) 4 1 ( ) ) 4 9 4 16 (b) 100 99 ( 5 ) 1 100
Lisätiedot4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
1 Laaja matematiikka 5 Kevät 010 4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa esiintyvistä matemaattisista malleista on differentiaaliyhtälö.
LisätiedotVektoriarvoiset funktiot Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus
8. Vektoriarvoiset funktiot 8.1. Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus 320. Olkoon u reaalimuuttujan vektoriarvoinen funktio R R n ja lim t a u(t) = b. Todista: lim t a u(t) = b. 321. Olkoon
LisätiedotLectio Praecursoria: Epälokaali epälineaarinen potentiaaliteoria ja fraktionaaliset integraalioperaattorit
: Epälokaali epälineaarinen potentiaaliteoria ja fraktionaaliset integraalioperaattorit Janne Korvenpää Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Lokaali ja lineaarinen:
LisätiedotKompleksianalyysi, viikko 6
Kompleksianalyysi, viikko 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Funktion erikoispisteet Määr. 1 Jos f on analyyttinen pisteen z 0 aidossa ympäristössä 0 < z z 0 < r jollakin r > 0, niin sanotaan, että
LisätiedotVektorianalyysi I MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21.
Vektorianalyysi I MAT21003 Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21. syyskuuta 2017 1 Sisältö 1 Euklidinen avaruus 3 1.1 Euklidinen avaruus
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 TFM Laskuharjoitus 2L
Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 TFM Laskuharjoitus 2L Tehtävät 1-3 ovat kotitehtäviä, jotka on tarkoitus laskea ennen loppuviikon harjoitusta. Tehtävät 4-6 palautetaan kirjallisena A4-paperilla
LisätiedotMaksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta
Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti
Lisätiedoty + 4y = 0 (1) λ = 0
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 6 mallit Kevät 2019 Tehtävä 1. Ratkaise yhtälöt a) y + 4y = x 2, b) y + 4y = 3e x. Ratkaisu: a) Differentiaaliyhtälön yleinen
Lisätiedoty (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x
BM0A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 4, Kevät 017 Päivityksiä: 1. Ratkaise differentiaaliyhtälöt 3y + 4y = 0 ja 3y + 4y = e x.. Ratkaise DY (a) 3y 9y + 6y = e 10x (b) Mikä on edellisen
LisätiedotDerivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion
LisätiedotVektorilaskenta, tentti
Vektorilaskenta, tentti 27102017 Tentin kesto n 3 tuntia Vastaa NELJÄÄN tehtävään Jos vastaat kaikkiin, niin neljä PARASTA otetaan huomioon Kuvat vievät tilaa, joten muista kurkistaa paperin toiselle puolelle
Lisätiedot