Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo
|
|
- Annikki Palo
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä /310
2 Kertausta: pistetulon ominaisuuksia Lause 74 Oletetaan, että v, w, ū R n ja c R. Tällöin (a) v w = w v (vaihdannaisuus) (b) v ( w + ū) = v w + v ū (osittelulaki) (c) (c v) w = c( v w) (skalaarin siirto) Lause 75 Oletetaan, että v R n. Tällöin (a) v v 0. (b) v v = 0, jos ja vain jos v = 0. LM2, Kesä /310
3 Sisätulo Ottamalla lähtökohdaksi avaruuden R n vektorien pistetulon ominaisuudet, voidaan määritellä vektoriavaruuteen V yleisempi sisätulon käsite. LM2, Kesä /310
4 Sisätulo Määritelmä Oletetaan, että V on vektoriavaruus. Vektoriavaruuden V sisätulo on sääntö, joka liittää jokaiseen vektoriavaruuden V alkiopariin ( v, w) täsmälleen yhden reaaliluvun, jota merkitään v, w. Lisäksi vaaditaan, että seuraavat ehdot toteutuvat kaikilla v, w, ū V ja c R: 1. v, w = w, v (vaihdannaisuus) 2. v, w + ū = v, w + v, ū (osittelulaki) 3. c v, w = c v, w (skalaarin siirto) 4. v, v 0 ja v, v = 0, jos ja vain jos v = 0. Jos vektoriavaruudessa on määritelty sisätulo, vektoriavaruutta kutsutaan sisätuloavaruudeksi. LM2, Kesä /310
5 Sisätuloavaruus Esimerkki 76 Oletetaan, että kokonaisluku n 1. Vektoriavaruus R n on sisätuloavaruus, sillä sisätuloksi voidaan valita tavallinen pistetulo: Huom. v, w = v w. Pistetulo toteuttaa sisätulon määritelmän ehdot lauseiden 74 ja 75 nojalla. LM2, Kesä /310
6 Sisätuloavaruus Esimerkki 77 Vektoriavaruuteen R n voidaan määritellä myös muita sisätuloja. Osoitetaan, että esimerkiksi ehto v, w = v 1 w 1 + 2v 2 w 2 antaa ns. painotetun sisätulon avaruuteen R 2. Oletetaan, että v, w, ū R 2 ja c R. 1. Reaalilukujen kertolaskun vaihdannaisuudesta seuraa, että v, w = v 1 w 1 + 2v 2 w 2 = w 1 v 1 + 2w 2 v 2 = w, v. LM2, Kesä /310
7 2. Reaalilukujen osittelulain sekä yhteenlaskun liitännäisyyden ja vaihdannaisuuden nojalla v + w, ū = (v 1 + w 1 )u 1 + 2(v 2 + w 2 )u 2 = v 1 u 1 + w 1 u 1 + 2v 2 u 2 + 2w 2 u 2 = v 1 u 1 + 2v 2 u 2 + w 1 u 1 + 2w 2 u 2 = v, ū + w, ū. 3. Reaalilukujen osittelulain nojalla c v, w = cv 1 w 1 + 2cv 2 w 2 = c(v 1 w 1 + 2v 2 w 2 ) = c v, w. LM2, Kesä /310
8 4. Ensinnäkin v, v = v 1 v 1 + 2v 2 v 2 = v v Osoitetaan, että lisäksi v, v = 0, jos ja vain jos v = 0. : Oletetaan, että v, v = 0. Tällöin v v 2 2 = 0. Koska kumpikin yhteenlaskettava on epänegatiivinen, täytyy päteä v1 2 = 0 ja 2v 2 2 = 0. Tästä seuraa, että v 1 = 0 ja v 2 = 0. Siis v = 0. : Oletetaan, että v = 0. Tällöin v, v = 0, 0 = = 0. LM2, Kesä /310
9 Sisätuloavaruus Esimerkki 78 Merkitään V = {f : [0, 1] R f on derivoituva}. Joukko V on vektoriavaruus, jos funktioiden yhteenlasku ja skalaarikertolasku määritellään tavalliseen tapaan pisteittäin. Kurssin Analyysi II tietojen avulla voidaan osoittaa, että vektoriavaruuden V yksi sisätulo on f, g = 1 0 f (x)g(x) dx. LM2, Kesä /310
10 Lause 79 Sisätulon ominaisuuksia Sisätuloavaruudessa V pätee v, 0 = 0 ja 0, v = 0 kaikilla v V. Todistus. Oletetaan, että V on sisätuloavaruus ja v V. Tällöin v, 0 = v, = v, 0 + v, 0. Vähentämällä yhtälön molemmilta puolilta luku v, 0, saadaan 0 = v, 0. Lisäksi sisätulon määritelmän perusteella 0, v = v, 0, joten myös 0, v = 0. LM2, Kesä /310
11 Määritelmä Normi ja kohtisuoruus Oletetaan, että V on sisätuloavaruus ja v, w V. Vektorin v normi on v = v, v. Vektoreiden v ja w välinen etäisyys on d( v, w) = v w. Vektorit v ja w ovat ortogonaaliset, jos v, w = 0. Vektori v on yksikkövektori, jos v = 1. Huom. Sisätulon määritelmän mukaan v, v 0, joten normi on aina määritelty. LM2, Kesä /310
12 Normin ominaisuuksia Sisätuloavaruuden normilla on samat ominaisuudet kuin avaruuden R n normilla. Myös perustelu on oleellisesti sama. Lause 80 Oletetaan, että V on sisätuloavaruus, v V ja c R. Tällöin (a) v 0; (b) v = 0, jos ja vain jos v = 0; (c) c v = c v. LM2, Kesä /310
13 Pythagoras sisätuloavaruudessa Koulusta tuttu Pythagoraan lause voidaan yleistää mihin tahansa sisätuloavaruuteen: Lause 81 (Pythagoraan lause) Oletetaan, että V on sisätuloavaruus ja v, w V. Vektorit v ja w ovat ortogonaaliset, jos ja vain jos v 2 + w 2 = v + w 2. v + w w v + w w v v LM2, Kesä /310
14 Kohtisuora komplementti Määritelmä Oletetaan, että W on sisätuloavaruuden V aliavaruus. Sen kohtisuora komplementti on joukko W = { v V v, w = 0 kaikilla w W }. Huom. Aliavaruuden kohtisuora komplementti muodostuu niistä vektoreista, jotka ovat kohtisuorassa kaikkia kyseisen aliavaruuden vektoreita vastaan. LM2, Kesä /310
15 Esimerkki 82 Kohtisuora komplementti Tarkastellaan avaruuden R 2 aliavaruutta W = span ( (2, 1) ), joka on vektorin (2, 1) suuntainen, origon kautta kulkeva suora. Sen kohtisuora komplementti on W = { v R 2 v, w = 0 kaikilla w W } = { v R 2 v w = 0 kaikilla w W } = {(v 1, v 2 ) (v 1, v 2 ) t(2, 1) = 0 kaikilla t R} = {(v 1, v 2 ) t(2v 1 + v 2 ) = 0 kaikilla t R} = {(v 1, v 2 ) 2v 1 + v 2 = 0 } =... LM2, Kesä /310
16 W =... = {(v 1, v 2 ) v 2 = 2v 1 } = {(v 1, 2v 1 ) v 1 R } = {v 1 (1, 2) v 1 R } = span ( (1, 2) ) eli origon kautta kulkeva vektorin (1, 2) suuntainen suora. LM2, Kesä /310
17 Havaitaan, että esimerkin aliavaruus W ja sen kohtisuora komplementti ovat kaksi toisiaan vastaan kohtisuorassa olevaa avaruuden R 2 suoraa: W = span ( (2,1) ) W = span ( (1, 2) ) LM2, Kesä /310
18 Kohtisuora komplementti Esimerkki 83 Tarkastellaan avaruuden R 3 aliavaruutta W = span ( (4, 2, 1) ), joka on vektorin (4, 2, 1) suuntainen, origon kautta kulkeva suora. Sen kohtisuora komplementti on W = { v R 3 v, w = 0 kaikilla w W } = { v R 3 v w = 0 kaikilla w W } = {(v 1, v 2, v 3 ) (v 1, v 2, v 3 ) t(4, 2, 1) = 0 kaikilla t R} =... LM2, Kesä /310
19 W =... = {(v 1, v 2, v 3 ) t(4v 1 + 2v 2 v 3 ) = 0 kaikilla t R} = {(v 1, v 2, v 3 ) 4v 1 + 2v 2 v 3 = 0 } eli origon kautta kulkeva avaruuden R 3 taso, jonka yksi normaali on vektori (4, 2, 1). LM2, Kesä /310
20 Havaitaan, että esimerkin aliavaruus W ja sen kohtisuora komplementti ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa olevat avaruuden R 3 suora ja taso: W = span ( (4,2, 1) ) W = {(x, y, z) 4x + 2y z = 0} LM2, Kesä /310
21 Lause 84 Kohtisuora komplementti on aliavaruus Oletetaan, että W on sisätuloavaruuden V aliavaruus. Tällöin myös kohtisuora komplementti W on sisätuloavaruuden V aliavaruus. Todistus. Oletetaan, että v, ū W ja c R. Tällöin kaikilla w W pätee v, w = 0 ja ū, w = 0 (kohtisuoran komplementin määritelmä). Aliavaruuden määritelmän ehdot: (a) Tutkitaan summaa v + ū. Oletetaan, että w W. Tällöin v + ū, w = v, w + ū, w = = 0. Tämä pätee millä tahansa w W, joten v + ū W. LM2, Kesä /310
22 (b) Tutkitaan skalaarimonikertaa c v. Oletetaan, että w W. Tällöin c v, w = c v, w = c 0 = 0. Tämä pätee millä tahansa w W, joten c v W. (c) Tutkitaan vielä nollavektoria. Lauseen 79 nojalla kaikilla w W. Siis 0 W. 0, w = 0 LM2, Kesä /310
23 Kohtisuora komplementti Lause 85 Oletetaan, että W on sisätuloavaruuden V aliavaruus. Oletetaan lisäksi, että W = span( w 1,..., w k ) ja v V. Tällöin v W, jos ja vain jos v, w i = 0 kaikilla i {1,..., k}. Todistus. : Oletetaan, että v W. Tällöin v, w = 0 kaikilla w W. Erityisesti v, w i = 0 kaikilla i {1,..., k}. : Oletetaan, että v, w i = 0 kaikilla i {1,..., k}. Väitteen v W todistamiseksi on osoitettava, että v, w = 0 kaikilla w W. LM2, Kesä /310
24 Oletetaan, että w W. Tällöin w = a 1 w 1 + a 2 w a k w k joillakin a 1,..., a k R. Sisätulon määritelmän ehtojen nojalla v, w = v, a 1 w 1 + a 2 w a k w k = v, a 1 w 1 + v, a 2 w v, a k w k = a 1 v, w 1 + a 2 v, w a k v, w k = a a a k 0 = 0. Siis v, w = 0 olipa w mikä tahansa aliavaruuden W vektori. Näin v W. LM2, Kesä /310
25 Kohtisuora komplementti Esimerkki 86 Tarkastellaan avaruuden R 3 aliavaruutta W = span ( (1, 0, 3) (2, 1, 5) ), joka on vektoreiden w 1 = (1, 0, 3) ja w 2 = (2, 1, 5) suuntainen, origon kautta kulkeva taso. Sen kohtisuora komplementti on lauseen 85 nojalla W = { v R 3 v, w = 0 kaikilla w W } = { v R 3 v, w 1 = 0 ja v, w 2 = 0} = { v R 3 v w 1 = 0 ja v w 2 = 0} = {(v 1, v 2, v 3 ) v 1 + 3v 3 = 0 ja 2v 1 + v 2 + 5v 3 = 0}. LM2, Kesä /310
26 Ratkaistaan yhtälöpari { x1 + 3x 3 = 0 Täydennetty matriisi: 2x 1 + x 2 + 5x 3 = 0. [ ] [ ] Ratkaisut ovat x = ( 3t, t, t), missä t R. Näin ollen W = {(v 1, v 2, v 3 ) v 1 + 3v 3 = 0 ja 2v 1 + v 2 + 5v 3 = 0} = {t( 3, 1, 1) t R} = span ( ( 3, 1, 1) ) eli origon kautta kulkeva, vektorin ( 3, 1, 1) suuntainen suora. LM2, Kesä /310
27 Havaitaan, että esimerkin aliavaruus W ja sen kohtisuora komplementti ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa olevat avaruuden R 3 taso ja suora: W = span ( ( 3,1,1) ) W = span ( (1,0,3), (2,1,5) ) LM2, Kesä /310
28 Kohtisuora komplementti Lause 87 Oletetaan, että W on sisätuloavaruuden V aliavaruus. Tällöin W W = { 0}. Todistus. : Oletetaan, että ū W W. Tällöin ū W ja ū W. Kohtisuoran komplementin määritelmän mukaan tällöin ū, w = 0 kaikilla w W. Erityisesti ū, ū = 0. Sisätulon määritelmästä seuraa, että tällöin ū = 0. Siis W W { 0}. : Koska W ja W ovat kumpikin aliavaruuksia, niin 0 W ja 0 W. Siten 0 W W. Siis { 0} W W. LM2, Kesä /310
29 Määritelmä Kertausta: projektio Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Oletetaan, että v, w R n ja w 0. Vektorin v projektio vektorin w suuntaiselle suoralle on proj w ( v) = v w w w w. v proj w ( v) w LM2, Kesä /310
30 Ortogonaalinen jono ja ortonormaali jono Määritelmä Sisätuloavaruuden V jono ( v 1, v 2,..., v k ) on ortogonaalinen, jos v i, v j = 0 kaikilla i j v i 0 kaikilla i {1, 2,..., k}. Sisätuloavaruuden V jono ( v 1, v 2,..., v k ) on ortonormaali, jos se on ortogonaalinen v i = 1 kaikilla i {1, 2,..., k}. LM2, Kesä /310
31 Ortogonaalinen jono ja ortonormaali jono Toisin sanottuna sisätuloavaruuden V jono ( v 1, v 2,..., v k ) on ortogonaalinen, jos sen vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eikä mikään vektoreista ole nollavektori. ortonormaali, jos sen vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan ja niistä jokaisen normi on yksi. LM2, Kesä /310
32 Kohtisuora projektio Määritelmä Oletetaan, että W on sisätuloavaruuden V aliavaruus, jolla on ortogonaalinen kanta ( w 1,..., w k ). Vektorin v V (kohtisuora) projektio aliavaruudelle W on proj W ( v) = v, w 1 w 1, w 1 w 1 + v, w 2 w 2, w 2 w v, w k w k, w k w k. Vektorin v kohtisuora komponentti aliavaruutta W vastaan on perp W ( v) = v proj W ( v). LM2, Kesä /310
33 Kohtisuora projektio Huom. Voidaan osoittaa, että jokaiselle äärellisulotteiselle vektoriavaruudelle löytyy ortogonaalinen kanta. projektio on sama riippumatta siitä, mikä ortogonaalinen kanta valitaan. LM2, Kesä /310
34 Esimerkki 88 Kohtisuora projektio Merkitään w = (1, 2, 0, 1) ja v = (6, 7, 3, 2). Tarkastellaan avaruuden R 4 aliavaruutta W = span( w). Vektorin v projektio aliavaruudelle W on proj W ( v) = Huom. v, w v w w = w, w w w = 3 w. w = w = 18 6 w Aliavaruutta W = span( w) voi ajatella vektorin w suuntaisena suorana avaruudessa R 4. LM2, Kesä /310
35 Kohtisuora projektio Esimerkki 89 Merkitään w 1 = (1, 1, 0) ja w 2 = ( 1, 1, 1). Tarkastellaan avaruuden R 3 aliavaruutta W = span( w 1, w 2 ), joka on vektoreiden w 1 ja w 2 suuntainen, origon kautta kulkeva taso. Havaitaan, että w 1 w 2, joten jono ( w 1, w 2 ) on vapaa. Siten se on virittämänsä aliavaruden W = span( w 1, w 2 ) kanta. Lisäksi w 1 w 2 = = 0, joten kanta ( w 1, w 2 ) on ortogonaalinen. LM2, Kesä /310
36 Tällöin voidaan määrittää vektorin v = (3, 1, 2) projektio aliavaruudelle W : proj W ( v) = v, w 1 w 1, w 1 w 1 + v, w 2 w 2, w 2 w 2 = v w 1 w 1 w 1 w 1 + v w 2 w 2 w 2 w 2 = w w 2 = w w 2 =... = 1 (5, 1, 2). 3 LM2, Kesä /310
37 Vektorin v projektio aliavaruudelle W = span( w 1, w 2 ): v w 1 projw ( v) w 2 LM2, Kesä /310
38 Kohtisuora projektio Lause 90 Oletetaan, että W on sisätuloavaruuden V aliavaruus ja v V. Tällöin proj W ( v) W. Todistus. Määritelmän mukaan proj W ( v) = v, w 1 w 1, w 1 w 1 + v, w 2 w 2, w 2 w v, w k w k, w k w k on aliavaruuden W kantavektoreiden lineaarikombinaatio. Siten proj W ( v) W. LM2, Kesä /310
39 Kohtisuora projektio Lause 91 Oletetaan, että W on sisätuloavaruuden V aliavaruus ja v V. Tällöin perp W ( v) W. perp W ( v) v proj W ( v) LM2, Kesä /310
40 Lauseen 91 todistus. Olkoon B = ( w 1,..., w k ) aliavaruuden W ortogonaalinen kanta. Määritelmän mukaan perp W ( v) = v proj W ( v). Lauseen 85 nojalla riittää siten osoittaa, että v proj W ( v), w i = 0 kaikilla i {1,..., n}. LM2, Kesä /310
41 Oletetaan, että i {1,..., n}. Tällöin v proj W ( v), w i = v, w i proj W ( v), w i v, w1 = v, w i w 1, w 1 w v, w k w k, w k w k, w i ( v, w1 = v, w i w 1, w 1 w 1, w i + + v, w ) k w k, w k w k, w i = v, w i v, w 1 w 1, w 1 w 1, w i v, w k w k, w k w k, w i = v, w i v, w i w i, w i w i, w i = v, w i v, w i = 0, sillä w i, w j = 0, jos i j. LM2, Kesä /310
42 Ortogonaaliset komponentit Lause 92 Oletetaan, että W on sisätuloavaruuden V aliavaruus ja v V. Tällöin on olemassa täsmälleen yksi sellainen w W ja täsmälleen yksi sellainen w W, että Todistus. v = w + w. Osoitetaan aluksi, että tällaiset vektorit ovat olemassa. Valitaan w = proj W ( v) ja w = perp W ( v) = v proj W ( v). Lauseen 90 mukaan w W ja lauseen 91 mukaan w W. Lisäksi v = w + w. LM2, Kesä /310
43 Osoitetaan vielä, että mitkään muut vektorit eivät toteuta annettuja ehtoja. Oletetaan, että w, ū W ja w, ū W ovat sellaisia, että v = w + w ja v = ū + ū. Tällöin w + w = ū + ū, joten w ū = w ū. Toisaalta W ja W ovat aliavaruuksia, joten w ū W ja w ū W. Siten w ū = w ū W W. Kuitenkin lauseen 87 nojalla W W = { 0}, joten w ū = 0 ja w ū = 0. Tästä seuraa, että w = ū ja w = ū. Siten ehdot toteuttavia vektoreita on vain yhdet. LM2, Kesä /310
44 Ortogonaaliset komponentit v w = perp W ( v) = v proj W ( v) w = proj W ( v) LM2, Kesä /310
45 Ortogonaalinen jono Jokainen ortogonaalinen jono on vapaa: Lause 93 Oletetaan, että ( v 1, v 2,..., v k ) on sisätuloavaruuden V ortogonaalinen jono. Tällöin ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa. Todistus. Oletetaan, että c 1 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R. Oletetaan, että i {1,..., k}. Tällöin v i, c 1 v c k v k = v i, 0. (4) LM2, Kesä /310
46 Käyttämällä sisätulon määritelmää ja jonon ortogonaalisuutta saadaan yhtälön (4) vasen puoli muotoon v i, c 1 v c k v k = c 1 v i, v c k v i, v k = c i v i, v i. Toisaalta yhtälön oikea puoli on v i, 0 = 0 lauseen 79 nojalla. Siis c i v i, v i = 0. Koska jono on ortogonaalinen, ei v i ole nollavektori. Siten v i, v i 0. Tulon nollasäännön nojalla siis c i = 0. Näin ollen c i = 0 kaikilla i 1,..., k, ja jono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa. LM2, Kesä /310
Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo
Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2014 164/246 Kertausta:
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
LisätiedotVektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on
13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu
LisätiedotOrtogonaalisen kannan etsiminen
Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,
LisätiedotOminaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus
Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I LM1, Kesä 2012 1/218 Avaruuden R 2 vektorit Määritelmä (eli sopimus) Avaruus R 2 on kaikkien reaalilukuparien joukko; toisin sanottuna R 2 = { (a, b) a R ja b R }.
LisätiedotVektorien virittämä aliavaruus
Vektorien virittämä aliavaruus Esimerkki 13 Mikä ehto vektorin w = (w 1, w 2, w 3 ) komponenttien on toteutettava, jotta w kuuluu vektoreiden v 1 = (3, 2, 1), v 2 = (2, 2, 6) ja v 3 = (3, 4, 5) virittämään
LisätiedotVapaus. Määritelmä. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee:
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
Lisätiedot1 Sisätulo- ja normiavaruudet
1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
LisätiedotLineaariavaruudet. Span. Sisätulo. Normi. Matriisinormit. Matriisinormit. aiheita. Aiheet. Reaalinen lineaariavaruus. Span. Sisätulo.
Lineaariavaruudet aiheita 1 määritelmä Nelikko (L, R, +, ) on reaalinen (eli reaalinen vektoriavaruus), jos yhteenlasku L L L, ( u, v) a + b ja reaaliluvulla kertominen R L L, (λ, u) λ u toteuttavat seuraavat
LisätiedotHavainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin. w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5. v = ( 3) = 13. v = v.
Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin w = w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5 v = v v = ( 3) 2 + 2 2 = 13. w =5 3 2 v = 13 4 3 LM1, Kesä 2014 76/102 Normin ominaisuuksia I Lause
LisätiedotOsoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,
LisätiedotBijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.
Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
LisätiedotOrtogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle
Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka
LisätiedotOrtogonaalinen ja ortonormaali kanta
Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Määritelmä Kantaa ( w 1,..., w k ) kutsutaan ortogonaaliseksi, jos sen vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli w i w j = 0 kaikilla i, j {1, 2,..., k}, missä
LisätiedotKannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
LisätiedotHY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden
LisätiedotJohdatus lineaarialgebraan
Johdatus lineaarialgebraan Lotta Oinonen ja Johanna Rämö 6. joulukuuta 2012 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos 2012 Sisältö 1 Avaruus R n 4 1 Avaruuksien R 2 ja R 3 vektorit.....................
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /310
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/310 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
LisätiedotJohdatus lineaarialgebraan
Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 28. lokakuuta 2014 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus....................................
LisätiedotVektoreiden virittämä aliavaruus
Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden
LisätiedotYhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia
Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Voidaan osoittaa, että avaruuden R n vektoreilla voidaan laskea tuttujen laskusääntöjen mukaan. Huom. Lause tarkoittaa väitettä, joka voidaan perustella
LisätiedotLineaarikuvauksen R n R m matriisi
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotTehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä todistuksia ja lineaarikuvauksen muodostamista. Sarjaan liittyvät Stack-tehtävät: 1 ja 2.
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2016 Harjoitus 3 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 29.8.2016 klo 13.15. Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä
LisätiedotKuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160
Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
LisätiedotHILBERTIN AVARUUKSISTA
HILBERTIN AVARUUKSISTA Pro gradu -tutkielma Hannariikka Lehtiniemi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Jyväskylän yliopisto syksy 2014 TIIVISTELMÄ Ääretönulotteiset avaruudet ovat monilta ominaisuuksiltaan
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
Lisätiedot2 / :03
file:///c:/users/joonas/desktop/linis II Syksy /Ratkaisuehdotukse / 8 76 3:3 Kysymys Pisteet,, Määritellään positiivisten reaalilukujen joukossa R + = {x R x > } yhteenlasku ja skalaarikertolasku seuraavasti:
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 29.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/26 Kertausta: Kanta Määritelmä Oletetaan, että w 1, w 2,..., w k W. Vektorijono ( w 1, w 2,..., w k ) on aliavaruuden
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 13.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/12 Käytännön asioita Kesäkuun tentti: ke 19.6. klo 17-20, päärakennuksen sali 1. Anna palautetta kurssisivulle ilmestyvällä
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Idea Lineaarisen systeemin ratkaiseminen Olkoon
LisätiedotRistitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti
14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Ratkaisuluonnoksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
LisätiedotKantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen
Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Lause 18 Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia. Oletetaan lisäksi, että ( v 1,..., v n ) on avaruuden V kanta ja w 1,..., w n W. Tällöin
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 17 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Vektoriavaruus
LisätiedotSisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006
Sisätuloavaruudet 4. lokakuuta 2006 Tässä esityksessä vektoriavaruudet V ja W ovat kompleksisia ja äärellisulotteisia. Käydään ensin lyhyesti läpi määritelmiä ja perustuloksia. Merkitään L(V, W ) :llä
LisätiedotJohdatus lineaarialgebraan
Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 25. lokakuuta 2015 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus... 111 16 Aliavaruus... 117 16.1 Vektoreiden
LisätiedotJAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT
JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT Kanta ja dimensio Tehtävä Esittele vektoriavaruuden kannan määritelmä vapauden ja virittämisen käsitteiden avulla ja anna vektoriavaruuden dimension määritelmä Esittele Lause
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA II/PART II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II/PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVÄT 2019 LINEAARIALGEBRA 1 / 69 Sisätuloavaruus/Inner product space Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus.
LisätiedotVastaavasti, jos vektori kerrotaan positiivisella reaaliluvulla λ, niin
1 / 14 Lukiossa vektori oli nuoli, jolla oli suunta ja suuruus eli pituus. Tarkastellaan aluksi tason vektoreita (R 2 ). Siirretään vektori siten, että sen alkupää on origossa. Tällöin sen kärki on pisteessä
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA II/PART II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II/PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2017 LINEAARIALGEBRA 1 / 67 Sisätuloavaruus/Inner product space Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus.
Lisätiedot1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin
LisätiedotJohdatus lineaarialgebraan
Johdatus lineaarialgebraan Osa I Jokke Häsä, Lotta Oinonen, Johanna Rämö 27. marraskuuta 2015 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 1 Vektoriavaruuksien R 2 ja R 3 vektorit........................
LisätiedotAvaruuden R n aliavaruus
Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla
Lisätiedot6 Vektoriavaruus R n. 6.1 Lineaarikombinaatio
6 Vektoriavaruus R n 6.1 Lineaarikombinaatio Määritelmä 19. Vektori x œ R n on vektorien v 1,...,v k œ R n lineaarikombinaatio, jos on olemassa sellaiset 1,..., k œ R, että x = i v i. i=1 Esimerkki 30.
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA II LINEAR ALGEBRA PART II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II LINEAR ALGEBRA PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVT 2019 1 Contents 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 3 1.1 Sisätuloavaruus/Inner product space..............
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA II LINEAR ALGEBRA PART II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II LINEAR ALGEBRA PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2017 Contents 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 2 1.1 Sisätuloavaruus/Inner product space..............
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe Ratkaisuehdotus. 1. (35 pistettä)
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe 26.10.2017 Ratkaisuehdotus 1. (35 pistettä) (a) Seuraavat matriisit on saatu eräistä yhtälöryhmistä alkeisrivitoimituksilla. Kuinka monta ratkaisua yhtälöryhmällä
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lisätiedot5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A
LisätiedotYleiset lineaarimuunnokset
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Kari Tuominen Yleiset lineaarimuunnokset Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 29 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos
LisätiedotJohdatus lineaarialgebraan
Johdatus lineaarialgebraan Osa I Jokke Häsä, Lotta Oinonen, Johanna Rämö 9 heinäkuuta 2013 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 1 Avaruuksien R 2 ja R 3 vektorit 4 11 Kaksiulotteisen
Lisätiedot9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista
29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n
Lisätiedot7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä
7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan
LisätiedotOminaisarvo ja ominaisvektori
Määritelmä Ominaisarvo ja ominaisvektori Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 23.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/22 Käytännön asioita Ensimmäiset tehtävät olivat sujuneet hyvin. Kansilehdet on oltava mukana tehtäviä palautettaessa,
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotMatemaattinen Analyysi / kertaus
Matemaattinen Analyysi / kertaus Ensimmäinen välikoe o { 2x + 3y 4z = 2 5x 2y + 5z = 7 ( ) x 2 3 4 y = 5 2 5 z ) ( 3 + y 2 ( 2 x 5 ( 2 7 ) ) ( 4 + z 5 ) = ( 2 7 ) yhteys determinanttiin Yhtälöryhmän ratkaiseminen
LisätiedotVektorit, suorat ja tasot
, suorat ja tasot 1 / 22 Koulussa vektori oli nuoli, jolla oli suunta ja suuruus eli pituus. Siirretään vektori siten, että sen alkupää on origossa. Tällöin sen kärki on pisteessä (x 1, x 2 ). Jos vektorin
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 30.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/19 Käytännön asioita Kurssi on suunnilleen puolessa välissä. Kannattaa tarkistaa tavoitetaulukosta, mitä on oppinut ja
LisätiedotLineaarialgebra II P
Lineaarialgebra II 89P Sisältö Vektoriavaruus Sisätuloavaruus 8 3 Lineaarikuvaus 5 4 Ominaisarvo 5 Luku Vektoriavaruus Määritelmä.. Epätyhjä joukko V on vektoriavaruus, jos seuraavat ehdot ovat voimassa:.
Lisätiedot3 Skalaari ja vektori
3 Skalaari ja vektori Määritelmä 3.1 Skalaari on suure, jolla on vain suuruus, jota mitataan jossakin mittayksikössä. Skalaaria merkitään reaaliluvulla. Esimerkki 3.2 Paino, pituus, etäisyys, pinta-ala,
LisätiedotInsinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut
Insinöörimatematiikka D, 29.3.2016 4. laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut 1. Olkoon u (4,0,4,2) ja v ( 1,1,3,5) vektoreita vektoriavaruudessa R 4. Annetun sisätulon (x,y) indusoima normi on x (x,x) ja
Lisätiedot1. Normi ja sisätulo
Kurssimateriaalia K3/P3-kursille syksyllä 3 83 Heikki Apiola Sisältää otteita Timo Eirolan L3-kurssin lineaarialgebramonisteesta, jonka lähdekoodin Timo on ystävällisesti antanut käyttööni Normi ja sisätulo
LisätiedotHilbertin avaruudet, 5op Hilbert spaces, 5 cr
Hilbertin avaruudet, 5op Hilbert spaces, 5 cr Pekka Salmi 14.3.2015 Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 14.3.2015 1 / 64 Yleistä Opettaja: Pekka Salmi, MA327 Kontaktiopetus ti 1012 (L), ke 810 (L), ma 1214
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt QR-hajotelma ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto PNS-ongelma PNS-ongelma
LisätiedotOminaisarvo ja ominaisvektori
Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 18 R. Kangaslampi QR ja PNS PNS-ongelma
LisätiedotLineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44
Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.
LisätiedotMatriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo
Matriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Antti Rasila 2016 Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Jos {v 1, v 2,..., v k } on äärellisulotteisen vektoriavaruuden V lineaarisesti riippumaton
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotSuora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R},
Määritelmä Suora Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko { p + t v t R}, missä p, v R n ja v 0. Tässä p on suoran jonkin pisteen paikkavektori ja v on suoran suuntavektori. v p LM1,
Lisätiedot3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h
HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Anna seuraavien yhtälöryhmien kerroinmatriisit ja täydennetyt kerroinmatriisit sekä ratkaise yhtälöryhmät Gaussin eliminointimenetelmällä. { 2x + y = 11 2x y = 5 2x y + z = 2 a) b)
Lisätiedotpdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus Sisätuloavaruus Lineaarikuvaus Ominaisarvo 0-68
SISÄLTÖ Sisältö pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 0-1 2 Sisätuloavaruus 0-20 3 Lineaarikuvaus 0-41 4 Ominaisarvo 0-68 5 Esimerkkejä 0-88 1. Lineaariavaruus eli V 1 Lineaariavaruus
LisätiedotEsimerkki 8. Ratkaise lineaarinen yhtälöryhmä. 3x + 5y = 22 3x + 4y = 4 4x 8y = 32. 3 5 22 r 1 + r 3. 0 13 26 4 8 32 r 3 4r 1. LM1, Kesä 2014 47/68
Esimerkki 8 Ratkaise lineaarinen yhtälöryhmä 3x + 5y = 22 3x + 4y = 4 4x 8y = 32. 3 5 22 r 1 + r 3 3 4 4 4 8 32 1 3 10 0 13 26 4 8 32 r 3 4r 1 1 3 10 3 4 4 r 2 3r 1 4 8 32 1 3 10 0 13 26 r 2 /13 0 4 8
LisätiedotLINEAARIALGEBRA A 2016 TOMI ALASTE EDITED BY T.M. FROM THE NOTES OF
LINEAARIALGEBRA 83A 6 EDITED BY T.M. FROM THE NOTES OF TOMI ALASTE SISÄLTÖ Sisältö Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus Sisätuloavaruus 3 Lineaarikuvaus 4 Ominaisarvo 34 5 Esimerkkejä 44 . Lineaariavaruus
LisätiedotSuorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009
Viidennen viikon luennot Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Perustuu kirjan Poole: Linear Algebra lukuihin I.3 - I.4 Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Aluksi hiukan 2 ja 3 ulotteisen reaaliavaruuden
LisätiedotJohdatus lineaarialgebraan
Johdatus lineaarialgebraan Osa I Jokke Häsä, Lotta Oinonen, Johanna Rämö 11. syyskuuta 2016 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 1 Vektoriavaruuksien R 2 ja R 3 vektorit........................
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia/Exercises 2017 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
LisätiedotHELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Laitos Institution Department Matemaattis-luonnontieteellinen Tekijä Författare Author Misa
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotVektorialgebra 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori
Vektorialgebra 1/5 Sisältö Skalaaritulo Vektoreiden yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen lisäksi vektoreiden välille voidaan määritellä myös kertolasku. Itse asiassa näitä on kaksi erilaista. Seurauksena
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 9
Talousmatematiikan perusteet: Luento 9 Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo ja pituus Vektorien välinen kulma Motivointi Tähän asti olemme tarkastelleet yhden
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lisätiedot1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa
MAT-33500 Differentiaaliyhtälöt, kevät 2006 Luennot 27.-28.2.2006 Samuli Siltanen 1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa Tämä asialöytyy myös Hirschin ja Smalen kirjasta, luku 3, pykälä 1F. Olkoon
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 29 Laskuharjoitus (9. - 3..29) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Tehtävä. Olkoon V vektoriavaruus. Todistettava: jos U V ja W V ovat V :n aliavaruuksia, niin
LisätiedotKanta ja dimensio 1 / 23
1 / 23 Kuten ollaan huomattu, saman aliavaruuden voi virittää eri määrä vektoreita. Seuraavaksi määritellään mahdollisimman pieni vektorijoukko, joka virittää aliavaruuden. Jokainen aliavaruuden alkio
LisätiedotLineaarikuvausten. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksia. Ydin. Matriisin ydin. aiheita. Aiheet. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksen matriisi
Lineaarikuvaukset aiheita ten ten 1 Matematiikassa sana lineaarinen liitetään kahden lineaariavaruuden väliseen kuvaukseen. ten Määritelmä Olkoon (L, +, ) ja (M, ˆ+, ˆ ) reaalisia lineaariavaruuksia, ja
Lisätiedot6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI
0 6 OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 6 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus, dim(v ) = n ja L : V V lineaarikuvaus Määritelmä 6 Skalaari λ R on L:n ominaisarvo, jos
LisätiedotMatriisipotenssi. Koska matriisikertolasku on liitännäinen (sulkuja ei tarvita; ks. lause 2), voidaan asettaa seuraava määritelmä: ja A 0 = I n.
Matriisipotenssi Koska matriisikertolasku on liitännäinen (sulkuja ei tarvita; ks. lause 2), voidaan asettaa seuraava määritelmä: Määritelmä Oletetaan, että A on n n -matriisi (siis neliömatriisi) ja k
LisätiedotLineaarialgebra MATH.1040 / voima
Lineaarialgebra MATH.1040 / voima 1 Seuraavaksi määrittelemme kaksi vektoreille määriteltyä tuloa; pistetulo ja. Määritelmät ja erilaiset tulojen ominaisuudet saattavat tuntua, sekavalta kokonaisuudelta.
Lisätiedot