on Hilbertin avaruus, jonka normin määrää sisätulo (f g) 1,2 = (f g) 2 + (f g ) 2, missä ( ) 2 on L 2 (0, 1):n tavallinen sisätulo.

Transkriptio

1 f ( n n 6. Sobolevin avaruudet 1 Monisteen [7, 15.4 ja määritelmä 15.26] mukaan Banachin avaruus H 1,p (0, 1 on normiavaruuden C 1 p(0, 1 = {f C 1 (0, 1 f, f L p (0, 1} täydentymä, kun normina on f f p + f p. Toisinaan kätevämpi on tämän kanssa ekvivalentti normi f 1,p = ( f p p + f p p 1/p. Tätä normia käytetään jatkossa. Tällöin H 1,2 (0, 1 on Hilbertin avaruus, jonka normin määrää sisätulo (f g 1,2 = (f g 2 + (f g 2, missä ( 2 on L 2 (0, 1:n tavallinen sisätulo. Hieman yleisemmin olkoot R n alue ja 1 p < sekä p := p/(p 1. Merkitään k u = u/ x k, ja V := {u C 1 ( u L p (, k u L p (, k = 1,..., n}, ( ( n u 1,p := u p + k u p 1/p n 1/p, = ( u p p + k u p p H 1,p ( := avaruuden V täydentymä normin 1,p suhteen. Selvästi H 1,p ( L p (. Täydentymän alkiot ovat nimittäin normin 1,p suhteen Cauchyn jonojen (v j j=1 V ekvivalenssiluokkia. Tällainen jono on Cauchyn jono myös L p -normin p suhteen. Koska L p ( on täydellinen, on jonolla (v j j=1 raja-arvo u L p (. Avaruuden V Cauchyn jonolle (v j j=1 derivaattojen k v j jono on myös Cauchyn jono myös L p -normin suhteen. Siis on olemassa u k L p (, jolle k v j u k p 0, kun j. Merkitään D k u := u k, ns. u:n vahva derivaatta. Koska avaruuden V täydentymä H 1,p ( sisältää avaruuden V tiheänä aliavaruutena ja koska k v p v 1,p kaikille v V, ovat osittaisderivaatat k : V L p ( jatkuvia lineaarikuvauksia. Vahva derivaatta D k on siis kuvauksen k : V L p ( laajennus jatkuvaksi lineaarikuvaukseksi D k : H 1,p ( L p (. Olkoon C 1 c( kaikkien jatkuvasti derivoituvien funktioiden ϕ: R joukko, joille supp ϕ on kompakti. 2 Kun u H 1,p (, (v j j=1 V on jokin alkion u määräävä Cauchyn jono ja ϕ C 1 c(, funktion u vahvalle derivaatalle D k u = lim k k v j on ( D k u ϕ dx = lim k v j ϕ dx j ( = lim v j k ϕ dx = u k ϕ dx, j missä kohdassa ( on käytetty Fubinin lausetta ja osittaisintegrointia muuttujan x k suhteen. Huomaa, että C 1 c( L p ( ja että Hölderin epäyhtälön nojalla kuvaus w w ϕ on jatkuva lineaarifunktionaali Lp ( R, kun ϕ C 1 c(. 1 S. L. Sobolev: Sur un théorème de l analyse fonctionelle, Mat. Sbornik 4 (46, 1938, (venäjänkielinen, tiivistemä ranskaksi. Sobolev käsitteli heikkojen derivaattojen avulla määriteltyjä funktiojoukkoja, ei normitäydentymää. 2 Monesti tälle joukolle käytetään merkintää C 1 0(. Mutta mitä merkintää tällöin käytettäisiin joukolle funktioita u C 1 (, joille voidaan määritellä arvo joukon reunalla ja joille u = 0?

2 Yleisemmin: Sanotaan, että funktiolla u L p ( on heikko derivaatta (eli distribuutioderivaatta u k L 1 loc ( muuttujan x k suhteen, jos (1 u k ϕ dx = u k ϕ dx kaikille ϕ C 1 c(. Tässä joukko L 1 loc ( koostuu kaikista mitallisista funktioista v : R, joille v K L 1 (K kaikille kompakteille joukoille K. Koska ehdossa (1 funktioiden ϕ (ns. testifunktioiden kantaja on kompakti, käy heikon derivaatan määritelmä yhtä hyvin funktioille u L 1 loc (. Heikko derivaatta yleistyy paljon funktioita yleisemmille olioille, ns. yleistetyille funktioille eli distribuutioille; ks. [8, luku II] tai [11, I.8]. Koska C 1 c( on avaruuden L p ( tiheä aliavaruus, on heikko derivaatta yksikäsitteinen silloin, kun se on olemassa. (Kaikilla L p -funktioilla ei ole heikkoa derivaattaa. Edellisestä seuraa, että funktiolla u H 1,p ( on heikot derivaatat, ja että ne ovat samat kuin u:n vahvat derivaatat D k u. Jatkossa funktion u L p ( heikoille derivaatoille käytetään myös merkintää D k u. Asetetaan W 1,p ( := {u L p ( heikko derivaatta D k u L p ( kaikille k {1,..., n}}, 3 Funktioille u W 1,p ( normiksi asetaan u 1,p := ( u p p + n D ku p p 1/p. Lause 6.1 (Meyers ja Serrin. H = W. 4 Tarkemmin sanottuna H 1,p ( = W 1,p (. Inkluusio H W seuraa edellä esitetystä (Fubini+osittaisintegrointi. Sen sijaan inkluusio H W on epätriviaali approksimaatio-ongelma. Todistuksen osalta katso [6, Thm. 6.3] tai [4, Thm. 7.9]. Todistus antaa itse asiassa enemmän kuin, mitä vaaditaan. Määritelmä vaatisi osoittamaan, että funktiota u H 1,p ( voidaan approksimoida funktioilla v C 1 ( H 1,p ( normin 1,p suhteen. Approksimoivat funktiot voidaan kuitenkin valita joukosta C ( H 1,p (. Monimutkaisempi approksimaatio-ongelma on seuraava: Olkoon R n rajoitettu. Joukko C 1 ( koostukoon niistä funktioista u C 1 (, joilla osittaisderivaattoineen on jatkuva laajennuks funktioiksi R. Ongelma T. Millä ehdolla C 1 ( on tiheä avaruudessa W 1,p (? Lähisukuinen ongelma on seuraava laajennusongelma: Ongelma L. Millä ehdolla on olemassa jatkuva lineaarikuvaus L: W 1,p ( W 1,p (R n siten, että (Lu = u? 2 3 Sobolevin avaruuksille on historiallisista syistä johtuen kaksi erilaista määritelmää ja myös kaksi erilaista merkintää, H ja W, vaikka Meyersin ja Serrinin lauseen perusteella kyse onkin samasta avaruudesta. Näin myös W 1,p 0 ( tarkoittaa samaa kuin H 1,2 0 (. Lisäksi tapauksessa p = 2 käytetään usein merkintöjä H 1 ( = H 1,2 ( ja H0 1 ( = H 1,2 0 (. Myös merkintöjä H1 p(, H 1,p (, jne. käytetään. 4 Lause tunnetaan Meyersin ja Serrinin lauseena (vuodelta 1964, koska heidän julkaisemansa artikkeli, jonka otsikko on juuri H = W, sisälsi k.o. tuloksen helppolukuisessa muodossa. Saman tuloksen olivat kuitenkin jo aiemmin todistaneet Friedrichs (1944, Deny ja Lions ( , Gagliardo (1958 ja Babich (1953.

3 Voidaan osoittaa, että joukko C 1 c(r n on tiheä avaruudessa W 1,p (R n (kunhan 1 p <, kuten koko ajan. Jos yllä kuvattu laajennusoperaattori on olemassa, funktioiden v C 1 c(r n rajoittumat v muodostavat avaruuden W 1,p ( tiheän aliavaruuden. Tällöin myös C 1 ( on tiheä avaruudessa W 1,p (. Kumpaiseenkin edelliseen ongelmaan T ja L myönteistä vastausta varten riittävää on, että alueen reuna on (n 1-ulotteinen C 1 -alimonisto R n :ssä eli Differentiaalilaskenta 2:n mielessä sileä (n 1-ulotteinen pinta. Katso [6, Thm. 6.3] tai [2, Thm. IX.2 ja Thm. IX.7] Korkeamman kertaluvun Sobolevin avaruudet. Käytetään tuttuja merkintöjä: Kun α N n ja x R n, asetetaan ( j on tavallinen derivaatta ja D j distribuutioderivaatta α := α α n, x α := x α 1 1 x αn n, α := α 1 1 n αn = α 1 x α 1 1 D α := D α 1 1 Dn αn. αn x αn n Sanotaan, että funktiolla u L 1 loc ( on heikko derivaatta (eli distribuutioderivaatta D α u L 1 loc (, α Nn, jos (2 u α ϕ dx = ( 1 α D α u ϕ dx kaikille ϕ C c (. Kun m Z + ja 1 p <, olkoon W m,p ( := {u L p ( D α L p (, kun α m}. Funktioille u W m,p ( olkoon ( 1/p. u m,p := D α u p p Edelleen avaruus H m,p ( olkoon joukon α m C ( W m,p ( = {v C ( u m,p < } täydentymä normin m,p suhteen. Näillekin Sobolevin avaruuksille on voimassa Lause (Meyers ja Serrin. H m,p ( = W m,p (. Yhtäsuuruus on kutakuinkin helppo osoittaa tapauksessa = R n. Tässä tapauksessa saadaan enemmän: H m,p (R n = W m,p (R n = avaruuden Cc ( täydentymä normin m,p suhteen, t.s. joukko Cc ( on tiheä avaruudessa H m,p (R n. Sobolevin avaruuksien dualinen luonne, vahvat ja heikot derivaatat, on monesti hyödyllinen ominaisuus. Täydentymä H m,p ( tulee käytöön esimerkiksi seuraavassa: Funktioille u, v C m ( ja indekseille α N n, joille α m, on voimassa Leibnizin sääntö tulon derivaatalle D α (u v = ( α D β u D α β v, β β α missä ( ( α β := α1 ( β 1 αn β n ja β α : β1 α 1..., β n α n. ja 3

4 Tämä kaava on helppo yleistää funktioille u W m,p ( ja v C m (, ainakin niin tulkiten, että D α (u v L 1 loc (. Mutta jos molemmat funktiot ovat vain Sobolevin avaruuden funktioita, ei päättely onnistu heikkojen derivaattojen avulla. Tarkemmin: Olkoot 1 p, q, r < siten, että 1 p + 1 q = 1 r. Hölderin epäyhtälön nojalla funktioille f Lp (R n ja g L q (R n saadaan f g L r (A ja f g r f p g q. Tämän avulla funktioille u H m,p ( ja v H m,q ( saadaan u v H m,r ( ja yllä oleva Leibnizin sääntö tulon derivaatalle pätee. Yksityiskohdat jäävät lukijan tehtäväksi. Täydentymää ja Fourier n integraalimuunnoksen isometriaominaisuutta apuna käyttäen saadaan mm. seuraava yhtäpitävyyksien ketju: u H m,2 (R n D α u L 2 (R n, α m F 2 (D α u L 2 (R n, α m ξ α F 2 u L 2 (R n, α m (1 + ξ 2 m/2 F 2 u L 2 (R n. Tämä mahdollistaa reaalikertalukuisten Sobolevin avaruuksien määrittelyn (tapauksessa p = 2: Kun s R, s 0, olkoon H s,2 (R n := {u L 2 (R n (1 + ξ 2 s/2 F 2 u L 2 (R n } Laplacen yhtälö. Tarkastellaan pallossa B = B(0; R R n Laplacen yhtälöön liittyvää reuna-arvotehtävää: Pallon pinnalla S := B olkoon annettuna jatkuva funktio f C(S. On määräättävä funktio u C 2 (B C(B siten, että { u(x = 0, kun x B, (3 u(x = f(x, kun x S. Tässä u := n 2 u. x 2 k Ratkaisun antaa ns. Poissonin integraali (ks. [4, Thm. 2.6] u(x := R2 x 2 f(y n ω n R x y ds(y, n missä ω n on yksikköpallon B(0; 1 tilavuus ja ds tarkoittaa pinta-alamittaa. Yleisemmille alueille kuin palloille vastaavan reuna-arvotehtävän ratkaiseminen mutkistuu melkoisesti (ks. [4, luku 4]. Seuraavassa esitetään yksinkertainen Sobolevin avaruuksien teoriaan pohjautuva menetelmä ratkaisun olemassaolon osoittamiseen. (Mitään ratkaisun antavaa kaavaa sen sijaan ei saada Heikko ratkaisu. Asetetaan H 1,p 0 ( := avaruuden C 1 c( täydentymä normin 1,p suhteen = aliavaruuden C 1 c( sulkeuma H 1,p (:ssa. Avaruus H 1,p 0 ( on Sobolevin avaruuden H 1,p ( suljettu aliavaruus; sen avulla kuvataan funktioita, jotka häviävät alueen reunalla. S 4

5 Erityisesti H 1,2 ( ja H 1,2 0 ( ovat Hilbertin avaruuksia, joissa sisätulo on ( n (u v 1,2 := D k u D k v + u v dx. Tarkastellaan yhtälöä (4 u + λ u = f, missä f on annettu funktio ja λ R, λ > 0. Etsimme yhtälölle ratkaisua u, joka toteuttaisi reunaehdon u(x = 0, kun x, t.s. etsimme Dirichlet n reunaarvotehtävän { u + λ u = f alueessa, (5 u = 0 alueen reunalla, ratkaisua. Jotta saisimme yhtälön muotoon, johon voidaan soveltaa funktionaalianalyyttisiä menetelmiä, kerrotaan yhtälö puolittain funktiolla v ja osittaisintegroidaan (oletetaan aluksi, että esiintyvät funktiot on riittävän säännöllisiä; kaksi kertaa jatkuvasti differentioituvia alueen reunaa myöten. Koska u = 0 reunalla, saadaan divergenssilauseen avulla ( u + λ uv dx = ( n k u k v + λ u v dx = ( n D k u D k v + λ u v dx, missä u D k u on tavallisen derivaatan u k u laajennus Sobolevin avaruuteen H 1,2 0 (. Asetetaan ( n a λ (u, v := D k u D k v + λ u v dx. Tällöin a λ (u, v on hyvinmääritelty kaikille u, v H 1,2 0 (, ja yhtälön (4 ratkaisulle u on (6 a λ (u, v = f v dx kaikille v H 1,2 0 (. Kääntäen, funktiota u H 1,2 0 (, joka toteuttaa ehdon (6, kutsutaan yhtälön (5 heikoksi ratkaisuksi. Kuten pian nähdään, heikon ratkaisun olemassaolo on helppo osoittaa. Sen sijaan se, millä ehdoilla heikko ratkaisu on klassinen ratkaisu (s.o. kahdesti jatkuvasti differentioituva :ssa ja jatkuva reunaa myöten, on hankalampi ongelma Laxin ja Milgramin lemma. Seuraava lemman avulla yhtälön (6 ratkeavuus seuraa helposti. Lause 6.2 (Laxin ja Milgramin lemma. Olkoot H reaalinen Hilbertin avaruus ja B : H H R jatkuva bilineaarimuoto, t.s. on olemassa M R s.e. kaikille x, y, z H ja λ, µ R on voimassa (i B(λ x + µ y, z = λ B(x, z + µ B(y, z, (ii B(x, λ y + µ z = λ B(x, y + µ B(x, z, (iii B(x, y M x y. 5

6 Oletetaan lisäksi, että B on koersiivinen, t.s että (iv on olemassa c > 0 s.e. B(x, x c x 2 kaikille x H. Tällöin jokaiselle f H on olemassa yksikäsitteinen u H s.e. B(u, x = f(x kaikille x H. Todistus. Olkoot x H ja g(y := B(x, y. Ehdon (ii nojalla g on lineaarinen, ja ehdon (iii nojalla g(y = B(x, y M x y, joten g on jatkuva. Siis g H. Fréchet n ja Rieszin esityslauseen nojalla on olemassa yksikäsitteinen z H, jolle g(y = (z y kaikille y H. Merkitään Ax := z. Tällöin siis on B(x, y = (Ax y kaikille y H. Korvataan x lineaarikombinaatiolla λ x + µ z. Tällöin (A(λx + µz y = B(λ x + µ z, y (i = λ B(x, y + µ B(z, y = λ (Ax y + µ (Az y = (λ Ax + µ Az y. Yksikäsitteisyyden perusteella A(λ x + µ z = λ Ax + µ Az, joten A on lineaarinen. Sijoitetaan y = Ax ehdossa B(x, y = (Ax y. Tällöin ehdon (iii nojalla saadaan (Ax Ax = B(x, Ax M x Ax, joten Ax M x. Siis A on jatkuva. Operaattori A on injektio, sillä jos Ax = 0, on 0 = (Ax x = B(x, x c x 2, joten x = 0. Itse asiassa on voimassa epäyhtälö Ax c x kaikille x H: c x 2 B(x, x = (Ax x Ax x. Kuvajoukko A(H =: H 0 on suljettu: Olkoot y H 0 ja (y n n H 0 s.e. y n y. Olkoon x n H s.e. Ax n = y n. Tällöin epäyhtälön Ax c x nojalla c x n x m A(x n x m = y n y m. Koska jono (y n n on Cauchyn jono, on myös (x n n Cauchyn jono. Olkoon x := lim n x n. Tällöin y = lim n y n = lim n Ax n = Ax A(H. Operaattori A on surjektio: Tehdään antiteesi: H 0 H. Tällöin on olemassa y H s.e. y H 0 ja y 0, t.s. (Ax y = 0 kaikille x H. Erityisesti 0 = (Ay y = B(y, y c y 2, joten y = 0. Siis antiteesi on väärä. Fréchet n ja Rieszin lauseen nojalla on olemassa F H s.e. f(x = (F x kaikille x H. Nyt B(u, x = f(x kaikille x H (Au x = (F x kaikille x H Au = F. Koska A on isomorfismi, tällainen u löytyy ja se on yksikäsitteinen. Esimerkki 6.3. Yhtälön (6 ratkeavuus seuraa helposti Laxin ja Milgramin lemmasta. Ensinnäkin, välittömästi nähdään, että bilineaarimuoto a λ toteuttaa edellisen lauseen ehdot. Erityisesti, jos λ = 1, a 1 on H 1,2 0 (:n sisätulo, jollainen aina toteuttaa Laxin ja Milgramin lemman ehdot. Toisekseen, kun f L 2 (, on v f v dx jatkuva lineaarifunktionaali H 1,2 0 ( R: f v dx f 2 v 2 f 2 v 1,2. Erityisesti yhtälön a 1 (u, v = f v dx v H1,2 0 ( ratkeavuus seuraa suoraan Fréchet n ja Rieszin esityslauseesta. Poincarén epäyhtälön (Lause 7.9 nojalla rajoitetulle alueelle myös arvo λ = 0 kelpaa: yhtälöllä u = f on yksikäsitteinen heikko ratkaisu u H 1,2 0 (. Laxin ja Milgramin lemman vahvuus on kuitenkin siinä, että sen nojalla myös seuraavalla, huomattavasti yleisemmällä reuna-arvotehtävällä on ratkaisu: Olkoon ( n a(u, v := a j,k D k u D j v + a 0 u v dx, kun u, v H 1,2 0 (, j, 6

7 missä a j,k, a 0 L (. Oletetaan, että on olemassa c > 0 siten, että n a j,k (x ξ k ξ j c ξ 2 ja a 0 (x c m.k. x. j, Tällöin a(u, v toteuttaa Laxin ja Milgramin lemman ehdot. Lemman nojalla yhtälöllä a(u, v = f v dx v H1,2 0 ( on siis tasan yksi ratkaisu. Tämän yhtälön ratkaisu u H 1,2 0 ( voidaan tulkita seuraavan (ns. divergenssimuotoisen 5 reunaarvotehtävän ratkaisuksi n D j (a j,k D k u + a 0 u = f alueessa, j, u = 0 reunalla Konveksi projektio. Muistutus: Vektoriavaruuden H osajoukko K on konveksi, jos u, v K = (1 tu + tv K kaikille t [0, 1]. Lause 6.4. Olkoot H reaalinen Hilbertin avaruus, K H epätyhjä suljettu, konveksi joukko ja f H. Tällöin on olemassa tasan yksi u K siten, että (7 f u = min f v. v K Piste u voidaan karakterisoida ehdolla (8 u K ja (f u v u 0 kaikille v K. Esimerkki 6.5. Tarkastellaan konveksia projektiota yhtälöön (4 liittyen. Olkoon ( n a λ (u, v := D k u D k v + λ u v dx, kun u, v W 1,2 (. Tällöin a 1 on Sobolevin avaruuden W 1,2 ( sisätulo, a 1 (u, v = (u v 1,2. Kun K W 1,2 ( on epätyhjä, suljettu ja konveksi joukko, on pisteen F W 1,2 ( konveksille projektiolle u K voimassa a 1 (F u, v u 0 kaikille v K. Olkoon f L 2 (. Tällöin v f(x v(x dx on jatkuva lineaarifunktionaali W 1,2 ( R, joten Fréchet n ja Rieszin esityslauseen nojalla on olemassa F W 1,2 ( siten, että f(x v(x dx = a 1(F, v kaikille v W 1,2 (. Tässä tilanteessa konveksin projektion karakterisoi variaatioepäyhtälö (9 a 1 (u, v u f(x (v(x u(x dx kaikille v K. Pisteen F konveksille projektiolle u yhtäpitävä ehto on, että u minimoi etäisyyden v F 1,2 tai yhtäpitävästi normin neliön v F 2 1,2. Koska v F 2 1,2 = v 2 1,2 2(F v 1,2 + F 2 1,2 ja F 2 1,2 on vakio, on F :n konveksi projektio u K myös seuraavan minimiongelman ratkaisu: { } 1 min a 2 1(v, v f(x v(x dx v K. 5 Kun merkitään A(x := (a j,k (x n j,, on yhtälö muotoa div(a(x u + a 0 u = f. 7

8 Erityisesti, kun valitaaan K = W 1,2 0 (, joka on W 1,2 (:n suljettu aliavaruus, ovat seuraavat tehtävät yhtäpitäviä (muista: nyt epäyhtälöehdon sijasta on käytettävissä ehto u F K eli (u F v 1,2 = 0 v K: u W 1,2 0 ( ja (10 a 1 (u, v = f(xv(x dx kaikille v W 1,2 0 (; (11 u minimoi funktion v 1a 2 1(v, v f(x v(x dx W 1,2 0 (:ssa. Dirichlet n periaatteeksi kutsutaan menetelmää ratkaista yhtälö (10 etsimällä tehtävälle (11 ratkaisu. Huomaa, että tässä minimoitavana on ( v(x 2 + v(x 2 dx f(x v(x dx. 1 2 Kun Dirichlet n periaatetta 1800-luvulla käytettiin osoittamaan, että Dirichlet n tehtävällä on ratkaisu, sorrutiin usein siihen yksinkertaiseen virheeseen, että inf = min. Minimoitavana oleva funktio (11 on helppo todeta alaspäin rajoitetuksi, joten sen alarajojen joukosta löytyy suurin. Mutta kuten konveksin projektion olemassaolotodistuksesta tiedämme, ei ole selvää, että minimoiva jono suppenisi. Suppenevuuden takaamiseksi projektiolauseessa oletetaan, että tarkasteltava sisätuloavaruus on täydellinen. Kun minimiä 1800-luvulla tavoiteltiin, ei käytössä ollut Sobolevin avaruuksia vaan ratkaisuksi koitettiin etsiä liian sileitä funktioita. Edelliset tarkastelut voidaan jälleen helposti yleistää: Olkoon ( n a(u, v := a j,k D k u D j v + a 0 u v dx, kun u, v W 1,2 (, j, missä a j,k, a 0 L (. Oletetaan, että a j,k = a k,j ja että on olemassa c > 0 siten, että n a j,k (x ξ k ξ j c ξ 2 ja a 0 (x c m.k. x. j, Tällöin (u, v a(u, v toteuttaa sisätulolle asetetut ehdot. Lisäksi u a(u, u on Sobolevin avaruuden W 1,2 ( normin 1,2 kanssa ekvivalentti normi. Dirichlet n periaatteen muotoilu tähän tapaukseen jääköön harjoitustehtäväksi. Esimerkki 6.6. (Jatkoa: esteongelma. Tarkastellaan vielä konveksiin joukkoon K = {v W 1,2 0 ( v ψ} liittyvää tilannetta. Tässä ψ W 1,2 ( siten, että ψ 0 reunalla. Jokaiselle f L 2 ( varaatioepäyhtälöllä (9 on siis tasan yksi ratkaisu u K. Ratkaisu u W 1,2 0 ( voidaan tulkita seuraavan ongelman ratkaisuksi: Olkoon I := {x u(x = ψ(x}. Tällöin u ψ alueessa, u + u f alueessa, u + u = f joukossa \ I. u = ψ joukossa I, u = 0 reunalla, 8

9 f ( n n 7. Sobolevin avaruuksien ominaisuuksia Monien Sobolevin avaruuksien ominaisuuksien tarkasteluissa voidaan vedota L p - avaruuksien vastaaviin ominaisuuksiin. Osa ominaisuuksista periytyy tuloavaruuteen (L p ( n+1, kun se varustetaan normilla ( n 1/p. (f 0,..., f n = f k p p Tällöin kuvaus W 1,p ( (L p ( n+1, u (u, D 1 u,..., D n u, on isometrinen upotus. Koska W 1,p ( on täydellinen, voidaan se tulkita tulon (L p ( n+1 suljetuksi aliavaruudeksi. k=0 Lause 7.1. Kun 1 p <, on W 1,p ( separoituva. Seuraavien tulosten todistaminen kuuluu varsinaisen Sobolev-avaruuskurssin tehtäväksi. Lause 7.2. Kun 1 < p <, on W 1,p ( tasaisesti konveksi ja siis refleksiivinen. Tämän todistamisessa voidaan vedota L p (:n tasaiseen konveksisuuteen. Tällöin myös (L p ( n+1 on tasaisesti konveksi, kun tulojoukossa normina käytetään juuri yllä valittua normia. Tällöin sen suljettu aliavaruus W 1,p ( on tasaisesti konveksi. Lause 7.3 (Rellichin lemma. Olkoon R n on rajoitettu ja sileä. Tällöin upotus W 1,p ( L p ( on kompakti. Tässä tilanteeessa upotuksen kompaktisuus tarkoittaa, että jokainen W 1,p (:ssa heikosti suppeneva jono suppenee L p (:n normin mielessä, tai yhtäpitävästi, että jokaisella W 1,p (:n rajoitetulla jonolla on L p (:n normin mielessä suppeneva osajono. Mielivaltaiselle alueelle upotuksen W 1,p ( L p ( ei tarvitse olla kompakti; ks. [3, Band II, VII.8.2]. Nollareuna-arvoille on voimassa: Lause 7.4 (Rellichin lemma. Olkoon R n W 1,p 0 ( L p ( on kompakti. on rajoitettu. Tällöin upotus Lause 7.5 (Sobolevin upotuslause. Olkoon R n on rajoitettu ja sileä. (i Jos 1 p < n, niin W 1,p ( L p (, missä 1 = 1 1. p p n (ii Jos p = n, niin W 1,p ( L q ( kaikille q [1,. (iii Jos p > n, niin W 1,p ( C(. Lisäksi jokainen u W 1,p ( on Hölderjatkuva eksponentilla α = 1 n/p, t.s. on olemassa vakio M siten, että u(x u(y M x y α kaikille x, y. Tässä viimeiseen kohtaan on syytä tehdä seuraava täsmennys: jokaiselle u W 1,p ( on olemassa u 0 C( siten, että u(x = u 0 (x m.k. x. Koska kaksi L p -funktiota samastetaan, jos ne eroavat toisistaan vain nollamittaisessa joukossa, ei L p -funktion f rajoittuma f reunalle ole mielekäs. Toisaalta, jatkuvalla funktiolle u C( rajoittuma u on reunalla jatkuva funktio. Sobolevin upotuslauseen nojalla voidaan toivoa, että Sobolevin avaruuden funktiot käyttäytyvät paremmin pienissä joukoissa kuin L p -funktiot.

10 Lemma 7.6. Olkoon = R n 1 (0, = {(x, x n R n x R n 1, x n > 0}. Tällöin on olemassa vakio C > 0 siten, että ( 1/p u(x, 0 p dx C u 1,p u C 1 c(r n. R n 1 Lause 7.7 (Jälki. Olkoon R n on rajoitettu ja sileä. Rajoittuma C 1 ( C(, u u, voidaan laajentaa jatkuvaksi lineaarikuvaukseksi W 1,p ( L p (, λ, missä λ on Lebesguen (n 1-ulotteinen mitta reunalla. Lause 7.8. Sobolevin avaruuden W 1,p 0 ( duaali (W 1,p 0 ( =: W 1,p (, missä 1 < p < ja = 1, koostuu lineaarikuvauksista F : W 1,p p p 0 ( R siten, että on olemassa f 0,...,f n L p (, joille n F (v = f 0 v dx + f j D j v dx kaikille v W 1,p 0 (. Muodollisesti siis (tai distribuutioteorian mielessä on F = f 0 n j=1 D jf j. Lause 7.9 (Poincarén epäyhtälö. Rajoitetulle alueelle on olemassa vakio C siten, että ( n 1/p v p C D j v p p kaikille v W 1,p 0 (. j=1 Poincarén epäyhtälön nojalla normit 1,p ja v ( n j=1 D jv p p 1/p ovat ekvivalentteja normeja Sobolevin avaruudessa W 1,p 0 (. Lause 7.10 (Poincarén ja Wirtingerin epäyhtälö. Olkoon sileä ja konveksi. Tällöin on olemassa vakio C siten, että ( n 1/p v v p C D j v p p kaikille v W 1,p (, missä v := 1 v(x dx = funktion v keskiarvo joukossa ja on joukon mitta. Lemma Olkoon G: R R jatkuvasti derivoituva siten, että G(0 = 0 ja G on rajoitettu. Kun u W 1,p (, on G u W 1,p ( ja (G u = (G u u. x j x j Tämä on kohtalaisen helppo nähdä vetoamalla Sobelevin avaruuden täydentymämääritelmään. Olkoon (u n n=1 C 1 ( W 1,p ( jono siten, että u n u W 1,p (:ssa. Olkoon G (t M. Tällöin väliarvolauseen nojalla G(u n G(u M u n u, josta seuraa, että G(u n G(u L p (:ssa. Toisaalta, G(u n x j j=1 j=1 = G (u n u n x j G (ud j u, 2

11 kun n. Nimittäin, G (u n u ( n G (ud j u = G un (u n D j u + (G (u n G (ud j u =: A n + B n. x j x j Tässä A n 0 L p (:ssa. Toisaalta, B n 0 m.k. ja B n p (2M p D j u p L 1 (, joten Lebesguen dominoidun konvergenssin lauseen nojalla B n 0 L p (:ssa. Huomattavasti vaikeampi on näyttää, että funktion G jatkuvasta derivoituvuudesta voidaan luopua. Esimerkiksi, jos G on jatkuva ja paloittain jatkuvasti derivoituva siten, että G(0 = 0 ja G on rajoitettu, niin edellisen lauseen väite pätee. Näin esimerkiksi max{u, 0} W 1,p (, kun u W 1,p (. Kirjallisuutta [1] Shmuel Agmon: Elliptic boundary value problems, Van Nostrand Mathematical Studies 2, [2] Haïm Brezis : Analyse fonctionelle. Théorie et applications, 2 e tirage, Mathématiques appliqueés pour la maîtrise, Dunod, Première édition, Masson, Engl. käännös Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Universitext, Springer, [3] Richard Courant ja David Hilbert: Methoden der Mathematischen Physik Band I, Dritte Auflage, Heidelberger Taschenbücher 30, Springer-Verlag, 1968; Erste Auflage, 1924; Band II, Zweite Auflage, Heidelberger Taschenbücher 31, Springer-Verlag, 1968; Erste Auflage, [4] David Gilbarg ja Neil S. Trudinger: Elliptic partial differential equations of second order, uudistettu kolmas painos, uusintapainos vuoden 1998 laitoksesta, Classics in Mathematics, Springer, 2001; alunperin Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 224, [5] L. E. Fraenkel: On regularity of the boundary in the theory of Sobolev spaces, Proc. Lonfon Math. Soc. (3 39 (1979, s [6] Avner Friedman: Partial Differential Equations, Holt, Rinehart and Winston, [7] Lauri Kahanpää: Funktionaalianalyysi. Suoraviivaista ajattelua osa II, Jyväskylän yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, luentomoniste 51, [8] Laurent Schwartz : Méthodes mathématiques pour les sciences physiques, Collection Enseignement des Sciences 3. Hermann, [9] Dirk Werner: Funktionalanalysis, 4., überarbeitete auflage, Springer, [10] Joseph Wloka: Partielle Differentialgleichungen, B. G. Teubner, Stuttgart, [11] Kôsaku Yosida: Functional analysis, neljäs laitos, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete Band 123, Springer-Verlag, Kirjan kuudes laitos vuodelta 1980 uudelleenjulkaistu sarjassa Classics in Mathematics,