5. Fourier-sarjat. f(x)e inx dx. c n (cos(nx) + i sin(nx)), n= N. 2π f(x)e inx dx = 1 2π. k= N. e inx, n Z. 2π f(x)e inx dx = 1 (f e n ) 2π

Transkriptio

1 78 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 5. Fourier-sarjat Fourier esitti vuonna 1822 lämmönjohtamista koskevien tutkimusten yhteydessä kuuluisan menetelmänsä esittää mielivaltainen -jaksollinen funktio kehitelmänä f(x) = c + c 1 e ix + c 1 e ix + c 2 e 2ix +. Tästä nousee useita tärkeitä kysymyksiä, esimerkiksi - suppeneeko sarja kohti funktiota f ja missä mielessä suppeneminen tapahtuisi? - Määrääkö Fourier-sarja funktion f yksikäsitteisesti ja miten kertoimet c n kuvaavat funktion f ominaisuuksia? Nämä kysymykset ovat olleet keskeisiä (koko) analyysin kehityksessä. Tutkimme seuraavaksi, mitä voidaan Hilbertin avaruus-metodeilla tässä tapauksessa saada aikaan. Esitarkasteluja. Olkoon L 2 = L 2 (, ) ja f L 2. Kun n Z, on f:n n:s Fourier kerroin mukavinta määritellä kaavalla Nimittäin, jos f(x) = N n= N f(n) = 1 c n e inx = N n= N eli f on trigonometrinen polynomi, tällöin f(n) = 1 f(x)e inx dx = 1 f(x)e inx dx. c n (cos(nx) + i sin(nx)), N k= N c k e i(k n)x dx = c n kun n { N,...,N}, kuten edellä summauksen ja integroinnin järjestyksen vaihtamalla helposti huomaa. Fourier-kertoimet liittyvät tietysti myös ortonormaaliin jonoon (5.1) e n (x) = 1 e inx, n Z. Nimittäin f(n) = 1 f(x)e inx dx = 1 (f e n ) Tässä sisätulo (f g ) = f(x)g(x) dx on otettu avaruudessa L2 (,). Jos f L 2 (tai jos f L p (, ), 1 p < ), sen n:s Fourier-osasumma on s n (x) s n (f; x) := f(k)e ikx, x [,],

2 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 79 Huomaa, että summafunktio s n (f; x) on pisteittäin määritelty, koska funktio e ikx on jatkuva kaikilla k Z Lemma. Fourier-osasummalle s n on integraaliesitys missä s n (f; x) = 1 D n (x) = on n:s Dirichlet n ydin, kun n N {}. f(t)d n (x t) dt, e ikx = sin (( n sin (x/2) ) x ) Todistus. Fourier-kertoimen f(n) määritelmän nojalla ( ) s n (f; x) = ˆf(k)e ikx = f(t)e ikt dt = 1 missä siis merkitään ( f(t) D n (x) = e ik(x t) ) dt = 1 2 ( e ikx = e ) inx e ix k. k= e ikx f(t)d n (x t) dt, Soveltamalla (kompleksiarvoisen) geometrisen summan kaavaa saadaan ( ) 1 e D n (x) = e inx i(2n+1)x = e inx e i(n+1)x 1 e ix 1 e ix Kertomalla tämä identiteetti puolittain termillä e ix/2 (e ix 1) = e ix/2 e ix/2, saadaan ( e ix/2 e ix/2) D n (x) = e i(n+1 2)x e i(n+1 2)x. Eulerin kaava e iu e iu = 2i sin u (missä u R) antaa lopuksi 5.3. Lemma. Olkoon Tällöin 2i sin(x/2)d n (x) = 2i sin ( (n )x). K n (x) = 1 n + 1 i) Kaikilla n N {} on voimassa 1 K n (x) dx = D k (x). k= D n (x) dx = 1.

3 8 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI ii) Funktio K n (x) kaikilla x [, ]. Lisäksi K n (x) 2 (n + 1)(1 cos δ), kun < δ x δ. (Tässä < δ < π on kiinnitetty.) Huomautus. Aritmeettinen keskiarvo K n on n:s Fejérin ydin. Ominaisuus (ii) kertoo, että Fejérin ytimet K n ovat positiivisia ja K n tasaisesti, kun n, kunhan x ei ole lähellä päätepisteitä tai. Dirichlet ytimillä D n ei ole näitä ominaisuuksia. Tästä syystä Fourier-sarjojen pisteittäisen suppenemisen teoria on vaikeaa! Todistus. (i) Koska 1 eint dt = δ n,, saadaan 1 D n (x) dx = 1 e ikx dx = 1 kaikilla n =, 1, 2,... Siispä sama väite pitää paikkaansa Dirichlet n ytimien aritmeettiselle keskiarvolle K n. (ii) Edellä osoitimme, että (e ix 1)D n (x) = e i(n+1)x e inx. Tämän vuoksi (n + 1)K n (x)(e ix 1)(e ix 1) = (e ix 1) ( e i(k+1)x e ikx). Yhtälön oikean puolen summa on kaksi geometrista summaa, joten edelleen hieman sieventämällä saadaan (n + 1)K n (x)(e ix 1)(e ix 1) = eix (e ix 1) (e i(n+1)x 1) e i(n+1)x + 1 e ix 1 = ( e i(n+1)x + 1) e i(n+1)x + 1 = 2 2 cos ((n + 1)x). k= Koska (e ix 1) (e ix 1) = 2 (1 cos x), saamme lopuksi K n (x) = 1 cos ((n + 1)x) (n + 1)(1 cos x) Huomaa, että koska cos(t) 1 kaikilla t, Fejérin ydin on tosiaankin positiivinen. Edelleen, Fejérin ytimelle löydetystä esityksestä ja kosinin ominaisuuksista seuraa että 2 K n (x) (n + 1)(1 cos δ) kun < δ x δ <.

4 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI y = D 8 (x) 8 y = K 8 (x) Kuva 8. Dirichlet n ja Fejérin ytimet (n = 8) Seuraavaksi tutkimme Fejérin ytimien käyttäytymistä konvoluutioissa Lause. Olkoon f : [, ] C jatkuva, f() = f(), sekä K n f(x) := 1 kun x [, ] ja n N. Silloin f(t)k n (x t) dt K n f f = sup K n f(x) f(x), x [,] eli K n f(x) f(x) tasaisesti, kun n. Todistus. (vrt Reaalianalyysi I) Oletuksen nojalla f on tasaisesti jatkuva ja se voidaan jatkaa -periodisena koko reaalilukujen joukkoon R. Myös K n on periodinen ja jatkuva, joten muuttujanvaihtoa u = x t soveltamalla saadaan K n f(x) = 1 = 1 f(t)k n (x t) dt u=x t = f(x t)k n (t) dt 1 x x ( = f K n (x)) f(x u)k n (u) du Olkoon ε > annettu. Koska f on tasaisesti jatkuva, niin löytyy sellainen δ >, että f(x u) f(x) < ε 2 kaikilla u < δ ja x [, ]. Merkitään M = f = sup f(u) <. u [,] Lemman 5.3 kohdan ii) nojalla on olemassa sellainen n N, että K n (u) < ε 4M,

5 82 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI kun δ u δ ja n n. Lemman 5.3 kohdan ii) ja konvoluutiokaavan K n f = f K n avulla saadaan nyt K n f(x) f(x) = 1 (f(x u) f(x)) K n (u) du 1 = δ f(x u) f(x) K n (u) du +... } δ {{ } =I 1 δ +... δ } {{ } =I 2 Käsittelemme erikseen integroinnit yli edellä määrättyjen välien. Nyt Lemman 5.3 kohdan i), -periodisuuden ja luvun δ valinnan nojalla I 1 = 1 δ t) f(x) K n (t) dt δ f(x ε 1 δ K n (t) dt < ε 2 δ 2. Vielä tulee käsitellä termi I 2. Nyt I 2 = 1 δ f(x t) f(x) K n (t) dt ( ) 2 f(x) K n (x) 2M ε 4M = ε 2. δ sup [,] sup x [δ, δ] Siispä jokaisella x [, ] on voimassa K n f(x) f(x) I 1 +I 2 < ε + ε = ε 2 2 kaikilla n n, joten väite seuraa. Huomautus. Lemmojen 5.2 ja 5.3 sekä integraalin lineaarisuuden nojalla K n f(x) = ( 1 n + 1 k= D k ) f(x) = 1 n + 1 k= D k f(x) = 1 n + 1 s k (f; x) kun x [, ] ja n N. Lause 5.4 tunnetaan Fejérin lauseen nimellä. Lauseen 5.4 perusteella jatkuvan -periodisen funktion f Fourier-osasummien aritmeettinen keskiarvo suppenee tasaisesti kohti f:ää välillä [, ] ja siten myös pisteittäin kaikilla x [, ]. Seurauksena tästä saadaan tärkeä yksikäsitteisyysominaisuus Seuraus. Jos f C (, ) on -periodinen ja f(k) = kaikilla k Z, niin f. Todistus. Jos f(k) = kaikilla k Z, niin s n (f; x) = f(k)e ikx = kaikilla n N. Lauseen 5.4 jälkeisen huomautuksen nojalla f(x) = lim n K n f(x) = kaikilla x [, ]. k=

6 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 83 Siis jatkuvien funktioiden tapauksessa Fourier-kertoimet määräävät funktion yksikäsitteisesti, eli jos f ja g ovat jatkuvia ja -periodisia, niin f(k) = ĝ(k) kaikilla k Z = f = g. Todistamme seuraavaksi keskeisen approksimaatiotuloksen L p -funktioille. 5 Tämä tulos kertoo sen, että sileät funktiot ovat tiheässä avaruudessa L p [, ], kun p Lause. Olkoon f L p [, ], kun 1 p <, ja ε >. Tällöin on olemassa -periodinen C -funktio g, jolle (A) f g p = ( f(x) g(x) p dx ) 1 p < ε. Todistus. Havaitaan aluksi, että K n g on aina C -funktio, sillä se on Lauseen 5.4 jälkeisen huomautuksen nojalla äärellinen summa trigonometrisistä funktioista, jotka ovat C -funktioita. Lauseen 5.4 nojalla riittää siis löytää jatkuva funktio g, jolle (A) on voimassa, sillä tällöin missä g K n g p = f K n g p f g p + g K n g p, ( g(x) K n g(x) dx kun n. Etsitään haluttu jatkuva funktio g asteittain : ) 1 p c g K n g, (1) Olkoon f = χ F suljetun joukon F [,] karakteristinen funktio. Asetetaan 1 g n (x) =, kun x [, ] ja n N. 1 + n dist(x, F) Etäisyysfunktio x dist(x, F) on jatkuva (tarkista!), joten g n : [, ] R on jatkuva kaikilla n N. Lisäksi g n (x) = 1 kaikilla n N, jos x F ja g n (x), kun x / F ja n, sillä tällöin dist(x, F) >. Siis g n χ F pisteittäin, kun n. Koska g n (x) 1 kaikilla x [, ] ja n N, niin Lebesguen dominoidun suppenemisen lauseen nojalla, lim g n χ n F p p = lim = n g n (x) χ F (x) p dx lim g n(x) χ n F (x) p dx =. Lisäksi muuttamalla funktiota g n pienessä välissä [, 1 n] voi olettaa että gn () = g n (). tähän tulee kuva!! 5 Vertaa Reaalianalyysi I

7 84 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI (2) Olkoon f = χ A avoimen joukon A [, ] karakteristinen funktio. Tällöin väite seuraa kohdasta (1), koska komplementti A c = [, ] \ A on suljettu ja χ A = 1 χ A c. (3) Olkoon f = χ A, kun A [, ] Lebesgue-mitallinen joukko. Tällöin Lebesguen mitan määritelmä nojalla löytyy sellainen jono avoimia joukkoja G n [, ], että G n A kaikilla n N ja lim n µ(g n \ A) =, kun µ on Lebesguen mitta. Olkoon ε >. Valitaan n N niin suureksi, että µ(g n \ A) < (ε/2) p. Edelleen kohdan (2) nojalla löytyy sellainen jatkuva periodinen funktio g, jolle g χ Gn p < ε 2. Siispä g χ A p g χ Gn p + χ Gn χ A p ε 2 + µ(g n \ A) 1 p < ε 2 + ε 2 = ε (4) Olkoon f L p (, ) mielivaltainen. Tällöin Lebesguen integraalin määritelmän nojalla löytyy sellainen yksinkertainen funktio g = a j χ Aj, j=1 että f g p < ε, missä A 1,...,A n [, ] ovat mitallisia joukkoja. Soveltamalla kohtaa (3) kuhunkin karakteristiseen funktioon χ Aj löydetään sellainen jatkuvat -periodiset funktiot g j, että χ Aj g j p < ε nm, missä M = max{ a 1,..., a n }. Siispä kolmioepäyhtälön nojalla f p a j g j f g p + j=1 < ε + j=1 ε a j nm 2ε. j=1 a j g j χ Aj p Koska n j=1 a jg j on myös -periodinen jatkuva funktio, väite seuraa Huomautus. (1) Lauseen 5.6 nojalla sileiden C -funktioiden muodostama aliavaruus on tiheä myös avaruudessa L p (a, b), kun a < b ja 1 p <, mikä seuraa lineaarisesta muuttujanvaihdosta [a, b] [, ]. (2) Lause 5.6 ei päde tapauksessa p =, koska C(, ) ei ole tiheä avaruudessa (L [, ], ) (vrt. HT 4:2).

8 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 85 (3) Jos f L p (R), kun 1 p < ja ε >, niin on olemassa (dominoidun konvergenssin perusteella) sellainen M <, että J M f(x) p dx < ε, kun J M = { x > M}. Siispä vektorialiavaruus C (R) L p (R) on tiheä avaruudessa L p (R), kun 1 p <. (4) Jos R on mitallinen, µ() > ja f L p (), niin asetetaan f = f χ eli f(x), x, f(x) =, x R \, jolloin f L p (R). Tämän avulla voidaan päätellä, että C L p () on tiheä avaruudessa L p (), kun 1 p <, missä C = {f : f C (R)}. (5) Voidaan myös osoittaa, että p-integroituvat C (R n ) funktiot muodostavat tiheän aliavaruuden avaruudessa L p (R n ) (1 p < ), katso Reaalianalyysi I, luku 2.4. (n-ulotteinen tapaus on vähän hankalampi, koska käytimme edellä Fejérin ytimien K n = 1 n+1 n k= D k erikoisominaisuuksia). Seurauksena saadaan yksikäsitteisyys myös L 2 -funktioiden Fourier-sarjoille: 5.8. Seuraus. Jos f L 2 (, ) ja f(k) = 1 f(t)e ikt dt = kaikilla k Z, niin f =. Siis: jos f, g L 2 ja f(k) = ĝ(k) kaikilla k Z, niin f = g. Erityisesti, jos e n (x) = 1 e inx, x [, ], n Z, niin (e n ) n Z on ortonormaali kanta avaruudessa L 2. Todistus. Olkoon ε > mielivaltainen. Approksimaatiolauseen 5.6 nojalla on olemassa sellainen jatkuva -periodinen g C(, ), että f g 2 < ε. Lauseen 5.4 sivulla 81 mukaan konvoluutio K n g g tasaisesti välillä [, ], kun n, joten g K n g 2 g K n g < ε jollakin n N. Sivun 82 huomautuksen nojalla K n g = 1 s k (f, ) = a k e k (trigonometrinen polynomi), n + 1 k=

9 86 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI missä e k (x) = 1 e ikx. Koska (e k ) k Z ortonormaali jono, niin Huomautuksen 4.35 sivulla 7 nojalla f 2 (f e k )e k f Tästä kolmioepäyhtälön nojalla seuraa, että f 2 (f e k )e k f a k e k 2 f g 2 + g a k e k 2. a k e k 2 < 2ε. Oletuksen nojalla ( f e k ) = f(k) = kaikilla k Z, joten edellisen arvion nojalla f 2 < 2ε. Koska ε > oli mielivaltainen, niin f =. Lauseen 4.39 sivulla 72 ehdon b ) nojalla jono (e n ) n Z on Hilbertin kanta avaruudessa L 2 (, ). Yhteenveto (Fourier-sarjojen L 2 -teoriasta) Kokoamme lyhyesti saamamme tulokset Fourier-sarjojen L 2 -teoriasta. 1.) Jos e n = 1 e inx, n Z, niin (e n ) n Z on ortonormaali jono avaruudessa L 2. 2.) Jos f L 2 ja f(n) = 1 (f e n ) = kaikilla n Z, niin f =. (Seuraus 5.8) Siis (e n ) n Z on Hilbertin kanta avaruudessa L 2. 3.) Jos f L 2, niin f = (f e n )e n = n= n= f(n)e inx, missä sarja suppenee L 2 -mielessä. Konkreettisesti lim n f(x) (Lause 4.39 sivulla 72 ja Seuraus 5.8) f(k)e ikx 2 dx =. 4.) Parsevalin identiteetin eli Lauseen 4.39 sivulla 72 kohdan d ) nojalla 1 f(x) 2 dx = f(n) 2, kun f L 2, k= koska f(n) = 1 (f e n ) kaikilla n Z.

10 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 87 5.) Kääntäen, jos (λ k ) k Z l 2 (Z), niin tällöin on olemassa f L 2 (, ), jolle f(k) = λ k kaikilla k Z. Tämä on Riesz Fischerin lause eli Seuraus 4.37 sivulla 71. (Edellä f(t) = 1 k= λ ke ikt on haluttu funktio.) Pisteittäisen suppenemisen teoriasta esitämme seuraavan sovelluksen, joka toimii esimerkiksi jatkuvasti derivoituville funktioille Lause. Jos f : R R on -periodinen ja toteuttaa Lipschitz-ehdon f(x) f(y) L x y kaikilla x, y R, niin kun n kaikilla x R. S n (f; x) = f(k)e ikx f(x), Todistus. (ei käyty läpi luennoilla 28) Jos h L 2, niin Besselin epäyhtälön nojalla kun n. Samoin Valitaan nyt h(t) cos(nt) dt = 1 ( (h e in ) + ( h e in ) ) 2 = 2 ((h e n ) + ( h e n )), lim n (*) h x (t) = h(t) sin(nt) dt =. f(x t) f(x). sin(t/2) Tällöin Lipschitz-ehdon nojalla funktio h x L [, ] L 2 [, ], koska h x (t) L t 2L kun t +. Lemman 5.2 nojalla sin(t/2) S n (f; x) f(x) = 1 = 1 D n (x t)f(t) dt f(x) D n (t)f(x t) dt f(x) = 1 D n (t) (f(x t) f(x)) dt. Toinen identiteeteistä seuraa Lauseen 5.4 sivulla 81 todistuksessa olevasta konvoluutiokaavasta ja viimeinen siitä, että Lemman 5.3 sivulla 79 nojalla Dirichletin ytimen intgraali Dn (t) dt = 1. Koska 1 D n (t) = sin ( (n )t) sin(t/2) = cos(nt) + sin(nt) cos(t/2), sin(t/2)

11 88 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI niin soveltamalla edellisiä identiteettejä yhteen saadaan S n (f; x) f(x) = cos(nt) (f(x t) f(x)) dt h x (t) cos(t/2) sin(nt) dt. Koska kiinteällä x R sekä f(x ) f(x) L 2 että h x (t) cos(t/2) L 2, niin todistuksen alkuosan kahden raja-arvokaavan perusteella lim S n(f; x) f(x) =. n Sobolev-avaruudet Olkoon f C 1 (, ) jatkuvasti derivoituva, f() = f(). Tällöin f (k) = 1 + ik f (t)e ikt dt = 1 / f(t)e ikt dt = ik f(k), f(t)e ikt kaikilla k Z. Joten Parsevalin identiteetin (Lause 4.39 sivulla 72) nojalla 1 (5.1) ( f(t) 2 + f (t) 2 )dt = (1 + k 2 ) f(k) 2. k= Riesz Fischerin lause (Seuraus 4.37 sivulla 71) vihjaa, että kaava (5.1) voisi olla voimassa yleisemmille funktioille f ja että on olemassa avaruuden L 2 vastine derivoituville funktioille; siis avaruus, joka koostuu funktioista f L 2, joille myös f L 2. Ongelma. Mikä on derivaatta f, jos f L 2? Tarkastellaan aluksi testifunktioiden avaruutta D(), missä = (a, b) R on avoin väli (voi olla = R). Palautetataan mieleen, että jos ψ : R R on jatkuva, niin on ψ:n kantaja. Asetetaan nyt supp(ψ) := {x R : ψ(x) } D() = { ψ C (R) : supp(ψ) on kompakti } (siis edellä supp(ψ) on suljettu ja rajoitettu joukko). Huomautus. Jos ψ D(), niin sen derivaatat ψ (k) D() kaikilla k N.

12 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 89 Olkoon f C 1 () jatkuvasti derivoituva. Tällöin osittaisintegroimalla saadaan (5.11) f ϕ dx = fϕ dx kaikilla ϕ D(). Edellisessä kaavassa ei ole sijoitustermiä, sillä testifunktio ϕ häviää joukon reunalla. Identiteetin (5.11) avulla voimme samaistaa derivaatan f ja sitä vastaavan lineaarikuvauksen L f : ϕ f(x)ϕ (x) dx, missä ϕ D() ja f C 1 (). Seuraavaksi näytämme, että samaistus on järkevä (eli jos tunnemme lineaarikuvauksen L f, niin voimme selvittää funktion f yksikäsitteisesti -mittaista joukkoa vaille) Lemma. Olkoon f C 1 () ja rajoitettu avoin väli. Jos g L 2 () ja g ϕ dx = f ϕ dx kaikilla ϕ D(), niin f (x) = g(x) m.k. x. Todistus. Oletuksen ja kaavan (5.11) nojalla saadaan g ϕ dx = f ϕ dx = f ϕ dx, eli (f g)ϕ dx = ϕ D(). Siis (f g) D() avaruudessa L 2 (). Riittää siis näyttää, että D() = L 2 () normin 2 suhteen, sillä tällöin testifunktioiden ortokomplementti D() = { }, joten f = g avaruuden L 2 () alkioina. Olkoon = (, 1) (yleinen tapaus = (a, b) voidaan palauttaa tähän lineaarisella muunnoksella). Etsimme kiinteällä < ε < 1 2 funktion η ε C (), jolle pätee 1. kun x, niin η ε (x) 1, 2. nollan ja ykkösen ympäristöissä funktio η ε on identtisesti nolla, eli η ε (x), kun < x < ε tai 1 ε < x < 1, 3. funktio η ε (x) 1, kun 2ε < x < 1 2ε Tämän etsiminen jää harjoitustehtäväksi. Voit käytää apuna tietoa, että e 1/x2, x > h(x) =, x

13 9 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI on C -funktio, vrt. Reaalianalyysi I. Jos f C (), niin η ε f D() ja Lebesguen dominoidun suppenemisen lauseen nojalla f η ε f 2 2 = 1 η ε (x) 2 f (x) 2 dx, kun ε +. (Tarkasti ottaen: LDK pitää edellä soveltaa mielivaltaisella positiivisella jonolla (ε k ), jolle lim k ε k =.) Siis C () D() avaruudessa L 2 (). Koska Lauseen 5.6 sivulla 83 nojalla tiedetään, että C () = L 2 (), niin edellisen perusteella myös D() = L 2 (). Huomautus. Lemman 5.12 todistus toimii sellaisenaan vain, jos f L 2 (). (Esimerkiksi, jos = R niin f C 1 () ei yleensä takaa että f L 2 ().) Tämä tekninen rajoitus voidaan helposti kiertää, sillä jos j on kompakti, niin soveltamalla todistusta derivaatan f rajoittumaan kompaktiin joukkoon j nähdään, että f = g m.k x j. Siirtyminen kompakteihin joukkoihin takaa, että jatkuva funktio on neliöintegroituva. Valitsemalla jono kompakteja osajoukkoja 1 2 siten, että = j j, niin edellisestä seuraa, että f = g m.k. x Määritelmä. Olkoon = (a, b) avoin väli ja f L 2 (). Funktio g L 2 () on f:n heikko derivaatta (eli yleistetty derivaatta tai distribuutioderivaatta), jos L g (ϕ) := g ϕ dx = f ϕ dx kaikilla ϕ D(). Jos f:lla on heikko derivaatta g, niin merkitään edelleen g = f Huomautus. (1) Jos heikko derivaatta g on olemassa, niin g on yksikäsitteinen L 2 -funktiona. Tämä seuraa soveltamalla Lemman 5.12 todistusta. Nimittäin, jos g 1, g 2 L 2 () toteuttavat g 1 ϕ dx = f ϕ dx = g 2 ϕ dx kaikilla ϕ D(), niin g 1 g 2 D(). Koska D() = L 2 () tästä seuraa, että g 1 = g 2. (2) Jos f C 1 (), niin identiteetin (5.11) nojalla g = f tavallisessa mielessä Huomautus (Lisätieto). Yllä olevien heikkojen derivaattojen tarkastelu johtaa distribuutioihin (eli yleistettyihin funktioihin). Näihin joudutaan (esimerkiksi) seuraavista luontevista vaatimuksista: (a) jokainen jatkuva funktio on distribuutio,

14 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 91 (b) distribuutioilla on kaikkien kertalukujen derivaatat, jotka ovat edelleen distribuutioita. Jos f C 1, niin sen derivaatta distribuutiona on tavallinen derivaatta f. (c) derivaatan tavallisten laskusääntöjen tulee olla voimassa (distribuutioiden tulo on ongelma!). (d) distribuutioilla tulee olla riittävän hyviä konvergenssi ominaisuuksia (rajaprosesseja varten). Itse asiassa, distribuutio määritellään lineaarikuvauksena Λ: D() K. Jokainen jatkuva f C() määrää lineaarikuvauksen Λ f : D() K ehdolla Λ f (ϕ) = fϕ dx, kun ϕ D() (siis (a) on voimassa). Jos asetamme kaavan (5.11) sivulla 89 motivoimana, että Λ (ϕ) = Λ(ϕ ), ϕ D(), niin ehdot (b) ja (c) tulevat täytetyiksi. Kohtaa (d) varten testifunktioiden joukko D() pitää varustaa sopivalla topologialla τ, jolloin distribuutiot ovat tarkalleen jatkuvat lineaarikuvaukset (D(), τ) K. Tämän topologian määrittely sekä karakterisointi vaatii lisätyötä, joten se sivuutetaan tällä kurssilla Esimerkki. Olkoon = ( 1, 1) ja, x < H(x) = (Heavisiden funktio). 1, x Tällöin H L 2 (), mutta kaikilla ϕ D() pätee 1 ϕ (x)h(x) dx = ϕ (x) dx = ϕ() ϕ(1) = ϕ(). }{{} = Toisaalta: H (x) = tavallisessa mielessä kun x, eikä voi olla olemassa funktiota g L 2 (), jolle samalla myös g(x)ϕ(x) dx = ϕ() kaikilla ϕ D() Huomautus. Heavisiden funktion H derivaatta distribuutiona on ns. Diracin deltafunktionaali δ, jolle siis δ(x) = kun x ja δ(x)dx = 1. Tällöin δ ei voi olla tavallinen funktio, vaan se on aito distribuutio; itse asiassa δ on lineaarikuvaus ϕ ϕ() : D() K. [Huomaa myös, että edellisessä esimerkissa heikko derivaatta on eri asia kuin derivaatta distribuutiona.] 6 katso esimerkiksi Walter Rudin: Functional Analysis.

15 92 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Määritelmä. Olkoon = (a, b) avoin väli. Sobolev-avaruus H 1 = H 1 () koostuu niistä avaruuden L 2 funktioista f, joilla on heikko derivaatta f L 2 eli H 1 = { f L 2 () : funktiolla f on heikko derivaatta f L 2 () }. Huomautus. Merkintä H 1 viittaa derivaatan kertalukuun ja H Hilbertin avaruuteen. Usein merkitään myös H 1 = W 1 2 = W 1, Lause. H 1 on Hilbert-avaruus varustettuna sisätulolla (f h) = [f(x)h(x) + f (x)h (x)] dx, f, g H 1. Todistus. Avaruuden H 1 määritelmän ja Cauchy Schwarzin epäyhtälön 4.2 sivulla 56 nojalla muoto (f g ) on hyvin määritelty, sillä f, h, f, h L 2 (). Lisäksi f h 2 H = [(f(x) h(x))(f(x) h(x)) + (f h) (x) (f h) 1 }{{} (x)] dx =f (x) h (x) = f h 2 L 2 + f h 2 L 2 kaikilla f, g H 1. Siis jos (f n ) H 1 on Cauchyn jono, niin jonot (f n ) L 2 () ja (f n) L 2 () ovat Cauchyn jonoja. Koska L 2 () on täydellinen, niin löytyy sellaiset f, g L 2 (), että f n f ja f n g avaruudessa L 2 (). Riittää siis näyttää, että g on funktion f heikko derivaatta. Jos ϕ D(), niin f n ϕ dx = f nϕ dx kaikilla n N, joten Cauchy Schwarzin epäyhtälön nojalla fϕ dx + gϕ dx = (f f n )ϕ dx + (g f n)ϕ dx f f n L 2 ϕ L 2 + g f n L 2 ϕ L 2, kun n. Siis g ϕ dx = eli f = g L 2 (). f ϕ dx kaikilla ϕ D(), Tarvitsemme myöhemmissä esimerkeissä Sobolev-funktioiden perusominaisuuksia ja näitä varten tarvitaan seuraava versio analyysin peruslauseesta heikoille derivaatoille Lemma. Jos f L 2 () ja f ϕ dx = kaikilla ϕ D() (eli siis heikko derivaatta f = ), niin f(x) C (vakio) m.k. x, toisin sanoen, joukko { x : f(x) C } on -mittainen.

16 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 93 Todistus. Olkoon ψ D() funktio, jolle ψ dx = 1. Jos w D() on mielivaltainen, niin asetetaan x ( ( ) ) ϕ(x) = w(t) w(y) dy ψ(t) dt. a Tällöin ϕ D(). Tämän havaitsemiseksi lasketaan ensin ϕ derivaatta, joka on ϕ (t) = w(t) ( w dx)ψ(t). Olkoon nyt väli [c, d] = (a, b) sellainen, että supp(ψ) supp(w) [c, d]. Silloin kaikilla c [a, c] pätee ϕ(c ) = ja d d ( ( ) ) ϕ(d ) = ϕ(d ) ϕ(c ) = ϕ (t) dt = w(t) w dx ψ(t) dt c c = w(t) dt ψ(t) dt w(x) dx = kaikilla d [d, b], sillä ψ dx = 1. Siispä supp(ϕ) ja on kompakti. Oletuksen ja Fubinin lauseen 7 nojalla on siis ( ( ) ) = f ϕ dx = f(t) w(t) w dx ψ(t) dt ( ) = w(x) f(x) f(t)ψ(t) dt dx. Koska w D() on mielivaltainen ja D() = L 2 () (Lauseen 5.12:n todistus), niin tästä seuraa, että f(x) f ψ dt = }{{} m.k. x =C=vakio Analyysin peruslauseen (Lemma 5.2) avulla voimme osoittaa, että Sobolevfunktiot ovatkin hieman sileitä myös tavallisessa mielessä. Tarkemmin sanoen seuraava tulos on voimassa Lause. Jos = (a, b) on rajoitettu väli, f H 1 (a, b) ja f L 2 () on sen heikko derivaatta, niin (a) f on jatkuva (tarkemmin: on olemassa f C(a, b), jolle f(x) = f(x) m.k. x eli funktion f määräämä L 2 -luokka sisältää jatkuvan edustajan) (b) f(x) = x x f (t) dt + f(x ) m.k. x, x (a, b) 7 integroimisjärjestyksen vaihto, kts. Mitta ja integraali

17 94 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Huomautus. (1) Ominaisuus on olemassa jatkuva edustaja on vahvempi kuin ominaisuus m.k. jatkuva. Esimerkiksi välin [, 1] karakteristinen funktio χ [,1] on jatkuva m.k. x R, mutta ei ole olemassa sitä vastaavaa jatkuvaa edustajaa. (2) Jos f on jatkuva funktio, jolle löytyy f (x) m.k. x (tavallisessa mielessä) ja f L 2 (), niin tällöin (b) ei aina päde (Reaalianalyysi I: on olemassa jatkuva ns. Cantorin funktio f : [, 1] [, 1], jolle f (x) = m.k. x [, 1], sekä f() =, f(1) = 1). Lauseen 5.21 todistus. Voidaan vapaasti olettaa, että (a, b) = (, 1). Olkoon x (, 1). Määritellään funktio h(x) = x x f (t) dt, joka on hyvin määritelty, sillä f L 2 (, 1) L 1 (, 1) Schwarzin tai Hölderin epäyhtälön nojalla. (Tässä tarvitaan, että väli on rajoitettu.) Jos x, y (, 1), niin Hölderin nojalla (jos x < y) x y y h(x) h(y) = f (t)dt f (t)dt = f (t)dt x x ( y f (t) 2 dt x )1 2 ( y )1 2 1dt f H 1 x y 1 2, x }{{} = y x 1 2 eli h on tasaisesti jatkuva (, 1) K ja siten myös jatkuva välillä [, 1]. Väite: f(x) h(x) = C (vakio) m.k. x (, 1) (Huom: kohdat (a) ja (b) seuraavat tästä heti). Olkoon ϕ D(, 1) mielivaltainen ja x = (merkintöjen helpottamiseksi). Fubinin lauseen, heikon derivaatan määritelmän sekä ϕ(1) =, avulla saadaan ( x ) ϕ (x)h(x) dx = ϕ (x) f (t) dt dx joten Fub. = = ( f (t) t f(t)ϕ (t) dt, ) ϕ (x) dx }{{} =ϕ(1) ϕ(t)= ϕ(t) ϕ (t)(h(t) f(t)) dt = dt = x f (t)ϕ(t) dt kaikilla ϕ D(, 1). Siispä Lemman 5.2 nojalla f(x) h(x) C m.k. x (, 1). (Perustele itsellesi miten edellä Fubinin lausetta käytetään, kun

18 integroimisjoukko on FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 95 A = {(x, t) : x 1, t x} = {(x, t) : t 1, t x 1}.) Seuraavassa oletetaan aina, että Sobolev-funktio f H 1 (a, b) on jatkuva (siis edustajana Lauseen 5.21.(a) mielessä) ja erityisesti f(a) = lim x a+ f(x) ja f(b) = lim f(x) x b ovat olemassa (katso Lauseen 5.21 todistus). Siis tässä mielessä H 1 (a, b) C(a, b) (= { f : [a, b] K : f on jatkuva }). Kirjoitetaan näkyviin pari seurausta Lauseelle Seuraus. Jos f H 1 (a, b) ja heikko derivaatta f C(a, b), niin f C 1 (a, b). Todistus. Lauseen 5.21 ja derivaatan f jatkuvuuden nojalla f(x) f(x ) = kaikilla x, x [a, b]. x x f (t) dt Seuraus. Joukko H 1 (a, b) = { f H 1 (a, b) : f(a) = f(b) = } on avaruuden H 1 (a, b) suljettu aliavaruus (ja siis Hilbert avaruus). Todistus. HT/8 Huomautus. (1) Koska avaruuden H 1 funktiot ovat jatkuvia, niin -periodisessa tapauksessa H 1 (, ) voidaan karakterisoida Fourier-kertoimien avulla: eli funktio f H 1 (, ) ja f() = f() jos ja vain jos f L 2 (, ) ja (1 + k 2 ) f(k) 2 <. k= Tämä seuraa sivulla 88 olevasta johdantotekstistä Sobolev-avaruuksiin, kun lisäksi yhdistämme tähän päättelyyn HT 9/26 tehtävässä 2 osoitettua tulosta. (2) Sobolev-avaruudet voidaan rakentaa korkeammissakin dimensioissa ja L p - avaruuksissa: kun R n on alue ja 1 p < määritellään W 1 p () = {f L p () : f:n heikot osittaisderivaatat 1 f,..., n f L p ()}. Vastaavasti vaatimalla, että L p -funktion f kaikkien korkeintaan astetta 8 k olevat heikot derivaatat α f L p, voimme myös määritellä Sobelev-avaruudet 8 sanomme, että α f = α αn n f on astetta k, jos α 1 + α α n = k

19 96 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI W k p () sekä H k () W k 2 (). Tällöin voidaan osoittaa Lauseen 5.21 sivulla 93 vastine eli erikoistapaus Sobolevin upotuslauseesta: Jos k > n 2 ja Rn on riittävän sileäreunainen, niin H k () C(). Sovelluksista differentiaaliyhtälöihin sivujen SL-sovellusta ei luennoitu keväällä 28 Hilbertin avaruus-metodeja voidaan käyttää apuna myös differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa. Tarkastellaan klassisena esimerkkinä Sturmin Liouvillen yhtälöitä: Oletetaan, että on annettu funktiot p C 1 (, 1), q C(, 1) ja etsitään funktiota u C 2 (, 1), joka toteuttaa seuraavat ehdot (p(x)u (x)) + q(x)u(x) = kaikilla x (, 1) (SL) u() = α, u(1) = β. Teemme seuraavat lisäoletukset: on olemassa sellainen δ >, että (5.24) p(x) δ ja q(x) δ aina, kun x [, 1] Seuraava tärkeä heikon ratkaisun käsite kytkee yhteen differentiaaliyhtälöt ja Hilbertin avaruudet Määritelmä. Funktio u H 1 (, 1) on yhtälön (SL) heikko ratkaisu, jos u() = α, u(1) = β sekä p(x)ϕ (x)u (x) dx + kaikilla testifunktiolla ϕ D(, 1). q(x)ϕ(x)u(x) dx = Toisin sanoen, funktio u on Sturmin Liouvillen yhtälön (SL) heikko ratkaisu, jos funktion pu heikko derivaatta on qu. Todistamme nyt Hilbertin avaruusmenetelmillä seuraavan tuloksen, jonka tarkennuksiin palaamme myöhemmin kurssilla, kunhan olemme saaneet uusia ja tehokkaampia työkaluja Lause. Kun p ja q ovat alhaalta rajoitettuja (eli kun ehto (5.24) toteutuu), niin yhtälöllä (SL) on yksikäsitteinen ratkaisu u C 2 (, 1). Todistus. Todistamme väitteen useissa pienissä askeleissa. 1. askel: Ensimmäisenä askeleen osoitetaan, että Väite. Jos u C 2 on yhtälön (SL) klassinen ratkaisu 9, niin u on myös heikko ratkaisu. 9 siis u C 2 (,1) ja u toteuttaa reuna-arvotehtävän (SL)

20 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 97 Todistus. Olkoon ϕ D(, 1). Nyt osittaisintegroimalla saadaan 1/ (p ϕ u + q uϕ)(x) dx = p(x)ϕ(x)u (x) + ϕ(x) ( (p u ) + q u ) (x) dx =. }{{} Sijoitustermi häviää, sillä ϕ() = ϕ(1) =. Siis u on Määritelmän 5.25 nojalla myös heikko ratkaisu. 2. askel: Asetetaan avaruuteen H 1 (, 1) uusi sisätulo u v = p(x)u (x)v (x) dx + q(x)u(x)v(x) dx. Selvästi u v on funktion u suhteen lineaarinen, u v = v u ja lisäksi on aidosti positiviinen, sillä p(x) δ ja q(x) δ. Siispä on todella sisätulo avaruudessa H 1 (, 1). Väite. Joukko H 1 (, 1) varustettuna sisätulolla on Hilbertin avaruus. Todistus. On siis vielä näytettävä, että H 1 (, 1) on täydellinen normissa u := u u, u H 1 (, 1). Olemme olettaneet, että δ p, q ja koska p sekä q ovat jatkuvina funktioina rajoitettuja välillä [, 1], niin jollakin vakiolla M > on Nyt u v 2 = < δ p(x) M <, < δ q(x) M <. M [p(x) u (x) v (x) 2 + q(x) u(x) v(x) 2 ] dx [ u (x) v (x) 2 + u(x) v(x) 2 ] dx = M u v 2 H 1. Samoin nähdään, että δ u v 2 H u v 2. Siis, jos (u 1 n ) on Cauchyn jono avaruudessa (H 1, ), niin se on Cauchyn jono myös avaruudessa (H 1, H 1). Koska (H 1, H 1) on täydellinen (Lause 5.19 sivulla 92), niin löytyy sellainen u H 1, että u n u H 1, kun n. Tällöin u n u M u n u H 1, ja siis myös avaruus (H 1, ) on täydellinen. 3. askel: Seuraava askel on näyttää, kuinka yhtälölle (SL) löydetään heikko ratkaisu. Väite. Yhtälöllä (SL) on heikko ratkaisu.

21 98 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Todistus. Olkoon E = (H 1, ), missä sisätulo on sama kuin askeleessa 2, jolloin siis E on Hilbertin avaruus. Valitaan nyt jokin f E, jolle f() = α ja f(1) = β, esimerkiksi funktio f(x) = α + (β α)x kelpaa. Seurauksen 5.23 sivulla 95 nojalla H 1 on avaruuden H 1 suljettu aliavaruus ja edellisen askeleen todistuksen nojalla H 1 on myös avaruuden E suljettu aliavaruus. Siispä voimme soveltaa luvun 4 normin minimointituloksia: Seurauksen 4.18 sivulla 63 nojalla on olemassa yksikäsitteinen g H 1, jolle f g = inf{ f h : h H 1 }. Edelleen Lauseen 4.2 sivulla 65 nojalla (f g) H 1 sisätulon suhteen. Jos nyt merkitään u = f g, niin u() = f() g() = α = α ja u(1) = f(1) g(1) = β. Koska selvästi D(, 1) H 1 (, 1), niin jokaisella ϕ D(, 1) on = f g ϕ = eli funktio u on yhtälön (SL) heikko ratkaisu! [p(x)u (x)ϕ (x) + q(x)u(x)ϕ(x)] dx Huomautus. Edellä esitetty heikon ratkaisun konstruointi voidaan tulkita myös Dirichlét n periaatteena: Jos I(u) = [p(x) u (x) 2 + q(x) u(x) 2 ] dx = u, niin yhtälön (SL) heikko ratkaisu on funktio u H 1 (, 1), joka toteuttaa reunaehdot u () = α, u (1) = β ja jolle pätee I(u ) = inf{ I(u) : u() = α ja u(1) = β }. 4. askel: Tässä askeleessa osoitamme, että yhtälöllä (SL) on korkeintaan yksi ratkaisu. Yhdessä edellisen askeleen kanssa tämä takaa sen, että yhtälöllä on tarkalleen yksi heikko ratkaisu. Tätä varten tarvitsemme seuraavan lemman, joka osoittaa, että testifunktiot ovat tiheässä avaruudessa H 1 (mutta eivät kuitenkaan koko Sobolev-avaruudessa H 1!!) Lemma. Testifunktioiden sulkeuma D() = H 1 (), kun on rajoitettu väli ja sulkeuma otetaan H 1 -normin suhteen. Todistus. Oletetaan seuraavassa laskujen yksinkertaistamiseksi, että = (, 1). Ensiksi, D() H(), 1 koska D() H() 1 ja aliavaruus H() 1 H 1 () on suljettu. Kääntäen, jos f H(), 1 niin Lauseen 5.21 sivulla 93 nojalla f(x) = x f (t) dt.

22 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 99 Edelleen Lemman 5.12 sivulla 89 todistuksessa osoitettiin, että D() = L 2 () (normin 2 suhteen), joten löytyy g D(), jolle f g 2 < ε. Koska väli [, 1] on rajoitettu, niin tiedämme, että f g 1 f g 2 < ε. Siten ( ) g(x) dx = [g(x) f (x)] dx g f 1 < ε, missä ensimmäinen yhtälö seuraa tiedosta = f(1) = f (t) dt. Väitteen osoittamiseksi haluaisimme nyt konstruoida funktion h D(, 1), jolle sekä f h 2 ja f h 2 olisivat pieniä. Hyvä kandidaatti vaikuttaisi olevan funktion g integraalifunktio, eli ( ) h(x) := x g(t) dt. Onko tämä integraalifunktio h kuitenkaan D(, 1):ssä? Jotta se olisi, on oltava h(1) =, mikä tarkoittaa, että vakio c = g(x) dx =. Meillä on edellä tiedossa ainoastaan arvio ( ). Korjataksemme tämän puutteen argumentoimme Lemman 5.2 tapaan: kiinnitämme testifunktion ϕ D(, 1), joka toteuttaa ehdot ϕ ja ϕ 1 = ϕ(t) dt = 1. Olkoon nyt g := g cϕ. Silloin g D(, 1), g dt = ja lisäksi g g 2 = c ϕ 2 < ε ϕ 2 arvion ( ) nojalla. Voimme nyt vaihtaa funktion g funktioksi g, jolloin kaavan ( ) määräämä integraalifunktio h D(, 1). Nyt loppuargumentti etenee suoraviivaisesti: f h 2 H = f(x) h(x) 2 dx + 1 = x (f (t) g(t)) dt 2 dx + f (x) h (x) 2 dx ( x ) 2 f (t) g(t) dt dx + f g 2 f (x) g(x) 2 dx f (t) g(t) 2 dt + f g 2 2 2(1 + ϕ 2 ) 2 ε 2. Toiseksi viimeinen arvio seuraa Cauchy Schwarzin (tai Hölderin) epäyhtälön nojalla. Siispä H() 1 D(). Edeltävän lemman avulla voimme nyt osoittaa askeleen 4. väitteen: Väite. Yhtälön (SL) heikko ratkaisu on yksikäsitteinen. 2

23 1 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Todistus. Osoitimme 3. askeleessa, että jos g H 1 on se yksikäsitteinen alkio, jolle f g H, 1 niin u = f g toteuttaa yhtälön (SL). Kääntäen, jos u 1 toteuttaa yhtälön (SL), niin reunaehdon nojalla u 1 = f g 1, missä g 1 H(, 1 1). Heikon ratkaisun määritelmän nojalla u 1 ϕ = jokaisella ϕ D(, 1) eli f g 1 D(, 1). Mutta Lemman 5.27 mukaan D(, 1) = H, 1 joten f g 1 H. 1 Siispä Lauseen 4.2 sivulla 65 nojalla f g 1 = dist(f, H), 1 joten Lauseen 4.17 sivulla 63 nojalla u 1 = f g 1 = f g = u, joten ratkaisu on yksikäsitteinen. 5. askel: Viimeisenä askeleena osoitamme, että edellisissä askeleissa konstruoitu yksikäsitteinen heikko ratkaisu on myös klassinen ratkaisu. Väite. Yhtälön (SL) heikko ratkaisu u on klassinen ratkaisu eli u C 2 [, 1]. Todistus. Alkujaan tiedetään, että u H 1, joten u L 2 (, 1). Koska p C 1 (, 1), niin tulo pu L 2 (, 1). Koska tulon pu heikko derivaatta on qu L 2, niin tiedämmekin siis, että pu H 1 (, 1), joten Lauseen 5.21 nojalla funktio pu on jatkuva. Edelleen, koska p δ >, niin u C(, 1), joten olemme johtaneet, että itse asiassa u C 1 (, 1). Nyt (pu ) = qu C(, 1) myös klassisessa mielessä, joten pu C 1 (, 1), mistä seuraa edelleen, että u C 2 (, 1). Yhdessä kaikki askeleet osoittavat Lauseen 5.26 väitteen. Lisätietoja: (1) Edellä esitetty Sturmin Liouvillen yhtälöiden ratkaisumenetelmää voidaan soveltaa korkeammissa dimensioissa ns. elliptisiin yhtälöihin, joiden prototyyppi on u + u =, u = f, missä R n on alue ja = n 2 j=1. Ratkaisustrategia toimii kuten edellä: j 2 i) Klassinen ratkaisu on heikko ratkaisu ii) On olemassa heikko ratkaisu iii) Heikko ratkaisu on yksikäsitteinen (joten myös klassinen ratkaisu on yksikäsitteinen) iv) Heikko ratkaisu u on riittävän säännöllinen (eli edellä u C 2 ). Tästä yhtälöstä päästään Laplacen yhtälöön u = Fredholm-operaattoreiden tai Fredholmin teorian avulla (jolloin voimme myös luopua oletuksesta, että q δ > ).

24 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 11 (2) Historiallisesti, Bernhard Riemann ( ) ratkaisi yhtälön u = f juuri edellä mainitun Dirichlét n periaatteen avulla. Karl Weierstraß ( ) aiheutti sensaation kriittisellä artikkelillaan Über das Sogenannte Dirichletsche Princip, jossa hän esitti seuraavan vastaesimerkin: Jos J(u) = 1 x 2 u (x) 2 dx, niin ei ole jatkuvaa funktiota u, jolle u (1) = 1, u ( 1) = 1 ja J(u ) = inf{ J(u) : u( 1) = 1, u(1) = 1 } Todistus. Jos niin joten kun ε +. ϕ(x) = arctan x ε arctan 1, ε >, ε ϕ (x) = J(ϕ) < ε (arctan 1 ε )(x2 + ε 2 ), 2ε arctan 1 ε, Miksi Dirichlét n periaate ei toimikaan? Syy (joka ymmärrettiin vasta 19- luvulla) on se, ettei H 1 (tai H) 1 ole täydellinen normissa u = 1 x 2 u (x) 2 dx. Tästä samasta syystä oletettiin edellä, että p, q δ yhtälössä (SL). 1 Weierstrassin kritiikillä on ollut huomattava merkitys differentiaaliyhtälöiden teorialle ja variaatiolaskennalle, vaikka Dirichlét n periaate nyt pystytään perustelemaan täsmällisesti Hilbertin avaruuksien teorian avulla. 1 edellä oleva normi vastaa (SL)- yhtälön normia, kun q ja p(x) = x 2. Aikaisemmin totesimme, että oletuksesta q δ voidaan luopua, mutta jos funktiolla p on nollakohta tilanne muuttuu radikaalisti.