Sisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006

Transkriptio

1 Sisätuloavaruudet 4. lokakuuta 2006 Tässä esityksessä vektoriavaruudet V ja W ovat kompleksisia ja äärellisulotteisia. Käydään ensin lyhyesti läpi määritelmiä ja perustuloksia. Merkitään L(V, W ) :llä lineaarikuvausten V W joukkoa. Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen (as + bt )(v) = as(v) + bt (v) kanssa L(V, W ) muodostaa vektoriavaruuden. L(V, V ) :n alkioita kutsutaan lineaarioperaattoreiksi ja L(V, C) :n alkioita lineaarisiksi funktionaaleiksi. Vektoriavaruutta L(V, C) sanotaan V :n duaaliavaruudeksi, jota merkitään V. Olkoon B = {e 1,..., e n } V :n kanta. Määritellään funktionaalit f i V, i {1,..., n}, seuraavasti: f i (e j ) = δ ij, 1 j n. Tällöin kaikki funktionaalit f V voidaan esittää muodossa f = f(e i )f i, eli B = {f 1,..., f n } virittää duaaliavaruuden V, ja on itse asiassa sen kanta. Koska V on vektoriavaruus, on silläkin olemassa duaaliavaruus. Olkoon u V ja f V. Kuvaus û : V C : û(f) = f(u) on avaruuden V lineaarinen funktionaali. Lisäksi kuvaus Ψ : V V : Ψ(u) = û on vektoriavaruuksien välinen isomorfismi. Määritelmä 1 Funktio (u, v) : V V C on Sisätulo, jos kaikilla u, v, w V ja a, b C on voimassa 1

2 1. (u, v) = (v, u), 2. (au + bv, w) = a(u, w) + b(v, w), 3. (u, u) > 0, kun u 0. Sisätulolla varustettua vektoriavaruutta kutsutaan sisätuloavaruudeksi. Tästä lähin, ellei muuten mainita, oletetaan että V on n-ulotteinen sisätuloavaruus. Merkitään C m,n :llä kompleksisten m n -matriisien joukkoa. Matriisin A = (a ij ) C m,n konjugaattitranspoosi, merkitään A, on matriisi (a ji ). Matriisin A C n,n jälki, tr(a) = a ii, on C n,n :n lineaarinen funktionaali. Olkoot u = (x 1,..., x n ), v = (y 1,..., y n ) C n. Jos c 1,..., c n ovat positiivisia lukuja, niin (u, v) = c i x i y i on sisätulo C n :ssä. Kun c 1 = = c n = 1, kutsutaan sitä standardiksi sistuloksi tai pistetuloksi. Avaruudessa C m,n standardi sisätulo voidaan kirjoittaa muotoon (A, B) = T r(b, A). Vektorit u, v V ovat kohtisuorassa tai ortogonaaliset, jos (u, v) = 0. Vektorijoukko S V on ortogonaalinen, jos sen vektorit ovat pareittain ortogonaalisia. S on ortonormaali, jos se on ortogonaalinen ja (u, u) = 1 kaikilla u S. Vektorin v normi on v = (v, v). Sisätuloavaruudelle voidaan aina konstruoida ortonormaali kanta, ja mikä tahansa ortononormaali vektorijoukko voidaan laajentaa koko avaruuden ortonormaaliksi kannaksi (Gram-Schmidt -algoritmi). Olkoon W V :n aliavaruus. W :n ortogonaalikomplementti on joukko W = {v V w W : (v, w) = 0}. Myös W on aliavaruus, ja dim(w ) + dim(w ) = dim(v ). Lause 1 Jokaista lineaarista funktionaalia V C kohti on yksikäsitteinen vektori w, s.e. kaikilla v V f(v) = (v, w). 2

3 Lause 2 (Cauchy-Schwarzin epäyhtälö) Kaikilla u, v V on voimassa (u, v) u v, missä yhtäsuuruus on voimassa joss u ja v ovat yhdensuuntaisia. Lause 3 (Parsevalin kaava) u, v V. Tällöin Olkoon {e 1,..., e n } V :n ortonormaali kanta, ja (u, v) = (u, e i )(e i, v). Lause 4 (Besselin epäyhtälö) Olkoon {u 1,..., u k } ortonormaali joukko V :n vektoreita, ja v V. Tällöin v 2 k (v, u i ) 2, missä yhtäsuuruus on voimassa joss v span(u 1,..., u k ). Lause 5 Jokaista operaattoria T L(V, V ) kohti on yksikäsitteinen S L(V, V ) s.e. kaikilla u, v V (T (u), v) = (u, S(v)). Operaattoria S, merkitään T, kutsutaan T :n adjungaatiksi tai liitto-operaattoriksi. Olkoon B = {e 1,..., e n } V :n ortonormaali kanta ja T L(V, V ). Kantavektorien kuvat T (e i ) määrittävät operaattorin T yksikäsitteisesti, joten T voidaan määritellä näiden kuvavektoreiden T (e j ) = a ij u i, 1 j n koordinaattien a ij kokoelmana. Tätä sanotaan T :n matriisiesitykseksi, ja merkitään [T ] = (a ij ). Koska B on ortonormaali, saadaan kertoimille esitys a ij = (T (u j ), u i ). Tällöin (kun B on ortonormaali) huomataan myös, että a ij on T :n matriisiesityksen (j, i)-alkio, joten [T ] = [T ]. Olkoot W 1 ja W 2 V :n aliavaruuksia. Niiden summa on W 1 + W 2 = {w 1 + w 2 w 1 W 1, w 2 W 2 }. Aliavaruuksien summa on suora, merkitään W 1 W 2, jos W 1 W 2 = {0}. Summa on ortogonaalinen, jos W 1 W 2. Tällöin merkitään W 1 W 2. 3

4 Operaattori T L(V, V ) on projektori, jos T = T 2. Olkoon I V L(V, V ) identiteettioperaattori. On helppo huomata, että myös operaattori S = I V T on projektori. Merkitään T :n kuvaa T (V ):llä, siis T (V ) = {T (v) v V }. Huomataan, että V = T (V ) S(V ). Operaattori T L(V, V ) on hermiittinen, tai itseadjungoitu, jos T = T. Hermiittinen projektio on ortogonaaliprojektio. Matriisi A on hermiittinen, jos A = A. Määritellään kuvaus [, ] : V V C seuraavasti: [u, v] = (T (u), v). Milloin tämä kuvaus on sisätulo? Sisätulon määritelmän kohta 2 toteutuu, mutta kohta 1 toteutuu, joss kaikilla u, v V [v, u] = (T (v), u) (1) = (v, T (u)) (2) = (T (u), v). (3) on yhtä kuin [u, v] = (T (u), v). Kohta 1 siis toteutuu joss T on hermiittinen. Kohtaa 3 varten määritellään, että operaattori T on positiividefiniitti, jos kaikilla v V on voimassa (T (v), v) > 0, ja T on positiivisesti semidefiniitti, jos (T (v), v) 0. Merkintä T 0 tarkoittaa, että T on hermiittinen ja positiivisesti semidefiniitti. Huomataan siis, että kuvaus [u, v] = (T (u), v) on sisätulo, joss operaattori T on positiividefiniitti ja hermiittinen. Vastaava määrittely matriiseille: Olkoon A C n,n hermiittinen. A on positiividefiniitti, jos kaikilla x C n,1 on voimassa x Ax > 0, ja vastaavasti positiivisesti semidefiniitti, jos x Ax 0. Merkintä A 0 tarkoittaa, että A on hermiittinen ja positiivisesti semidefiniitti. Olkoon B avaruuden V ortonormaali kanta ja [T ] operaattorin T esitys tässä kannassa. Tällöin T 0 [T ] 0. Lause 6 Olkoot (, ) ja [, ] sisätuloja V :ssä. On olemassa yksikäsitteinen operaattori T L(V, V ) s.e. kaikilla u, v V on voimassa [u, v] = (T (u), v). Operaattori T L(V, V ) on unitaarinen, jos T T = I V. Tällöin siis T on kääntyvä ja T 1 = T. Vastaavasti matriisi U C n,n on unitaarinen, jos U 1 = U. 4

5 Lause 7 (Schurin lause) Jokainen matriisi A C n,n on unitaarisesti similaarinen yläkolmiomatriisin kanssa. Ts. on olemassa unitaarinen matriisi U, jolla U AU on yläkolmiomatriisi. Lause 8 (Spektrilause) Matriisi A C n,n on unitaarisesti similaarinen diagonaalimatriisin kanssa, joss A A = AA. Neliömatriisi A (operaattori T ) on normaali, jos A A = AA (T T = T T ). Jos A = (a ij ) on hermiittinen, niin sen diagonaalialkiot ovat reaalisia. Koska hermiittiset matriisit ovat myös normaaleja, on olemassa unitaarinen matriisi U, jolla U AU = D, missä diagonaalimatriisi D sisältää A:n ominaisarvot. Koska D = (U AU) = U A U = U AU = D, ovat kaikki A:n ominaisarvot reaalisia. Spektrilause voidaan esittää myös muodossa: Operaattori T L(V, V ) on normaali, joss T :n ominaisvektorit muodostavat V :n ortogonaalisen kannan. Matriisin A C n,n arvoalue (field of values) on joukko F (A) = {x Ax x C n,1, x = 1}. Kompleksilukujoukon S = {c 1,..., c n } konveksi peite (convex hull) on joukko {θ 1 c θ n c n θ i 0, θ 1 + θ n = 1}. Lause 9 Jos A C n,n on normaali, niin F (A) on A:n ominaisarvojen konveksi peite. Jos A on lisäksi hermiittinen, ja sen ominaisarvot ovat λ 1 λ n, niin F (A) = [λ n, λ 1 ]. Huomataan, että hermiittinen matriisi A on positiivisesti semidefiniitti joss sillä ei ole negatiivisia ominaisarvoja. (Jätetään Courant-Fischer -lause väliin.) Olkoon A, B C n,n hermiittisiä. A dominoi B:tä, merkitään A B, jos A B 0, eli A B on positiivisesti semidefiniitti. Vastaavasti määritellään myös operaattorien dominointi. Jos A B, niin kaikilla yksikkövektoreilla u on voimassa u Au u Bu. Tästä nähdään, että A:n ja B:n k:nneksi suurimmat ominaisarvot toteuttavat, kaikilla k, λ k (A) λ k (B). Olkoon d(a) jono, jonka alkioina ovat A:n diagonaalialkiot laskevassa järjestyksessä, ja s(a) jono, jossa on A:n ominaisarvot laskevassa järjestyksessä. Tällöin Lause 10 Jos A 0, niin s(a) majoroi d(a):ta. 5

6 Funktiota h : C n,n C : h(a) = kutsutaan Hadamardin funktioksi. Lause 11 (Hadamardin lause) Jos A 0, niin h(a) det(a). Yhtäsuuruus on voimassa joss A on diagonaalimatriisi tai A:ssa on nollarivi ja(?) -sarake. Lause 12 Olkoon A C n,n hermiittinen matriisi, jonka ominaisarvot ovat λ 1 λ n. Olkoon B C r,r matriisin A pääalimatriisi (principal submatrix), jonka ominaisarvot ovat η 1 η r. Tällöin kaikilla k {1,..., r} on voimassa λ k η k λ k+n r Lause 13 Olkoon A C n,n. A 0 joss on olemassa matriisi B s.e. A = B B. n a ii 1 Graafisovelluksia Olkoon G = (V, E) graafi, jonka pisteiden joukko V = {v 1,..., v n }. Määritellään G:n vieruspistematriisi A(G) s.e. a ij = 1, kun viiva (v i, v j ) E, ja muulloin a ij = 0. Olkoon D(G) = diag(d(v 1 ),..., d(v n ) diagonaalimatriisi, jonka diagonaalilla ovat G:n pisteiden asteet. Tällöin matriisia L(G) = D(G) A(G) kutsutaan G:n Laplacen matriisiksi. Huomataan, että kaikilla graafeilla L(G):n rivien alkioiden summat ovat nollia, ja det(l(g)) = 0. Lause 14 Kaikilla graafeilla L(G) 0. Graafin Laplacen matriisi riippuu sen pisteiden numeroinnista. Oleellista eroa ei kuitenkaan synny, sillä Lause 15 Graafit G 1 ja G 2 ovat isomorfiset, joss on olemassa permutaatiomatriisi P s.e. L(G 2 ) = P 1 L(G 1 )P. Huomataan siis, että eräs graafin invarianteista on matriisin L(G) ominaisarvojen monijoukko. 6