Hilbertin avaruudet, 5op Hilbert spaces, 5 cr

Transkriptio

1 Hilbertin avaruudet, 5op Hilbert spaces, 5 cr Pekka Salmi Pekka Salmi Hilbertin avaruudet / 64

2 Yleistä Opettaja: Pekka Salmi, MA327 Kontaktiopetus ti 1012 (L), ke 810 (L), ma 1214 (H) Suorittaminen A: Koe palautettavat harjoitustehtävät B: Koe Luentokalvot, harjoitustehtävät, ratkaisut yms. tulevat Noppaan Kirjallisuutta: Markus Haase: Functional analysis, An elementary introduction Wikipedia (englanniksi) Vanha luentomoniste: Mikael Lindström: Hilbertin avaruudet Pekka Salmi Hilbertin avaruudet / 64

3 Suoritus laskareiden avulla Harjoitustehtävien ratkaisut palautetaan (selkeässä muodossa). Osa ratkaisuista pisteytetään (tässä huomioidaan myös luettavuus). Pisteytettävät tehtävät valitaan arpomalla. Pisteytetyistä tehtävistä huonoin 1/7 yhdet laskarit jätetään huomioimatta kokonaispisteissä. Pisteet suhteutetaan siten, että laskareista saa 012 pistettä. Kokeesta saa 024 pistettä. Arvosana ja läpipääsy määräytyvät laskaripisteiden ja koepisteiden summan perusteella. Mikäli pelkät koepisteet johtavat parempaan arvosanaan, käytetään sitä lopullisessa arvioinnissa. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet / 64

4 Hilbertin avaruuksien sovelluksia Hilbertin avaruudet ja niihin liittyvät käsitteet (erityisesti operaattorit) ovat perustyökaluja monella matematiikan alalla sekä sovelluksissa: 1 Fourier-analyysi 2 osittaisdierentiaaliyhtälöt 3 tilastotiede 4 kvanttimekaniikan matemaattinen muotoilu 5 wavelet pakkausalgoritmit (JPEG 2000) Pekka Salmi Hilbertin avaruudet / 64

5 Sisältö (suunniteltu) Sisätulo (inner product) Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle avaruudelle (orthogonal projection onto a nite-dimensional subspace) Metriikka ja täydellisyys (metric and completeness) Hilbertin avaruudet (Hilbert spaces) Ortogonaaliprojektio (orthogonal projection) Ortonormaali kanta (orthonormal basis) Banachin avaruudet (Banach spaces) L p avaruudet (L p spaces) Hilbertin avaruuden operaattoreista (operators on Hilbert spaces) Fourier-sarjoista (Fourier series) Pekka Salmi Hilbertin avaruudet / 64

6 Johdanto: Euklidiset avaruudet Euklidinen avaruus R n = { (x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x n R } on n-ulotteinen reaalikertoiminen vektoriavaruus, joka on varustettu pistetulolla (sisätulolla) x y = x 1 y 1 + x 2 y x n y n missä x = (x 1, x 2,..., x n ), y = (y 1, y 2,..., y n ) R n. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet / 64

7 Vektorin pituus R n :ssä Pistetulo määrää vektorin pituuden x = x x = ja siten pisteiden välisen etäisyyden x x x 2 n d(x, y) = x y. y x y x x 2 x x 1 Kuvassa x = x x 2 2 ja x y = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet / 64

8 Pistetulon geometrinen tulkinta Pistetulo määrää vektoreiden välisen kulman α: x y = x y cos α = cos α = y x y x y. x α y cos α = x y x Esityisesti jos x ja y ovat samansuuntaisia niin x y = x y ja jos ne ovat vastakkaissuuntaisia niin x y = x y. Kaikille vektoreille pätee CauchySchwarzin epäyhtälö: x y x y. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet / 64

9 Vektoriavaruus = lineaarinen avaruus Tällä kurssilla skalaarikunta K on joko reaalilukujen kunta R tai kompleksilukujen kunta C. Vektoriavaruus kunnan K yli (eli K-kertoiminen vektoriavaruus) on joukko X jolla on määritelty vektoreiden yhteenlasku ja vektoreiden kertominen skalaarilla (x, y) x + y : X X X (λ, x) λx : K X X ja laskutoimitukset toteuttavat lineaarialgebrasta tutut säännöt. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet / 64

10 Sisätulo Määritelmä 1. Olkoon X vektoriavaruus K:n yli (K = C tai = R). Kuvaus (x, y) (x y) : X X K on sisätulo jos kaikilla x, y, z X ja λ K pätee (S1) (S2) (S3) (S4) (S5) (x y) = (y x) (symmetrisyys) (x x) 0 (positiivisuus) (x x) = 0 x = 0 (deniittisyys) (x + y z) = (x z) + (y z) (λx y) = λ(x y). Vektoriavaruutta X, joka on varustettu sisätulolla, kutsutaan sisätuloavaruudeksi. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet / 64

11 Lisää laskusääntöjä Sisätulon ominaisuuksista (S1), (S4) ja (S5) saadaan seuraavat laskusäännöt. Lemma 1. Kaikilla x, y, z X ja λ K pätee (1) (2) (x y + z) = (x y) + (x z) (x λy) = λ(x y). Pekka Salmi Hilbertin avaruudet / 64

12 Esimerkki: Euklidiset avaruudet Euklidinen avaruus R n on reaalikertoiminen sisätuloavaruus, missä sisätulo on tuttu pistetulo: (x y) = x y = n x k y k x, y R n. k=1 Toisaalta C n on kompleksikertoiminen sisätuloavaruus sisätulon n (x y) = x k y k k=1 x, y C n suhteen. Huomaa että tällöin vektorin y C n jokaiseen koordinaattiin y k, k = 1, 2,..., n, täytyy käyttää kompleksikonjugointia (muuten sisätulon ehdot eivät toteudu). Pekka Salmi Hilbertin avaruudet / 64

13 R n :n ja C n :n sisätulot yhteensopivia Edellä määritellyt sisätulot ovat yhteensopivia: koska R C, niin vektorit x, y R n voidaan tulkita avaruuden C n vektoreiksi ja tällöin sillä jokainen y k R. (x y) = n x k y k = k=1 n x k y k k=1 Täten kaava n (x y) = x k y k, x, y K n k=1 antaa sisätulon avaruudessa K n, riippumatta siitä onko K = C vai K = R. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet / 64

14 Ääretönulotteinen esimerkki Olkoon l 2 = l 2 K = { (x k) k=1 x k K kaikilla k = 1, 2,... ja k=1 x k 2 < }. Siis l 2 koostuu kaikista sellaisista K-kertoimisista jonoista x = (x 1, x 2, x 3,...), jotka ovat neliösummautuvia eli x k 2 = x x <. k=1 Avaruuden l 2 sisätulo määritellään kaavalla (x y) = x k y k x, y l 2. k=1 Tämä on avaruuden K n ääretönulotteinen vastine. Pekka Salmi Hilbertin avaruudet / 64

15 Avaruuden l 2 sisätulo Miten tarkistetaan että edellä ollut määritelmä todella antaa sisätulon avaruudelle l 2? 1 Tarkistetaan että sisätulo on hyvin määritelty eli (x y) K kaikilla x, y l 2. 2 Tarkistetaan sisätulon ominaisuudet (S1) (S5). Pekka Salmi Hilbertin avaruudet / 64