802320A LINEAARIALGEBRA OSA II

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "802320A LINEAARIALGEBRA OSA II"

Transkriptio

1 802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64

2 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos : V V R LINEAARIALGEBRA 2 / 64

3 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); LINEAARIALGEBRA 2 / 64

4 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v w + u w ; LINEAARIALGEBRA 2 / 64

5 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v w + u w ; (c) λv w = λ v w ; LINEAARIALGEBRA 2 / 64

6 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v w + u w ; (c) λv w = λ v w ; (d) v v > 0, kun v 0 (positiividefiniittisyys) LINEAARIALGEBRA 2 / 64

7 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v w + u w ; (c) λv w = λ v w ; (d) v v > 0, kun v 0 (positiividefiniittisyys) aina, kun v, w, u V ja λ R. LINEAARIALGEBRA 2 / 64

8 Sisätuloavaruus Reaalinen sisätuloavaruus on pari (V, ), missä V on vektoriavaruus ja on sisätulo avaruudessa V. Yleensä tällöin sanotaan, että V on sisätuloavaruus. LINEAARIALGEBRA 3 / 64

9 Sisätuloavaruus Reaalinen sisätuloavaruus on pari (V, ), missä V on vektoriavaruus ja on sisätulo avaruudessa V. Yleensä tällöin sanotaan, että V on sisätuloavaruus. Vektoreiden v ja w sisätulolle v w käytetään yleisesti merkintää v w ja puhutaan pistetulosta. LINEAARIALGEBRA 3 / 64

10 Sisätuloavaruus Lemma 1 Reaalinen sisätulo on lineaarinen molempien argumenttiensa suhteen eli αv + βu w = α v w + β u w ; (1) ja v αw + βz = α v w + β v z ; (2) v + u w + z = v w + v z + u w + u z (3) aina, kun α, β R ja v, u, w, z V. LINEAARIALGEBRA 4 / 64

11 Sisätuloavaruus Lemma 1 Reaalinen sisätulo on lineaarinen molempien argumenttiensa suhteen eli ja αv + βu w = α v w + β u w ; (1) v αw + βz = α v w + β v z ; (2) v + u w + z = v w + v z + u w + u z (3) aina, kun α, β R ja v, u, w, z V. Todistus. Kohta (1): Käytetään ensin aksiomia b ja sitten aksiomia c, jolloin V.P. = αv + βu w = αv w + βu w = α v w + β u w = O.P. LINEAARIALGEBRA 4 / 64

12 Sisätuloavaruus Esimerkki 1 Joukko R n, n Z + on reaalinen sisätuloavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ) R n, y = (y 1,..., y n ) R n pistetulo määritellään asettamalla n x y = x i y i. (4) i=1 Todistus. Määritelmän 1 kohta a: Lasketaan x y = n x i y i = i=1 n y i x i = y x. i=1 LINEAARIALGEBRA 5 / 64

13 Sisätuloavaruus Kohta b: Lasketaan (x + z) y =(x 1 + z 1,..., x n + z n ) (y 1,..., y n ) = n n n (x i + z i )y i = x i y i + z i y i = i=1 i=1 i=1 x y + z y. LINEAARIALGEBRA 6 / 64

14 Sisätuloavaruus Kohta b: Lasketaan (x + z) y =(x 1 + z 1,..., x n + z n ) (y 1,..., y n ) = n n n (x i + z i )y i = x i y i + z i y i = i=1 i=1 i=1 x y + z y. Kohta c: Lasketaan (λx) y =(λx 1,..., λx n ) (y 1,..., y n ) = n n (λx i )y i = λ x i y i = i=1 i=1 λ x y. LINEAARIALGEBRA 6 / 64

15 Sisätuloavaruus Kohta d: Olkoon x 0. Nyt ainakin yksi x k 0, jolloin x 2 k > 0. Siten x x = n xi 2 xk 2 > 0. (5) i=1 Huomautus 1 Koska niin avaruuden R n sisätulolle (4) pätee 0 0 = 0, (6) x x = 0 x = 0. (7) Myöhemmin todistetaan, että (7) on voimassa yleisemminkin. LINEAARIALGEBRA 7 / 64

16 Sisätuloavaruus Kohta d: Olkoon x 0. Nyt ainakin yksi x k 0, jolloin x 2 k > 0. Siten x x = n xi 2 xk 2 > 0. (5) i=1 Huomautus 1 Koska niin avaruuden R n sisätulolle (4) pätee 0 0 = 0, (6) x x = 0 x = 0. (7) Myöhemmin todistetaan, että (7) on voimassa yleisemminkin. LINEAARIALGEBRA 7 / 64

17 Sisätuloavaruus Määritelmä 2 Olkoon V kompleksinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V C on Hermiten (kompleksinen) sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (konjugaatti-symmetrisyys); LINEAARIALGEBRA 8 / 64

18 Sisätuloavaruus Määritelmä 2 Olkoon V kompleksinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V C on Hermiten (kompleksinen) sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (b) v + u w = v w + u w ; (konjugaatti-symmetrisyys); LINEAARIALGEBRA 8 / 64

19 Sisätuloavaruus Määritelmä 2 Olkoon V kompleksinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V C on Hermiten (kompleksinen) sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (b) v + u w = v w + u w ; (c) λv w = λ v w ; (konjugaatti-symmetrisyys); LINEAARIALGEBRA 8 / 64

20 Sisätuloavaruus Määritelmä 2 Olkoon V kompleksinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V C on Hermiten (kompleksinen) sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (b) v + u w = v w + u w ; (c) λv w = λ v w ; (d) v v > 0, kun v 0 (konjugaatti-symmetrisyys); (positiividefiniittisyys) LINEAARIALGEBRA 8 / 64

21 Sisätuloavaruus Määritelmä 2 Olkoon V kompleksinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V C on Hermiten (kompleksinen) sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (b) v + u w = v w + u w ; (c) λv w = λ v w ; (d) v v > 0, kun v 0 aina, kun v, w, u V ja λ C. (konjugaatti-symmetrisyys); (positiividefiniittisyys) LINEAARIALGEBRA 8 / 64

22 Sisätuloavaruus Esimerkki 2 Joukko C n, n Z + on kompleksinen sisätuloavaruus, kun vektoreiden z = (z 1,..., z n ) C n, w = (w 1,..., w n ) C n pistetulo määritellään asettamalla n z w = z i w i. (8) i=1 LINEAARIALGEBRA 9 / 64

23 Sisätuloavaruus Lemma 2 0 v = v 0 = 0 v V ; (9) v v = 0 v = 0; (10) ja v v 0 v V. (11) LINEAARIALGEBRA 10 / 64

24 Sisätuloavaruus Todistetaan aluksi tapaus (9): Koska 0 = 0 0, niin aksiomin nojalla λv w = λ v w 0 v = 0 0 v = 0 0 v = 0 v V. (12) Otetaan tuloksesta (12) kompleksikonjugaatit, jolloin saadaan Käytetään sitten aksiomia v w = w v, jolloin 0 v = 0 v V. (13) v 0 = 0 v = 0 v V. (14) LINEAARIALGEBRA 11 / 64

25 Sisätuloavaruus Todistetaan seuraavaksi tapaus (10): Tuloksen (9) erikoistapauksena Mutta aksiomin d mukaan 0 0 = 0. (15) v v > 0, kun v 0. (16) Siispä v v = 0 v = 0. (17) LINEAARIALGEBRA 12 / 64

26 Sisätuloavaruus Todistetaan seuraavaksi tapaus (10): Tuloksen (9) erikoistapauksena Mutta aksiomin d mukaan 0 0 = 0. (15) v v > 0, kun v 0. (16) Siispä v v = 0 v = 0. (17) LINEAARIALGEBRA 12 / 64

27 Sisätuloavaruus Esimerkki 3 Tarkastellaan kuvausta : R 4 R 4 R, missä kaikilla vektoreilla x, y R 4. x y = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 + x 4 y 4 (18) LINEAARIALGEBRA 13 / 64

28 Sisätuloavaruus Esimerkki 3 Tarkastellaan kuvausta : R 4 R 4 R, missä kaikilla vektoreilla x, y R 4. Valitaan x = (1, 0, 0, 0), jolloin x y = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 + x 4 y 4 (18) x x = 1 < 0, joten ehto Määritelmän 1 ehto d) ei ole voimassa. Siten kuvaus (18) ei ole sisätulo. LINEAARIALGEBRA 13 / 64

29 Sisätuloavaruus Esimerkki 4 Vektoriavaruuteen C([a, b], R) = {f : [a, b] R f on jatkuva}, missä a < b, saadaan (reaalinen) sisätulo asettamalla f g = b a f (t)g(t)dt (19) kaikilla f, g C([a, b], R). Todistus. Aluksi todetaan, että suppeneva reaalinen integraali on reaaliluku. LINEAARIALGEBRA 14 / 64

30 Sisätuloavaruus Määritelmän 1 kohdat b ja c seuraavat integraalin lineaarisuudesta seuraavasti αf + βh g = b a (αf + βh)(t)g(t)dt = b α f (t)g(t)dt + β a b a h(t)g(t)dt = α f g + β h g. LINEAARIALGEBRA 15 / 64

31 Sisätuloavaruus Määritelmän 1 kohdat b ja c seuraavat integraalin lineaarisuudesta seuraavasti αf + βh g = b a (αf + βh)(t)g(t)dt = b α f (t)g(t)dt + β a b a h(t)g(t)dt = α f g + β h g. Kohta d. Olkoon f O. Tällöin f (t) 2 vakio > 0, jollain välillä [c, d] [a, b]. Siten f f = b a f (t) 2 dt > 0. (20) LINEAARIALGEBRA 15 / 64

32 Sisätuloavaruus Esimerkki 5 Vektoriavaruuteen C([a, b], C) = {f : [a, b] C f on jatkuva}, missä a < b, saadaan Hermiten sisätulo asettamalla f g = kaikilla f, g C([a, b], C). b a f (t)g(t)dt (21) LINEAARIALGEBRA 16 / 64

33 Sisätuloavaruus Esimerkki 6 Esimerkin 4 kuvaus ei ole sisätulo avaruudessa F([a, b], R), sillä funktiolle { 1, kun x = a f (x) = 0, kun x ]a, b] pätee f F([a, b], R) ja f 0, mutta f f = b a f 2 (t)dt = 0. LINEAARIALGEBRA 17 / 64

34 Normiavaruus Määritelmä 3 Olkoon V vektoriavaruus kunnan K = R tai K = C yli. Kuvaus on normi, jos : V R 0 LINEAARIALGEBRA 18 / 64

35 Normiavaruus Määritelmä 3 Olkoon V vektoriavaruus kunnan K = R tai K = C yli. Kuvaus : V R 0 on normi, jos (a) v 0 v V ; LINEAARIALGEBRA 18 / 64

36 Normiavaruus Määritelmä 3 Olkoon V vektoriavaruus kunnan K = R tai K = C yli. Kuvaus : V R 0 on normi, jos (a) v 0 v V ; (b) v = 0 v = 0; LINEAARIALGEBRA 18 / 64

37 Normiavaruus Määritelmä 3 Olkoon V vektoriavaruus kunnan K = R tai K = C yli. Kuvaus : V R 0 on normi, jos (a) v 0 v V ; (b) v = 0 v = 0; (c) λv = λ v v V ja λ K; LINEAARIALGEBRA 18 / 64

38 Normiavaruus Määritelmä 3 Olkoon V vektoriavaruus kunnan K = R tai K = C yli. Kuvaus : V R 0 on normi, jos (a) v 0 v V ; (b) v = 0 v = 0; (c) λv = λ v v V ja λ K; (d) v + w v + w v, w V (kolmioepäyhtälö). LINEAARIALGEBRA 18 / 64

39 Normiavaruus Normiavaruus on pari (V, ), missä V on vektoriavaruus ja on normi avaruudessa V. Tällöin sanotaan lyhyesti, että V on normiavaruus. LINEAARIALGEBRA 19 / 64

40 Normiavaruus Normiavaruus on pari (V, ), missä V on vektoriavaruus ja on normi avaruudessa V. Tällöin sanotaan lyhyesti, että V on normiavaruus. Tärkeitä normiavaruuksia ovat sisätuloavaruudet, nimittäin sisätulon avulla saadaan normi. LINEAARIALGEBRA 19 / 64

41 Normiavaruus Lause 1 Olkoon V sisätuloavaruus. Määritellään kuvaus : V R asettamalla v = v v = v v v V. (22) LINEAARIALGEBRA 20 / 64

42 Normiavaruus Lause 1 Olkoon V sisätuloavaruus. Määritellään kuvaus : V R asettamalla v = v v = v v v V. (22) Tällöin on normi. LINEAARIALGEBRA 20 / 64

43 Normiavaruus Lause 1 Olkoon V sisätuloavaruus. Määritellään kuvaus : V R asettamalla v = v v = v v v V. (22) Tällöin on normi. LINEAARIALGEBRA 20 / 64

44 Normiavaruus Todistus. Koska v v 0 v V, (23) niin neliöjuuren arvo on reaaliluku ja v = v v 0 v V. (24) Siten saadaan kuvaus : V R 0, joka todistaa myös normin määritelmän kohdan a. LINEAARIALGEBRA 21 / 64

45 Normiavaruus Kohta b: Tuloksen (10) nojalla v v = 0 v = 0, (25) joten v = v v = 0 v = 0. (26) LINEAARIALGEBRA 22 / 64

46 Normiavaruus Kohta c: Aluksi reaalinen tapaus. Olkoon λ R. Lasketaan λv = (λv) (λv) = λ 2 v v = λ v v = λ v. LINEAARIALGEBRA 23 / 64

47 Normiavaruus Kohta c: Aluksi reaalinen tapaus. Olkoon λ R. Lasketaan λv = (λv) (λv) = λ 2 v v = λ v v = λ v. Vielä kompleksitapaus. Olkoon λ C. Lasketaan λv = (λv) (λv) = λλv v = = λ 2 v v = λ v v = λ v. LINEAARIALGEBRA 23 / 64

48 Normiavaruus Ennen kolmioepäyhtälön todistusta esitetään Cauchy-Schwarzin epäyhtälö. LINEAARIALGEBRA 24 / 64

49 Normiavaruus Ennen kolmioepäyhtälön todistusta esitetään Cauchy-Schwarzin epäyhtälö. Lause 2 Kuvaukselle (22) pätee Cauchy-Schwarzin epäyhtälö v w v w (27) kaikilla v, w V. Todistus. Kirjoitetaan z := w 2 v (v w)w. LINEAARIALGEBRA 24 / 64

50 Normiavaruus Tällöin z w = w 2 v w (v w)w w = (v w)( w 2 w 2 ) = 0. (28) LINEAARIALGEBRA 25 / 64

51 Normiavaruus Tällöin z w = w 2 v w (v w)w w = (v w)( w 2 w 2 ) = 0. (28) Siten w 4 v 2 = w 2 v w 2 v = (z + (v w)w) (z + (v w)w) = z z + 2(v w)z w + (v w) 2 w w = z 2 + v w 2 w 2 v w 2 w 2. Tästä saadaan w 2 v 2 v w 2 ja edelleen (27). LINEAARIALGEBRA 25 / 64

52 Normiavaruus Kohta d: Aluksi reaalinen tapaus. Tarkastellaan lauseketta v + w 2 = (v + w) (v + w) = v v + v w + w v + w w = v 2 + 2v w + w 2 v v w + w 2 v v w + w 2 = ( v + w ) 2, mistä saadaan aina, kun v, w V. v + w v + w LINEAARIALGEBRA 26 / 64

53 Normiavaruus Sitten kompleksitapaus, missä tarvitaan tulosta z + z 2 z. (29) LINEAARIALGEBRA 27 / 64

54 Normiavaruus Sitten kompleksitapaus, missä tarvitaan tulosta z + z 2 z. (29) Nyt v + w 2 = (v + w) (v + w) = v v + v w + w v + w w = v 2 + v w + v w + w 2 v v w + w 2 v v w + w 2 = ( v + w ) 2, mistä saadaan aina, kun v, w V. v + w v + w LINEAARIALGEBRA 27 / 64

55 Normiavaruus Seurauksena saadaan sisätulonormin kolmioepäyhtälöt Lemma 3 Sisätulonormille pätee v w v + w v + w (30) LINEAARIALGEBRA 28 / 64

56 Normiavaruus Esimerkki 7 Avaruudessa R n vektorin x = (x 1,..., x n ) sisätulonorminormi x = x x = x x n 2 (31) antaa vektorin pituuden (Eukleideen pituuden). LINEAARIALGEBRA 29 / 64

57 Normiavaruus Esimerkki 7 Avaruudessa R n vektorin x = (x 1,..., x n ) sisätulonorminormi x = x x = x x n 2 (31) antaa vektorin pituuden (Eukleideen pituuden). Lauseen 1 mukaan sisätulonormi ja siten myös Eukleideen pituus-funktio (31) toteuttavat normin aksiomit - erityisesti kolmioepäyhtälön x y x + y x + y (32) LINEAARIALGEBRA 29 / 64

58 Normiavaruus Esimerkki 7 Avaruudessa R n vektorin x = (x 1,..., x n ) sisätulonorminormi x = x x = x x n 2 (31) antaa vektorin pituuden (Eukleideen pituuden). Lauseen 1 mukaan sisätulonormi ja siten myös Eukleideen pituus-funktio (31) toteuttavat normin aksiomit - erityisesti kolmioepäyhtälön x y x + y x + y (32) - lisäksi pätee Cauchy-Schwarzin epäyhtälö x y x y. (33) LINEAARIALGEBRA 29 / 64

59 Normiavaruus Esimerkki 8 Avaruudessa R 2 vektorin (x, y) Eukleideen pituus (x, y) = x x = x 2 + y 2 (34) antaa (suorakulmaisen) nelikulmion lävistäjän pituuden sekä yleistää perinteisen Pythagoraan lauseen. LINEAARIALGEBRA 30 / 64

60 Normiavaruus Esimerkki 8 Avaruudessa R 2 vektorin (x, y) Eukleideen pituus (x, y) = x x = x 2 + y 2 (34) antaa (suorakulmaisen) nelikulmion lävistäjän pituuden sekä yleistää perinteisen Pythagoraan lauseen. Esimerkki 9 Avaruudessa R 3 vektorin (x, y, z) Eukleideen pituus (x, y, y) = x x = x 2 + y 2 + z 2 (35) antaa (suorakulmaisen) suuntaissärmiön lävistäjän pituuden yleistäen kaksiulotteisen Pythagoraan lauseen. LINEAARIALGEBRA 30 / 64

61 Normiavaruus Olkoon V sisätuloavaruus. Jos v, w V \ {0}, niin Cauchy-Schwarzin epäyhtälön nojalla 1 v w v w 1 (36) LINEAARIALGEBRA 31 / 64

62 Normiavaruus Olkoon V sisätuloavaruus. Jos v, w V \ {0}, niin Cauchy-Schwarzin epäyhtälön nojalla 1 v w v w 1 (36) Tämä antaa mahdollisuuden määritellä vektorien v ja w välinen kulma α asettamalla cos α = v w v w. (37) Lauseke v w antaa vektoreiden v ja w välisen etäisyyden. LINEAARIALGEBRA 31 / 64

63 Normiavaruus Tällöin kosinilause saadaan yleistettyä sisätuloavaruuksiin. Lemma 4 Olkoon V sisätuloavaruus ja v, w V \ {0}. Tällöin v w 2 = v w v w = v 2 + w 2 2 v w = v 2 + w 2 2 cos α v w. LINEAARIALGEBRA 32 / 64

64 Ortogonaalisuus Määritelmä 4 Olkoon V sisätuloavaruus ja v, w V. Vektorit v ja w ovat ortogonaaliset, jos v w = 0. Tällöin käytetään merkintää v w. LINEAARIALGEBRA 33 / 64

65 Ortogonaalisuus Määritelmä 4 Olkoon V sisätuloavaruus ja v, w V. Vektorit v ja w ovat ortogonaaliset, jos v w = 0. Tällöin käytetään merkintää v w. Epätyhjä joukko T V on ortogonaalinen, jos 0 / T ; v w v, w T, v w. LINEAARIALGEBRA 33 / 64

66 Ortogonaalisuus Määritelmä 4 Olkoon V sisätuloavaruus ja v, w V. Vektorit v ja w ovat ortogonaaliset, jos v w = 0. Tällöin käytetään merkintää v w. Epätyhjä joukko T V on ortogonaalinen, jos 0 / T ; v w v, w T, v w. Epätyhjä joukko T V on ortonormaali, jos se on ortogonaalinen ja v = 1 kaikilla v T. LINEAARIALGEBRA 33 / 64

67 Ortogonaalisuus Vektorit v ja w ovat ortogonaaliset eli kohtisuorassa toisiaan vastaan; Vektori v on kohtisuorassa vektoria w vastaan; LINEAARIALGEBRA 34 / 64

68 Ortogonaalisuus Vektorit v ja w ovat ortogonaaliset eli kohtisuorassa toisiaan vastaan; Vektori v on kohtisuorassa vektoria w vastaan; Esimerkki 10 Koska 0 w = 0 w V eli 0 w w V, niin nollavektori on kohtisuorassa kaikkia avaruuden vektoreita vastaan. LINEAARIALGEBRA 34 / 64

69 Ortogonaalisuus Vektorit v ja w ovat ortogonaaliset eli kohtisuorassa toisiaan vastaan; Vektori v on kohtisuorassa vektoria w vastaan; Esimerkki 10 Koska 0 w = 0 w V eli 0 w w V, niin nollavektori on kohtisuorassa kaikkia avaruuden vektoreita vastaan. Edelleen, koska nollavektorin sisältävä joukko on lineaarisesti sidottu, niin nollavektoria ei haluta mukaan ortogonaaliseen joukkoon. Nimittäin, ortogonaalisista joukoista on tarkoitus muodostaa kantoja, joiden on syytä olla lineaarisesti vapaita. LINEAARIALGEBRA 34 / 64

70 Ortogonaalisuus Olkoon K kunta ja n Z +, tällöin K n on lineaariavaruus kunnan K yli. Merkitään e k = (0,..., 1,..., 0) K n, missä k:s koordinaatti on 1 ja muut nollia aina, kun k = 1, 2,..., n. Tiedetään, että vektorit e 1,..., e n ovat lineaarisesti vapaita kunnan K yli. LINEAARIALGEBRA 35 / 64

71 Ortogonaalisuus Olkoon K kunta ja n Z +, tällöin K n on lineaariavaruus kunnan K yli. Merkitään e k = (0,..., 1,..., 0) K n, missä k:s koordinaatti on 1 ja muut nollia aina, kun k = 1, 2,..., n. Tiedetään, että vektorit e 1,..., e n ovat lineaarisesti vapaita kunnan K yli. Olkoon nyt K n = R n, missä sisätulona on (4) tai K n = C n, missä sisätulona on (8). LINEAARIALGEBRA 35 / 64

72 Ortogonaalisuus Olkoon K kunta ja n Z +, tällöin K n on lineaariavaruus kunnan K yli. Merkitään e k = (0,..., 1,..., 0) K n, missä k:s koordinaatti on 1 ja muut nollia aina, kun k = 1, 2,..., n. Tiedetään, että vektorit e 1,..., e n ovat lineaarisesti vapaita kunnan K yli. Olkoon nyt K n = R n, missä sisätulona on (4) tai K n = C n, missä sisätulona on (8). Esimerkki 11 Joukko ortonormaali. E n := {e 1,..., e n } (38) LINEAARIALGEBRA 35 / 64

73 Ortogonaalisuus Esimerkki 12 Tarkastellaan vektoriavaruuden sisätuloa Lasketaan C([ 1, 1], R) = {f : [ 1, 1] R f on jatkuva}, f g = 1 t = f (t)g(t)dt. (39) tdt = 0, (40) joten funktiot 1 ja t ovat kohtisuorassa ja joukko {1, t} on ortogonaalinen. Lasketaan normit 1 = 2, t = 2/3. (41) Siten joukko {1, t} ei ole ortonormaali. LINEAARIALGEBRA 36 / 64

74 Ortogonaalisuus Lause 3 Olkoot V (reaalinen tai kompleksinen) sisätuloavaruus ja S V ortogonaalinen. Tällöin S on lineaarisesti riippumaton. Erityisesti ortonormaali joukko on lineaarisesti riippumaton. Muistettakoon, että nollavektori ei kuulu ortogonaaliseen joukkoon. LINEAARIALGEBRA 37 / 64

75 Ortogonaalisuus Lause 3 Olkoot V (reaalinen tai kompleksinen) sisätuloavaruus ja S V ortogonaalinen. Tällöin S on lineaarisesti riippumaton. Erityisesti ortonormaali joukko on lineaarisesti riippumaton. Muistettakoon, että nollavektori ei kuulu ortogonaaliseen joukkoon. Todistus. Tutkitaan joukon S äärellistä osajoukkoa J := {s 1,..., s n }, jonka alkioille s 1,..., s n S siis pätee s k s l = 0 aina, kun k l. LINEAARIALGEBRA 37 / 64

76 Ortogonaalisuus Asetetaan lineaarikombinaatio nollaksi: a 1 s a n s n = 0. Ottamalla sisätulo vektorin s 1 kanssa saadaan a 1 s 1 s a n s 1 s n = s 1 0 a 1 s 1 s 1 = 0. (42) Koska s 1 0, niin s 1 s 1 > 0 sisätulon aksiomin d nojalla, joten a 1 = 0. LINEAARIALGEBRA 38 / 64

77 Ortogonaalisuus Asetetaan lineaarikombinaatio nollaksi: a 1 s a n s n = 0. Ottamalla sisätulo vektorin s 1 kanssa saadaan a 1 s 1 s a n s 1 s n = s 1 0 a 1 s 1 s 1 = 0. (42) Koska s 1 0, niin s 1 s 1 > 0 sisätulon aksiomin d nojalla, joten a 1 = 0. Edetään induktiolla tulokseen a 1 =... = a n = 0, joka todistaa joukon J lineaarisen vapauden. LINEAARIALGEBRA 38 / 64

78 Ortogonaalisuus Asetetaan lineaarikombinaatio nollaksi: a 1 s a n s n = 0. Ottamalla sisätulo vektorin s 1 kanssa saadaan a 1 s 1 s a n s 1 s n = s 1 0 a 1 s 1 s 1 = 0. (42) Koska s 1 0, niin s 1 s 1 > 0 sisätulon aksiomin d nojalla, joten a 1 = 0. Edetään induktiolla tulokseen a 1 =... = a n = 0, joka todistaa joukon J lineaarisen vapauden. Siten kaikki joukon S aäärelliset osajoukot ovat lineerisesti vapaita, joten määritelmän nojalla S on lineaarisesti vapaa. LINEAARIALGEBRA 38 / 64

79 Ortogonaalisuus Määritelmä 5 Sisätuloavaruuden V osajoukko S on avaruuden V ortogonaalinen/ortonormaali kanta, jos S on ortogonaalinen/ortonormaali ja avaruuden V kanta. LINEAARIALGEBRA 39 / 64

80 Ortogonaalisuus Määritelmä 5 Sisätuloavaruuden V osajoukko S on avaruuden V ortogonaalinen/ortonormaali kanta, jos S on ortogonaalinen/ortonormaali ja avaruuden V kanta. Esimerkki 13 Avaruuden K n luonnollinen kanta {e 1,..., e n } on ortonormaali kanta. LINEAARIALGEBRA 39 / 64

81 Ortogonaalisuus Ortonormitus tarkoittaa annetun vektorin jakamista sen normilla, jolloin tuloksena saadaan vektori, jonka pituus on 1. Lemma 5 Olkoon v V, v 0. Tällöin Todistus. f := v/ v f = 1. (43) f 2 = f f = v v v v = 1 v 2 v v = 1 v 2 v 2 = 1. LINEAARIALGEBRA 40 / 64

82 Ortogonaalisuus Lause 4 Oletetaan, että S = {v 1,..., v n } on sisätuloavaruuden V ortogonaalinen kanta. Tällöin vektorin v V koordinaatit kannassa S saadaan kaavasta λ i = v i v v i v i (44) kaikilla 1 i n. Erityisesti jos S on ortonormaali, niin λ i = v i v. LINEAARIALGEBRA 41 / 64

83 Ortogonaalisuus Todistus. Vektorilla v on kannassa {v 1,..., v n } esitys Ottamalla sisätulo v = λ 1 v λ n v n. v i v = λ 1 v i v λ i v i v i λ n v i v n = λ i v i v i. josta saadaan väite (44). LINEAARIALGEBRA 42 / 64

84 Ortogonaalisuus Lause 5 Oletetaan, että S = {v 1,..., v n } on sisätuloavaruuden V ortonormaali kanta. Tällöin kaikilla v, w V pätee Parsevalin yhtälö v w = n v v i v i w. (45) i=1 LINEAARIALGEBRA 43 / 64

85 Ortogonaalisuus Lause 6 Jos vektorilla v on kannassa {v 1,..., v n } esitys v = λ 1 v λ n v n, niin v = n v v i 2 = n λ 2 i. (46) i=1 i=1 2016: 1. välikoe tähän asti. LINEAARIALGEBRA 44 / 64

86 Gram-Schmidt Lause 7 Olkoot V sisätuloavaruus ja {v 1,..., v k } V lineaarisesti riippumaton. Tällöin on olemassa sellainen ortogonaalinen joukko {w 1,..., w k } V, että w 1,..., w k = v 1,..., v k. (47) LINEAARIALGEBRA 45 / 64

87 Gram-Schmidt Lause 7 Olkoot V sisätuloavaruus ja {v 1,..., v k } V lineaarisesti riippumaton. Tällöin on olemassa sellainen ortogonaalinen joukko {w 1,..., w k } V, että w 1,..., w k = v 1,..., v k. (47) Todistus. Suoritetaan Gram-Schmidtin ortogonalisointimenetelmä: Asetetaan w 1 = v 1, w 2 = v 2 v 2 w 1 w 1 w 1 w 1 w 3 = v 3 v 3 w 2 w 2 v 3 w 1 w 1 w 2 w 2 w 1 w 1... w k = v k v k w k 1 w k 1... v k w 1 w 1. w k 1 w k 1 w 1 w 1 LINEAARIALGEBRA 45 / 64

88 Gram-Schmidt Tällöin esimerkiksi w 2 w 1 = v 2 w 1 v 2 w 1 w 1 w 1 w 1 w 1 = 0, w 3 w 1 = v 3 w 1 v 3 w 2 w 2 w 2 w 2 w 1 v 3 w 1 w 1 w 1 w 1 w 1 = v 3 w 1 0 v 3 w 1 = 0. Yleisemmin induktiolla. Olkoon l 2. Induktio-oletus: Olkoot w i w j = 0 aina, kun l > i > j. Induktioaskel: Lasketaan sisätulo w l w i = v l w i v l w i w i w i w i w i = 0. LINEAARIALGEBRA 46 / 64

89 Gram-Schmidt Lause 8 Jokaisella äärellisulotteisella sisätuloavaruudella V {0} on ortonormaali kanta. LINEAARIALGEBRA 47 / 64

90 Gram-Schmidt Esimerkki 14 Tarkastellaan avaruuden R 4 vektoreita v 1 = (1, 1, 1, 1), v 2 = (5, 1, 1, 1) ja v 3 = ( 3, 3, 1, 3). Etsitään aliavaruudelle H = v 1, v 2, v 3 ortonormaali kanta. Käytetään Gram-Schmidtin ortogonalisointimenetelmää, jolloin w 1 = v 1 = (1, 1, 1, 1), w 2 = v 2 (v 2 w 1 ) (w 1 w 1 ) w 1 = (5, 1, 1, 1) (1, 1, 1, 1) = (4, 2, 0, 2), LINEAARIALGEBRA 48 / 64

91 ja Gram-Schmidt w 3 = v 3 (v 3 w 2 ) (w 2 w 2 ) w 2 (v 3 w 1 ) (w 1 w 1 ) w 1 = v w = (0, 0, 0, 0). Koska w 3 = 0, niin {v 1, v 2, v 3 } on lineaarisesti riippuva. Ylläolevasta nähdään, että vektori v 3 on lineaarikombinaatio vektoreista v 1 ja v 2, joten H = v 1, v 2. Nyt {v 1, v 2 } on lineaarisesti riippumaton, joten {w 1, w 2 } on avaruuden H ortogonaalinen kanta. Normittamalla vektorit saadaan ortonormaali kanta {f 1, f 2 }, missä f 1 = w 1 w 1 = 1 2 (1, 1, 1, 1) ja f 2 = w 2 w 2 = 1 24 (4, 2, 0, 2) = ( 2 6, 1 6, 0, w 1 ) 1. 6 LINEAARIALGEBRA 49 / 64

92 Hypertaso Määritelmä 6 Olkoon V lineaariavaruus kunnan K yli ja dim K V = k Z +. LINEAARIALGEBRA 50 / 64

93 Hypertaso Määritelmä 6 Olkoon V lineaariavaruus kunnan K yli ja dim K V = k Z +. Hypertaso H on V :n (k 1)-ulotteinen aliavaruus. LINEAARIALGEBRA 50 / 64

94 Hypertaso Määritelmä 6 Olkoon V lineaariavaruus kunnan K yli ja dim K V = k Z +. Hypertaso H on V :n (k 1)-ulotteinen aliavaruus. Affiini hypertaso on muotoa w + H, missä H on hypertaso ja w V. LINEAARIALGEBRA 50 / 64

95 Hypertaso Määritelmä 6 Olkoon V lineaariavaruus kunnan K yli ja dim K V = k Z +. Hypertaso H on V :n (k 1)-ulotteinen aliavaruus. Affiini hypertaso on muotoa w + H, missä H on hypertaso ja w V. Jos hypertason H dimensio on k 1, niin tällöin sanotaan, että myös affiinin hypertason w + H dimensio on k 1. LINEAARIALGEBRA 50 / 64

96 Hypertaso Määritelmä 6 Olkoon V lineaariavaruus kunnan K yli ja dim K V = k Z +. Hypertaso H on V :n (k 1)-ulotteinen aliavaruus. Affiini hypertaso on muotoa w + H, missä H on hypertaso ja w V. Jos hypertason H dimensio on k 1, niin tällöin sanotaan, että myös affiinin hypertason w + H dimensio on k 1. Jos dim K V = 2, niin hypertaso on origon kautta kulkeva suora. LINEAARIALGEBRA 50 / 64

97 Hypertaso Määritelmä 6 Olkoon V lineaariavaruus kunnan K yli ja dim K V = k Z +. Hypertaso H on V :n (k 1)-ulotteinen aliavaruus. Affiini hypertaso on muotoa w + H, missä H on hypertaso ja w V. Jos hypertason H dimensio on k 1, niin tällöin sanotaan, että myös affiinin hypertason w + H dimensio on k 1. Jos dim K V = 2, niin hypertaso on origon kautta kulkeva suora. Jos dim K V = 3, niin hypertaso on origon kautta kulkeva taso. LINEAARIALGEBRA 50 / 64

98 Hypertaso Määritelmä 6 Olkoon V lineaariavaruus kunnan K yli ja dim K V = k Z +. Hypertaso H on V :n (k 1)-ulotteinen aliavaruus. Affiini hypertaso on muotoa w + H, missä H on hypertaso ja w V. Jos hypertason H dimensio on k 1, niin tällöin sanotaan, että myös affiinin hypertason w + H dimensio on k 1. Jos dim K V = 2, niin hypertaso on origon kautta kulkeva suora. Jos dim K V = 3, niin hypertaso on origon kautta kulkeva taso. Jos dim K V = 4, niin hypertaso on origon kautta kulkeva 3-ulotteinen aliavaruus eli hypertaso. LINEAARIALGEBRA 50 / 64

99 Hypertaso Lemma 6 Olkoon n V \ {0} annettu ja dim K V = k Z +. Tällöin joukko N := {x V n x = 0} (48) muodostaa (k 1)-ulotteisen hypertason ja joukko x 0 + N = {x V n (x x 0 ) = 0} (49) muodostaa (k 1)-ulotteisen affiinin hypertason. Olkoon seuraavassa e 1,..., e k avaruuden V ortonormaali kanta ja vektoreiden n ja x esitykset siinä: vastaavine koordinaattiesityksineen. n = n 1 e n k e k = (n 1,..., n k ), (50) x = x 1 e x k e k = (x 1,..., x k ) (51) LINEAARIALGEBRA 51 / 64

100 Hypertaso Todistus. Joukolle (48) saadaan koordinaattiesitys N := {x = (x 1,..., x k ) n 1 x n k x k = 0}, (52) missä ehdon n 0 nojalla ainkin yksi koordinaatti n j 0, olkoon vaikka n 1 0. Siten x 1 = 1 n 1 (n 2 x n k x k ) (53) ja edelleen x = x 1 e x k e k = x 2 ( n 2 n 1 e 1 +e 2 )+...+x k ( n k n 1 e 1 +e k ) := x 2 f x k f k. Niinpä (54) N = f 2,..., f k, (55) missä f 2,..., f k on lineaarisesti vapaa ja siten kanta ja dim K N = k 1. LINEAARIALGEBRA 52 / 64

101 Hypertaso Lemma 7 Olkoon dim K V = k Z +. Tällöin V :n hypertaso H voidaan esittää muodossa H = {x V n x = 0} (56) jollakin n V \ {0} sekä vastaava affiini hypertaso x 0 + H muodossa x 0 + H = {x V n (x x 0 ) = 0}. (57) LINEAARIALGEBRA 53 / 64

102 Hypertaso Todistus. Hypertaso on (k 1)-ulotteinen aliavaruus, joten on olemassa sellainen ortonormaali joukko g 1,..., g k 1, että H = g 1,..., g k 1, dim K H = k 1. (58) Edelleen on olemassa g k / H, g k V. Lauseen I:7 kohdan (34) nojalla g 1, g 2,..., g k on lineaarisesti vapaa ja siten V :n kanta, joka ortonormitetaan tarvittaessa ja käytetään samoja merkintöjä. Niinpä, jos x H, niin x = β 1 g β k 1 g k g k. (59) Valitaan n = 0 g g k g k, jolloin n x = 0. (60) LINEAARIALGEBRA 54 / 64

103 Hypertaso Tutkitaan pisteen t V etäisyyttä hypertasosta H. Määritelmä 7 Olkoon V normiavaruus ja S V. Tällöin pisteen t V etäisyys joukosta S on inf t s. (61) s S Tutkitaan pisteen t V etäisyyttä hypertasosta H. Voidaan osoittaa, että pisteen etäisyys hypertasosta on kohtisuoraetäisyys. LINEAARIALGEBRA 55 / 64

104 Hypertaso Lemma 8 Olkoon dim K V = k Z + ja n V \ {0}. Tällöin hypertason H = {x V n x = 0} (62) ja pisteen t V välinen etäisyys l saadaan kaavasta l = n t n (63) LINEAARIALGEBRA 56 / 64

105 Hypertaso Todistus. Ortonormitetaan n: ˆn = n/ n. Koska ˆn H, niin etäisyys l on vektorin αˆn pituus α, missä αˆn on vektorin t ja sen H:lla olevan projektion p H välinen etäisyysvektori eli t p = αˆn. Koska p ˆn ja t = p + αˆn, niin 0 = p ˆn = (t αˆn) ˆn = t ˆn αˆn ˆn = t ˆn α. (64) Siten α = t ˆn = t n n. (65) LINEAARIALGEBRA 57 / 64

106 Hypertaso Affiini hypertaso voidaan kirjoittaa muodossa x 0 + H = {x V n x = b}, b = n x 0. (66) Lemma 9 Olkoon dim K V = k Z + ja n V \ {0}. Tällöin affiinin hypertason x 0 + H = {x V n (x x 0 ) = 0} (67) ja pisteen t V välinen etäisyys l saadaan kaavasta l = n (t x 0) n = n t b n (68) LINEAARIALGEBRA 58 / 64

107 Hypertaso Esimerkki 15 Olkoon V = R 3, n = (n 1, n 2, n 3 ), w = (x, y, z) ja w 0 = (x 0, y 0, z 0 ). Nyt affiini hypertaso on muotoa w 0 + H = {w R 3 n (w w 0 ) = 0} = {(x, y, z) R 3 n 1 x + n 2 y + n 3 z = b := n 1 x 0 + n 2 y 0 + n 3 z 0 }. (69) Affiinin hypertason ja pisteen t = (t 1, t 2, t 3 ) R 3 välinen etäisyys l saadaan kaavasta l = n (t w 0) = n n 1 (t 1 x 0 ) + n 2 (t 2 y 0 ) + n 3 (t 3 z 0 ) = n1 2 + n2 2 + n2 3 n 1 t 1 + n 2 t 2 + n 3 t 3 b. (70) n1 2 + n2 2 + n2 3 LINEAARIALGEBRA 59 / 64

108 Ortogonaalikomplementti Määritelmä 8 Olkoon V sisätuloavaruus ja A V. LINEAARIALGEBRA 60 / 64

109 Ortogonaalikomplementti Määritelmä 8 Olkoon V sisätuloavaruus ja A V. Osajoukon A ortogonaalikomplementti on osajoukko A = {b V b a = 0 a A}. LINEAARIALGEBRA 60 / 64

110 Ortogonaalikomplementti Määritelmä 8 Olkoon V sisätuloavaruus ja A V. Osajoukon A ortogonaalikomplementti on osajoukko A = {b V b a = 0 a A}. Ortogonaalikomplementti, ortogonaalinen komplementti, kohtisuora komplementti LINEAARIALGEBRA 60 / 64

111 Ortogonaalikomplementti Määritelmä 8 Olkoon V sisätuloavaruus ja A V. Osajoukon A ortogonaalikomplementti on osajoukko A = {b V b a = 0 a A}. Ortogonaalikomplementti, ortogonaalinen komplementti, kohtisuora komplementti Merkintä 1 LINEAARIALGEBRA 60 / 64

112 Ortogonaalikomplementti Määritelmä 8 Olkoon V sisätuloavaruus ja A V. Osajoukon A ortogonaalikomplementti on osajoukko A = {b V b a = 0 a A}. Ortogonaalikomplementti, ortogonaalinen komplementti, kohtisuora komplementti Merkintä 1 h A h A. LINEAARIALGEBRA 60 / 64

113 Ortogonaalikomplementti Lemma 10 Olkoon V sisätuloavaruus ja A avaruuden V aliavaruus. Tällöin ortogonaalikomplementti A on V :n aliavaruus. LINEAARIALGEBRA 61 / 64

114 Ortogonaalikomplementti Lemma 10 Olkoon V sisätuloavaruus ja A avaruuden V aliavaruus. Tällöin ortogonaalikomplementti A on V :n aliavaruus. Lemma 11 Olkoon V sisätuloavaruus ja A avaruuden V aliavaruus. Jos dim K V = n ja dim K A = k, niin A A = {0}, (71) LINEAARIALGEBRA 61 / 64

115 Ortogonaalikomplementti Lemma 10 Olkoon V sisätuloavaruus ja A avaruuden V aliavaruus. Tällöin ortogonaalikomplementti A on V :n aliavaruus. Lemma 11 Olkoon V sisätuloavaruus ja A avaruuden V aliavaruus. Jos dim K V = n ja dim K A = k, niin A A = {0}, (71) dim K A = n k. (72) LINEAARIALGEBRA 61 / 64

116 Ortogonaalikomplementti Määritelmä 9 Olkoon V sisätuloavaruus, t V ja A aliavaruus. LINEAARIALGEBRA 62 / 64

117 Ortogonaalikomplementti Määritelmä 9 Olkoon V sisätuloavaruus, t V ja A aliavaruus. Pisteen t kohtisuora projektio PROJ A (t) = p aliavaruudelle A on yksikäsitteinen piste p, joka toteuttaa ehdot p A; p + h = t; h A. (73) LINEAARIALGEBRA 62 / 64

118 Ortogonaalikomplementti Palataan hetkeksi Gram-Schmidtin ortogonalisointimenetelmän, Lauseen 7 pariin. Olkoon V sisätuloavaruus ja {v 1,..., v k } V lineaarisesti riippumaton. Olkoon j k 1 ja A := {w 1,..., w j } V ortogonaalinen. Muodostetaan alkio w j+1 = h A seuraavasti. Valitaan alkio v j+1 = t / A ja asetetaan: p A; p + h = t; h A. (74) LINEAARIALGEBRA 63 / 64

119 Ortogonaalikomplementti Tällöin Joten p = β 1 w β j w j ; p + h = t; h w 1 =... = h w j = 0; w i w l = 0, i l. (75) 0 = h w l = (t p) w l t w l = p w l = (β 1 w β j w j ) w l = β l w l w l β l = t w l w l w l. (76) Niinpä saadaan uusi kohtisuora vektori w j+1 := h = t p = v j+1 v j+1 w 1 w 1 w 1 w 1... v j+1 w j w j w j w j. (77) LINEAARIALGEBRA 64 / 64

1 Sisätulo- ja normiavaruudet

1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA II/PART II

802320A LINEAARIALGEBRA OSA II/PART II 802320A LINEAARIALGEBRA OSA II/PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVÄT 2019 LINEAARIALGEBRA 1 / 69 Sisätuloavaruus/Inner product space Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus.

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA II/PART II

802320A LINEAARIALGEBRA OSA II/PART II 802320A LINEAARIALGEBRA OSA II/PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2017 LINEAARIALGEBRA 1 / 67 Sisätuloavaruus/Inner product space Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus.

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA II LINEAR ALGEBRA PART II

802320A LINEAARIALGEBRA OSA II LINEAR ALGEBRA PART II 802320A LINEAARIALGEBRA OSA II LINEAR ALGEBRA PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2017 Contents 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 2 1.1 Sisätuloavaruus/Inner product space..............

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA II LINEAR ALGEBRA PART II

802320A LINEAARIALGEBRA OSA II LINEAR ALGEBRA PART II 802320A LINEAARIALGEBRA OSA II LINEAR ALGEBRA PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVT 2019 1 Contents 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 3 1.1 Sisätuloavaruus/Inner product space..............

Lisätiedot

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 ); LINEAARIALGEBRA Harjoituksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla

Lisätiedot

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 ); LINEAARIALGEBRA Ratkaisuluonnoksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2012 227/310 Kertausta:

Lisätiedot

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );

x = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 ); LINEAARIALGEBRA Harjoituksia/Exercises 2017 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla

Lisätiedot

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa. LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Ortogonaalisen kannan etsiminen

Ortogonaalisen kannan etsiminen Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,

Lisätiedot

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin

Lisätiedot

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka

Lisätiedot

Lineaarialgebra II P

Lineaarialgebra II P Lineaarialgebra II 89P Sisältö Vektoriavaruus Sisätuloavaruus 8 3 Lineaarikuvaus 5 4 Ominaisarvo 5 Luku Vektoriavaruus Määritelmä.. Epätyhjä joukko V on vektoriavaruus, jos seuraavat ehdot ovat voimassa:.

Lisätiedot

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2014 164/246 Kertausta:

Lisätiedot

Avaruuden R n aliavaruus

Avaruuden R n aliavaruus Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla

Lisätiedot

Lineaariavaruudet. Span. Sisätulo. Normi. Matriisinormit. Matriisinormit. aiheita. Aiheet. Reaalinen lineaariavaruus. Span. Sisätulo.

Lineaariavaruudet. Span. Sisätulo. Normi. Matriisinormit. Matriisinormit. aiheita. Aiheet. Reaalinen lineaariavaruus. Span. Sisätulo. Lineaariavaruudet aiheita 1 määritelmä Nelikko (L, R, +, ) on reaalinen (eli reaalinen vektoriavaruus), jos yhteenlasku L L L, ( u, v) a + b ja reaaliluvulla kertominen R L L, (λ, u) λ u toteuttavat seuraavat

Lisätiedot

Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin. w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5. v = ( 3) = 13. v = v.

Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin. w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5. v = ( 3) = 13. v = v. Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin w = w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5 v = v v = ( 3) 2 + 2 2 = 13. w =5 3 2 v = 13 4 3 LM1, Kesä 2014 76/102 Normin ominaisuuksia I Lause

Lisätiedot

1. Normi ja sisätulo

1. Normi ja sisätulo Kurssimateriaalia K3/P3-kursille syksyllä 3 83 Heikki Apiola Sisältää otteita Timo Eirolan L3-kurssin lineaarialgebramonisteesta, jonka lähdekoodin Timo on ystävällisesti antanut käyttööni Normi ja sisätulo

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III 802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

HILBERTIN AVARUUKSISTA

HILBERTIN AVARUUKSISTA HILBERTIN AVARUUKSISTA Pro gradu -tutkielma Hannariikka Lehtiniemi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Jyväskylän yliopisto syksy 2014 TIIVISTELMÄ Ääretönulotteiset avaruudet ovat monilta ominaisuuksiltaan

Lisätiedot

Kanta ja dimensio 1 / 23

Kanta ja dimensio 1 / 23 1 / 23 Kuten ollaan huomattu, saman aliavaruuden voi virittää eri määrä vektoreita. Seuraavaksi määritellään mahdollisimman pieni vektorijoukko, joka virittää aliavaruuden. Jokainen aliavaruuden alkio

Lisätiedot

LINEAARIALGEBRA A 2016 TOMI ALASTE EDITED BY T.M. FROM THE NOTES OF

LINEAARIALGEBRA A 2016 TOMI ALASTE EDITED BY T.M. FROM THE NOTES OF LINEAARIALGEBRA 83A 6 EDITED BY T.M. FROM THE NOTES OF TOMI ALASTE SISÄLTÖ Sisältö Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus Sisätuloavaruus 3 Lineaarikuvaus 4 Ominaisarvo 34 5 Esimerkkejä 44 . Lineaariavaruus

Lisätiedot

pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus Sisätuloavaruus Lineaarikuvaus Ominaisarvo 0-68

pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus Sisätuloavaruus Lineaarikuvaus Ominaisarvo 0-68 SISÄLTÖ Sisältö pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 0-1 2 Sisätuloavaruus 0-20 3 Lineaarikuvaus 0-41 4 Ominaisarvo 0-68 5 Esimerkkejä 0-88 1. Lineaariavaruus eli V 1 Lineaariavaruus

Lisätiedot

Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.

Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus. 1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä:

Lisätiedot

LINEAARIALGEBRA. Harjoituksia/Exercises 2017 Valittuja ratkaisuja/selected solutions

LINEAARIALGEBRA. Harjoituksia/Exercises 2017 Valittuja ratkaisuja/selected solutions LINEAARIALGEBRA Harjoituksia/Exercises 2017 Valittuja ratkaisuja/selected solutions 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n )

Lisätiedot

Sisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006

Sisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006 Sisätuloavaruudet 4. lokakuuta 2006 Tässä esityksessä vektoriavaruudet V ja W ovat kompleksisia ja äärellisulotteisia. Käydään ensin lyhyesti läpi määritelmiä ja perustuloksia. Merkitään L(V, W ) :llä

Lisätiedot

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio. Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin

Lisätiedot

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I LM1, Kesä 2012 1/218 Avaruuden R 2 vektorit Määritelmä (eli sopimus) Avaruus R 2 on kaikkien reaalilukuparien joukko; toisin sanottuna R 2 = { (a, b) a R ja b R }.

Lisätiedot

LINEAARIALGEBRA. Harjoituksia/Exercises 2019 Valittuja ratkaisuja/selected solutions

LINEAARIALGEBRA. Harjoituksia/Exercises 2019 Valittuja ratkaisuja/selected solutions LINEAARIALGEBRA Harjoituksia/Exercises 2019 Valittuja ratkaisuja/selected solutions 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n )

Lisätiedot

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Insinöörimatematiikka D, 29.3.2016 4. laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut 1. Olkoon u (4,0,4,2) ja v ( 1,1,3,5) vektoreita vektoriavaruudessa R 4. Annetun sisätulon (x,y) indusoima normi on x (x,x) ja

Lisätiedot

Matriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo

Matriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Matriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Antti Rasila 2016 Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Jos {v 1, v 2,..., v k } on äärellisulotteisen vektoriavaruuden V lineaarisesti riippumaton

Lisätiedot

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Idea Lineaarisen systeemin ratkaiseminen Olkoon

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III 802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO Syksy 2017 LINEAARIALGEBRA 1 / 59 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III 802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVÄT 2019 LINEAARIALGEBRA 1 / 60 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V

Lisätiedot

4. Hilbertin avaruudet

4. Hilbertin avaruudet FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 51 4. Hilbertin avaruudet Hilbertin avaruudet ovat ääretönulotteisista normiavaruuksista ominaisuuksiltaan kaikkein lähinnä kotiavaruutta R n tai C n. Tästä syystä niiden

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus

Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m ) Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä

Lisätiedot

Hilbertin avaruudet, 5op Hilbert spaces, 5 cr

Hilbertin avaruudet, 5op Hilbert spaces, 5 cr Hilbertin avaruudet, 5op Hilbert spaces, 5 cr Pekka Salmi 14.3.2015 Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 14.3.2015 1 / 64 Yleistä Opettaja: Pekka Salmi, MA327 Kontaktiopetus ti 1012 (L), ke 810 (L), ma 1214

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 17 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Vektoriavaruus

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

i=1 Näistä on helppo näyttää ominaisuudet (1)-(4). Ellei toisin mainita, käytetään R n :ssä

i=1 Näistä on helppo näyttää ominaisuudet (1)-(4). Ellei toisin mainita, käytetään R n :ssä Kurssimateriaalia K3/P3-kursille syksyllä 003. 8.0.003 Heikki Apiola Sisältää otteita Timo Eirolan L3-kurssin lineaarialgebramonisteesta, jonka lähdekoodin Timo on ystävällisesti antanut käyttööni.. Normi

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä todistuksia ja lineaarikuvauksen muodostamista. Sarjaan liittyvät Stack-tehtävät: 1 ja 2.

Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä todistuksia ja lineaarikuvauksen muodostamista. Sarjaan liittyvät Stack-tehtävät: 1 ja 2. HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2016 Harjoitus 3 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 29.8.2016 klo 13.15. Tehtäväsarja I Kerrataan lineaarikuvauksiin liittyviä

Lisätiedot

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti 14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee:

Vapaus. Määritelmä. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista 29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n

Lisätiedot

Vektorit, suorat ja tasot

Vektorit, suorat ja tasot , suorat ja tasot 1 / 22 Koulussa vektori oli nuoli, jolla oli suunta ja suuruus eli pituus. Siirretään vektori siten, että sen alkupää on origossa. Tällöin sen kärki on pisteessä (x 1, x 2 ). Jos vektorin

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III LINEAR ALGEBRA PART III

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III LINEAR ALGEBRA PART III 802320A LINEAARIALGEBRA OSA III LINEAR ALGEBRA PART III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2017 Contents 1 Lineaarikuvaus 2 1.1 Määritelmä............................ 2 1.2 Matriisiesitys/Matrix

Lisätiedot

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160 Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2014 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 1 of 16 Kertausta Lineaarinen riippuvuus

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.

Lisätiedot

6 Vektoriavaruus R n. 6.1 Lineaarikombinaatio

6 Vektoriavaruus R n. 6.1 Lineaarikombinaatio 6 Vektoriavaruus R n 6.1 Lineaarikombinaatio Määritelmä 19. Vektori x œ R n on vektorien v 1,...,v k œ R n lineaarikombinaatio, jos on olemassa sellaiset 1,..., k œ R, että x = i v i. i=1 Esimerkki 30.

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt QR-hajotelma ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto PNS-ongelma PNS-ongelma

Lisätiedot

Determinantti 1 / 30

Determinantti 1 / 30 1 / 30 on reaaliluku, joka on määritelty neliömatriiseille Determinantin avulla voidaan esimerkiksi selvittää, onko matriisi kääntyvä a voidaan käyttää käänteismatriisin määräämisessä ja siten lineaarisen

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 18 R. Kangaslampi QR ja PNS PNS-ongelma

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Pistetulo eli skalaaritulo

Pistetulo eli skalaaritulo Pistetulo eli skalaaritulo VEKTORIT, MAA4 Pistetulo on kahden vektorin välinen tulo. Tarkastellaan ensin kahden vektorin välistä kulmaa. Vektorien a ja, kun a 0, välinen kulma on (kuva) kovera kun a vektorit

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 28. lokakuuta 2014 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus....................................

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

LINEAARIALGEBRA P. LUENTOMONISTE ja HARJOITUSTEHTÄVÄT

LINEAARIALGEBRA P. LUENTOMONISTE ja HARJOITUSTEHTÄVÄT LINEAARIALGEBRA II 802119P LUENTOMONISTE ja HARJOITUSTEHTÄVÄT syksy 2008 30 V SISÄTULOAVARUUKSISTA 1. Sisätulon määritelmä Tarkastellaan sisätulon määrittelyä varten kompleksilukujen joukkoa C = {x + iy

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi / kertaus

Matemaattinen Analyysi / kertaus Matemaattinen Analyysi / kertaus Ensimmäinen välikoe o { 2x + 3y 4z = 2 5x 2y + 5z = 7 ( ) x 2 3 4 y = 5 2 5 z ) ( 3 + y 2 ( 2 x 5 ( 2 7 ) ) ( 4 + z 5 ) = ( 2 7 ) yhteys determinanttiin Yhtälöryhmän ratkaiseminen

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 29 Laskuharjoitus (9. - 3..29) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Tehtävä. Olkoon V vektoriavaruus. Todistettava: jos U V ja W V ovat V :n aliavaruuksia, niin

Lisätiedot

6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI

6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 0 6 OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 6 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus, dim(v ) = n ja L : V V lineaarikuvaus Määritelmä 6 Skalaari λ R on L:n ominaisarvo, jos

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen

Lisätiedot

Kompaktien operaattoreiden spektraaliteoriasta

Kompaktien operaattoreiden spektraaliteoriasta Kompaktien operaattoreiden spektraaliteoriasta Lauri Horttanainen Matematiikan Pro Gradu -tutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2008 Sisältö Johdanto 2 1. Sisätuloavaruuden

Lisätiedot

JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT

JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT Kanta ja dimensio Tehtävä Esittele vektoriavaruuden kannan määritelmä vapauden ja virittämisen käsitteiden avulla ja anna vektoriavaruuden dimension määritelmä Esittele Lause

Lisätiedot

Vastaavasti, jos vektori kerrotaan positiivisella reaaliluvulla λ, niin

Vastaavasti, jos vektori kerrotaan positiivisella reaaliluvulla λ, niin 1 / 14 Lukiossa vektori oli nuoli, jolla oli suunta ja suuruus eli pituus. Tarkastellaan aluksi tason vektoreita (R 2 ). Siirretään vektori siten, että sen alkupää on origossa. Tällöin sen kärki on pisteessä

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

3 Skalaari ja vektori

3 Skalaari ja vektori 3 Skalaari ja vektori Määritelmä 3.1 Skalaari on suure, jolla on vain suuruus, jota mitataan jossakin mittayksikössä. Skalaaria merkitään reaaliluvulla. Esimerkki 3.2 Paino, pituus, etäisyys, pinta-ala,

Lisätiedot

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on? Harjoitus 1, kevät 007 1. Olkoon [ ] cos α sin α A(α) =. sin α cos α Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?. Olkoon a x y A = 0 b z, 0 0 c missä a, b, c 0. Määrää käänteismatriisi

Lisätiedot

Ominaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3.

Ominaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Ylimääräinen harjoitus 6 Ratkaisut A:n karakteristinen funktio p A on λ p A (λ) det(a λi ) 0 λ ( λ) 0 5 λ λ 5 λ ( λ) (( λ) (

Lisätiedot

Singulaariarvohajotelma ja pseudoinverssi

Singulaariarvohajotelma ja pseudoinverssi HELSINGIN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Niko Kaitarinne Singulaariarvohajotelma ja pseudoinverssi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Helmikuu 01 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä 7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan

Lisätiedot

2 / :03

2 / :03 file:///c:/users/joonas/desktop/linis II Syksy /Ratkaisuehdotukse / 8 76 3:3 Kysymys Pisteet,, Määritellään positiivisten reaalilukujen joukossa R + = {x R x > } yhteenlasku ja skalaarikertolasku seuraavasti:

Lisätiedot

Lineaarikuvausten. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksia. Ydin. Matriisin ydin. aiheita. Aiheet. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksen matriisi

Lineaarikuvausten. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksia. Ydin. Matriisin ydin. aiheita. Aiheet. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksen matriisi Lineaarikuvaukset aiheita ten ten 1 Matematiikassa sana lineaarinen liitetään kahden lineaariavaruuden väliseen kuvaukseen. ten Määritelmä Olkoon (L, +, ) ja (M, ˆ+, ˆ ) reaalisia lineaariavaruuksia, ja

Lisätiedot

Täydellisyysaksiooman kertaus

Täydellisyysaksiooman kertaus Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja

Lisätiedot

Vektorianalyysi I MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21.

Vektorianalyysi I MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21. Vektorianalyysi I MAT21003 Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21. syyskuuta 2017 1 Sisältö 1 Euklidinen avaruus 3 1.1 Euklidinen avaruus

Lisätiedot

Konformigeometriaa. 5. maaliskuuta 2006

Konformigeometriaa. 5. maaliskuuta 2006 Konformigeometriaa 5. maaliskuuta 006 1 Sisältö 1 Konformigeometria 1.1 Viivan esitys stereograasena projektiona............ 1. Euklidisen avaruuden konformaalinen malli........... 4 Konformikuvaukset

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 13.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/12 Käytännön asioita Kesäkuun tentti: ke 19.6. klo 17-20, päärakennuksen sali 1. Anna palautetta kurssisivulle ilmestyvällä

Lisätiedot

sitä vastaava Cliffordin algebran kannan alkio. Merkitään I = e 1 e 2 e n

sitä vastaava Cliffordin algebran kannan alkio. Merkitään I = e 1 e 2 e n Määritelmä 1.1 Algebran A keskus C on joukko C (A) = {a A ax = xa x A}. Lause 1. Olkoon Cl n Cliffordin algebra, jonka generoi joukko {e 1,..., e n }. Jos n on parillinen, niin C (Cl n ) = {λ λ R}. Jos

Lisätiedot

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:

Lisätiedot

Hilbertin avaruudet, 5op Hilbert spaces, 5 cr

Hilbertin avaruudet, 5op Hilbert spaces, 5 cr Hilbertin avaruudet, 5op Hilbert spaces, 5 cr Pekka Salmi 26. huhtikuuta 2017 Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 1 / 115 Yleistä Opettaja: Pekka Salmi, MA327 Kontaktiopetus ti 1012 (L),

Lisätiedot

Harjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010

Harjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 4.1. Viime kerralta. Esimerkki lokaalikonveksin avaruuden osajoukosta, joka

Lisätiedot

Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57

Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/88 Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 AM1: Kahden vaakarivin vaihto AM2: Vaakarivin kertominen skalaarilla c 0 AM3: Vaakarivin lisääminen toiseen skalaarilla c kerrottuna

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo

2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo 2 Konveksisuus ja ratkaisun olemassaolo Ratkaisun olemassaolon tutkimiseen tarvitaan perustietoja konvekseista joukoista ja lineaarialgebrasta. Niitä tarvitaan myös ratkaisualgoritmin ymmärtämiseen. Tutkitaan

Lisätiedot

Metriset avaruudet 2017

Metriset avaruudet 2017 Metriset avaruudet 2017 Jouni Parkkonen Merkintöjä N = {0, 1, 2,... } luonnolliset luvut #(A) N { } joukon A alkioiden lukumäärä A B = {a A : a / B} joukkojen A ja B erotus. A B on joukkojen A ja B erillinen

Lisätiedot