SOBOLEV-AVARUUDET. Pekka Koskela. Kevät 2015

SOBOLEV-AVARUUDET Pekka Koskela Kevät 2015 Luennot: Ti 1416 MaD 380, Ke 1214, MaD 302. Demot: To 1416, MaD 380. Demohyvitys: 80%6 p., 70%5, 60%4, 50%3, 30%2, 20%1. Sergei L. Sobolev 1908-1989: On some estimates relating to families of functions having derivatives that are square integrable (Dokl. Akad. Nauk I (1936), 267-270). On a theorem on functional analysis (Math. Sb. 46 (1938) 471-497). Adams: Sobolev spaces Evans-Gariepy: Measure theory and ne properties of functions Gilbarg-Trudinger: Elliptic partial dierential equations of second order Maly and Ziemer: Fine regularity of solutions of elliptic partial dierential equations Ziemer: Weakly dierentiable functions Leoni: A rst course in Sobolev spaces Modernissa osittaisdierentiaaliyhtälöiden teoriassa toimitaan yleensä seuraavasti: Ensimmäiseksi osoitetaan ratkaisun olemassaolo, tämän jälkeen ratkaisun mahdollinen yksikäsitteisyys ja ratkaisun säännöllisyys (mahdollinen jatkuva dierentioituvuus, Hölder-jatkuvuus, Harnackin epäyhtälö jne.) ja lopuksi käytännön tilanteissa käytetään numeerisia menetelmiä ratkaisun approksimointiin. Usein yhtälön ratkaisua ei pystytä antamaan konkreettisessa muodossa. Perustava kysymys on luonnollisesti ratkaisun olemassaolo. Tähän käytetään usein variaatioperiaatteita ja Sobolev-avaruuksia. Tyypillinen tilanne on esimerkiksi seuraava. Olkoon B R 3 avoin pallo ja U B vaikkapa avoin kuutio. 1

Halutaan löytää u C 2 (B \ U) s.e. { u(x) = n 2 j=1 u(x) = 0, x 2 j u C(B), u 1 joukossa U, u 0 joukossa B. Tätä kysymystä kutsutaan usein Dirichlet'n ongelmaksi ja kyseistä funktiota u harmoniseksi funktioksi. Yleisempi ongelma on löytää annetulle alueelle ja joukossa määritellylle jatkuvalle funktiolle h funktio u C 2 () C(), jolle u(x) = 0 joukossa ja u(x) = h(x) joukossa. Yleisempi tilanne käsitellään oleellisesti samoin kuin yllä oleva erikoistapaus. Idea on seuraava. Minimoidaan integraalia B Ψ 2 dx luokassa F = {Ψ C0(B) 1 : Ψ 1 joukossa U}. Olkoon a = inf Ψ 2 dx. F B Nyt a 0, sillä myöhemmin todistettavan Sobolevin epäyhtälön perusteella: 0 < U 1 2 ( Ψ 2 ) 1 2 C(n, B ) Ψ 2. Inmumin määritelmän nojalla löytyy Ψ j F s.e. Ψ j 2 dx a, B B kun j. Siis Ψ j 2 M < kaikilla j ja yllä olevan Sobolevin epäyhtälön nojalla Ψ j 2 M <. Määritellään abstrakti Banach-avaruus V luokan C 1 0(B) täydellistymänä normilla Ψ = Ψ 2 + Ψ 2. Tällöin V on jopa reeksiivinen ja koska jono (Ψ j ) on rajoitettu avaruudessa V, löytyy funtionaalianalyysin nojalla u V ja osajono Ψ jk, joka suppenee heikosti funktioon u avaruudessa V. Edelleen L 2 -normin puolijatkuvuuden (funktionaalianalyysi) nojalla u 2 dx lim inf Ψ jk 2 dx = a, k B missä u on funktion u gradientti joka saadaan osajonon gradienttien heikkona rajana. Nyt u 2 dx Ψ 2 dx Ψ F. B B 2 B

Lisäksi voidaan osoittaa, että u 2 dx u + ϕ 2 dx B B ϕ C 1 0(B \ U). Nyt jokaiselle t > 0 ja kaikille ϕ C0(B 1 \ U) pätee u + t ϕ 2 u 2 0 dx B }{{ t } (V AL) 2 u+s ϕ ϕ, 0<s<t (DK) 2 u ϕdx. Syy: Olkoon f(y) = y 2 = n 1 y2 i, y R n. Tällöin f(y) = 2y ja B aina kun w R n. Edelleen f(y + tw) f(y) t f(y) w = 2y w, kun t 0, f(y + tw) f(y) f(y + sw) tw 2 y + sw tw (jollekin 0 < s < t) 2 t ( y w + t w 2 ). Perustelu: väliarvolauseen nojalla funktiolle g(t) = f(y + tw) pätee g(t) g(0) = g (s)t jollekin 0 < s < t, missä g (s) = f(y + sw) w. Siispä u + t ϕ 2 u 2 dx 2 u ϕdx, kun t 0 (DK) B }{{ t } B 2( u ϕ + t ϕ 2 ) }{{} 2( u ϕ + ϕ 2 ) L 1 (B), t 1 Ottamalla t<0 saadaan epäyhtälö " ". Täten u ϕdx = 0 ϕ C0(B 1 \ U). B Tätä yhtälöä käyttäen voidaan lopulta todistaa, että u C 2 (B \ U) ja u = 0. 3

Ehto u = 0 seuraisi itse asiassa helposti osittaisintegroimalla, jos todistaisimme ensiksi, että u C 2 (B \ U): 0 = u ϕdx = uϕdx. B Koska tämä pätisi kaikilla ϕ C 0 (B \ U), niin pakostakin u(x) = 0 jokaiselle x B \ U. Yllä olevan esimerkin nojalla tarvitsemme Banach-avaruuksia, jotka sisältävät kaikki L 2 -integroituvat C 1 -funktiot, joiden gradientit ovat L 2 -integroituvia. Tälläisen avaruuden määritelmä sulkeumana on erittäin epäkonkreettinen. Sobolevin kaunis idea oli määritellä konkreeettisella tavalla avaruuden L 2 aliavaruus, joka osoittautuu haluamaksemme avaruudeksi. Aloitamme johdattelemalla Sobolevin määritelmään yksiulotteisessa tapauksessa ja palauttamalla mieleen tuloksia mitta- ja integraaliteoriasta. Tämän jälkeen tarkastelemme konvoluutioapproksimaatiota L p -avaruuksissa. Näiden perustulosten jälkeen aloitamme varsinaisen Sobolev-avaruuksien tarkastelun. B 1 JOHDATTELUA 1.1 C 1 -funktioiden ominaisuuksia R:ssä Olkoon x 1 < x 2 ja u C 1 (R). Tällöin analyysin peruslauseen nojalla u(x 2 ) u(x 1 ) = joten Edelleen (kun p > 1) u(x 2 ) u(x 1 ) u(x 2 ) u(x 1 ) ( [x 1,x 2 ] [x 1,x 2 ] [x 1,x 2 ] [x 1,x 2 ] u (t) 1dt u (t)dt, u (t) p ) 1 p ( u (t) dt. [x 1,x 2 ] 1 p p 1 p 1 dt) p = u L p ([x 1,x 2 ]) x 1 x 2 1 1 p. (1) 4

Kiinnitetään rajoitettu avoin väli I. Integroidaan (1) x 1 :n ja x 2 :n suhteen yli välin I: u(t) u(s) dtds u (x) dxdtds I I I I I = l(i) 2 u (x) dx (2) Nyt (u I = 1 u(s)ds) l(i) I u(t) u I dt = I = 1 l(i) 1 l(i) (2) l(i) I u(t) }{{} I R 1 l(i) I u(t)ds I I I 1 l(i) I u(s)ds dt u(t) u(s)ds dt I u(t) u(s) dsdt I u (x) dx. Tätä sanotaan Poincare'n epäyhtälöksi. Käyttämällä Hölderin epäyhtälöä nähdään argumentin pienellä modioinnilla myös, että u(t) u I p dt l(i) p u (t) p dt, missä p > 1. 1.2 Esimerkkifunktio Määritellään f(x) = x ja I I Df(x) = { f (x), kun x 0, 0, kun x = 0. Nyt (1):n nojalla f(x 2 ) f(x 1 ) = f [x 1,x 2 (t)dt, kun x ] 1 < x 2 ja x 1 > 0 tai x 2 < 0. Selvästi kaava pätee myös, kun x 1 = 0 tai x 2 = 0. Jos x 1 < 0 < x 2, niin f(x 2 ) f(x 1 ) = f(x 2 ) f(0) + f(0) f(x 1 ) = = f (t)dt + f (t)dt = Df(t)dt. [0,x 2 ] [x 1,0] 5 [x 1,x 2 ]

Näin ollen f(x 2 ) f(x 1 ) = kun x 1 < x 2. Edelleen f(x 2 ) f(x 1 ) [x 1,x 2 ] [x 1,x 2 ] Df(t)dt, (3) Df(t) dt. Käyttämällä tätä epäyhtälöä ja kohdan 1.2 päättelyä nähdään, että kyseiset C 1 -funktioiden ominaisuudet pätevät myös funktiolle f kun derivaatan sijasta käytetään funktiota Df. Yhtälö (3) pätee tietenkin yleisemminkin sopivalla Df : n valinnalla: riittää, että f on absoluuttisesti jatkuva. Huomautus. (3) ei päde kaikille funktioille, jotka ovat jatkuvia ja lisäksi derivoituvia melkein kaikkialla. (Esim. Cantorin funktiolle φ pätee φ(1) φ(0) [0,1] Dφ(t)dt, sillä Dφ(t)=0 m.k.) Palautetaan mieliin, että f : [a, b] R on absoluuttisesti jatkuva, jos ɛ > 0 δ > 0 s.e. k (b i a i ) < δ i=1 k f(b i ) f(a i ) < ɛ aina kun välit ]a i, b i [ ovat välin [a, b] pareittain pistevieraita osavälejä. Absoluuttisesti jatkuvilla funktioilla on seuraavat ominaisuudet: 1. f : [a, b] R on absoluuttisesti jatkuva f (x) m.k x [a, b], f on integroituva välillä [a, b] ja f(x) = f(a) + f (t)dt a x b. i=1 [a,x] 2. Absoluuttisesti jatkuva funktio on jatkuva (valitaan määritelmässä k = 1, x, y ]a, b[). 3. Jos h : [a, b] R on integroituva, niin f(x) := m + [a,x] h(t)dt on absoluuttisesti jatkuva, f(a) = m ja f (x) = h(x) m.k. x [a, b]. 6

Osa näistä ominaisuuksista on todistettu MIT:ssa ja loput (toivottavasti) reaalianalyysissä. Tarkastellaan lyhyesti kohdan 1. analyysin peruslausetta. Jokainen absoluuttisesti jatkuva f : [a, b] R voidaan esittää kahden kasvavan funktion erotuksena. Toisaalta jokainen kasvava funktio g : [a, b] R on m.k. dierentioituva ja g (x) on Lebesgue-integroituva. Tämä todistetaan peitelauseiden avulla. Olkoon f : [a, b] R absoluuttisesti jatkuva. Edellisen nojalla f on m.k. dierentioituva ja f L 1 ([a, b]). Määritellään F (x) = f(x) f (t)dt. Tällöin integraalin absoluuttisesta jatkuvuudesta saadaan, että myös F on absoluuttisesti jatkuva. Täten F on dierentioituva m.k. ja voidaan osoittaa, että F = 0 m.k. välillä [a, b] (katso esim. lausetta 7.5). Työllä nähdään, että kyseisen täysimittaisen joukon kuvan Lebesguen mitta on nolla ja koska F on absoluuttisesti jatkuva myös nollamittaisen poikkeusjoukon kuva on nollamittainen MIT. Koska F on jatkuva, F ([a, b]) on täten yhtenäinen nollamittainen joukko. Siispä F on vakio ja koska F (a) = f(a) tämä vakio on f(a). 1.3 Osittaisintegrointi Jos u C 1 (R) ja Ψ C 1 0(R), niin (valitaan a < b s.e. sptψ [a, b]) R uψ dt = [a,b] [a,x] / b uψ dt = uψ u Ψdt a [a,b] }{{} =0 = u Ψdt = u Ψdt. [a,b] R Tämä pätee myös jokaiselle suljetulla välillä I absoluuttisesti jatkuvalle funktiolle u kun Ψ on luokassa C 1 0 vastaavalla avoimella välillä ja integraalit otetaan yli välin I. 1.4 Sobolev-avaruuden määritelmä R:ssä Olkoon 1 p. Määritellään W 1,p (R) = {u L p (R) : v L p (R) s.e. 7 R uψ dt = vψdt Ψ C0(R)}. 1 R

Jos I R on avoin väli, niin W 1,p (I) määritellään vastaavasti, korvaamalla R välillä I. Tulemme myöhemmin osoittamaan, että yllä välttämättä u on absoluuttisesti jatkuva ja v(x) = u (x) melkein kaikkialla (muistetaan, että absoluuttisesti jatkuva funktio on dierentioituva m.k.). Toisaalta jokainen absoluuttisesti jatkuva u L p (I), jolle myös u L p (I), kuuluu avaruuteen W 1,p (I). Korkeammissa ulottuvuuksissa tilanne ei ole näin yksinkertainen. Tarkastelemme yhden muuttujan Sobolev-avaruutta tarkemmin vasta yleisen tilanteen yhteydessä. 1.5 Esitietoja Jos x R n, niin x = ( n i=1 x2 i ) 1 2, x = (x 1,..., x n ). on aina alue R n :ssä, n 2. Jos A, B R n, niin A B tarkoittaa että A B ja että A on rajoitettu (ja siten kompakti). Jos α = (α 1,..., α n ) N n, niin sanotaan, että α on multi-indeksi ja sen aste on α = n i=1 α i. 1.6 Derivaatat Olkoon x 0 ja e i = (0, 0,..., 0, 1, 0,..., 0) i. kantavektori. Jos u : R ja raja-arvo u(x 0 + te i ) u(x 0 ) lim t 0 t =: u x i (x 0 ) on olemassa, niin se on funktion u i. osittaisderivaatta pisteessä x 0. Jos u x i (x 0 ) on olemassa kaikilla x 0, niin saadaan funktio u x i : R, jolla saattaa olla osittaisderivaattoja. Jos sillä on j. osittaisderivaatta, niin merkitään x j ( u x i ) =: 2 u x j x i. Jos funktiolla u on toisen kertaluvun jatkuvat osittaisderivaatat, niin kaikilla i, j = 1,..., n. 2 u x j x i = 2 u x i x j 8

Jos x R n ja α N n, niin x α = (x α 1 1,..., x αn n ). Formaalisti on järkevä merkitä myös ( x 1,..., x n ) (e 1+e 3 ) = ( x 1, 1, x 3, 1,..., 1), kun i < j, joten on järkevää merkitä α ( x 1 x n) = 2 α x i x j, kun α = e i + e j, i < j. Yleinen merkintä: Kun funktiolla u on jatkuvat kertaluvun k osittaisderivaatat, niin kun α N n ja α k. Usein merkitään D α u = D 0 u = u, D e i u = D i u, α x α u, 1 1 x αn u = (D 1 u,..., D n u). n 1.7 Funktioluokkia Asetetaan C() = {u : R : u jatkuva}, C(E) = {u : E R : u jatkuva}, E R n, C k () = {u C() : D α u C() α k}, C () = C k (). k=1 Jos u : R, niin spt u =:{x : u(x) 0} on funktion u kantaja. Määritellään edelleen C 0 () = {u C() : spt u ja spt u kompakti}, C k 0 () = C k () C 0 (), C 0 () = C () C 0 (), C 0,1 () = {u C() : u(x) u(y) M x y jollain M < ja x, y }. 9

1.8 Peruslause Olkoon u C 1 () ja J xy = {x + t(y x) : 0 t 1}. Tällöin u(y) u(x) = 1 0 u(x + t(y x)) (y x)dt. Syy: funktio v(t) = u(x + t(y x)), 0 t 1 on jatkuva välillä [0, 1] ja derivoituva välillä (0, 1), joten v(1) v(0) = 1 0 v (t)dt. 1.9 Mitta ja integraali Jos A R n on mitallinen, niin A := m n (A) =: m(a). Mitallinen funktio u on integroituva mitallisessa joukossa A täsmälleen silloin kun u dm <. A Usein merkitään udm = udx = u(x)dx = u(x)dm(x). A A A A Jos 0 < A <, niin udx := 1 udx. A A A 1.10 Cavalierin periaate Olkoon A R n mitallinen, u 0 mitallinen ja p > 0. Merkitään A t = {x A : u(x) > t}, kun t 0. Tällöin u p dx = p t p 1 A t dt. HT 1.11 Fubini A [0, ] Olkoon f : R p+q R integroituva. Tällöin fdm p+q = f(x, y)dm q (y)dm p (x) = R p+q R p R q R q f(x, y)dm p (x)dm q (y). R p 10

1.12 Pallokoordinaatit Olkoon u L 1 (B(0, r)). Tällöin udx = B(0,r) S n 1 (0,1) [0,r] u(tω)t n 1 dtdσ(ω), missä σ on pintamitta joukossa S n 1 (0, 1) = {x : x = 1}. Siis σ on Hausdor-mitan H n 1 sopiva monikerta. 1.13 Monotoninen konvergenssi Olkoon f j : A [0, ] mitallisia, 0 f j f j+1 kaikilla j 1 ja A mitallinen. Tällöin lim f jdx = lim f j dx. j 1.14 Fatoun lemma A j A Olkoot f j : A [0, ] mitallisia. Tällöin lim inf f jdx lim j A j inf A f j dx. 1.15 Dominoitu konvergenssi Olkoot f j : A R mitallisia ja oletetaan että f j f m.k. joukossa A. Jos on olemassa integroituva funktio g s.e. f j g m.k. joukossa A kaikille j = 1, 2,..., niin f on integroituva joukossa A ja fdx = lim f j dx. A j A 11

2 L p -AVARUUDET Jos A R n on mitallinen ja 1 p, niin L p (A) = {f : A R, missä f mitallinen ja f L p (A) < }. Tässä f L p (A) = f p = ( A f p dx) 1 p, kun 1 p <, ja f L (A) = f = ess sup A f. Tarkastellaan siis ekvivalenssiluokkien sijasta luokkien edustajia. 2.1 Lause. (Perusepäyhtälöt) 1. Olkoot f L p (A), g L q (A) ja 1 + 1 = 1, missä 1 p, q. p q Tällöin fg L 1 (A) ja fg 1 f p g q. 2. Olkoot f, g L p (A). Tällöin f + g L p (A) ja f + g p f p + g p. 2.2 Seuraus. (Yleistetty Hölder) Olkoot 1 p j, j = 1,..., k s.e. k j=1 j = 1,..., k, niin k j=1 f j L 1 (A) ja 1 p j = 1. Jos f j L p j (A) kaikille k k f j 1 f j pj. j=1 j=1 Induktio. Huomautus. 1. Jos 1 p ja 1 p + 1 q = 1, niin q = p p 1. 2. Jos A <, A 0 ja q > p, niin ( f p dx) 1 p ( f q dx) 1 q. A A 12

Syy: ( f p dx) 1 p = A 1 p ( f p 1dx) 1 p A A A 1 p (( f p q p p dx) q ( A = A 1 p ( f q dx) 1 q A = ( f q dx) 1 q. A A q p A pq dx) q p q ) 1 p 3. Jos A < ja 1 p q, niin L q (A) L p (A). Jos lisäksi A > 0, niin kyseinen inkluusio on aito. Äärellismittaisuutta todellakin tarvitaan kyseiseen inkluusioon: esim. L 2 (R) L 1 (R). 2.3 Lause. (L p on Banach) Normiavaruus L p (A) on täydellinen eli jokainen avaruuden L p (A) Cauchyjono suppenee johonkin avaruuden L p (A) funktioon. [MIT] Todistuksen idea: Olkoon 1 p < (p = samanlainen). Olkoon (f j ) Cauchy-jono avaruudessa L p (A). Löytyy osajono (f jl ) s.e. f jl+1 f jl p < 2 l kaikilla l. Määritellään g k = k l=1 f j l+1 f jl, g = l=1 f j l+1 f jl. Minkowskin epäyhtälön nojalla (käytetään k 1 kertaa) g k p k f jl+1 f jl p < l=1 k 2 l l=1 2 l = 1. Lisäksi 0 g k g k+1 g, joten monotonisen konvergenssin nojalla g L p (A) ja g p 1. Erityisesti 0 g < m.k. joukossa A. Täten f j1 (x) + l=1 (f j l+1 (x) f jl (x)) suppenee itseisesti m.k. x A ja siten k 1 f jk = f j1 + (f jl+1 f jl ) f j1 + l=1 l=1 (f jl+1 f jl ) l=1 m.k joukossa A. Löydettiin osajono, joka suppenee m.k. joukossa A! 13 } {{ } =:f L p (A)

Lisäksi A f f j p dx = lim f jl f j p dx A l lim inf f jl f j p dx l A ɛ, kun j j ɛ, koska (f j ) on Cauchy L p (A):ssa ja j l l. Täten f j f avaruudessa L p (A). 2.4 Seuraus. (Lauseen 2.3 todistuksesta) Olkoot f, f j L p (A) s.e. f j f avaruudessa L p (A). Tällöin on olemassa osajono (f jk ) s.e. f jk f m.k. joukossa A. Lisäksi löytyy h L p (A) s.e. f jk f h m.k. joukossa A. Huomautus. Osajonoon siirtyminen on yleensä oleellista: löytyy esimerkiksi jono (f j ) L p ([0, 1]), kun 1 p <, siten että f j 0 avaruudessa L p ([0, 1]), mutta lim j f j (x) ei ole olemassa millään x [0, 1]. Toisaalta, kun p =, jono f j (x) suppenee melkein kaikilla x ja jopa tasaisesti. 2.5 Lause. Olkoon 1 p <. Tällöin kompaktikantajaisten jatkuvien funktioiden luokka C 0 (R n ) on tiheä avaruudessa L p (R n ). Erityisesti, jos f L p (R n ), niin lim h 0 R n f(x + h) f(x) p dx = 0. (4) Kompaktikantajaisten jatkuvien funktioden tiheys on HT. Jälkimmäinen väite on selvästi totta jos f C 0 (R n ), sillä tällöin f on tasaisesti jatkuva ja integrointi on yli kompaktien joukkojen. Olkoon sitten f L p (R n ) mielivaltainen ja ɛ > 0. Valitaan sellainen ϕ C 0 (R n ), jolle f ϕ p < ɛ. Silloin f(x + h) f(x) p = f(x + h) ϕ(x + h) + ϕ(x + h) ϕ(x) + ϕ(x) f(x) p 2 f ϕ p + ϕ(x + h) ϕ(x) p < 3ɛ kunhan h on riittävän pieni, sillä ϕ on tasaisesti jatkuva ja kompaktikantajainen. 14

Silotus Halutaan näyttää, että C 0 () on tiheässä avaruudessa L p () kun 1 p < : jos u L p (), niin löytyy jono (ϕ j ) C 0 () s.e. ϕ j u avaruudessa L p (). Silottajaydin Olkoon J C 0 (R n ), J 0 s.e. 1. J(x) = 0, kun x 1 (spt J B(0, 1)), 2. R n J(y)dy = 1. Voidaan esimerkiksi valita { Ce 1 1 x J(x) = 2, kun x < 1, missä 1 = 1 C B(0,1) e 1 x 2 dx, 0, kun x 1. Kun ɛ > 0, määritellään J ɛ (y) = ɛ n J( y ɛ ). Tällöin 1. 0 J ɛ C 0 (R n ), 2. spt J ɛ B(0, ɛ), =:x 3. J R n ɛ (y)dy = {}}{ ɛ n y J( R n ɛ )dy = ɛ n J(x)dy = J(x)dx = 1. R n R n Sovitaan, että jatkossa J on aina kuten yllä. Funktiota J ɛ sanotaan silottajaytimeksi ja konvoluutiota (J ɛ u)(x) := J ɛ (x y)u(y)dy, R n missä u L 1 loc(r n ) := {u : R n R : u K L 1 (K) kaikilla kompakteilla K R n }, kutsutaan u:n silotukseksi. Huomautus. 15

1. (J ɛ u)(x) on määritelty, kun u L 1 loc (Rn ) : (J ɛ u)(x) = u(y) R n J ɛ (x y) }{{} =0, kun x y ɛ dy u(y) J ɛ (x y) dy B(x,ɛ) }{{} C eɛ n u(y) dy <. eɛ n B(x,ɛ) 2. Pätee (J ɛ u)(x) = = = = J ɛ (x y)u(y)dy }{{} R n =z u(x z)j ɛ (z)dz R n u(x z)ɛ n J( z R ɛ )dz n u(x ɛy)j(y)dy. B(0,1) Konvoluutio voidaan määritellä yleisemminkin. Jos f, g L 1 (R n ), asetetaan (f g)(x) = f(x y)g(y)dy. R n Tällöin f g = g f L 1 (R n ) HT. Edellä annettu kaava määrittelee reaaliluvun (f g)(x) myös kun f C 0 (R n ) ja g L 1 loc (Rn ) HT. 2.6 Lause. 1. Jos u L 1 loc (Rn ), niin J ɛ u C (R n ) ja D α (J ɛ u)(x) = (D α J ɛ u)(x) x R n ja α N n. 2. Jos u L p (R n ), 1 p <, niin J ɛ u L p (R n ) ja J ɛ u p u p ja lim ɛ 0 J ɛ u u p = 0. 3. Jos u C() L 1 loc (Rn ), niin (J ɛ u)(x) u(x) tasaisesti jokaisessa kompaktissa joukossa K. 16

1. Osoitetaan ensiksi (osittais)derivointikaava kun α = 1. Olkoon 1 j n. Riittää osoittaa derivointikaava D j :lle. Merkitään g(t) = (J ɛ u)(x + te j ). Nyt g(h) g(0) = (J ɛ u)(x+he j ) (J ɛ u)(x) = u(y)[j ɛ (x+he j y) J ɛ (x y)]dy. R n Toisaalta väliarvolauseen nojalla J ɛ (x + he j y) J ɛ (x y) = hd j J ɛ (x + te j y), jollakin t, jolle 0 < t < h. Nyt D j J ɛ on jatkuva ja kompaktikantajainen ja D j J ɛ (x + te j y) M <, joten dominoidun konvergenssin lauseen nojalla lim h 0 1 (g(h) g(0)) = h mikä on haluttu kaava. R n D j J ɛ (x y)u(y)dy = (D j J ɛ u)(x), Koska D j J ɛ C 0 (R n ), niin helposti nähdään, että (D j J ɛ u)(x) on jatkuva (jokaiselle j). Täten J ɛ u C 1 (R n ). Korkeampi säännöllisyys ja vastaava osittaisderivointikaava saadaan modioimalla lievästi annettua argumenttia. 2. p = 1: Nyt (J ɛ u)(x) R n (J ɛ u)(x) dx J ɛ (x y) u(y) dy, joten R n J ɛ (x y)dx u(y) dy = u 1. R n R } n {{} =1 1 < p < : Ensinnäkin (J ɛ u)(x) J ɛ (x y) u(y) dy R n = J ɛ (x y) p 1 p Jɛ (x y) 1 p u(y) dy R n p 1 ( J ɛ (x y)dy) p ( J ɛ (x y) u(y) p dy) 1 p. R } n R {{} n =1 17

Täten R n (J ɛ u)(x) p dx = R n R n J ɛ (x y) u(y) p dydx R n u(y) p dy = u p p. lim ɛ 0 J ɛ u u p = 0 : Ensinnäkin (J ɛ u)(x) u(x) = J ɛ (x y)u(y)dy u(x) J ɛ (x y)dy R n R n J ɛ (x y) u(y) u(x) dy R n (Hölder, kuten edellä) ( J ɛ (x y) u(y) u(x) p dy) 1 p R }{{} n =: z = ( J ɛ (z) u(x z) u(x) p dz) 1 p. R n Täten R n (J ɛ u)(x) u(x) p dx = R n B(0,ɛ) J ɛ (y) u(x y) u(x) p dydx R n J ɛ (y) u(x y) u(x) p dx dy, R } n {{} 0 mikä menee nollaan kun ɛ 0 lauseen 2.5 nojalla, sillä y B(0, ɛ) ja siten y 0, kun ɛ 0. 3. Olkoon u C(), K kompakti. Tällöin u on tasaisesti jatkuva jokaisessa U, jolle K U, U 18

avoin. Nyt J ɛ u(x) u(x) 0, J ɛ (x y) u(y) u(x) dy R n C u(y) u(x) dy eɛ n B(x,ɛ) ( C eɛ = max J n ɛ (x y)) B(x,ɛ) C n u(y) u(x) }{{} B(x,ɛ) pieni tas. jatk. nojalla kun ɛ 0, kun x K, sillä löytyy δ > 0 s.e. B(x, ɛ) U aina kun ɛ < δ ja x K. dy Huomautus. 1. Kohdan 2. ja seurauksen 2.4 nojalla (J ɛj u)(x) u(x) m.k. x R n jollain jonolla ɛ j 0. 2. Kohdan 3. todistuksen nojalla (J ɛ u)(x) u(x) (kun ɛ 0) aina kun u(y) u(x) dy 0, kun ɛ 0 B(x,ɛ) Tämä pätee m.k. x, kun u L 1 loc (Rn ). Palataan tähän myöhemmin luvussa 8. 2.7 Lause. Olkoon 1 p <. Tällöin C 0 () on tiheä avaruudessa L p (). Olkoot u L p () ja δ > 0. Riittää löytää ϕ C 0 () L p () s.e. u ϕ p < δ. Koska C 0 () L p (), niin riittää löytää ϕ C 0 () s.e. u ϕ p < δ. Idea: Otetaan niin suuri kompakti K, että u L p (\K) on pieni ja approksimoidaan funktiota uχ K silotuksella. Määritellään K j = B(0, j) {x : d(x, ) 1 j } (jos = R n, niin asetetaan K j = B(0, j)). 19

Tällöin { K j on kompakti, K j+1 K j ja u(x) (uχkj )(x) v j (x)= p, x, 0, x R n \, toteuttaa v R n 1 dx < ja 0 v j 0. Täten MK-lauseen nojalla lim v j (x) dx = 0. j Valitaan nyt j s.e. jolloin Nyt lauseen 2.6 nojalla ( v j (x)dx) 1 p R n < δ 2, u uχ Kj p = v 1/p j L p (R n ) < δ 2. J ɛ (uχ Kj ) uχ Kj avaruudessa L p (R n ), joten voidaan valita ɛ > 0 s.e. J ɛ uχ Kj uχ Kj p < δ 2. Osoitetaan, että spt (J ɛ uχ Kj ) : K j on kompakti, joten d(k j, ) > 0. Jos 0 < ɛ < d(k j, ), niin B(x, ɛ) K 10 6 j = kun d(x, K j ) > d(k j, ) Tällöin (J ɛ uχ Kj )(x) = 0, joten spt (J ɛ uχ Kj ) {x : d(x, K j ) d(k j, ) 100 }. Väite seuraa Minkowskin epäyhtälöllä: u J ɛ uχ Kj p u uχ Kj p + uχ J Kj ɛ uχ Kj p < δ. }{{} C0 () 100. Huomautus. 1. C 0 () ei ole tiheässä L ():ssa kun. Olkoon esim. = R n, u(x) 1. HT. 20

2. Kuitenkin J ɛ u u, sillä J ɛ u(x) J ɛ (x y) u(y) dy u J ɛ (x y)dy = u. B(x,ɛ) B(x,ɛ) } {{ } =1 Huomautus. Jos u L p (), 1 p <, ja {u \ K : u(x) 0} = 0 jollain kompaktilla joukolla K, niin J ɛ u C0 () ja J ɛ u u avaruudessa L p () (ensimmäisessä väitteessä 0 < ɛ < dist(k, )). Olkoon ɛ > 0, u L p (R n ), {u R n \ K : u(x) 0} = 0. Lauseen 2.6 nojalla J ɛ u C (R n ), joten riittää osoittaa, että spt J ɛ u. Olkoon x R n s.e. dist(x, K) > ɛ. Tällöin B(x, ɛ) K = ja u(y) = 0 m.k. y B(x, ɛ). Nyt J ɛ u(x) = B(x,ɛ) J ɛ(x y)u(y)dy = 0. Täten spt J ɛ u(x) {x R n : dist(x, K) ɛ}, joka on kompakti, joten spt J ɛ u on rajoitettu. Koska K on kompakti, niin {x R n : dist(x, K) ɛ}, kun ɛ < dist(k, ). 21

3 SOBOLEV-AVARUUDET Aloitetaan johdattelemalla osittaisintegrointikaavaan. Esimerkki. Olkoon u C 1 () ja ϕ C0 (). Tällöin uϕ C0(). 1 Jatkamalla uϕ nollana joukkoon R n \ voidaan olettaa, että uϕ C0(R 1 n ). Valitaan a niin suuri, että sptϕ ] a, a[... ] a, a[. Nyt ja D 1 (uϕ)(t, x 2,..., x n )dt = a a D 1 (uϕ)(t, x 2,..., x n )dt 0 = = a a a D 1 (uϕ)(t, x 2,..., x n )dt (ϕd 1 u)(t, x 2,..., x n )dt + a a a (ud 1 ϕ)(t, x 2,..., x n )dt, joten (ud 1 ϕ)(t, x 2,..., x n )dt = (ϕd 1 u)(t, x 2,..., x n )dt. Integroidaan puolittain dx 2,..., dx n ja käytetään Fubinin lausetta: (ud 1 ϕ)(t, x 2,..., x n )dtdx 2 dx n = ud 1 ϕdx = ud 1 ϕdx R n 1 R n ja Siis R n 1 (ϕd 1 u)(t, x 2,..., x n )dtdx 2 dx n = ϕd 1 udx = R n ud 1 ϕdx = ϕd 1 udx. ϕd 1 udx Sobolevin määritelmä heikoille derivaatoille perustuu edellisen esimerkin ideaan. 22

Määritelmä. Olkoon u L 1 loc () ja α Nn. Jos on olemassa v L 1 loc () s.e. ud α ϕdx = ( 1) α vϕdx ϕ C0 (), (5) niin v on funktion u α:s heikko derivaatta (distribuutio/yleistetty/sobolevderivaatta) ja merkitään D α u := v. Kaavaa (5) sanotaan osittaisintegrointikaavaksi. Huomautus. 1. Jos u C k (), niin heikoksi derivaataksi D α u kelpaa funktion u tavallinen derivaatta D α u, kun α k. 2. Heikko derivaatta on yksikäsitteinen (jos on olemassa). Tämä seuraa lemmasta 3.1. 3.1 Lemma. Olkoon w L 1 loc (). Jos wϕdx = 0 ϕ C0 (), niin w=0 m.k. joukossa. Olkoon G. Määritellään f(x) = sgn (w(x))χ G (x) = χ G (x), kun w(x) > 0, 0, kun w(x) = 0, χ G (x), kun w(x) < 0, 0, kun w(x) ei määritelty. Nyt J ɛ f C0 () aina kun 0 < ɛ < d(g, ) ja (J ɛ f)(x) f(x) m.k. x (osajonolle). Lisäksi (J ɛ f)(x) J ɛ f f 1. 23

Täten w(x)(j ɛ f)(x) w(x) L 1 (G). Dominoidun konvergenssin lauseen perusteella w dx = wfdx = lim w(j ɛj f)dx G G ɛj 0 G sillä kun ɛ j 0 : = lim ɛj 0 spt(j ɛj f)\g kun ɛ 1 on pieni, ja (J ɛj f)(x) 1. Täten w(j ɛj f )dx }{{} C0 () w(j ɛj f)dx spt(j ɛj f)\g w(j ɛj f)dx = 0, } {{ } 0, kun ɛ j 0 spt(j ɛj f)\g w L 1 (spt(j ɛ1 f)), w J ɛj f dx 0, (J ɛj f)(x) 0 m.k. x spt (J ɛ1 f)\g G w dx = 0 ja siis w(x) = 0 m.k. x G. Koska G on mielivaltainen, niin w(x) = 0 m.k. x. Huomautus. 1. Yleistetyn derivaatan olemassaolo on lokaali kysymys (seuraa lemmasta 3.1). 2. Jos funktioilla u 1 ja u 2 on yleistetyt derivaatat D α u 1 ja D α u 2 ja λ 1, λ 2 R, niin D α (λ 1 u 1 + λ 2 u 2 ) = λ 1 D α u 1 + λ 2 D α u 2. Esimerkki. 24

1. =] 1, 1[, u(x) = x Väite : Funktio Du(x) = on funktion u heikko derivaatta. { 1, kun 1 < x < 0, 1, kun 0 < x < 1, Olkoon ϕ C0 (] 1, 1[). Tällöin 1 1 uϕ dx = 0 = 1 0 uϕ dx + 1 / 0 1 0 xϕ (x)dx + = ( xϕ(x) 1 }{{} =0 uϕ dx 1 1 = Du(x)ϕ(x)dx. 1 0 xϕ (x)dx 0 ϕ(x)dx) + 1 / 1 ϕ(x) 0 } {{ } =0 { x, 0 < x < 1, 2. =]0, 2[, u(x) = 2, 1 x < 2 Väite : Ei ole olemassa yleistettyä derivaattaa v L 1 loc (). Antiteesi: Onpas! Kun ϕ C 0 (), niin 2 0 vϕdx = = = 2 0 1 0 / 1 uϕ dx xϕ (x)dx + 2 xϕ(x) 0 } {{ } 0 =ϕ(1) 1 = ϕ(1) 0 1 2 1 ϕ (x)dx 1 ϕ(x)dx + 2 ϕ(2) 2ϕ(1) }{{} =0 ϕ(x)dx. 0 ϕ(x)dx 25

Valitaan 0 ϕ j 1 s.e. ϕ j (1) = 1 ja ϕ j (x) 0 m.k. x. Nyt 2 vϕ j dx = ϕ j (1) ϕ 0 }{{} j (x)dx. 0 }{{} = 1 }{{} 0(DK) Tämä antaa ristiriidan 0 = 1. 1 0(DK) 3. Olkoon u C 1 (B(0, 1)\{0}). Jos u L 1 (B(0, 1)\{0}), niin D α u on olemassa alueessa = B(0, 1) kaikilla α, joilla α = 1, ja D α u on funktion u tavallinen osittaisderivaatta. Voidaan esimerkiksi ottaa u(x) = log x, v(x) = x α sopivilla α (1 α < n eli α > 1 n). Syy: kuten luvun 3 ensimmäisessä esimerkissä voidaan käyttää Fubinia, sillä ( j u)ϕ L 1 (), u j ϕ L 1 () (tod. myöh) aina kun ϕ C0 (), ja tarkastaa, että osittaisintegrointikaava pätee tavallisilla derivaatoilla. Huomaa, että funktion u rajoittuma jokaiseen suoraan, joka ei kulje origon kautta on C 1. Integroitaessa ei koskaan huomata, että origo puuttuu. Määritelmä. Olkoon 1 p ja k N. Asetetaan W k,p () := {u L p () : D α u L p () α N n, α k} Avaruutta W k,p () sanotaan Sobolev-avaruudeksi. Kaava u W k,p () := u k,p, := D α u p, antaa tälle avaruudelle normin. α k Huomautus. 1. D 0 u = u, joten u k,p u p. 2. W k,p () on todellakin normiavaruus: Jos u 1, u 2 W k,p () ja λ 1, λ 2 R, niin λ 1 u 1 + λ 2 u 2 W k,p () ja 26

u k,p 0 ja u k,p = 0 joss u = 0. λ 1 u 1 k,p = λ 1 u 1 k,p u 1 + u 2 k,p u 1 k,p + u 2 k,p 3. Kun 1 p <, niin usein käytetään ekvivalenttia normia u := D α u p dx α k Perustelu normien ekvivalenttisuudelle: u u k,p C k max α k D α u p C k u, (Muista, että ( n i=1 a i ) α n i=1 a i α, kun 0 < α 1.) Yllä C k on niiden multi-indeksien lukumäärä, joille α k. 4. Useat Sobolev-avaruuden W k,p () ominaisuuksista, kun k > 1, saadaan avaruuden W 1,p () ominaisuuksista, joten usein tarkastellaan vain avaruutta W 1,p (). 1 p. Esimerkki. 1. C0 k () W k,p () Syy: Yleistetty derivaatta D α u, α k, on funktion u tavallinen α:s derivaatta, kun u C k () ja spt D α u, kun u C0 k (). On siis olemassa max D α u(x). Nyt D α u p dx D α u p dx max Dα u(x) p sptd α u < spt D α u kun α k. Täten u k,p < ja siten u W k,p (). 2. =] 1, 1[, u(x) = x 235. Tällöin u / W 1,7 (). 3. u(x) = x α W 1,p (B(0, 1)) aina kun u L p (B(0, 1)). (HT) 4. u(x) = x W 1, (] 1, 1[). 5. Jos < ja q < p, niin W k,p () W k,q (). 6. Jos k > 1, niin W k,p () W k 1,p (). 27

3.2 Lause. W k,p () on Banach-avaruus. Olkoon (u j ) Cauchy-jono avaruudessa W k,p (). Jos α k, niin D α u j D α u i p u j u i k,p, joten (D α u j ) on Cauchyjono avaruudessa L p (). Täten löytyy v α L p () s.e. D α u j v α avaruudessa L p () (lause 2.3). Merkitään v 0 =: u. Olkoon ϕ C0 (). Näytetään, että udα ϕdx = ( 1) α vα ϕdx, kun α k. Käytetään osittaisintegrointikaavaa funktioille u j : u j D α ϕ = ( 1) }{{} α (D α u j )ϕdx C 0 () dx }{{} R udα ϕdx }{{} ( 1) R α vα ϕdx Perustelu rajankäynnille: (u j (x) u(x))d α ϕ(x) M u j (x) u(x), M = max D α ϕ(x), ϕ(x)(d α u j (x) v α ) K D α u j (x) v α (x), K = max ϕ(x). Täten v α L p () on funktion u α:s yleistetty derivaatta D α u. Niinpä u W k,p () ja selvästi u u j k,p 0, kun j. Todistetaan seuraavaksi, että C () W k,p () on tiheässä avaruudessa W k,p (). 3.3 Lemma. Olkoon u L 1 loc () s.e. on olemassa Dα u L 1 loc (). Jos d(x, ) > ɛ, niin D α (J ɛ u)(x) = (J ɛ D α u)(x). 28

Suora lasku antaa D α (J ɛ u)(x) = (Dx α J ɛ u)(x) = Dx α J ɛ (x y) u(y)dy R }{{} n =Dy α J ɛ(x y)( 1) α = ( 1) R α Dy α J ɛ (x y) u(y)dy }{{} n =: g(y) C0 () = ( 1) 2 α }{{} =1 J ɛ (x y)d α u(y)dy R n = (J ɛ D α u)(x). Yhdistämällä Lause 2.6 ja Lemma 3.3 saadaan välittömästi sileiden funktioiden tiheys Sobolev-avaruudessamme kun on koko R n. Yleistä tilannetta varten tarvitsemme tärkeän teknisen tuloksen. 3.4 Lause. (Ykkösen ositus) Olkoon U alueen avoin peite. Tällöin löytyy numeroituva perhe F funktioita 0 f j C 0 (R n ) s.e. 0 f j 1 ja 1. f j U U s.e. spt f j U, 2. jos K on kompakti, niin spt f j K vain äärellisen monella j, 3. f F f(x) = j f j(x) = 1 kaikilla x. Voidaan olettaa, että jokainen U U on alue. (i) Olkoon E kompakti. Koska U on joukon E avoin peite, löytyy U 1,..., U N s.e. E N j=1 U j. Löytyy kompaktit joukot E j U j s.e. E = N j=1 E j : Jokainen x E sisältyy johonkin U j, joten löytyy r x > 0 s.e. B(x, r x ) U j. Nyt {B(x, r x ) : x E} on joukon E avoin peite, joten löytyy x 1,..., x k E s.e. E k i=1 B(x i, r xi ). Määritellään E j = E ( B(x i,r xi ) U j B(x i, r xi )). 29

Löytyy Ψ j C0 (U j ) s.e. 0 Ψ j 1 ja Ψ j 1 joukossa E j HT. Määritellään N v = Ψ j, j=1 jolloin v C0 (R n ), v 1 joukossa E ja v > 0 jossain joukon E ympäristössä. Vastaavasti löytyy Ψ C0 ( N j=1 U j) s.e. Ψ 1 joukossa E ja 0 Ψ 1. Määritellään { Ψj, kun Ψ f j = v Ψ+1 j 0, 0, muulloin. Nyt f j C 0 (R n ), 0 f j 1 j = 1,..., N, spt f j spt Ψ j U j U ja joukossa E. N f j = j=1 N j=1 Ψ j v Ψ + 1 = v v Ψ + 1 1 (ii) Määritellään E 1 = E 0 =, E j = {x : d(x, ) 1 } B(0, j), j F j = E j \ inte j 1, j = 1, 2,... Tällöin E j E j+1, E j on kompakti kaikilla j = 1, 2,... ja Myös joukot F j ovat kompakteja ja E j. j=1 G j = {U (int(e j+1 ) \ E j 2 ) : U U} on joukon F j avoin peite. Kohdan (i) avulla löydetään äärellinen määrä funktioita f ji, i = 1,..., N j s.e. f ji C 0 (R n ), spt f ji U jollain U U, spt (f ji ) (int(e j+1 ) \ E j 2 ) 30

ja joukossa F j. Määritellään Tällöin g C (R n ). Asetetaan Nyt N j f ji 1 i=1 g = j N f ji. i=1 f ji = f ji g. f ji = 1 joukossa, j i f ji C 0 (R n ), spt ( f ji ) U ij jollain U ij U ja selvästi jokaisella kompaktilla K spt ( f ji ) K vain äärellisen monella j i. 3.5 Lause. Olkoon 1 p <. Tällöin C () on tiheässä avaruudessa W k,p (): u W k,p () ϕ j C () W k,p () s.e. u ϕ j k,p 0, kun j. Olkoon u W k,p () ja ɛ > 0. Määritellään U i = {x : d(x, ) > 1 } B(0, i) i G i = U i+1 \ U i 1, U 1 = U 0 =. Nyt G i, i = 1, 2,... on alueen avoin peite. Olkoon F ykkösen ositus tälle peitteelle. Määritellään F i = {f F : spt f G i, spt f U i }. Perheessä F i on vain äärellisen monta funktiota, sillä U i. Olkoon f i = f F i f. Tällöin f i C 0 (U i+1 \ U i 1 ) 31

ja Nyt ja HT. Edelleen f i (x) = 1 x. i=1 J 1 l uf i W k,p () spt (uf i ) U i+1 (uf i ) uf i k,p 0, kun l : Lemman 3.3 nojalla jokaiselle x U i+1 pätee D α (J 1 l (uf i ))(x) = J 1 l kun 1 l < d(u i+1, ). Niinpä lause 2.6 antaa konvergenssin. Valitaan nyt l i < 1/(2i) s.e. D α (uf i )(x) J 1 l (uf i ) uf i k,p < ɛ 2 i. Tällöin ja Ψ = i=1 J 1 l i (uf i ) C () W k,p () u Ψ k,p = sillä u(x) = i=1 f i(x)u(x). i=1 i=1 (uf i J 1 l i (uf i )) k,p uf i J 1 l i (uf i ) k,p < ɛ, Huomautus. Todistusta tarkastelemalla huomaa helposti seuraavan: jos u W k,p () on jatkuva, niin löytyy jono (ϕ j ) C (), joka suppenee funktioon u avaruudessa W k,p () ja suppenee lisäksi joka pisteessä funktion u. Itse asiassa pisteittäinen suppeneminen on jopa lokaalisti tasaista. 32

Annetaan seuraavaksi Sobolev-avaruuksille vaihtoehtoinen määritelmä. Määritelmä. Olkoon 1 p < ja k N \ {0}. Asetetaan H k,p () = {u L p () : (ϕ j ) C (), v α L p () α k s.e. ϕ j u avaruudessa L p () ja D α ϕ j v α avaruudessa L p ()}. Huomautus. Yllä ϕ j W k,p () ja (ϕ j ) on Cauchy-jono avaruudessa W k,p (). Niinpä u W k,p () ja v α = D α u. Siis H k,p () W k,p (). 3.6 Seuraus. (H=W) Olkoon 1 p <. Tällöin H k,p () = W k,p (). Huomautus. 1. Usein merkitään H k,2 () = H k (). 2. Lauseen 3.5 nojalla Sobolev-funktioiden tuloksia "kannattaa" todistaa algoritmilla (i) helppoa, kun u C () W k,p () (ii) ominaisuus säilyy "rajalla". 3. Varoitus! Usein ei päde, että C (R n ) W k,p () olisi tiheässä avaruudessa W k,p (). Avaruuden H k,p () määritelmässä otettiin sileiden funktioiden sulkeuma Sobolev-normin suhteen. On luonnollista myös määritellä sileiden, kompaktikantajaisten funktioiden sulkeuma. Määritelmä. Asetetaan W k,p 0 () = {u W k,p () : ϕ j C 0 () W k,p () s.e. u ϕ j k,p 0, kun j }. Millaiset funktiot kuuluvat avaruuteen W k,p 0 ()? Ensimmäisenä arvauksena voisi yrittää: ne, jotka kuuluvat avaruuteen W k,p () ja jotka ovat nollia joukon reunalla. Ongelma: avaruuden W k,p () funktioita ei ole määritelty joukossa. Arvaus on kuitenkin oikein tulkittuna hyvin lähellä totuutta. 33

Huomautus. 1. Selvästi W k,p 0 () W k,p (). 2. Yllä yhtäsuuruus pätee vain kun on "pieni", palataan tähän myöhemmin. 3.7 Lause. Olkoon 1 p <. Tällöin W k,p 0 (R n ) = W k,p (R n ). Olkoon k = 1; tapaus k > 1 menee samoin. Olkoot u W 1,p (R n ) ja ɛ > 0. Löytyy r > 0 s.e. u W 1,p (R n \B(0,r)) < ɛ; voidaan olettaa, että r > 106. Olkoon Ψ(x) = J 1 χ B(0,r+1) (x). Tällöin 0 Ψ(x) 1, Ψ 1 joukossa B(0, r), Ψ C0 (B(0, 2r)) ja Ψ(x) J R n 1 (x y) χ B(0,r+1) (y)dy M χ B(x,1) B(0,r+1)(y)dy M, missä M ei riipu luvusta r. Nyt uψ W 1,p (R n ) HT ja uψ 0 joukossa R n \ B(0, 2r). Valitaan l niin suureksi, että uψ J 1 (uψ) 1,p,R n < ɛ. l Nyt J 1 (uψ) C0 (R n ), joten riittää osoittaa, että uψ u 1,p,R n < Cɛ l jollekin vakiolle C. Nyt u uψ 1,p,R n = u uψ 1,p,R n \B(0,r) u 1,p,R n \B(0,r) + uψ 1,p,R n \B(0,r) n ɛ + u L p (R n \B(0,r)) + ( (D j u)ψ p,r n \B(0,r)) + ud jψ p,r n \B(0,r) ) j=1 ɛ + u 1,p,R n \B(0,r) + M n u p,r n \B(0,r) (2 + M n)ɛ. Huomautus. Edellinen lause ei päde eksponentin p arvolle ääretön. Tarkastellaan seuraavaksi Sobolev-funktioiden absoluuttista jatkuvuutta suorilla. 34

3.8 Lause. Olkoot 1 p < ja R alue. Jos u W 1,p (), niin on olemassa g : R s.e. (i) g on absoluuttisesti jatkuva jokaisella välillä [a, b], (ii) g = u m.k. joukossa, (iii) Du = g m.k. joukossa. Kääntäen: Jos g on kuten kohdassa (i) ja g, g L p () niin g W 1,p (). Käänteinen: On osoitettava, että osittaisintegraalikaava pätee. Olkoon ϕ C0 (). Tällöin gϕ C 0 () ja gϕ on abs.jatkuva [MIT], joten 0 = (gϕ) dt = g ϕ + gϕ dt. Siis Dg = g, joten g W 1,p (). Välttämättömyys: Olkoon u W 1,p () ja ϕ j C () s.e. ϕ j u avaruudessa W 1,p (). Siirtymällä osajonoon voidaan olettaa, että ϕ j (x) u(x) m.k. x. Valitaan x 0 s.e. ϕ j (x 0 ) u(x 0 ), kun j. Olkoon x > x 0, x. Nyt ϕ j (x) u(x 0 ) Dudt [x 0,x] ϕ j (x) ϕ j (x 0 ) Dudt + ϕ }{{} j (x 0 ) u(x 0 ) 0, = R [x 0,x] }{{} [x 0,x] ϕ j (t)dt, ϕ j C 0, koska ϕ j (x 0 ) u(x 0 ) koska ϕ j u avaruudessa W 1,p () (jolloin ϕ j Du avaruudessa L 1 ([x 0, x])). Näin ollen ϕ j (x) u(x 0 ) + Dudt =: g(x). [x 0,x] Tämä pätee myös kun x < x 0 kunhan väli [x 0, x] korvataan välillä [x, x 0 ]. Nyt (i) seuraa absoluuttisesti jatkuvien funktioiden ominaisuuksien kohdasta 3., (ii) g(x) = u(x) m.k. x (g(x) = lim j ϕ j (x) = u(x) m.k. x ), (iii) seuraa absoluuttisesti jatkuvien funktioiden ominaisuuuksien kohdasta 3. Määritelmä. Olkoon R n. Tällöin u : R on ACL (absolutely continuous on lines) 35

(:ssa), jos m.k. koordinaattiakselien suuntaisilla suorilla L pätee: u L on absoluuttisesti jatkuva jokaisella suljetulla välillä [a, b] ( L) (sanotaan tällöin, että u on absoluuttisesti jatkuva suoralla L (:ssa)). Yllä m.k. suorilla tarkoittaa kun R 2 : m 1 ({y R: u ei abs.jatkuva suoralla x 2 = y}) = 0 ja m 1 ({x R: u ei abs.jatkuva suoralla x 1 = x}) = 0. Kun R 3 : m 2 ({(x, y) R 2 : u ei abs.jatkuva suoralla x 1 = x, x 2 = y}) = 0, m 2 ({(x, y) R 2 : u ei abs.jatkuva suoralla x 2 = x, x 3 = y}) = 0, m 2 ({(x, y) R 2 : u ei abs.jatkuva suoralla x 1 = x, x 3 = y}) = 0. Yleinen tilanne menee vastaavasti. Määritelmästä seuraa helposti, että funktio u : R on ACL :ssa jos ja vain jos jokaiselle x löytyy ympäristö U siten, että u on ACL U:ssa. 3.9 Lause. Olkoot 1 p < ja R n. Jos u W 1,p (), niin g : R s.e. (i) g on ACL :ssa, (ii) g = u m.k. joukossa, (iii) D j u = D j g m.k. joukossa j=1,...,n. Kääntäen: Jos funktiolle g pätee (i) ja g, D j g L p (), 1 j n, niin g W 1,p (). Käänteinen: Pitää todistaa, että (D j g)ϕdx = gd j ϕdx Tämä seuraa Fubinilla lauseen 3.8. nojalla. ϕ C 0 (). Välttämättömyys: Olkoon u W 1,p () ja ϕ j C () s.e. ϕ j u avaruudessa W 1,p (). Tarkastellaan ensiksi tapausta n = 2: Voidaan olettaa (osajonoon siirtymällä), että ϕ j (x) u(x) m.k. x. Tällöin ϕ j (x 1, y) u(x 1, y) m.k. x 1 m.k. y Fubinin nojalla m.k. y pätee u ϕ j p + D 1 u D 1 ϕ j p dx 2 0, {x 2 =y} 36

kun j. Käytetään lausetta 3.8 tällaiselle y ({x 2 = y} on numeroituva yhdiste avoimia välejä). Tehdään samoin suuntaan x 2. Yksityiskohdat HT. Yleinen tapaus menee samoin HT. Huomautus. Edellinen lause pätee myös kun p =. Todistus on tässä tapauksessa jopa helpompi. Esimerkki. = R n, n 2, u(x) = x 7 on ACL. Siis u W 1,p (R n ) u L p (R n ) ja u L p (R n ). (demot: u W 1,p (B(0, 1)) 7 > 1 n p eli n p > 8, p < n 8 ) Huomautus. 1. Yleinen ACL-funktio ei välttämättä ole edes mitallinen. 2. Olkoon u W 1,p (R 3 ). Lauseesta 3.9 seuraa, että löytyy g s.e. g = u m.k. R 3 :ssa ja m 1 ({y : g x3 =y / W 1,p ({x 3 = u})}) = 0. HT Lauseiden 3.8 ja 3.9 todistuksista ja lauseen 3.5 jälkeisestä huomautuksesta saadaan seuraava seuraus. 3.10 Seuraus. Olkoon u W 1,p () C(). Tällöin u on ACL. Huomautus. Lause 3.9 ja Fubinin lause palauttavat Sobolev-funktioilla operoinnin usein klassisiin absoluuttisesti jatkuvien funktioiden ominaisuuksiin. 37

4 SOBOLEVIN EPÄYHTÄLÖT Tarkastellaan seuraavaksi niinsanottuja Sobolevin epäyhtälöjä, jotka kontrolloivat Sobolev-funktiota sen heikon gradientin (tai korkeamman kertaluvun tapauksessa heikkojen derivaattojen) avulla. Jos u W k,p (), niin määritelmän nojalla u L p (). Sobolevin epäyhtälöistä seuraa, että aina kun p pätee u L q loc () jollakin q = q(n, p, k) > p. Käsitellään ensiksi tapaus p = 1. 4.1 Lause. (Gagliardo-Nirenberg-Sobolev) Olkoon n 2 ja R n. Tällöin u n n 1 u 1 u C 1 0(). Olkoon u C0(). 1 Voidaan olettaa, että u C0(R 1 n ) ja = R n. Kiinnitetään x = (x 1,..., x n ) ja 1 j n. Nyt joten Siis R u(x) n n 1 dx1 u(x) u(x) n R ( ( xj n j=1 ( n R R j=1 R D j u(x 1,..., t,..., x n ) dt, R u dx 1 ) 1 n 1 u dx 1 ) 1 n 1 D j u(x 1,..., t,..., x n ) dt. D j u(x 1,..., t,..., x n ) dt n ( R j=2 n ( j=2 R R R ) 1 n 1 dx 1 D j u(x 1,..., t,..., x n ) dt) 1 n 1 dx1 D j u dx j dx 1 ) 1 n 1. Viimeisessä epäyhtälössä käytettiin yleistettyä Hölderin epäyhtälöä, katso Seuraus 2.2. Integroidaan molemmat puolet muuttujan x 2 suhteen, Hölderöidään, integroidaan seuraavan muuttujan suhteen jos tarvitaan jne.: u n n 1 dx = R n 38

= R R R... R R R u n n 1 dx1 dx n n ( u dx 1 ) 1 n 1 ( R j=2 [( u dx 1 dx 2 ) 2... ( u dx) n n 1. R n R R R n j=3 R D j u dx j dx 1 ) 1 n 1 dx2 dx n R R R D j u dx j dx 1 dx 2 ] 1 n 1 dx3 dx n Täten u n n 1 u 1. Määritelmä. Olkoon 1 p < n. Määritellään p = pn n p (jolloin p > p). 4.2 Lause. (Sobolevin upotuslause) Olkoon 1 p < n ja u W 1,p 0 (). Tällöin u p C(p, n) u p. (6) Olkoon 1 p < n. (i) Oletetaan ensin, että u C0(). 1 Lauseen 4.1 nojalla voidaan olettaa, että p > 1. Havaitaan ensiksi, että u q C0() 1 kun q > 1 (v(x) = f(u(x)), f(t) = t q C 1 (R) kun q > 1). Kiinnitetään q > 1. Lauseen 4.1 nojalla ( u qn n 1 n 1 dx) n ( u q ) dx q u q 1 u dx q u p ( u (q 1)p p 1 p 1 dx) p. Valitsemalla q = p(n 1) qn, jolloin = = pn = n p n 1 n p p ja (q 1)p = = p, p 1 saadaan ( u p dx) n 1 n q u p ( u p dx) 1 1 p. 39

Jos u p = 0, niin (6) pätee. Muutoin jakamalla epäyhtälön puolet termillä ( u p dx) 1 1 p saadaan ( u p dx) 1 p 1 n q u p ja (6) seuraa, sillä 1 p 1 n = n p np = 1 p (ii) Olkoot nyt u W 1,p 0 () ja ϕ j C 0 () s.e. ϕ j u avaruudessa W 1,p (). Kohdan (i) nojalla ϕ j ϕ }{{} k p C(p, n) ϕ j ϕ }{{} k }{{} p, C0 () u u joten (ϕ j ) on Cauchy-jono avaruudessa L p () ja siis ϕ j v avaruudessa L p () jollakin v L p (). Koska ϕ j u avaruudessa L p (), niin osajono suppenee m.k. joukossa funktioon u ja samoin tämän osajonon osajono suppenee m.k. joukosa funktioon v. Täten u = v ja selvästi u p = v p C(p, n) u p. 4.3 Seuraus. Olkoon 1 p < n ja u W 1,p (). Tällöin u L p loc (). Olkoon U. Valitaan Ψ C0 () s.e. Ψ 1 joukossa U. Nyt uψ W 1,p 0 () ja Lauseen 4.2 nojalla u p,u uψ p, C(p, n) (uψ) p, <. Huomautus. 1. Lauseiden 4.1 ja 4.2 epäyhtälöissä on oikealla puolella vain u p eikä lainkaan termiä u p. 2. Yleisesti ei päde W 1,p () L p () HT. 4.4 Seuraus. Olkoon 1 kp < n ja u W k,p 0 (). Tällöin u pn n kp C(k, p, n) u k,p. 40

Induktio. Lauseen 4.2 nojalla väite pätee, kun k = 1. Oletaan, että väite pätee kertaluvulle k 1. Merkitään v = D j u, 1 j n. Nyt }{{} v =D j u W k 1,p 0 () pn n (k 1)p C(k 1, p, n) }{{} v k 1,p C(k, p, n) u k,p =D j u pn pn n kp+p ja q = < n, joten n (k 1)p u q C(q, n) u q. Siis epäyhtälö pätee kertaluvulle k, kun vasemmalla puolella q = nq = pn n kp n q = Tarkastellaan seuraavaksi tapausta p > n. Tätä varten todistetaan erittäin hyödyllinen Poincaré'n epäyhtälö, joka pätee kaikille p 1. 4.5 Lause. (Poincarè) Olkoon 1 p. Olkoon x 0 R n, r > 0 ja u C 1 (B(x 0, r)). Oletetaan, että u p,b(x0,r) <. Tällöin u L p (B(x 0, r)) ja u u B(x0,r) p dx C(p, n)r p u p dx, B(x 0,r) B(x 0,r) missä u B(x0,r) = udx. B(x 0,r) Olkoon x B(x 0, r) ja B := B(x 0, r). Arvioidaan ensin integraalia B u(x) u(y) p dy. Nyt u(x) u(y) p 1 0 1 0 u(x + t(y x)) (y x)dt u(x + t(y x)) p y x p dt p 41

ja siten u(x) u(y) p dy B 1 B 0 1 u(x + t(y x)) p y x p dtdy = u(x + t(y x)) p y x p dydt 0 B }{{} =: z 1 ( ) p z x u(z) p t n dzdt 0 B B(x,2tr) t 1 ( ) p 2tr u(z) p t n dzdt 0 B B(x,2tr) t 1 (2r) p u(z) p dt z x B t dz n 2r / 1 = (2r) p u(z) p 1 t 1 n dz B 1 n z x 2r = (2r) p u(z) p z x 1 n (2r) 1 n dz B (2r) 1 n (n 1) (2r) p (2r) n 1 1 u(z) p z x 1 n dz n 1 B = C(p, n)r n+p 1 B u(z) p 1 dz. z x n 1 Annetaan tälle epäyhtälölle numero (4.5). Integroidaan (4.5) muuttujan x suhteen: u(x) u(y) p dydx C(p, n)r n+p 1 u(z) p 1 dzdx B B B B z x n 1 C(p, n)r n+p 1 r u(z) p dz. B Siis u(x) u(y) p dydx C(p, n)r n+p u p dx <, B B B 42

joten u L p (B). Täten u u B p dx = B B B B B C(p, n)r n+p u(x) u(y)dy p dx u(x) u(y) p dydx u p dx B = C(p, n)r p u p dx. B Huomautus. 1. Lauseen 4.5 väite pätee myös funktioille u W 1,p (B(x 0, r)). Tämä nähdään approksimoimalla. 2. Lauseen 4.5 todistuksen voi palauttaa muuttujanvaihdolla tapaukseen x 0 = 0 ja r = 1 : annetulle u tarkastellaan funktiota v(x) = u(x 0 + rx). 4.6 Seuraus. Olkoon p > n ja u C 1 (B(x 0, r)). Tällöin u(x) u(y) C(p, n)r 1 n p u p,b(x0,r) x, y B(x 0, r). Voidaan olettaa, että u p,b(x0,r) <. Epäyhtälön (4.5) nojalla (otetaan p = 1) saadaan u(x) u(y) = u(x) u(y) dz B(x 0,r) B(x 0,r) C(n) u(x) u(z) dz + u(y) u(z) dz B(x 0,r) u(z) 1 z x + 1 n 1 z y n 1 dz ( z x p(n 1) p 1 B(x 0,r) B(x 0,r) C(p, n) u p,b(x0,r) + z y p(n 1) p 1 dz ) p 1 p. 43

Nyt B(x 0,r) z x p(n 1) p 1 dz = z x p(n 1) p 1 dz B(x,2r) 2r t p(n 1) p 1 t n 1 dt S n 1 0 } {{ } < n 1 1 C(p, n)r p 1, dσ joten u(x) u(y) C(p, n) u p,b(x0,r) (r 1 n 1 p 1 ) p 1 p kuten haluttiin. 4.7 Lause. Olkoot p > n ja u W 1,p 0 (). Tällöin löytyy v C() s.e. v = u m.k. joukossa ja kaikille x, y. v(x) v(y) C(p, n) x y 1 n p u p Olkoon ϕ C 0 (). Voidaan olettaa, että ϕ C 0 (R n ). Olkoot x, y. Nyt x, y B(x, 2 x y ), joten seurauksen 4.6 nojalla ϕ(x) ϕ(y) C(p, n)(2 x y 1 n p ) ϕ p,b(x,2 x y ) C(p, n) x y 1 n p ϕ p,. Olkoon u W 1,p 0 (). Tällöin löytyy (ϕ j ) C 0 () s.e. ϕ j u avaruudessa W 1,p (). Erityisesti ϕ j u avaruudessa L p () ja ϕ j u p 0, kun j. Osajonoon siirtymällä voidaan olettaa, että ϕ j (x) u(x) m.k. x. Olkoon x. Jos (ϕ j (x)) j=1 suppenee, niin määritellään v(x) := lim j ϕ j (x). 44

Ellei, löytyy :n pisteet x i, joille x i x ja joille i ϕ j (x i ) u(x i ) (syy: ϕ j (y) u(y) m.k. y ). Nyt ϕ j (x) ϕ k (x) ϕ j (x) ϕ j (x i ) + ϕ }{{} j (x i ) ϕ k (x i ) + ϕ }{{} k (x i ) ϕ k (x). }{{} (i) (ii) (i) (7) Tarkastellaan termejä (i),(ii). Ensinnäkin ϕ j (x) ϕ j (x i ) C(p, n) x x i 1 n p ϕj p M x x i 1 n p, sillä ( ϕ j ) on rajoitettu jono L p (R n ) :ssä. Kiinnitetään x i s.e. M x x i 1 n p < ɛ. Tällöin ϕ j (x i ) ϕ k (x i ) < ɛ, kun j, k ovat riittävän suuria, sillä ϕ j (x i ) u(x i ). Siispä ϕ j (x) ϕ k (x) 3ɛ, joten (ϕ j (x)) on Cauchy-jono R:ssä ja täten on olemassa lim j ϕ j (x). Voimme siis määritellä v(x) := lim j ϕ j (x) kun x. Edelleen v(x) v(y) = lim j (ϕ j (x) ϕ j (y)) n lim x y 1 p C(p, n) ϕj p j = C(p, n) x y 1 n p u p. Selvästi v on jatkuva ja koska ϕ j (x) u(x) m.k. x, niin u = v m.k. joukossa. Huomautus. 1. Lauseen 4.7 funktiolle v pätee v(x) = lim u(z)dz. r 0 B(x,r) 45

2. Lauseen 4.7 todistuksen argumentin sijasta todistuksen voi myös perustaa Arzela-Ascolin lauseeseen. 4.8 Seuraus. Olkoon u W 1,p () ja p > n. Tällöin funktiolle u löytyy jatkuva edustaja v, jolle kaikilla U on olemassa C = C(p, n, U, u p ) s.e. joukossa U. Edelleen, jos B(x 0, 2r), niin v(x) v(y) C x y 1 n p u p m.k. x, y B(x 0, r). HT u(x) u(y) C(p, n) x y 1 n p u p,b(x0,2r) Huomautus. 1. Aina ei päde u(x) u(y) C(p, n) x y 1 n p u p, m.k. x, y, kun u W 1,p () ja p > n. 2. Ehto p > n lauseissa 4.5-4.8 on oleellinen kun n 2: löytyy u W 1,n 0 (B(0, 1)) s.e. ess sup B(0,1) u(x) =. 3. Korkeammille kertaluvuille saadaan samantyyppisiä tuloksia induktiolla käyttäen apuna edellä olevia lauseita. Olkoon esimerkiksi u W 2,p 0 (B(0, 1)). Jos p > n/2 ja p < n, niin lauseen 4.2 nojalla D j u L p (B(0, 1)) j = 1,..., n. Nyt p > n ja ( B(0,1) u p dx) 1 p <, joten u(x) u(y) C(p, n) x y 1 n p u p C(p, n) x y 2 n p u 2,p,B(0,1). Jos oletamme yllä, että p > n, niin lauseen 4.7 nojalla D j u on "jatkuva", joten löytyy v C 1 (B(0, 1)) s.e. v = u m.k. joukossa B(0, 1). 46

4. Tämän luvun tuloksia kutsutaan usein Sobolevin epäyhtälöiksi tai Sobolevin upotuslauseiksi (4.2,4.7). Yhdistämällä seuraukset 4.3 ja 4.8 saamme luvun alussa mainitun korkeamman integroituvuuden. 4.9 Seuraus. Olkoon 1 p < ja u W 1,p (). Tällöin u L q loc (), missä q = pn/(n p) kun p < n, q = kun p > n ja q on mikä tahansa äärellinen eksponentti kun p = n. Tarkastellaan lopuksi tapausta p = n tarkemmin. Kuten on jo todettu, tässä tapauksessa Sobolev-funktio ei välttämättä ole lokaalisti oleellisesti rajoitettu. Toisaalta kyseinen funktio kuuluu jokaiseen avaruuteen L q loc, q <. Tarkan integroituvuuden antaa seuraava tulos. 4.10 Lause. (Yudovich, Trudinger) Olkoon u W 1,n 0 () ja <. Tällöin ( [ ] ) n u n 1 exp dx C 2, C 1 u n missä C i = C i (n), i=1,2. Ziemer Thm. 2.9.1 T odistuksen idea: Hölderin epäyhtälön avulla nähdään, että u W 1,p 0 () jokaiselle p < n. Täten u L p () p < n ja u p C(p, n, ) u n. Nyt joten exp ( u n n 1 exp(t) = c k=0 ) dx = t k k! k=0 u kn n 1 c k k! dx. Käytetään tähän yllä olevaa arviota ja lasketaan arvio vakiolle C(p, n, ); sarjan suppeneminen saadaan osamäärätestillä. Vakiolle C(p, n, ) tarvitaan parempi arvio kuin mitä saadaan Lauseen 4.2 todistuksesta. 47

Huomautus. Sobolevin epäyhtälöiden iterointi ei välttämättä anna optimaalisia tuloksia avaruuksille W k,p kun k > 1. Esimerkiksi avaruuden W 3,1 (R 3 ) funktioilla on jatkuvat edustajat; Lauseen 4.2 nojalla saadaan u L 3 (R 3 ) ja täten Seurausta 4.8 ei pystytä käyttämään. Vastaava tilanne syntyy avaruuden W 2,n (R n ) tapauksessa. 48

5 PERUSOPERAATIOT Aikaisemman perusteella heikko derivointi D α on lineaarinen: jos D α u, D α v ja jos λ, µ R, niin D α (λu + µv) = λd α u + µd α v. Todistetaan versiot tulo- ja ketjusäännöstä. 5.1 Lause. (Tulosääntö) Olkoot u, v L () W 1,p (), 1 p. Tällöin uv W 1,p () ja kun α = 1. D α (uv) = ud α v + vd α u, Huomautus. Jos u, v L 1 loc () ja on olemassa Dα u, D α v L 1 loc (), niin ei välttämättä ole olemassa yleistettyä derivaattaa D α (uv). HT Olkoon ϕ C0 (). Valitaan 1 2 s.e. sptϕ 1. Määritellään u j = J 1 (uχ 2 ). j Tällöin u j C ( 1 ), kun j on riittävän suuri ja lemman 3.3 nojalla D α u j = J 1 D α u joukossa 1. j Lisäksi u j L ( 1 ) u L () ja u j u avaruudessa W 1,p ( 1 ); voidaan edelleen olettaa, että u j u m.k. joukossa 1. Olkoon ϕ C0 (). Nyt (D α v)( u j ϕ )dx = vd α (u }{{} j ϕ)dx C0 ( 1) C0 () = v(u j D α ϕ + ϕd α u j )dx. 1 Täten (u j D α v)ϕdx } 1 {{} R (ud α v)ϕdx 1 + ( 1 raj. raj. {}}{ v D α {}}{ u }{{} j ) ϕ dx L }{{ p } R (vd α u)ϕdx ( ) 1 = vu j D α ϕdx } 1 {{} R vud α ϕdx 1 49

ja siis (ud α v + vd α u)ϕdx = vud α ϕdx ϕ C0 (). Olkoon ensin p <. Nyt ( ud α v + vd α u p dx ) 1 p u D α v p + v D α u p <, joten D α (uv) L p (), erityisesti D α (uv) L 1 loc (). Jos p =, niin selvästi ud α v + vd α u L () L 1 loc(). Täten D α (uv) = ud α v + vd α u. Perustelu kohdalle (*): (vd α u j vd α u)ϕdx v ϕ D 1 α u j D α u dx 1 v ϕ D α u j D α u p,1 }{{} 1 < 0, kun j. p 1 p Huomautus. Lemmalle 5.1 saadaan myös lyhyt todistus käyttäen lausetta 3.9: valitaan funktioille u ja v ACL-edustajat û, ˆv. Olkoon D α = D j. Nyt melkein kaikille koordinaattiakselin x j -suuntaisille suorille molemmat funktiot û ja ˆv ovat absoluuttisesti jatkuvia kyseisellä suoralla joukossa. Tällaisella suoralla selvästi D j (ûˆv) = ûd jˆv + ˆvD j û. Väite seuraa täten Fubinin lauseella lauseesta 3.9. Tästä argumentista nähdään, että tulosääntö pätee kunhan u, v W 1,1 loc () ja uv, udα v, vd α u L 1 loc (). 5.2 Lemma. Olkoot u, v L 1 loc (). Tällöin v = Dα u jos ja vain jos löytyy ϕ j C () s.e. 1 pätee ϕ j u avaruudessa L 1 ( 1 ) ja D α ϕ j v avaruudessa L 1 ( 1 ). 50

" " ϕ j = J 1 (uχ 2 ), 1 2 j (jatketaan uχ 2 nollana joukkoon R n \ ). " " HT: ϕ jd α Ψdx = ( 1) α 1 sptψ (Dα ϕ j )Ψdx. 5.3 Lause. (Ketjusääntö) Olkoon f C 1 (R) s.e. f <. Jos funktiolla u L 1 loc () on heikko derivaatta Dα u L 1 loc (), α = 1, niin funktiolla f u on heikko derivaatta D α (f u) = f (u)d α u L 1 loc(). Erityisesti jos f u L p () ja u W 1,p (), niin f u W 1,p (). Väite seuraa helposti absoluuttisesti jatkuvien funktioiden ominaisuuksista käyttäen edellisen huomautuksen päättelyä. Esitetään harjoituksen vuoksi myös todistus, joka ei käytä lausetta 3.9: Riittää todistaa väite kun p <, sillä tapaus p = seuraa helposti tästä. Olkoot 1 2. Tällöin, kuten edellisen lauseen todistuksessa, löytyy ϕ j C ( 2 ) s.e. ϕ j u avaruudessa W 1,1 ( 1 ). Valitaan Ψ C0 ( 2 ) s.e. Ψ 1 joukossa 1 ja asetetaan ϕ j = Ψ ϕ j. Käyttämällä väliarvolausetta funktiolle f saadaan f ϕ j f u dx f ϕ j (x) u(x) dx 0 1 1 kun j. Siis f ϕ j f u avaruudessa L 1 ( 1 ). Lisäksi f u L 1 ( 1 ). Syy: kuten yllä, 1 f ϕ j f ϕ k dx 0, kun j, k, joten jono (f ϕ j ) on Cauchy avaruudessa L 1 ( 1 ) ja siten (f ϕ j ) suppenee avaruudessa L 1 ( 1 ). Voidaan olettaa, että f ϕ j (x) f u(x) m.k. x 1 (siirtymällä osajonoon). Edelleen f (u)d α u D α (f ϕ j ) dx = f (u)d α u f (ϕ 1 }{{} j )D α ϕ j dx 1 C 51

f (u)d α u f (ϕ j )D α u dx + 1 }{{} f (ϕ j )D α u f (ϕ j )D α ϕ j dx. 1 }{{} 2 f D α u L 1 ( 1 ) f D α u D α ϕ j Edelleen f (ϕ j (x)) f (u(x)) m.k. x 1 ja D α ϕ j D α u avaruudessa L 1 ( 1 ). Täten D α (f ϕ j ) f (u)d α u avaruudessa L 1 ( 1 ). Käyttämällä lemmaa 5.2 jonolle f ϕ j, saadaan D α (f u) = f (u)d α u. Viimeinen väite selvä, sillä f (u)d α u p f D α u p. 5.4 Lause. Olkoon u W 1,p (), 1 p. Tällöin u +, u, u W 1,p () ja { D D α u + = α u m.k. joukossa {x : u(x) > 0} 0 m.k. joukossa {x : u(x) 0}, { D α u 0 m.k. joukossa {x : u(x) 0} = D α u m.k. joukossa {x : u(x) < 0}, D α u = D α u m.k. joukossa {x : u(x) > 0} 0 m.k.joukossa {x : u(x) = 0} D α u m.k. joukossa {x : u(x) < 0} kaikilla α = 1. Lisäksi D α u = 0 m.k. joukossa {x : u(x) = 0}. Väite seuraa absoluuttisesti jatkuvien funktioiden ominaisuuksista edellisen huomautuksen päättelyllä. Annetaan kuitenkin myös lauseeseen 5.3 perustuva todistus: Riittää { todistaa väite kun p <. Olkoon ɛ > 0. Määritellään t2 + ɛ f ɛ (t) = 2 ɛ, jos t > 0 0, jos t 0. Nyt { f ɛ(t) t = t, jos t > 0 2 +ɛ 2 0, jos t < 0, joten f ɛ C 1 (R), f ɛ(0) = 0 ja f ɛ 1 <. Ketjusäännön (lause 5.3) nojalla D α (f ɛ u) = f ɛ(u)d α, kun u W 1,p (). Olkoon ϕ C0 (). Nyt (f ɛ u)d α ϕdx = f ɛ(u)(d α u)ϕdx. 52